Los números naturales (resumen)

Los números naturales.
Se introducen (de modo totalmente ingenuo y esquemático) los números naturales. El sistema de los números
naturales, formado por el conjunto de los números naturales junto con las operaciones de adición y de multiplicación
y la relación de orden habituales, es un punto de partida básico para la construcción de los demás sistemas algebraicos
que se considerarán a lo largo del curso: los enteros, los racionales, los enteros modulares, los polinomios en una
indeterminada, etc.
• El conjunto de los números naturales:
N = {0, 1, 2, 3, 4, . . .}
Nota. Los números naturales son los cardinales de los conjuntos finitos:
0
=
1
=
2
=
...
...
n+1 =
...
...
Card(∅)
Card({0})
Card({0, 1})
.........
Card({0, 1, 2, . . . , n})
.........
• Las operaciones:
– adición
N×N →
N
(a, b) 7→ a + b
– multiplicación
N×N →
N
(a, b) 7→ a × b
Nota. Si a y b son números naturales, y A y B son conjuntos (finitos) tales que
a = Card(A), b = Card(B)
entonces
a + b = Card(A ∪ B), si A ∩ B = ∅,
y
a × b = Card(A × B)
Se pone (indistintamente) a × b = a.b = ab
– Propiedades
asociativas: para todo a, b, c ∈ N:
a + (b + c) = (a + b) + c
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a(bc) = (ab)c
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conmutativas: para todo a, b ∈ N:
a+b=b+a
ab = bc
neutro y unidad:
hay un elemento z ∈ N, y sólo
uno, que cumpla a+z = a para
todo a ∈ N; z = 0
hay un elemento u ∈ N, y sólo
uno, que cumpla au = a para
todo a ∈ N; u = 1
Si a, b, c son elementos de N
que cumplen a + b = a + c, entonces b = c
Si a, b, c son elementos de N
que cumplen ab = ac y a 6= 0,
entonces b = c
Si a, b son elementos de N tales
que a + b = 0, entonces a = 0
yb=0
Si a, b son elementos de N tales
que ab = 1, entonces a = 1 y
b=1
simplificación:
unidades:
distributiva: para todo a, b, c ∈ N:
a(b + c) = ab + ac
• Inducción:
Si S es un subconjunto de N tal que
1. 0 ∈ N y
2. para todo n ∈ N la relación n ∈ S implica la relación n + 1 ∈ S,
entonces S = N.
• La relación de orden:
Un número natural a es menor que o igual a un número natural b si existe un número
natural x tal que a + x = b. En este caso se escribe a ≤ b.
La expresión a < b significa a ≤ b y a 6= b.
Nota. Sean a y b son números naturales, y A y B conjuntos (finitos) tales que
a = Card(A), b = Card(B)
Hay una aplicación inyectiva de A en B si, y sólo si,
a≤b
– Propiedades
reflexiva: para todo a ∈ N:
a≤a
antisimétrica: para todo a, b ∈ N:
si a ≤ b y b ≤ a, entonces a = b
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transitiva: para todo a, b, c ∈ N:
si a ≤ b y b ≤ c, entonces a ≤ c
buena ordenación: todo subconjunto no vacı́o de N posee elemento mı́nimo. [Esto es, si S es
un subconjunto de N y S 6= ∅, entonces hay un elemento m ∈ S tal que m ≤ s para todo
s ∈ S.]
orden lineal: para todo a, b ∈ N se cumple
a ≤ b ó b ≤ a
• La propiedad de la división
Si a y b son números naturales y b 6= 0, entonces existen números naturales q y r únicos tales
que
a = bq + r y r < b
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