BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICO MATEMÁTICAS POSTGRADO EN MATEMÁTICAS

BENEMÉRITA UNIVERSIDAD
AUTÓNOMA DE PUEBLA
FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICO MATEMÁTICAS
POSTGRADO EN MATEMÁTICAS
Cotas para la probabilidad de ruina: un enfoque de sumas
geométricas.
TESIS
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE:
MAESTRO EN CIENCIAS (MATEMÁTICAS)
PRESENTA:
Víctor Hugo Vázquez Guevara
DIRECTOR DE TESIS
Dr. Francisco Sergio Salem Silva
PUEBLA, PUEBLA., SEPTIEMBRE DE 2006.
Índice general
Introducción
I
1. Sumas Geométricas.
1
1.1. De…nición de Suma Geométrica. . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. La Caminata Aleatoria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. El Proceso de Riesgo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
5
9
2. Distribuciones Compuestas.13
2.1. De…niciones y Ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2. Cotas Para G(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.1.
2.2.2.
2.2.3.
2.2.4.
2.2.5.
La Cota Superior General. . .
La Cota Inferior General. . . .
Cotas Basadas en Propiedades
Cotas Exponenciales . . . . .
Cotas Pareto . . . . . . . . .
........
........
de Equilibrio
........
........
3. Teoría de Riesgo
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38
42
3.1. Convenciones y Notaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2. Cotas para la Probabilidad de Ruina. . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.1. Cola Ligera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.2. Cola Pesada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3. El Proceso Clásico de Riesgo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3.1. Ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1
ÍNDICE GENERAL
i
Conclusiones
65
Apéndice
67
Bibliografía y Referencias
69
Índice Alfabético
71
Introducción
El estudio de la Probabilidad de Ruina, a menudo referida como Teoría
Colectiva de Riesgo, se inició en Suecia en la primera mitad del siglo pasado.
Las ideas básicas más importantes fueron expuestas por Lundberg [7], mientras que los primeros resultados substanciales fueron alcanzados por Crámer
[2], Täcklind [16] y Lundberg [8].
El cálculo de la probabilidad de ruina para los procesos de riesgo es una
parte muy importante en actuaría, ya que proporciona un criterio para decidir
si es factible o no, la operación de una compañía de seguros; sin embargo,
ésta no siempre puede calcularse de manera exacta. Así que resulta necesario
obtener cotas ó aproximaciones de la Probabilidad de Ruina a …n de obtener
una noción de élla. En este trabajo se presentan cotas para la probabilidad
de Ruina aprovechando la relación que existe entre esta probabilidad y la
cola de la distribución de una Suma Geométrica. Estas sumas pueden modelar una amplia variedad de fenómenos: en teoría de colas, problemas de
seguros, …nanzas, con…abilidad, biología, problemas de almacenaje y caminatas aleatorias [9]; por citar algunos.
En esta tesis se encuentran cotas para la Probabilidad de Ruina de procesos de riesgo mas generales que el proceso clásico de Poisson. Estas cotas no
sólo no se hallaron en la literatura consultada sino que son más sencillas de
evaluar que muchas de las expuestas en los textos consultados, además éstas
pueden aplicarse a modelos de riesgo no necesariamente clásicos. También se
persigue que el capítulo dos sea una breve monografía acerca de cotas para
distribuciones compuestas mientras que el tercero, busca por sí mismo ser
una guía para quienes estén interesados en acotar la probabilidad de ruina
de algún modelo de riesgo o similar (como el modelo de presas).
En síntesis, la metodología inicia expresando la probabilidad de ruina
como la cola de la distribución de una suma geométrica, posteriormente se
utilizan cotas para distribuciones compuestas en el caso en que la variable
aleatoria contadora es geométrica y cada sumando tiene cierta distribución
condicional, cabe señalar que dichas cotas se desprenden de la Teoría generalizada de Lundberg y contemplan los casos de cola ligera y pesada.
ii
INTRODUCCIÓN
V. Kalashnikov [18], [19] presenta cotas para la probabilidad de ruina con
el mismo enfoque de sumas geométricas, sin embargo estas cotas resultan
complicadas, debido a que en varias de éllas se aprecia la aparición de ín…mos
ó supremos o bien, por que emplea funciones de prueba y para tal enfoque
no existe un método general para elegir estas funciones ya que la elección
depende de la distribución del monto de las reclamaciones. Por otro lado,
Assmusen [14] también presenta cotas y aproximaciones para la probabilidad
de ruina sin embargo, en varios de sus resultados supone un proceso clásico
de riesgo, ó bien, que la función generadora de momentos de la distribución
del monto de las reclamaciones existe.
La presente tesis esta organizada en tres capítulos:
En el capítulo I se estudia la distribución geométrica y algunas de sus
propiedades. También se abordará el estudio de las llamadas Sumas Geométricas y se presentarán ejemplos de problemas que se pueden modelar
mediante sumas geométricas, en el más relevante de éllos se mostrará como
relacionar el cálculo de la probabilidad de ruina del proceso de riesgo con la
distribución de una suma geométrica.
Tradicionalmente se emplea la ecuación de Lundberg que relaciona a la
función generadora de momentos de la distribución del monto de las reclamaciones con cotas para la probabilidad de ruina, en el capítulo II se obtendrán
cotas para la cola de distribuciones compuestas generalizando la ecuación de
Lundberg, ya que en general es complicado calcular las distribuciones compuestas debido a que deben calcularse convoluciones de todos los órdenes de
la distribución del monto de las reclamaciones. A pesar de ello se presenta
un ejemplo muy particular en el que ésto es posible.
En el capítulo III se abordarán de manera breve y concisa algunos puntos
de la Teoría de Riesgo. Posteriormente se aplicarán algunos de los resultados
del capítulo II para acotar la probabilidad de ruina, se tomarán en cuenta
tanto el caso de cola ligera como el de cola pesada (siendo el segundo de estos
casos el menos explorado), es en este punto en donde se presentarán las
cotas para la probabilidad de ruina que constituyen la aportación
principal de la tesis. Por último, se aplicarán los resultados obtenidos al
problema del Proceso Clásico de Riesgo, en particular procesos en donde la
distribución del monto de las reclamaciones serán mezcla de Erlang, Pareto
y Exponencial.
INTRODUCCIÓN
A lo largo de los tres capítulos de esta tesis, se usará el símbolo " "
para indicar que la prueba de algún resultado (teoremas, corolarios, etc.)
ha concluido. Además, en el capítulo I se usará cada que un modelo se ha
reducido a una Suma Geométrica.
Finalmente, se anexa un Apéndice en el que se de…nen algunas clases de
distribuciones, con el propósito de simpli…car los enunciados de algunos de
los teoremas y resultados de los capítulos II y III.
iii