electricidad ii - Colegio San Pablo

ELECTRODINÁMICA
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ELECTRICIDAD II - INDICE TEMÁTICO
ELECTRICIDAD II - INDICE TEMÁTICO ............................................................................................................................1
EFECTOS MAGNÉTICOS DE LA CORRIENTE ELÉCTRICA............................................................................................2
CAMPO MAGNÉTICO....................................................................................................................................................................2
¿Cómo decrece el campo magnético con la distancia?: .........................................................................................................2
CORRIENTES DE DESPLAZAMIENTO ..............................................................................................................................................3
Brújula ..................................................................................................................................................................................3
Campo creado por la corriente en una espira circular...........................................................................................................3
Campo magnético creado por una corriente que recorre un solenoide...................................................................................3
SOLENOIDES E IMANES ................................................................................................................................................................4
Origen del magnetismo ..........................................................................................................................................................4
MAGNETISMO TERRESTRE .................................................................................................................................................4
INTERACCIÓN ENTRE CAMPO MAGNÉTICO Y CORRIENTE ................................................................................................................5
Permeabilidad magnética de los materiales ...........................................................................................................................5
Efectos de la fuerza que aparece sobre una carga en movimiento dentro de un campo magnético .........................................5
Transformación de energía eléctrica en trabajo mecánico....................................................................................................................... 6
Transformación de trabajo mecánico en energía eléctrica ....................................................................................................................... 6
Una máquina eléctrica reversible ..........................................................................................................................................6
Galvanómetro........................................................................................................................................................................................ 7
Fuerza entre dos conductores paralelos .................................................................................................................................................. 8
Equilibrio de un sistema con fuerzas magnéticas. Estado de “campo mínimo”........................................................................................ 8
PROBLEMAS DE ELECTRODINÁMICA...............................................................................................................................9
CORRIENTE ALTERNA...........................................................................................................................................................11
Las corrientes producidas por tensiones alternas.................................................................................................................12
Autoinducción de una bobina .............................................................................................................................................................. 12
Inducción mutua de un par de bobinas ................................................................................................................................................. 12
Energía de un campo magnético .......................................................................................................................................................... 13
Cómo medir una magnitud eléctrica alternada: Valor eficaz................................................................................................................. 13
Aparatos para medir el valor eficaz...................................................................................................................................................... 14
El transformador de tensión alternada.................................................................................................................................14
Fórmulas del transformador................................................................................................................................................................. 14
Corrientes parásitas o de Foucault ......................................................................................................................................14
Ejemplo: Freno de corrientes parásitas................................................................................................................................................. 15
La ley de Ohm en corriente alterna......................................................................................................................................15
Impedancia de elementos en serie........................................................................................................................................................ 15
Impedancia de elementos en paralelo................................................................................................................................................... 16
Impedancias de elementos combinados serie/paralelo .......................................................................................................................... 16
Potencia en corriente alterna...............................................................................................................................................17
Potencia instantánea y potencia promedio............................................................................................................................................ 17
CONCEPTOS BÁSICOS DE PRODUCCIÓN Y TRANSMISIÓN DE ENERGÍA ELÉCTRICA. ............................................................................A
NOCIONES DE SEGURIDAD ELÉCTRICA.......................................................................................................................... B
CUADRO DE SENSACIONES QUE PRODUCE LA ELECTRICIDAD .......................................................................................................... B
CONEXIONES A TIERRA Y DISYUNTORES DIFERENCIALES .............................................................................................................. E
APÉNDICE ................................................................................................................................................................................ F
INTEGRACIÓN DE LA LEY DE BIOT SAVART-LAPLACE .................................................................................................................... F
Campo creado por un conductor rectilíneo .............................................................................................................................f
Campo en el centro de una espira circular..............................................................................................................................f
Campo creado por un solenoide..............................................................................................................................................f
Ejemplo .................................................................................................................................................................................................f
1
2
ELECTRODINÁMICA
O
N
Efectos magnéticos de la corriente eléctrica
Oersted descubrió en 1820 que la corriente eléctrica desvía de su posición ordinaria a
una brújula próxima.
S
Experiencia:
Se coloca un conductor orientado en dirección Norte/Sur debajo de una
I
brújula. Se hace pasar corriente por el conductor de sur a norte y se observa que la
aguja se desvía hacia el este tanto más cuánto mayor es la intensidad de la corriente. Si
+
se invierte el sentido de la corriente la brújula se desvía hacia el oeste. Cuando alejamos la brújula del conductor, la desviación se atenúa.
De hecho este dispositivo permite medir la intensidad de la corriente comparando la desviación con la que producen corrientes de
calibración de valor conocido: Se lo conoce como galvanómetro de imán móvil. Su sensibilidad aumenta arrollando el cable varias vueltas de manera que la corriente pase por debajo de la brújula de sur a norte, y por arriba de norte a sur.
E
H
Campo magnético
Se admite que la corriente eléctrica produce una modificación en las
propiedades del espacio, en el que reside ahora un campo magnético. Las líneas de fuerza de dicho campo tienen como dirección la
que toma en el punto considerado una pequeña brújula exploratoria. Cuando no circula corriente por el conductor, la brújula apunta
I
muy aproximadamente en dirección al norte geográfico, lo que indica
+
que la tierra está inmersa en un campo magnético cuyas líneas de
fuerza se dirigen a dicho punto cardinal. Cuando se establece corriente, se crea un campo magnético adicional que se compone con el terrestre. Estudios más delicados demuestran que el campo magnético creado por la corriente presenta líneas de fuerza que envuelven circularmente al conductor, como se muestra en la
figura adjunta. En cada punto del espacio existe un valor del campo representado por un vector campo magnético H cuya dirección es tangente a las líneas de fuerza circulares y cuya intensidad decrece con la distancia al conductor. El sentido de las líneas
de fuerza está dado por el giro de un sacacorchos que avanza como la corriente eléctrica (regla del tirabuzón).
¿Cómo decrece el campo magnético con la distancia?:
Si el conductor por el que circula la corriente que produce el campo magnético estudiado es corto con respecto a la distancia al
punto considerado, la ley de variación de H es inversa al cuadrado de la misma.
El campo magnético elemental ∆H creado por un elemento de conductor de longitud ∆l recorrido por una corriente i en un punto a
una distancia r y que forma un ángulo α entre el radiovector r y la dirección del conductor vale:
∆ H = (1/4/π
π ).i.∆
∆ l.sen α /r2 (Ley elemental de Biot-Savart-Laplace)
La unidad en que se mide la intensidad de campo magnético H sale de considerar la fórmula anterior y es A/m en unidades MKS
Para un conductor cuyo largo es varias veces la distancia, el campo varía con la inversa (no el cuadrado) de la distancia.
El campo creado por una corriente de intensidad i que pasa por un conductor de gran largo l en un punto cercano al mismo vale:
H = 1/(2π
π r).i
(Ley integral obtenida por integración de la de Biot-Savart)
La ley integral sale de sumar todos los ∆H creados por cada elemento de conductor, así podemos poner H=S
S ∆ H . Esta suma de
gran número de términos muy pequeños se llama "integración" y se realiza con métodos especiales de análisis matemático, según se explica en el APÉNDICE.
Nótese que la fórmula anterior se puede escribir i=2.π.r.H . El segundo miembro es el valor de H multiplicado por la longitud de la
circunferencia recorrida por la línea de campo: si H fuera una fuerza, 2πrH sería el trabajo que hace dicha fuerza en una vuelta de
circunferencia.
Vimos ya en la primera parte de esta obra que la generalización del concepto de trabajo para un vector cualquiera se llama circulación.
Se cumple así que la circulación del campo magnético por una línea cerrada tiene el mismo valor que la o las corrientes
encerradas por esa trayectoria.
Las líneas de fuerza del campo magnético son siempre cerradas alrededor de la o las corrientes que le dan origen. Éstas pueden ser cargas que pasan por un conductor de metal, o más generalmente cargas en movimiento en cualquier medio (sólidos,
2
3
ELECTRODINÁMICA
líquidos, gases o el vacío).
Corrientes de desplazamiento
Vimos que las cargas en medios aisladores pueden moverse hacia uno u otro lado de su posición de equilibrio (desplazamiento eléctrico). Mientras dura el
movimiento de las cargas se generan campos magnéticos. Dicho movimiento de cargas constituye una corriente llamada “de desplazamiento” porque
proviene del desplazamiento de cargas en el dieléctrico. En realidad basta para que se produzcan corrientes de desplazamiento el que haya un campo
eléctrico variable, que puede existir en un punto aunque allí no existan cargas desplazadas. Considérese por ejemplo el espacio vacío entre las placas de
un condensador en proceso de carga o descarga: Se dice que por el vacío pasa una corriente de desplazamiento mientras la carga de las placas varía.
Por supuesto en ese lugar existe también un campo magnético mientras varíe el campo eléctrico. O sea que un campo eléctrico variable en un punto del
espacio supone una corriente de desplazamiento que por supuesto crea un campo magnético a su alrededor.
Brújula
Por ahora baste saber que este detector de campo magnético consta de una aguja de acero que puede girar libremente en un
plano horizontal en el que se dibuja un círculo graduado. El hierro de la aguja ha sufrido un proceso de ordenamiento atómicomolecular (imantación permanente) que le da la propiedad de orientarse siguiendo las líneas de campo magnético. Después de
estudiar el campo magnético creado por espiras circulares estaremos en condiciones de entender porqué las brújulas en ausencia de corrientes eléctricas próximas se orientan en dirección norte/sur.
Campo creado por la corriente en una espira circular
Puede aproximarse un conductor circular a otro en forma de un polígono de muchos
lados, cada uno de los cuales es un conductor corto que crea un campo con líneas
circulares alrededor.
Se puede visualizar el campo creado por una corriente que recorre una espira circular
i
haciéndola atravesar un cartón horizontal por el que se espolvorean limaduras de
hierro que se imanan por influencia y se disponen en dirección a las líneas de campo.
Se ve así que el campo por adentro de la espira
i
+
tiene mayor densidad de líneas que afuera: su forma
recuerda a las líneas de corriente de aire que se
obtendrían con un turbocirculador a hélice. El valor
del campo en el centro de la espira vale Ho=i/(2r). (Ver APÉNDICE)
Campo magnético creado por una corriente que recorre un solenoide
Un solenoide o bobina es un conductor arrollado en hélice sobre una superficie cilíndrica. El
campo creado por un solenoide por el que circula corriente de intensidad i es el resultado de
componer vectorialmente el efecto magnético de N espiras paralelas. En la figura se representa
el campo compuesto creado por dos espiras separadas por una distancia igual a su diámetro
(arreglo de Helmholtz): Se ve que entre las espiras el campo magnético tiende a ser de líneas
paralelas
Campo compuesto
de dos espiras
Si la distancia entre las N espiras es pequeña comparada con el diámetro y el bobinado es
de muchas vueltas, las líneas de campo no atraviesan la capa de espiras y el campo de
valor constante H se canaliza por adentro del cilindro, análogamente a la corriente de fluido
en un tubo1. Afuera del tubo las líneas de campo describen una trayectoria tanto más amplia cuánto mayor sea la longitud de la bobina, saliendo de un extremo del tubo y entrando
por el opuesto. Se puede considerar que si al longitud l del solenoide es mucho más grande
que el diámetro de las espiras (condición de “solenoide largo”), el campo exterior es prácticamente nulo por estar sus líneas muy separadas entre sí. La circulación por una línea de
campo cerrada que pase por adentro del solenoide de largo l valdrá H.l y será igual de
acuerdo a lo visto a la suma de las corrientes de intensidad i que encierra, o sea N.i
Así podemos poner que en un solenoide largo H.l=N.i
En el APÉNDICE de este libro se pueden ver las deducciones matemáticas de los campos creados por conductores, espiras y
solenoides reales, esto es, de longitud finita.
1
Se puede considerar que hay hacia la derecha y hacia la izquierda de una sección cualquiera de un solenoide largo un número de espiras suficientemente igual como para equilibrar sus campos magnéticos en el sentido perpendicular al eje del solenoide, es decir que sólo habrá campo en la dirección
de dicho eje.
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ELECTRODINÁMICA
EQUIVALENCIA ENTRE SOLENOIDE E IMAN
N
i
S
Solenoides e imanes
Un solenoide se comporta exactamente igual a una barra de hierro imanada o "imán
recto", atrayendo trozos de hierro e interactuando con otros imanes o solenoides.
Este hecho no es casual y el magnetismo que presenta un trozo de hierro imanado se
debe a corrientes eléctricas a escala atómica que posee en su interior. Dichas corrientes elementales se componen para dar una corriente superficial análoga a la que
produce la capa de bobinado de un solenoide recorrido por una corriente eléctrica.
N
S
La falta de unificación del magnetismo con la electricidad antes de adoptar este
modelo hizo que durante mucho tiempo se tratara al magnetismo como un
capítulo de la física aislado, con sus propias leyes, en el que se hablaba de
"polos norte magnéticos" como lugares desde donde brotaban líneas de campo magnético y "polos sur magnéticos"
donde las líneas se sumían. Los polos magnéticos de igual nombre se repelían y los de distinto nombre se atraían con
fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Incomprensiblemente, las líneas de campo magnético
producidas por los imanes eran por lo visto abiertas a diferencia de las que provenían de corrientes eléctricas. Sin embargo fuera de las fuentes y sumideros eran exactamente iguales.
Origen del magnetismo
Esta falta de coherencia de modelos físicos para una misma disciplina se supera con la explicación moderna de la causa del
magnetismo: Algunos átomos metálicos (hierro, cobalto y níquel) poseen estructura con electrones no apareados en sus capas
internas que equivalen a corrientes circulares microscópicas, verdaderas espiras elementales recorridas por una corriente. En
un trozo de metal ferroso tal como sale de la lingotera o de la fundición, los planos de giro de estos electrones no son paralelos y
sus efectos se destruyen estadísticamente, como lo harían millones de espiras colocadas al azar. Cuando mediante un campo
magnético exterior se van orientando los planos orbitales de los electrones venciendo los rozamientos interatómicos , las espiras
elementales van sumando sus efectos y aparece un campo magnético como el de un solenoide, que se va reforzando a medida
que crece el número de átomos orientados.
El ordenamiento total corresponde a un estado de saturación que marca el límite de la imanación posible
cuando todos los átomos están orientados. Un corte de una barra con sus espiras ordenadas tendría el
esquema de la figura. Las corrientes elementales recorren circuitos que tienen lados contiguos con corrientes en sentido contrario y que por lo tanto se anulan. Quedan solamente sin anular las corrientes de los
lados periféricos (en realidad superficiales) de la barra, equivalentes a una capa de bobinado. De acuerdo a
la figura y a la ley del tirabuzón las líneas de campo entrarían en el plano del dibujo.
Las acciones entre polos que describía la antigua concepción del magnetismo se explican ahora a
través de la interacción entre campo magnético y corriente.(fuerza de Lorentz)
NORTE
geográfico
cinturón de partículas ionizadas
MAGNETISMO TERRESTRE
¿Por qué una brújula se orienta en dirección Norte/Sur?. Sin duda por la
existencia de un campo magnético orientador. ¿Quién lo crea?. Se sabe
que en el interior de la tierra hay un núcleo fundido muy caliente que
gira menos de prisa que la superficie. En él hay sustancias parcialmente
α
ionizadas. Actualmente se cree que las causas del campo magnético
núcleo fundido
SUR
terrestre son en alguna medida esas corrientes circulares de materia
fundida caliente cargada eléctricamente en el interior de nuestro planeta.
También contribuyen a ese campo corrientes de partículas cargadas en
ORIGEN DEL MAGNETISMO TERRESTRE
la ionosfera (ver “plasma” en la primera parte de esta obra) que se
disponen en cinturones ecuatoriales. Las corrientes interiores y los cinturones de plasma hacen las veces de enormes espiras que influyen en todo el globo de la manera que se muestra en el dibujo.
La actividad solar regula el grado de ionización de la ionosfera siendo por lo tanto un factor de cambio en el campo magnético
terrestre. El mismo se caracteriza en cada punto del globo y en cada momento por su inclinación con respecto a la horizontal
(ángulo α en el dibujo) y su desviación de la dirección Norte/Sur geográfica (ángulo que forma con el meridiano del lugar o declinación).
Ejercicio de investigación: Averigüe el alumno el valor del campo magnético terrestre (en A/m), la inclinación y declinación magnéticas en Buenos Aires, hoy.
geográfico
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ELECTRODINÁMICA
5
Interacción entre campo magnético y corriente
Cuando una carga en movimiento está dentro de un campo magnético aparece sobre la misma una fuerza que es proporcional a
la carga, a la velocidad y al campo.(fuerza de Lorentz)
La dirección y el sentido de esa fuerza viene dada por la regla de la mano izquierda: Si el
F
índice apunta a la dirección del campo H, y el mayor tiene la dirección de la velocidad
H
v, la fuerza F que aparece sobre la carga positiva es perpendicular a ambos y tiene la
dirección del pulgar de la mano izquierda. La intensidad de esta fuerza vale
v
F = Q.µΗ.v.senα , donde Q es el valor de la carga, H es el valor del campo magnético que
existe en el lugar donde está la carga, que se mueve a velocidad v. El ángulo α es el
formado entre las direcciones de v y H2
Atención: si la carga es negativa (por ejemplo si se tratase de un electrón) la fuerza tiene sentido contrario a la que da la regla de
la mano izquierda: Tenerlo en cuenta cuando se razone sobre electrones libres o confinados en conductores metálicos.
B = µH
Permeabilidad magnética de los materiales
La experiencia enseña que la fuerza depende del medio y por ello aparece en
la fórmula la constante µ que para el vacío y la mayoría de los materiales no
magnéticos vale:
µ o=4.π
π .10-7(unidades MKS)
En los materiales ferrosos (hierro y aleaciones, cobalto y níquel) la constante µ toma valores varios cientos de veces superiores a los que toma en el vacío. La razón de ello es que estos materiales tienen
espiras microscópicas a nivel atómico, como ya se vio, que se alinean u ordenan bajo los efectos de un campo exterior y dan
como resultado un refuerzo del mismo. Este efecto, llamado ferromagnetismo, se traduce en que las líneas de campo por
adentro de estos materiales tienden a estar mucho más juntas que en el aire. La mayor densidad corresponde, lógicamente, a
una mayor intensidad. Por una analogía fluida se habla de que el hierro presenta mayor permeabilidad al campo magnético que
el aire. La constante µ se llama permeabilidad magnética del material. Hay materiales que se denominan diamagnéticos, que
presentan rechazo a las líneas de fuerza: son menos permeables que el vacío y su constante µ es menor que µ o. Un ejemplo
clásico de ellos es el elemento bismuto. Los superconductores (ver primera parte de esta obra) son totalmente diamagnéticos.
es decir que su permeabilidad es nula, o sea que el campo magnético exterior no penetra en su interior.
V IDRIO
HIERRO
BISMUTO
Para dar cuenta del efecto de permeabilidad sobre el campo, es decir de la modificación del campo al componerse con el creado
por los imanes elementales, es útil trabajar con este campo modificado µ.H, que es el que en realidad determina los fenómenos
póndero-motrices y de inducción que pasaremos a estudiar a continuación. Al producto del escalar µ por el vector H se lo llama
vector inducción magnética y se lo designa con la letra B, así resulta B=µ
µ .H
Revise el lector el parecido de la inducción magnética con la inducción eléctrica ya vista D=ε.E , que tenía que ver con el desplazamiento de cargas inducidas por el campo eléctrico exterior E en los dieléctricos de constante ε
O e s te
Efectos de la fuerza que aparece sobre una carga en movimiento dentro de un campo magnético
E s te
-q
Se puede visualizar el efecto de dicha fuerza (llamada “fuerza de Lorentz3”) en un
tubo de rayos catódicos colocado en dirección Este/Oeste. En ese caso el campo
v'
cañón
magnético terrestre, cuyas líneas van de sur a norte, salen hacia el lector desde el
electrónico
plano del dibujo, y hacen aparecer una fuerza sobre los electrones en movimiento
F
que cruzan hacia la pantalla de acuerdo a la regla de la mano izquierda. Dicha
F'
fuerza es perpendicular a la trayectoria, curvándola por lo tanto en un arco de circunferencia, ya que el movimiento circular uniforme es el único que satisface la perpendicularidad entre velocidad y fuerza. La
curvatura es hacia abajo y la mancha brillante se observa un poco más baja que cuando el eje del tubo está en dirección Norte/Sur (si el lector aplica la regla de la mano izquierda, tenga en cuenta que el electrón tiene carga negativa).
v
2
Esta operación entre dos vectores que genera un tercer vector perpendicular cuyo módulo es numéricamente igual al área del paralelogramo se llama
“producto escalar”. Es muy usado en matemática, geometría y física.
3
Anton Lorentz (1853-1928), notable físico holandés, premio Nóbel 1902. Sus estudios sobre teoría electromagnética dieron origen a la relatividad.
5
6
ELECTRODINÁMICA
Transformación de energía eléctrica en trabajo mecánico
Cuando un conductor recto de longitud l está recorrido por una corriente eléctrica i
y se halla dentro de un campo magnético homogéneo y paralelo de intensidad H,
es asiento de una fuerza F resultante de todas las fuerzas paralelas ∆ F que actúan
i
sobre cada carga móvil. Cada elemento de conductor de longitud ∆ l aporta una
fuerza que vale
∆ F = q.Β
Β .v.sen(B^v), pero como la velocidad es v=∆
∆ l/t (cociente de espacio y
i
tiempo) y además por definición de intensidad de corriente eléctrica es i=q/t resulta que:
+
∆ F = i.Β
Β .∆
∆ l.sen(B^∆
∆ l) y además la fuerza total F = i.Β
Β .l.sen(B^l)
Si las líneas de campo cortan al conductor perpendicularmente resulta sen(B^l)=1 y entonces la fuerza es máxima. Esta fuerza
entre campo y corriente es la que se emplea en los motores eléctricos o cualquier otro aparato que transforme energía eléctrica
en trabajo mecánico.
H
Transformación de trabajo mecánico en energía eléctrica
La transformación anterior es reversible. En efecto, si movemos un conductor por el que no circule corriente con velocidad v a
través de un campo magnético H de manera que el conductor corte líneas de fuerza, aparecerá entre los extremos del conductor
una diferencia de potencial V. Si el conductor forma parte de un circuito cerrado de resistencia eléctrica R, esta diferencia de
potencial sostendrá una corriente que de acuerdo a la ley de Ohm tendrá una intensidad i=V/R.
¿Cómo aparece esa diferencia de potencial V? : Debido a la fuerza F que surge al mover las cargas libres del conductor a través
del campo. Esa fuerza de la dirección del conductor empuja las cargas negativas hacia un extremo y las positivas hacia el
opuesto. Del desequilibrio de cargas de valor total Q surge una diferencia de potencial entre los extremos del conductor.
v
v
v^H
Su valor se puede calcular de acuerdo a la definición de diferencia de potencial haciendo el cociente entre el trabajo F.l (fuerza por distancia) necesario para mover una
carga y el valor Q de esa carga.
+
+
+
qq_
_
_
Así resulta que la diferencia de potencial al mover un conductor con una velocidad v
que forma un ángulo v^H con la dirección de un campo magnético H será a circuito
abierto (sin circulación de corriente):
H
V = F.l/Q = (Q.µ
µ H.v.l.sen(v^H)/Q) = µ H.v.l.sen(v^H)
Vimos que la diferencia de potencial de un elemento activo (o fuente) a circuito abierto, o sea cuando no circula corriente, se llama "fuerza electromotriz". A la que aparece por efecto del corte de líneas de campo
magnético se la llama "fuerza electromotriz inducida". También recordemos que cuando circula corriente por una fuente, o sea
cuando este forma parte de un circuito, la diferencia de potencial es menor que la fuerza electromotriz porque a ella se le resta la
caída en el propio circuito interno de la fuente.
Cuando cesa el movimiento, desaparece la fuerza electromotriz inducida V, o sea que para generar energía eléctrica debemos
mantener una velocidad v del conductor frente al campo magnético: ésto se hace en las máquinas generadoras (dínamos y alternadores) haciendo pasar conductores frente a imanes o solenoides que generan el campo magnético H
Una máquina eléctrica reversible
F
i
F
-
i
i
6
i
+
MOTOR ELECTRICO
Veremos la forma práctica que hay que darle a este tipo de dispositivos, que
pueden trabajar como motores o como generadores . En la figura vemos un
conductor en forma de cuadro rectangular arrollado sobre un cilindro que
puede girar sobre su eje. El cuadro termina en dos segmentos circulares
(colector) sobre los que deslizan un par de contactos fijos (escobillas o
carbones) conectados a la fuente. Según el sentido de la corriente que sale
del positivo de la fuente, y de acuerdo a la regla de los tres dedos de la
mano izquierda, sobre los conductores perpendiculares al campo magnético
H actuarán un par de fuerzas iguales y de sentido contrario (cupla) que
tenderán a hacer girar el cuadro en sentido antihorario: Este es el principio
del motor eléctrico de corriente continua.
7
Pero este mismo dispositivo es un generador eléctrico (dínamo de corriente continua) y actúa como tal cuando hacemos girar mediante un
trabajo externo el cuadro. Si por ejemplo lo rotamos en el sentido antihorario los conductores perpendiculares al campo H cortarán líneas de
fuerza y de acuerdo a lo ya explicado los electrones libres en el cuadro se
dirigirán hacia atrás en el conductor de la derecha, y hacia adelante en el
de la izquierda: tendremos así que se sumarán sus efectos y la escobilla
izquierda recibirá la visita de los electrones. Lógicamente, la escobilla
derecha sentirá la falta de estos, siendo positiva con respecto a la otra.
Habrá pues mientras dure el movimiento del cuadro una fuerza electromotriz entre las escobillas, que podrá mantener una corriente cuando se
conecte la máquina a un circuito externo: pero atención que ahora esa
corriente cambiará de sentido frente a la que había mientras la máquina
era motor: ahora es una fuente y la corriente sale de su terminal positivo.4
ELECTRODINÁMICA
v
v
Acumulador
+
+
GENERADOR ELÉCTRICO
i
-1
-2
0
1
2
Galvanómetro
Construyéndolo de un tamaño mucho más pequeño que para el caso de un motor/generador, el
dispositivo anterior se transforma en galvanómetro, o sea un aparato que sirve para medir intensidad de corriente. (Galvani fué el que estudió a fines del siglo XVIII los efectos de las corrientes
eléctricas, que en su honor se llamaron "corrientes galvánicas").
El galvanómetro de cuadro móvil consta de un cuadro que puede moverse en un campo magnético como en el motor/generador. Sólo que en este caso el giro no es libre sino que a la cupla se
opone el efecto de un resorte en espiral, que limita el movimiento posible del cuadro a una fracción
de vuelta. Se hacen así innecesarios las escobillas y el colector: la corriente accede al cuadro a
través de conexiones flexibles, en general los resortes espiral que equilibran el par de fuerzas. Para
que el campo magnético del imán permanente cuyos polos son N S sea siempre perpendicular a
los conductores activos del cuadro móvil, éste se bobina alrededor de una pieza cilíndrica de hierro
que canaliza el campo, haciéndolo radial. En el dibujo se ha representado el cuadro con sólo dos
vueltas, pero en realidad se lo construye de un número de ellas N mucho mayor para multiplicar por N la fuerza sobre cada conductor. Las líneas finas representan al campo magnético. Se ha dibujado sólo el resorte espiral superior con su conexión eléctrica
a uno de los extremos del bobinado del cuadro. Debajo del dibujo debe imaginarse otro resorte igual conectado al otro extremo.
Una aguja liviana solidaria al cuadro indica sobre un cuadrante el ángulo α girado por aquél. Dicho ángulo es proporcional a la
intensidad i de la corriente ya que el momento del par de fuerzas también lo es, y está equilibrado por el momento resistente del
resorte espiral, que es proporcional al ángulo de deformación:
Momento del par de fuerzas eléctricas
Mt = F.d
= N.µH.i.l.d
Momento resistente del resorte en espiral
Mr = kr.α
En el punto de equilibrio se igualan Mr y Mt, para un ángulo α tal que
α = [N.µ
µ H.l.d/kr].i
La constante de proporcionalidad está entre corchetes, y es una medida de la sensibilidad del aparato. Ésta crece con:
•
•
•
•
El campo magnético H del imán permanente
El área del cuadro (producto del ancho d por el largo l)
El número de vueltas del bobinado N
La inversa de la constante del resorte 1/kr (kr aumenta con la "dureza" de éste)
4
NOTA PARA LOS QUE QUIEREN SABER ALGO MÁS: Volviendo al motor, el estudiante atento (que los hay) podrá notar que cuando el plano del
cuadro sea vertical las fuerzas serán opuestas y no habrá cupla que lo impulse a girar. Sin embargo el cuadro seguirá su giro por inercia y las escobillas
pasarán a tocar en el segmento del colector opuesto: así se invertirá el sentido de la corriente en el cuadro, manteniendo siempre el sentido antihorario de
la cupla que empezará a existir apenas salga de la vertical el plano del cuadro: por lo tanto el motor seguirá girando para el mismo lado. Como se ve, en
este motor elemental, la cupla es nula cuando el cuadro es vertical porque las fuerzas están dirigidas siempre verticalmente y hace falta que se supere
esta posición por la inercia de rotación del propio cuadro. Este defecto puede subsanarse haciendo que H sea radial en vez de paralelo: Dejaremos al
lector interesado que averigüe la solución. A nosotros por ahora no nos molesta que la máquina posea un "punto muerto" porque dejándola así puede
transformarse con pocos cambios en un generador de corriente alternada senoidal, como veremos dentro de poco.
7
8
ELECTRODINÁMICA
Fuerza entre dos conductores paralelos
i
F
i
F
de longitud l recorridos por la misma corriente i: Cada elemento de conductor de longitud ∆l experimentará
una fuerza debida a la interacción de la corriente que transporta y el campo creado por el otro conductor
con corriente, es decir ∆ F=i.∆
∆ l.µ.
µ.H , pero H vale i/(2πr) siendo r la distancia entre ambos conductores,
entonces ∆ F=i2.∆
∆ l.µ
µ ./(2π
π r) y la fuerza total F=i2.l.µ
µ ./(2π
π r) . Será de atracción entre conductores si las corrientes son de igual sentido, y de repulsión si son de distinto sentido (En el caso de un conductor formando
un bucle, el paso de la corriente tiende a ensancharlo).
Las fuerzas que se generan entre conductores en caso de cortocircuito deben preverse en las instalaciones eléctricas, como se explica en el ejemplo 4 de la sección siguiente.
Equilibrio de un sistema con fuerzas magnéticas. Estado de “campo mínimo”
Se sabe que un sistema cualquiera evoluciona libremente hacia la configuración de energía potencial mínima. Un campo magnético posee energía asociada al espacio que ocupa, igual que el campo eléctrico5. Debido a ello las acciones entre corrientes producen fuerzas que tienden a mover los conductores por los que circulan hacia una configuración que
presente un campo de extensión mínima. Por ejemplo dos solenoides por los que circula corriente tienden a meterse uno dentro
del otro con polos opuestos superpuestos. Dos barras imanadas tienden a colocarse a la par con polos
S
N
opuestos enfrentados, como se indica en la figura.
+ -
S
5
8
La expresión de la energía por unidad de volumen de un campo magnético es µ.H /2 , como se deduce en la página 15 de esta segunda parte.
2
N
ELECTRODINÁMICA
9
PROBLEMAS DE ELECTRODINÁMICA
Problema 1: Un conductor cilíndrico de cobre de 1 m de largo y 1 mm2 de sección cuelga desde un extremo. Por él pasa una
corriente de 10 A hacia abajo: Calcular la fuerza que se genera sobre el conductor por efectos de la interacción entre corriente y
campo magnético terrestre (cuyo valor es de 16 A/m dirigido de sur a norte geográfico). Describir el movimiento que experimenta
el conductor por efecto de esa fuerza.
F = µ.H.l.i = 4.π.10-7.16.1.10 = 0,0002 N ≈ 20 mg
i
De acuerdo a la regla de los tres dedos de la mano izquierda, la fuerza será horizontal apuntando hacia el este.
F
pila +
E
b
P
F
H
cuba de mercurio
(contacto móvil)
F
N=100
i
i
El conductor tiene un volumen de 1x10-6 m3 y por lo tanto pesa (peso específico del cobre = 8300 Kg/m3) = 0,00083 Kg =
830 mg . El peso P y la fuerza eléctrica F se componen como los catetos de un triángulo rectángulo para dar una resultante
en la dirección de la hipotenusa del mismo que formará con la vertical un ángulo β = arc tg (F/P) = 1,38º (compruébese)
Problema 2: Una máquina eléctrica elemental consta de un cuadro de 1 m de largo por 0,5 m
de ancho formado por 10 vueltas de alambre de cobre de 1 mm2 de sección que está bobinado
sobre un núcleo cilíndrico de hierro. El conjunto está colocado entre los polos de un electroimán
alimentado por un solenoide de 100 vueltas por el que circula una corriente de intensidad i=0,5 A
Calcular:
1)
El valor de la fuerza electromotriz generada entre las escobillas cuando el cuadro gira a
una velocidad de 1000 vueltas por minuto
2)
La fuerza sobre los lados activos del cuadro cuando por el mismo pasa una corriente de 2
A
Respuestas:
1) La fuerza electromotriz inducida entre los extremos del cuadro de 10 vueltas valdrá 10 veces la que se genera
en cada espira, o sea V=10.µ.H.v.l.2 (el último 2 obedece a que se suma la f.e.m. en el conductor de ida y en el de
vuelta de cada espira)
Las dimensiones del cuadro son l = 1 m
r = 0,5/2 = 0,25 m
Llamando v a la velocidad del conductor activo:
ω (velocidad angular) = n[vuelta/min]/60[s/min x 2.π [rad/vuelta] = 104,7 rad/s
v (velocidad tangencial) = ω.r = 104,7 x 0,25 = 26,17 m/s
El campo H creado por la corriente i en la bobina de N=100 vueltas del electroimán vale H = N.i/L , siendo L la longitud del camino que recorre el flujo de
H por todo el circuito magnético. De acuerdo al dibujo estimamos que aproximadamente es L = 10 r = 2,5 m de donde
H = 100 vueltas x 0,5 A / 2,5 m = 20 A/m
¿Qué valor tomamos para la permeabilidad magnética µ ? Debemos tomar el valor del material en que están inmersos los conductores activos del cuadro.
Están en el espacio de aire entre rotor y estator (la parte móvil del motor y la parte fija respectivamente), pero rodeados de hierro, cuya permeabilidad
magnética es de 2000 veces la del aire , así que µ = 2000 x 4.π.10-7 = 0,0025 [MKS]
Entonces la fuerza electromotriz resulta:
V = 10 x 0,0025 x 20 A/m x 26,17 m/s x 2 m = 26,17 V
Una manera cómoda de controlar el valor de esta fuerza electromotriz es variando la corriente i que pasa por la bobina del electroimán. A esta corriente se
la llama "de exitación" porque es la que estimula el mayor o menor valor de la f.e.m. V
2) Cuando por el cuadro detenido pasa una corriente I=2A aparece sobre cada conductor activo una fuerza que vale µ.H.I.l= 0,0025 x 100 A/m x 2 A x
1m= 0,5 N
Como el cuadro consta de 10 vueltas, en cada lado del mismo se producirá una fuerza de 5N o sea poco más de medio Kg. Ese par de fuerzas tenderá a
hacer girar el cuadro y a arrancar el motor con un momento de 5N x 0,5m = 0,25 Nm.
Problema 3: ¿Qué potencia se perderá en forma de calor en el cuadro de la máquina eléctrica anterior cuando funcionando como
motor tome de la línea una corriente de 2A girando a 1000 rpm? ¿Qué potencia mecánica entregará en el eje? ¿Qué potencia
eléctrica tomará de la línea?
Respuestas:
1) Cada vuelta del bobinado del cuadro tiene una longitud igual al perímetro de éste, o sea 3 m. La longitud total valdrá L =3 m/vuelta x 10 vuelta = 30 m
Su resistencia eléctrica será
R = ρ.L/s = 1/57 [Ω mm2/m] x 30 m / 1 mm2 = 0,53 Ω
Cuando una corriente I pasa por una resistencia R disipa en forma de calor una potencia igual a W=RI2 lo que en nuestro caso representa 0,53 x 2 x 2 =
2,1 W de pérdida en el bobinado.
2) La potencia mecánica que entrega una fuerza en movimiento vale el producto de la fuerza por la velocidad. En nuestro caso cada fuerza F que aparece
en los lados activos del cuadro se mueve a velocidad v y la potencia disponible en el eje del motor valdrá:
W eje = 2.F.v = 2.F.r.ω = M.ω (momento por velocidad angular)
W eje= 2 x 5N x 26,17 m/s = 261,7 W
9
10
ELECTRODINÁMICA
3) Para poder entregar 261,7 W de potencia en el eje y producir 2,1 W en forma de calor, la línea debe suministrar una potencia igual a la suma de ambas, o sea 263,8 W . El rendimiento de la máquina es el cociente entre lo que entrega y lo que toma, y vale en nuestro caso 261,7/263,8 = 0,992. El
rendimiento real es menor porque no hemos tomado en cuenta la potencia mecánica perdida en los cojinetes y en el rozamiento de las escobillas contra el
colector: ésta también se transforma en calor.
tablero
+
-
barras
generador
C o rto c i r c u i t o a c c i d e n t a l
m o to r
Problema 4: Un grupo electrógeno de 110 V y 10 KW (10000 W) alimenta un
tablero de distribución mediante un tramo de 10 m de largo de dos barras de
2
cobre paralelas de 1 cm de sección que distan 0,05 m ente sí. Accidentalmente
cae una herramienta sobre las barras a 5 m del generador, produciéndose un
cortocircuito.
Calcular la fuerza de separación que actúa entre las barras.
Solución:
1) Cálculo de la corriente de cortocircuito: Su intensidad sale de aplicar la ley de
Ohm al circuito cuya resistencia es la suma de la interna Ri del generador y la de
ida y vuelta de las barras hasta la llave.
La resistencia interna Ri de un generador no debe disipar en forma de calor a lo sumo el 5% de la potencia suministrada P, es decir que a la intensidad
2
nominal6 in debe ser Ri.in =0,05.P , pero como in=P/U=10000/110=90,9A entonces
2
2
Ri=0,05.U /P=0,05.110 /10000=0,0605Ω
Ω
2
2
Resistencia de 5m de ida y 5 m de vuelta (10m) de barra de Cu de 1 cm = 100 mm de sección RCu=ρ
ρ.l/s=1/57.10/100=0,0017Ω
Ω
Resistencia total de cortocircuito para una falla a 5 m del generador: Rt=Ri+RCu=0,0622Ω
Ω (Nótese que una falla cercana supone una corriente limitada
solamente por la resistencia interna del generador, ya que la resistencia de la linea es despreciable frente a aquélla)
Corriente de cortocircuito icc=U/Rt=110/0,0622=1768,5A
2) Fuerza entre conductores
2
-7
F=icc2.l.µ
µ ./(2π
π r)=(1768,5) .5.4π
π .10 /(2π
π .0,05)=65,55N≅
≅ 6,6Kg
Los soportes de las barras deberán resistir esta fuerza de separación para que no se deforme el conjunto en caso de cortocircuito.
6
Se llaman valores nominales (intensidad, tensión, velocidad) a los que figuran en la chapa del aparato, que son en definitiva los de régimen garantizado por el fabricante. Así, la intensidad nominal es la máxima corriente que puede suministrar el generador en forma sostenida.
10
11
CORRIENTE ALTERNA
CORRIENTE ALTERNA
Generación: Consideremos nuevamente el generador de la página 15 e introduzcamos la
modificación siguiente: en vez de colector de dos segmentos hagamos que los extremos del
cuadro terminen en sendos aros metálicos sobre los que puedan rozar una escobilla sobre
cada uno. Se tendrá así un generador de tensión7 alterna senoidal. En efecto, vimos que la
f.e.m. era V = 2µH.v.l.sen(v^H)
2µ
es decir que V variará proporcionalmente a la función
sen(v^H) según el siguiente esquema:
v
v
posición del cuadro
ángulo v^H
90º
horizontal (0º ) 
180º
vertical (90º ) |
270º
horizontal (180º )

360º
vertical (270º )|
GENERADOR ELÉCTRICO DE CORRIENTE ALTERNA
sen(v^H)
1
0
-1
0
V
270º
0
90º
180º
360º
v^H
El ángulo v^H es en realidad una medida del ángulo girado por el cuadro, por lo que la velocidad angular puede expresarse como
ω = ángulo girado/tiempo = v^H/t y consecuentemente v^H=ω.t . Entonces la f.e.m.en función del tiempo es:
V = µ.2.H.v.l.sen(v^H)
µ.2.
= µ2 H.v.l.sen(ω.
ω.t)
La relación entre la velocidad angular ω a la que gira el generador de alterna y la frecuencia f de la tensión generada es, como
se sabe ω =2.π.f
Otra forma de poner la fórmula anterior es haciendo intervenir el área a del cuadro de largo l y altura d=2r , siendo a=2.l.r y
v=ω.r resultando así que v.l=ω..a/2 con lo cual V = ωµHa.sen(ωt) . Pero H.a es el flujo máximo del campo magnético que pasa
por la espira, que multiplicado por sen (ωt) da el flujo variable a través del tiempo.
Por este motivo, se puede interpretar según convenga que la diferencia de potencial inducida responde a la variación del flujo
abarcado por una espira a lo largo del tiempo o bien considerar que ésta corta líneas de campo. Ambas posturas son absolutamente equivalentes. Sin embargo, se prefiere considerar a la variación del flujo del campo magnético como origen de la tensión inducida cuando la espira está quieta y el campo es el que varía de intensidad en el tiempo.
3000
rpm
vapor de caldera
válvula
regulador
TURBINA
En nuestro país y muchos países europeos se adopta f=50 Hz que equivale
a una velocidad angular de generador de
ω =314,16 rad/s o sea
n = ωx60/2/π = 3000 rpm.
GENERADOR
En nuestras usinas eléctricas, las turbinas a vapor que mueven los generadores tienen un regulador automático de velocidad que mantiene la misma en un valor de 3000 rpm . Este regulador, derivado del que inventó Watt
a fines del siglo XVIII para su máquina a vapor, detecta la tendencia a freagua a caldera
narse o acelerarse de la máquina frente a una mayor o menor demanda de
energía, abriendo o cerrando la válvula de vapor de entrada. La precisión del dispositivo asegura una diferencia menor que 2 rpm
, o sea que el display del contador de vueltas puede llegar a marcar 2999 o 3001 rpm
Condensador
¿Por qué tensión alterna? Porque por empezar es más fácil de generar que la continua: no hace falta el colector partido para la
conmutación del sentido de la f.e.m. Pero no es ésta la única ventaja ni la más importante: La tensión alterna se puede aumentar
o disminuir sin pérdida de potencia apreciable en aparatos relativamente sencillos (sin partes móviles) llamados transformadores, que veremos luego. Y la energía en alta tensión supone menor corriente a igualdad de potencia transmitida: y la menor intensidad requiere cables de menor sección. No podría transmitirse económicamente energía desde Chocón (Rio Negro) hasta
Buenos Aires si no se elevara desde 13200 V en los generadores a 400000 V durante el transporte. Cuando llega a destino se
transforma gradualmente a tensiones más bajas adecuadas a los usuarios (por ejemplo 220 V en la entrada de nuestras casas).
7
Tensión eléctrica o diferencia de potencial son sinónimos
11
12
CORRIENTE ALTERNA
Las corrientes producidas por tensiones alternas
Cuando aplicamos una tensión alterna a un circuito éste es recorrido por una corriente alternada de igual frecuencia que la tensión aplicada. Pero según el circuito posea sólo resistencias o también bobinas y condensadores la corriente variará al unísono
con la tensión o no: Se dice que la corriente puede estar en fase o no con la tensión según las características del circuito de carga.
En una resistencia: Veamos el caso más simple de un conductor corto de resistencia R unido a un generador de alterna: En
todo momento la tensión aplicada será igual a la resistencia R multiplicada por la corriente. A mayor tensión, mayor corriente.
Así, la forma de la corriente seguirá a la forma de la tensión aplicada sin retraso ni adelanto: está en fase con la tensión.
En una bobina: Las cosas son diferentes en caso de conectar una bobina al generador de alterna: vimos que la bobina recorrida
por una corriente produce un campo magnético. Mientras se establece la corriente en la bobina, proceso éste que no es instantáneo como en el caso de la resistencia, las espiras de la bobina van cortando las líneas del campo que ella misma va creando.
Si se prefiere interpretarlo de otro modo, el flujo magnético creciente pasa por la bobina. Se genera así una fuerza electromotriz
(f.e.m.) autoinducida en la bobina cuyo sentido se opone al aumento de la corriente. De la misma forma cuando la corriente
tiende a disminuir la consecuente variación del campo magnético autoinduce una f.e.m. en la bobina que se opone a dicha disminución. El resultado es que la bobina se comporta como un amortiguador a las variaciones de corriente, que atrasan con
respecto a las de la tensión aplicada. En una bobina pura (arrollamiento sin resistencia)la fase de la corriente atrasa 90º a la
tensión aplicada.
corriente en fase
corriente adelantada
t
tensión
corriente atrasada
En un condensador: Como el dieléctrico es aislante, por un condensador no puede pasar una carga neta en un sentido en forma sostenida, si en cambio un vaivén de cargas
como es en realidad una corriente alternada. Cuando una de las placas recibe cargas
positivas, la otra atrae cargas negativas y expulsa las positivas hacia el resto del circuito:
es como si las cargas pasaran a través del condensador durante este proceso de aumento
de carga. Cuando la tensión aplicada tiende a crecer sobre sus placas (o armaduras) el
condensador tiende a resistir dicho aumento, y cuando la diferencia de potencial aplicada
tiende a decrecer, el condensador suministra parte de la suya en compensación. De tal
forma opera como un amortiguador de tensión y por lo tanto ésta atrasa sobre la corriente. La fase de la corriente que pasa por un condensador adelanta 90º con respecto a
la tensión aplicada.
Aclaración para los que leen otros libros: Verán que a los electricistas les gusta representar el producto del escalar µ por el campo magnético vectorial
H con un sólo vector “inducción magnética” que representan con la letra B . Así es B=µ
µ .H . La unidad de inducción magnética en el sistema MKS se
llama Tesla, que equivale a 10000 unidades Gauss del sistema cgs
Autoinducción de una bobina
Está relacionada la autoinducción de una bobina con la propiedad de abarcar su propio campo magnético. Se define como coeficiente de autoinducción L de una bobina a la relación entre el valor del flujo del campo magnético a través de su sección S y el de
la corriente i que lo produce multiplicado por el número de vueltas N, es decir L = µ .H.S.N/i , pero como ya vimos en un solenoide largo de longitud l es H=N.i/l y entonces L = µ .S/l.N2
El coeficiente de autoinducción L (selfinduction para los ingleses) mide la capacidad de crear campo magnético de un arrollamiento. Como se deduce de la fórmula, no depende de la corriente ni de cualquier otra magnitud eléctrica sino de las dimensiones (sección y largo), el medio y el cuadrado del número de espiras. La unidad en que se mide L es el Henry [H] en el sistema
MKS8
Inducción mutua de un par de bobinas
Sean dos bobinas próximas Bob1 y Bob2 de número de vueltas N1 y N2 respectivamente que están recorridas por sendas corrientes eléctricas i1 e i2 . Hay una fracción f12 de flujo del campo H1 creado por Bob1 que atraviesa a Bob2 y también otra fracción f21 del flujo del campo H2 creado por Bob2 que atraviesa a Bob1 . Considerando este fenómeno en el cual parte del flujo se
dispersa fuera de la otra bobina, se define como coeficiente de inducción mutua del sistema de bobinas B1/B2 a M tal que:
M = f12.L1 = f21.L2 = µ .Sc/l.N1.N2
siendo Sc la sección por donde corre el campo común a ambas bobinas, menor que la sección más pequeña.
En caso de que todo el flujo de cada bobina pase por la otra (sin dispersión) es f12=f21=1 y entonces M=L1=L2 (caso de un
transformador perfecto). La unidad para M es lógicamente el Henry [H] , como en el caso de L
8
Todo circuito cerrado posee autoinducción. Aún el formado por dos cables paralelos que corren juntos, puede considerarse como una espira aplastada
que abarca el campo magnético que pasa entre ambos.
12
CORRIENTE ALTERNA
13
Energía de un campo magnético
Un campo magnético se forma a costa de la energía necesaria para establecer la corriente eléctrica que le da origen en un tiempo t. El establecimiento de dicha corriente
desde cero a un valor de intensidad i en un tiempo t requiere vencer la fuerza electromotriz inducida que se opone a cada aumento de la misma, que vale V=L.i/t para un
solenoide de longitud l y sección S que posea un coeficiente de autoinducción L y que se somete a un aumento de corriente constante i/t . Al cabo de un tiempo t la
corriente creciente llegará a un valor i y la carga transportada por ella será equivalente a la de una corriente constante de la mitad del valor máximo i/2 , que circularía
durante el mismo tiempo t . De tal manera la carga transportada será q=i/2.t y la energía T de todo el proceso de establecimiento de la corriente valdrá:
T = V.q = L.i2/2 = µ.S/l.N2.i2/2 = ½ µ H2.S.l , pero S.l es el volumen Vol que ocupa el campo dentro del solenoide. Como afuera el campo es despreciable, la energía
asociada a un campo magnético que ocupa un volumen Vol vale: T/Vol= ½ µ H2 [J/m3] (9)
Cómo medir una magnitud eléctrica alternada: Valor eficaz
Una corriente alternada es una corriente que va y viene: arranca de cero, sube hasta un valor máximo y después baja a cero.
Sigue bajando a valores negativos hasta alcanzar el mismo valor absoluto que el máximo positivo y entonces empieza a subir
hasta llegar a cero... y así sigue su vaivén muy rápidamente: a razón de cincuenta ciclos como el descripto por cada segundo si
se trata de la red domiciliaria.
Como sabemos la intensidad de una corriente alterna tiene una expresión matemática en función del tiempo t que es
i(t)=Imáx.sen(ω
ω t+φ
φ ). El ángulo φ es el que mide el atraso o adelanto entre la corriente y la tensión aplicada. Su valor depende si
el circuito tiene sólo resistencias (φ=0) o bobinas (φ<0) o condensadores (φ>0).
Si una corriente alternada pasa por una galvanómetro de cuadro móvil como el descripto en estos apuntes, actuarán un par de
fuerzas que alternativamente tirarán de la bobina hacia un lado y hacia el otro con igual intensidad las famosas 50 veces por
segundo: difícilmente pueda reproducir esta variación tan rápida con sus órganos móviles, y en cambio hará como un empleado
al que se da órdenes y contraórdenes antes de que las pueda cumplir: se quedará donde está. En efecto, las agujas de los aparatos lentos convencionales marcarán cero ante una señal alterna porque van a promediar en el tiempo esos esfuerzos sucesivos
iguales y contrarios. Algunos instrumentos de cuadro móvil con poca o ninguna inercia mecánica pueden seguir este vaivén sinusoidal y mostrarlo gráficamente en una traza (lo que se llama un oscilograma
).
El valor promedio de una corriente alterna es cero, sin embargo sus efectos (térmicos,
mecánicos o fisiológicos) no lo son. Una buena medida de su intensidad es la
1
que surge de compararla con una corriente continua que produzca la misma energía calórica. Ésta vale R.i2.t para una corriente continua de intensidad i=constante
½
sen2 x
durante un tiempo t .
x
0
¿Cuánto valdrá para una corriente alternada de intensidad instantánea
i(t) = Imáx.sen(ωt+φ)? Sin duda el promedio de R.i(t)2 , o sea R por el promedio
del cuadrado de la corriente instantánea (en inglés medium square intensity =
MSI) durante un período de tiempo más o menos largo (por lo menos un ciclo com-1
pleto). Ahora bien, si la corriente varía senoidalmente, su cuadrado varía como la
función seno al cuadrado, que es otra sinusoide pero de frecuencia doble y mitad de altura 10 . El valor medio de esta sinusoide
sen2x es evidentemente 1/2 o sea la mitad del cuadrado de su valor máximo.
1/√2
sen x
La relación entre la corriente continua i y la corriente alternada i(t) que produce la misma energía calórica sale de igualar
R.i2=R.MSI de donde
i=√ MSI=RMSI (root medium square intensity). Pero vimos que MSI=(1/2)Imáx2 por lo tanto extrayendo la raíz cuadrada en ambos miembros nos queda que RMSI=Imáx/√ 2 . En castellano a la raíz del valor cuadrático de una función se lo llama "valor eficaz" y en el caso de la corriente eléctrica variable (alternada como caso particular)11 es el valor de una corriente continua que
disipa la misma cantidad de calor que la corriente variable a través de una misma resistencia. Llamaremos al valor eficaz de una
corriente eléctrica alternada a Ief=Imáx/√2 . También se aplica el RMS a las tensiones, definiéndose así tensión eficaz como
Vef=Vmáx/√ 2
9
Los que saben cálculo infinitesimal pueden deducir lo anterior con mayor rigor de la siguiente manera: ∆V = L.di/dt para di/dt=k (constante) ; i=kt ;
∫
q= i.dt=k.t2/2 = k.t.t/2 = i.t/2 ;
T = q.∆V = i.t/2.L.di/dt ; T = k.t.L/2.i = L.i2/2
10
Se ve en la figura claramente el por qué de la relación trigonométrica sen2x=[1-cos(2x)]/2
11
La corriente senoidal es un caso particular de una corriente que varía de cualquier manera en el tiempo. A ellas en general se aplica el concepto de
valor eficaz o RMS. Solamente en el caso particular de corriente senoidal es RMS=Imáx/√ 2
13
14
CORRIENTE ALTERNA
PRINCIPIO DE UN
GALVANÓMETRO DE
HIERRO MÓVIL
resorte
0
1
2
3
Aparatos para medir el valor eficaz
Para medir el valor eficaz de una magnitud eléctrica que oscila rápidamente, se usa un aparato que
no detecte el signo (o sentido) de la corriente sino su intensidad absoluta. Los más usados son los
galvanómetros de hierro móvil, cuyo principio de funcionamiento se esquematiza en la figura adjunta. La fuerza que tiende a introducir el núcleo dentro de la bobina es proporcional al cuadrado de
núcleo de hierro
la intensidad de la corriente que circula por ella12 y por lo tanto tiene siempre el mismo sentido. Si la
variación de la fuerza es rápida comparada con el período de oscilación del sistema núcleo/resorte,
bobina
éste se estabilizará con un alargamiento del resorte proporcional al valor cuadrático medio (MSI). Los
aparatos de hierro móvil se gradúan con corrientes continuas de intensidad conocida.
señal rectificada
rectificador de estado sólido
instrumento de c.c.
Otra solución para medir corrientes alternas es usar instrumentos de cuadro móvil con un
elemento rectificador intercalado en el circuito: éste deja pasar la corriente en un sólo
sentido bloqueando el paso en sentido contrario13. El cuadro se desvía proporcionalmente al
valor medio de la onda rectificada.
núcleo de Fe
El transformador de tensión alternada
Se construye un transformador de alterna14 arrollando dos bobinas sobre un mismo núcleo preferentemente de hierro15 para que debido a su alta permeabilidad µ canalice el
V1
V2
campo magnético en su interior.
Las bobinas pueden estar una en cada columna del núcleo, o una sobre la otra como
generador de c.a.
indica la figura de abajo, de manera que el flujo de campo creado por cualquiera de ellas
pase también por la otra. Un aumento del campo magnético equivale a un aumento en la densidad de líneas de campo, o sea
que un aumento de campo magnético dentro de una bobina equivale a que sus espisecundario
ras corten líneas en un sentido y una disminución se reduce al corte de líneas en el
sentido contrario. Es decir que una variación del flujo de campo magnético que pasa
por adentro de una bobina o arrollamiento produce una fuerza electro motriz (tensión
a circuito abierto). inducida entre los extremos del mismo. Si uno de los dos bobinados
(que llamaremos primario) se conecta a un generador de alterna, sobre el otro (que
llamaremos secundario) aparecerá una tensión inducida en fase con la tensión aplicada en el primario.
N1
primario
N2
núcleo laminado
líneas de campo magnético
DETALLE CONSTRUCTIVO DE UN TRANSFORMADOR
Fórmulas del transformador
La relación entre el valor de la tensión aplicada V1 en el primario y la que se obtiene en el secundario
V2 es proporcional a la relación de número de vueltas N entre ambos bobinados, siempre que las
líneas de fuerza corten a todas las espiras y no haya fuga o dispersión de líneas fuera de las bobinas:
V1/V2=N1/N2
(1)
Se cumple en un transformador ideal, sin pérdidas, cuyo secundario está conectado a un circuito (transformador en carga) lo siguiente:
N1.I1=N2.I2
(2)
donde I1 e I2 son las intensidades eficaces (RMS) que circulan en el primario y en el secundario respectivamente.
De (1) y (2) se obtiene que V1.I1=V2.I2 , igualdad que era previsible ya que indica que la potencia que entra en el primario es igual a la que sale por el
secundario.
Corrientes parásitas o de Foucault
Se comprende que un campo magnético variable induzca una diferencia de potencial no sólo en un alambre sino en cualquier
conductor de forma cualquiera. En ambos casos se produce el corte de líneas de campo magnético por la materia conductora.
Las fuerzas de Lorentz que actúan sobre las cargas libres las distribuyen según su signo en diferentes lugares del conductor,
creando así diferencias de potencial entre sus puntos. Si el conductor es un trozo de alambre abierto, se produce una polarización
en los extremos sin circulación de cargas. Si es una espira cerrada, se establece una corriente cuyo campo magnético tiende a
oponerse al campo inductor. Si es una masa extensa maciza de metal, esas corrientes circulan según la distribución del potencial
que se crea por inducción, desde puntos de mayor potencial a los de menor potencial, siguiendo los caminos de menor resisten12
Esta fuerza es el resultado de la interacción entre la corriente que circula por la bobina y las corrientes resultante del ordenamiento atómico del Fe en
el núcleo. El hierro empleado no debe poseer memoria magnética, es decir que el ordenamiento de sus átomos creado por la corriente en la bobina debe
cesar con ésta. ¿Por qué?. La escala de los instrumentos de hierro móvil no es lineal, como una regla, sino que presenta divisiones cada vez más separadas. ¿Por qué?
13
Generalmente se utiliza como rectificador un diodo de silicio, constituído por un par de elementos de Si de diferente grado de pureza: la corriente pasa
del más puro al menos puro.
14
Existen modernamente transformadores de corriente continua que elevan o bajan una tensión continua mediante un ondulador, un transformador y
un rectificador.
15
El núcleo se construye con una pila de chapas de hierro. Esta construcción limita el camino de las corrientes parásitas que inevitablemente se inducen
en el metal del núcleo, ocasionando pérdidas de potencia que así se minimizan.
14
15
CORRIENTE ALTERNA
cia. Estas corrientes se llaman corrientes parásitas o “corrientes de Foucault” en honor a quién las estudió. Son fuente de
pérdidas de energía, ya que disipan calor al circular por los circuitos resistivos de las masas metálicas dónde se generan. Por
ejemplo producen calentamiento no deseado en el núcleo de un transformador. Las corrientes parásitas son proporcionales, como toda corriente eléctrica en un conductor, al campo eléctrico y a la conductividad del material. Así que para reducirlas lo más
posible hay que tratar de que disminuir la diferencia de potencial inducida por el flujo campo variable y aumentar la resistencia de
los caminos que vayan a recorrer. Ambas cosas se logran dividiendo el material del núcleo en zonas aisladas entre sí, por ejemplo haciéndolo de gránulos o láminas finas pegados con aislante, que oponen poca superficie al flujo del campo magnético, y
“cortan” los caminos seguidos por la corriente, sin alterar las líneas de campo magnético a través del núcleo.
Ejemplo: Freno de corrientes parásitas
corriente de frenado
Este dispositivo aprovecha las corrientes de Foucault generadas en un disco metálico giratorio sometido a un campo magnético
fijo, para ejercer una acción de frenado. Como resultado de la interacción entre el campo inductor del electroimán y el campo que
generan las corrientes de Foucault sobre el disco en movimiento, se produce una fuerza de sentido contrario al desplazamiento
de éste. El disco puede estar unido al eje de las ruedas de un vehículo, en cuyo caso el chófer regula el frenado con la intensidad
de la corriente que circula por el electroimán.
Las corrientes sobre el disco corren por trayectorias radiales en la zona influída por
el campo (que atraviesa el disco de aluminio), y se cierran afuera de esta zona sidisco
guiendo curvas más o menos amplias, según las líneas de campo eléctrico dentro del
giratorio de
líneas de campo
bobina
aluminio
metal. Las corrientes radiales hacia la periferia del disco interaccionan con el campo
magnético inductor H (que es entrante en el papel), dando una fuerza de Lorentz
hacia abajo, es decir en contra del movimiento del disco (regla de los tres dedos de la
mano izquierda). Esta fuerza de frenado es proporcional a la corriente parásita i, al
campo inductor H y a la longitud del recorrido activo L (ancho del polo inductor), o
electroimán
sea F=µ
µ .H.i.L. =Β
Β .i.L La corriente parásita es proporcional a su vez a la diferencia de
potencial inducida (V=µ.H.v) e inversamente proporcional a la resistencia R del cirPrincipio del freno de corrientes
parásitas
cuito sobre el disco (i=µHv/R). De manera que F=µ
µ 2.H2.v.L/R, es decir que la fuerza
de frenado en un freno de corrientes parásitas es proporcional al cuadrado del campo
inductor y a la velocidad de giro. Por este motivo, no puede usarse como freno de estacionamiento, ya que cuando v=0 no hay
frenado. En cambio es mucho más eficiente que un freno de fricción mecánico a altas velocidades, ya que más frena cuánto más
rápido se va.
La ley de Ohm en corriente alterna
En un circuito de corriente alternada la relación entre tensión y corriente eficaces da un valor llamado impedancia del trozo de
circuito en cuestión16 . La teoría desarrollada por Heaviside17 permite tratar a las impedancias como números complejos cuyo
módulo vale Z = Vefr/Ief y viene a ser el equivalente formal de la resistencia en corriente alternada . Su unidad es también el
Ohm . Su valor depende de la configuración del circuito:
1.
2.
3.
Si el circuito posee resistencias únicamente (sin bobinas ni condensadores) la impedancia es prácticamente igual a la resistencia que mediríamos en
corriente continua18 y su valor tiene solamente componente real Z = R
Si el circuito posee bucles o vueltas de conductores , éstos abarcarán un flujo de campo magnético cuando circule corriente I y se podrá definir un
coeficiente de autoinducción L tal que L.I=µ.H.S . La impedancia en éste caso, despreciando la resistencia propia de los conductores, depende de L
y de la frecuencia f . Su valor es un número imaginario puro (acordarse que j=√-1 y que por lo tanto j2=-1)19
Z = j.ω
ω .L = 2.π
π .f.L.j
Si el circuito está formado únicamente por condensadores o elementos conductores separados por dieléctricos, (cables bifilares sin carga, por
ejemplo), se podrá definir una capacidad C equivalente a la de un condensador único. En tal caso la impedancia es inversamente proporcional a la
frecuencia f=ω/2/π y a la capacidad equivalente C .Su valor es un número imaginario puro de manera que
Z = 1/(j.ω
ω .C) = -j/ω
ω /C
Si en el circuito existen conductores con resistencia, arrollamientos o bucles con autoinducción y capacidad, deben
combinarse los valores de sus impedancias individuales por separado de la siguiente manera:
Impedancia de elementos en serie
Se suman sus valores individuales
Expresión compleja:
Z = R + j.ω.L+1/(j.ω.C) = R +j[ω.L-(1/ω/C)]
V
+
+ L
+
+
+
+
corrientes parásitas
inducidas en el disco
---
sentido de giro del
disco
F
zona de influencia del
campo magnético
(entrante)
16
La impedancia es en realidad una magnitud formada por una pareja de dos valores escalares: la relación aludida y el ángulo de desfasaje entre tensión
y corriente. Esto hace que se deba representar por un par de valores (número complejo, vector de dos componentes, o en general por una díada)
17
Oliver Heaviside, ingeniero inglés muerto en 1925 , famoso por sus trabajos relacionados con la reflexión de ondas de radio en la estratosfera. Descubrió un método empírico para resolver ecuaciones diferenciales que los matemáticos justificaron teóricamente más tarde: De él surge la transformación de
las impedancias en números complejos.
18
En realidad es un poco mayor, debido a que la corriente alternada tiende a pasar por la superficie de los conductores más que por el centro (o el alma),
desperdiciando así parte de la sección. Este efecto, que se explica por un fenómeno de inducción dentro del conductor, se llama “efecto pelicular” (skin
effect)
19
En electricidad se usa j en vez de i para la unidad imaginaria, para no confundirla con la corriente i
15
16
CORRIENTE ALTERNA
Parte real de la impedancia serie:
Parte imaginaria de la impedancia serie:
Módulo de la impedancia serie:
R
X = [ω.L-(1/ω/C)]
1/2
Z = [R2+X2]
(resistencia)
reactancia)
(impedancia)
Impedancia de elementos en paralelo
La inversa del valor de la impedancia compleja paralelo es igual a la suma de las inversas de sus valores individuales:
1
1
1
1
1
= +
+ jωC = + j(ωC − )
Zab R jωL
R
ωL
Impedancias de elementos combinados serie/paralelo
Las resultantes de otras combinaciones de elementos se obtienen como en el caso de las resistencias: sumando las equivalentes en paralelo con las
equivalentes en serie.
EJEMPLO: Se desea saber qué intensidad de corriente eficaz recorrerá un circuito formado por una bobina en paralelo con un condensador cuando se
conecta a una fuente de tensión alterna.
Datos:
L
Ib
Ic
R
C
I
La bobina está formada por N=1000 vueltas de alambre de cobre de s=0,2 mm2 de sección (que corresponde
a 0,5 mm de diámetro) arrolladas sobre un núcleo cilíndrico de ferrite20 (µ=0,005) de 1 cm de diámetro d por 20
cm de longitud.
El condensador consta de dos hojas de papel aluminio de 1 m2 de superficie cada una, separadas por papel
parafinado de 0,05 mm (50 micrones) de espesor . La constante dieléctrica del papel parafinado es ε=3x10-11
La fuente es la red domiciliaria: 220 Vef , f=50 Hz (ω = 2.π.f = 314 rad/s)
Además de su autoinducción L , la bobina posee resistencia apreciable R porque está compuesta por un cable
de cobre (ρ=1/57 Ω mm2/m) de longitud l
l = π.d.N = 3,1416 x 0,01m x 1000 = 31,416 m , cuya resistencia vale:
V
R = ρ.l/s = 31,416/57/1 = 2,756 Ω
La resistencia del alambre de la bobina se pone en serie con la impedancia debida a la autoinducción L , que vale ωL
Sección del núcleo S = π.d2/4 = 3,1416 x 0,012 /4 = 7,8 x 10-5 m2
L = µ.S.N2/longitud = 0,005x7,8x10-5x106/0,2 = 1,95 H
ω.L = 314 x 0,0195 = 612,6 Ω
Zbobina = R+jωL = 2,756+j612,6 Ω
Corriente que pasa por la bobina De acuerdo a lo visto I = V/Z = 220/(2,756+j612,6) = ¿Es que vamos a trabajar con números complejos? ¿Y por
qué no? ... Veamos lo que pasa:
Una forma de dividir algo por un número complejo es multiplicar y dividir la fracción por el complejo conjugado del denominador, en este caso 2,756-j612,6
Ib = V/Zb = 220/(2,756+j612,6) = 220x(2,756-j612,6)/[2,7562+612,62] =
Ib = 1,6156x10-3-j0,359
¿Qué significa un valor de corriente eléctrica complejo? Sabemos que un número complejo se puede representar con un vector cuya componente horizontal es la parte real del complejo y cuya componente vertical es la parte imaginaria: es la representación cartesiana.
O también con la longitud de su módulo y el valor de su argumento: es la representación polar21
Para pasar de una a otra representación no hay más que mirar la figura:
Módulo
ρ = √(a2+b2)
Parte real
a = ρ x cos φ
Parte imaginaria
b = ρ x sen φ
Argumento
φ = arco cuya tangente es b/a
b
ρ
φ
a
Mód (módulo de)
Arg (argumento de)
Por ejemplo para nuestra corriente Ib = 1,6156x10-3 - j0,359 es:
Re (parte real de)
[Ib] = 1,6156x10-3
Im (parte imaginaria de) [Ib] = -0,359
[Ib] = 0,35912 (apenas un poco mayor que [Im], puesto que Re es muy pequeño)
[Ib] = α = -89,7421º :la fase de la corriente atrasa casi 90º con respecto a la fase de la tensión aplicada (0º)
parte
imag
α
módulo
argumento
parte real
Capacidad del condensador
20
El ferrite es un óxido de hierro magnético de fórmula Fe2O3 que se muele muy finamente, se empasta con una resina y se comprime en moldes de
diversas formas. Al estar formada por gránulos finos separados eléctricamente por resina aislante, la masa del núcleo no puede ser sede de corrientes
parásitas.
21
La expresión polar nos es muy útil para dividir complejos, porque una fracción de complejos expresados en notación polar da como resultado otro
complejo cuyo módulo es el cociente entre los módulos , y cuyo argumento es la diferencia entre argumentos.
Así podemos poner que
Zb = V/Ib = 220, 0º / 0,35912 , 89,7421º= 612,61 ,-89,7421º
Parte real de Zb
Re[Zb] = 612,61 x cos (-89,7421) = 2,7568
Parte imaginaria de Zb
Im[Zb] = 612,61 x sen (-89,7421) = 612,60
Se ve que obtenemos prácticamente los mismo valores que antes.
16
CORRIENTE ALTERNA
17
C=ε.S/dist (¿se acuerdan de la fórmula?) = 3x10-11)x1m2/0,00005m = 6x10-7 F
Impedancia del condensador Zcond= -j/(ωC)= -j/314/6x10-7 = -5308j (imaginaria pura)
Corriente que atraviesa el condensador Ic = (220+0j)/(-5308j) = 0,0414j (adelantada con respecto a la tensión aplicada)
El valor complejo de la corriente alternada que pasa por la fuente es la suma de los valores complejos que representan a Ib e Ic (por que las ramas están
en paralelo)
Así que es:
I = Ib+Ic = (1,6156x10-3-0,359j) + (0,0414j) = 1,6156x10-3-0,31176j
Módulo de
I = 0,311764
Argumento de I = -89,703º
Nótese que la suma de los módulos o valores eficaces |Ib|+|Ic|=0,40052 no es el valor del módulo de I (|I|=0,311764) porque
las corrientes además de módulo tienen argumento (o ángulo de desfasaje) y la suma no debe ser de escalares sino de
complejos o vectores, como se ve en la figura22
I
Resumiendo: La solución de circuitos de corriente alterna en instantes alejados del momento de conexión o desconexión del
circuito (régimen permanente), puede hacerse con un método formalmente igual al empleado en los circuitos de corriente
continua23. Se utiliza en él el concepto de impedancia, definida como cociente entre valores complejos de tensión y corriente,
generalizándose así la ley lineal de Ohm usada en corriente continua. El cálculo de los valores eficaces y de los ángulos de
fase propios de la corriente y tensión en circuitos de alterna resulta relativamente simple usando los resultados de la teoría de
Heaviside, cuyo fundamento no estamos en condiciones de explicar pero cuya aplicación nos es conocida. Se basa en representar tensión, corriente e
impedancia con números complejos o vectores de módulo igual a los valores eficaces y de argumento igual a la fase. Con ellos se opera en el campo
complejo, tal cual se hizo en el ejercicio dado.
Ib
Ic
Potencia en corriente alterna
Una corriente alternada produce calor en una resistencia de la misma manera que una corriente continua. El valor de la energía
transformada en calor durante un tiempo t vale Q = R.Ief2.t , por definición de valor eficaz.
La potencia es W=R.Ief2 . En una resistencia la tensión aplicada VAB está en fase con la corriente y por eso podemos poner que
la misma vale VABef =R.Ief y consecuentemente es W=VABef xIef=R.Ief2
tensión u
producto u.i
+
-
+
-
+
ω. t
corriente i
Potencia instantánea u.i cuando
la corriente atrasa 90º a la tensión
Potencia instantánea y potencia promedio
Pero si la tensión aplicada no está en fase con la corriente, como ocurre en los circuitos que
poseen elementos inductivos o capacitivos, se demuestra24 que el valor promedio de la potencia
instantánea (producto de la tensión instantánea v por la corriente instantánea i) a lo largo de un
ciclo completo resulta igual a
W=VABef .Ief.cos φ , donde φ es el ángulo de desfasaje entre tensión y corriente.
En el caso extremo en que tensión y corriente estén desfasadas 90º la potencia promedio en un ciclo es nula, como se observa
en la figura. Quiere decir que durante medio ciclo, la energía que recibe el trozo de circuito en estudio es igual a la que entrega al
medio ciclo siguiente. ¿De quién recibe y a quién entrega energía el trozo de circuito? : a la fuente, sin duda. ¿Dónde se almacena la energía en el medio ciclo en que se recibe? : en el campo magnético de las bobinas o en el campo eléctrico de los
condensadores. Las primeras y los segundos necesariamente forman parte del circuito cuando la corriente atrasa o adelanta
respectivamente a la tensión.
El tome y traiga de energía no es beneficioso para los sistemas de transmisión eléctricos, porque la potencia no consumida
que va y viene no se puede facturar y utiliza capacidad de cables, transformadores y lineas25. El coseno del ángulo de desfasaje
es una medida de la eficiencia del consumidor: se lo llama "factor de potencia" en el ambiente de los electricistas.
Las instalaciones y aparatos bien proyectados deben tener un cosφ
φ lo más alto posible. Los motores eléctricos comunes de
22
La figura no está en escala para que se vea más claramente la suma vectorial
Durante la conexión o interrupción del circuito se inician fenómenos cuya evolución tiene sólamente importancia durante unos pocos ciclos (por eso se
llaman fenómenos transitorios), después de los cuales se establece el régimen permanente. El estudio de los regímenes transitorios es muy importante,
pero no puede abordarse sin matemáticas superiores.
24
Mediante una integración matemática
25
Eso de que no se factura la energía que va y viene no es exacto: Las compañías de electricidad tienen medidores de este tipo de energía en tránsito, y
si su proporción es alta con respecto a la energía realmente consumida, cobran una penalización en el servicio, sobre todo a los grandes consumidores.
23
17
18
CORRIENTE ALTERNA
alterna (motores asincrónicos) poseen un cosφ
φ =0,7 a 0,8 debido a que tienen arrollamientos con núcleos de hierro (coeficiente
de autoinducción L elevado) además de resistencias eléctricas y mecánicas. Si una instalación posee muchos motores puede ser
necesario compensar su elevada inductividad ωL conectando condensadores eléctricos en paralelo con los motores. Los condensadores como se vio poseen un efecto en cierto modo contrario a las bobinas al tender al adelanto de la corriente en vez del
atraso que producen aquéllas. Los condensadores son pues correctores del factor de potencia en una instalación inductiva.
18
Conceptos básicos de producción y transmisión de energía eléctrica.
La energía eléctrica que consumimos se produce en las usinas eléctricas, verdaderas fábricas donde se transforma la energía
térmica, hidráulica o atómica, en energía eléctrica. Los generadores son enormes máquinas que trabajan con el mismo principio
que el generador de corriente alternada visto en estas páginas. Están movidos generalmente por turbinas de vapor , de gas o
hidráulicas. En algunas usinas menores los generadores están accionados por grandes motores Diesel. El aprovechamiento de
energía solar o eólica está restringido en nuestro país a pequeñas instalaciones domésticas o de comunicaciones remotas (estaciones repetidoras de teléfono en algunas cumbres). En Verona (Italia) hace muchos años opera una gran central solar. En
USA y Europa ya son comunes las baterías de generadores eólicos (molinetes gigantes)
La ubicación de una central eléctricadebe responder a una serie de factores:
•
•
•
La disponibilidad de energía primaria: combustible y cursos de agua en las térmicas, embalses en las hidroeléctricas, sol
radiante y día largo en las solares, viento constante e intenso en las eólicas
El factor estratégico : El lugar debe estar a resguardo de ataques en caso de agresión exterior.
El factor seguridad y ecológico: Los embalses deben ubicarse donde no impacten desfavorablemente al medio ambiente. Las
usinas atómicas deben estar en sitios donde los efectos de una eventual contaminación no afecten población ni recursos.
Las usinas termoeléctricas no deben estar en medio de ciudades o sitios densamente poblados para no contaminar su aire
con los humos. Se deben evaluar los efectos sobre clima, flora y fauna en el caso de los embalses.
PUERTO
USINA
TÉRMICA estación
transformado
ra elevadora
LÍENA
AÉREA DE
A.T.
Fábrica
central de
CIUDAD
despacho y
cable
estación
subterráneo transformadora
reductora
¿Y qué decir de la proximidad a los centros de consumo?: En lo posible, deben estar cerca de los grandes centros consumidores
porque así se reduce la extensión de las líneas de transmisión, su mantenimiento y la pérdida de energía en los conductores por
efecto térmico.
NOCIONES DE SEGURIDAD ELÉCTRICA
No sería propio estudiar electricidad sin adquirir conceptos y normas de seguridad eléctrica, que muchas veces pueden salvar
vidas o prevenir accidentes. Los que han llegado hasta aquí en el estudio están en condiciones de entender que la electricidad
que es tan útil cuando pasa por una lámpara eléctrica puede convertirse en instrumento de muerte si recorre un corazón.
La corriente eléctrica produce en los seres vivos efectos fisiológicos de diversa índole:
•
•
•
•
Quemaduras en tejidos por efecto térmico
Tetanización de músculos estriados y lisos
Fibrilación o paro cardíacos
Descomposición electrolítica de sangre y humores
La corriente alterna es en general más peligrosa que la continua a igualdad de tensión, principalmente por dos motivos:
1) Una tensión alterna sinusoidal de tensión eficaz V tiene una onda que llega a un valor máximo de √2.V, es decir un 40% por
encima de la tensión eficaz. Si tocamos un cable domiciliario con 220 V de alterna estaremos sometidos a un valor máximo
de 1,4142 x 220 = 311 V
2) La tetanización o parálisis en estado de contracción de los músculos ocurre con las variaciones rápidas de corriente, tales
como las de alterna. La continua en cambio solo se siente a través de la conmoción muscular en el momento inicial o final de
la descarga y el eventualmente el calor generado durante el pasaje de corriente por el cuerpo.
¿Qué valor de corriente es perjudicial?: En el hombre una corriente alternada mayor que 0,03 A que pase a través del corazón
durante algunas centésimas de segundo tiene una alta probabilidad de producir paro cardíaco.
En otros lugares del cuerpo la corriente puede llegar a producir quemaduras en los tejidos y descomposición electrolítica de
humores, amen de la fuerte contracción involuntaria de músculos (tetanización). En el cerebro puede producir daños irreversibles
al destruir tejido neuronal.
El establecimiento de la corriente eléctrica en un tejido se rige por la ley de Ohm: es proporcional a la tensión aplicada e inversamente proporcional a la resistencia del camino recorrido.
La resistencia de un circuito formado por tejidos depende en gran parte de la resistencia del contacto con la fuente: así cuando
tocamos un conductor con una parte de nuestro cuerpo, la resistencia está determinada por la presión ejercida y la resistencia del
tejido en el punto de contacto. La piel seca es relativamente aisladora, pero al humedecerse por transpiración o por aporte de
agua externo, la película de líquido aumenta la conducción ya que se disuelven en ella las sales que deja la transpiración al evaporarse (fundamentalmente Cl Na), y ya sabemos que un electrolito disuelto es buen conductor. Si en la zona de contacto no
existe piel la resistencia es mucho menor y el peligro aumenta. Cuando por efecto de una descarga eléctrica se chamusca la piel
o el tejido en contacto con la fuente, la resistencia aumenta disminuyendo así el riesgo de posterior electrocución.
La experiencia señala que tocando con los dedos de ambas manos los dos polos de una fuente de alterna de 50 Hz se tienen las
siguientes sensaciones :
Cuadro de Sensaciones que produce la electricidad
MANOS SECAS
Resistencia del cuerpo : 50000 a 100000 Ω
Tensión (Volt)
Sensación
6
Ninguna
12
Ninguna
32
Prácticamente ninguna (salvo personas hipersensibles)
42
Ligero cosquilleo en la punta de los dedos
55
Picazón en toda la palma
65
Dolor en la mano y calambre en el antebrazo
80
Manos atenazadas y brazo contraído
MANOS HÚMEDAS
Resistencia del cuerpo : 10000 a 50000 Ω
Tensión (Volt)
Sensación
6
24
40
55
Ninguna
Ligero cosquilleo en la punta de los dedos
Dolor en la mano y calambre en el antebrazo
Manos atenazadas y brazo contraído
ALGUNAS NORMAS DE SEGURIDAD:
•
•
•
•
•
•
•
No tocar artefactos eléctricos de ninguna clase descalzo y mucho menos con los pies húmedos (Ojo con el manejo en los
baños de secadores de cabello, afeitadoras, estufas eléctricas: estar calzado y con manos secas)
Cuando hay que cambiar lámparas eléctricas trabajar con una sola mano, para no dar oportunidad a que se cierre el circuito a través del pecho.
Si no hay más remedio que trabajar con elementos de los que se sospecha su mala aislación, pararse sobre madera seca o
una alfombra de goma antes de tocarlos. Usar una sola mano y no tocar nada con la otra.
Si la instalación de la casa no posee interruptor diferencial, conectar a tierra heladera, lavadoras y en general cualquier
artefacto eléctrico con manija, asa o mango metálicos. La conexión a tierra se efectúa con cable de cobre sin aislación unido
a un caño de agua metálico.
Si la instalación posee interruptor diferencial, probarlo una vez por semana mediante el botón de “test”, ya que el aparato
puede descalibrarse con el uso.
Cuidar que los tomas y enchufes de tres patas posean efectivamente la conexión de la tercera pata a tierra (los primeros) y
a la carcaza o cubierta metálica del aparato (los segundos): Atención con las herramientas eléctricas de mano tales como
taladros, sierras, etc., que se operan a veces estando acostado en el piso del taller, que puede estar húmedo: usar una alfombra o plataforma de madera seca donde acostarse.
Los tanques de agua y piletas de natación tienen a veces cerca conexiones de flotantes o luces eléctricas: cuidar su aislación y evitar que las personas los toquen inadvertidamente.
Conexiones a Tierra y Disyuntores Diferenciales
Son dos métodos para evitar que se produzca una corriente de fuga a
tierra a través del cuerpo de una persona cuando ésta toca un aparato
LINEA 220 V
o elemento mal aislado. Por ejemplo consideremos la heladera de la figura cuyo cable de alimentación está pelado a la altura de la entrada al
toma de tierra
motor y pone en contacto el gabinete con la línea. El infortunado glotón
sin conectar
que pretende abrir la heladera y está descalzo o con calzado húmedo,
al asir la manija metálica cierra con su cuerpo el circuito a tierra. La
corriente de fuga pasa por su corazón y como se sabe ésto puede
contacto al
gabinete
producir un paro cardíaco. Si en cambio se coloca un cable a tierra, la
corriente se dirige a ella ya que le ofrece un camino de menor resistencia que el cuerpo de nuestro amigo26
fusibles
El interruptor o disyuntor diferencial27 es un aparato que
corta el circuito muy rápidamente cuando existe una fuga de
corriente. Dicha fuga (a través del cuerpo del saqueador de
LINEA 220 Vef
heladeras) es la diferencia instantánea entre la corriente I1 de
ida y la corriente de vuelta I2 , y produce un flujo neto en el
transformador toroide. Si no hay fugas las corrientes de ida
cable a tierra
y vuelta son iguales y sus acciones se compensan ya que las
dos bobinas iguales del toro crean flujos de campo magnético
contacto al
gabinete
iguales y opuestos. Cuando I1≠I2 se produce un flujo resultante no nulo que atraviesa la tercer bobina: ésta atrae un núcleo n que es solidario a los contactos de apertura del circuito. El
aparato funciona cuando la diferencia de corrientes de ida y vuelta es superior a 0,01 A .
En la figura, nuestro personaje apenas nota cuando recibe por tiempo muy corto una corriente inferior a 20 mA a través de su
cuerpo28. En seguida el interruptor diferencial abre el circuito y salva su vida. De paso pone al descubierto su intento de comer
fuera de hora al cortar la corriente de toda la casa.
fusibles
Atención: Los disyuntores diferenciales son aparatos de precisión que
pueden descalibrarse con el uso o el tiempo29. Poseen un botón de prueba
(test) que debe accionarse algunas veces por mes para ver si el aparato
está en condiciones de operar eficientemente ante una fuga a tierra. Oprimir dicho botón simula un contacto accidental: la corriente derivada a
través de la resistencia r produce una pérdida como la que crearía una
persona que tocase el polo vivo y estuviese a tierra. Si el aparato ha
saltado por haberse producido una corriente diferencial ya sea de prueba
o por real accidente, queda en posición de corte de corriente a través del
mecanismo de trinquete esquematizado en la figura. Para volver a conectar (operación de reposición o reset) hay que liberar adrede los contactos
móviles girando la rueda dentada en el sentido de la flecha.
fusibles
D
LINEA 220 Vef
I1
disyuntor
diferencial
I1-I2
I2
contacto al
gabinete
test
r
reset
contactos
n
26
Si la corriente de pérdida es excesiva, puede saltar un fusible de la instalación.
Disyuntor es un galicismo por interruptor que se ha generalizado en el caso de los dispositivos diferenciales debido a que fué la marca francesa
Thomson una de las primeras que apareció en el mercado.
28
Estos impulsos cortos tienen muy escasa probabilidad de producir paro cardíaco.
29
Una de las causas más importantes de descalibración es la pérdida de sensibilidad debida a que en el caso de grandes corrientes de pérdida adquiere
magnetismo permanente del núcleo toroide. En tal caso debe ser sometido a desmagnetización para que el aparato recupere su utilidad.
27
Apéndice
Integración de la ley de Biot Savart-Laplace
La ley en su forma diferencial se expresa dH=1/(4π) i/ r3.d[l∧
∧ r] , siendo l∧
∧ r el producto vectorial entre el vector longitud del conductor (en el sentido de la corriente) y el radiovector r . También se tiene d[l∧r] = l∧dr + r∧dl . Así, para un radiovector constante
la ley elemental es dH=1/(4π) i/ r2.dl. sen (α)
Campo creado por un conductor rectilíneo
P
El campo magnético elemental creado por la corriente i que pasa por un elemento en el
extremo de conductor rectilíneo sobre un punto P situado a la distancia r del conductor,
vale
dH=1/(4π
π ) i/p2.sen(α
α ).dL. . Siendo p=r/sen(α
α ) la anterior resulta dH=1/(4π
π ) i/ r2.sen3
2
(α
α )dL y como L=r.cotg(α
α ) es dL=-r/sen (α
α ).dα
α , la anterior es dH=-1/(4π
π ) i/ r.sen(α
α )dα
α
Para hallar el campo creado por el tramo de conductor de longitud L debemos integrar dH
entre L=0 y L=A, o lo que es equivalente entre α y π/2 y entonces HL=1/(4π
π ) i/ r.cos(α
α ).
Para el tramo de conductor a la derecha de A, de longitud M, vale, con igual razonamiento
HM=1/(4π
π ) i/ r.cos(β
β ). Así, el campo creado por el total de longitud L+M es
H(L+M)= 1/(4π
π ) i/ r.[cos(α
α )+cos(β
β )]
dH β
r
p
α
dL
α+dα
α+ α
i
A
M
L
Para el caso de un conductor muy largo comparado con la distancia r, y para un punto alejado de los extremos, los ángulos a y b
tienden a cero, y entonces el corchete tiende a dos, con lo cual se obtiene la conocida expresión Hlargo= i /(2π
π r)
Campo en el centro de una espira circular
i
dl
r
H =½ i/r
p
α
dH.senα
dH
P
En un punto P del eje de una espira circular de radio r recorrida por una corriente i
cada elemento de la espira dl crea un campo perpendicular a la distancia p que vale
dH =1/(4π
π ) i/ p2.dL.
Siendo p=r/sen(α
α ) la anterior resulta dH=1/(4π) i/ r2.sen2 (α)dL
Interesa de este campo elemental su proyección en la dirección del eje dH sen (α), ya
que su componente normal al eje se anulará con la componente creada por el segmento opuesto a dL
Así entonces para toda la espira de longitud 2πr , el campo en la dirección del eje
creado en un punto P que subtiende un ángulo α vale
Hesp = ∫ dH sen (α) = 2πr/(4π)i/ r2.sen3 (α) = ½i/r. sen3(α
α)
L
Campo creado por un solenoide
Considerando que un solenoide es una colección de N espiras de radio r arrolladas sobre un cilindro de largo L, el campo elemental dH creado por una sección de longitud dL (con una densidad de arrollamiento de n=dN/dL=N/L espiras por metro) será sobre un punto del eje sobre un extremo a la distancia
L=r.cotg(α
α ) igual al efecto de dN=n.dL espiras entre L y L+dL
Así resulta que dH=½n.i/r. sen3(α
α )dL , con dL =- r/sen2(α
α ) d(α
α ) , por lo que
dH=-½n.i. sen (α
α )d(α
α)
Para encontrar el campo de un solenoide sobre el punto P considerándolo sobre
un extremo del mismo (por ejemplo el extremo izquierdo en nuestro caso) debe
integrarse la expresión anterior entre α y π/2,
π/2 lo que da
Hizq=½n.i. cos (α
α)
α
N espiras
β
dβ
α+dα
α
P
dL
Si el punto P se considera interior al solenoide, debe sumarse a la expresión anterior la del campo creado por las espiras que
están a la derecha, que vale Hder=½n.i. cos (β
β ) , con lo cual Hsolenoide = ½n.i. [cos (α
α )+cos (β
β )]
Si el solenoide es muy largo y muy fino, los ángulo α y β tienden a cero, por lo tanto el corchete tiende a 2 y se llega a la conocida expresión Hlargo = n.i , o bien H.L=N.i
Ejemplo
Sea un solenoide de N=100 vueltas, L=10 cm y r =1 cm
β
Calcular el campo magnético interior a d=1 cm del extremo y en el medio para una corriente de 1 A
Solución: n=100/0,1=1000
En el medio es tg a = tg b = 0,01/0,05 = 0,2 de donde a=b=11,31º
Hsolenoide = ½n.i. [cos (α
α )+cos (β
β )] = ½ . 1000 . (2.cos(11,31º) = 980,6 A/m
En el punto a 1 cm del extremo:
tg α =r/(L-d) = 0,01/0,09 = de donde a=6,34º
tg b = r/d = 0,01/0,01 = 1 de donde b=45º
Hsolenoide = ½n.i. [cos (α
α )+cos (β
β )] = ½ . 1000 . (0,9939-0,7071) = 143,4 A/m
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