1. Propagación de Ondas 1 Proyecto 11.06.31 UTFSM

1. Propagación de Ondas
1
Problema 31
Un pulso se propaga en una cuerda muy larga, con velocidad de 4,0 [m/s] en la dirección x, sin
cambiar de forma. La respectiva función de
onda y ( x, t ) es tal que la oscilación del punto
x = 0 , en función del tiempo es la indicada en
la figura.
a) Obtenga la oscilación del punto en
y(0,t)
0,20
0,10
x = 8 [m], identificada como y(8,t).
0
b) Determine la forma de la cuerda en el
2
6
4
8
10
instante t = 2,0 [s], denotada como y(x,2).
Solución 31
a)
Todos los puntos de la cuerda describen el mismo movimiento al pasar el pulso. Dado el
desplazamiento y(x,t), correspondiente a un punto de coordenada x en el instante t, entonces un
punto en x' = x +
x que esta una distancia
x más adelante en la dirección de propagación,
demora un lapso t en adquirir ese mismo desplazamiento, de modo que se satisface la relación
x = v t. En nuestro caso x = 8 [m], resultando t = 2,0 [s] ; es decir el movimiento en x=8
[m] se inicia 2,0 [s] después que en x=0. Luego, el grafico de y(0,t) se debe desplazar en 2,0 [s]
para obtener el gráfico de
y(8,t) indicado en la figura.
b)
y(8,t)
En el grafico dado en el
enunciado para el punto x=0,
la función y(0,t) indica que
dicho
punto
comienza
a
moverse en t=2 [s]. Entonces,
0,20
0,10
0
2
4
6
8
10
t [s]
en la función y(x,2) el pulso
aparece llegando al origen x = 0 . En el grafico del enunciado también se observa que el
desplazamiento máximo llega al origen en t' = t+ t = 4s. En el lapso t=2[s] la onda recorre la
distancia v t =8[m], lo cual indica que el punto de desplazamiento máximo esta a 8 [m] detrás
Proyecto 11.06.31
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t [s]
1. Propagación de Ondas
2
del punto x=0, es decir, está en el punto x = −8 [m]. Análogamente, considerando que el punto
x=0 esta en movimiento solo durante 6 [s], concluimos que el ancho del pulso es 24 [m], de modo
que en t =2 [s] su extremo posterior
esta en
x = −24 [m].
El grafico
y(x,2)
respectivo se indica en la figura; allí se
aprecia que el grafico en la variable x
0,20
esta invertido de derecha a izquierda
0,10
respecto al gráfico con la variable t
que se entrega en el enunciado.
Proyecto 11.06.31
-24
-16
-8
0
8
x [m]
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1. Propagación de Ondas
3
Problema 32
La función que describe una onda transversal en una cuerda de densidad lineal de masa
µ = 0,1[kg / m] es:
ψ ( x, t ) = 2sen
2π
t
x
−
3 0,01 2
,
dónde x se mide en metros, ψ en centímetros y t en segundos.
a) Dibuje la forma de la cuerda en t=0, en función de la posición x.
b) Determine la longitud de onda λ y la amplitud A.
c) Dibuje la oscilación del punto x=0, en función del tiempo t.
d) Determine el periodo y la frecuencia de oscilación de un punto cualquiera de la cuerda.
e) Determine la velocidad de propagación de la onda en la cuerda.
f) Determine la velocidad y la aceleración de un punto cualquiera de la cuerda.
g) Determine la tensión en la cuerda.
Solución 32
a) Evaluando la función dada, en el instante t=0 se obtiene: f ( x) = −2 ⋅ sen[π ⋅ x / 3] , cuyo
gráfico se muestra a continuación.
b) La amplitud de la oscilación es A=2[cm] y corresponde al valor máximo de la función dada.
La longitud de onda λ o periodo espacial cumple que:
Proyecto 11.06.31
π
3
λ ≡ 2π ; entonces λ = 6[m} .
UTFSM
1. Propagación de Ondas
4
Notar que λ resulta en [m] pues éste es un valor particular de la variable x, los cuales se
especifican en [m] para la función dada en el enunciado.
c) Evaluando la función dada, en x = 0 se obtiene: ψ (0, t ) = g (t ) = 2 ⋅ sen(200π ⋅ t / 3) , cuyo
gráfico es el siguiente.
d) El periodo temporal cumple que:
200π
T = 2π
3
; entonces T =
3
[s]. Notar que T resulta
100
en [s], como lo especifica el enunciado para los valores de la variable t.
La frecuencia de oscilación de la cuerda en cualquier punto es f =
1
100
, entonces f =
[ Hz ] .
T
3
e) Veamos cómo determinar la velocidad de propagación. Fijémonos en el punto x = 0 en el
gráfico de f(x) que corresponde a la situación en t=0. Según el gráfico de g(t), que corresponde al
punto x=0; a partir de t = 0 el punto x = 0 comienza a subir; es decir el desplazamiento f(x)
adquiere valores positivos. Según el gráfico de f(x) el punto x = 0 comienza a subir cuando la
curva se desplaza hacia la derecha. Entonces, la velocidad de la onda es hacia la derecha y su
magnitud es v =
Luego, v =
λ
T
pues debe avanzar la longitud λ en el tiempo T.
6
= 200[m / s ] , hacia la derecha.
3 / 100
f) Vamos a determinar la velocidad y la aceleración del punto x = 0 de la cuerda.
Note que la onda es transversal, entonces los puntos de la cuerda se mueven perpendicularmente
a la dirección de propagación de la onda, como se indica en la figura.
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1. Propagación de Ondas
5
La velocidad del movimiento transversal de la cuerda en x=0 se obtiene derivando respecto al
v ( x, t ) =
tiempo,
∂g
200
200π
=2
π cos
t .
∂t
3
3
Análogamente se obtiene la aceleración del punto x = 0,
a ( x, t ) =
∂2g
200
= −2
π
2
3
∂t
2
sen
200π
t .
3
Las unidades de la velocidad y aceleración transversales son [cm/s] y [cm/s2 ], pues la amplitud
se expresa en [cm] y el tiempo en [s] de acuerdo al enunciado.
g)
La tensión de la cuerda puede obtenerse a partir de su relación con la velocidad de
propagación de la onda, que está dada por:
v=
F
µ
, dónde F es la tensión de la cuerda y µ es su densidad lineal de masa. Entonces,
F = v 2 µ = (200) 2 ⋅ 0.1 = 4000[ N ]
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1. Propagación de Ondas
6
Problema 33
Considere una onda periódica en el mar que puede describirse aproximadamente por una función
sinusoidal. Las olas se propagan a 2[m/s], de modo que un objeto flotando en el punto x = 0
oscila verticalmente con un periodo de 3[s] y alcanza una velocidad máxima de π/8 [m/s] en el
instante t=0[s].
a) Determine la frecuencia de oscilación del objeto, en [Hz].
b) Escriba una función del tiempo que describa la oscilación del objeto.
c) Determine la amplitud de oscilación del objeto.
d) Un segundo objeto oscila en x=1,5[m] ¿cuál es su diferencia de fase con el primero?
Solución 33
a) La frecuencia f de oscilación se relaciona con el periodo T según f ⋅ T = 1 .
Puesto que T= 3[s], se obtiene f= 0,33 [Hz].
b) Sabemos que la oscilación es sinusoidal y que el objeto alcanza la velocidad máxima en el
instante t = 0. Puesto que la velocidad máxima de una oscilación ocurre al pasar por el punto
medio, se concluye que la función adecuada para describir esta oscilación es una función seno.
Entonces, y (t ) = A ⋅ sen(ωt )
c) Para encontrar la amplitud de oscilación es necesario usar la velocidad máxima que alcanza el objeto.
Para ello derivamos y (t ) obteniendo: v y =
dy
= Aω ⋅ cos(ωt ) . La expresión anterior indica que la
dt
velocidad máxima del objeto es Aω . Entonces, Aω = π 8 y A =
3
= 0,19 [m].
16
d) La diferencia de fase entre las oscilaciones de los dos objetos depende de la dirección de
propagación de la onda. Supondremos que la onda viaja en dirección x de modo que la oscilación
del segundo objeto está atrasada respecto al que está en el origen x = 0 . El tiempo de retraso es
∆t = x v y nos permite escribir la segunda oscilación según:
y2 (t ) = A ⋅ sen[ω (t − ∆t )] = A ⋅ sen(ωt − ω x / v)
La expresión anterior indica que la diferencia de fase pedida es:
∆ϕ =
Proyecto 11.06.31
ωx
v
=π
2x
3 π
=π =
vT
6 2
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1. Propagación de Ondas
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Problema 34
Considere una onda longitudinal sinusoidal que se propaga en un resorte homogéneo y muy
largo, desde el extremo colocado en x=0 hacia el lado negativo del eje x. La frecuencia del
movimiento en el extremo es de 25 [Hz], la distancia entre dos rarefracciones consecutivas en el
resorte es de 24 [cm], y el máximo desplazamiento longitudinal de un segmento del resorte
respecto a su posición de equilibrio es de 3 [cm]. Suponga que el desplazamiento
y(x,t)
evaluado con x = 0 y t = 0 es y(0,0)=0.
a) Determine la velocidad de la onda
b) Escribe la ecuación que describe esta onda
Solución 34
a) Un resorte por el cual se propaga una onda longitudinal sinusoidal se ve más o menos de la
siguiente forma:
En t = 0
En t = t0 + ∆t :
Note que en una onda longitudinal, el medio de propagación (en este ejercicio las espiras del
resorte) se mueve paralelamente a la dirección de propagación.
Proyecto 11.06.31
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1. Propagación de Ondas
8
Además, la longitud de onda corresponde a la distancia entre dos compresiones consecutivas, que
es igual a la distancia entre dos rarefacciones consecutivas. Entonces, λ = 24[cm] . La frecuencia
del movimiento de las partículas del medio es igual para todas, y debe corresponder a la del
extremo del resorte donde se está generando la onda en este caso. Entonces, f = 25[ Hz ] .
En una onda sinusoidal la velocidad de la onda está dado por:
v = λ ⋅ f = 24⋅ 25= 600[cm s]
b) La función que describe una onda sinusoidal es:
En la expresión anterior, A es la amplitud, k es el número de onda, w es la frecuencia angular y
φ es la constante de fase. Se cumplen las relaciones: k ⋅ λ = 2π ;
w = 2π ⋅ f
La amplitud A es el máximo desplazamiento que logra un segmento del medio desde su posición
de equilibrio; en este caso A = 3 [cm]. Entonces,
k=
2π π
= [rad cm] ;
24 12
w = 2π ⋅ 25 = 50π [rad s ]
Para determinar el desfase ± φ se evalúa la condición
(0,0) = 0 , con la cual resulta la ecuación:
3 ⋅ sen(± φ ) = 0 , cuyas soluciones son múltiples y nos permite escoger φ = 0 .
Así; la función de onda queda finalmente:
ψ ( x , t ) = 3 ⋅ sen
dónde
π
12
x + 50 π ⋅ t ,
se mide en [cm], x en [cm] y t en [s].
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3. Potencia y Nivel de Intensidad
9
Problema 35
Una cuerda de largo l y masa m
se mantiene
inicialmente en posición vertical, sujetándola
por su
extremo superior. A continuación, en ella se genera un
pulso que se propaga hacia su extremo inferior, como se
muestra en la figura. Cuando el pulso llega al extremo
inferior de la cuerda, se genera allí un pulso reflejado
a) Determine la velocidad de propagación del pulso.
b) ¿Hacia qué lado de la cuerda, derecho o izquierdo, es
el desplazamiento correspondiente al pulso reflejado?
c) ¿En cuánto tiempo el pulso completa un ciclo de ida y
regreso?
Solución 35
a) La velocidad de propagación de una onda transversal en una cuerda satisface la relación:
v= T µ,
dónde T es la tensión en la cuerda y
es su densidad lineal de masa.
En las condiciones del problema, la tensión se debe al peso de la misma cuerda. Dicha tensión
varía a lo largo de ella; el valor máximo ocurre en el extremo superior donde se aplica todo el
peso de la cuerda, y el valor mínimo ocurre en el extremo inferior, donde la tensión es nula.
En términos de la coordenada x indicada en la figura, la tensión de equilibrio T(x) en cada punto
es igual al peso de la porción de cuerda de longitud (l - x). Entonces,
T ( x) = µ ⋅ (l − x) g
Luego,
v( x) = (l − x) g
Proyecto 11.06.31
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3. Potencia y Nivel de Intensidad
10
b) Puesto que el extremo inferior de la cuerda está libre, el pulso reflejado en ese extremo
desplaza la cuerda hacia el mismo lado que el pulso original, es decir, hacia el lado derecho
de la cuerda.
c) El tiempo que demora el pulso en propagarse desde el extremo superior hasta el extremo
inferior de la cuerda, se calcula por integración a partir de la velocidad variable según la
posición, como se indica a continuación.
v=
dx
dt
dt =
dx
=
v
dx
(l − x) g
Integrando,
t0
0
dt =
l
0
0
1 du 2 1 / 2
t0 = −
= (u )
g lg u g
dx
(l − x) g
t0 = 2
lg
0
l
g
El tiempo que tarda el pulso en regresar desde el extremo inferior hasta el extremo superior es
igual al resultado anterior. Esto se puede verificar siguiendo un procedimiento similar al
detallado anteriormente, notando que v = −
dx
e intercambiando los limites de integración
dt
ya que el pulso se propaga desde x=l hasta x=0. Por lo tanto, el tiempo que demora el pulso
en completar un ciclo completo es:
T0 = 4
Proyecto 11.06.31
l
g
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3. Potencia y Nivel de Intensidad
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Problema 36
Para un pulso u onda que llega a una unión entre dos cuerdas con distinta densidad lineal de masa
(de valor µ1 en la cuerda desde la cual incide el pulso u onda), se cumplen las siguientes
relaciones para la amplitud de los pulsos u ondas transmitida (At) y reflejada (Ar) en términos de
la respectiva amplitud incidente (Ai) y las velocidades de propagación v1 y v2 en cada cuerda.
At =
a)
2v2
Ai ,
v1 + v2
Ar =
v2 − v1
Ai
v1 + v2
Exprese las relaciones anteriores en términos de la densidad lineal de masa en cada cuerda.
b) Analice el caso µ2 = µ1 y describa en palabras lo que indica el resultado.
c) Analice el caso µ2 = 2µ1 y dibuje aproximadamente los pulsos reflejado y transmitido
correspondientes a un pulso incidente que usted mismo(a) dibuje.
d) Considere que µ2 = 2µ1 y la onda incidente es: y ( x, t ) = A sen(2π x − π t ) . Determine la
frecuencia y la longitud de onda en cada cuerda.
Solución 36
a) Para las velocidades de propagación de las ondas en cada cuerda usamos las relaciones:
v1 = T µ1 ,
v2 = T µ2 ,
dónde se ha usado el mismo valor para la tensión de equilibrio puesto que las cuerdas
están unidas. Al sustituir estas velocidades en las expresiones dadas en el enunciado,
las tensiones se simplifican y resultan:
At =
2 µ1
µ1 + µ 2
Ai ,
Ar =
µ1 − µ2
Ai
µ1 + µ2
b) En el caso µ2 = µ1 las expresiones anteriores se reducen a: At = Ai y Ar = 0 . Este resultado
corresponde a la propagación en una cuerda homogénea, de modo que no hay cambio en la
amplitud del pulso incidente ni existe un pulso reflejado.
c) En el caso µ2 = 2µ1 las expresiones obtenidas en la parte a) conducen a:
Proyecto 11.06.31
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3. Potencia y Nivel de Intensidad
At =
12
2 Ai
1− 2
= 0,83 Ai , y Ar =
Ai = −0,17 Ai
1+ 2
1+ 2
Las velocidades de propagación satisfacen la relación: v2 = v1
2 , lo que hace que el pulso
transmitido a la cuerda 2 sea más angosto debido a la menor velocidad de propagación. En
cambio, el pulso reflejado es invertido y del mismo ancho que el pulso incidente.
−2D
O
+D
d) Para la onda incidente desde el medio 1: y ( x, t ) = A sen(2π x − π t ) , la frecuencia angular ω y
el número de onda k son: ω = π y k = 2π . Luego,
f =
ω
2π
= 0,50 [ Hz ] y λ1 =
= 1, 0 [m].
2π
k
En el medio 2 la frecuencia debe mantener el valor f = 0, 50 [ Hz ] y la longitud de onda
v
v
debe cambiar para satisfacer las relaciones: f = 1 = 2 con v2 = v1 2 = 0, 70v1 .
Entonces, λ2 =
Proyecto 11.06.31
λ1
2
λ1
λ2
= 0, 70 [m].
UTFSM
3. Potencia y Nivel de Intensidad
13
Problema 37
Considere una onda senoidal transversal que viaja horizontalmente por un hilo de longitud
L=8,0[m] y masa m=6,0[g]. Inicialmente la velocidad de propagación es v= 30 [m/s], la longitud
de onda es λ =0,200[m] y la potencia media que transporta es P = 50[W].
a) ¿Qué amplitud tiene la onda?
b) ¿En qué factor aumenta la tensión en el hilo cuando la velocidad de propagación de la onda
aumente al doble?
c) Si la tensión en la cuerda se aumenta al doble, y se mantienen la frecuencia y la amplitud
¿Cuál es la potencia media que transporta la onda?
Solución 37
a) La potencia media P para la onda en una cuerda de densidad lineal de masa µ está dada por
la relación:
P=
1
µ v(ω A)2 ,
2
dónde v es la velocidad de propagación, ω es la frecuencia y A es la amplitud de la onda.
Lo anterior puede obtenerse a partir de una relación general, en tres dimensiones, entre la
intensidad I y la densidad media de energía w de una onda:
I = v⋅w.
Multiplicando la ecuación anterior por el área ∆S de sección transversal de la cuerda, en el lado
izquierdo reconocemos la potencia media P y en el lado derecho, el producto w ⋅ ∆S se reconoce
como la densidad lineal media de energía. Para llegar hasta la expresión dada para la potencia
media, es necesario recordar que una onda elástica contiene energía cinética y energía potencial
elástica, en igual proporción. Así, la energía en un elemento de largo ∆ x se obtiene a partir de su
energía cinética, multiplicando por el factor dos, entonces:
1
∂y
∆E = 2 ⋅ µ∆x
2
∂t
2
,
dónde y(x,t) representa el desplazamiento transversal.
Proyecto 11.06.31
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3. Potencia y Nivel de Intensidad
14
Al calcular el valor medio temporal, el cuadrado de la velocidad transversal en la expresión
anterior es reemplazado por el factor (ω A) 2 2 , resultando que la densidad lineal media de
energía en la cuerda es:
1
2
µ (ω A ) ,
2
lo cual completa la explicación acerca del origen de la expresión para la potencia media dada al
comienzo.
Para obtener la amplitud A se requiere conocer la frecuencia angular ω que se obtiene según:
ω = kv =
2π v
λ
=
2π ⋅ 30
= 300π .
0, 20
Despejando la amplitud A en términos de la potencia P se encuentra:
A=
1
ω
Sustituyendo los valores numéricos resulta: A =
2⋅ P
.
µv
1
300π
2 ⋅ 50 ⋅ 8
= 7,1 [cm].
6 ⋅10-3 ⋅ 30
b) Puesto que la velocidad de propagación de la onda depende de la tensión en la cuerda según
la relación v = T µ , se concluye que la tensión debe aumentar en un factor cuatro para que la
velocidad de propagación de la onda aumente al doble.
c) Al aumentar la tensión al doble, la fórmula dada para la velocidad de propagación en el
párrafo precedente, indica que ésta aumenta en el factor
2 . En tal caso, la relación para la
potencia media indica que ésta también aumenta en el factor
2 . Entonces,
P = 2 ⋅ 50 = 71 [W ].
Haga el ejercicio de calcular la potencia media que transporta la onda cuando la tensión en la
cuerda se aumenta al doble y se mantienen constantes la amplitud y la longitud de onda.
Proyecto 11.06.31
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3. Potencia y Nivel de Intensidad
15
Problema 38
El nivel de intensidad β de una onda sonora se mide en decibeles y corresponde a una escala
logarítmica que se define por la relación:
β = 10 ⋅ log10 ( I / I 0 ) ,
dónde I es la intensidad de la onda e I0=10-12 [W/m2] es una intensidad mínima de referencia
correspondiente a un sonido apenas audible.
Suponga que usted escucha trinar un pájaro y se acerca para escucharlo mejor, disminuyendo la
distancia a la mitad. ¿En cuánto cambian la intensidad y el nivel de intensidad?
Solución 38
Esta situación puede considerarse a partir del modelo de una fuente puntual que emite el sonido
simétricamente en todas direcciones con igual intensidad, en un medio homogéneo. En tales
condiciones, la potencia media P que atraviesa una esfera de radio R centrada en el punto emisor
de ondas, debe ser constante e independiente del radio.
Entonces,
P = I ⋅ 4π R 2 ,
lo cual indica que al disminuir R a la mitad, la intensidad aumenta cuatro veces, es decir,
exigiendo que P sea constante, con R2 = R1 2 se concluye que I 2 = 4 ⋅ I1 .
Por otra parte, usando el resultado anterior para relacionar los respectivos niveles de intensidad a
cada distancia: β1 = 10 ⋅ log10 ( I1 / I 0 ) y β 2 = 10 ⋅ log10 ( I 2 / I 0 ) , se concluye que:
β 2 = 10 ⋅ log10 (4) + β1
β 2 = β1 + 6
Lo anterior indica que el nivel de intensidad aumenta en 6 decibeles cuando usted se acerca al
pajarito para escuchar mejor su canto, acortando a la mitad la distancia que los separa.
Proyecto 11.06.31
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4. Ondas Estacionarias
16
Problema 39
Un hilo de acero de longitud L = 100 [cm] y densidad δ = 8[g/cm3] , inicialmente tenso con sus
dos extremos fijos, se hace oscilar en el modo fundamental. Se mide f = 200[Hz] para la
frecuencia de oscilación y A = 1,0[mm] para la amplitud del movimiento en el punto medio.
a) ¿Cuál es la velocidad de las ondas transversales en el hilo de acero?
b) ¿Cuál es el esfuerzo de tracción en la situación de equilibrio inicial?
c) ¿Cuál es la aceleración máxima en el punto medio?
Solución 39
a) Una onda estacionaria puede describirse como la superposición de dos ondas sinusoidales, de
iguales longitud de onda λ, frecuencia f y velocidad de propagación v, que se propagan en
direcciones opuestas. Estas cantidades satisfacen la relación,
v =λ⋅ f ,
y también se manifiestan en la onda estacionaria resultante. Cuando el hilo vibra en su nodo
fundamental, la longitud de onda puede determinarse como se indica en la figura siguiente.
Entonces, λ = 2L = 2,0[m], y la velocidad de las ondas transversales es:
v = 4 × 10 2
Proyecto 11.06.31
m
s
UTFSM
4. Ondas Estacionarias
17
b) Para determinar el esfuerzo de tracción cuando el hilo de acero está en equilibrio, es decir, sin
la presencia de la onda estacionaria, se necesita conocer la tensión que soporta, y usarla en la
relación:
σ =
F
Tensión
=
A Área de sección transversal
La tensión puede obtenerse a partir de su relación con la velocidad de propagación,
F
dónde
=v
F = v2 ⋅ ,
es la densidad lineal de masa que se relaciona con la densidad volumétrica ρ y el área de
la sección transversal, según
= ρ ⋅ A . Entonces, la tensión queda, F = v 2 ρ ⋅ A , y por lo tanto
es posible calcular el esfuerzo en el hilo de acero como sigue,
=
v2 ρ ⋅ A
= v 2 ⋅ ρ = (4 × 10 2 ) 2 ⋅ 8 ⋅ 10 3 [J/m2]
A
= 1,28 × 10 9 [J/m2]
Notar que la densidad dada en el enunciado es equivalente al valor ρ=8⋅103[kg/m3] usado el
párrafo anterior.
c) La magnitud a de la aceleración en un punto se obtiene derivando la función
(t ) que
describe la oscilación , como se indica a continuación.
Dada
(t ) = A ⋅ cos( wt + φ ) , entonces a =
d 2 (t)
= − Aw 2 cos( wt + φ ) . Luego, la aceleración
dt 2
máxima y la amplitud de oscilación satisfacen la relación:
amáx = Aw2 = A(2π ⋅ f ) 2
Usando los valores numéricos se obtiene:
Proyecto 11.06.31
a max = 10 −3 (2π ⋅ 200) 2 = 1,6 ⋅ 10 3 [m/s2]
UTFSM
4. Ondas Estacionarias
18
Problema 40
Un diapasón que emite un sonido de frecuencia f se hace vibrar frente al extremo abierto de un
tubo de vidrio, parcialmente lleno de agua, como se muestra en la figura. El otro extremo del tubo
esta conectado a un recipiente con agua mediante una manguera, lo cual permite cambiar la
longitud de la columna de aire en el extremo abierto.
Con el nivel del agua casi al borde del extremo abierto del tubo, éste se va levantando
gradualmente de modo que aumenta la longitud de la columna de aire que va desde el borde del
tubo hasta el nivel del agua. Se encuentra que la intensidad del sonido alcanza un primer máximo
cuando la distancia entre el nivel del agua y el extremo abierto del tubo es a. A continuación la
intensidad alcanza un segundo máximo cuando la distancia es s.
a) Exprese la velocidad del sonido en el aire en términos de los datos f, a y s.
b) Evalúe la velocidad del sonido con los datos: f = 1080 [Hz], a = 7,1 [cm] y s = 22,4[cm].
Solución 40
a) La intensidad del sonido llega a un máximo cuando la columna de aire resuena con el
diapasón, esto es cuando pueden formarse ondas estacionarias en la columna de aire. Las ondas
estacionarias constan de un nodo de desplazamiento en la superficie del agua, dónde las
Proyecto 11.06.31
UTFSM
4. Ondas Estacionarias
19
partículas de aire junto a la superficie están en reposo, y de un antinodo situado aproximadamente
en el extremo abierto del tubo. En realidad el antinodo ocurre un poco más afuera del extremo
abierto, a una distancia que es del orden del radio del tubo, lo cual acá no se toma en cuenta.
Puesto que la frecuencia del sonido emitido por el
diapasón es constante y que la velocidad del sonido
en la columna de aire tiene un valor definido, la
resonancia ocurre para una longitud de onda
específica, de acuerdo a la relación:
=
v
f
La primera y segunda condición de resonancia corresponden a los desplazamientos estacionarios
indicados en la figura, donde podemos observar que /2 = (s − a ) . Por lo tanto la velocidad del
sonido en el aire queda dada por:
v = 2 f (s − a )
b) Con los datos dados en el enunciado, (s − a ) = 15,3[cm] y usando f = 1080[Hz ] , se obtiene
v = 330[m / seg ] .
Proyecto 11.06.31
UTFSM
4. Ondas Estacionarias
20
Problema 41
Considere una cuerda con ambos extremos fijos, vibrando en su tercer modo estacionario. Usted
dispone de los siguientes datos: la masa M, el largo L, la tensión T y la amplitud máxima A de
oscilación de la cuerda. Determine la energía almacenada en la cuerda
Solución 41
Una cuerda con ambos extremos fijos vibrando en su modos estacionarios satisface que:
L=
nλ
,
2
n = 1,2,3,...
v=λf ,
dónde:
v=
T
;
=
M
L
Para el tercer modo estacionario, n=3 la cuerda vibra adoptando la forma indicada en la figura,
de modo que cada porción de ella realiza un movimiento armónico simple. Para calcular la
energía total almacenada en la cuerda usaremos como punto de partida la energía de una masa
∆m que realiza un movimiento armónico simple, según:
∆E =
1
∆m ⋅ (vmáx ) 2 ,
2
dónde vmáx es la velocidad máxima que alcanza la masa. Debemos encontrar vmáx para cada
elemento de la cuerda. Esto lo hacemos a partir de
la ecuación que describe una onda
estacionaria en una cuerda con ambos extremos fijos. Consideremos la siguiente descripción de
onda estacionaria, como producto de funciones armónicas de la posición y el tiempo:
(x, t) = A sin(kx + φ 1 ) cos( wt + φ 2 )
En esta expresión k = 2π λ y ω = 2πf . Escogiendo x = 0 en un extremo de la cuerda, la
expresión anterior debe satisfacer que
(0, t) = 0 , lo cual permite escoger φ1 = 0 . Entonces en
x = L se cumple que ψ ( L, t ) = 0 pues sen(kL) = 0 para cada uno de los modos estacionarios.
Proyecto 11.06.31
UTFSM
4. Ondas Estacionarias
21
Esto es así pues la condición dada al comienzo para los modos estacionarios implica que
kL = nπ .
Entonces, la velocidad de los elementos de la cuerda está dada por:
v ( x, t ) =
∂ (x, t)
= − Aw ⋅ sen(kx) sen( wt + φ 2 ) ,
∂t
de modo que la velocidad máxima para cada uno es: vmáx ( x) = Aw ⋅ sen(kx) .
Luego, la energía almacenada en un elemento de longitud dx de la cuerda es:
dE =
1
dx ⋅ ⋅ A 2 w 2 sen 2 (kx) ,
2
y la energía almacenada en la cuerda completa se obtiene integrando desde x = 0 hasta x = L .
Entonces,
L
ETotal
1
=
⋅ A 2 w 2 sen 2 (kx)dx .
2
0
Para el modo con n = 3 , kL = 3π y la integral es L / 2 . Este resultado para la integral es
independiente del modo estacionario, por lo tanto la energía en la cuerda para cualquiera de los
nodos es:
⋅ A 2 w2 L
ETotal =
4
Notar que la frecuencia depende del modo estacionario considerado y por ende la energía total
depende de n 2 según:
T ⋅ (nπ A) 2
ETotal =
4L
Proyecto 11.06.31
UTFSM
5. Interferencia
22
Problema 42
Dos fuentes F1 y F2 emiten ondas sonoras senoidales en fase, de igual amplitud y de frecuencia
20 [Hz], que se propagan con velocidad de 340 [m/s]. A 20[m] de la fuente F2, se coloca un
detector en el punto D como se muestra en la figura. El punto P es equidistante de ambas fuentes.
a)
Si el detector indica un mínimo de intensidad,
calcule los valores posibles para la distancia d
F1
P
entre las fuentes.
b) A continuación el detector se mueve desde D
hasta P describiendo un arco de circulo de radio
F2
20[m] alrededor de la fuente F2. Usando el menor
valor para la distancia d, determine cuántos
máximos y mínimos de interferencia se detectan
en dicho recorrido.
D
Solución 42
a) Los mínimos de intensidad cumplen con la condición de interferencia destructiva. Entonces,
en el punto D la diferencia de fase entre las ondas provenientes de ambas fuentes debe ser un
múltiplo impar de π y por lo tanto satisfacen la condición:
2π
λ
( F1 D − F2 D ) = niπ
;
ni = 1,3,5
La diferencia entre paréntesis corresponde a la distancia d entre las fuentes, entonces:
2π
λ
d = niπ .
Luego, los valores posibles para la distancia d son λ 2, 3λ 2, 5λ 2,
b) De acuerdo al enunciado, supondremos que d = λ 2 . Entonces, en el punto D la diferencia de
fase entre las ondas es π. En el punto P, equidistante de las fuentes, la diferencia de fase entre
las ondas es cero. Por lo tanto al ir desde D hasta P la diferencia de fase va cambiando
continuamente desde el valor π hasta cero. Puesto que los máximos de interferencia corresponden
a diferencias de fase que son múltiplos de 2π y los mínimos de interferencia corresponden a
Proyecto 11.06.31
UTFSM
5. Interferencia
23
diferencias de fase que son múltiplos impares de π, se concluye que en el camino desde D hasta
P no se encuentran máximos ni mínimos, y la intensidad del sonido va aumentando
continuamente.
Solución 42 alternativa
a) La diferencia de fase ∆ϕ entre las oscilaciones que se superponen en el punto D depende de
la diferencia ∆r entre las distancias hasta las respectivas fuentes. Para obtener un mínimo de
intensidad se requiere que ∆ϕ sea múltiplo impar de , según la relación:
∆ϕ = k ⋅ ∆r =
2π
λ
⋅ (r1 − r2 ) = (2m + 1)π , dónde m es entero: m = 0, ± 1, ± 2,....
Puesto que en el punto D se cumple que ∆r = d , siendo d la distancia entre las fuentes, entonces
el valor mínimo de esa distancia se obtiene para m=0.
Luego,
2π
λ
⋅ d = π , y por lo tanto d =
λ
2
.
La longitud de onda es λ = v / f = 340 / 20 = 17[m] y la distancia pedida es d = 8,5[m] .
b) Al describir la trayectoria indicada en el enunciado, la distancia r2 que va desde un punto de
ella hasta la fuente F2 permanece constante y la distancia r1 que va hasta la fuente F1 va
disminuyendo. Entonces, la diferencia ∆r entre ellas cambia desde ∆r = d = λ / 2 hasta ∆r = 0 y
por ende la diferencia de fase va desde ∆ϕ = π hasta ∆ϕ = 0 . Sabiendo que los máximos de
interferencia ocurren cuando ∆ϕ = 2π ⋅ m y los mínimos ocurren cuando ∆ϕ = (2m + 1)π ,
concluimos que al describir el arco de circunferencia indicado, no se detectan máximos ni
mínimos (excepto el mínimo en D y el máximo en P correspondientes a los extremos de la
trayectoria).
Proyecto 11.06.31
UTFSM
5. Interferencia
24
Problema 43
Dos parlantes colocados en un plano
horizontal,
a 75[cm] de distancia
entre sí, emiten ondas en fase con
frecuencia
de
680[Hz]
e
igual
intensidad. El sonido se examina en
una superficie vertical, perpendicular
a la línea que une los parlantes,
colocada a 150[cm] del punto medio
entre ellos, como se indica en la
figura.
Para la velocidad del sonido use el valor 340[m/s].
a) Determine cuántos máximos mínimos habrá sobre la superficie vertical.
b) Determine el radio R de los máximos y mínimos de interferencia sobre la superficie vertical.
Solución 43
a) Puesto que aquí los parlantes están emitiendo ondas en fase, la interferencia dependerá sólo
de la diferencia de caminos desde cada parlante hasta un punto de la superficie vertical. Con la
ayuda de la figura, y con L=150 [cm], calculamos las longitudes r1 y r2 correspondientes a los
caminos M 1 y M 2 . Entonces,
Proyecto 11.06.31
UTFSM
5. Interferencia
25
5L
r1 = R +
4
2
1/ 2
2
3L
; r2 = R +
4
2
2
1/ 2
; ∆r = r1 − r2
Las ondas provenientes de uno y otro parlante llegan al punto P con desfase ∆φ dado por:
∆φ ∆r
=
2π
Luego;
∆φ =
2π
λ
5L
R +
4
2 1/ 2
−
2
3L
R +
4
2 1/ 2
2
Para obtener un máximo de interferencia se requiere ∆φ = n ⋅ 2π , lo que es equivalente a
∆r = n ⋅
, con n = 0,1,2,3...
Análogamente, para obtener un mínimo de interferencia se requiere ∆φ = (2n + 1) ⋅ π
equivalente a ∆r = (2n + 1) ⋅ /2
, lo que es
, con n = 0,1,2,3...
La longitud de onda del sonido utilizado es λ =
v 340
=
= 0,50 [m].
f 680
De acuerdo a la geometría de la situación, la mayor diferencia posible de camino ocurre justo en
el punto central de la superficie vertical, para el cual R = 0 , y su valor es ∆r = L/2 = 75 [cm]
= 3 ⋅ /2 . La menor diferencia posible de camino es ∆r = 0 y ocurre en puntos de la pantalla
con R → ∞ . Se concluye que la diferencia de camino varía entre cero y 3 ⋅ /2 . Por lo tanto,
habrá sólo un máximo de intensidad sobre la superficie, correspondiente a ∆r =
, y habrá dos
mínimos de intensidad correspondiente a ∆r = /2 y ∆r = 3 /2 . Este último será un punto
oscuro en el centro de la superficie.
b) Usando n = 1 en la condición para máximos de interferencia y despejando R se obtiene:
Rmax
( L2 − λ2 ) 2
3L
=
−
2
4
( 2λ )
2
12
= 1,65 [m]
Análogamente, usando la condición para mínimos de interferencia con n = 1, se obtiene:
Rmin =
Proyecto 11.06.31
( L2 − λ2 / 4) 2
λ2
3L
−
4
2
12
= 4,23 [m].
UTFSM
5. Interferencia
26
Problema 44
Considere la interferencia de las ondas de longitud de onda λ provenientes de dos fuentes
puntuales separadas a una distancia d, cuyas oscilaciones son:
y1 = A sen(ωt )
y2 = A cos(ωt )
e
Escriba la condición de interferencia constructiva en un punto P arbitrario situado a distancias r1
y r2 de cada fuente.
Solución 44
En primer lugar usamos una conocida identidad trigonométrica para escribir ambas oscilaciones
usando la misma función. Escogemos usar la función seno, y para ello escribimos:
y2 = A cos(ωt ) = A sen(ωt + π 2) .
Supondremos que el punto P está casi igualmente alejado de ambas fuentes de modo que ellas
contribuyen con igual amplitud AP = A r 2 a la superposición. Esto significa que se considera a
ambos:
r1
y
r2 , mucho mayores que la distancia d entre las fuentes. Sin embargo las
diferencias entre ellos producirán diferencias de fase que afectan a la superposición, según el
valor de la longitud de onda, como se verá a continuación.
Puesto que la ondas se propagan con velocidad v, demoran un tiempo ∆t = r v en ir desde una
fuente hasta un punto que se encuentra a distancia r de ella. Esto significa que las oscilaciones en
P, yP1 e yP 2 , ocurren un tiempo más tarde que en las fuentes, lo que permite escribirlas como
sigue:
yP1 = AP sen[ω (t − r1 v)]
yP 2 = AP sen[ω (t − r2 v)]
Para hacer la superposición de ambas oscilaciones en el punto P, usamos nuevamente una
identidad trigonométrica: senα + senβ = 2 sen[(α + β ) / 2] ⋅ cos[(α − β ) / 2] . Entonces,
yP = yP1 + yP 2 = 2 AP sen ωt −
ω
2v
(r1 + r2 ) +
π
4
⋅ cos
ω
2v
(r2 − r1 ) −
π
4
.
El producto en la expresión anterior contiene dos funciones trigonométricas, una que depende del
tiempo y describe una oscilación senoidal, y otra que es independiente del tiempo y determina la
amplitud de la oscilación. En los lugares en que la función independiente del tiempo adopta sus
Proyecto 11.06.31
UTFSM
5. Interferencia
27
valores extremos 1 y -1, la oscilación exhibe su mayor amplitud 2 AP . Esto sucede cuando se
cumple que el argumento de la función coseno satisface:
ω
2v
(r2 − r1 ) −
π
4
= mπ ,
m=0, ± π , ± 2π ,
La condición anterior se puede expresar en función de la longitud de onda si usamos la relación
ω = 2π v λ . Así, la condición para un punto P en que la amplitud de oscilación es máxima se
escribe como:
r2 − r1 = m +
1
λ
4
Esta es la condición de interferencia constructiva para la presente situación. Análogamente puede
obtenerse la condición para los puntos en que la amplitud de oscilación es nula, o condición para
interferencia destructiva:
r2 − r1 = m −
1
4
λ.
Solución 44 alternativa
Es conveniente escribir la oscilación de la fuente 2 de modo que muestre más claramente su
diferencia de fase en /2 con la otra fuente.
y 2 = A ⋅ cos(ωt ) = A ⋅ sen(ωt + π / 2)
A continuación usamos la idea más básica de la propagación de ondas con velocidad constante v:
la oscilación que ocurre en cierto instante en una fuente, también ocurre un lapso después en un
punto que está a distancia r de ella y el retraso correspondiente es r / v . Lo anterior permite
escribir matemáticamente cada una de las oscilaciones que se superponen en un punto P, a
distancias r1 y r2 de las fuentes, como sigue:
y1P = A ⋅ sen[ω (t − r1 / v)] , y 2 P = A ⋅ sen[ω (t − r2 / v) + π / 2]
Note que el procedimiento consiste en reemplazar t de la oscilación en la fuente por (t − r / v)
correspondiente al punto P. Esto es así pues lo que ocurre, por ejemplo, en t = 0 para la fuente,
Proyecto 11.06.31
UTFSM
5. Interferencia
28
debe ocurrir en t = r / v para el punto P. Para hacer la superposición recordamos la respectiva
identidad trigonométrica, entonces:
y P = y1P + y 2 P = A ⋅ sen[ω (t − r1 / v)] + A ⋅ sen[ω (t − r2 / v) + π / 2]
y P = 2 AP ⋅ sen[ωt − ω (r1 + r2 ) / 2v + π / 4] ⋅ cos[ω (r2 − r1 ) / 2v − π / 4]
Hemos escrito 2 AP en vez de 2 A para tomar en cuenta la inevitable disminución de amplitud
que experimente una onda que se genera en una fuente puntual y viaja en dos o tres dimensiones.
El factor coseno en la expresión anterior es independiente del tiempo y contiene los efectos de
interferencia Para interferencia constructiva exigimos que ese factor sea ± 1 , y entonces el
argumento debe ser:
ω
2v
⋅ (r2 − r1 ) −
π
4
= mπ , siendo m un entero m = 0, ± 1, ± 2,...
Usando la relación v = λf , con ω = 2πf , la expresión anterior puede escribirse en términos de la
longitud de onda como sigue:
(r2 − r1 ) = (m + 1 / 4)λ
Análogamente, para interferencia destructiva se requiere que el factor coseno sea nulo, y para ello
debe cumplirse:
ω
2v
⋅ (r2 − r1 ) −
π
4
= (2m − 1)
π
2
, siendo m un entero m = 0, ± 1, ± 2,... , lo cual puede escribirse en
términos de la longitud de onda como sigue:
(r2 − r1 ) = (m − 1 / 4)λ
Note que las diferencias de camino (r2 − r1 ) correspondientes a un máximo y un mínimo
consecutivos es /2, al igual que en el caso de la interferencia de fuentes puntuales en fase.
Proyecto 11.06.31
UTFSM
5. Interferencia
29
Problema 45
Dos parlantes P1 y P2 están conectados a un
generador sinusoidal de amplitud y frecuencia
d1
ajustable, que puede enviar señales con
diferencia de fase
Q
1
a los parlantes. Un
medidor del nivel de intensidad acústica se
d2
coloca en el punto Q a distancias d1 =8 m y d2
= 11 m de cada parlante, como se indica en la
2
figura. Se realizan experimentos en que
inicialmente se ajustan la frecuencia, en el
valor f = 170 Hz , y ambas amplitudes de
modo que estando un parlante encendido y el otro apagado el medidor indica 60 db en ambos
casos (P1 encendido, P2 apagado y viceversa).
a) Obtenga el nivel de intensidad en el punto Q cuando ambos parlantes están encendidos y el
generador les proporciona señales en fase (
= 0).
b) Obtenga el nivel de intensidad en el punto Q cuando ambos parlantes están encendidos y el
generador les proporciona señales con diferencia de fase (
= ).
c) Considere que se ajustan la frecuencia y la diferencia de fase en los valores
= 0 y f=85 Hz
¿cual es el nivel de intensidad que indica el medidor colocado en el punto Q?
Solución 45
a) Vamos a suponer que las ondas longitudinales recibidas en el medidor viajan en la misma
dirección, con el objeto de simplificar la situación para nuestro análisis.
A continuación
escribimos las relaciones entre intensidad I, nivel de intensidad J en decibeles y amplitud A de
una onda sinusoidal.
y1 ( x, t ) = A ⋅ sen(kx − ωt )
I1 =
1
ρ ⋅ v ⋅ (ωA) 2
2
En las relaciones anteriores, I0 =10−12 [W/m2],
J 1 = 10 ⋅ log10 ( I1 / I 0 )
es la densidad del medio (aire), v = 340 [m/s] y
es la frecuencia angular de oscilación de un punto. Estas relaciones implican que la amplitud
de las ondas que llegan al medidor provenientes de cada parlante tienen igual amplitud A.
Proyecto 11.06.31
UTFSM
5. Interferencia
30
Puesto que de acuerdo al enunciado, J1 =60 db se obtiene para I1,
I1 =
1
ρ ⋅ v ⋅ (ωA) 2 = 10 −6 [W / m 2 ]
2
Aunque la amplitud A podría calcularse a partir de la relación anterior, no es necesario obtenerla
para responder a lo pedido, como veremos a continuación.
Las oscilaciones en fase de ambos parlantes se describen por:
y P1 (t ) = A1 ⋅ sen(ωt )
y P 2 (t ) = A2 ⋅ sen(ωt )
Las oscilaciones que se superponen en el medidor se obtienen de las expresiones anteriores,
considerando los tiempos de viaje t1 y t2 de las ondas hasta ese lugar, y se representan por:
y M 1 (t ) = A ⋅ sen[ω (t − t1 )]
y M 2 (t ) = A ⋅ sen[ω (t − t 2 )]
donde t1 y t2 satisfacen: d1 = v ⋅ t1 , d 2 = v ⋅ t 2 .
Usando los datos numéricos encontramos λ =
340
= 2,0[m] , y entonces d1 = 4λ y d 2 = 5,5λ .
170
El resultado trigonométrico de la superposición es:
y M = y M 1 + y M 2 = 2 A ⋅ sen[ωt − ω (t1 + t 2 ) / 2] ⋅ cos[ω (t 2 − t1 ) / 2]
El factor coseno en la expresión anterior depende de la diferencia de fase ∆Φ M = ω (t 2 − t1 )
entre las señales que llegan al medidor, y en este caso es:
∆Φ M = ω (t 2 − t1 ) =
2π ⋅ v (d 2 − d1 )
⋅
= 3π
v
λ
Con esta diferencia de fase en el medidor, el resultado de la superposición es nulo, lo cual puede
verificarse evaluando el factor coseno, resultando cos(∆Φ M / 2) = 0 en este caso. Por lo tanto la
intensidad del sonido en el medidor es nula: I = 0.
b) Supongamos que la oscilación en el parlante P1 no cambia y la oscilación en el parlante P2 se
atrasa en
de modo que:
y P 2 (t ) = A2 ⋅ sen(ωt − π )
y M 2 (t ) = A ⋅ sen[ωt − ωt 2 − π )]
En este caso la diferencia de fase en el medidor es:
∆Φ ′M = ωt 2 + π − ωt1 = ∆Φ M + π = 4π
Esta diferencia de fase (múltiplo de 2 ) es equivalente a que las señales estén en fase, resultando
Proyecto 11.06.31
UTFSM
5. Interferencia
31
una superposición de amplitud 2A. Esta conclusión se obtiene evaluando el factor
cos(∆Φ ′M / 2) = 1 en este caso. Puesto que la amplitud resultante es 2A, la intensidad respectiva
es I2 =4 I1 y por lo tanto el nivel de intensidad es:
J 2 = 10 ⋅ log10 (4 I1 / I 0 ) = 10 ⋅ log10 (4) + 10 ⋅ log10 ( I1 / I 0 ) = 6 + 60 = 66 db
c) Siguiendo el mismo procedimiento que en la parte a) ahora se necesita recalcular la diferencia
de fase entre las oscilaciones en el medidor. En este caso λ ′ =
y d 2 = 2,75λ ′ . Luego, ∆Φ ′M′ = ω ′(t 2 − t1 ) =
340
= 4,0[m] , y entonces d1 = 2λ ′
85
2π ⋅ v (d 2 − d1 )
3π
⋅
= 2π ⋅ 0,75 =
, y en este caso el
λ′
v
2
factor coseno es cos(∆Φ ′M′ / 2) = − 2 2 . Luego, la amplitud resultante de la superposición en el
medidor es A′ = 2 A .
El producto A′ω ′ que determina la intensidad resultante en este caso es A′ω ′ =
2
Aω . Puesto
2
que la intensidad depende de dicho factor elevado al cuadrado, concluimos que en este caso la
intensidad en el medidor es I3 = I1 /2. Luego el nivel de intensidad es:
J 3 = 10 ⋅ log10 ( I1 / 2 I 0 ) = −10 ⋅ log10 (2) + 10 ⋅ log10 ( I1 / I 0 ) = −3 + 60 = 57 db
Note que cualquiera de los parlantes, a la frecuencia de 170 [Hz], produce en el medidor un nivel
de intensidad de 60 db; al encender otro parlante en fase con el primero, la intensidad se reduce a
cero porque la diferencia de caminos d 2 − d1 hasta el medidor es 1,5 ; al cambiar solamente la
diferencia de fase entre los parlantes al valor
=
, la intensidad aumenta cuatro veces y el
nivel de intensidad sube a 66 db; finalmente al cambiar solamente la frecuencia a la mitad, la
intensidad producida por ambos parlantes disminuye a la mitad y el nivel de intensidad
disminuye a 57 db.
Puesto que las ondas longitudinales llegan al medidor formando un ángulo que no es exactamente
cero, se esperaría que las conclusiones obtenidas acá respecto a la suma de amplitudes, no sean
exactas. Sin embargo las diferencias en este caso son pequeñas y se deja al lector interesado la
resolución de este último aspecto.
Proyecto 11.06.31
UTFSM
5. Interferencia
32
Problema 46
Un aviso comercial indica que un equipo musical con cuatro parlantes iguales, proporciona una
potencia acústica de salida de 100 [W]. Con el objeto de verificar esta especificación se colocan
juntos los parlantes formando una cruz, dirigiendo el sonido hacia los cuatro costados. Luego se
aumenta el volumen del equipo al máximo mediante el control remoto, reproduciendo un sonido
monótono de una frecuencia fija.
Suponga que la configuración de parlantes se modela como una fuente sonora puntual colocada
en el suelo, emitiendo el sonido simétricamente dentro del volumen semiesférico que la rodea.
a) ¿A qué distancia mínima de los parlantes puede estar una persona, sin lastimarse los oídos?
b) Suponga que una persona debe acercarse a 2,0 [m] de los parlantes para empezar a sentir
dolor en sus oídos ¿qué potencia emiten realmente los parlantes?
Solución 46
a)
La relación entre potencia P e intensidad I de una fuente puntual que emite con simetría
esférica, se construye considerando que la potencia corresponde a la energía por unidad de
tiempo que pasa a través de una superficie esférica de radio R, centrada en la fuente. Entonces,
P = I ⋅ 4π R 2
En nuestro caso toda la potencia se emite simétricamente sólo en un volumen semiesférico,
entonces:
P = I ⋅ 2π R 2
Considerando que el umbral de dolor está en el nivel de intensidad J = 120 [db] , la respectiva
intensidad I está dada por la relación:
J = 10 ⋅ log10 ( I 10 −12 ) = 120[db] ,
dónde el valor 10 −12 [W / m 2 ] es la intensidad mínima audible que corresponde al nivel de 0 [db].
Al resolver la ecuación para la intensidad que corresponde a 120[db] resulta I = 1, 0[W / m 2 ] .
Con este resultado y la potencia dada en el enunciado se calcula el radio correspondiente a la
mínima distancia que una persona, con oído normal, puede acercarse al grupo de parlantes.
Despejando R y calculando se obtiene:
Proyecto 11.06.31
UTFSM
5. Interferencia
33
R=
P
2π I
=
100
= 4, 0[m].
2π
b) Usando la intensidad I = 1, 0[W / m 2 ] obtenida anteriormente, que marca el límite doloroso
para una persona con oído normal, y la distancia dada en el enunciado, encontramos:
P = I ⋅ 2π R 2 = 1 ⋅ 2π ⋅ 22 = 25[W ].
Nota.
La potencia PMPO que aparece en las especificaciones de los equipos se refiere a la
potencia máxima de salida durante intervalos muy cortos de tiempo, y no corresponde a la
potencia usada en este ejercicio que se conoce como potencia RMS. Dicha potencia es
un valor de estado estacionario, lo cual significa que puede mantenerse por largo tiempo.
Proyecto 11.06.31
UTFSM
6. Efecto Doppler
34
Problema 47
Una bocina que esta en reposo en la cercanía de una pared, emite ondas de frecuencia 500 [Hz]
que se propagan en direcciones opuestas, alejándose y acercándose a la pared respectivamente,
con velocidad de 340 [m/s]. Dos personas, A y B se desplazan alejándose de la bocina, A se
acerca a la pared con rapidez de 10 [m/s] y B se aleja de la pared con rapidez de 20 [m/s].
VB
B
A
VA
y
x
a) Determine las frecuencias y las longitudes de onda que percibe A.
b) Determine las frecuencias y las longitudes de onda que percibe B.
Solución 47
Usando un sistema de coordenadas S fijo a la bocina, la onda que emite en dirección x se describe
por:
y ( x, t ) = A ⋅ sen(kx - ωt ) = A ⋅ sen[k ( x - vS t )] ,
siendo k = 2π λ , ω = kvS
y vS
la velocidad del sonido. Usando también un sistema de
coordenadas S' en movimiento junto con el observador A, es decir, con velocidad v A respecto al
sistema S, entonces de acuerdo a la transformación de Galileo, tenemos la siguiente relación entre
las coordenadas en ambos sistemas:
x = x′ + v At .
Luego, la descripción de la onda según el observador A es:
y ′( x ′, t ) = A ⋅ sen[k ( x ′ + v A t − v S t )] = A ⋅ sen[kx ′ − k (v S − v A )t ]
Lo anterior indica que según el observador A, la longitud de onda no cambia y la frecuencia
angular cambia a ω ′ = k (v S − v A ) = ω (v S − v A ) / v S . Las relaciones
ω = 2πf y
ω ′A = 2πf A′
conducen al resultado:
f A′ = f (1 − v A v S )
Notar que según el observador en movimiento se mantiene la longitud de onda y cambian la
frecuencia y la velocidad de propagación. Esto contrasta con lo que sucede cuando un observador
Proyecto 11.06.31
UTFSM
6. Efecto Doppler
35
describe la onda que pasa de un medio a otro; en tal caso se mantiene la frecuencia y cambian la
longitud de onda y la velocidad de propagación.
La otra onda que percibe A viene en la dirección –x, después de reflejarse en la pared. El análisis
anterior también es aplicable a la onda reflejada; solo cambia la dirección de propagación y en el
resultado anterior basta cambiar v S por − v S para considerar que en este caso la onda se propaga
en la dirección contraria. Entonces,
f A′′ = f (1 + v A v S )
El observador B percibe la onda emitida directamente por la bocina en dirección –x, cuya
descripción en el sistema de coordenadas fijo a la bocina es:
y ( x, t ) = A ⋅ sen(kx + ωt ) = A ⋅ sen[k ( x + v S t )]
Usando un sistema de coordenadas S'' fijo al observador B, con el eje x ′′ apuntando en la
dirección x, tenemos que:
x = x ′′ − v B t ,
y la onda descrita por el observador B es:
y ′′( x ′′, t ) = A ⋅ sen[kx ′′ + k (v S − v B )t ]
De acuerdo a la expresión anterior, según el observador B la longitud de onda coincide con la
original y la frecuencia es de valor:
f B′ = f (1 − v B v S )
La otra onda que percibe el observador B proviene de la reflexión en la pared y tiene la misma
dirección de propagación que la onda recién considerada. Luego, el análisis realizado es valido
para ambas ondas, por lo tanto este observador percibe solo una frecuencia. En realidad el
observador B percibe solo una onda que resulta de la superposición de ambas ondas de igual
frecuencia e igual dirección de propagación, con diferentes amplitudes y constantes de fase.
Proyecto 11.06.31
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6. Efecto Doppler
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