Probabilidad

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Nueva Jersey, Centro de Enseñanza y Aprendizaje Iniciativa Matemáticas Progresiva Este material está disponible gratuitamente en www.njctl.org y está hecho para el uso no comercial de estudiantes y profesores. Este material no puede ser utilizado para cualquier propósito comercial sin el consentimiento escrito de los propietarios. NJCTL mantiene su sitio web para la comodidad de los profesores que deseen poner su trabajo a disposición de otros profesores, participar en una comunidad virtual de aprendizaje profesional, y/o facilitar el acceso al campo de materiales a los padres, estudiantes y otros. Haga clic aquí para ir a la página web: www.njctl.org 1
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Probabilidad 2011­09­26
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Probabilidad I•ntroducción a la probabilidad T
• eórica y Experimental P
• roblemas verbales P
• rincipio fundamental de conteo P
• ermutaciones y combinaciones •Probabilidad de eventos compuestos Las probabilidades de eventos mutuamente excluyentes y la •
superposición • Eventos complementarios Este cuaderno aparece tanto en pre­álgebra y álgebra. 3
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Introducción a la Probabilidad Haga clic aquí para ir a Tabla de contenidos 4
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Lea primero
Mueva los fragmentos a la columna correcta. 5
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Probabilidad O
• tra forma de expresar la probabilidad es utilizar una fracción. Probabilidad =
de un evento Número de resultados favorables Número total de resultados posibles 6
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Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de lanzar una moneda y que aterrice en las cabezas? Jale ta se convierte inador. Probabilidad Paso 1: ¿Cuáles son los resultados posibles? Jale Paso 2: ¿Cuál es el número de resultados favorables? Este número convierte en numerador. P = Paso 3: Pon todo junto para responder a la pregunta. La probabilidad de lanzar una moneda y el aterrizaje en cabeza es la siguiente: 1 .
2
7
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La probabilidad se puede expresar de muchas formas. Por ejemplo, la probabilidad de lanzar una cabeza puede ser expresada como: 1 o 50% o 1:2 o 0,5 2
La probabilidad de seleccionar una canica azul al azar puede ser expresada como: 1 o 01:06 o el 16,7% o 0,167 6
8
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1
Arthur escribió cada letra de su nombre en una tarjeta separada y puso las tarjetas en una bolsa. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una A de la bolsa? A 0
B 1/6
¿Necesitas una pista? Probabilidad = Número de resultados favorables Mueve esta caja. Número total de resultados posibles C 1/2
D 1
A R T H U R
9
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2
Arthur escribió cada letra de su nombre en una tarjeta separada y puso las tarjetas en una bolsa. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una R de la bolsa? A 0
B 1/6
C
1/3
Probabilidad = Número de resultados favorables ¿Necesitas una pista? Número total de resultados posibles Mueve esta caja. D 1
A R T H U R
10
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3
El profesor de Matt puso 5 marcadores rojos, 10 negros y 5 verdes en una bolsa. ¿Cuál es la probabilidad de que Matt saque un marcador de color rojo? A 0
B 1/4
C 1/10
D 10/20
Probabilidad = Número de resultados favorables ¿Necesitas una pista? Número total de resultados posibles Mueve esta caja. 11
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Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de lanzar una moneda y que aterrice en las cabezas? Jale ta se convierte
minador. Probabilidad Paso 1: ¿Cuáles son resultados posibles? Paso 2: ¿Cuál es el número de resultados favorables? Jale Este número convierte en e
numerador. P = Paso 3: Pon todo junto para responder a la pregunta. La probabilidad de lanzar una moneda y el aterrizaje en cabeza es la siguiente: 1 .
2
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La probabilidad se puede expresar de muchas formas. Por ejemplo, la probabilidad de lanzar una cabeza puede ser expresada como: 1 o 50% o 1:2 o 0,5 2
La probabilidad de seleccionar una canica azul al azar puede ser expresada como: 1 o 01:06 o el 16,7% o 0,167 6
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4
Arthur escribió cada letra de su nombre en una tarjeta separada y puso las tarjetas en una bolsa. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una A de la bolsa? A 0
B 1/6
¿Necesitas una pista? Probabilidad = Número de resultados favorables Mueve la caja. Número total de resultados posibles C 1/2
D 1
A R T H U R
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5
Arthur escribió cada letra de su nombre en una tarjeta separada y puso las tarjetas en una bolsa. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una R de la bolsa? A 0
B 1/6
C
1/3
Probabilidad = Número de resultados favorables ¿Necesitas una pista? Número total de resultados posibles Mueve la caja. D 1
A R T H U R
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6
El profesor de Matt puso 5 marcadores rojos, 10 negros y 5 verdes en una bolsa. ¿Cuál es la probabilidad de que Matt saque un marcador de color rojo? A 0
B 1/4
C 1/10
D 10/20
Probabilidad = Número de resultados favorables ¿Necesitas una pista? Número total de resultados posibles Mueve esta caja. 16
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7
¿Cuál es la probabilidad de sacar un 5 en un cubo justo? 17
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8
¿Cuál es la probabilidad de sacar un impar en un cubo justo? 18
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9
¿Cuál es la probabilidad de sacar un 7 en un cubo justo? 19
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10
Si usted tiene 3 camisetas negras y 4 azules,¿cuál es el probabilidad de escoger una camiseta negra sin mirar? 20
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11
Si usted entra en un concurso en línea 4 veces y en el momento de elegir el ganador hay 100 entradas totales, ¿cuáles son sus posibilidades de ganar? 21
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12
María escoge un número entero al azar del 1 a 6. ¿Cuál es la probabilidad de que el entero que elige es un número primo? A
B
C
D
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13 Cada uno de los sombreros que se muestran a continuación tienen canicas de colores dentro de ellos. El Sombrero A contiene cinco canicas verdes y cuatro canicas rojas. El Sombrero B contiene seis canicas azules y cinco canicas rojas. El Sombrero C contiene cinco canicas verdes y cinco canicas azules. Si un estudiante tuviera que elegir al azar una canica de cada uno de estos sombreros, determina de qué sombrero es más probable que el estudiante elija una canica verde. Justifica tu respuesta. Sombrero A Sombrero B Sombrero C Desde el estado de Nueva York Departamento de Educación. Oficina de Políticas de Evaluación, Desarrollo y La administración. Internet. Disponible en www.nysedregents.org / IntegratedAlgebra, consultado el 17 de junio de 2011 23
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Determine el menor número de canicas, si hay, y el color de las canicas que podrían añadirse a cada sombrero para que la probabilidad de sacar una canica verde sea la mitad en cada uno de los tres sombreros. Sombrero A contiene cinco canicas verdes y cuatro canicas rojas. Sombrero B contiene seis canicas azules y cinco canicas rojas. Sombrero C contiene cinco canicas verdes y cinco canicas azules. Sombrero A Sombrero B Sombrero C Desde el estado de Nueva York Departamento de Educación. Oficina de Políticas de Evaluación, Desarrollo y La administración. Internet. Disponible en www.nysedregents.org / IntegratedAlgebra, consultado el 17 de junio de 2011 24
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Probabilidad
Experimental & Teórica Haga clic aquí para ir a Tabla de contenidos 25
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Resultad
o Haga clic en un objeto. ¿Cuál es el resultado? Los resultados so
diferentes que pu
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Probabilidad experimental Probabilidad número de veces que el resultado pasó número de veces que el experimento se de un evento Voltea la moneda 5 veces y determina la
Probabilidad Experimental de cabezas. Cabezas
Colas
Probabilidad
Jale Experimental Respuestas repitió 27
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Probabilidad Experimental Ejemplo 1 ­ Golf Un campo de golf ofrece un juego libre para los golfistas que hacen un hoyo­en­uno en el último hoyo. La semana pasada, 24 de los 124 golfistas consiguieron esto. Encuentra la probabilidad experimental de que un jugador haga un hoyo­en­
uno en el último hoyo. P (hoyo en uno) = 24 =
N º de éxitos =
Número de ensayos 124
6 31
De los 31 jugadores de golf, usted podría esperar que 6 hagan un hoyo­en­uno en el último hoyo. O existe la posibilidad de un 19% de que un golfista haga un hoyo­en­uno en el último hoyo. 28
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Probabilidad Experimental Ejemplo 2 ­ Encuestas De los primeros 40 visitantes a través de los torniquetes de un parque de atracciones, 8 visitantes accedieron a participar en un estudio llevado a cabo por los empleados del parque. Encuentra el probabilidad experimental de que un visitante de parque de atracciones participará en la encuesta. 8 = 1 =
P (la participación) = N º de éxitos 5
Número de ensayos 40
Se podría esperar que 1 de cada 5 personas participe en la encuesta. O hay una probabilidad del 20% de que uno los visitantes participe en la encuesta. 29
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Sally rodó un dado 10 veces y los resultados se muestran a continuación. Utilice esta información para contestar las siguientes preguntas. # en Imagen del dado Ruedo
Resulta
dos 1
1 uno 2 Tres dos
3 Un tres 4 0 cuatros 5 4 cincos 6 Un seis 30
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¿Cuál es la probabilidad experimental de rodar un 14 5? A 1/2
B
C
5/4
4/5
D 2/5
# en Imagen del dado Ruedo
Resulta
dos 1
1 uno 2 Tres dos
3 Un tres 4 0 cuatros 5 4 cincos 6 Un seis 31
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¿Cuál es la probabilidad experimental de rodar un 15 4? A 1/2
B 5/4
# en Imagen del dado Ruedo
Resulta
dos 1
1 uno 2 Tres dos
3 Un tres 4 0 cuatros 5 4 cincos 6 Un seis C 4/4
D 0
32
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16 Basado en la probabilidad experimental que encontraste, si ruedas el dado 100 veces, ¿cuántos seises se pueden esperar a conseguir? A6 seises B10 seises # en Imagen del dado Ruedo
Resulta
dos 1
1 uno 2 Tres dos
3 Un tres 4 0 cuatros 5 4 cincos 6 Un seis C12 seises D60 seises Estos son los resultados después de 10 ruedos del dado
33
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17 Mike arrojó una moneda 15 veces y aterrizó en las colas 11 veces. ¿Cuál es la probabilidad experimental de aterrizaje en las cabezas? 34
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Respuesta Justo Tire de las lengüetas de definiciones. Igualemente Probables Probabilidad
Teórica ¿Cuál es la probabilidad teórica de girar verde? Teórico Teórico Teórico Probabilidad Probabilidad Probabilidad Probabilidad Teórica 35
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Probabilidad Teórica Probabilidad número de resultados favorables
número total de resultados posibles de un evento 36
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Probabilidad Teórica Ejemplo 1 ­ Canicas Encuentra la probabilidad de elegir al azar una canica blanca de las canicas que se muestran. P (blanco) = Número de resultados favorables N º de resultados posibles =
4 2 =
10 5
Hay una posibilidad de 2 en cada 5 de elegir una canica blanca o una posibilidad del 40%. 37
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Probabilidad Teórica Ejemplo 2 ­ Canicas Supongamos que eliges al azar una canica gris. Encuentra la probabilidad de este evento. P (gris) = Número de resultados favorables = 3 N º de resultados posibles 10
Hay una posibilidad de 3 en cada 10 de elegir una canica de color gris o una posibilidad del 30%. 38
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Probabilidad Teórica Ejemplo 3 ­ Monedas Encuentra la probabilidad de obtener colas cuando lanzas una moneda. 1 P (colas) = Número de resultados favorables =
N º de resultados posibles 2
Hay una probabilidad de 1 en 2 de obtener colas cuando usted lanza una moneda o una posibilidad del 50%. 39
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18 ¿Cuál es la probabilidad teórica de elegir una canica verde? A
1/8
B
7/8
C
1/7
D
1
40
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¿Cuál es la probabilidad teórica de elegir una canica negra? 19 A 1/8
B 7/8
C 1/7
D 1
41
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¿Cuál es la probabilidad teórica de elegir una canica blanca? 20 A 1/8
B 7/8
C 1/7
D 1
42
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¿Cuál es la probabilidad teórica de no elegir una 21 canica blanca? A 1/8
B 7/8
C 1/7
D 1
43
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22 ¿Cuál es la probabilidad teórica de sacar un tres? A
1/2
B
3
C
1/6
D
1
44
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23
¿Cuál es la probabilidad teórica de sacar un número impar? A
1/2
B
3
C
1/6
D
5/6
45
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24 ¿Cuál es la probabilidad teórica de sacar un número menor a 5? A 2/3
B
4
C
1/6
D
5/6
46
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25
¿Cuál es la probabilidad teórica de no sacar un 2? A
2/3
B
2
C
1/6
D
5/6
47
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26 Seth tiró una moneda al aire cinco veces y obtuvo cinco cabezas. La probabilidad de que los próximos lanzamientos sean una cola es
A
0 B
C
D
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27 ¿Cuál desigualdad representa la probabilidad, x, de que cualquier evento suceda? A
x ≥ 0 B
0 < x < 1
C
x < 1
D
0 ≤ x ≤ 1 Desde el estado de Nueva York Departamento de Educación. Oficina de Políticas de Evaluación, Desarrollo y La administración. Internet. Disponible en www.nysedregents.org / IntegratedAlgebra, consultado el 17 de junio de 2011 49
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Actividad en Clase C
• ada estudiante lanza una moneda 10 veces y registra los números de resultados de cabezas y de colas. C
• ada estudiante calcula la probabilidad experimental de lanzar una cola y lanzar una cabeza. U
• se las probabilidades experimentales determinadas por cada estudiante para calcular la probabilidad experimental de toda la clase para lanzar una cabeza y una cola. 50
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Responda lo siguiente: ¿Cuál es la probabilidad teórica de lanzar una cola? Una cabeza? Compara la probabilidad experimental a la probabilidad teórica para 10 experimentos. Compara la probabilidad experimental a la probabilidad teórica cuando los experimentos de todos de los estudiantes son considerados
51
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Problemas Verbales Haga clic aquí para ir a Tabla de contenidos 52
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La empresa de Canicas Maravillosas produce lotes de 1000 canicas por lote. Cada lote contiene 317 canicas azules, 576 canicas rojas, y 107 canicas verdes. Determina la probabilidad teórica de la selección de una canica de cada color si es un color seleccionado por un brazo robótico. Número de resultados en el Evento 107
317
576
107+317+576=1000
Número total de resultados posibles Probabilidad teórica 1000
1000
1000
1000/1000
107/1000=0,107
0,107 100=
10,7%
317/1000=0.317
0.317 100=
31.7%
576/1000=0.576
0,576 100=
57,6%
1000/1000=1 100=
100%
53
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Bob, el gerente de la Empresa de Canicas Maravillosas le dice a Pete que ya es hora de agregar una canica amarilla a la mezcla. Además, Bob le dice a Pete que empiece a hacer los lotes en la misma proporción para que el cliente pueda recibir una cantidad igual de colores en un lote. Él le dice a Pete que necesita que haga esto de inmediato. Si usted fuera Pete, ¿cómo usaría la probabilidad teórica para resolver este problema? Supongamos 1000 canicas por lote (canicas de color rojo, verde, azul y amarillo) C
• omience con 1000 canicas D
• ivida 1000 en 4 partes iguales (colores iguales) C
• ada parte es igual a 250 canicas R
• eduzca a la mínima expresión ¿Tiene una explicación de la probabilidad para Bob? Haga clic en círculo negro para encontrar la respuesta. El cliente tiene una posibilidad de 1 en 4 o el 25% de escoger cualquier color! 54
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A Erica le encanta el fútbol! El entrenador de las damas le dice a Erica que ella hizo goles en el 19% de sus intentos en la última temporada. Esta temporada, el entrenador predice el mismo porcentaje para Erica. Erica dice que intentó aproximadamente 1.100 tiros de gol en la última temporada. Su entrenador sugiere que estimen el número de goles con probabilidad experimental. ¿Qué sabe usted acerca de los porcentajes para averiguar la relación de los goles hechos a los goles intentados? 19 goles realizados = 19% 100 goles intentados Probabilidad Experimental = número de veces que el resultado pasó número de veces que el experimento se repitió número de goles Mover a Revelar Probabilidad Experimental =
de Erica Mover a Revelar número de intentos Por favor, continúe en la siguiente diapositiva ... 55
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Vamos a calcular el número de que goles Erica anotó. Erica hace un 19% de sus Erica se toma 1.100 intentos de gol. intentos de gol. ¿Qué porcentaje sería una ¿Cómo cuántos números de buena estimación para intentos hizo Erica? usar? 1.100 está muy cerca a 19 está muy cerca a 20 1.000. Así que vamos a 100 100 estimar que Erica ha por lo que hace que heco alrededor de alrededor del 20% de sus 1.000 intentos intentos de gol. (Haga clic en las cajas para ver si sus respuestas son correctas) 56
presentacion­de­prababilidad­2012­03­06.notebook
Erica quiere encontrar el 20% de 1.000. Su matemática es la siguiente: Erica cree que hizo alrededor de 200 de sus intentos de gol. 57
¿Puedes encontrar los valores reales que te darán un 19%? Respuesta D
fío a
s
e
Indici
o presentacion­de­prababilidad­2012­03­06.notebook
58
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Probabilidad experimental Ejemplo 3 ­ Jardinería El año pasado, Lexi plantó 12 bulbos de tulipán, pero sólo 10 de ellos florecieron. Este año tiene la intención de plantar 60 bulbos de tulipán. Usa la probabilidad experimental para predecir el número de bulbos que florecerán. 10 floración = x floración 12 total 60 total Resuelve esta proporción al multiplicar por 5 10 floración = 50 floración 12 total 60 total Basándose en su experiencia del año pasado, Lexi puede esperar que 50 de 60 tulipanes van a florecer. 59
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Probabilidad Experimental Ejemplo 4 ­ Baloncesto Hoy intentaste 50 tiros libres y hiciste
32 de ellos. Usa la probabilidad experimental para predecir el número de tiros libres que harás mañana, si intentas 75 tiros libres
32 hechos =
50 intentos x hechos 75 intentos Resuelva este porcentaje usando productos cruzados 32 75 = 50 x
2400 = 50x
48 = x
Con base en tu desempeño de ayer, puedes esperar hacer 48 tiros libres de 75 intentos. 60
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Ahora es su turno. Calcule la probabilidad experimental para el número de goles. Número de intentos Número de goles Probabilidad Experimental 100
30
0,30 o 30% 1000
600
0,60 o 60% 500
150
0,30 o 30% 2000
1600
0,80 o 80% 61
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28 Tom fue al bate 50 veces y golpeó la pelota 10 veces. ¿Cuál es la probabilidad experimental para golpear la pelota? 62
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29 Tom fue al bate 50 veces y golpeó la pelota 10 veces. Estime el número de bolas que Tom golpeó si estaba al bate 250 veces. 63
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30 ¿Cuál es la probabilidad teórica de la selección aleatoria de un jack de una baraja de cartas? 64
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31 Mark rodó un 3 en un dado de 7 de 20 rollos. ¿Cuál es la probabilidad experimental de sacar un 3? 65
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32 ¿Cuál es la probabilidad teórica de sacar un 3 en un dado? 66
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33 Algunos libros se colocan sobre una mesa. Dos son de Inglés, tres son de matemáticas, uno es de Francés, y cuatro son de estudios sociales. Teresa selecciona un libro de Inglés y Isabelle selecciona un libro de estudios sociales. Las dos niñas llevan sus selecciones a la biblioteca para leer. Si Truman luego selecciona un libro al azar, ¿cuál es el probabilidad de que seleccione un libro de Inglés? 67
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Principio Fundamental de Conteo Haga clic aquí para ir a Tabla de contenidos 68
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¿Qué me pongo hoy? Buddy tiene dos camisas y tres pantalones para elegir. ¿Cuántos trajes diferentes puede hacer? 69
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Jale Vamos a ver cuántos trajes Buddy puede hacer usando un diagrama de árbol. Para hace
árbol, junt
pantalone
camiseta.
hacer 6 tr
70
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O podemos usar la multiplicación para encontrar cuántos trajes Buddy podría hacer. 3
x
2
= 6
pantalones camiseta trajes s 71
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¿Cuántas comidas diferentes podemos crear con el siguiente menú? Acompañante
Sopa Ensalada Papas fritas Entrada Postre Lasagna Helado Fajita de pollo Pastel Burrito Pizza Hamburguesa 72
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Crea un diagrama de árbol arrastrando los elementos. Acompañante Sopa Ensalada Papas fritas Lasagna Entrada Postre Fajita de pollo Helado Pizza Pastel Hamburguesa Lasagna Burrito Helado Pastel Sopa 73
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Ahora trata de resolver el mismo problema con multiplicación. Acompañante Entrada Postre Lasagna Fajita de pollo Sopa Helado Ensalada Pizza Burrito Pastel Hamburguesa Papas fritas x
Acompañantes x
Entradas =
Postres Las comidas 74
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Si tuviera que elegir 4 dígitos para que sean su número de identificación, ¿cuántas opciones hay? Antes de comenzar debemos tener en cuenta si se puede repetir un número una vez que es elegido. Si un dígito puede repetir se llama reemplazo , porque una vez elegido se vuelve a colocar en la lista. Si un dígito no se puede repetir se dice que es sin reemplazo ,
porque el número no vuelve a la lista de opciones. 75
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Si tuviera que elegir 4 dígitos para que sean su número de identificación, ¿cuántas opciones hay si NO hay reemplazo? _______ ________ _________ __________
Primero consideremos cuántas opciones hay para un dígito: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Así que hay 10 opciones para el primer dígito. Para el segundo dígito sólo habrán nueve opciones. Para el tercer dígito sólo hay 8 opciones. Para el cuarto dígito sólo hay 7 opciones. 76
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Los estudiantes reciben una clave para sus casilleros de gimnasio. Cada código requiere que se introduzcan 4 dígitos de un solo número. Si los números no se pueden repetir, ¿cuántos números de códigos diferentes son posibles? x
x
x
=
1
1
1
1
total 2
2
2
2
Posibilidades 3
3
3
3
4
4
4
4
5
5
5
5
6
6
6
6
5.040 7
7
7
7
combinaciones 8
8
sta
8
e
u
esp
r
r
9
9
ela
v
e
r
0
ara
p
r
e
v
Mo
77
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Si tuviera que elegir 4 dígitos para que sean su número de identificación, ¿cuántas opciones hay si hay reemplazo ?
__________ _________ _________ __________
Primero consideremos cuántas opciones hay para un dígito: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Así que hay 10 opciones para el primer dígito. Para el segundo dígito sólo habrán 10 opciones, porque con el reemplazo no pueden haber repeticiones. Para el tercer dígito sólo hay 10 opciones. Para el cuarto dígito sólo hay 10 opciones. Utilizando el principio del conteo: (10) (10) (10) (10) = 10.000 combos 78
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Los estudiantes reciben una clave para sus casilleros de gimnasio. Cada código requiere que se introduzcan 4 dígitos de un solo número. Si los números pueden ser repetidos, pero cero no puede ser el primer número, ¿cuántos códigos diferentes son posibles? 1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
x
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
=
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
total Posibilidades 9.000 a combinaciones est
pu
s
r re
a
l
ve
e
r
a
ar
p
r
ve
Mo
79
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Pista 3 cuántos códigos tex. Haga clic en la cerradura para descubrir respuestas Pista 1 amienta de ra resaltar la mportante en el 7.893.600
combinaciones Este criptex tiene un mapa de un tesoro enterrado en algún lugar de Nueva Jersey. Cada de las 5 columnas listan cada letra del alfabeto una vez. ¿Cuál es el número total de códigos que se pueden crear si las letras no se pueden repetir? mediante el uso ental de conteo. Pista 2 etras hay
80
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Haga clic en la cerradura para descubrir respuestas a cuántos códigos riptex. o mediante el uso mental de conteo. Pista 2 letras hay
Pista 3 Pista 1 rramienta de ara resaltar la importante en el 25 11.881.376 Este criptex tiene un mapa de un tesoro enterrado en algún lugar de Nueva Jersey. Cada de las 5 columnas listan cada letra del alfabeto una vez. ¿Cuál es la probabilidad de que los códigos que contienen las letras MATH (en ese orden) como las primeras 4 letras en el código? (La última letra puede ser una repetición) sión
Ver afío Des
A continuación, en
de diferentes códi
crear con las letra
primeras 4 letras. Una vez que teng
crea una relación probabilidad. 81
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34 Robin tiene 8 blusas, 6 faldas, y 5 bufandas. ¿Qué expresión se puede utilizar para calcular el número de trajes diferentes que puede elegir, si un traje se compone de una blusa, una falda y una bufanda? A
8 + 6 + 5
B
8 • 6 • 5 C
8! 6! 5! D
19
C3
Desde el estado de Nueva York Departamento de Educación. Oficina de Políticas de Evaluación, Desarrollo y La administración. Internet. Disponible en www.nysedregents.org / IntegratedAlgebra, consultado el 17 de junio de 2011. 82
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35 En un edificio de escuela, hay 10 puertas que se pueden utilizar para entrar en el edificio y 8 escaleras que van al segundo piso. ¿Cuántas rutas diferentes hay de fuera del edificio a una clase en el segundo piso? A
1
B
10
C
18
D
80
Desde el estado de Nueva York Departamento de Educación. Oficina de Políticas de Evaluación, Desarrollo y La administración. Internet. Disponible en www.nysedregents.org / IntegratedAlgebra, consultado el 17 de junio, 20 83
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36 Joe tiene 4 sombreros diferentes, 3 camisetas diferentes, y 2 pares de pantalones. ¿Cuántos trajes diferentes puede hacer Joe? A
9 trajes B
14 trajes C
24 trajes D
12 trajes Click para agrandar calculadora, tire la parte inferior de la esquina derecha 84
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37 Stacy está tratando de averiguar cuántas combinaciones diferentes hay de placas de licencia. Ella vive en Nueva Jersey, donde hay tres letras seguidas por tres números. ¿Cuántas combinaciones diferentes de placas hay? A
17.576.000 placas B
12.812.904 placas C
729 placas D
17.576 placas Click para agrandar calculadora, tire la parte inferior de la esquina derecha 85
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38 Si usted quiere maximizar la cantidad de placas de licencias disponibles y podría añadir una letra o un número adicional para las existentes combinaciónes de 3 letras y 3 números, ¿le agregaría una letra o un número? A letra
B número 86
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39 Becky y Andy van en su primera cita al cine. Andy quiere comprarle un aperitivo y una bebida a Becky, pero ella se está tardando mucho tiempo para tomar una decisión. Becky dice que hay demasiadas combinaciones para elegir. Si hay 6 tipos de bebidas diferentes y 15 aperitivos diferentes, ¿cuántas opciones tiene Becky realmente? A 45 opciones B 90 opciones C 21 opciones D 42 opciones Click para agrandar calculadora, tire la parte inferior de la esquina derecha 87
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40 Ali está haciendo pulseras de cuentas para ella y sus amigos. Ella calculó que cada pulsera debe ser de 10 cuentas. Si sólo tiene cuentas azules y verdes, ¿cuántas pulseras diferentes puede hacer? A 1.024 pulseras B 1.000 pulseras C 100 pulseras Click para agrandar calculadora, tire la parte inferior de la esquina derecha D 20 pulseras 88
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41
5 estilos de bicicletas vienen en 4 colores cada una, ¿cuántas opciones de bicicletas diferentes están disponibles? 89
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42
Si la tienda de libros tiene cuatro niveles de libros de álgebra, cada nivel está disponible en la espalda blanda o dura, y cada uno viene en tres diferentes tipos de letra, ¿cuántas opciones de libros de álgebra están disponibles? 90
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43
¿De cuántas maneras pueden tres estudiantes ser nombrados presidente, vicepresidente, y secretario si cada uno tiene sólo una oficina? 91
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44
¿De cuántas maneras puede un cuestionario de 4 preguntas de opción múltiple ser respondido si hay 5 opciones por pregunta? 92
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45 Un sistema de combinación de casilleros utiliza tres dígitos del 0 al 9. ¿Cuántas combinaciones de tres dígitos sin dígitos repetidos son posibles? A
30
B
504
C
720
D
1000
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46
¿Cuántos números de cinco dígitos pueden formarse a partir de los dígitos 1, 2, 3, 4, y 5 si cada dígito se usa sólo una vez? A
120
B
60
C
24
D
20
Desde el estado de Nueva York Departamento de Educación. Oficina de Políticas de Evaluación, Desarrollo y La administración. Internet. Disponible en www.nysedregents.org / IntegratedAlgebra, consultado el 17 de junio de 2011. 94
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47
Todos los números telefónicos de siete dígitos en una ciudad comienzan con 245. ¿Cuántos números de teléfonos pueden ser asignados en la ciudad si los últimos cuatro dígitos no empiezan ni termina en cero? Desde el estado de Nueva York Departamento de Educación. Oficina de Políticas de Evaluación, Desarrollo y La administración. Internet. Disponible en www.nysedregents.org / IntegratedAlgebra, consultado el 17 de junio de 2011. 95
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48 La compañía telefónica se ha quedado sin números telefónicos de siete dígitos para una código de área. Para solucionar este problema, la compañía telefónica introduce un nuevo código de área. Encuentra el número de nuevos números de teléfono de siete dígitos que se se generarán para el nuevo código de área si las dos condiciones siguientes deben ser cumplidas: • El primer dígito no puede ser un cero o un uno. • Los primeros tres dígitos no pueden ser el número de emergencia (911) o el número utilizado para obtener información (411). Desde el estado de Nueva York Departamento de Educación. Oficina de Políticas de Evaluación, Desarrollo y Administración. Internet. Disponible desde www.nysedregents.org / IntegratedAlgebra, consultado el 17 de junio de 2011. 96
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Permutaciones y combinaciones Haga clic aquí para ir a Tabla de contenidos 97
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¿De cuántas maneras pueden los animales ser organizados? Hay dos métodos para resolver este problema: Método 1: Lista todas las agrupaciones posibles Método 2: Usa la permutación. 98
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Método 1: Lista todos los grupos posibles. Hay 24 arreglos de 4 animales en 4 posiciones. 99
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Método 2: Usa la permutación. Una permutación es un arreglo de n objetos en los que el orden es importante. Existen 4 opciones para la primera posición. Hay 3 opciones para la segunda posición. Hay dos opciones para la tercera posición. Hay una opción para la cuarta posición. 4 3 2 1 = 24 Hay 24 arreglos de 4 animales en 4 posiciones. La expresión 4 3 2 1 se puede escribir como 4!, Que se lee como
"4 factorial ". 100
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49 ¿Cuál es el valor de 5! ? 101
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50 ¿De cuántas maneras se pueden arreglar las letras FROG? 102
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51 ¿De cuántas maneras puede un oficial de policía, bombero y un respondedor de primeros auxilios entrar a una habitación en una fila india? A 3
B 3!
C 6
D 6!
E 1
103
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52 ¿De cuántas maneras pueden cuatro autos de carreras terminar una carrera que no tiene empates? A 4
B 4!
C 24
D 24!
E 12
104
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53
¿De cuántas maneras las letras de la palabra HOUSE ser arregladas? 105
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54
¿De cuántas maneras se pueden arreglar 4 libros en un estante? 106
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¿De cuántas maneras se pueden reorganizar las letras de la palabra DEER? Hay 2 Es, Por lo tanto DEER y DEER se consideran el mismo combo. Ya que hay dos letras repetidas calcula los combos utilizando el principio del conteo y luego divide por 2. (4) (3) (2) (1) = 12 formas 2
107
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55
¿De cuántas maneras se pueden arreglar las letras JERSEY? 108
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56 ¿Cuántos arreglos de tres letras se pueden formar usando las letras en la palabra ABSOLUTE, si cada letra se usa sólo una vez? A
56
B
112
C
168
D
336
Desde el estado de Nueva York Departamento de Educación. Oficina de Políticas de Evaluación, Desarrollo y La administración. Internet. Disponible en www.nysedregents.org / IntegratedAlgebra, consultado el 17 de junio de 2011. 109
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Fórmula Permutación Concepto clave: un arreglo de n objetos en los que el orden es importante es una permutación. Una carrera es un ejemplo de una situación en la que el orden es importante. ¿Puedes nombrar otros ejemplos donde el orden es importante? _________________________________________________________
El número de permutaciones de n objetos tomados a la vez r puede ser escrito como nPr, donde Pr = _________________________________________________________
n
5
P3 =
=
=
= 60
Si 5 autos se encontraban en una carrera y se entregaron los premios para el primer, segundo y en tercer lugar, este es el número de posibles maneras de que los premios se otorgarán. 110
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57 Encuentra el valor de 6 P2 111
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58 Encuentra el valor de 4 P1 112
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59 Encuentra el valor de 5 P5 Pista: 0! = 1 113
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Veinte mujeres jóvenes entraron a un concurso de belleza. Los premios se van a premiar a el primer, segundo y tercer lugar. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden dar los premios para el primer, segundo y tercer lugar? 20
P3 = = 20! = 20 19 18 17!
= 6840
17! 17!
114
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Encuentra el número de permutaciones de 4 objetos tomados 3 a la vez. ¿Cuántos números de 4 dígitos se pueden hacer usando cada uno de los dígitos 1, 2, 3 y 4 una vez exactamente? P4 = 4! = 4 3 2 1 = 24
0! 1
4
115
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60 10 autos en una carrera. ¿De cuántas maneras se pueden dar los premios para el primer, segundo y tercer lugar? 116
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61 ¿De cuántas maneras se pueden arreglar cuatro de los siete libros en un estante? 117
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62 Usted está tomando 7 clases, tres antes del almuerzo. ¿Cuántos posibles acuerdos hay para las clases de la mañana? 118
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63 El profesor va a elegir a un presidente y vice­presidente de los 24 estudiantes en la clase. ¿Cuántos acuerdos son posibles para el presidente y vicepresidente? 119
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Combinaciones Una combinación es una selección de objetos cuando el orden no es importante. Ejemplo: Una pizza de combinación, ya que no importa en qué orden se coloquen los ingredientes. ¿Puedes pensar en otros ejemplos cuando el orden no importa? 120
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64 Usted debe leer 5 de los 10 libros en la lista de lectura del verano. Este es un ejemplo de ____________ A
Combinación B
Permutación 121
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65 Usted debe acomodar 5 de los 10 libros en el estante. ¿Cuántas maneras diferentes hay para colocarlos en el estantes? Esto un ejemplo de ____________ A
Combinación B
Permutación 122
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66 Hay 10 personas en una habitación. ¿Cuántos pares diferentes se pueden hacer? Este es un ejemplo de ____________ Combinación A
B
Permutación 123
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67 10 personas están a punto de salir de una habitación. ¿De cuántas maneras pueden salir de la habitación? Este es un ejemplo de ____________
Combinación A
B
Permutación 124
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68 Usted tiene 100 familiares y sólo puede invitar a 50 a su 16a fiesta de cumpleaños. Las posibilidades de quién pueda ser invitado es un ejemplo de ____________ Combinación A
B
Permutación 125
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Combinaciones ___________________________________________
Para encontrar el número de combinaciones de n objetos tomados a la vez r, divide el número de permutaciones de n objetos tomados a la vez r por r! n C r = n P r
r! ____________________________________________________________
Hay 7 ingredientes de pizza y usted está eligiendo cuatro de para su pizza. ¿Cuántas pizzas son posibles para crear? El orden en que usted elige los ingredientes no es importante, así que esto es una combinación. Para encontrar el número de diferentes maneras de elegir los cuatro ingredientes de 7, encuentre 7 C 4.
C 4 = 7 P 4 = 7 6 5 4 = 35
4! 4 3 2 1 7
126
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69 Encuentra el número de combinaciones. 5 C 2
127
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70 Hay 40 estudiantes en el club de la computadora. Cinco de los estudiantes serán seleccionados para competir en la competencia All Star. ¿Cuántos grupos diferentes de cinco estudiantes pueden ser elegidos? 128
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71 Hay 75 flores en la tienda. ¿Cuántos arreglos diferentes se pueden crear con 10 flores? 129
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72 Ocho personas entran en el torneo de ajedrez. ¿Cuántas parejas diferentes son posibles? 130
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73 María puede seleccionar 3 de 5 camisas para empacar para el viaje. ¿Cuántos grupos diferentes son posibles? 131
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74 ¿Cuántos equipos diferentes de tres miembros pueden ser seleccionados de un grupo de siete estudiantes? A
1
B
35
C
210
D
5040
132
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Probabilidad de Eventos Compuestos Haga clic aquí para ir a Tabla de contenidos 133
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Probabilidad de Eventos Compuestos Primero ­ decide si los dos eventos son independientes o dependientes. Cuando el resultado de un evento no afecta a el resultado de otro evento, los dos eventos son independientes. Use la fórmula: Probabilidad (A y B) = Probabilidad (A) Probabilidad (B) 134
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Ejemplo Independiente Elije una tarjeta de una baraja de cartas, reemplazala en la baraja, baraja las cartas, y elije una segunda carta. ¿Cuál es la probabilidad de que te entregará un 6 y luego un rey? P (6 y un rey) = P(6) P(rey) 4 4 = _1_
52 52 169
135
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Cuando el resultado de un evento afecta el resultado de otro evento, los dos eventos son dependientes. Use la fórmula: Probabilidad (A y B) = Probabilidad(A) Probabilidad(B dado A) Ejemplo dependientes Elije una tarjeta de una baraja de cartas, no la reemplaces en la baraja, baraja las cartas, y elije una segunda carta. ¿Cuál es la probabilidad de que se te entregará un 6 y luego un rey? P (6 y un rey) = P(6) P(rey dado un seis ha sido seleccionado) 4 4 = 4
52 51 663
136
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75 Los nombres de seis chicos y 10 chicas de tu clase se ponen en un sombrero. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos primeros nombres elegidos sean ambos de niños? 137
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76 Una máquina de la lotería genera números al azar. Dos números entre 1 y 9 se generan. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos números sean 5? 138
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77 La persona de reparación de televisores está en una habitación con 20 televisores rotos. Dos conjuntos tienen los cables rotos y 5 conjuntos tienen un chip de computadora defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer televisor reparado tiene ambos problemas? 139
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78 ¿Cuál es la probabilidad de que las dos primeras cartas sacadas de una baraja completa sean ambas corazones? (Sin reemplazo) 140
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79 Una ruleta que contiene 5 colores: rojo, azul, amarillo, blanco y verde es girada y un dado, numerado del 1 al 6, es rodado. ¿Qué es la probabilidad de girar verde y rodar un dos? 141
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n cajón contiene 5 calcetines marrones, 6 calcetines de 80 U
color negro, y 9 calcetines de color azul marino. No hay electricidad. ¿Cuál es la probabilidad de que Sam elija dos calcetines que son negros? 142
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81 En una feria de la escuela, la ruleta representada en el diagrama se hace girar dos veces. R
G
B
¿Cuál es la probabilidad de que aterrice en la sección G la primera vez y luego en la sección B la segunda vez? A
C
B
D
Desde el estado de Nueva York Departamento de Educación. Oficina de Políticas de Evaluación, Desarrollo y La administración. Internet. Disponible en www.nysedregents.org / IntegratedAlgebra, consultado el 17 de junio de 2011. 143
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82 Un consejo de estudiantes cuenta con siete oficiales, de los cuales cinco son niñas y dos niños. Si dos oficiales son elegidos al azar para asistir a una reunión con el director, ¿cuál es la probabilidad de que el primer oficial elegido es una niña y el segundo es un niño? A
C
B
D
Desde el estado de Nueva York Departamento de Educación. Oficina de Políticas de Evaluación, Desarrollo y La administración. Internet. Disponible en www.nysedregents.org / IntegratedAlgebra, consultado el 17 de junio de 2011. 144
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83 La probabilidad de que va a nevar el domingo es La probabilidad de que va a nevar tanto el sábado y el lunes es ¿Cuál es la probabilidad de que va a nevar el lunes, si nevó el domingo? A
C
B
2
D
Desde el estado de Nueva York Departamento de Educación. Oficina de Políticas de Evaluación, Desarrollo y La administración. Internet. Disponible en www.nysedregents.org / IntegratedAlgebra, consultado el 17 de junio de 2011. 145
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Las Probabilidades de Eventos Mutuamente Excluyentes y la Superposición
Haga clic aquí para ir a Tabla de contenidos 146
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Los eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos si no tienen resultados en común. Ejemplo: Un caso: Rodar un 3 Evento B: Rodar un número par Evento A Evento B 3
2 4 6
147
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Eventos superpuestos son eventos que tienen uno o más resultados en común Ejemplo Caso A: Rodar un número par Evento B: Rodar un número mayor que 3 Evento A 4
Evento B 2 5
6
148
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84 ¿Son los eventos mutuamente excluyentes? Evento A: Selección de un As Evento B: Selección de una carta roja Sí NO 149
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85 ¿Son los eventos mutuamente excluyentes?
Evento A: Rodar un número primo Evento B: Rodar un número par Sí NO 150
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86 ¿Son los eventos mutuamente excluyentes? Evento A: Rodar un número menor que 4 Evento B: Rodar un número par Sí NO 151
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87 ¿Son los eventos mutuamente excluyentes? Evento A: Seleccionar un pedazo de fruta Evento B: Seleccionar una manzana Sí NO 152
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88 ¿Son los eventos mutuamente excluyentes? Evento A: Rodar un múltiplo de 3 Evento B: Rodar un divisor de 19 Sí NO 153
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89 ¿Son los eventos mutuamente excluyentes? Evento A: Rodar un múltiplo de 3 Evento B: Rodar un divisor de 19 Sí NO 154
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90 ¿Son los eventos mutuamente excluyentes? Selecciona al azar una tarjeta de fútbol americano Evento A: Seleccionar un águila Filadelfia Evento B: Seleccionar un jugador de ataque Sí NO 155
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91 ¿Son los eventos mutuamente excluyentes? Evento A: Los Yankees ganaron la Serie Mundial Evento B: Los Mets ganaron el banderín de la Liga Nacional Sí NO 156
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r a
m
¡To s! nota
Fórmula probabilidad de dos eventos mutuamente exclusivos Jale P (A o B) = P (A) + P (B) En lug
"La pro
A" usted 157
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¿Cuál es la probabilidad de sacar un 5 o un As de una baraja de cartas? Hay 52 resultados para la baraja. 4 de estas cartas son cincos y 4 Ases. No hay una tarjeta que es a la vez un 5 y un una A. Así que ... Comprueba tu respuesta tirando hacia abajo la pantalla. P(5 o A) = P (5) + P (A) 4 + 4 = 8
52 52 52
reduce 2 13
158
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Encontrar la probabilidad si sacas un par de cubos de números y los números que aparecen son los mismos o la suma es 11. P(los números son los mismos) + P(suma es 11) 159
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Una bolsa contiene las siguientes barras de caramelo: 3 Snickers 4 Mounds 2 Almond Joy 1 Reese's Peanut Butter Cup
Usted saca una barra de caramelo de la bolsa al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que seleccione un Snickers o una barra de Mounds? ¿Son los eventos mutuamente excluyentes? Encuentra la probabilidad de seleccionar una barra de Snickers Encuentra la probabilidad de seleccionar una barra de Mounds Jale Encuentra la probabilidad de seleccionar una barra de Snickers o Mounds 160
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92 En una sala de 100 personas, a 40 les gusta la Coca­Cola, a 30 la Pepsi, a 10 Dr. Pepper, y 20 toman agua solamente. Si una persona es seleccionada al azar, ¿cuál es la probabilidad de que le guste la Coca­Cola o Pepsi? 161
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93 En una elección de la escuela, Bob recibió el 25% de los votos, Cara recibió el 40% de los votos, y Sam recibió el 35% de los votos. Si una persona es seleccionada al azar, ¿cuál es el probabilidad de que la persona votó por Bob o Cara? 162
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94 Un dado se lanza dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que se ruede un 4 o un número impar? 163
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95 Sal tiene una pequeña bolsa de caramelos que contiene tres caramelos verdes y dos caramelos rojos. Mientras esperaba el autobús, se comió dos caramelos de la bolsa, uno después del otro, sin mirar. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos caramelos fueron del mismo color? 164
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96 Los eventos A y B son disjuntos. Encuentra P(A o B). P (A) = P (B) = 165
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97 Los eventos A y B son disjuntos. Encuentra P(A o B). P (A) = P (B) = 166
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¿Cuál es el problema con esta situación ... Piensa en esto ... ¿Busca la probabilidad de seleccionar una tarjeta negra o un 7? P(negra o 7) Si la situación es de 2 eventos que SI ocurren al mismo tiempo, entonces estos no son eventos mutuamente excluyentes. 167
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r
a
¡Tom s! nota
Fórmula probabilidad de dos eventos que NO son mutuamente excluyentes P(A o B) = P(A) + P(B) ­ P(A y B) 168
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¿Cuál es la probabilidad de seleccionar una tarjeta negra o un 7? P(Negra o 7) P(negra o 7) = P(negra) + P(7) ­ P(negro y 7) P(negro o 7) = 26 + 4 ­ 2 = 28 = 7_
52
52 52 52 13
169
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300 estudiantes en total niñas lacrosse Jale De los 300 estudiantes de la escuela Jersey Devil, 121 son niñas, 16 estudiantes juegan softbol, 29 estudiantes se encuentran en el equipo de lacrosse, y 25 son niñas en el equipo de lacrosse. Encuentra la probabilidad de que un estudiante elegido al al azar es una chica o está en el equipo de lacrosse. Rellen
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De los 300 estudiantes de la escuela Jersey Devil, 121 son niñas, 16 estudiantes juegan softbol, 29 estudiantes se encuentran en el equipo de lacrosse, y 25 son niñas en el equipo de lacrosse. Encuentra la probabilidad de que un estudiante elegido al azar es una chica o está en el equipo de lacrosse. P(chica o lacrosse) = P(chica) + P(lacrosse) ­ P(chica y lacrosse) 29 121
­
25 +
300
300
300
125
= 0,416
300
171
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98 En una baraja especial cada tarjeta tiene exactamente un número diferente del 1­19 (inclusivo) en él. ¿Cuál da la probabilidad de sacar una tarjeta con un número impar o un múltiplo de 3 en ella? A P (impar) + P (múltiplo de 3) B P (impar) x P (múltiplo de 3) ­ P (impar y múltiplo de 3) P (impar) x P (múltiplo de 3) C D P (impar) + P (múltiplo de 3) ­ P (impar y múltiplo de 3) 172
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99 Los eventos A y B se superponen. Encuentre P (A o B).
P (A) = P (B) = P (A y B) = 173
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100 Los eventos A y B se superponen. Encuentre P (A o B).
P (A) = P (B) = P (A y B) = 174
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101 ¿Cuál es la probabilidad de rodar un número menor de dos o un número impar? 175
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102 ¿Cuál es la probabilidad de sacar un número que no es par o que no es un múltiplo de 3? 176
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Eventos Complementarios Haga clic aquí para ir a Tabla de contenidos 177
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Eventos Complementarios Dos eventos son eventos complementarios si son mutuamente excluyentes y un evento o el otro debe ocurrir. La suma de las probabilidades de eventos complementarios es siempre 1. P (A) + P (no A) = 1 Ejemplo: El pronóstico es de un 30% de probabilidad de lluvia. ¿Cuál es la probabilidad de que no llueva? P (lluvia) + P (no lluvia) = 1 0,3 + ? = 1
P (no lluvia) = 0,7 178
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103 Dado P (A), encuentra P (no A). P (A) = 52% P (no A) = ______% 179
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104 Dado P (A), encuentra P (no A). P (A) = P (no A) = ______ 180
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105 La ruleta a continuación se divide en ocho regiones iguales y se hace girar una vez. ¿Cuál es la probabilidad de no obtener rojo? Verde Amarillo Rojo A
Azul Rojo Blanco C
D
Rojo Púrpura B
Desde el estado de Nueva York Departamento de Educación. Oficina de Políticas de Evaluación, Desarrollo y La administración. Internet. Disponible en www.nysedregents.org / IntegratedAlgebra, consultado el 17 de junio de 2011. 181
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106 Las caras de un cubo están numeradas del 1 al 6. ¿Cuál es la probabilidad de no sacar un 5 en un solo lanzamiento de este cubo? A
C
B
D
Desde el estado de Nueva York Departamento de Educación. Oficina de Políticas de Evaluación, Desarrollo y La administración. Internet. Disponible en www.nysedregents.org / IntegratedAlgebra, consultado el 17 de junio de 2011. 182
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