Hasta donde las matemáticas nos lleven. 2.ª parte

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AUTORES CIENTÍFICO-TÉCNICOS Y ACADÉMICOS
Hasta donde las
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lleven. 2.ª parte
Víctor Arenzana Hernández
à
1. De las proporciones a los átomos
L
a física clásica suponía implícitamente que la materia era continua;
además, los métodos matemáticos que utilizaba para describir los
fenómenos físicos eran de las ecuaciones diferenciales, que involucraban funciones continuas. La hipótesis de que la materia estuviera formada por átomos apareció en la filosofía en autores como P. Gassendi1.
Algunos físicos, como el conde de Rumford (1753-1814), supusieron
que el aumento de temperatura que experimentaba un cuerpo por frotamiento se debía a que las partículas que lo integraban se movían con
mayor velocidad, pero nadie elaboró una teoría científica que tuviera en
cuenta la contribución de cada una de las partículas en el aumento de
la temperatura. Tener en cuenta la situación concreta de cada partícula
para resolver el problema resultaba difícil de abordar hasta para el
demonio de Laplace. A finales del siglo XVIII no se habían hecho experimentos que evidenciaran la naturaleza atómica de la materia. Además,
la física clásica seguía explicando todos los hechos observados.
Los primeros indicios cuantitativos de que la materia podía estar formada por átomos aparecieron en el campo de la química. J. Dalton (17661844) observó que siempre que se formaba agua reaccionaban dos partes
de hidrógeno y una de oxígeno; también comprobó que los pesos de los
elementos que intervenían en las reacciones guardaban también relaciones sencillas. Dalton formuló la hipótesis de que si los elementos que
intervenían en las reacciones químicas guardaban entre sí relaciones sen1 Pierre Gassendi (1592-1655) mantuvo un firme rechazo al aristotelismo e intentó
la reconciliación del atomismo mecanicista con la doctrina cristiana por medio de
un empirismo atomista inspirado en el pensamiento de Epicuro y Lucrecio.
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cillas de volumen o de peso se debía a que la materia
estaba formada por partículas pequeñas que se unían
entre sí en la misma proporción. Y, en el caso del agua,
siempre reaccionaban dos átomos de hidrógeno con uno
de oxígeno y esa proporción entre los átomos se trasladaba al volumen. Dalton expuso su teoría en 1803 y en
su obra Nuevo sistema de filosofía química (1808).
Jonh Dalton.
1.1. Avogadro dio el paso
La mayor parte de los químicos pensaban que la
teoría atómica de la materia era una hipótesis útil para
trabajar en el laboratorio e interpretar las reacciones
químicas, pero casi todos se negaban a admitir la teoría atómica como una realidad de la naturaleza. Esta
postura se debía, sin duda, al enorme prestigio científico y consistencia interna que tenía la física clásica. No
obstante, la idea de que la materia estuviera formada
por unas partículas pequeñísimas, que nadie había
podido observar, despertaba la imaginación de los químicos. J. L. Gay-Lussac (1778-1850) experimentó con
gases y observó, en primer lugar, lo que había comprobado Dalton: que las relaciones volumétricas en las
reacciones químicas guardaban entre sí razones tan
simples como, 1:2, 1:3, 2:3, etc., y después comprobó
que, una vez acabada la reacción, se producía una
reducción de volumen y que la relación entre el volumen de los gases componentes y del gas resultante era
un número entero. En 1811, A. Avogadro (1776-1856)
en Italia y A. M. Ampère (1775-1836) en Francia interpretaron la experiencia de Gay-Lussac en términos de
teoría atómica y formularon la idea de que los gases
contenían el mismo número de moléculas en volúmenes iguales, siempre que los volúmenes se midieran a
igual presión y temperatura. La audacia de la hipótesis
de Avogadro fue enorme, ya que partía de unas relaciones numéricas, tomadas a nivel macroscópico y
pasaba al mundo microscópico. Además, colocaba a la
química y a la física ante unos problemas nuevos. Los
físicos, que eran los que se encargaban del estudio de
30
los problemas relacionados con la materia y las ondas,
debían calcular cuántas moléculas había en un gas por
unidad de volumen, el tamaño de esas moléculas y la
velocidad con que se movían. La hipótesis relacionaba
la física con la química y con la naciente termodinámica. Un tema que interesaba a tantas ramas de la ciencia pronto fue estudiado.
Amedeo Avogrado.
1.2. La estadística en la ciencia
Para resolver los problemas que planteaba la
hipótesis de Avogadro los físicos añadieron a los procedimientos de la mecánica newtoniana unos métodos estadísticos que permitieron calcular las velocidades medias de las partículas que componían el gas,
los recorridos libres medios (espacio recorrido entre
dos choques consecutivos), etc.
Calcular el número de Avogadro fue una labor
colectiva de muchos científicos. Para calcular la velocidad media con la que se movían las moléculas se
podía usar una fórmula que tenía en cuenta que la
energía cinética de los gases era proporcional a la
temperatura absoluta del mismo, se obtuvo la velocidad media de las partículas con la fórmula:
Y se descubrió que, a temperatura ordinaria, las
moléculas se movían a una velocidad aproximada de
1.800 km/h.
J. C. Maxwell (1831- 1879) probó que el coeficiente de viscosidad de un gas se podía medir experimentalmente y, además, dicho coeficiente era η = ρ · ν · L,
con lo que, conociendo la velocidad media y el coeficiente de viscosidad se podía calcular el recorrido libre
medio L. Con L y la velocidad, se podía calcular el
tiempo medio entre dos choques sucesivos, que resul-
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tó ser de 10-10 segundos. Todos los resultados sobre
partículas se obtuvieron haciendo uso de la mecánica
de Newton y de la estadística, sorprendiendo la enorme velocidad con la que se movían las partículas y la
frecuencia de sus choques.
Rudolf Clausius (1822-1888) diseñó un modelo
matemático en el que suponía que las moléculas eran
esferas rígidas de diámetro D, que había n moléculas
por unidad de volumen y que cada una ellas tenía un
recorrido medio L, que era inversamente proporcional
al número de moléculas y a D2 y obtuvo la fórmula:
El recorrido libre medio, L, para un gas se podía
calcular previamente, pero ni n ni D eran conocidos.
Era necesario hallar una relación entre n y D para
calcular el número de moléculas y la idea genial se le
ocurrió en 1865, al físico austriaco J. J. Loschmidt
(1821-1895), que pensó que cuando un gas se licuaba
las moléculas debían estar en contacto unas con otras
como las canicas en un recipiente y el volumen total del
gas licuado será V = nD3. Teniendo en cuenta la simetría de los posibles empaquetamientos de las esferas,
llegó a la conclusión de que el diámetro de las moléculas debía ser del orden de D = 10-8 cm y de que el
número de moléculas n en un mol debía estar comprendido entre 1023 y 1024. Actualmente se estima el número de Avogadro en 6,028·1023.
En el estudio individual del comportamiento de
cada una de las partículas se suponía que ellas realizaban sus choques y desplazamientos según los principios de la mecánica newtoniana. El comportamiento
alocado, veloz y azaroso de las partículas gaseosas se
eliminaba con el tratamiento estadístico. De este modo
el conjunto de todas las partículas se comportaba
como un modelo determinista y, aunque la mecánica
estadística no permitía calcular el movimiento de cada
una de las partículas con la misma precisión que se
conocía el de los planetas, los físicos estaban convencidos de que si fuéramos capaces de plantear las ecuaciones adecuadas y las condiciones iniciales precisas,
el demonio de Laplace podría calcular la trayectoria
de una partícula cualquiera. Se había conseguido que
el azar no interviniera en ninguno de los conceptos
físicos que se manejaban para el estudio de colectividades atómicas, pero esta situación duró poco, porque
Bolzmann introdujo el concepto de entropía dependiendo de la probabilidad y, por lo tanto, del azar.
1.3. Una fórmula incómoda:
la entropía de Bolzmann
La física estadística había conseguido ocultar bajo
el manto de los valores medios el azar y las colisiones
caóticas del mundo atómico. Los promedios eran los
que tenían influencia en manifestaciones macroscópicas como la temperatura, pero en la termodinámica
apareció el concepto de entropía, que, en la formulación de Boltzmann, relacionaba el azar con las situaciones macroscópicas. Para hacerse cargo del alcance
de este concepto es interesante contextualizarlo con el
estado de la física en ese momento.
La entropía apareció reflexionando cómo se comportaba la energía. A mediados del siglo XIX se enunció
el principio de conservación de la energía que aseguraba que la energía total de un sistema cerrado se mantenía constante entre dos estados cualesquiera del sistema.
Pero el principio no decía nada sobre si el paso de un
estado a otro era igualmente posible en los dos sentidos.
La energía calorífica pasaba espontáneamente de los
cuerpos calientes a los fríos. Sin embargo, el paso de
calor de un cuerpo frío a otro caliente no es espontáneo.
R. Clausius (1822-1888) demostró en 1850 que para
que pasara calor de los cuerpos fríos a los calientes era
necesario introducir en el sistema un trabajo, por lo
menos igual al que produciría una máquina térmica en
el correspondiente proceso inverso. Esta ley se conoce
como segundo principio de la termodinámica.
Clausius había observado que en los cálculos que
había realizado para enunciar el segundo principio aparecía con frecuencia un cociente: la cantidad de calor
dividido por la temperatura absoluta. El cociente permanecía constante en los procesos reversibles y era positivo
en los procesos irreversibles. Y, como en la naturaleza
casi ningún proceso es reversible, concluyó que en la
naturaleza la entropía debía aumentar continuamente.
Pronto se extrapolaron las consecuencias de este sentido unidireccional de la energía que abocaba al universo a una situación en la cual la única energía disponible
sería la energía calorífica, mientras que las otras energías,
ya fueran mecánica, eléctrica o de cualquier otro tipo, se
acabarían degradando y el universo se convertiría en un
lugar frío e inmóvil, con una temperatura constante próxima al cero absoluto. Era la muerte térmica2.
2
Desde el punto de vista físico, la entropía sólo señalaba una medida de la degradación de la energía. Pero los argumentos de algunos físicos como W. Thomson (1824-1907) (Lord Kelvin) provocaron encendidos debates, que salieron del dominio de la física y llegaron al terreno de las creencias, ya que fueron muchos los que vieron en la muerte térmica el fin del mundo anunciado por el Apocalipsis en algunas religiones.
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En el siglo XIX la mayor parte de los físicos pensaban que el calor era un flujo continuo de energía
y no tenían en cuenta que el calor se producía por
un aumento de la energía cinética de las partículas
del cuerpo. Pocos físicos creían que los átomos
tuvieran una existencia real y la mayor parte eran
partidarios de una termodinámica general macroscópica. L. Boltzmann (1844-1906) creía en la naturaleza atómica de la materia y, en 1866, abordó el
problema de la entropía desde un punto de vista
diferente al de Clausius. Aplicó la teoría de probabilidades para definirla.
Ludwig Boltzmann.
Boltzmann pensó que a cada estado de un sistema cerrado de partículas le debía corresponder una
entropía. Como en un sistema de partículas cerrado
la energía total era constante, pensó que el sistema
quedaría en equilibrio cuando la entropía fuera máxima. Boltzmann asoció una probabilidad, W, a cada
estado del sistema de partículas y probó que a un
estado de mayor entropía le correspondía mayor probabilidad y definió la entropía de cada estado
macroscópico del sistema en función de la probabilidad de que el sistema alcance ese estado. Y obtuvo la
fórmula:
S = k · ln (W)
Donde S es la entropía, k la constante de Boltzman.
El resultado de Boltzman indicaba que cuanto
mayor fuera la probabilidad de un estado particular
del sistema de partículas, mayor debía ser su entropía. Por consiguiente, la ecuación de Boltzmann
aseguraba que en la naturaleza se producían con
mayor frecuencia los estados que tienen mayor
entropía.
3
à
2. El comienzo del siglo XX
2.1. Introducción
En el siglo XIX se descubrió la naturaleza atómica
de la materia y en el siglo siguiente los físicos estudiaron la estructura de la materia y las investigaciones
llevarían a la física a un terreno en el cual las leyes de
la física clásica se mostraban inoperantes y en el que,
de nuevo las matemáticas, volverían a jugar un papel
esencial en su desarrollo, ya que se convirtieron en la
herramienta fundamental para interpretar los fenómenos físicos que se producían en el interior de los
átomos. A principios del siglo XX los físicos comprobaron, por una parte, que los métodos de la física clásica no eran aplicables al mundo atómico, ya que
tenía naturaleza discontinua y no era posible aplicarle los métodos matemáticos de la física clásica, y tampoco se podían utilizar las fórmulas de la física clásica
para estudiar el cosmos ya que a sus leyes había que
hacerles la corrección relativista en un espacio curvo.
2.2. Los átomos muestran
una imagen luminosa
Cuando Newton realizó el experimento que
demostraba que la luz, cuando atravesaba un prisma
óptico, se descomponía en los colores del arco iris,
observó el primer espectro que registra la ciencia. El
experimento de Newton sirvió para comprobar que la
luz solar se componía de radiaciones de frecuencias
diferentes3, pero no dio lugar a la espectrografía. Ésta
apareció en 1814 cuando J. Fraunhofer (1787-1826)
observó el espectro de la luz solar a través del telescopio de un teodolito y advirtió que el espectro estaba
atravesado verticalmente por muchas líneas oscuras.
Fraunhofer observó, además, la luz solar para diferentes posiciones del Sol y del telescopio y comprobó
que las líneas permanecían fijas, concluyendo que las
líneas eran producidas por la propia fuente de luz y
que quizás sólo marcaran la separación de un matiz
de color a otro.
Los físicos W. Bunsen (1811-1899) y G. Kirchhooff (1824-1887) dieron la explicación correcta del
misterio de las rayas de los espectros de Fraunhofer.
Bunsen estudió la luz de diferentes llamas a las que
coloreaba quemando en ellas polvos de un elemento
El lenguaje que estamos utilizando es pensando como lo hacemos en la actualidad, porque Newton en la luz no veía ondas, sino
corpúsculos luminosos.
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longitud de onda que emitían y se producían líneas
oscuras en el espectro continuo.
En 1859 Kirchhooff presentó sus conclusiones en
la Academia de Berlín, donde explicaba que las líneas
negras se producían porque el Sol generaba una luz
que, de no tener interferencias, debía producir un
espectro continuo, pero, debido a las elevadas temperaturas de la atmósfera solar, un elemento metálico
que se encuentre en ella arderá y emitirá una llama
que absorberá el color correspondiente del espectro
continuo y, en el lugar correspondiente del espectro,
se producirá un línea negra5.
Sello de correos conmemorativo del bicentenario
del nacimiento de Josehp von Fraunhofer.
químico. Quería lograr un método seguro para identificar los elementos químicos por el espectro que
daba su llama al arder4. Observó los colores de las llamas de los elementos a través de prismas y obtuvo la
conclusión de que los colores que emitían los metales
no dependían de la temperatura de la llama ni del
elemento con el que estuviera compuesto el metal y,
además, que los colores producidos por un elemento
al arder aparecían aunque el elemento estuviera presente en una cantidad pequeña. Bunsen logró identificar los elementos químicos por su espectro y, a
comienzos de los sesenta, descubrió dos nuevos elementos químicos por espectroscopia: el rubidio y el
cesio.
El análisis de los espectros fue completado por
Kirchhooff, que consiguió reproducir en el laboratorio
las líneas de Fraunhofer. El experimento consistía en
encender una llama que producía un espectro continuo en el que estaban todos los colores. Entre la
llama y el espectro continuo colocó una lámpara que
quemaba sales de sodio, que al encenderla emitía la
doble raya amarilla que caracteriza al sodio. Cuando
encendió la lámpara que producía espectro continuo,
las líneas amarillas de su espectro se transformaron
en líneas negras iguales a las del espectro solar. Luego
cambió las sales de sodio por sales de litio y la línea
roja del litio del espectro continuo se volvía negra. La
conclusión fue que las llamas de los diferentes elementos que se interponían a las llamas que producían
un espectro continuo absorbían los rayos de la misma
Las investigaciones de Kirchhoff abrieron dos líneas
de investigación. La primera en la astrofísica, que
permitía estudiar la composición física del Sol y las
estrellas analizando los espectros de la luz que emitían6, y la segunda línea se abrió al estudiar la energía de la radiación de los cuerpos incandescentes,
que desembocaría en las investigaciones de Planck y
en la mecánica cuántica.
2.3. El estudio de las radiaciones
Todos los cuerpos calientes emiten una radiación
que depende de la naturaleza del cuerpo y de su temperatura. Un radiador de calefacción a 80 ºC emite
una radiación que no vemos, pero que percibimos
por el calor que sentimos al acercarnos. A medida
que un cuerpo aumenta su temperatura aparecen las
radiaciones visibles. Cuando un metal se calienta un
poco primero emite calor; hacia los 600 ºC aparece
una luz roja débil, que es una radiación visible. Si se
aumenta la temperatura el espectro luminoso se
amplía y aparecen ondas más cortas; a 1000 ºC aparece el amarillo; a 1600 ºC aparece el último color del
espectro cromático, el color violeta. Entonces el cuerpo da una luz blanca porque ya emite todas las ondas
visibles. A temperaturas más altas el cuerpo sigue
emitiendo más radiaciones, conocidas como ultravioletas y no son visibles.
En 1879 J. Stefan (1835-1893) obtuvo experimentalmente una fórmula para la radiación total de
un cuerpo; la energía emitida era proporcional a la
cuarta potencia de la temperatura absoluta. Este
4 Era importante disponer de una llama sin impurezas que alteraran el espectro de los elementos que iba a quemar con la llama y sus-
tituyó los mecheros de alcohol cuya llama daba impurezas producidas por la mecha al arder, por otros mecheros de gas del alumbrado e inventó lo que hoy se conoce como mechero Bunsen, que forma parte del inventario de todos los laboratorios de química.
5 El espectro continuo o de cuerpo negro es el que emite cualquier objeto incandescente que emite radiaciones que dependen de la
temperatura y no del cuerpo. Se caracteriza por ser una emisión ininterrumpida de longitudes de onda.
6 Los descubrimientos de Kirchhoff provocaron el asombro de muchos filósofos positivistas, a los que les parecía muy atrevida la idea
de poder hacer un análisis químico de los elementos de la atmósfera solar sin tomar muestras. Muchos filósofos tomaron las afirmaciones de Kirchhoff, tales como que hubiera sodio en el Sol, como algo fantasioso, pero los espectros solares así lo aseguraban.
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hecho fue demostrado por Boltzmann pocos años
después dentro de la termodinámica y se conoce
como la ley de Stefan-Boltzmann.
Gráfico en el que se observa que para diferentes
temperaturas la radiación de mayor energía o de
menor longitud de onda se desplaza hacia el azul.
Muchos físicos estudiaron las radiaciones y obtuvieron algunas leyes experimentales importantes.
Habían observado que, a medida que se elevaba la
temperatura de un cuerpo, la longitud de onda de la
radiación más intensa se desplazaba hacia el azul del
espectro, es decir, hacia las longitudes de onda más
bajas. En 1896 Wilhelm Wien (1864-1928) formuló
una ley empírica que cuantificaba ese comportamiento: la longitud de onda de la intensidad de radiación
máxima era inversamente proporcional a la temperatura absoluta del cuerpo que la emitía.
Tλmax = 0,29 cm · grado
Por lo tanto, cuanto más caliente esté el cuerpo más
corta es la longitud de onda o mayor su frecuencia7.
2.4. La catástrofe ultravioleta
El físico británico J. Jeans (1877-1946) estudió la
energía de una radiación y trató de cuantificar qué
parte de energía aportaba cada una de las frecuencias
que emitía el cuerpo radiante. Con esta idea se planteó un experimento mental8 en el cual aplicó los mismos argumentos que utilizaba la física estadística para
calcular la distribución de la energía entre las partículas de un gas al estudio de la distribución de energía
entre las ondas encerradas en un cubo encerrado. El
experimento anunciaba que la energía de las ondas
encerradas en un cubo aumentaría indefinidamente
produciéndose al abrir el cubo una gran emisión de
energía que haría desaparecer todo lo que estuviera a
7
su alrededor, era lo que se conoció como catástrofe
ultravioleta.
Jeans imaginó ondas de luz ordinaria reflejándose
en las paredes de un cubo cerrado, en el cual suponía
que las paredes reflejaban íntegramente cualquier
radiación y que las ondas intercambiaban energía
mediante pequeñas partículas de carbón que había
en él. Considerando solamente las ondas horizontales, con un razonamiento análogo al de la cuerda
vibrante, las reflexiones entre las paredes del cubo
darían infinitas longitudes de onda cada vez más
pequeñas para las que no existiría límite inferior. La
luz visible que había entrado en el cubo se habría ido
transformando en radiaciones de longitud de onda
cada vez menor hasta llegar a cero. Por lo tanto, después de unas horas, la luz blanca que había entrado
en el cubo se convertiría, casi íntegramente en rayos
ultravioleta, rayos X, rayos gamma, y otras radiaciones de altas frecuencias. Dentro del cubo habría unas
pocas ondas de longitud de onda larga e infinitas
ondas de longitud de onda corta. Por lo tanto, toda la
energía estará repartida entre las ondas de longitud
de onda corta (de altas frecuencias). Al abrir un orificio en el cubo saldría una radiación de frecuencias
tan altas que acabaría con la vida de los que estuvieran cerca. Esto sería la catástrofe ultravioleta, pero
como no sucede realmente, quiere decir que los argumentos son falsos.
El experimento mental de Jeans mostraba la contradicción entre la teoría y la experiencia. Sus argumentos eran los habituales de la física estadística, sin
embargo las conclusiones eran falsas. Parecía que el
problema estaba en que las longitudes de onda podían dividirse indefinidamente y tomar cualquier
valor por pequeño que fuera y se llegaba a un número infinito de ondas a temperatura infinita. Los físicos
comenzaron a sospechar que si la catástrofe ultravio-
La ley de Wien fue una fórmula muy útil para calcular la temperatura de una estrella, sin más que hallar la longitud de onda para
la cual la intensidad de la radiación fuera máxima.
8 Un experimento mental es un experimento que no se realiza en la práctica, pero en el cual los puntos de partida y las argumentaciones están de acuerdo con una determinada teoría.
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leta no se producía lo que pasaba era que las longitudes de ondas no podían disminuir indefinidamente.
2.5. Otra vez las matemáticas.
Planck y su ajuste
La solución teórica a la catástrofe ultravioleta la
dio en 1900 el físico alemán M. Planck (1858-1947)9,
que concluyó que la catástrofe ultravioleta anunciada
por Jeans no se podía producir debido a que la luz y
las demás radiaciones electromagnéticas no podían
tomar cualquier longitud de onda, debido a que las
ondas transmitían la energía en paquetes individuales
con cantidades bien definidas. La prueba de Planck
no fue un experimento mental, sino una respuesta de
acuerdo con la teoría y los métodos de la física de la
radiación, que se basaba fundamentalmente en la ley
de Stefan-Boltzmann, la ley de Wien, la entropía y la
conservación de la energía.
El proceso comenzó cuando algunos físicos
comenzaron a estudiar la energía de una radiación
tratando de determinar qué porción de energía aportaba cada una de las frecuencias que emitía el cuerpo
radiante. En 1896 W. Wien publicó un trabajo en el
que obtuvo la distribución de la energía en la radiación de cuerpo negro, es decir, la energía según la frecuencia de la radiación y de su temperatura.
La ley de Wien fue sometida a prueba y pronto se
confirmó que era válida para las frecuencias de la luz
visible y la que emiten los cuerpos calentados hasta
4.000 ºC, pero para frecuencias bajas y muy bajas,
había grandes diferencias entre los resultados experimentales y los previstos por la ley.
En junio de 1900 apareció un trabajo del físico
inglés lord Rayleigh (1842-1919) en el que publicaba
una ley que coincidía con los datos experimentales
para frecuencias bajas y muy bajas
Es decir, que era válida donde fallaba la ley de
Wien. Pero pronto se comprobó que la ley de Rayleigh-Jeans no era válida en zonas en que lo era la ley
de Wien.
En octubre de 1900 la Academia de Ciencias de
Berlín había convocado una reunión en la que
Rubens y Kurlbaum presentaron un informe a Planck
sobre lo que iban a presentar en la reunión, que era
una descripción de sus experimentos en los que
demostraban de forma irrefutable que la distribución
de Wien no era válida para bajas frecuencias.
Planck presentó en una reunión de la Academia
de Berlín una fórmula que reunía las virtudes de las
dos fórmulas, esto es, para bajas frecuencias coincidía
con la de Rayleigh-Jeans y para altas con la de Wien.
Max Planck (izda.) con Albert Einstein.
Para obtener la fórmula calculó la entropía de la
radiación suponiendo válida la ley de Wien y luego
calculó la entropía considerando cierta la distribución
de Rayleigh-Jeans. Las dos expresiones de la entropía eran diferentes, pero para dar una expresión
común realizó una interpolación entre las dos expresiones matemáticas para lo que fue necesario realizar
una cuantización de la energía. La ley de Planck era:
La cual coincidía asintóticamente con ley de Rayleigh-Jeans cuando f se acercaba a cero y con la de
Wien cuando f tendía a infinito.
Planck, cuando presentó la fórmula en la sesión
de la Academia, pensó que no tenía ninguna justificación teórica, aunque era correcta. Pero la idea de que
la energía, al igual que la materia, estaba cuantificada fue calando entre los físicos. Planck había evitado
las contradicciones de la teoría clásica de la radiación
introduciendo la idea de que la materia emite energía
por quanta o paquetes iguales a hf, siendo f la frecuencia emitida y h una nueva constante universal.
E = h f , donde h = 6,62 · 10-34 J·s
9
Había sucedido a Kirchhoff en la cátedra de Berlín y conocía todas las vicisitudes teóricas y experimentales por las que había pasado el estudio de las radiaciones de los cuerpos incandescentes.
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La hipótesis de Planck implicaba que la materia
intercambia energía en cantidades finitas.
Para hacer que las ecuaciones matemáticas respondieran a los hechos fue preciso suponer que cada
radiación estaba compuesta de pequeñas unidades o
cuantos, igual que la materia estaba formada por átomos. La fórmula de Planck imponía que la radiación
absorbida tenía que ser de un número entero de
cuantos. Además había que admitir que los cuantos
tenían una cantidad de energía que dependía de la
frecuencia de la radiación. A mayor frecuencia,
mayor sería la energía del cuanto.
Igual que le había ocurrido a la materia a comienzos del XIX, que pasó de ser considerada continua a
descubrirse su naturaleza atómica, a principios del
siglo XX, la radiación de la materia, esto es, la energía, mostró su carácter discontinuo.
2.6. El primer éxito de los cuantos:
el efecto fotoeléctrico
La teoría electromagnética de Maxwell aseguraba
que la luz era una onda y que, por lo tanto, no transportaba materia. Hertz descubrió en 1887, que cuando se iluminaba la superficie de un metal con luz
ultravioleta u otras radiaciones de mayor frecuencia
emitía electrones o, lo que es igual, se descargaba.
Dos años más tarde W. Hallwachs (1859-1922) comprobó que, iluminando una placa metálica cargada
negativamente con luz ultravioleta, la carga de la
misma desaparecía hasta quedar cargada positivamente y que la placa emitía electrones.
Estudiando el fenómeno se observó que cada
metal tenía una frecuencia por debajo de la cual una
placa de ese metal no emitía electrones; a esa frecuencia se le llamó umbral fotoeléctrico. También se
observó que las partículas emitidas siempre eran electrones, con independencia del metal iluminado, y que
la velocidad de salida de los mismos era proporcional
a la frecuencia de la radiación e independiente de
intensidad de la misma10.
Einstein dio la explicación del fenómeno utilizando los cuantos de Planck y suponiendo que la luz está
formada por cuantos de energía o fotones, cuyas
energías dependían de sus frecuencias respectivas.
Y dio la explicación siguiente: cuando un electrón
capta un fotón con suficiente energía provoca un
10 La
aumento de energía en el electrón, la cual hará que
rompa las ataduras que le unen al átomo y salga del
mismo, pudiendo incluso saltar de la placa metálica
con cierta velocidad.
Cuando el fotón llega a la placa metálica con una
energía h · f parte de esa energía se emplea en romper el umbral fotoeléctrico h · f0 y el resto de energía
es la que hace saltar al electrón fuera del átomo y de
la chapa metálica.
La explicación que dio Einstein al efecto fotoeléctrico se basaba en la hipótesis de Planck, ya que suponía
que la radiación electromagnética se propagaba por el
espacio en paquetes de energía, que Einstein llamó
fotones. La suposición llevaba consigo aceptar que la
luz tenía una doble naturaleza: era onda, por su comportamiento en la difracción, y actuaba como partícula al propagarse en el espacio en paquetes de energía,
capaces de arrancar electrones de materia.
2.7. La época en la que los átomos se
estudiaban con la física clásica
2.7.1. La estructura del átomo
Los físicos habían observado radiaciones que
salían de la materia que estaban cargadas eléctricamente, mientras que los átomos que formaban la
materia eran neutros, por eso pensaban que los átomos tenían que estar formados por cargas negativas
neutralizadas por cargas positivas. Desde que en
1897 J.J. Thomson (1856-1940) descubrió el electrón comenzaron a aventurarse diferentes hipótesis
sobre la estructura interna de los átomos.
Thomson se imaginó el átomo como una gran
masa positiva neutralizada por cargas eléctricas negativas de masa pequeña y propuso un modelo de
átomo en el que las cargas negativas estaban distribuidas dentro del átomo como las pasas en un pastel
o las semillas en una sandía. El modelo de Thomson
explicaba que la materia soltara electrones, debido a
que los electrones estaban sometidos a dos fuerzas,
una atractiva que impulsaba al electrón hacia el centro de la masa cargada positivamente y otra repulsiva, resultado de la interacción de los electrones entre
sí. Pero el modelo de Thomson no resistió la prueba
experimental a la que lo sometió Rutherford.
teoría ondulatoria no explicaba el efecto fotoeléctrico; en ella la energía de una onda era proporcional al cuadrado de la amplitud
de la misma e independiente de su frecuencia. Pero el efecto fotoeléctrico dependía de la frecuencia porque existía el umbral fotoeléctrico. La intensidad luminosa influía en el número de electrones emitidos, pero no en su velocidad, que dependía sólo de la frecuencia.
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Modelo atómico de Joseph J. Thomson.
E. Rutherford (1871-1937) había recibido el premio Nobel de Química en 1908 por sus trabajos sobre
la radiactividad. Su conocimiento de las emisiones
radiactivas le sirvió para descubrir la estructura interna del átomo, ya que pudo hacer una adaptación del
experimento que había hecho Ph. Lenard (1862-1947)
en 1900. Lenard había estudiado la debilitación de
un haz de electrones antes y después de atravesar
una placa metálica delgada y observó que el flujo del
haz casi no variaba de un lado a otro de la placa. La
conclusión de Lenard fue que el espacio ocupado por
un cuerpo sólido, macizo y de apariencia impenetrable estaba casi hueco y que por ellos pasaban casi
todos los electrones de los rayos catódicos11.
Partículas
alfa
Representación del experimento de Rutherford;
los círculos representan los átomos y los centros
de los círculos los núcleos
Rutherford adaptó experimento de Lenard para
obtener información sobre la estructura del átomo
bombardeando una placa de metal con partículas
alfa12. Cuando irradió una capa fina de oro con partículas alfa descubrió que la mayor parte de ellas atravesaba la placa; sólo, de vez en cuando, una partícula se desviaba de su trayectoria natural o retrocedía.
Estas desviaciones no las podía explicar con el modelo atómico de Thomson, ya que, según sus cálculos,
con un átomo de ese tipo se obtendrían desviaciones
de pocos grados. Rutherford pensó que le parecía
más posible que los átomos estuvieran formados por
una pequeña masa con carga positiva situada en el
centro, que es la que produciría las desviaciones de
las partículas alfa cuando atravesaban el metal y alrededor los electrones13.
En 1911 Ernest Rutherford presentó un modelo
de átomo en cuyo centro debía haber un núcleo con
toda la carga positiva y casi toda la masa del átomo y
a su alrededor girarían los electrones. Era como un
sistema planetario en el que el núcleo era el Sol y los
electrones los planetas. En lo que se refiere a proporciones podemos imaginar el átomo como un núcleo
del tamaño de una canica y a varios cientos de
metros girando a su alrededor unas cabezas de alfiler
que serían los electrones.
La representación atómica de Rutherford fue la
última tentativa de describir el mundo microscópico
con ideas intuitivas, es decir, mediante representaciones mecánicas tal y como lo concebía lord Kelvin. A
partir de 1911 la ciencia no ofreció más imágenes
intuitivas del átomo y lo que sucedía dentro de él tendría que ser imaginado analizando las soluciones de
las ecuaciones matemáticas.
à
3. La insuficiencia de la física
clásica: el átomo de Bohr
La representación del átomo de Rutherford era
muy gráfica, pero necesitaba explicar una contradicción que tenía con las leyes del electromagnetismo y
era que toda carga en movimiento debía producir
una onda electromagnética y, por lo tanto, el electrón
debía ir perdiendo energía progresivamente y se iría
acercando al núcleo hasta caer en él. Como la teoría
11
Lenard decía, para poner de manifiesto la cantidad de espacio vacío que había en los cuerpos, que en un metro cúbico de hierro,
la materia totalmente impenetrable no superaría un milímetro cúbico, el resto sería el vacío que anunció Demócrito.
12 Rutherford esperaba tener mejores resultados que Lenard porque las partículas alfa son núcleos de helio, con carga positiva y una
masa siete mil veces mayor que la del electrón.
13 Los cálculos de Rutherford lo llevaron a concluir que el radio del núcleo sería de 10-12 cm aproximadamente. Lo ratificaba el inmenso vacío del interior de un átomo cuyo diámetro era de 10-8 cm.
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de Maxwell estaba fuera de toda duda, el fallo debía
estar en el modelo de átomo. Cuando Rutherford presentó el modelo atómico estaba estudiando con él un
joven físico danés llamado Niels Bohr (1885-1962)
que se dio cuenta de la inestabilidad del modelo y se
dedicó a buscar las condiciones que debían cumplir los
electrones dentro del átomo para que fuera estable.
La explicación que hacía Bohr del espectro era
sencilla y elegante y explicaba la radiación, ya que,
como todos los átomos de un mismo elemento son
iguales entre sí, los electrones están en ellos en el
mismo estado. Por lo tanto, cuando los electrones
pasan de una órbita a otra los fotones emitidos son
iguales y dan lugar a una sola raya espectral.
Bohr aceptaba la validez de las conclusiones de
los experimentos de Rutherford y pensaba que el
modelo atómico del neozelandés era correcto en lo
que se refería a la estructura del átomo, pero enfocó
el problema desde un punto de vista diferente y
pensó que a la luz de los experimentos, las leyes físicas que gobernaban el mundo atómico tenían que ser
diferentes de las de la física clásica.
El modelo atómico de Bohr era claro y explicaba
los fenómenos observados, pero creaba un desajuste
teórico, ya que mezclaba la teoría clásica de la radiación, que no se consideraba válida para explicar las
interioridades del átomo, y la física cuántica. Para
Bohr, mientras los electrones estaban en sus órbitas
seguían las leyes de Newton, sin generar campo electromagnético, pero cuando cambiaban de órbita
seguían las leyes cuánticas de Planck. Había que buscar una teoría física nueva que aportara el fundamento físico de la prohibición de emisión de energía por el
electrón mientras permanecía en la órbita.
Las propuestas que hizo le parecieron al propio
Bohr tan singulares y revolucionarias que las tuvo casi
dos años guardadas en el cajón de su mesa sin atreverse a publicarlas hasta 1912. Las leyes atómicas
que propuso se conocen como postulados de Bohr y
decían lo siguiente:
Sólo hay algunas órbitas permitidas para los electrones y la selección de las órbitas la hacen de acuerdo con unas leyes. Mientras los electrones giran en las
órbitas se encuentran en un estado estacionario y no
emiten radiación. Sólo cuando el electrón salte de
una órbita a otra de energía menor emitirá un cuanto de energía, el mismo cuanto de energía luminosa
de Planck.
Este cuanto de luz corresponde a una raya del
espectro. Midiendo la posición de la raya se puede
conocer la frecuencia y, por la relación de Planck
entre la frecuencia y la energía, la diferencia de energía de las dos órbitas:
3.1. Las limitaciones del
modelo de Bohr
Los tres postulados explicaban los espectros, pero
resultaban insuficientes para calcular los estados estacionarios de los átomos con varios electrones, por lo
que fue preciso añadir otro principio, el de existencia
y permanencia de los números cuánticos en los electrones para dar coherencia a la teoría. Tampoco
podían integrarse en la teoría de Bohr otras visiones
del átomo como, por ejemplo, el carácter ondulatorio
del electrón.
La teoría atómica de Bohr corría el peligro de
convertirse en una lista de hipótesis ad hoc para explicar los fenómenos observados. No obstante, en la
escuela de Copenhague de Bohr estaban convencidos de la certeza de sus suposiciones y sólo esperaban que sus principios aislados estuvieran unidos en
el marco de una teoría coherente. La base teórica
matemática de los postulados de Bohr vino de dos
escuelas distintas y desde dos teorías matemáticas
diferentes, que luego resultaron ser equivalentes. Los
dos enfoques para explicar la naturaleza atómica de
la materia están representados por W. Heisenberg
(1901-1976) e E. Schrödinger (1887-1961).
3.2. La búsqueda de las leyes
de la estructura atómica
Niels Bohr
38
En 1923 el físico L. de Broglie (1892-1987) formuló la hipótesis de que debían existir ondas de
materia que acompañaban a las partículas en su
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movimiento. Es decir, que todas las partículas debían
tener una naturaleza parecida a los fotones, que eran
a la vez partículas y ondas. Esta audaz suposición
acabaría proporcionando una teoría del comportamiento del átomo. Las ondas de materia de Broglie
debían aparecer cuando se movía cualquier objeto
material, ya fuera una piedra, una partícula de polvo
o un electrón14. Pero, ¿por qué nadie había detectado las ondas de materia? La respuesta es que la longitud de onda de las ondas de materia es muy pequeña y los físicos con sus aparatos sólo pueden detectar
ondas hasta una longitud del orden de 10-9 cm con
un contador Geiger.
De Broglie descubrió que la fórmula matemática
que relacionaba las ondas de materia con la masa de
una partícula con su velocidad era:
Donde λ era la longitud de la onda, m la masa del
cuerpo, v su velocidad y h la constante de Planck15.
Se puede calcular que la longitud de onda de la onda
que acompaña al movimiento de la Tierra es de
3,6·10-61 cm16. Sin embargo, la longitud de onda de
la onda de materia que acompaña a un electrón es de
10-7 cm, que es una longitud de onda del orden de los
rayos X; por lo tanto, la onda de materia asociada a
un electrón se podía medir.
En la naturaleza del electrón había algo que no
cuadraba. Thomson había detectado el electrón como
una partícula en la cámara de niebla, Milikan había
medido su carga en 1909, Rutherford había descrito el
átomo como un sistema planetario en el cual los electrones eran masas puntuales y Bohr había aceptado
que los electrones eran partículas. ¿Qué era esa onda
de materia que acompañaba al electrón, que nadie
había visto y que una especulación matemática realizada por De Broglie con los cuantos de Planck, decía
que podía existir? Enseguida hubo físicos que se dedicaron a diseñar experimentos en los que el electrón
pudiera manifestarse como onda y pensaron en el
fenómeno de la difracción, que era característico de
las ondas. Si se descubría que los electrones se difractaban, se podría asegurar que, o bien los electrones
eran ondas, o tenían una onda asociada.
Max Born (1882-1970) estaba convencido que si
se demostraba que los electrones se difractaban los anillos de difracción que se obtuvieran serían la prueba de
la existencia de las ondas de De Broglie. Pero, además,
adelantó que la onda electrónica proporcionaba más
información, representaba la probabilidad de que el
electrón incidiera en un punto dado de la placa fotográfica en la que se habían formado los anillos17.
3.2.1. Las matemáticas se adelantan a la
comprobación experimental
La culminación de las ideas de De Broglie llegó de
la mano de E. Schrödinger (1887-1961), que, aunque desde 1905 estuvo trabajando en la teoría de la
relatividad y parecía que se encaminaba a trabajar en
ella, su inmensa curiosidad intelectual lo llevó a estudiar los temas más variados18. En 1921 comenzó a
interesarse por la mecánica cuántica y abandonó las
investigaciones sobre relatividad. Cuando L. de Broglie publicó su hipótesis sobre la doble naturaleza corpúsculo-onda de las partículas atómicas, Schrödinger
comenzó a estudiar el tema y en 1925 le escribió a
Einstein diciéndole que estaba interesado por las
expectativas abiertas por las investigaciones de De
Broglie. Debemos recordar que la doble naturaleza
partícula–onda, solamente se había observado en
los fotones y había sido puesta de manifiesto por
Einstein.
El modelo atómico de Bohr postulaba que el electrón tenía estados estacionarios en los que no emitía
energía. ¿No se corresponderían los estados estacionarios de Bohr con las ondas estacionarias de las
ondas de De Broglie?19. El punto de partida de
Schrödinger fue suponer que las partículas atómicas
eran ondas. Su método consistió en imponerle a la
14
15
16
Para la descripción física de las ondas de materia ver Ridnik, V. (1978) Leyes del mundo atómico, Ed. Mir, Moscú.
Las longitudes de onda de las ondas de materia debían ser muy pequeñas, porque h es 6,6·10-27 erg/s.
Esta longitud es mucho menor que el tamaño de un átomo y no se puede esperar que ningún aparato de medida, ni ahora ni en
el futuro, pueda llegar a detectarla.
17 Los impactos de los electrones en la placa responden a los resultados de un tirador; los impactos de éste estarían concentrados en
el centro y más dispersos a medida que nos alejamos de él, mientras que los impactos de los electrones son aros, los clásicos anillos
de difracción.
18 En 1918 conoció a Schopenhauer y se sintió muy inclinado por la filosofía. Precisamente cuando todos los padres de la nueva física estaban dedicados a ella en cuerpo y alma, Schrödinger se hacía preguntas filosóficas sobre la relación de la física con la filosofía
y la visión del mundo.
19 Cuando Schrödinger dedujo su ecuación en 1926 ya conocía los resultados de Heisenberg y pensaba que eran muy dificultosos,
porque las matemáticas que utilizaba no eran las de la física clásica y, además, no hacían ninguna referencia a la realidad física.
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ecuación de una onda las propiedades dinámicas de
las partículas y encontrar una ecuación diferencial
que tuviera como solución esa onda.
Como la partícula tiene la energía constante
podemos decir que se encuentra en estado estacionario, el estado en el que Bohr decía que debían estar
los electrones en las órbitas. Como el estado del sistema no varía con el tiempo, su función de onda, que
es la que describe el estado del sistema, tampoco
variará con el tiempo. Además, como la energía es
constante y dentro de la caja la partícula solo tiene
energía cinética, el valor absoluto del momento p es
también constante. Esta situación puede ser descrita
por una función seno que dependa de x. Por lo tanto,
podemos escribirla como:
Ψ(x) = A sen kx, donde
mina número de onda.
Erwin Schrödinger.
La solución de la ecuación de Schrödinger Ψ(x,t)
se llama función de estado o función de onda y contiene toda la información del sistema que es posible
calcular. Además, la función es continua, con derivadas continuas, de cuadrado integrable, es decir, que
cumple todas las condiciones que deben verificar las
funciones útiles de la física clásica. La función de
onda era una función matemática que proporcionaba toda la información sobre el sistema y se podían
calcular con ella propiedades del mismo.
Para comprender la relación que tiene la ecuación de Schrödinger con los postulados de Bohr y la
cuantificación de la energía se puede imaginar una
caja cerrada (que supondremos unidimensional) en
la que una partícula se mueve libremente a velocidad
constante. En esta situación la energía y el valor
absoluto de su cantidad de movimiento, p, serán
constantes. Dentro de la caja, la partícula se mueve
libremente, no está sujeta a ningún potencial, por lo
que su energía potencial es cero. Sin embargo, en los
puntos de x = 0 y x = L, es decir en las paredes rígidas, el potencial se hace infinito para que la partícula no pueda salir de la caja.
La partícula se mueve entre 0≤ x ≤ L y, como la
partícula no puede salir de la caja, fuera de ella se
cumple que Ψ(x) = 0, ya que Ψ(x)2 da la probabilidad de encontrar la partícula en un punto x. Como
Ψ(x) tiene que ser continua debe cumplir las condiciones de contorno en x = 0 y x = L, esto es, Ψ(0) = 0 y
Ψ(L) = 0.
40
; a k se le deno-
Imponiendo las condiciones de contorno Ψ(0) = 0
y Ψ(L) = 0,
Ψ(L) = 0 = A sen kL, lo que implica que kL=nπ,
n siendo un número entero.
La condición de contorno impone que:
y la longitud de onda λ será:
con n = 1, 2, 3...
Por la hipótesis de De Broglie:
para n = 1, 2, 3...
como
, entonces
n = 1, 2, 3...
Las energías E que se deducen de las función de
onda de Schrödinger solo toman valores para n = 1,
2, 3..., que son las únicas energías permitidas para la
partícula en una caja. La energía del sistema de una
partícula en una caja está por lo tanto cuantizada si le
aplicamos a una onda las condiciones cuánticas.
Si se estudia la caja de potencial para una partícula subatómica usando la mecánica clásica o la mecánica cuántica hay diferencias notables. En primer
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3.2.2. El triunfo del cálculo:
Werner Heisenberg
Orbitales según la mecánica ondulatoria.
lugar, la probabilidad de que una partícula se encuentre en un lugar de la caja según la mecánica cuántica
depende del punto y en la mecánica clásica es igualmente probable encontrarla en cualquier punto. Con
la ecuación de Schrödinger la energía de una partícula sólo puede tomar algunos valores y según la mecánica clásica podría tener cualquier cantidad de energía. Por último, en mecánica cuántica la información
que se obtiene de una partícula es la probabilidad de
que se encuentre en los distintos puntos de la caja,
mientras que en la mecánica clásica la trayectoria de
la partícula, sus rebotes y cambios de sentido se pueden observar perfectamente
En 1927, cuando gracias a la ecuación de Schrödinger se había explicado la estructura del átomo de
Bohr, C. L. Davisson (1881-1958) y L. H. Germer
descubrieron la difracción de los electrones20. Para
registrarla utilizaron placas fotográficas, puesto que si
los electrones eran ondas podrían velar las placas, ya
que tenían según la teoría de De Broglie parecida frecuencia a los rayos X. Cuando se reveló la placa aparecieron en ella anillos de difracción. El electrón tenía
una onda asociada y la existencia de las ondas de
materia de De Broglie estaba probada.
La interpretación física de este fenómeno era difícil, ya que el electrón presentaba una doble naturaleza de partícula y de onda y lo material y lo ondulatorio eran conceptos excluyentes en la física clásica. El
electrón era el segundo ente físico que era a la vez
corpúsculo material y onda y se pensaba que podían
tener esta doble característica todas las partículas.
¿Cómo podía imaginar un físico clásico que una partícula, como el electrón la lancemos contra un obstáculo, lo rodee y aparezca detrás de él? Las dudas
sobre esa doble naturaleza eran grandes, pero hoy
nadie se extraña del microscopio electrónico y cien
años antes la idea de iluminar la materia con electrones hubiera parecido absurda hasta a los mismos
físicos.
Resulta asombroso el proceso que siguió W. Heisenberg (1901-1972) para encontrar las leyes de la
mecánica cuántica descubriendo unas relaciones
numéricas entre listas de datos observacionales. La
carrera de Heisenberg fue meteórica. En 1923, nada
más acabar el doctorado con A. Somerfeld en
Munich, ocupó una plaza como ayudante de Max
Born en Gotinga. En marzo de 1924, visitó el Instituto de Física Teórica de Copenhague dirigido por Niels
Bohr, el cual le consiguió una beca de la Fundación
Rokefeller para trabajar con él. En esta situación, Heisenberg hizo de puente entre dos estilos científicos
diferentes.
La universidad de Gotinga ponía el énfasis en el
lado matemático de los problemas; para Max Born la
descripción de un fenómeno físico pasaba por una
formulación matemática y sus investigaciones estaban encaminadas a encontrar formulaciones matemáticas que permitieran explicar los fenómenos experimentales que se observaban en el laboratorio. El
Instituto de Física Teórica de Bohr mantenía que el
problema de la física cuántica era de carácter filosófico. Pensaban que la física había encontrado contradicciones tales como la doble naturaleza del electrón
y de otras partículas y trataban, en primer lugar, de
eliminar las objeciones filosóficas para tratar de
encontrar después las formulaciones matemáticas en
una física experimental sin contradicciones. Heisenberg estaba influido por matemáticos puros, físicos
matemáticos y físicos teóricos y resumió su vida de
estudiante universitario con las siguientes palabras:
aprendí optimismo de Sommerfeld, matemáticas en
Gotinga y física con Bohr.
Heisenberg dio a la mecánica cuántica unas leyes
matemáticas inesperadas. Con una formulación
matricial, que se utilizaba por primera vez en la física,
e introduciendo en sus cálculos elementos no conmutativos para describir la naturaleza. Con su idea enlazó los estilos de Born y Bohr, unió las matemáticas
con la filosofía mediante unas matemáticas que
nunca se habían utilizado para describir la naturaleza.
Las matemáticas dieron forma coherente a unos
hechos filosóficamente contradictorios.
El mismo Heisenberg describió el proceso de
cómo había llegado a formular su teoría que pretendía justificar los postulados de Bohr.
20
Éstos modificaron el experimento de los rayos X. Los rayos X tenían gran poder de penetración y se difractaban al atravesar placas de pequeño espesor, mientras que los electrones, con una longitud de onda parecida, eran absorbidos.
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Hasta donde las matemáticas nos lleven. 2.ª parte
vista matemático22. Heisenberg pensaba que las fórmulas que consiguió o respondían a unas matemáticas nuevas o, de lo contrario, la realidad atómica
mostraba una cara que no podía expresarse matemáticamente, ya que los observables estaban relacionados mediante una serie de reglas que le parecían arbitrarias.
Werner Heisenberg.
En primer lugar se percató de que, entre todas las
suposiciones de Bohr, había una que nadie había
observado: los electrones moviéndose en órbitas dentro del átomo. Además, eran precisamente los movimientos de los electrones en las órbitas los que provocaban las contradicciones de las tesis de Bohr con la
física clásica. El modelo de órbitas con electrones
girando en ellas era una imagen intuitiva, que relacionaba la estructura del átomo con imágenes habituales, pero nadie había observado las órbitas, su existencia era una simple suposición; lo que realmente se
medía en el laboratorio era la diferencia de energía
entre dos hipotéticas órbitas estacionarias. Heisenberg dio un paso audaz que consistió en no intentar
dar una imagen del átomo que pudiéramos describir
en términos de nuestra experiencia cotidiana y buscar
fórmulas matemáticas que relacionaran entre sí las
medidas de las magnitudes observables. Era consciente que tenía que hacer una teoría matemática
abstracta, sin apoyarse en una representación real.
Había que olvidarse de si el electrón era una bolita, si
giraba o si se desplazaba. Simplemente debía elaborar una teoría que predijera observables, esto es,
magnitudes que pudieran ser medidas por el experimentador, tales como la frecuencia de la radiación, la
energía del electrón cuando sale del átomo, la diferencia de energía entre dos estados estacionarios del
electrón dentro del átomo, etc.
Para lograr hacer unas operaciones que permitieran pasar de una serie de datos observables a otra se
basó en unas reglas semiempíricas para multiplicar
conjuntos de amplitudes cuya validez había comprobado en unos estudios que había realizado con Kramers21. Obtuvo unas reglas de cálculo que no podía
justificar ni encontrarles sentido desde el punto de
Cuando en el verano de 1925 Heisenberg comunicó a Max Born sus operaciones enseguida reconoció en ellas el cálculo matricial descubierto por A.
Cayley (1821-1895) y se dedicaron a elaborar la teoría atómica con un fundamento en el cálculo matricial. La mecánica cuántica matricial fue desarrollada
de forma completa por Heisenberg, Born y Jordan,
que la publicaron 1926 y fue el primer paso hacia la
nueva teoría cuántica de los átomos. La nueva dinámica permitía calcular las propiedades medibles de
los átomos, predecía con exactitud los resultados de
los experimentos, aunque resultaba difícil interpretar
cómo era la realidad que describía. Los modelos de la
experiencia ordinaria no podían aplicarse al mundo
de los átomos. Se sabía lo que pasaba con la partícula sólo cuando se medía; pero, ¿qué hacía la partícula el resto del tiempo? Desde luego, no giraba en órbitas, pero lo que hacía era inimaginable.
à
Conclusiones
A finales del siglo XIX las teorías matemáticas decían a los científicos cómo funcionaba el mundo y les
señalaban la dirección que debían seguir sus experimentos. Las matemáticas eran capaces de detectar,
como un buen perro de caza, algunas realidades que
permanecían ocultas a los ojos humanos, como las
ondas hertzianas. Con las matemáticas se han realizado descubrimientos físicos que no hubiéramos sospechado sin haber dispuesto previamente de una teoría
matemática. En el caso de la física atómica las matemáticas siguen siendo los ojos a través de los que hacemos una serie de descubrimientos físicos que chocan
con nuestra intuición, pero que se producen en la realidad. Objetos con doble naturaleza, el final del principio de causalidad o modelos que no se pueden representar en nuestro mundo intuitivo son consecuencias
de una física matematizada que acabará modificando
nuestra percepción ingenua del mundo físico.
21 Historia de la física cuántica, Editorial Crítica, Barcelona, 2001, p. 428.
22 Relacionaba unos hechos observacionales mediante unas operaciones que
guna matemática que hubieran estudiado los físicos hasta entonces.
42
no respondían a ninguna aritmética habitual, ni a nin-