Expresión de la renta vitalicia mediante una serie potencial entera

Universidad de Buenos Aires
Facultad de .Ciencias Económicas
Biblioteca "Alfredo L. Palacios"
[ce
ECONÓMICAS
Expresión de la renta
vitalicia mediante una serie
potencial entera de la
variación del tipo de interés
Barral Souto, José
1934
C[(¡ APA:
Barral Souto, J. (1934). Expresión de la renta vitalicia mediante una serie [X)tencial entera de la variación
del ti[X) de interés. Buenos Aires: Universidad de Buenos Aires. Facultad de Oencias Económicas. Biblioteca
Este documento forma parte de la colecdón de tesis doctorales de la Biblioteca Central ' Alfredo L. Palados'~
Su utilizadón debe ser acompañada pr la cita biblio;J~fica con reconocimiento de la fuente.
Fuente: Biblioteca Digital de la Facultad de Oendas Económicas -Universidad de Buenos Aires
Tesis Doctoral 001501/0139
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63712
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'I!',~I,:T·~·
INTRODUCCION
63712
Preséntese a menudo en trabajos ac tuar-Lede s la necesidad de valores de con..
mutaci6n, a un tipo de interés ligeramente distinto del de la tabla. que se pOs-~
see.
Cierta clase de problemas pueden reducirse a la utilización de un nuevo tipo
de interés v.g.(l) rentas vitalicias variables en,progresión geométrica,siempre
qu'el,o. tasa de progresión sea inferior a la del interés (2) rentas vitalicias
combinadas con. sorteos de probabilidad constante .. (3) valuación de fondos, cuyos
gastos de administración se cubren con un porcentage sobre la renta que producen:'; ,~~ te.
~ Talee problemas, antes de decidir la confecci6n de les tablas de conmutaci6n
a tipos determinados, para el caso que convenga, requieren cálculos a tipos die
tintos, pero próximos a los usuales, para estudiar v.g. que probabilidad con.iene asignar al sorteo, o que porcentage aplicar sobre la renta suficiente para
cubrir los gastos.
Demuestro aqu!, que la renta
<:.t.~, calculada
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(~.~~.~J
c/!'t
expresarse así:
•
Q.·tI
-= <ktt. - P11:'
e:»
p~ ~ ...¡,...
...;. A..~}".
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( .7t-. tC
al nuevo tipo de' intet-'s , puede
(/'~1;1
,
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..J...f~1i, ~,
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A
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¿ ;])
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I
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flt.J
X
¿} .los velores conocidos de conmutaci6n j~1; Si,.}; ~etc, sumas aoumulativas~se
x
~
S
~
mejantes a laA,) respecto de 1a./\/ y esta respecto de la]} , pero. de orden supe
rior, ittdigado P9r el número entre paréntesis, (se atribuye a la
"
1
... ¿.;- (,
4¿......'.
/O _ ............._ f
1+ ¿ ~ '1*(,
,
S el
valorS~.
La serie converge absolutamente pe.ra todas las tasas posibles, pero practica
mente solo resulta utilizable cuando el tipo de interés difiere poco del que se
toma como base, br s t ando generalmente, la misma tabla de conmutaci6n si la difee
rancia entre los tipos no excede de
i%,
con un error inferior al 1%
Aún cuando me referiré solo a rentas vitalicias,
lo mismo, sería aplicable
I
'
p.e. a la prima única del seguro de Vida~x' en cuyo caso llegaríamos a la exJ
presi6n siguiente:
R
1 ~~)
.3
Rf
donde las
¡¿
~)
............. + .. _.. . .
A"x = A ~ -P~+¡O'--'-"'f
(IJ)t
•
jlJr])x
O . di>
indicarísn sumas I1cUlIlUlativas de orden superior A a partir de ¡\¡¡:
de la tabla de eonmubac í.dn, al tipo de
Los
,dem~s
inter~s
baae ,
símbolos tienen,· el significado que se sebe:
prima única del seguro de vida al tipo
,
¿;
I
y
Ax al
"Jf
CA)
Rx • g.
}' Me
nuevo tipo
¿'.
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A•
1IC
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I
DElVl0STRACIONES PREVIAS
Propiedad de los sumatorios.
6:~712
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1.- Si tenemos el sumatorio d8ble respecto de tl· y
w
UI
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1
podemos desarrollarlo en un cuadro como el si -
I
.
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W
De las sumas efectuadas miembro a miembro y por columnas se obtiene la (1), de
w
w
la que a su vez se deduce:
'
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X
X
que sobreentendiendo. l.a función : (¡)Iu: r.:,,) ~ puede esoribirse abreviadamente:
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W
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la (2), y puesto que cuidando de
no invertir el orden de dependencia de las variables, los sumatorios pueden ser
arbitrariamente ordenados} tendremos:
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»eseúbrese de inmediato la ley general, y la demostraci6n de la misma, pues ad-
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I
I
mitiendo que la propiedad fuese cierta para ñ1~/sumatoriosl se tendr!a:
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m
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sumatorios, en virtud del principio de induc-
oompleta, queda demostrado
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(
"
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I
DEMOSTRACIONES PREVIAS
Propiedad de los sumatorios.
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es decir 1 de :<una~' f~ción; <¡.l(
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a contar desde .:/':.
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podemos desarrollarlo en un cuadr-o como el si -
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r':" jl~):: t(~~~)+.r(,::,·~~)+~!.(~_:~J!f'. - - !.~~I)+~!(.CJ~tj
t-I!~,;~~;;('~;~-t'l
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la que a su vez se deduce:
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y por
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Anal.,gamente, si tenemos )~ 2J.A. 2J(lf~{.tuJ:~nediante la (2), y puesto que cuidando de
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no invertir el orden de dependencia d~~ las variables) los sumatorios pueden ser
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sumatorio con el primero, queda finalmente:
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Es decir, la propiedad sería necesariamente cierta para:Yl2 sumatorios .. y como
lo es para el prime+, caso de dos sumatorios, en virtud del principio de inducci~n oompleta.. queda demostrado
Relación entre coeficientes b.:tnomia.les •.
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de donde se deduce:
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( 'L.+t) . . - ( ~.-) ~(IV )
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sumando miembro a mlembro, y simplificando, queda:
(~):.(~::)1"(~~/)+(~:/)+(~:7)+ - --- l' (~=~).,.(~:~)
o~s~~:+~)ez_ d(~~)pon(e:o)St("~+~)lC:;~'~~,+ .-r(f,AJ-K+1. -"")+(W-x..,.tt-,)
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- 'l.-' + ""-1
'l,-¡' \ 't.-ti
'1..-1
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't-I
J
se 'n que la suma del 2Q miembro se efectúe de izquierda a derecha o vicever.f
(7'
mediante sucesivos reemplazos del lQ miembro de cada igualdad en el 2Q de la
~.l~.,g., ar a Z.
1, a P, rim,era,. se obt, ie•. 1'!-e:
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.U.J.' '/lJ.)- t:
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x ~ t- h
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en particular, si se trata de
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~
X~
X
Z
es:
'-'t
t.)
(,' uJ ~ )( +
i
Propiedad de los desigualdades
3.- Sean los numeradores
condí.ca ón:
y denominadores números positivos tales que
cumplan la
>
) a;-
~ >~ 113 )~ >:&. l1J,.
. d,
d¿
d&J d s c4
Considerando unicamente el último par ,es:
%.5~>y¿,ds. '. nsd,-~ds)o
luego,
tendremos~
~ -;;:d;= ~fi~~~ >0
!ü-.t.~!J..!!
~n~d)W ) O,
-.-..---.----.-....
. _1 - dn~ "--- -..n.$i.d~
d :F-I'C.f1:>
6
(d$rd,)dt'
verificando por lo tanto que:
n.f \
Tl, + lió \ 71,
'aS'>~')
(5)
a¡
además/~."
Es
J}f"$"
. ",
CLIf"
y en vez de
11" > n,rfflJ
a;
df :d 6 .
como en el anterior, tendríamos,
(S) podemos escribir:
it
Prooediendo con este nuevo par de quebrados,
guiándonos por el resultado (5):
rz~ f·ns-f n.
n.r .t-.~· nI,
d ll ;>Cl;f-d-;;d~" - .> Js-+dt> ) d;
rl~1 .
ierrt e por ser n~
A na 1 ogamen
-y•.
,
.
a;j
'- nv
~ (ji'!
n~tYlJ·t)1,
>. -__.
. ._.,,__. ouyo
di dt.'¡
cl6 '7-d¡,
. '1
.
·
12:J
es, por 1 a an terl.or
_
,. "T"
quebrados dar-La ap l í.cando la (5) ~
par de
>
>
?!~~!.-:!L!./!.?~f:. . ?!.l: ]llf.!~l}·+ f?f.
1l.r.!.!j..!,.> n(;
{;{·,.?i"a~ +d)-fC/¿, "d'"l fc/;-'7tiG
dj-ttl t
46
Prosiguiendo la operaci6n llegnríamos por recurrencia a:
f1j
')
d,
(6 )
~ )?!.!f ~:!!.3!:!!!tf.!!.f_1J~~ ) ?J;-2:.~?1.J f ll!tf/!4:...-:1.?~ ) nJ'1-11'ltJ!~f i(t >lL&f!.~<r:fN,>.. ; ~
dltd.)¡-rdJtd'l+d.rid~ r1.z+d.3 +d~fd.rfd¡, . d) +dYi-d,rdb dt¡Hirrd"
at
cil
baevando para e.LLo, considerar los dos primeros pares de quebr-ado a, substi tuyel].
do el de la izquierda por el que le precede . . mayor que 'él" ap.Lí.car la (6) y com
binar con el resultado inmediato anterior.
Resulta evidente, la extensión de la (6) a un número v.g. de
.
.
términoe.
u>?¡,tt
C;('7.)
f-.../~
Defini,ci6n de. las
.'
4.- Oone í.der-emos un cuadro como el siguiente:.
X
s: S;J 5;1.)
~
I
18
1; J
8)'9
~
f
11
~f
1¡.6
.3
3
2.
1
j''''
Ii
j{
L¡
:j
)f
0
)
~
~)
5;3)
~-.~.'-
·r
.:l
donde cada columna se forma con las sumas acumulativns de las cifras de la 'columna
anterio~a
pDrtir de la cifra que corresponde al último valor de X
Si de una manera general Ll.amamos
~w"
aI
1.~1 timo
vaLor- de 18.8·X
I
:5.
de ouya
línea parten todas las sum~s aoumulativas, vendrían a estar definidas lasS(i)
A
. por las relaciones:
("('l.) _
.J)(
-
~ ~(Jt-I)
d,Jt
x
((It-!}:.~ . cn-»
.s: _
..)¡..
J~(¿,
.
.
~
é- J(~. . .
-~ ~ ~(1.~J)
-- 2~ u ~
ii: 4
. . . . . . . ..!.j
"' .!C'.t
lQ miembro
Substituyendo el
w VJ
vamente l se obtiene:
t-1Ji..J
W
(.Al ()J
~ li
, h
4
X
~ ij,/Y4.
:-. ~ 7
(fft)-=.
~Jt
:;r¿-':i
d
t-.J¿
~ u . ,(1.•.rn)
.. · .¿:ZLU,¿} S ~
r x
>(
L
I
.
no depende de las var-Lab.l
e s h, g, ••• z , U J tI podemos reemplazar
~~~
~L
Como
{.
C,7.·.. rn/
r
S'"
=-li. lw~~
....
;ro
t"-'
Y de aquí por la .(~)
de cada igualdad en el 2Qde la anterior, sueesi-
10,5
sumato.rí.os , cuyo rve Loz- según la (i+) es:
,1,../t;
Z
fA.
Lit ~ ..... '¿~Lu8
x ,x
Y nos queda entonces:
S ('V) -::.
(1 )
". .
.
( ~-X+yYI-'),
=~
-rn - I
)()(;<'~
/
..
~ (i.-~+m- Ij ('h- m )
111 -/
.(;<.
J;.
/
Ampliación de las tablas de conmutaci6n.
5.- La ref .3ción entre ciertos valores de las tablas de conmuüeo dn es , como se
í
JI)
~--
sabe:
/V,t .- I...r lJ( +I
x
(')
S )( - ~X Nt
o
L.e.)
0,(1)
y si def ní.moa a....." J ( ;
í
IN! ;: . ?t Dt
o
5xt3)
x
5'(,)
•••~ x como sumas acumula ti vas de orden superior a Las
de lo tabla, vendríamos a ampliar esta así:
S
Il )
X
r l / 3)
i...) ~.'
~
'= ¿LS x
V
_
~
- .~~
"~.
~
i
j-
(l(J./
A--'x
t:A.,,"(
)(
;(
('111 J
Y e-n general, puesto que combinando con las;..J . que hemos definido, correspondería;
51(1) . r (O)
. ("-1(-11
-» S;<;...>)( .-=:
y,.))¡::: ... )( por la (1), para 'l.-)?I :::-/
=
IV)
11
S'!: = ~ (i -x
"..
L.!~
+
/7'/~ -
'11'1.-/
'\
/
S ~~ -»
= ~
Ll
~
(i. - x + 4) JJ"'+J
.
/t.-
.
La tabla de conmutaci6n ampliada, tendría púes las oolumnas par-a los valores
(t) En rigor debíeramos poner I~::~t.4l'" pues~(N1Jwtl::o para x i ca , pero por
J(
simplicidad conviene mantener los l!nli tes uniformes X
jI't.AJ
•
. Propiedades de los valores de conmutaci6n
6.- Como punto de partida, consideremos las probabilidades de supervivencia anua'l , que sabemos decr-ecen desde una edad baja, hasta la edad límite de la tabla¡ CA.);'
multiplicando toda In sucesi6n de desigualdades por
denomi~
1r y, numerador y
tr podremos escribir:
!:#>!:!J- ) ••••) ~ ). ~fl:=O
J nt
k., .s:
nador- de cada término I por una potencia conveniente de
.D.af( >1J,!.~ )
JJ1t
)lit....
!JIU) ~ ....)
111(.,.1
Para un término cualquiera, se deduce J por la (6):
J)
TI
"0'
~~".{::.,.(
]x...:t
. ..
.
+
tE +.DW4-1
Xttt.~· UJitt",,¡ +· .. · ~ ., tu . - : -
7J.
') _1Clot1-,T
1JJt+t ..,.]JX..tl-lt])"+t+t fo ..
• ..
>T71.
JJUJ1"''''O
"+1Jw..,+ J]fA)
<v
~ .. , pués vale cero:
y de aquí; omitiendo
1J.J(.t+]}u.t~rt····tJJ~t+lJw,,) a+t~/+1J~+t.¡.tf .~ ... ...,. .1J~
dando a
:O~t
.
t
todos los valores de "O
lJ~ ..t f/
.
Il
a llW" y utilizando la
N
que simboliza
lJ :
N~.i
>
N~
)
N,..,
)
.
.
,
N'I-#e-, )..!:!tt.t. ) _~..,.. _)-, 'tW -J_) f!..tv
,.
- - "--'-1·'
•....
n II . .:t. >14-,_
11. -:LJI
la suma de las
Dx Bx+)
por ser
5 -:.¿ N
llJ(fo.t
y por la (6) ,a
NJl~' >'¿J(-¡
D~
}Sl
NX~I
1J~1"r. 11.,,,1:.""
su vez es:
>~Xf' )
••.•
w-,t
cA.. ¡
(JJ
~>::xtt-l >.s_!t!).H">~>Scv-z.>~~r.,:1.
N~ /In.·.,' ),..¡.r.t
N()J-l Nw..~
NAft
1(...,.,
aplicando repetidamente la (6) y por la notación definida en 5jllegaremos a:
t.
a
"
.
~n
Nx., S
dA) Sil}
rl't) d'T.)
:::~) ~> ~> ...ii.-.) ........ > ..)~ \~>
It
]J.
Ns ..1
:s.":;¡IJ:;'j
S:t.
~
particular para
5~)
(q)
.s!-nt't.-)
a" >]:-,¡ >5tr -r,o/)
~
Comparando con las rentas ciertas,se verifica:
ax <d:-:-:1.···· <d~:; 1+-.~.v -= .i:
jir f/ =(.(,
w"'kl'
00 I
Se infiere de aquí:
.~
t1~~
S:llt
d
1t)
l
) .
~1
J
c(/f,,}
f'{> ....
...., J ...
/s:,.;'
C'ft)
~;iY.".!:1
IJ:;:?
II
lviliDIA1~·TE
EXPRESrON DE L.A. RENTA VITALICIA..,
UNli SERIE PúTE.l\fCIAL
E~'TERA
DE LA V.LRIACrON
DEL TIPO DE INTERES
7•-
Es: .
~.
(.() . .
Nx
(1.".. )(,:= -n'~--
1· x
'.~
4: Dé.,., _. . -. . .4}."'. . ...-.---1I-..
l.r tH ~_tI
""-_ "r::
L;-x·
" X-
_
o también puesto que
,
.
Q/ A. ~
l·
W
(¿_l.!:.~:-x:'1(;!:!..
t..::r-
-i
r:..(iti) ;
1 ~J, )~-(;+)r~"1 I
'-e-:- ~. (lt t .
./..~ t ., I
"~.
in~erés
Si tenemos un tipo de
{./=. ..¡....¿J
lf .
(10)
~
Q)<
.I
_i.
.
11
JJ x,
!
i
f.{' -= /-1- i +'A¿' :, ('~¿)({'rI~/j
y
~.
" Ir;. .L~1-. r' t *Atl) +(f ~",¿),C~-( t ~+3 ),03+ •_, _(·t:.. . f}t~';Oh -1- •...• ;
J ..
,/f ,. /!
J It
f
I
:<
";1;--;-,.
y utilizando la (8),
(11)
.
L·
distinto:
\
'
.
I
..+
' .
después de efectuar el paréntesis:
n~,.
(_.
_j
VA.LIDEZ y PRACTICIDAD DE LA EXPRESION
111
Radio de convergencia de la serie.
8.- Prescindamos del s gno, y calculemos la razón del término genera.l de la se
í
rie,(ll) por el que le precede. ,
S ()f+.
J
If-M1/]J; -l' I '?;,:V
/, {¿~ t~ " ll
'." 0 ·r¡...f -es:
~...:,t} - 'f s'.'(n)
Erre'l J -
!J
1
")(
según la (9) 1 se verifica pa;: todo valor de
.
·S{n.,./)
n:
>s1-;¡¡ >1
Ir I S!'1l.-"'~
Ifla x >¡PI St}ir >/fl
a"
y mul tiplicando por
luego es posible elegir
(> .de
manera que :
4 >/1'/
[.!:!'n+ t I >I(» I
t él)( )~
?t -+~ . tÁ./",
con lo cuaI sabemos que la serie será absolutamente convergente para todo va-
lor
f
tal que :
I
1
(12)[>1
<a~
,El radio de convergencia es aún mayor, como facilmente se de ducs de la se
rie entre paréntesis de la expresi6n (10) t de
(t
.,
. .
=- -1'l2L.'':''
.~= J /.3;-:)("" n.+I=//3lf1- ~~ 1
I ~n:!!-I·
u,.",
( t -x-+n) I n-'
-n.« I
(L '¡1.¡h .)
luego:
\
~ I f I
r1 - ~]. =/fJ/
a-« !YJ1.+f{= 'n·..,~
tiKlt. IP{'L
,1t~OO I~~I
~
n·tl
~f"
Es allí
_J(4'.¡..
')1,"""/
,
.'
a:'X :
.
'lf~~
/f
I
la serie es por lo tanto absolutamente conver-gerrt e para todo valor de l' , pues
to que su valor absolu·to es necesariamente menor que la unidad.
Aproximación alcanzada.
i
. . Si,.,.)
y si hacemos
o(y... :"
Es:
.
Ifl
a >!.'>'~,'~.'>}'4t.'ft
..f -sn ull+'f;.',,/>/....., ,·f·,J.
(:1-1)
y multiplicamos por
~ lr/,
'1
Ifl 'ti a~'" )/rl'bf: >/ ";;:~I >Ifl'L· Ir,'lJ~ /U",/>t,rd(~Il1¡vl >f.ln·+~l )tf:¡~~l
# -
y para todos los valores de rr..~d
e-
'
IJO
00
#)
1~1¡,1 ~/f/"'a~ )/U n / ~·Jfl'f,~~ >f"'Un+~/>/f1,n/~/tJlt
Si se verifica que
m~tricas
(13)
-1>Jrla~>lfJot1lJ
los sumatorios comprenden a progresiones geo
de raz6n menor que la unidad, e infinitos
>~,IU. J >/'1~,1
IU",/ lejas> tu..1 !fJ?<nJ-Iplax
I-A J0('11- ~
J1..
Desigualdades, que nos
t~rminos,
permi~n determinar
hfo't-
es~
luego
IfJ
/-
JPI
un limite superior y otro in-
ferior I del error abae Iu tc oometido al considerar como suma de la ser:L.J
hasta el término de subíndice
'Y¿ en función de vn.lores ya utilizados; par-a
s~~
mar la serie.
Para
1'>0 ~
como la seri.e además de convergente es de sd gno s nlternados
J
se sabe que el valor absoluto del resto, es 'inferior al del primor ~érmino des·
(- t,n+/)
.
~
=r lJ)(
. IiJ~ I</ u,:, I-= Ifl Jf.i)- =Iflr::ln ·
preciado:
/ Rn / <l U
l1
ll f l
+i J
. rirt)
Por 'htra parte se tiene que:
de donde resulta:
)(
>.
•
1l4t+,J (/Unll~·()1 C'(rl.
X
IRhj<IlJ,~J'fJo(lI=I'/!.ími tetdel
error, que se prevee.
Luego, considerando como valor de ~~
minos de la serie, cometemos un error
1"",,< O ) tal,
I
t~
(
I
la suma de los
primeros' tér-
por exceso siti,,)OY defecto
si
que no supera en valor absoluto al del úl timo término considora
d-e UJ1,multiplioado por
t> O(
~iI,rt)
'(1,'
siend.. : Uh.::'
..!;;::L.
.71)1"
f; f.
\:(1'?~) ~-
., '" .
=J:I +-~~
i..
• o( - -'-:j,.'(',-
J
} 1 , ·(1/,.....,)
,~~~,
. Comprobaciones ~
,
10.- Según lo expuesto
.
/?'
'-1(., ,
~
-==
n
fJ(.¡,
;r..
es~
r-
rt')~ ~.O
_ ....AtF ~~,.!.::'- -r /'.
l
n
»x
\.1
3%
Tengamos la tabla H7A(lVIakehan f King)
~
a;
es:
o. ool¡/,55
P =. /(.,-:+ z: ~3:7{),t? _0.,=
4 ·
3~~
(1;x:l.:=
y querramos hallar
,
f + (.;
Ii- l).OJ
'.
disponiendo en un cuadro los valores, tendremos:
a~%
A
10
SJi'
fi;
o»
error
límite
.. _7"'<
valor
error
ex~c~~
aF~9Iuto
21.762.
.246
21.94'0
.. 1 rB
0,82
20.110
.182
20,..
245
.135
0,67
18.349
.128
18.441
.092
0,50
"
j;.-
Ctx " f
:s;~
1i;
~
abservado
r.e-Iat¡%
30
24.134
22.064
19.895
2.372
1.954
1.546
40
17.177
1.13°
16.047
.oso
16.103
.056
0 ..
50
13·878
0.738
e043
13.172
.032
0,24
60
10.223
0.414
13.140
9{t809
.019
9.823
.014
0,,14
70
6.656
6.465
.007
6,470
.• 005
0.. 08
80
3-702
1.686
3.633
.002
.001
010'
1.667
.. 000
3.634,
1.667
.000
0,,00
20
I
90
0.191
0.069
0.019
¡R
S... f Ñ,s,
t:J,=-/U./f<:f,=f-¡-
habiendo simbolizado como anteriormente:
De la observnci6n del cuadro surge que el error límite
tante pr' óximo Ed error r oa.L
J?"
35
p:evis:o~
l,
de manera pues que considernndo a
I
I
es bescomo va-
lor del resto de la serie ,R~1 se obtendrá en el presente caso, valores más prdximos a los verdaderos, pero por exceso f puesto que
R,<ti.
En el cuadro siguien_
te se vé nuevamente confirmada) la observaci6n.
Cuadro
comparati~~
vitalicias al 5~,
<.
20 116 .063
30 14.• 991
40 1,~468
S0 11.371
60
8.767
en
'de~rro~iaiiaadL
'1~141 1.071
de los
r
.-. l.:
base a
ibs
11m. . '.
resultado~
.,:
o
va10~~s
obtenidos al calcular rentas
,
ue conmutaclon
••'
al
•
5%,üe
la ~aola
14.922 X
14.993
Y 14.988
.066
.005
.964
.756
.530
.053
14.027
14.080
14.077
.050
~003
.081 ..• 0044
.062 .0029
.036
.021
12.748
12.747
.035
.001
.• 043
.0017
10.862
10.861
.020
.001
.025
.0008
.320
.010
12.712
10.841
8.447
8.457
8.457
.010
.000
.012
.000;
.157
.004
50805
5.809
5.809
.005
.000
.004
.0001
80
5.962
3.443
.061
.• 001
3.382
3'.383
3.383
.001
.000
.001
.0000
90
1.612
• :~JiDJ!8
.vooo 1.1.594
1.594
1.594
.000
.000
.00'0
.0000
70
Hm
fiJ'''
CONMUTACIJNES DE 22 ORDEN., DE LA Tld3L.A. DE MORTÁLIDliD
~f2)(,,%)
x
75,8.136_480,6
O
1
2
3
4
5
6
7
S!lJ (j~¡;/)
.,{ 1 /0"
482.253.137
~ {J¡rrJ
50
51
52
113.523.885,6
671.243.307,6
631.167.466,6
59', .18'7 • 782, 6
393.648~164
53
54
557.203 . 515-,6
523.119.908,6
343·002.818
55
56
490.847'.255,6
421.399·0°3
367.5450794
319.9.29. 900
298.246.854
431.398~265,6
10
404.063-589,6
378.222.549,6
353.804-5 60,6
240.792.568
223.944-551
208.143.072
193.329.902
179044ge790
60
61
62
65
66
67
63
64
330. 7'4·2.065) 6,
3Q8. 970-37 2 , 6
15
288.427.507,6
269.054.086,6
250.793. 205 .. 6
166.450.299
18
233.590.33 6,6
19
2170393.239,6
1~2.300.443
68
69
20
21
22
202.151.882,6
187.818.3 6 7, 6
174.346.85 8;6
113.006.434
104.33°·161
70
71
16
17
23
161.693.514,6
154. ,281.660
142.896.63 6
132.250.404
96.235.4 20
88.687 G928
810655.23 2
5.163.14 8,4 26
4.469.799,4 26
3.854. 075, 926
2.966.605,9
2.564.5·45,5
2.20805°8,9
l. 894. 25·6,4
1.6170841)7
3.309.169,026
1.375.591,4
2.406.6?5,,3 26
2.037.471 . 326
1.715.919,9 26
1.164.121 J 3
'l "'s O• 263, 3
821.112,7
683.986,3
1.437.144,626
1.196.636 .. 826
566.416,9
466.14 2 , 0
990.222,4 26
72
73
7L~
\:~
5.1310018)7
2.828.690/026
13
14
4.496.052.,2
3.927.3:5)4
3.419. 23 8)3
58
59
9
12
11.391.848,62
10.064.101,3 2
8.864.612,026
7 • 783 •686 , 3 26
57
258~748.515
11
12.858.096,62
/
t
5.941.3 68,3 26
277.877.15 2
~
lv/
5.838.168)6
7(
6.812.157,826
460.300.391,6
8
..
SJ!)/r l >/ ¡
X
450.898~144
Á4
e
381.093,2
814.048,7 26
664.571,5 26
309.385:9
538.542,126
199.315,6
432~994,626
345. 233,126
249,,309, 1
158.012,4 6
124.151,37
272.818,7 26
96.619,88
213.55 617 26
74~432:01
165.483,3 26
56.719,4 2
126.852,426
96.122 1126
71'.941,026
3J.782;30
24
149.816.4 21,6
25
138.675&5 22 , 6
128'0 232.549,,6
118.450.951,6
109.295.825,6
lOA. 73'3. 8 48, 6
7501060623
69 6013'.05 0
63.347.037
58 . 082.601
75
76
53~195f)175
79
53.134,55 6
16 ~ 88~-:: 2~
30
31
32
33
34
92.733. 21 0,6
85.263.54 8)6
780565.885,6
72.072.5 69, 6
48.661e533
44.459.7 20
40.563.985
36.969.717
33.643.3 86
80
81
38.690,99 6
27.747,506
19.576,,156
13-570,13 6
12.033;20
35
36
37
38
39
60.404.660 1 6
55.180.891,6
50.333-016,6
45.839. 207,6
41.678.656,6
30.572.486
27.740.482
85
86
25.131.758
22.731.570
88
20$526.000
89
40
18 . 5°1.914
90
41
37.831_53 2,,6
34.278094 1 , 6
42
43
44
310002.886,6
27.986.229}6
25.212.657, 6
45
46
22.666.647~6
26
27
28
29
47
48
49
66.027.217.1 6
20.333.434,6
,18.198.980,6
16.249.945,6
14-473. 659, 6~
16.646.920
14.949.331,,8
13.398.129,2
11.982.927_,0
77
78
82
83
84
87
91
92
93
94
95
9.521,,957J9 96
8 é'458 305, Ll¡ 97
7&494.825,7 98
10 .. 693.941,1
e
6.6230848~·9
99
100
42.722; 61
23&330,.91
8.436,05
5.810,5 6
3. 926~. 73
90230,14 6
2.599,~794
6.151,,216
4.009,9 86
2.552,64 6
1.583,67 6
955J54 0
1.683,611
~$9,)
405
316,939
173,276
91,106
45,882
22,023
9,993
4,23 0
1.064,- 573
655,998
393,099
228)541
128,579
69,802
36:44 2
18,224
8;687
3,916
-1,647
,,629
1}626
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