Construcción de las cónicas con papel albanene.

Construcción de las cónicas con papel albanene.
Rojas García Zaira Eréndira. [email protected]
Colegio de Ciencias y Humanidades. Plantel Oriente. UNAM
Rodríguez Pérez Víctor Francisco. [email protected] ENP 9. UNAM
Resumen
Problema: Como docente, veo con preocupación las tienen los alumnos del Colegio de Ciencias y Humanidades y de
la Escuela Nacional Preparatoria, para comprender las construcciones de las cónicas y las propiedades. Se debe a
que solo memorizan las propiedades, sin llegar a comprender las construcciones de la parábola, hipérbola y elipse.
Propuesta de solución: Es diseñar una situación didáctica de apertura para los alumnos que cursan la asignatura de
Matemáticas III en el CCH y Matemáticas V del ENP, mediante el doblado de papel albanene, los alumnos
construyen las cónicas doblando el papel y comprenden la propiedad que tiene cada una de ellas sin memorizar.
Modelo de intervención: El profesor inicie con una breve historia de las Cónicas y a continuación los alumnos realizan
la actividad de doblado de papel para construir la parábola, hipérbola y la elipse.
Resultados: ; Los alumnos construyen las cónicas doblando el papel y comprender las propiedades que tiene cada
una de ellas.
Conclusiones: Con ayuda del papel albanene los alumnos construyen las cónicas y comprenden las propiedades de
cada una de ellas, de ésta forma los alumnos tienen los conocimientos previos para llegar a las ecuaciones de las
cónicas.
Introducción
La estrategia “Construcción de las cónicas con papel albanene”, forma parte de la
Unidad II. Sistemas de coordenadas y lugares geométricos del programa de
Matemáticas III del CCH, así como de la unidad VII Ecuación general de segundo
grado, del programa de Matemáticas V del ENP; dicha estrategia, se divide en tres
cinco secciones, la primera el profesor realiza una presentación de una breve historia
de las cónicas, la segunda, tercera y cuarta la realiza los alumno en equipo, que
consiste en la construcción de la parábola, hipérbola y elipse usando material concreto
hojas de papel albanene y la quinta parte los alumnos grupalmente llegan a la
mencionar las propiedades ópticas de las cónicas y a definición de cada una de ellas
como lugares geométricos.
Propuesta didáctica
La estrategia didáctica “Construcción de las cónicas con papel albanene, para introducir
el tema “Lugares geométricos”, se inicia con una breve historia de las cónicas, a
continuación cada alumno tiene 2 hojas tamaño carta de papel albanene y una hoja de
actividad, que contiene las instrucciones para construir las cónicas y Finalmente llegan
a establecer las propiedades de las cada cónica. De ésta forma desarrolla en los
alumnos los procesos cognitivos necesarios para el curso Matemáticas III del Colegio
de Ciencias y Humanidades y de Matemáticas V del Escuela Nacional Preparatoria.
Objetivos de la propuesta:
Los alumnos:

Conocer un panorama general de las cónicas.

Construcción de las cónicas: Parábola, Elipse y Hipérbola.

Reconoce los tipos de simetría de esta curva.

Obtiene la definición de cada cónica como lugar geométrico.
Modelos de intervención en el aula.
Con el uso del papel como recurso didáctico convencional presenta una alternativa para
concebir el proceso de aprendizaje y enseñanza de las cónicas. El uso de material
concreto facilita al alumno a entender y comprender las propiedades de las cónicas
como lugar geométrico y llegar a la definición de cada una de las cónicas.
Con esta estrategia didáctica de apertura alumnos pueden interactuar, comprender y
asimilar los conceptos matemáticos de la parábola, hipérbola y elipse.
Metodología de intervención en el aula
Los alumnos previamente se les pide que lleve cada uno dos hojas de papel albanene
para la construcción de las cónicas.
Clase presencial (2 hrs): Inicio. (20 min).
Fase de introducción
El profesor inicia con una presentación, que contienen, un panorama general de la
historia de las cónicas, esto con el fin de ubicar a los alumnos en los momentos
históricos y tengan bases de donde surgen la parábola, hipérbola y la elipse.
Fase de desarrollo. (60 min)
El profesor reparte el material de apoyo a cada alumno.
Los alumnos en equipo realizan la actividad, que consiste en doblar el papel para
construir las cónicas, mediante dobleces.
1.- Construcción de la parábola
Instrucciones: Los alumnos en equipo realizan lo siguiente.
Paso 1.Toma la mitad de tu hoja (rectangular) Elige
un punto P sobre esa recta más o menos centrado.
Paso 2. Dobla la hoja de forma que el lado señalado
pase por el punto P.
Paso 3. Desdobla y marca con lápiz el dobles.
Repite y dibuja los dobleces variando el punto de
apoyo sobre el lado de un extremo a otro.
Vemos como se va delimitando una parábola.
Paso 4.En equipo responde las siguientes preguntas:
a) ¿Cuál es su foco?
b) ¿Cuál su eje?
c) ¿Cuál su vértice?
d) Realiza lo siguiente: Demostremos que efectivamente obtenemos una parábola.
Fijémonos en un doblez. Marquemos en el lado el punto P’ que al doblar cae sobre P y
desdoblemos.
Desde P’ trazamos una paralela
al lado hasta cortar al doblez en
el punto M. Es claro que la
longitud de MP es igual a la de
MP`, pero esta última es la
distancia de M al lado.
2.- Construcción de la hipérbola
Instrucciones. En equipo realiza lo siguiente:
Paso 1. Toma la mitad de la hoja
y traza una
circunferencia en el centro.
Paso 2. Dobla ahora la circunferencia y hazla pasar
por P.
Paso 3. Vemos aparecer una hipérbola (naturalmente
los trozos de línea sobre el agujero no los verás)
Observa tu construcción y contesta lo siguiente:
1) ¿Cuáles son sus focos?
2) ¿Cuál su centro?
3) Si el radio de la circunferencia es r y la distancia
de P a O es d,
a) ¿cuál es la distancia focal?,
b) ¿cuánto mide el semieje real?.
c) Con esos datos calcula el semieje
imaginario.
4) Probemos ahora que esas rectas
definen una hipérbola.
Recuperemos
primero
nuestro
círculo para poder tener el centro.
Fijémonos en un doblez. Marca el punto P’ que al doblar cae sobre P y desdobla. Une
con la pluma P’ con el centro (así OP’ = r) y prolonga la línea hasta cortar a la línea del
doblez llamando M al punto de intersección. ¿Cuánto mide MP – MO? Así, ¿cuánto
mide el semieje real? ¿Concuerda esto con tu apreciación anterior?
3.- Construcción de la Elipse.
Instrucciones. Realiza lo siguiente en equipo:
Paso 1. Toma la mitad de la hoja y traza una circunferencia grande. Recorta el círculo y
marca un punto P un poco más cerca del borde que del centro O. Marca el punto y el
centro por los dos lados, para facilitar la visión al doblar.
Paso 2. Dobla el círculo de forma que la circunferencia pase
por P y desdobla. Repite la operación variando el dobles de
forma que vaya girando por los puntos de la circunferencia.
Con un lápiz marca esos dobleces y verás cómo van
delimitando una elipse.
Paso 3. En equipo responde lo siguiente:
a) ¿Cuáles son sus focos?
b) ¿Cuál su centro?
c) Si el radio de la circunferencia es
r
y la
distancia de P a O es d, ¿cuál es la distancia
focal?, ¿cuánto mide el semieje mayor?. Con esos
datos calcula el semieje menor.
d) Para probar que esas rectas definen
una elipse fijémonos en un doblez.
Marca el punto P’ que al doblar cae
sobre P y desdobla. Une con bolígrafo
P’ con el centro (así OP’ = r) y llama M
al punto de intersección de OP’ con la
línea marcada por el dobles. ¿Cuánto
suma OM + MP? (De paso esto demuestra que M es el punto de la elipse y la
recta del doblez la tangente en ese punto. ¿Concuerda tu apreciación anterior
del semieje mayor con la suma de las distancias de M a los focos?
Fase de Cierre: (30 min)
Los alumnos con ayuda del profesor enuncian las propiedades ópticas de las cónicas y
la definición de cada una de ellas como lugar geométrico.
Proceso de evaluación y validación del material digital y el modelo de intervención en el
aula.
El profesor dio un panorama general de la historia de las cónicas mediante una
presentación en power point, y a continuación los alumnos construyeron la parábola,
hipérbola y elipse usando dobleces en el papel albanene.
Para implementar la estrategia didáctica, se realizó lo siguiente:
1. Preguntas guías para introducir el tema.
2. Trabajo colaborativo.
3. Entrega de las cónicas.
Los alumnos de forma individual contestan las
preguntas guías
Materiales y recursos de apoyo para llevar a cabo la secuencia didáctica son:

Computadora y cañón para el profesor.

Hojas de papel albanene, regla, tijeras, lápices y colores.
Resultados
Trabajo en equipo, construcción de cónicas
Análisis y conclusiones
El material se aplicó con alumnos de un curso de apoyo, dentro del Programa
Institucional de Asesoría del CCH Oriente, fueron alumnos tanto de segundo como de
cuarto semestre, dicho material les ayudo a comprender la construcción de las cónicas.
Así como a los alumnos del grupo 310 A y 320 B de Matemáticas II del CCH Oriente, en
el ciclo 2015-1.
Por un lado para los alumnos de segundo semestre, tuvieron una cultura general de las
cónicas y por otro lado construyeron la parábola, hipérbola y la elipse mediante doblado
de papel para tener herramientas necesarias para establecer la definición de cada una
de ellas como lugares geométricos.
En general éste material es de apoyo para introducir a los alumnos el tema de lugares
geométricos, Unidad II. Sistemas de coordenadas y lugares geométricos de la
asignatura de Matemáticas III del CCH y en tema, las cónicas, que pertenece a la
Unidad 7. Ecuación general de segundo grado de la Escuela Nacional Preparatoria
Discusión de resultados de la estrategia.
Las evidencias de aprendizaje fueron:
1. Las construcciones de la parábola, hipérbola y elipse en papel albanene.
Referencias:
1. CCH, Programa de Estudios de Matemáticas III, UNAM. Sin fecha. Consultado en
http://www.cch.unam.mx/sites/default/files/plan_estudio/mapa_estadistica.pdf
2. ENP. Programa de Estudios Matemáticas V, UNAM. Sin fecha.
3. CCH. Guía para el profesor de Matemáticas III. Subprograma de mejoramiento de la
enseñanza de las matemáticas. 2009
4. Galindo, Robles et al. (2006). Geometría y trigonometría. México. Editorial Umbral.
5. Swokowski, E & W, Cole, J, A. (2006). Algebra y trigonometría con geometría
analítica. México: Thomson.