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Tema 1.
Repaso de Teoría de Circuitos
Joaquín Vaquero López
Electrónica, 2007
Joaquín Vaquero López 1
Repaso de Teoría de Circuitos: índice
1.1) Conceptos preliminares. Concepto de circuito, elementos de un circuito
1.2) Leyes fundamentales de los circuitos eléctricos: Leyes de Kirchhoff
1.3) Principio de Superposición
1.4) Teoremas de reducción de circuitos: Equivalente de Thévenin y Norton
1.5) Divisores de voltaje y corriente
1.6) Característica I-V, función de transferencia, recta de carga
1.7) Método gráfico de resolución de circuitos
1.8) Circuitos RC (1er orden). Función de transferencia compleja
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Conceptos preliminares
CIRCUITO: Asociación de elementos activos o pasivos conectados en serie/paralelo por donde puede
circular corriente. Modelo matemático simplificado de una instalación real.
Se utiliza para estudiar (análisis y síntesis) la respuesta de un sistema eléctrico ante un estímulo.
Señales de entrada, salida y función de transferencia.
Aplicable a circuitos lineales y cuasilineales.
VARIABLES FUNDAMENTALES: I, V y P
Convenios de signos. Múltiplos y submúltiplos. Notación (v, V, u, U)
ELEMENTOS DE UN CIRCUITO:
Son los modelos matemáticos de los dispositivos físicos reales de un circuito. Modelos de parámetros
concentrados.
Activos: fuente de tensión/corriente - continua/alterna – dependientes/independientes.
Pasivos: R,L,C.
Relación entre voltaje y corriente en cada uno de estos elementos. Potencia y energía.
ASOCIACIÓN DE ELEMENTOS SERIE/PARALELO
Concepto de impedancia-admitancia-immitancia.
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Característica I-V. Recta de carga
Característica I-V de un elemento de un circuito:
Describe la relación entre la corriente que circula por el elemento y el voltaje a
través de sus terminales.
Recta de carga:
Gráfica I-V determina todos los puntos de operación permitidos de dicho
dispositivo en el circuito en que se halla.
Fundamental: entender qué nos dice una gráfica.
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Característica I-V. Recta de carga
Ejemplos:
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Característica I-V. Recta de carga
Ejemplos:
Característica I-V de entrada de un transistor
Punto de operación Q
IBQ
Recta de carga
VBEQ
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Ejemplos:
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Leyes fundamentales: Leyes de Kirchoff
Ley de conservación de la carga y la energía para describir relación voltajecorriente en cualquier red, lineal o no:
1ª.- La suma de caídas de voltaje alrededor de cualquier lazo cerrado es cero.
2ª.- La suma de todas las corrientes que entren en cualquier nodo de un circuito
es igual a cero.
Nodo: Punto donde se conectan tres o más conductores.
Rama: Elemento o grupo de elementos con 2 terminales. Tramo entre dos
nudos
Malla/lazo: cualquier camino cerrado que pueda se definido en el circuito.
Resolver un circuito: calcular todas las intensidades que circulan por cada
elemento del circuito y las tensiones que caen en cada uno de ellos. NO
hay una única forma de resolverlo.
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Principio de superposición
ELEMENTO LINEAL: aquel cuya característica v-i es de la forma:
v  a·i1  b·i2 ó i  c·v1  d ·v2
con a, b, c, d constantes.
En general a, b, c, d pueden ser operadores lineales (derivada o integral) 
la característica v-i es de la forma:
va
di1
 b  i2 dt
dt
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN: en todo sistema lineal, la respuesta del
circuito debida a una suma de entradas, será igual a la suma de las
respuestas de cada una de las entradas aplicadas individualmente.
Notar que podemos aplicar superposición aunque no todas las fuentes se
apliquen en la misma localización.
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Teoremas de reducción de circuitos
Equivalente de Thévenin:
Cualquier circuito resistivo (contiene únicamente resistencias y fuentes)
puede ser representado por un circuito más sencillo, formado sólo por una
sola fuente de voltaje y una resistencia en serie. Este circuito se denomina
“Equivalente de Thévenin” del circuito original.
Vth representa todas las fuentes.
Rth representa todas las resistencias.
Equivalente de Norton:
Aquí la fuente independiente es una fuente de corriente, Ith, y la resistencia
equivalente está conectada en paralelo.
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Divisores de tensión y corriente
Divisor de tensión:
Las impedancias son atravesadas por la misma corriente
V1
R1
V2
R2
I1  I 2 
Vi
V1 
Vi
V1  I1 ·R1 ;V2  I 2 ·R2
R1  R2
R1 ·Vi
;
R1  R2
V2 
R2 ·Vi
R1  R2
Divisor de corriente:
Las impedancias está sometidas a la misma tensión
I1 ·R1  I 2 ·R2 ; I i  I1  I 2
Vi
I1
R1
I2
R2
I1  I i  I 2  I i  I1
I1 
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R1
R2
R2 ·I i
R ·I
; I2  1 i
R1  R2
R1  R2
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Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Circuitos de primer orden: Son circuitos caracterizados por una ecuación
diferencial de primer orden. Cualquier circuito formado por un conjunto
cualquiera de resistencias y fuentes independientes y un solo elemento
almacenador de energía (L ó C) es de 1er orden.
Régimen transitorio: Solución a la ec.dif. homogénea, que es la respuesta
natural del sistema.
Régimen permanente: Solución a la ec.dif. completa, que es la respuesta del
sistema forzada por una excitación exterior.
Homogénea:
Ejemplo 1: Circuito RC
t
R
Vin
C
i
1
R·i(t )  uC (0)   i(t )dt  0
C0
Completa:
t
1
vin (t )  R·i(t )  uC (0)   i(t )dt
C0
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Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Ejemplo 1: Circuito RC (C inicialmente cargado)
t
1
R·i (t )  uC (0)   i (t )dt  0;
Solución homogénea:
C0
Condiciones iniciales:
Solución tipo:
uC (0)  V0 ; vin (t )  0 i (0)  
V0
R
t
V 
i (t )   0 ·e RC
R
i(t )  K ·et
Tensión en el condensador:
t
t

1
RC
 V0
uC (t )  uC (0)   i (t )dt uC (t )  V0  V0 ·e
C0
uC (t )  V0 ·e
uC (0)  V0
Constante de tiempo:
1
  RC ;    2 · f


t
RC
63%
95%

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3·
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Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Ejemplo 1: Circuito RC (C inicialmente cargado)
Solución completa. Excitación escalón (habitual en electrónica):
t
1
vin (t )  R·i(t )  uC (0)   i(t )dt
C0
Condiciones iniciales: uC (0)  V0 ; vin (t )  Vin ; i(0) 
Solución tipo:
Vin  V0
R
i(t )  K ·et
Tensión en el condensador:
t
t
t


1
uC (t )  uC (0)   i (t )dt uC (t )  (V0  Vin )·e RC   uC (0)
C0
0
V V 
i(t )  in 0 ·e RC
R
t
uC (t )  (V0  Vin )·e

t
RC
 Vin
Solución genérica a los sistemas de 1er orden:
f (t )   f (0)  f  (0)·e
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
t

 f  (t )
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Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Ejemplo 1: Circuito RC
Solución completa. Excitación senoidal. Características de las funciones
senoidales:
1.- La respuesta en régimen permanente de un circuito lineal con
excitación senoidal es una función senoidal de igual frecuencia. La
amplitud y la fase puede variar.
2.- La suma de funciones senoidales de igual frecuencia es una función
senoidal de igual frecuencia. La amplitud y la fase puede variar.
3.- La derivada de una senoide es de forma senoidal, y su integral.
4.- Mediante la descomposición en serie de Fourier cualquier función
periódica puede representarse como una combinación lineal de un
número finito de funciones senoidales.
5.- Los alternadores generan tensión con forma senoidales. Es una
forma de onda fácil de obtener.
6.- La respuesta de un sistema ante funciones senoidales de distinta
frecuencia nos da información del sistema.
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Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Ejemplo 1: Circuito RC (C inicialmente cargado)
Solución analítica a la completa. Excitación senoidal:
t
1
vin (t )  R·i(t )  uC (0)   i(t )dt siendo v (t )  V ·cos(t   )
in
in
v
C0
Solución tipo:
i(t )  I in ·cos(t  i )
I in , i
R·I in cos(t  i )  uC (0) 
Particularizando para:
t  0; t 
1
I in sin(t  i )  Vin ·cos(t  v )
C

2
1
I in sin(i )  Vin ·cos(v )
C
1
R·I in sin(i )  uC (0) 
I in cos(i )  Vin ·sin(v )
C
R·I in cos(i )  uC (0) 
particularizando para uC (0)  0 por comodidad
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(Ec.trascendentes mediante métodos
numéricos, vectorialmente
ó mediante complejos)
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Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Ejemplo 1: Circuito RC
Resolución vectorialmente (trigonometría).
Módulo:
Vin  R 2 ·I in2 
I in 
I in2
(C ) 2
R
Vin
1
R 
(C ) 2
i
2
Vin
R2 
1
(C ) 2
 cos(t    v )

I in
C
v
Argumento:
1
i    v ;   arctg
RC
Solución:
i (t ) 
I in
Vin
uC (t ) 
Vin
R2 
1
(C ) 2

1
 sen(t    v )
C
Método muy laborioso y difícil para circuitos más complicados
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Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
j
Ejemplo 1: Circuito RC
t
j
Resolución mediante complejos
e
 
sen(t )  Ime 
Euler: e jt  cos(t )  j sen(t )
cos(t )  Re e jt
e  jt  cos(t )  j sen(t )
jt
t
sen(t )
cos(t )
Solución tipo:



i(t )  I in ·cos(t  i )  I in  Re e j (t i )  I in  Re e ji  e jt

Solución para régimen senoidal permanente
R·I in e ji e jt 
I in e
ji

Vin
1
R
jC
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·e
jV
; I in e
ji

1 1
I in e ji e jt  Vin ·e jV e jt
C j
Vin
1
R2 
(C ) 2

·e
j (V   )
2
 
I in Re e
ji
Vin
R2 
1
(C ) 2
 j (V  2  ) 
·Ree



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Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Respuesta de los elementos pasivos básicos al régimen senoidal permanente:
u(t )  Vin ·e jV e jt ; i(t )  I in ·e ji e jt
Resistencia
Bobina
u(t )  R  i(t )
u (t )  L 
Vin ·e jV e jt  R  I in ·e ji e jt
Vin ·e jV e jt  jL  I in ·e ji e jt
Condensador
du
i (t )  C 
dt
I in ·e ji e jt  jC Vin ·e jV e jt
Vin ·e jV  L  I in ·e ji  2
I in ·e ji  C Vin ·e jV  2
R
Vin
I in
V  i
Corriente y la tensión en fase
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di
dt
Vin  L  I in
Z L  jL
V  i   2
i  V   2
La corriente retrasa 90º a la tensión
I in  C Vin
1
ZC 
jC
i  V   2
La corriente adelanta 90º a la tensión
Joaquín Vaquero López 19
Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Ejemplo 1: Circuito RC. Función de transferencia.
Resolución directa al régimen senoidal permanente mediante complejos.
Función de transferencia.
R
1
·Vin
Vin
Vout
1
jC
1
V



H
(
j

)


Vin
out
Vout
1
1  jRC
Vin 1  jRC
j C
R
jC
Módulo
H ( j ) 
Fase o argumento
Vout
1

Vin
1  (RC ) 2
H ( j )  
Vout
   arctg (0)  arctg (RC )
Vin
 
Siendo vin (t )  Vin ·cos(t )  Vin  Re e jt
 
 
Vout  Vin  Re e jt · H ( j )  Re e j 
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Vin
1  (RC )
2
·cos(t   )
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Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Ejemplo 1: Circuito RC.
Resolución directa al régimen senoidal permanente mediante complejos.
Función de transferencia. Representación gráfica.
Módulo
Fase o argumento
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Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Ejemplo 1: Circuito RC.
Resolución a la completa.
La particular es el régimen permanente, resuelta mediante complejos.
La homogénea es la respuesta transitoria:
Solución tipo uC (t )  K ·e
t
uC (t )  K ·e
La solución completa resulta
Con la condición inicial
uC (0)  V0
uC (t ) 

t
RC
Vin
1  (RC )
2
·cos(t   )  K ·e
K  V0 
Vin
1  (RC )
2

t
RC
·cos( )

 t
Vin

uC (t ) 
·cos(t   )  V0 
·cos( ) ·e RC


1  (RC ) 2
1  (RC ) 2


Vin
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Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Ejemplo 1: Circuito RC. Tensión (rojo) y corriente (azul) en C. F= 60Hz; R=10K; C= 1,5uF
Vout 
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Vin
1  (RC ) 2
·cos(t   ) 
Vin
1  (RC ) 2
·cos( )·e

t
RC

t



·cos(t   )  cos( )·e RC 
1  (RC ) 2 

Vin
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Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Ejemplo 2: Circuito RL
Homogénea:
R·i(t )  L
R
Vin
L
di
0
dt
Completa:
vin (t )  R·i(t )  L
di
dt
Solución a la homogénea (transitorio):
Condiciones iniciales: i(0)   I 0 ; vin (t )  0; uL (0)  I 0 ·R
Solución tipo:
i(t )  K ·e
R
 ·t
di
Tensión en la resistencia: u L (t )  L·   I 0 R·e L
dt
Constante de tiempo:
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
i (t )  I 0 ·e
t
L
1
;    2 · f
R


R
·t
L
63%
95%

3·
Joaquín Vaquero López 24
Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Ejemplo 2: Circuito RL
Solución completa. Excitación escalón (habitual en electrónica):
di
vin (t )  R·i(t )  L
dt
Condiciones iniciales y finales:
i(0)  I 0 ; vin (t )  Vin ; i() 
Solución genérica a los sistemas de 1er orden:
Tensión en la bobina:
di
u L (t )  L
dt
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Vin
R
f (t )   f (0)  f  (0)·e

t

 f  (t )
Vin   RL ·t Vin

i (t )   I 0  ·e

R
R

u L (t )  (Vin  R·I in )·e
R
 ·t
L
Joaquín Vaquero López 25
Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Ejemplo 2: Circuito RL
Solución analítica a la completa. Excitación senoidal:
di
vin (t )  R·i(t )  L
siendo vin (t )  Vin ·cos(t  v )
dt
Solución tipo:
i(t )  I in ·cos(t  i )
R·I in cos(t  i )  L·I in sin(t  i )  Vin ·cos(t  v )
Particularizando para:
t  0; t 

2
R·I in cos(i )  L·I in sin(i )  Vin ·cos(v )
R·I in sin(i )  L·I in cos(i )  Vin ·sin(v )
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I in , i
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Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Ejemplo 2: Circuito RL
Resolución vectorialmente.
LIin
Módulo:
Vin
I in 
Vin  R ·I in  (L) ·I in
2
2
2
2

Vin
R 2  (L) 2
RI in
v
i
Argumento:
i  v   ;   arctg
L
R
Solución:
i(t ) 
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Vin
R  (L)
2
2
 cos(t  v   )
u L (t )  
Vin
R  (L)
2
2
 L  sen(t  v   )
Joaquín Vaquero López 27
Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Ejemplo 2: Circuito RL. Función de transferencia.
Resolución directa al régimen senoidal permanente mediante complejos.
Función de transferencia.
R
Vin
jL
Vout 
Vout
jL·Vin
V
jL
 H ( j )  out 
R  jL
Vin R  jL
Módulo
H ( j ) 
Vout

Vin
1
 R 
1 

 L 
2
Fase o argumento
H ( j )  
Vout
 L  
 arctg ()  arctg 
  
Vin
 R  2
 L 
Siendo vin (t )  Vin ·cos(t )  Vin  Re e jt y   arctg 

R




 
 j    
Vout  Vin  Re e jt · H ( j )  Re e  2   


 
Electrónica, 2007
Vin
 R 
1 

 L 
2
·cos(t 

2
) 
Vin
 R 
1 

 L 
2
·sen(t   )
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Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Ejemplo 2: Circuito RL. Tensión (rojo) y corriente (azul) en L.
Electrónica, 2007
F= 60 Hz; R=10K; L= 1,5mH
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