∑ s + ui k

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1
MANOVA / Análisis de la Varianza Multivariante
(Regresión Multivariante con regresores cualitativos)
¿ Las v.a. Y1, Y2, ... Yp dependen de las variables A, B, C … ?
cuantitativas
cualitativas
respuesta
o factores
Ejemplo: Efecto que producen 3 medicamentos (factor A) y 4 dietas (factor B)
sobre la presión arterial máxima y mínima (2 variables respuesta).
Y = XB + U , filas de U ~ Np (0 , ) independientes
X formada con variables 0/1 de presencia/ausencia (vbles dummy)
Por cada variable respuesta tenemos un modelo Anova:
submodelo j:
Yj=X Bj+ Uj (columnas j de Y, B y U)
1) MANOVA 1 Factor
Y ,Y ,...Y 
explica, 
1 2


p
p respuestas
cuantitativas
a explicar
influye en
A

1 explicativa cualitativa
o factor, con g niveles
(determina g grupos)
Comparación de medias p-dim. en g grupos o poblaciones independientes.
Ejemplos: Efecto de 3 medicamentos sobre la presión arterial máxima y mínima.
6 cuestiones sobre la sensación de seguridad ciudadana en 4 comunidades.
1.1 El Modelo
En el grupo k observamos nk individuos y las respuestas (p-dim) son normales.
yi k es la respuesta (p-dim) del i-ésimo individuo del grupo k.
yi k =
 yi 1 k   μ1   α1 k   u i 1 k 

   
 

 ...   ...   ...   ... 
 y   μj   α    u 
 ijk     jk   ijk 
 ...   ...   ...   ... 

  p  
 

 yi p k   μ   α p k   u i p k 
yi k = +k+u i k ~ Np (k , )

 k k
 
k
media en el grupo k
efecto de media general
efecto del nivel k del factor A
uik
perturbación aleatoria Np(0,)
las perturbaciones p-dim u i k son independientes
1.1.1 Reformulación como un modelo de Regresión Multivariante
Como en los modelos Anova, para cada nivel s del factor A creamos una variable
dummy 0-1 de presencia/ausencia xis y reescribimos la ecuación:
yi k = +k+u i k = +
g
x
is
s +u i k
s=1
después colocamos las observaciones yi k como filas de una matriz Y de datos:
Y = XB + U ,
filas de U ~ Np (0 , ) independientes
El Manova de un factor, así planteado, es un modelo de regresión multivariante
sobre g variables dummy (una por cada grupo o nivel del factor A).
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2
1.1.2 Diferencias con Anova:
X no cambia, pero Y, U ahora son matrices en lugar de vectores:
X
matriz de diseño, es la misma que en el Anova de un factor:
n= n 1+…+ n g filas del tipo (1 | 0 … 1 … 0 )
B
matriz de parámetros
U
matriz de perturbaciones; n filas Np (0, ) independientes
Y
matriz de observaciones
elemento yijk
n filas con las respuestas p-dim de cada individuo (yi k)
p columnas y j (una por cada variable dependiente)
El Manova de un factor yuxtapone p modelos Anova, uno por cada variable Y.
El submodelo j se forma con las columnas j-ésimas de Y, B y U:
y j = Xj + u j ,
j=1…p
Estos p submodelos están relacionados: Las filas de U son independientes entre sí
(corresponden a observaciones de individuos no relacionados), pero las p
perturbaciones de un individuo (una fila de U) están correladas. Toda inferencia sobre
parámetros de 2 o más submodelos entremezclados deberá tenerlo en cuenta.
1.1.3 Resumen de los requisitos del modelo
Igual que en Anova, habrá que contrastar los supuestos del modelo:
Normalidad e Independencia de las perturbaciones
analizaremos el esquema de muestreo y los residuos.
Homocedasticidad (igualdad de las matrices de dispersión en los grupos)
En 1.4 veremos cómo contrastar Ho: 1=2==g.
1.2 Estimación y contrastes. Descomposición de la variabilidad.
1.2.1 Estimación
Como en el modelo Anova, la matriz de diseño X contiene filas de g tipos (uno
por cada nivel del factor A). Entonces, la matriz de medias XB sólo contiene filas de g
tipos, que son las medias k de los g grupos. Estimar XB se reduce por tanto a estimar
la media k de cada grupo. Aplicamos al Manova de un factor la expresión general
 = P [X] Y =X(XtX)¯ Xt Y
para estimar XB en el modelo lineal multivariante: XB
y resulta
μ̂ k = y + k (p-dim.)
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3
1.2.2 Descomposición de la variabilidad (matrices de dispersión)
La variabilidad se descompone como en un ANOVA, pero ahora con matrices SSPC:
Total (T)= Inter clases (H) + Intra clases (E)
T= H + E
Las matrices SSPC de sumas de cuadrados T, H y E siguen distribuciones Wishart:
y+k =
Sk=
y=
1
nk
nk

1
nk 1
1
n
g
yik
media en el grupo k. (vector p-dim.)
i=1
nk

i=1
nk

(yik - y+k )(yik - y+k )t
yik
matriz de covarianzas en el grupo k.
media global de la muestra completa.
k 1 i=1
Matriz T SSCP Total corregida: variabilidad total.
nk
g
T=  (yik - y )(yik - y )t
 Wp(n-1, )
k 1 i=1
S
1
T
n 1
es el habitual estimador insesgado de  cuando 1= 2= …= g
utiliza las desviaciones de cada observación yik al centro global y .
Matriz H SSCP Inter (Betwin, Among o de la Hipótesis):
variabilidad entre grupos (variabilidad explicada por el factor A)
g
nk
H=  ( y +k - y )( y +k - y )t =
k 1 i=1
g
n
k 1
k
( y +k - y )( y +k - y )t
 Wp(g-1, )
utiliza las desviaciones de cada media de grupo, y +k , a la media global y .
Matriz E SSCP Intra (Within):
variabilidad dentro de los grupos (variabilidad no explicada o error)
g
nk
E =  (yik - y+k )(yik - y+k )t = (n1-1)S1 +…+(ng-1)Sg= (n-g) S  Wp(n-g, )
k 1 i=1
1
E es un estimador insesgado de bajo H
ng
utiliza las desviaciones de cada observación yik al centro de su grupo y +k en lugar de a y .
La matriz de covarianzas “pooled” S 
1.2.3 Contraste básico de no efecto del factor A: Las g medias (p-dim) son iguales.
H0: 1= 2= …= g
Aplicamos al Manova de un factor la teoría general de contrastes en un modelo lineal
y se obtienen los habituales cuatro contrastes  de Wilks, Lawley-H, Pillai y Roy
Test 1: Basado en el estadístico  de Wilks (TRV): =
|E|
(Eo= T= E+H)
|EH|
es una  de Wilks de parámetros [p, g-1, n-g]:
(p = nº de Y’s, g-1 =g.del. de H, n-g= g.de l. de E)
aproximación F de Rao (ley asintótica bajo H0: y exacta para p=1,2 y para g=2)
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m 2 (1  1/  )
~ Fm1, m2 ,
m11/ 
4
p 2 (g  1) 2  4
m1= p(g-1)
p 2  (g  1) 2  5
Y m2= [n-(p+g+2)/2]- p (g  1) /2+ 1
donde =
aproximación asintótica 2; – [n-1-(p+g)/2] ln  ~ 2p(g-1)
Otros tets: Lawley-Hotelling, traza de Pillai y mayor valor propio de Roy.
*a*
Ejemplo datos de seguridad en cuatro comunidades:
Aproximación de Rao F=6.24; distribución F18, 257.9; p-valor 0.0001
Rechazo H0. Las medias de las seis variables difieren de un grupo a otro.
Dos niveles: Si g=2, el contraste  coincide con el test T2 para H0: 1= 2, (1=2).
En este sentido, el Manova de un factor generaliza la comparación de medias a más de
dos poblaciones independientes con covarianzas iguales.
1.2.4 Fuerza de la asociación lineal:
En Regresión múltiple y Anova se utiliza el coeficiente de determinación R2,
que mide la proporción de variabilidad en la respuesta explicada por los regresores.
SSR
SSE
SSWithin
=1–
R2=
= 1–
prop. explicada ANOVA
SST
SST
SST
Extensión a MANOVA
SSW 'generalizado'
|E|
= 1–
prop. explicada MANOVA
1–  = 1–
|EH|
SST 'generalizado'
Se utilizan otras alternativas menos sesgadas:
2 = 1-
p2  (g  1) 2

y 2c = 2 (1-2)
3n
ng
Ejemplo datos seguridad: 1-  = 0.6403; 2 = 0.6267; 2c= 0.5707
Conclusión: En torno al 60% de la variabilidad total entre observaciones es
explicada por las diferencias de medias entre los cuatro grupos que define el factor A.
1.2.5 Comparaciones múltiples (localización de las diferencias).
Igual que hacíamos en un ANOVA,
cuando se rechaza H0: 1= 2= …= g pasamos a localizar las diferencias.
Paso 1: Detección de grupos con medias significativamente diferentes.
Comparamos 2 a 2 las medias p-dim de todos los grupos. Aplico test T2 de
g
Hotelling en cada una de las   comparaciones posibles (utilizando Bonferroni):
2
(y  r  y s ) t S 1 (y  r  y  s )
n r ns
nr
nr  ns  p  1
 ns n r  ns  2
~ F α , p, n
*
r
 ns  p  1
 S  (n r  1)Sr  (n s  1)Ss

nr  ns  2
con 
α * = α 2

g(g-1)
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5
Paso 2: Para dos grupos de medias diferentes, busco variables diferenciadoras.
Tras detectar que los grupos r y s tienen medias significativamente diferentes, nos
planteamos ¿en qué variables difieren? Para cada variable j empleamos las
comparaciones múltiples de un ANOVA univariante, que decide si la media de esta
variable Yj varía significativamente del grupo r al s.
t-intervalos de Bonferroni: (x  jr  x  js ) t  t **
sjj2 (
1
ns

donde **= */p y sjj2 = elemento jj de
1
ns
)
(n1  1)S1  ...  (n g  1)Sg
n g
Comparaciones múltiples de Tukey.
1.3 Análisis Discriminante.
Cuando el Manova de un factor detecta que los valores medios de las variables
respuesta difieren entre grupos, podemos realizar un Análisis Discriminante (AD) para
detectar las variables que más cambian a través de los grupos, caracterizar los grupos y
construir nuevas variables artificiales que recojan las diferencias entre ellos. El AD
también se emplea para asignar un nuevo individuo a uno de estos grupos (diagnóstico
automático, reconocimiento de formas…). Lo estudiaremos más adelante.
1.4 Validación del modelo mediante análisis de los resíduos
Normalidad e independencia de las observaciones (como en Regresión Multivariante)
xi k ~ Np (k , k) independientes
Homocedasticidad: igualdad de las matrices de covarianzas a través de los g grupos:
H0: 1= 2= …= g
g
Estadístico M:
M=
 | Sk |
k 1
|S|
n k 1
2
n g
2
Distribución de M: aproximación 1
aproximación 2
donde S 
1
 (n k  1)Sk
n g k
-2(1-c1) ln M ~ 2p(p+1)(g-1)/2
-2b log M ~ F1 2
(ver en Jobson p. 221 los valores de las constantes c1, b, 1 y 2)
aproximación 3
-2f -1 m ln M ~ 2p(p+1)/2
(ver en Srivastava p. 490 los valores de las constantes)
Ejemplo datos seguridad:
2 test= 259.38 ~ 263 p-valor=0.0001  Rechazo H0: sigmas iguales
(causa del rechazo: 1 y 3 son mucho mayores que 2 y 4 )
a) Proc Discrim de SAS ofrece la opción pool=test
proc discrim data=safety method=normal pool=test ;
class com;
var x1--x6;
run;
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6
b) Programa realizado con SAS/IML:
proc iml; reset noprint;
/*******************************************************************/
/ A Test for Equality of Covariances (Sriva p.489-491)
/
/
Ho: sigma1=...=sigmak
/
/ routina SIGMAS_IGUALES(X);
/
/
==================
/
/
columna 1 de X : indicador del grupo con valores 1, 2 ...k /
/
columnas 2, 3 ... p+1: las p variables observadas;
/
/*******************************************************************/
/* funcion auxiliar SAS/IML ORDENAMAT(X,j)
/
/
==============
/
/
Ordena las filas de una matriz X
/
/
en sentido creciente de la columna j
/
/*******************************************************************/
start ORDENAMAT(X,j);
*chequeo: existe columna j?;
if j<1 | j>ncol(x) then do;
print 'la columna ' j ' no existe';
abort;
end;
xcopy=x;
x[rank(x[,j]),]=xcopy;
return(x);
finish;
start SIGMAS_IGUALES(X);
/*********************************************************
Calculos para contrastar la igualdad de sigmas:
===============================================
* reordeno X por grupos (col1)
*/
X=ordenamat(X,1); *print X ;
* calculo n, p, k, f, ni, nicum, f, fi, ri
p
variables
k
grupos
n
total de individuos= n1+...+nk
ni
individuos en cada grupo
nicum sumas acumuladas de ni
fi
ni-1
f
n-k=f1+...+fk
ri
fi/f
;
n=nrow(x); p=ncol(x)-1; k=x[n,1]; f=n-k;
ni=repeat(0,k); do i=1 to n;
ni[x[i,1]]=ni[x[i,1]]+1;
end;
fi=ni-1;
ri=fi/f;
nicum=cusum(ni);
print n p k f, ni nicum fi ri ;
*elimino de X la columna 1, (indicadora de grupo);
X=X[,2:(p+1)];
*bucle sobre los grupos. En cada grupo i, computo Si,
acumulo las Qi en Q,
aniado factor a lambda (L),
inicializo Q y L antes de entrar;
Q=repeat(0,p,p); logL=0;
do i=1 to k;
**selecciono los datos del grupo i, ni individuos, p variables: Xi
*ini es el primer individuo del grupo i;
if i=1 then ini=1;
else
ini=nicum[i-1]+1;
Xi=X[ini:(nicum[i]),];
**claculo medias ximed y cuasi-covarianzas Si del grupo i;
ximed=Xi[:,]`;
Qi=Xi`*Xi-ni[i]*ximed*ximed`; Q=Q+Qi; Si=Qi/(ni[i]-1); print i 'S' (round(Si,0.01));
**computo un nuevo factor del estadistico lambda (L)
y un nuevo sumando de S;
logL=logL+(fi[i]/2)*log(det(Si));
end;
S=Q/f;
'
global S'(round(S,0.01));
*computo el valor final del estadistico log-lambda modificado;
logL=logL-(f/2)*log(det(S));
* lo transformo: -2m*log(L)/f sigue ley asintotica chi-cuadrado g (aproximación 3);
g=p*(p+1)/2;
alfa=sum(1/ri)-1; alfa=alfa*(2*p**2+3*p-1)/(12*(p+1)*(k-1));
m=f-2*alfa;
Chi0=-2*m*logL/f;
* rechazamos la igualdad de sigmas cuando Chi0 es grande
**calculo el p-valor que corresponde a Chi0 en una chi-2 con g g.l. ;
p_valor=1-probchi(Chi0,g);
**escribo las salidas y decision;
print Chi0 p_valor;;
if p_valor<0.001
then print
'---> rechazo Ho:Sigma1=...=Sigmak (a todos los niveles habituales)';
else if p_valor>0.05 then print
'---> NO rechazo Ho:Sigma1=...=Sigmak (a ninguno de los niveles habituales)';
else print
'---> rechazo Ho:Sigma1=...=Sigmak a niveles menores que ' p_valor;
finish;
print
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7
1.5 Estudio de las medias: Análisis de Perfiles/ Medidas repetidas.
Perfil de un grupo k: medias de las p variables dentro del grupo k.
Como caso particular, las p variables respuesta de un Manova pueden ser
Medidas Repetidas, es decir, observaciones de una misma variable sobre la misma
unidad experimental en p condiciones diferentes: Medidas en p días consecutivos, o a
p diferentes horas del día o bajo p diferentes tratamientos (factor de repetición) …
Sean medidas repetidas o no, en Manova comparamos los perfiles de los grupos.
20
perfil del grupo 1
18
20
grupo 1
grupo 2
grupo 3
16
18
14
16
12
14
10
12
8
10
8
V1
V2
V3
V4
V1
V2
V3
V4
A la vista del gráfico de perfiles, sospechamos que en este caso un Manova va a
rechazar la hipótesis de no efecto e ideamos nuevas hipótesis para contrastar. Por ej.:
Los perfiles del grupo 1 y 2 son iguales.
V2 es la variable causante del rechazo, pues en el grupo 3 toma valores mucho
menores que en los otros.
Las medias de V3 y V4 son iguales dentro de cada grupo… etc.
En todos los grupos las condiciones producen efectos significativos.
Tres contrastes de interés al analizar perfiles:
a) g perfiles iguales:
Ho: 1=2=…=g
no hay efecto de grupo (o factor A)
Es la hipótesis básica de no efecto en MANOVA
Si se rechaza a) Ho, aún podrían darse b) c) o d)
b) g perfiles paralelos:
HoP: 1║2║…║g
no hay efecto de interacción condiciones*grupo.
HoP: ij la diferencia i–j es constante sobre
las p condiciones (o vbles respuesta)
HoP: ij i–j tiene las componentes iguales
20
grupo 1
18
16
grupo 2
14
12
grupo 3
10
8
V1 V2 V3 V4
20
18
16
14
12
10
8
grupo 1
grupo 2
grupo 3
V1 V2 V3 V4
c) perfiles con la misma media general:
HoM : 1+ = 2+ =…= g+
d) g perfiles horizontales:
no hay efecto de las condiciones (vbls. respuesta)
HoH: i, i es constante sobre
las p condiciones (o vbles respuesta)
HoH: i, i tiene las componentes iguales
20
grupo 1
18
16
grupo 2
14
12
grupo 3
10
8
V1 V2 V3 V4
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8
Contraste a) Perfiles iguales. Es la hipótesis básica de no efecto del factor en Manova.
Contraste b) Perfiles paralelos (las condiciones no interaccionan con los grupos)
HoP : 1║2║…║g
HoP: ij la diferencia i–j es constante sobre las p condiciones (o vbles respuesta)
HoP: i=2…g la diferencia 1–i es constante sobre las p condiciones

 μ1t   1 1 0 ... 0 
 t 

 μ 2   1 0 1 ... 0 
Las g medias son
B;
 ...   

...
  
 μ t   1 0 0 ... 1 
 g
 μ1t 
 1 1 0 ... 0 
 t


1 0 1 ... 0 
 μ2 
t
t

1 –2 = 1 -1 0 ... 0    = 1 -1 0 ... 0 
B =  0 1 -1 0 ... 0  B


...
...
 


 μt 
 1 0 0 ... 1 
 g
1–2 es constante sobre las p condiciones 
 1 1 1 ... 1 
 1 1 1 ... 1 
 -1 0 0 ... 0 
 -1 0 0 ... 0 




 (μ1t -μ 2t )  0 -1 0 ... 0   O   0 1 -1 0 ... 0  B  0 -1 0 ... 0   O




...
...




 0 0 0 ... -1 
 0 0 0 ... -1 




Análogamente las otras diferencias 1–i, y así queda finalmente:
 1 1
 0 1 -1 0 ... 0  
 0 1 0 -1 ... 0   -1 0
 B  0 -1
HoP: 

 
...

 
 0 1 0 0 ... -1   0 0

1 ... 1 
0 ... 0 

0 ... 0   O que ya es de la forma general ABM=O

...

0 ... -1 
Ejemplo de Seguridad:
*b*
HoP : F=5.334 ~ F15, 254.5 p-valor: 0.0001 Rechazo paralelismo.
Existe interacción entre las respuestas y la comunidad
5
4
grupo 1
grupo 2
3
grupo 3
grupo 4
2
1
Xl
X2
X3
X4
X5
X6
La figura de los perfiles sugiere que 1=3 y 2=4
Los niveles de inseguridad parecen más altos en las comunidades 1 y 3.
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9
Contraste c) Suma de las p medias en el grupo, constante a través de los grupos.
Cuando dos perfiles son paralelos, serán iguales si la suma de las p medias en el
grupo (1tk) no depende del grupo: 1t1 = 1t2 =…= 1tg es decir,
HoM : 1+ = 2+ =…= g+
(Nota: Si HoP no es cierta, entonces HoM tiene escaso valor, pues en ese caso sólo
indicaría que el promedio de las p medias es el mismo en todos los perfiles)
HoM se puede expresar también en la forma general ABM=O :
HoM :
 1 -1 0 ... 0   μ1+ 
 1 0 -1 ... 0   μ 

  2+   O , o bien

  ... 
...


 
 1 0 0 ... -1   μ g+ 
t
 1 -1 0 ... 0   μ1 
 1 0 -1 ... 0   μ t 

 2 

  ... 
...

 t 
 1 0 0 ... -1   μ g 
1 
1 
 = O
 ... 
 
1 
 1 -1 0 ... 0   1 1 0 ... 0   1 
 1 0 -1 ... 0   1 0 1 ... 0   1 


 B   = O en definitiva, HoM :


  ... 
...
...


  
 1 0 0 ... -1   1 0 0 ... 1   1 
es decir,
 0 1 -1 0 ... 0 
 0 1 0 -1 ... 0 

B


...


 0 1 0 0 ... -1 
1 
1 
 = O
 ... 
 
1 
Contraste d) Perfiles horizontales (no efecto de las condiciones): HoH: j
Si los perfiles son paralelos –no interacción- (HoP no se rechaza),
podrían además ser horizontales –no efecto de las condicionesEn todo caso, sin necesidad de contrastar el paralelismo previamente,
podemos contrastar la horizontalidad de los perfiles directamente: HoH
para cada k, la hipótesis de que k tiene las componentes todas iguales se escribe:
 1 1
 -1 0

μ kt  0 -1


 0 0

1 ... 1 
 μ1t 

0 ... 0
 t

μ 
0 ... 0  = (0 0 ... 0) … y esto  k=1..g :  2 
...

 
...

μt 
 g
0 ... -1 
 1 1 1 ... 1 
 1 1 0 ... 0  

 1 0 1 ... 0   -1 0 0 ... 0 
 B  0 -1 0 ... 0  = O
En definitiva, HoH : 

 
...

...

 

 1 0 0 ... 1   0 0 0 ... -1 


 1 1
 -1 0

 0 -1


 0 0

1 ... 1 
0 ... 0 

0 ... 0  = (0 0 ... 0)

...

0 ... -1 
1.6 Ejemplo de Seguridad
*d* F=9.27 ~ F20, 306 ; p-valor< 0.0001 rechazo
*c* Habíamos rechazado ya el paralelismo de los perfiles (*b*),
luego no tiene sentido contrastar la horizontalidad
(pues horizontalidad  paralelismo).
En cualquier caso, si contrastamos HoM se obtiene:
F=31.392 ~ F3,96 p-valor: 0.0001 Rechazo que en los g grupos
la sensación global de inseguridad sea la misma.
(Nota final: Los perfiles están dibujados con Excel. Puede hacerse con Statistica > Anova)
mlm_manova_1.doc
vgg
2) Manova 2 Factores
Y ,Y ,...Y 
explican,
1 2


p
influyen en
p respuestas
cuantitativas
a explicar
10
A
B

2 explicativas cualitativas
o factores, con a y b niveles
(determinan ab celdas)
Ejemplos:
Efecto de 4 medicamentos (A) y 3 dietas (B) sobre la presión arterial máx. y mín.
6 cuestiones sobre la sensación de seguridad en 4 comunidades y 5 niveles educativos.
2.1 El Modelo
El cruce de a niveles del factor A y b del B da lugar a ab celdas.
Observamos nkl individuos en la celda kl y las respuestas son normales.
El modelo se denomina balanceado cuando los nkl son todos iguales
El vector de medias en la celda kl se obtiene como suma de varios efectos:
 kl k +l () kl
media en el grupo k




efecto de media general
k
efecto del nivel k del factor A
l
efecto del nivel l del factor B
() k l
efecto de interacción entre los niveles k de A y l de B
La perturbación aleatoria (p-dim)
u i k l ~ Np(0,)
reune las fuentes de variabilidad no contempladas por el modelo
perturbaciones de observaciones diferentes, independientes.
La respuesta (p-dim) del individuo i de la celda kl:
yi k l =  kl u i k l +k+l + () k lu i kl ~ Np (kl , )
 yi 1 k l   μ1   α1 k   β1 l   (αβ)1 k l   u i 1 k l 

   
   
 

 ...   ...   ...   ...   ...
  ... 
yijkl =  yi j k l    μ j    α j k    β j l    (αβ) j k l    u i j k l 

   
   
 

 ...   ...   ...   ...   ...
  ... 

  p  
   
 

 yi p k l   μ   α p k   β p l   (αβ) p k l   u i p k l 
2.1.1 Reformulación como un modelo de Regresión Multivariante
Igual que hacíamos en los modelos Anova, con ayuda de variables dummy x de
presencia/ausencia para cada nivel y cada interacción escribimos
a
b
a
yi k l = +k +l +() k lu i kl = +  x i s αs +  x i r β r + 
s=1
A
r =1
B
s =1
b
x
r =1
AB
i sr
(α )sr u i kl
y colocamos las observaciones yi k como filas de una matriz Y de datos:
Y = XB + U ,
filas de U ~ Np (0 , ) independientes
El Manova de dos factores queda así planteado como un modelo de regresión
multivariante sobre variables dummy (una por cada nivel de cada factor e interacción).
mlm_manova_1.doc
vgg
11
2.2 Estimación y contrastes. Descomposición de la variabilidad.
2.2.1Estimación
Igual que en el modelo Anova de dos factores, la matriz de diseño X contiene
filas de ab tipos (uno por cada celda). Entonces, la matriz de medias XB sólo contiene
filas de ab tipos: las medias kl de las ab celdas. Estimar XB se reduce por tanto a
estimar la media ks de cada celda. Al plicar al Manova de dos factores con interacción
 =X(XtX)¯ Xt Y para estimar XB en el modelo lineal
la expresión general XB
multivariante resulta:
μ k l = y + k l . (p-dim.)
2.2.2 Descomposición de la variabilidad (matrices de dispersión)
La variabilidad se descompone como en un Anova de dos factores, sólo que en
Manova debemos manejar matrices de sumas de cuadrados.
Para un modelo balanceado con c réplicas por celda se tiene:
Total (T)= factor A (A)+factor B (B) + interacción AB (W) + intra o error (E)
T= A + B + W + E
Las matrices de sumas de cuadrados T, B, W y E siguen distribuciones Wishart:
Matriz SS Total: variabilidad total.
b n kl  c
a
T =   (yikl - y )(yikl - y )t
 Wp(n-1, )
k 1 l=1 i =1
utiliza las desviaciones de cada observación yikl al centro global y .
Matriz SS A: variabilidad explicada por el factor A.
a
A =  bc ( y +k+ - y )( y +k+ - y )t
 Wp(a-1, )
k 1
utiliza las desv. de las medias y +k+ de cada nivel de A al centro global y .
Matriz SS B: variabilidad explicada por el factor B.
b
B =  ac ( y ++ l - y )( y ++l - y )t
 Wp(b-1, )
l 1
utiliza las desv. de las medias y ++ l de cada nivel de B al centro global y .
Matriz SS W: variabilidad explicada por la interacción de los factores A y B.
W=
a
b
 c ( y + k l -
y )( y + k l - y )t
 Wp((a-1)(b-1), )
k 1 l=1
utiliza las desv. de cada observación yikl al centro de su celda y kl.
Matriz SS E: variabilidad no explicada o error.
E=
a
b n kl  c
 
(yikl - y kl)(yikl - y kl)t
 Wp(ab(c-1), )
k 1 l=1 i =1
utiliza las desv. de cada observación yikl al centro de su celda y kl.
mlm_manova_1.doc
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12
2.2.3 Contrastes básicos de no efecto de los factores y la interacción
Aplicamos al Manova de dos factores la teoría general de contrastes en un modelo
lineal multivariante y se obtienen los habituales cuatro contrastes  de Wilks, LawleyH, Pillai y Roy. Los estadísticos  para los tests de Wilks (TRV) se expresan a partir
de las anteriores matrices SS (tipo I secuenciales, II jerárquicos, III y IV ortogonales) :
Estadístico 
Hipótesis
|E|
|EA|
|E|
B =
|E B|
|E|
AB =
|EW|
A =
No efecto factor A
No efecto factor B
No efecto interacción A B
2.2.4 Ejemplo de Seguridad
Incorporamos un segundo factor explicativo con 5 niveles: EDCAT (Educación)
El cruce COMUNIDAD*EDCAT da lugar a 20 celdas.
El diseño es balanceado con 4 observaciones 6-dimensionales por celda.
Medias en las celdas:
Factores
Medias en las celdas
COMUNIDAD
EDCAT
X1
X2
X3
X4
X5
X6
1
1
2
3
4
5
4.6
3.2
3.2
2.0
2.2
3.8
2.2
2.0
2.0
1.2
2.6
2.2
2.0
1.8
1.2
5.4
4.6
4.0
3.2
1.6
2.6
2.4
2
2.4
1.2
5.8
4.8
4.8
4.2
3.0
2
1
2
3
4
5
2.0
1.8
1.6
1.2
1.0
1.6
2.0
1.4
1.0
1.0
1.6
1.2
1.0
1.0
1.0
3.6
2.0
1.6
1.4
1.0
1.6
1.0
1.0
1.0
1.0
2.8
2.0
1.8
1.4
1.0
3
1
2
3
4
5
4.0
3.0
3.4
2.4
1.2
3.0
2.4
2.0
1.2
1.0
3.2
2.0
1.6
1.0
1.2
5.0
3.8
2.8
2.
1.4
3.8
2.2
2.0
1.6
1.0
5.2
5.2
4.8
3.8
1.8
4
1
2
3
4
5
2.4
2.0
1.0
1.0
1.0
1.6
1.4
1.0
1.0
1.0
1.6
1.0
1.0
1.0
1.0
3.0
1.6
1.0
1.0
1.0
1.2
1.0
1.0
1.0
1.0
3.0
2.0
1.2
1.0
1.0
mlm_manova_1.doc
vgg
13
En los 6 Anovas (uno por cada variable dependiente) todos los efectos son
significativos en todas las variables, salvo acaso la interacción de los dos factores
para X1 (p-valor 0.037))
X1
Fuente de
variación
Comunidad
Educación
Interacción
Error
Total
SS
F
51.15
44.54
12.10
40.80
148.59
33.43
21.83
1.98
X2
pvalor
0.000
0.000
0.037
SS
F
16.99
26.44
10.76
29.20
83.39
15.52
18.11
2.46
X4
Fuente de
variación
Comunidad
Educación
Interacción
Error
Total
SS
F
85.16
88.90
16.94
30.00
221.00
75.70
59.27
3.76
X3
pvalor
0.000
0.000
0.009
SS
14.03
16.64
6.72
17.60
54.99
X5
pvalor
0.000
0.000
0.000
SS
21.26
18.91
2.55
pvalor
0.000
0.000
0.007
X6
F
27.12
16.30
13.38
21.20
78.00
F
34.11
15.38
4.21
pvalor
0.000
0.000
0.000
SS
F
173.55
71.16
15.40
40.80
300.91
113.43
34.88
2.52
pvalor
0.000
0.000
0.007
En el Manova resultan también significativos los dos factores y su interacción.
MANOVA
Fuente de variación
Comunidad
Educación
Interacción

0.0728
0.0889
0.1620
F
18.02
10.96
2.28
p-valor
0.000…
0.000…
0.000…
Perfiles de la sensación de inseguridad según el nivel de educación
4
edcat 1
edcat 2
edcat 3
edcat 4
edcat 5
3
2
1
Xl
X2
X3
X4
X5
X6
La sensación de inseguridad disminuye cuando aumenta el nivel de educación.
Para cada variable se observa esta asociación negativa entre educación e
inseguridad, especialmente en las comunidades 1 y 3, donde es mayor la pendiente
decreciente al aumentar el nivel de educación. Esta diferencia de pendiente de unos
mlm_manova_1.doc
vgg
14
grupos a otros debe de ser la causa de que la interacción entre comunidad y
educación resulte significativa en el modelo. (Ver los gráficos)
2.2.5 Otros modelos
Lo mismo que en Anova, en Manova también se utilizan modelos no
balanceados, modelos con varios factores (sin interacciones, anidamientos…), factores
aleatorios… También pueden incorporarse covariables (variables explicativas
cuantitativas), dando lugar a modelos llamados Mancova. Éstos son la versión
multivariante (variable dependiente p-dimensional) de los Ancova.
2.2.5 Factores Intra sujeto
Trabajando con medidas repetidas, podemos encontrar el caso de que cada sujeto sea
observado (en una o varias características) bajo diferentes niveles de un factor.
Diremos entonces que se trata de un factor “Intra sujeto”, dado que sus diferentes
niveles se observan dentro de cada una de las unidades experimentales disponibles,
dando lugar a esta estructura de medidas repetidas.
La estructura de medidas repetidas puede complicarse con la presencia de dos o más
factores Intra. Contrastaremos las hipótesis básicas de no efecto de cada factor Intra y
las interacciones entre ellos. Cada hipótesis se puede traducir en condiciones sobre la
matriz de medias Z y su correspondiente forma genérica ABM=O.
Cuando los factores Inter van acompañados de otros de tipo Intra, surge también la
opción de valorar interacciones de tipo Inter*Intra.
Programa SAS: Manova Proc GLM
Dibujar los perfiles en SAS.