Guía de problemas de repaso de programación lineal

Lic. Elda Gómez de Huck - Lic. Cristian Bergesse
U.T.N. Fac. Reg. Rafaela - Investigación Operativa
1
Trabajo Práctico con ejercicios de repaso
Asignatura: Investigación Operativa
Tema: Programación Lineal
Luego de haber resuelto los ejercicios propuestos por la Cátedra, te ofrecemos una serie de
problemas que te permitirán repasar el tema Programación Lineal. Consulta las respuestas
obtenidas en estos problemas. Te permitirá afianzar tus conocimientos.
EJERCICIO 1:
Shader Electronics Co. fabrica dos productos: (1) el Walkman Shader, un reproductor de
MP3 portátil y (2) el Shader Watch TV, un TV portátil en pantalla en miniatura de plasma. El
proceso de producción de ambos productos se asemeja en que los dos necesitan un cierto
número de horas de trabajo en el departamento de electrónica, y un cierto número de horas de
mano de obra en el departamento de montaje. Cada reproductor de MP3 necesita cuatro horas de
trabajo de electrónica y dos en el taller de montaje. Cada TV necesita tres horas de electrónica y
una en montaje. Durante el actual período de producción se dispone de doscientas cuarenta
horas en el departamento de electrónica y de cien horas en el de montaje. Cada reproductor de
MP3 vendido supone un beneficio de 70 dólares, mientras que para un TV el beneficio unitario
es de 50 dólares.
El problema de Shader es determinar la mejor combinación posible de MP3 y TV que debe
producir para alcanzar el máximo beneficio.
EJERCICIO 2:
Mark Cohen Chemicals, Inc. fabrica dos tipos de líquidos de revelado de fotografía. El
primero, un producto química para el revelado en blanco y negro, tiene un costo de producción
de 2500 dólares por tonelada. El segundo, un producto químico para el revelado en color, cuesta
3000 dólares por tonelada.
Basándose en el nivel actual de inventario y los pedidos pendientes de servir, el directo de
producción de Cohen ha especificado que, para el próximo mes, se deben producir al menos 30
toneladas de líquido para revelado en blanco y negro y 20 para el de revelado en color. Además,
el director ha constatado la existencia de un stock de materia prima altamente perecedero,
necesario para los dos productos, que debe utilizarse en los próximos treinta días. Con el objeto
de no desperdiciar una materia prima tan cara, Cohen debe producir al menos 60 toneladas de
líquido de revelado durante el próximo mes. Minimizar el costo usando la programación lineal.
EJERCICIO 3:
Memphis Chemical Corp. debe producir 1000 libras de una mezcla especial de fosfato y
potasio para un cliente. El fosfato cuesta 5 dólares por libra y el potasio, 6. No se pueden utilizar
más de 300 libras de fosfato ni menos de 150 libras de potasio.
Se desea formular el programa lineal que minimice el costo de la operación y convertir las
restricciones y la función objetivo de forma que pueda utilizarse el algoritmo simplex para
resolverlo.
EJERCICIO 4:
La granja de pavos Holiday Meal se está planteando la compra de dos tipos de alimento
para pavos. Cada alimento contiene en diferentes proporciones alguno o todos los ingredientes
nutricionales esenciales para el engorde de pavos. La marca Y cuesta 0,02 dólares por libra y la
marca Z cuesta 0,03 dólares por libra. El granjero desea determinar la dieta que, con un costo
mínimo, satisfaga las necesidades nutricionales mínimas de los pavos.
La tabla siguiente contiene la información relevante sobre las composiciones de las marcas
Y y Z, así como los requisitos nutricionales mensuales mínimos por pavo.
Lic. Elda Gómez de Huck - Lic. Cristian Bergesse
U.T.N. Fac. Reg. Rafaela - Investigación Operativa
Ingrediente
A
B
C
Costo por libra
2
COMPOSICIÓN POR LIBRA DE ALIMENTO
Marca Y
Marca Z
Requisitos mínimos
mensuales
5 onzas
10 onzas
90 onzas
4 onzas
3 onzas
48 onzas
0,5 onzas
0
1,5 onzas
0,02 dólares
0,03 dólares
EJERCICIO 5:
Ray Christiansen está tratando de determinar cuántas unidades de teléfonos móviles debe
producir cada día. Uno de ellos es el modelo estándar, el otro es el modelo de lujo. El beneficio
unitario del modelo estándar es de 40 dólares, mientras que el del modelo de lujo es de 60
dólares. Cada unidad requiere treinta minutos de tiempo de montaje. El modelo estándar
necesita diez minutos de tiempo de inspección y el de lujo necesita quince. La producción
mínimadebe ser de seis teléfonos. Se dispone de 450 minutos de montaje y 180 de inspección
cada día. ¿Cuántas unidades de cada producto deben fabricarse al día?
EJERCICIO 6:
La empresa de alimentos de perros John Bragg´s desea introducir una nueva marca de
galletas para perros, compuesta de una mezcla de galletas con sabor a pollo y de sabor a hígado
que cumplan ciertos requisitos nutricionales. Las de gusto a hígado tienen una unidad de
nutriente A y dos de B. Las de sabor a pollo tienen una unidad de nutriente A y cuatro de B. De
acuerdo con la normativa existente, debe haber al menos 40 unidades de nutriente A y 60 de B
en cada paquete de la nueva mezcla. Además, la empresa ha decidido que no dbe haber más de
15 galletas con sabor a hígado en cada paquete. Teniendo en cuenta que fabricar una galleta con
sabor a hígado cuesta 1 centavo (0,01 dólares) y que fabricar una con sabor a pollo cuesta 2
centavos, ¿cuál es la mezcla óptima de un paquete de galletas de manera que se minimice el
costo?
EJERCICIO 7:
Electrocompo Corp. fabrica dos aparatos eléctricos: aparatos de aire acondicionado y
grandes ventiladores. El proceso de ensamble de ambos productos es similar, dado que ambos
requieren cierta cantidad de cableado y taladrado. Cada aparato de aire acondicionado necesita
tres horas de cableado y dos horas de taladrado. Cada ventilador necesita dos horas de cableado
y una hora de taladrado. Durante el siguiente período de producción se dispone de 240 horas de
cableado y 140 de taladrado. Cada aparato de aire acondicionado aporta un beneficio unitario de
25 dólares, mientras que un ventilador supone un beneficio de 15 dólares.
Formular el problema de PL y encontrar la mejor combinación de aparatos de aire
acondicionado y ventiladores que lleve al mayor beneficio posible.
EJERCICIO 8:
Se desea fabricar dos nuevos modelos de computadoras. Se sabe que cada modelo sufre
tres procesos en el mismo orden durante su fabricación: matrizado de carcaza, soldado de
componentes y montaje final, disponiéndose de 30000, 18000 y 14000 minutos por mes para
cada proceso respectivamente.
De acuerdo a un pronóstico de ventas se determinó que solo se podrá vender 8000 unidades
de la computadora 1 y la cantidad máxima que se puede guardar en depósito de computadora 2
es de 6000 unidades.
El beneficio que ocasionará la venta de cada computadora 1 es de 200 dólares y de 125
dólares la venta de cada computadora 2.
Lic. Elda Gómez de Huck - Lic. Cristian Bergesse
U.T.N. Fac. Reg. Rafaela - Investigación Operativa
3
Además la computadora 1 utiliza por unidad 60 seg. 20 seg. y 24 seg. de matrizado,
soldado y montaje final, mientras que la computadora 2 utiliza respectivamente 30 seg., 20 seg.
y 20 seg. respectivamente.
Resolver. Interpretar los resultados y calcular disponibilidad ociosa de tiempo de cada
proceso.
EJERCICIO 9:
Una compañía que fabrica y vende tres líneas de raquetas de tenis: A, B y C: A es una
raqueta "estándar", B y C son raquetas "profesionales". El proceso de manufactura de las
raquetas hace que se requieran dos operaciones de producción; todas las raquetas pasan a través
de ambas operaciones: Cada raqueta requiere de 3 hs. de tiempo de producción en la operación
1. En la operación 2 la raqueta A requiere 2 hs. del tiempo de producción ; la raqueta B de 4 hs.
y la C, 5 hs. La operación 1 tiene 50 hs. de tiempo semanal de producción y la operación 2 tiene
suficiente mano de obra para operar 80 hs. semanales. El grupo de mercadotecnia ha proyectado
que la demanda de la raqueta estándar no será de más de 25 por semana. Debido a que las
raquetas B y C son de calidad similar, se ha pronosticado que la demanda combinada para éstas
será, en total, de 10 o más, pero no más de 30 por semana. La venta de la raqueta A da como
resultado $7 de utilidades, en tanto que la B y la C proporcionan utilidades de $8 y $8,50,
respectivamente.
Resuelva el problema e interprete todos los resultados.
EJERCICIO 10:
La Watts Manufacturing Company fabrica y vende radios de AM y de AM/FM. La
producción de un radio AM requiere 4 hs., en tanto que la fabricación de un radio AM/FM
requiere 6 hs.. En la planta existe un total disponible de 96 hs./hombre semanales para la
producción . Los administradores de la empresa han determinado que lo máximo que se puede
vender a la semana son 30 radios AM y 20 AM/FM. La contribución a las utilidades por cada
radio AM que se vende es de $6, y de cada radio AM/FM contribuye con $12 a las utilidades.
¿Qué cantidad de cada tipo de radio debe fabricar la compañía cada semana para maximizar sus
utilidades?.
EJERCICIO 11:
Una compañía fabrica tres tipos de válvulas de plástico que se utilizan en aviones. Las
válvulas se calientan a altas temperaturas y resisten elevadas presiones. El proceso de
manufactura que se utiliza para fabricar las válvulas exige que éstas pasen a través de tres
departamentos. La válvula N° 1 requiere tres horas de tiempo de producción en el departamento
N° 1, 2 hs. en el departamento 2 y 1 hora en el departamento 3. La válvula N°2 requiere cuatro
hs. en el dpto. 1, 1 hora en el dpto. 2 y 3 hs. en el dpto. 3. La válvula N° 3 requiere 2 hs. de
tiempo de producción en el dpto. N° 1, 2 hs. en el dpto. 2 y 2 hs. en el dpto.3. Los márgenes de
contribución de las tres válvulas son $50, $84 y $60 por unidad, respectivamente. Existen
disponibles 60 hs. disponibles de tiempo en el dpto. 1, 36 en el dpto.2 y 62 en el dpto.3.
a) Se desea saber la cantidad de válvulas de cada tipo que se deben fabricar a fin de
maximizar las utilidades.
b) Dar la solución e interpretar
EJERCICIO 12:
Un comprador está tratando de seleccionar la combinación más barata de dos alimentos,
que debe cumplir con ciertas necesidades diarias de vitaminas. Los requerimientos vitamínicos
son de por lo menos 40 unidades de vitamina W, 50 unidades de vitamina X y 49 unidades de
vitamina Y. Cada onza de alimento A proporciona 4 unidades de vitamina W, 10 unidades de
vitamina X y 7 unidades de vitamina Y; cada onza de alimento B proporciona 10 unidades de
Lic. Elda Gómez de Huck - Lic. Cristian Bergesse
U.T.N. Fac. Reg. Rafaela - Investigación Operativa
4
W, 5 unidades de X y 7 unidades de Y. El alimento A cuesta 5 centavos la onza y el B cuesta 8
centavos la onza. Además la cantidad de alimento A a adquirir debe ser el doble más 1 unidad
que la del alimento B.
Resolver por el Método Simplex e interpretar.
EJERCICIO 13:
La H.R. fabrica fertilizantes especiales para clientes del mercado de cítricos. La compañía
acaba de recibir un pedido de 1000 toneladas de un fertilizante que debe satisfacer las siguientes
especificaciones:
a)
cuando menos 20 % de nitrógeno
b)
cuando menos 30 % de potasio
c)
cuando menos 8 % de fosfato
La compañía ha adquirido cuatro mezclas de fertilizantes a partir de los cuales puede
fabricar sus fertilizantes especiales. Los porcentajes de potasio, nitrógeno y fosfato que
contienen los fertilizantes básicos son:
Fertilizante
Básico
Nitrógeno
Porcentaje de
Potasio
fosfato
1
40
20
10
2
30
10
5
3
4
20
5
40
5
5
30
El porcentaje restante de cada fertilizante básico consta de ingredientes inertes. Los costos
de los fertilizantes básicos respectivos son: $16, $12, $15 y $8 por tonelada.
Plantear el problema directo.
EJERCICIO 14:
Una fábrica de aceites industriales se especializa en la fabricación de dos tipos de aceites
SAE40 y SAE90. En la tabla se muestran los requerimientos de producción, la demanda diaria y
las utilidades por galón asociadas para los dos tipos de aceite de la fábrica. La operación de la
producción en la planta se limita a 8 hs. diarias y tiene una capacidad máxima de
almacenamiento de 1000 galones por día. A la fábrica le gustaría determinar qué volumen diario
de producción de los dos aceites maximiza sus utilidades.
Producto
SAE40
Requerimiento de
producción (tiempo
de producción por
galón)
0.005 por hora
SAE90
0.010 por hora
Demanda
diaria
No
especificado
Al menos 400
galones
Utilidades (por
galón)
$ 10
$ 15
Resolver por el Método Simplex. Interpretar.
EJERCICIO 15:
Una fábrica de colchones fabrica tres tipos de colchones: matrimonial, “King-size” e
individual. Los tres tipos se fabrican en dos plantas diferentes y en un día hábil normal la planta
Lic. Elda Gómez de Huck - Lic. Cristian Bergesse
U.T.N. Fac. Reg. Rafaela - Investigación Operativa
5
1 fabrica 50 colchones matrimoniales, 80 “King-size” y 100 individuales. La planta 2 fabrica 60
colchones matrimoniales, 60 “Kin-size” y 200 individuales. El gerente de mercadotecnia ha
proyectado la demanda mensual mínima de los tres tipos de colchones y calcula que será de
2500, 3000 y 7000 unidades respectivamente. Los contadores de la compañía indican que el
costo diario de operación de la planta 1 es de $2500, mientras que el costo para la planta 2 es de
$3500 diarios. Se desea minimizar el costo total de producción y satisfacer la demanda mensual.
Resolver por el Método Simplex.
EJERCICIO 16:
Una compañía de TV produce dos tipos de equipos para televisión, el Astro y el Cosmo.
Hay dos líneas de producción, una para cada tipo de televisor, y dos departamentos; ambos
intervienen en la producción de cada aparato. La capacidad de la línea de producción Astro es
de 70 televisores diarios y la de la línea Cosmo es de 50. En el departamento A se fabrican los
cinescopios. En este departamento los televisores Astro requieren 1 hora de trabajo y los
Cosmo, 2. Actualmente, en el departamento A se puede asignar un máximo de 120 hs. de
trabajo por día a la producción de ambos tipos de aparatos. En el departamento B se construye el
chasis. En este departamento los televisores Astro requieren una hora de trabajo, igual que los
Cosmo. En la actualidad se puede asignar un máximo de 90 hs. de trabajo diarias al
departamento B para la producción de ambos tipos de televisores. La utilidad por aparato es de
200 y 100 dólares respectivamente, por cada aparato Astro y Cosmo.
La compañía pude vender todos los aparatos que se produzcan. Resolver gráficamente.
EJERCICIO 17:
Una lata de 16 onzas de alimento para perros debe contener proteínas, carbohidratos y
grasas en las siguientes cantidades mínimas: proteínas, 3 onzas; carbohidratos, 5 onzas; grasas,
4 onzas. Se va a mezclar 4 tipos de combinaciones de cereal en diversas proporciones para
producir una lata de alimento para perro que satisfaga los requerimientos al costo mínimo. Los
contenidos y precios de 16 onzas de cada combinación se dan en la siguiente tabla:
CONTENIDOS Y PRECIOS POR 16 ONZAS DE CEREAL
ALIMENTO
Contenido de
proteínas (onzas)
1
2
3
4
3
5
2
3
Contenido de
carbohidratos
(onzas)
7
4
2
8
Contenido de
grasas (onzas)
Precio
($)
5
6
6
2
4
6
3
2
Plantear y balancear el problema
EJERCICIO 18:
En una fábrica de medias, se desea analizar la operación de un sector integrado por tres
equipos: E1, E2 y E3, donde se procesan los productos L, P y M.
Los tiempos de proceso de cada producto en cada equipo se indican en la tabla adjunta,
expresados en minutos de equipos por docena de producto.
producto
equipo
L
P
M
1
48
48
18
2
36
72
3
36
6
48
Lic. Elda Gómez de Huck - Lic. Cristian Bergesse
U.T.N. Fac. Reg. Rafaela - Investigación Operativa
6
Se ha determinado además la disponibilidad mensual de cada uno de los equipos, esta
importa respectivamente, 160, 180 y 120 horas.
Asimismo, se estima en 100 docenas mensuales la cantidad demandada máxima del
producto L y en 120 docenas mensuales la cantidad demandada máxima del producto P. No
existe restricción de mercado con respecto al producto M.
La utilidad de cada producto es de $ 50 /docena de L, $ 40 /docena de P y $ 30/docena de
M.
Se desea determinar el programa de producción mensual que maximice la utilidad de la
fábrica.
EJERCICIO 19:
Una compañía manufacturera de propiedad privada que se especializa en la fabricación de
barniz industrial desea determinar qué volumen diario de producción de dos barnices (brillante y
normal) maximizará sus utilidades.
Se sabe que la operación de producción en la planta se limita a 8 hs. diarias y que sólo se
está permitido fabricar 1000 galones en total de barniz.
El barniz “brillante” necesita 0.005 hs. de producción por galón y el “normal” necesita
0.010 hs. por galón.
El barniz “normal” tiene una demanda diaria de 400 galones o más.
La utilidad por galón del barniz “brillante” es de $10 y del “normal” de $ 15.
EJERCICIO 20:
Jhon DeBruzzi, director de marketing de Diversey Paint and Supply, cadena de cuatro tiendas de
bricolage del lado norte de Chicago, está considerando dos posibilidades de publicidad. La primera
consiste en una serie de anuncios de media página, los domingos, en el periódico Chicago Tribune y la
segunda en anuncios en la TV local de Chicago. Las tiendas están ampliando sus secciones de "Hágalo
usted mismo", por lo que Jhon está interesado en un nivel de exposición de al menos el 40% en la ciudad
y un 60% en las áreas suburbanas del noroeste.
El tiempo de TV que se está considerando representa un ratio de exposición del 5% por anuncio en
la ciudad y un 3% en los suburbios. El periódico del domingo aporta un ratio de exposición del 4% y del
3% por anuncio. El costo de un anuncio a media página el domingo en el Chicago Tribune es de 925
dólares, mientras que un anuncio televisivo cuesta 2000 dólares.
Se desea obtener la estrategia de publicidad de menor costo que satisfaga los niveles de exposición
mencionados. Formular y resolver este problema de PL.
EJERCICIO 21:
Una empresa automotriz está equipada para producir automóviles y camiones. Su planta
fabril está organizada en cuatro departamentos: estampado, montaje de motores, línea de
montaje de automóviles y línea de montaje de camiones.
La capacidad de producción de cada departamento está limitada de la siguiente forma:
Estampado, puede producir 25000 automóviles ó 35000 camiones por año.
Montaje de motores, 33333 automóviles ó 16667 camiones por año.
Línea de Montaje de automóviles, 22500 unidades por año.
Línea de Montaje de camiones, 15000 unidades por año.
Por otra parte, se desea producir como mínimo 12000 automóviles y 8000 camiones por
año, estimándose en 18000 unidades la cantidad demandada máxima anual de automóviles.
El margen de beneficios es de 15000 $/automóvil y de 12500 $/camión.
Se desea conocer el plan de producción que haga máximo el margen total de beneficios.