Aplicaciones de las Derivadas

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Aplicaciones
de la derivada
HEDIMA
Crecimiento y
decrecimiento
Herramientas digitales de
auto-aprendizaje para Matemáticas
Máximos y
mı́nimos
Concavidad y
convexidad
Puntos de
inflexión
HEDIMA, Grupo de Innovación Didáctica
Problemas de
optimización
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Aplicaciones
de la derivada
HEDIMA
Bloque: Análisis Matemático
Crecimiento y
decrecimiento
Máximos y
mı́nimos
Concavidad y
convexidad
Puntos de
inflexión
Problemas de
optimización
Tema: Aplicaciones de la derivada
Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Aplicaciones
de la derivada
HEDIMA
Crecimiento y
decrecimiento
Índice
Crecimiento y decrecimiento
Máximos y
mı́nimos
Concavidad y
convexidad
Puntos de
inflexión
Problemas de
optimización
Máximos y mı́nimos
Concavidad y convexidad
Puntos de inflexión
Problemas de optimización
Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Aplicaciones
de la derivada
HEDIMA
Crecimiento y
decrecimiento
Máximos y
mı́nimos
Concavidad y
convexidad
Puntos de
inflexión
Problemas de
optimización
Crecimiento y decrecimiento
Crecimiento y decrecimiento
Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Aplicaciones
de la derivada
Dada una función f : D ⊆ R −→ R y un intervalo I ⊆ D
f es creciente en I si
HEDIMA
para todo x, y ∈ I
Crecimiento y
decrecimiento
si x < y =⇒ f (x) ≤ f (y)
Máximos y
mı́nimos
Concavidad y
convexidad
Puntos de
inflexión
f es decreciente en I si
Problemas de
optimización
para todo x, y ∈ I
si x < y =⇒ f (x) ≥ f (y)
Crecimiento y decrecimiento
Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Aplicaciones
de la derivada
HEDIMA
Si f : D ⊆ R −→ R es derivable en I ⊆ D
Condición necesaria y suficiente para que f sea creciente en I
f 0 (x) ≥ 0
m
Crecimiento y
decrecimiento
Máximos y
mı́nimos
para todo x, y ∈ I
f es creciente en I
Concavidad y
convexidad
Puntos de
inflexión
Condición necesaria y suficiente para que f sea decreciente en I
Problemas de
optimización
f 0 (x) ≤ 0
para todo x, y ∈ I
m
f es decreciente en I
Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Aplicaciones
de la derivada
HEDIMA
Crecimiento y
decrecimiento
Máximos y
mı́nimos
Concavidad y
convexidad
Puntos de
inflexión
Problemas de
optimización
Máximos y mı́nimos
Máximos y mı́nimos relativos
Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Aplicaciones
de la derivada
HEDIMA
Dada una función f : D ⊆ R −→ R
f alcanza un máximo relativo en a ∈ D
si ∃ δ > 0 tal que si
x ∈ (a − δ, a + δ) ⊂ D
Crecimiento y
decrecimiento
Máximos y
mı́nimos
entonces
f (x) ≤ f (a)
Concavidad y
convexidad
Puntos de
inflexión
f alcanza un mı́nimo relativo en a ∈ D
Problemas de
optimización
si ∃ δ > 0 tal que si
x ∈ (a − δ, a + δ) ⊂ D
entonces
f (x) ≥ f (a)
Máximos y mı́nimos absolutos
Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Aplicaciones
de la derivada
HEDIMA
Crecimiento y
decrecimiento
Máximos y
mı́nimos
Concavidad y
convexidad
Puntos de
inflexión
Problemas de
optimización
Dada una función f : D ⊆ R −→ R
f alcanza un máximo absoluto en a ∈ D
si f (x) ≤ f (a) para todo x ∈ D
f alcanza un mı́nimo absoluto en a ∈ D
si f (x) ≥ f (a) para todo x ∈ D
Condición necesaria y suficiente para extremo relativo
Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Aplicaciones
de la derivada
Si f (x) : D ⊆ R −→ R es derivable en D,
f (x) alcanza un máximo relativo en a ∈ D si
es creciente a la izquierda de a
HEDIMA
es decir,
Crecimiento y
decrecimiento
Máximos y
mı́nimos
Concavidad y
convexidad
Puntos de
inflexión
x < a =⇒ f 0 (x) ≥ 0
y es decreciente a la derecha de a
es decir,
x > a =⇒ f 0 (x) ≤ 0
f (x) alcanza un mı́nimo relativo en a ∈ D si
Problemas de
optimización
es decreciente a la izquierda de a
es decir,
x < a =⇒ f 0 (x) ≤ 0
y es creciente a la derecha de a
es decir,
x > a =⇒ f 0 (x) ≥ 0
Condición necesaria de extremo relativo
Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Aplicaciones
de la derivada
HEDIMA
Crecimiento y
decrecimiento
Máximos y
mı́nimos
Concavidad y
convexidad
Puntos de
inflexión
Problemas de
optimización
Extremos relativos y derivada
Si f (x) es derivable en a y alcanza en a un máximo o mı́nimo relativo
entonces
f 0 (a) = 0
Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Aplicaciones
de la derivada
HEDIMA
Crecimiento y
decrecimiento
Máximos y
mı́nimos
Concavidad y
convexidad
Puntos de
inflexión
Problemas de
optimización
Ejemplo
Sea h(x) = 1 + x2 + x3 + x4 . Los posibles extremos relativos de h(x) serán
los valores de x que anulen la derivada:
h0 (x) = 2x + 3x2 + 4x3 = x(2 + 3x + 4x2 )
En x = 0 se anula la derivada y será un posible máximo o mı́nimo. Y no
tendrá más posibles máximos o mı́nimos, porque 2 + 3x + 4x2 solo tiene
raı́ces complejas, y al ser una función continua, sus valores serán siempre
positivos o siempre negativos. En este caso, sustituyendo por cualquier valor
de x, comprobamos que son siempre positivos.
Consecuencia de lo anterior es que el signo de la derivada h0 (x) es el
siguiente:
h0 (x) < 0 si x ∈ (−∞, 0) (⇒ h(x) decrece si x ∈ (−∞, 0))
h0 (x) > 0 si x ∈ (0, ∞) (⇒ h(x) crece si x ∈ (0, ∞))
En consecuencia, en x = 0 hay un mı́nimo relativo para la función h(x).
Además, visto el crecimiento y decrecimiento de la función, el mı́nimo es un
mı́nimo absoluto.
Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Aplicaciones
de la derivada
HEDIMA
Crecimiento y
decrecimiento
Máximos y
mı́nimos
Concavidad y
convexidad
Puntos de
inflexión
Problemas de
optimización
Concavidad y convexidad
Concavidad
Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Aplicaciones
de la derivada
HEDIMA
Crecimiento y
decrecimiento
Dada una función f : D ⊆ R −→ R, diremos que
f es cóncava en a ∈ D
si existe un entorno de a en el que la gráfica de la función queda por encima
de la recta tangente en a
Máximos y
mı́nimos
Concavidad y
convexidad
Puntos de
inflexión
Problemas de
optimización
Función cóncava creciente
Función cóncava decreciente
Convexidad
Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Aplicaciones
de la derivada
HEDIMA
Dada una función f : D ⊆ R −→ R, se dice que
f es convexa en a ∈ D
si existe un entorno de a en el que la gráfica de la función queda por debajo
de la recta tangente en a
Crecimiento y
decrecimiento
Máximos y
mı́nimos
Concavidad y
convexidad
Puntos de
inflexión
Problemas de
optimización
Función convexa creciente
Función convexa decreciente
Los conceptos de convexidad y concavidad pueden encontrarse definidos
de forma diferente en algunos textos, de forma que lo que aquı́ se entiende
por concavidad, allı́ serı́a convexidad y viceversa.
Concavidad y convexidad
Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Aplicaciones
de la derivada
HEDIMA
Si f : D ⊆ R −→ R tiene derivada segunda en I ⊆ D, entonces
Condición necesaria y suficiente para que f sea cóncava en I
f 00 (x) ≥ 0
m
Crecimiento y
decrecimiento
Máximos y
mı́nimos
∀x, y ∈ I
f es cóncava en I
Concavidad y
convexidad
Puntos de
inflexión
Condición necesaria y suficiente para que f sea convexa en I
Problemas de
optimización
f 00 (x) ≤ 0
∀x, y ∈ I
m
f es convexa en I
Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Aplicaciones
de la derivada
HEDIMA
Crecimiento y
decrecimiento
Máximos y
mı́nimos
Concavidad y
convexidad
Puntos de
inflexión
Problemas de
optimización
Puntos de inflexión
Puntos de inflexión
Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Aplicaciones
de la derivada
Dada una función f : D ⊆ R −→ R, se dice que tiene un punto de inflexión
en a ∈ D si es cóncava a la izquierda de a y convexa a la derecha o viceversa.
HEDIMA
Crecimiento y
decrecimiento
Máximos y
mı́nimos
Concavidad y
convexidad
Puntos de
inflexión
Problemas de
optimización
La condición necesaria para que f tenga punto de inflexión en a ∈ D es que
f 00 (a) = 0
Puntos de inflexión y máximos y mı́nimos
Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Aplicaciones
de la derivada
Condiciones suficientes para puntos de inflexión, concavidad y convexidad:
Sea f (x) una función derivable varias veces. Si la primera derivada en a de
orden mayor que 1 que no se anula es de orden
HEDIMA
1
par y positiva, entonces a es un punto de concavidad para f (x);
Crecimiento y
decrecimiento
2
par y negativa, entonces a es un punto de convexidad para f (x);
Máximos y
mı́nimos
3
impar, entonces a es un punto de inflexión para f (x).
Concavidad y
convexidad
Puntos de
inflexión
Problemas de
optimización
Condiciones suficientes de puntos de inflexión, máximo o mı́nimo relativo:
Sea f (x) una función derivable varias veces. Si la primera derivada en a se
anula y la de orden mayor que 1 que no se anula es
1
de orden par y positiva, entonces a es un mı́nimo relativo para f (x);
2
de orden par y negativa, entonces a es un máximo relativo para f (x);
3
de orden impar, entonces a es un punto de inflexión para f (x).
Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Aplicaciones
de la derivada
Ejemplo
Sea f (x) = Ln(1 + x2 ). Para estudiar la convexidad y concavidad de f (x)
calculamos su derivada segunda:
f 0 (x) =
HEDIMA
Crecimiento y
decrecimiento
Máximos y
mı́nimos
Concavidad y
convexidad
Puntos de
inflexión
Problemas de
optimización
2x
1 + x2
f 00 (x) =
2(1 + x2 ) − 4x2
2 − 2x2
=
2
2
(1 + x )
(1 + x2 )2
Por lo tanto, la derivada segunda f 00 (x) se anula en x = ±1, y su signo es el
siguiente:
f 00 (x) < 0 si x ∈ (−∞, −1) ∪ x ∈ (1, ∞)
f 00 (x) > 0 si x ∈ (−1, 1)
Es decir
f (x) es convexa si x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞)
f (x) es cóncava si x ∈ (−1, 1).
En x = ±1 hay sendos puntos de inflexión por pasar de cóncava a
convexa o viceversa. Además se puede comprobar que f 000 (x) 6= 0 en
x = ±1.
Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Aplicaciones
de la derivada
HEDIMA
Crecimiento y
decrecimiento
Máximos y
mı́nimos
Concavidad y
convexidad
Puntos de
inflexión
Problemas de
optimización
Problemas de optimización
Problemas de optimización
Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Aplicaciones
de la derivada
HEDIMA
Crecimiento y
decrecimiento
Máximos y
mı́nimos
Concavidad y
convexidad
Puntos de
inflexión
Problemas de
optimización
El objetivo es encontrar los valores que hacen que una función alcance su
valor máximo o mı́nimo.
Pasos a seguir en la resolución del problema:
Identificar la función que se trata de maximizar o minimizar
Establecer las relaciones entre las variables que hacen que se cumplan
todas las condiciones del problema (ligaduras)
Para que alcance un máximo o mı́nimo, la condición necesaria es que la
derivada primera de la función debe ser cero
Además se deben verificar las condiciones suficientes de máximo o
mı́nimo ( Ver condiciones suficientes de máximo y mı́nimo )
Problemas de optimización
Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Aplicaciones
de la derivada
HEDIMA
Ejemplo
Crecimiento y
decrecimiento
Máximos y
mı́nimos
Concavidad y
convexidad
Puntos de
inflexión
Problemas de
optimización
Una ventana tiene forma rectangular con
un semicı́rculo en su parte superior. Sabiendo que el perı́metro es 4 metros, hallar las
dimensiones para que sea máxima la cantidad de luz que la traviesa.
Problemas de optimización
Bloque:
Análisis
Matemático
Ejemplo (resolución)
Crecimiento y
decrecimiento
Para un máximo de luz ha de ser máxima la superficie con cristal. Sean R, B
y h las dimensiones de la ventana tal y como se señalan en el dibujo.
Evidentemente B = 2 R. En este caso la función a maximizar es la superficie
S:
2
1
π B
S = B h + π R2 = B h +
2
2 2
Máximos y
mı́nimos
Puesto que el perı́metro es 4 metros, ha de ser B + 2 h + πR = 4, por tanto,
Tema:
Aplicaciones
de la derivada
HEDIMA
Concavidad y
convexidad
Puntos de
inflexión
Problemas de
optimización
h=
4 − B(1 + π/2)
2
La función a maximizar se puede escribir entonces en función de una sola
variable
2
4 − B(1 + π/2)
π B
S=B
+
2
2 2
Derivando e igualando a cero se obtiene que ha de ser
B=
8
4+π
Problemas de optimización
Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Aplicaciones
de la derivada
Ejemplo (resolución)
HEDIMA
Crecimiento y
decrecimiento
Máximos y
mı́nimos
Concavidad y
convexidad
Puntos de
inflexión
Problemas de
optimización
8
B = 4+π
es un posible máximo o mı́nimo de la función superficie.
La derivada segunda de la función superficie S es la siguiente
S 00 (B) = −
π
−1
4
8
.
que es evidentemente negativa para el valor B = 4+π
8
Por tanto, el valor B = 4+π es un máximo de la función superficie.
Para este valor de B, el valor de h es
h=
4
.
π+4