III: Geometría para maestros. Capitulo 2: Transformaciones

III: Geometría para maestros. Capitulo 2: Transformaciones
geométricas
SELECCIÓN DE EJERCICIOS RESUELTOS
SITUACIÓN INTRODUCTORIA
1. Hallar las figuras transformadas del rectángulo representado en el sistema de
coordenadas cartesianas de la figura por la aplicación sucesiva de los siguientes
movimientos:
a) Una traslación de vector cuyo origen es el punto de coordenadas (0,0) y extremo
el punto de coordenadas (4,4).
b) Un simetría axial de eje OX
c) Un giro cuyo centro de giro es el punto de coordenadas (6, 5) y amplitud de -90º
Y
D´
C´
La figura adjunta muestra la solución.
A´
D
La figura A’B’C’D’ es la transformada de
la ABCD por la traslación.
La figura A’’B’’C’’D’’ es la figura
transformada de la A’B’C’D’ por la
simetría
La figura A’’’B’’’C’’’D’’’ es la
transformada de la A’’B’’C’’D’’ por el
giro.
B´
C
A
B
O
X
C´ ´ ´
D´ ´ ´
1
A´ ´
B´ ´
D´ ´
C´ ´
B´ ´ ´
EJERCICIOS:
Ejercicio:
5. Determinar los ángulos de las simetrías rotacionales de estas figuras:
a) Suponemos que se trata de un hexágono regular, la figura coincidirá globalmente
consigo misma al girar 0º, 60º, 120º, 180º, 240º, 300º y 360º. Cualquier otro giro
obtenido multiplicando estas amplitudes por cualquier número entero se considera la
misma simetría rotacional.
b) 0º, 180º, 360º
c) Suponemos que se trata de un eneágono regular, por tanto el ángulo central mide 40º.
Luego las simetrías rotacionales serán: 0º, 40º, 80º, 120º, 160º, 200º, 240º, 280º, 320º,
360º.
d) Se trata de una figura “circular”. Cualquiera que sea la amplitud de giro aplicada la
figura coincidirá consigo misma. Luego tiene un número ilimitado de simetrías
rotacionales.
7. Supongamos que dos segmentos cualesquiera se miden con una unidad u1 y se
calcula la razón entre ambos. ¿Qué le ocurre a dicha razón si ambos segmentos
se miden con otra unidad u2 tal que u2= 2.u1?
Sean los segmentos AB y CD. Al medir AB con u1 se tiene AB = x u1 ; CD = y u1. La
AB xu1 x

 . Como se dice que u2= 2.u1,
razón entre ambos segmentos será:
CD yu1 y
sustituyendo el valor de u1 por su valor en función de u2 y simplificando se comprueba
que la razón de las medida de dichos segmentos no varía:
u
x. 2
AB
x
 2 
CD y. u2 y
2
2
10. Dividir un segmento en 3 partes de igual medida
C
Trazamos una semirrecta a partir de A en cualquier
dirección. Sobre dicha semirrecta marcamos tres
puntos equidistantes. Unimos CB y trazamos paralelas
a este segmento por los puntos marcados sobre AC.
Los puntos de corte de dichas paralelas con AB son
equidistantes por el teorema de Thales .
B
A
11. Dividir un segmento AB en la razón 2:3
C
Interpretamos que se desea marcar sobre AB un
punto D de modo que la razón AD/AB sea 2/3.
Dividimos el segmento AB en cinco partes iguales,
con el método anterior y marcamos D a la distancia 2
de A.
A
D
B
13. Si la razón entre la diagonal de un rectángulo y su lado mayor es 5:4, entonces, ¿en
qué razón están el lado mayor con el lado menor del rectángulo? Explica el
procedimiento realizado.
Solución 1: Al trazar la diagonal del rectángulo se forma un
triángulo rectángulo. La razón 5:4 entre la hipotenusa y el
cateto mayor se cumple en el caso de que el otro cateto mida
3 (terna Pitagórica). Luego la razón entre la hipotenusa y el
lado menor será 5:3
Solución 2: Se puede razonar de manera algebraica:
AC 5
5
 ; Ac  AB . CB se puede expresar en función de
AB 4
4
AB aplicando el teorema de Pitágoras :
C
A
B
2
3
5
CB  AC  AB    AB 2  AB 2  AB
4
4
AC 5
Luego,

CB 3
2
2
14. La sombra de un rascacielos en un determinado momento del día mide 192 m. Si en
el mismo instante y lugar la sombra de una señal de tráfico de 2’5 m de altura, mide 1’5
m, ¿Cuál es la altura del rascacielos?
3
B
El paralelismo de los rayos solares permite
aplicar a esta situación el teorema de
Thales:
AB DE AB 2.5
192 x 2.5

;

; AB 
 320
AC DF 192 1.5
1.5
E
2.5m
F
D
1.5m
A
192m
C
15. A un incendio producido en un hospital acude la unidad de bomberos con una
escalera de 32 m de longitud que consta de 80 peldaños distribuidos uniformemente. Al
apoyar la escalera sobre la fachada del edificio se observa que el primer peldaño se
encuentra a 30 cm del suelo.
a) ¿Qué altura del edificio alcanzará la escalera?
b) Si el fuego se halla en la quinta planta, y cada planta tiene 4’5 m de altura, ¿podrán
ser rescatados los enfermos que allí se encuentren?
c) Puesto que las llamas ascienden hacia arriba, ¿es posible con dicha escalera evacuar
las siete plantas de que consta el hospital?
a) El primer peldaño de la escalera está a 30 cm;
como los peldaños están igualmente espaciados
también lo estarán sus respectivas proyecciones
sobre la pared del edificio; luego la altura total que
alcanzará será: 30cm x 80 = 2400cm; o sea, 24 m.
7
6
5
b) La quinta planta estará a 5 x 4.5m = 22m. Como
la altura a la que llega es de 24 m, se pueden
rescatar a los enfermos.
4
c) La séptima planta está a 7 x 4.5m = 31.5m,
luego no se pueden evacuar todas las plantas.
2
3
1
30cm
4
TALLER MATEMÁTICO:
B
7. En la figura adjunta, el cuadrado
A'B'C'D' se ha obtenido girando el
cuadrado ABCD 45º alrededor del
punto O. (el segmento AB = A'B')
A´
a) ¿Cómo son los triángulos FBG,
GB'H, HCI, IC'J, JDK, ....?
b) Desmostrar que los puntos A, A', B,
B', C, C', D, D' están sobre una misma
circunferencia.
c) ¿Es regular el octógono EFGHIJKL?.
Justificar la respuesta.
d) ¿Cuántos ejes de simetría tiene esta
figura?
F
G
B´
H
E
A
O
C
I
L
D´
K
J
C´
D
a) Son triángulos rectángulos isósceles iguales. Si tomamos la longitud del lado del
cuadrado como unidad, la diagonal vale 2; según esto BD-AB = 2-1. Por tanto la
altura del triángulo BFG es (1/2)(2-1)
b) La distancia de dichos puntos al centro es siempre la mitad de la diagonal del
cuadrado; luego equidistan del centro.
c) La diferencia entre la diagonal y la lado (2 – 1) es igual a la distancia entre FG. Es
la misma en todos los lados del octógono; luego es un octógono regular.
d) Ocho ejes de simetría axial.
5
8. Una empresa ha diseñado un juego para niños que permite armar figuras como la del
dibujo a). Las piezas y sus medidas son las indicadas en b)
Por diversas razones, la empresa decide agrandar estas piezas con el siguiente criterio:
lo que mide 5 cm pasará a medir 8 cm; el resto de las medidas se deben ajustar a ese
criterio para mantener la proporción. Diseñar en cartulina las piezas del juego ya
ampliado. Analizar y comentar los procedimientos utilizados. ¿Cuál fue la pieza que
ofreció mayor (o menor) dificultad para rehacerla?
Bastará multiplicar cada medida por el factor de escala 8/5. De este modo, por ejemplo,
los rectángulos de medidas 10cm x 3cm pasarán a medir, 16cm x 4.8cm
6