Física Cuántica I

IES La Magdalena.
Avilés. Asturias
Física Cuántica I
En los últimos años del s. XIX y principios del XX el estudio de la interacción entre la materia y las
ondas electromagnéticas llevó a la formulación de importantes problemas cuya resolución condujo a una
concepción nueva de la física que rige el comportamiento de los átomos: la Física Cuántica.
Los tres fenómenos que dieron las pistas para la formulación de la Física Cuántica tenían relación con la
absorción y/o emisión de ondas electromagnéticas por los átomos que constituyen la materia:
• Análisis del espectro de emisión de un cuerpo negro.
El término "cuerpo negro" se usa en física
para denominar a un emisor ideal. Esto es,
un material capaz de absorber y emitir
energía de todas las frecuencias.
Actualmente el material que más se
aproxima al emisor ideal fue fabricado en
2008 y está construido a base de nanotubos
de carbono. Absorbe (y por tanto puede
emitir) el 99,955% de la energía que recibe.
Experimental
El análisis del espectro de la energía
emitida por un cuerpo negro presentaba
notables diferencias con lo que el modelo
teórico de la física clásica predecía a finales
del s XIX.
• Interpretación del efecto fotoeléctrico.
El efecto fotoeléctrico fue descubierto por
Hertz en 1887 y consiste en la emisión de
electrones por algunos metales cuando son
iluminados con luz (generalmente ultravioleta).
La interpretación de la emisión de los llamados
fotoelectrones tampoco podía ser explicada
correctamente si se usaba la teoría disponible
en la época.
• Explicación de los espectros de emisión de los gases.
Cuando un gas se somete a voltajes elevados,
emite luz que tras ser analizada con un
espectroscopio da un espectro característico
consistente en rayas de diferentes colores
sobre un fondo negro. El único modelo de
átomo existente entonces (el átomo de
Rutherford) predecía que el espectro debería
de ser continuo, sin zonas oscuras.
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Espectro de emisión del cuerpo negro. Teoría Cuántica de Planck
Cuando un trozo de metal se calienta sus átomos absorben la radiación térmica y emiten radiación
electromagnética. Si la temperatura no es muy alta no se aprecia cambio de color alguno en el metal,
aunque desprende calor (radiación electromagnética no visible: infrarroja). Si seguimos aumentando la
temperatura la radiación electromagnética emitida se corresponde con las frecuencias de la luz visible. El
metal adquiere primero un color rojo oscuro, después rojo intenso, amarillo y a temperaturas elevadas
podremos apreciar un amarillo muy pálido, casi blanco.
El estudio del espectro de la radiación emitida por un emisor perfecto (el cuerpo negro) condujo al
enunciado de dos importantes leyes:
• Ley de Stefan-Boltzmann (1884)
"La energía emitida por unidad de tiempo y superficie (intensidad o poder emisivo) del cuerpo negro
es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura absoluta"
E = σ T4
σ = 5, 67.10 −8 W m−2 T −4
La ley de Stefan-Boltzmann establece que la intensidad de radiación aumenta muy rápidamente con
la temperatura, lo que está de acuerdo con los datos experimentales.
• Ley de Wien (1896)
"El cuerpo negro emite energía para todas las longitudes de onda y la distribución de la energía
radiante es tal que a una determinada longitud de onda la intensidad de emisión es máxima. Para
esta longitud de onda se cumple:"
λmax . T = 2, 898.10 −3 m K
Según la ley de Wien el máximo de energía emitida se desplaza hacia longitudes de onda más
cortas (mayores frecuencias) a medida que aumenta la temperatura del cuerpo emisor. Esto explica
por qué a medida que se aumenta la temperatura el color del hierro caliente, por ejemplo, pasa del
rojo al amarillo casi blanco.
Gráfica que muestra los resultados experimentales para un cuerpo negro
El poder emisivo (Stefan-Boltzmann) se corresponde con el área de la curva
para cada temperatura. Como se ve aumenta muy rápidamente con T.
A medida que aumenta la temperatura el máximo de intensidad se desplaza
hacia longitudes de onda más cortas (Wien)
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Las leyes anteriores son leyes empíricas que surgen del análisis de los datos experimentales. No obstante,
el desafío estaba en explicar teóricamente la forma de la curva para cada temperatura. Esto, aunque se
intentó, no pudo lograrse aplicando las concepciones clásicas conocidas hasta entonces.
La aplicación de la mecánica, la termodinámica y la física estadística al problema planteado dio como
resultado la siguiente ecuación:
Eλ =
8 π ν2
k T
c3
La energía emitida debería crecer con el cuadrado de
la frecuencia (línea de puntos).
Los datos experimentales, sin embargo, indican que el
poder emisivo cae bruscamente para longitudes de onda
pequeñas (frecuencias altas). La ecuación anterior, por
tanto, solamente da resultados ajustados a los datos
experimentales para longitudes de onda elevadas.
Experimental
Teoría y experiencia
coinciden para longitudes de onda largas
Este hecho (que se conoció en la época como
"catástrofe ultravioleta") no tenía solución. La teoría
era incapaz de explicar los hechos experimentales.
Max Planck (1858 - 1947), un científico alemán, proporcionó una solución al
problema planteado.
En diciembre de 1900 presentó una expresión teórica que se adaptaba muy
bien a la curva experimental obtenida para la emisión de radiación por el cuerpo
negro:
Eλ =
8 π h υ3
c3
1
e
hυ
KT
−1
Para llegar a esta expresión Planck tuvo que introducir una extraña hipótesis:
"Los intercambios de energía entre materia y radiación tienen lugar no de
manera continua, sino por cantidades discretas e indivisibles o cuantos
de energía. El cuanto de energía es proporcional a la frecuencia de la
radiación":
E= hυ
h = 6, 626.10 −34 J s
Max Planck (1858-1947)
Nobel de Física en 1918
La constante de proporcionalidad introducida, h, o constante de Planck está considerada actualmente
como una de las constantes básicas de la naturaleza.
El valor de "h" marca la frontera que separa nuestro mundo (el mundo macroscópico) del mundo cuántico.
Las expresiones en las que toma parte la constante de Planck involucran energías, distancias, tiempos... etc
muy pequeños. Estamos en los dominios de la física cuántica. Las leyes de la física clásica no funcionan.
Su pequeñez explica el por qué los cuantos de energía habían pasado desapercibidos a los físicos. Los
pequeños "paquetes" de energía que absorben o emiten los átomos son tan sumamente pequeños que el
proceso de absorción y/o emisión parece continuo. La realidad es muy distinta: la energía se absorbe y
emite en forma de cuantos. La absorción y emisión de energía por la materia se realiza "a saltos".
El dato curioso es que Planck llegó a la expresión correcta usando métodos incorrectos, tal y como se
demostró posteriormente.
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El efecto fotoeléctrico
En el transcurso de los experimentos realizados por Hertz para producir ondas electromagnéticas observó
que la intensidad de las descargas eléctricas (chispas) aumentaba cuando se iluminaban los electrodos con
luz ultravioleta. Las superficies metálicas emitían electrones.
La emisión de electrones por los metales (zinc, rubidio, potasio o sodio) fue comprobada posteriormente
denominándose emisión fotoeléctrica o efecto fotoeléctrico.
El efecto fotoeléctrico podía explicarse suponiendo que los electrones del metal absorben energía
de la luz incidente. Si la energía absorbida es la suficiente pueden "saltar" del metal venciendo las
fuerzas que los mantienen ligados a él.
• Si suponemos que la luz es una onda, la energía transferida a una partícula es proporcional al
cuadrado de la amplitud y de la frecuencia:
(
)
E = 2π2m υ2 A 2
• La intensidad de una onda es proporcional al cuadrado de su amplitud, y se define como la
energía que atraviesa la unidad de superficie colocada perpendicularmente a la dirección de
propagación por unidad de tiempo. La energía transportada por una onda aumenta, por tanto,
al hacerlo su intensidad (o su amplitud).
En consecuencia, el efecto fotoeléctrico debería de producirse más fácilmente con luz más intensa.
Los hechos experimentales, sin embargo, aportaban los datos siguientes:
• Para cada metal existe una frecuencia de la luz (frecuencia umbral) por debajo de la cual,
por muy intensa que esta sea, no se produce emisión.
• Si el efecto se produce, la intensidad de la corriente eléctrica producida es proporcional a
la intensidad de la luz que ilumina el metal.
• La velocidad de los electrones no depende de la intensidad de la luz, sino de su frecuencia.
Dispositivo experimental para el estudio del
efecto fotoeléctrico
Uno de los electrodos metálicos (sometidos a una
diferencia de potencial V) es iluminado. Si la luz
tiene un frecuencia baja (luz roja) no se produce la
emisión de electrones, aunque se aumente la
intensidad. Si la luz es de frecuencia alta (violeta)
se emiten electrones que se dirigen al polo
positivo. Si se aumenta la intensidad, aumenta el
número de electrones. El amperímetro detecta la
intensidad de la corriente de fotoelectrones.
Energía cinética de los fotoelectrones
No se emiten electrones por debajo de una
frecuencia umbral, característica para cada
metal.
Por encima de la frecuencia umbral la energía
cinética es función lineal de la frecuencia.
La pendiente de la recta es idéntica para todos
los metales.
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En 1905 A. Einstein propuso una explicación convincente para los hechos expuestos.
Einstein sugirió que la luz está formada por pequeños cuantos de energía (bautizados por Lewis en
1926 con el nombre de fotones). La energía de los cuantos luminosos está ligada con su frecuencia
según la fórmula de Planck:
E= hυ
Lo que hace Einstein es considerar que la luz no sólo intercambia energía con los átomos en forma de
cuantos, sino que la propia luz está formada por minúsculos gránulos de energía. La luz tiene
naturaleza corpuscular.
Mientras Planck afirmaba que el intercambio de energía entre la luz y la materia se produce de forma
discontinua, Einstein sugiere que es la propia luz la que está cuantizada.
El propio Einstein nos aclara la diferencia entre su propuesta y la de Planck:
"No es lo mismo decir que la cerveza se vende en botellas de media pinta que decir que
consta de unidades indivisibles de media pinta."
El mecanismo de extracción de los electrones de un metal podemos imaginarlo como una colisión entre los
fotones y los propios electrones produciéndose una transferencia de energía entre ambos.
Como en un metal no todos los electrones están ligados con idéntica fuerza, llamaremos función trabajo o
trabajo de extracción (W) a la energía mínima necesaria para arrancar un electrón de un metal
venciendo las fuerza de ligadura. Si un fotón le comunica su energía el electrón saltará del metal con una
energía cinética igual a la diferencia entre la energía absorbida y la empleada en romper las fuerzas de
ligadura. El valor máximo de la energía cinética de los electrones vendrá dado por la expresión:
Ec MAX = h υ − W
Si la frecuencia de la luz incidente se hace cada vez menor los electrones saltarán del metal con menor
energía cinética. Cuando la energía cinética máxima de los electrones sea nula no se produce emisión, ya
que ni los electrones más débilmente ligados consiguen saltar del metal. Se cumplirá entonces:
h υ0 − W = 0 ; W = h υ0
υ0 = frecuencia umbral
Por debajo de la frecuencia umbral no existe emisión de
fotoelectrones. Podemos por tanto reescribir la ecuación
anterior en la forma:
Ec MAX = h υ − h υ0
Esta ecuación (una recta de pendiente h)
se ajusta a los datos experimentales
Experimentalmente se puede determinar la energía cinética
máxima de los electrones aplicando una diferencia de
potencial que los frene (ver figura). A medida que un electrón
avanza hacia el polo negativo es frenado por la fuerza
eléctrica y pierde energía cinética que se transforma en
potencial eléctrica (Ep = q V). Cuando se detenga toda la
energía cinética se habrá transformado en potencial:
Ec = Ep = q V
Cuando hasta los electrones más veloces (Ec MAX) sean
frenados el amperímetro marcará cero, cumpliéndose
entonces:
Ec MAX = qV = h υ − h υ0
El potencial para el cual se registra una intensidad de corriente nula recibe el nombre de potencial de
detención o frenado
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Ejemplo 1 (Oviedo 2009 - 2010)
La longitud de onda umbral para el potasio es 564 nm. Determinar:
a) La función de trabajo para el potasio.
b) El potencial de detención cuando incide sobre el potasio luz de 300 nm de longitud de onda.
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DATOS: c = 3 10 m/s ; e = 1,60. 10
-19
C ; h= 6,63. 10
-34
J.s
Solución:
a) La ecuación que describe la emisión de electrones es:
Ec = h υ − h υ0
La función de trabajo (W) es la energía por debajo de la cual no se emiten electrones
W = h υ0
c = λ 0 υ0
m

c
s
= 3, 53.10−19 J
= 6, 63 10 −34 J s
W = h
−9
λ0
564 10 m

3 108
b) El potencial de frenado es aquel que consigue detener a los fotoelectrones (Ec= Ep=q V):
V e = h υ − h υ0
V=
h ( υ − υ0 )
e
c
c 
h −

λ λ0  h c  1
1
= 
=
 −

e
e  λ λ0 
6, 63 10 −34 J s 3 108
V=
1, 60 10
−19
C
m
1
1
s 
−

−9
564 10−9
 300 10
 −1
J
 m = 1, 94 (V)
C

Ejemplo 2 (Oviedo 2007 - 2008)
Una radiación umbral que permite el funcionamiento de una celula fotoeléctrica posee una longitud
de onda de 400 nm.
a) ¿Con qué velocidad saldrán los electrones arrancados de la célula si se ilumina con una
radiación de longitud de onda 300 nm?
b) Responde a la pregunta anterior si la célula se ilumina con luz de longitud de onda 500 nm
8
DATOS: c = 3 10 m/s ; me = 9,110 10
-31
kg ; h= 6,626. 10
-34
J.s
Solución:
a) La frecuencia umbral es aquella por debajo de la cual no hay emisión de fotoelectrones.
Como frecuencia y longitud de onda son inversamente proporcionales, para que exista
emisión la célula deberá de iluminarse con luz de longitud de onda por debajo de la umbral:
m
c = λ υ; 
3 108
c

s = 7, 5 1014 s−1(Hz)
=
 υ0 =
c
−9
λ
υ=
400
10
m
0

λ
m
3 108
c
s = 1015 s−1(Hz)
υ= =
−9
λ 300 10 m
Ec = hυ − hυ0 = h (υ − υ0 ) = 6, 626.10 −34 J s (1015 − 7, 5 1014 ) s−1 = 1, 66 10 −19 J
Ec =
1
m v2; v =
2
2 Ec
=
m
2 . 1, 66 10 −19 J
m
m
= 603 684, 3
= 6, 04 105
−31
s
s
9, 11 10 kg
b) La longitud de onda está ahora por encima de la umbral. La frecuencia correspondiente
estará por debajo de la umbral, por lo que no se produce la emisión de electrones:
m
3 108
c
s = 6, 0 1014 s−1(Hz)
υ= =
−9
λ 500 10 m
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Espectro de emisión de los gases
Si encerramos en un tubo hidrógeno o helio y sometemos el gas a voltajes elevados, el gas emite luz. Si
hacemos pasar esa luz a través de un prisma los colores que la constituyen se separan dándonos el espectro de la luz analizada.
Pronto se concluyó que la emisión de luz podría deberse a que los electrones absorbían energía de la corriente eléctrica y saltaban a órbitas superiores para, a continuación, volver a caer a las órbitas más próximas al núcleo emitiendo el exceso de energía en forma de energía luminosa.
Esta interpretación conducía, sin embargo, a afirmar que los espectros deberían de ser continuos, ya que al
existir órbitas de cualquier radio (y energía) todos los saltos eran posibles. La experiencia, por el contrario,
mostraba que los espectros de los átomos son discontinuos. Constan de rayas de diversos colores sobre un
fondo negro (ver imagen).
Espectro continuo. Se observan todos los colores
que el ojo puede percibir.
Espectros de emisión de H (arriba) y del He
(abajo). No son continuos. Constan de rayas de
diversos colores separadas por amplias zonas
negras en las que no se observa luz.
Con el fin de resolver los problemas acumulados sobre el modelo de átomo
planetario, y para explicar el espectro del átomo de hidrógeno, Niels Bohr
propone en 1913 un nuevo modelo atómico sustentado en tres postulados:
1. Cualquiera que sea la órbita descrita por un electrón, éste no emite
energía. Las órbitas son consideradas como estados estacionarios de energía. A cada una de ellas le corresponde una energía,
tanto mayor, cuanto más alejada se encuentre del núcleo.
2. No todas las órbitas son posibles. Sólo pueden existir aquellas
órbitas que tengan ciertos valores de energía, dados por el número
cuántico principal, n. Solamente son posibles las órbitas para las
cuales el número cuántico principal (n) toma valores enteros: n = 1,
2, 3, 4…. Las órbitas que se correspondan con valores no enteros
del número cuántico principal, no existen.
3. La energía liberada al caer un electrón desde una órbita superior, de energía E2, a otra inferior, de energía E1, se emite en
forma de luz. La frecuencia de la luz viene dada por la expresión:
Niels Bohr (1885-1962)
E2 − E1 = h υ
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Los cálculos basados en los postulados de Bohr
daban excelentes resultados a la hora de interpretar
el espectro del átomo de hidrógeno, pero hay que
tener en cuenta que contradecían algunas de las
leyes más asentadas de la Física:
• El primer postulado va en contra de la teoría
electromagnética de Maxwell, ya que según esta
teoría cualquier carga eléctrica acelerada debería
de emitir energía en forma de radiación electromagnética.
• El segundo postulado es aún más sorprendente.
En la física clásica era inaceptable suponer
que el electrón no pudiera orbitar a determinadas distancias del núcleo, o que no pudiera tener determinados valores de energía. La afirmación era equivalente a suponer que un objeto
que describe circunferencias atado a una cuerda,
no puede describir aquellas cuyo radio no sea
múltiplo de dos (por ejemplo).
Modelo atómico de Bohr (1913)
Fuente: Wikimedia Commons
• El tercer postulado afirma que la luz se emite
en forma de pequeños paquetes o cuantos, en
consonancia con la teoría cuántica de Planck.
El átomo de Bohr era un síntoma más de que la física clásica, que tanto éxito había tenido en la
explicación del mundo macroscópico, no servía para describir el mundo de lo muy pequeño, el
dominio de los átomos.
Posteriormente, en la década de 1920, una nueva generación de físicos (Schrödinger, Heisenberg, Dirac…)
elaborarán una nueva física, la Física Cuántica, destinada a la descripción de los átomos, que supuso una
ruptura con la física existente hasta entonces.
Resumen
Los tres fenómenos que propiciaron la formulación de la Física Cuántica fueron:
El espectro de emisión del cuerpo negro.
El efecto fotoeléctrico.
Los espectros de los gases.
La explicación de los tres implicaba la aceptación de que la energía se absorbe y emite no
de forma continua, sino en forma de pequeños paquetes o "cuantos" de energía. El valor
del cuanto de energía es variable, depende de la frecuencia de la radiación (E = h f).
Einstein propone en la explicación del efecto fotoeléctrico que la naturaleza discontinua
afecta no sólo al proceso de emisión/absorción de la radiación electromagnética por la
materia, sino a la propia radiación electromagnética. La luz tiene naturaleza corpuscular,
está formada por pequeños cuantos o paquetes de energía que más tarde recibirían el
nombre de fotones.
La naturaleza de la luz es dual. Es a la vez onda y partícula. Ambas concepciones no son
excluyentes.
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