Lección 8

Lección 8. Circuitos de corriente alterna.
19
4.- Respuesta en frecuencia de los circuitos de
corriente alterna. Filtros. Resonancia.
En los circuitos de corriente alterna amplitud y la fase de las tensiones a
extremos de los componentes y la intensidades en las ramas, serán funciones de la
frecuencia en el caso más general. Por tanto,. En general los circuitos de corriente
alterna proporcionaran distintas respuestas para señales de diferente frecuencia.
Puede ocurrir, por ejemplo, que un circuito alimentado con un generador de 100 V de
tensión de pico y una frecuencia de 100 Hz de una salida mucho mayor que si el
generador es de la misma tensión pero con una frecuencia mucho mayor. Cuando
estudiamos cómo varía la respuesta de un circuito cuando variamos la frecuencia de la
señal de entrada, decimos que estamos estudiando la respuesta en frecuencia del
circuito.
Para analizar la respuesta en frecuencia de un circuito se define la Función de
Transferencia como el cociente entre la amplitud de la señal de entrada (VS) y la
amplitud de la señal de salida (Vo o VS) que será, en general, una función de variable
compleja.
Para representar gráficamente la respuesta en frecuencia de un sistema se
utilizan los Diagramas de Bode, que representan tanto la amplitud como la fase de la
función de transferencia en función de la frecuencia, en concreto representan:
• 20 log|T(ω)| en función de logω
• La fase δ(ω) de la función de transferencia en función de logω
Con relación a esto, conviene definir lo siguiente: Sea H una magnitud
cualquiera; si esta magnitud la expresamos como 20log(H) se dice que esta magnitud
está expresada en decibelios (dB). (Si la magnitud H es la potencia su valor en
decibelios es 10logH). Dadas dos frecuencias ω1 y ω2 decimos que su diferencia es
una década cuando ω2 = 10ω1, o, lo que es lo mismo, que logω2 - logω1 = 1.
Para fijar estos conceptos, en el ejemplo 4, construiremos los diagramas de
Bode de las
funciones de transferencia obtenidas en un circuito RC cuando
consideramos las salida a extremos del condensador o a extremos de la resistencia.
De esta forma veremos que el circuito RC puede actuar como filtro de frecuencias. Se
denomina filtro a cualquier sistema capaz de actuar de forma diferente sobre distintas
bandas de frecuencia. Los filtros que permiten pasar las señales de frecuencias bajas y
eliminan o atenúan las altas se denominan filtros pasa–baja los que permiten el paso de
Apuntes de Fundamentos Físicos de la Informática. (© Dr. J. García Rubiano)
20
Lección 8. Circuitos de corriente alterna.
las altas frecuencias se denominaran filtros pasa–alta, en general los filtros se diseñan
para permitir el paso de un determinado rango de frecuencias y se denominaran filtros
pasa–banda (por ejemplo un circuito RLC). Concretamente, si en el circuito RC tomamos
la salida a extremos del condensador se comportará como un filtro pasa–baja, mientras
que si tomamos la salida a extremos de la resistencia, el sistema se comportará como un
filtro paso–alta.
VR
Ejemplo 4. En el circuito de la figura, construir
los diagramas de Bode de amplitud y de fase.
a) Cuando la salida se toma por condensador.
vs (t)
I
VC
b) Cuando la salida se toma por la resistencia.
En el circuito de la figura la tensión que
proporciona la fuente es de la forma:
v S ( t ) = Vm cos ωt
aplicando la 1ª ley de Kirchhoff en forma fasorial:
VS = V R + VC = (Z R + Z C )I ⇒ I =
Vm
=
R + ZC
1
1
R+
jω C
=
jω C
Vm
1 + jωRC
con lo que, expresando el fasor de intensidad en forma módulo–fase:
I=
ωCVm
1 + ( ωRC ) 2
π

 − arctg (ωRC ) 
2

e
y así
i( t ) =
ωCVm
π


cos ωt + − arctg (ωRC ) .
2


1 + ( ωRC )2
Podemos calcular fácilmente la tensión a extremos de la resistencia a partir de
la relación vc(t) = RI(t). En efecto:
vR ( t ) =
ωRCVm
1 + (ωRC )2
π


cos ωt + − arctg (ωRC )
2


Para calcular la tensión a extremos del condensador simplemente aplicamos
que VC = ZCI de forma que
VC =
Vm
Vm
1
jωC
Vm =
e − j arctg (ωRC )
⇒ VC =
2
jωC 1 + jωRC
1 + jωRC
1 + (ωRC )
Apuntes de Fundamentos Físicos de la Informática. (© Dr. J. García Rubiano)
21
Lección 8. Circuitos de corriente alterna.
y así, finalmente:
vC ( t ) =
VS
1 + (ωRC )
2
cos(ωt − arctg (ωRC )) .
Vemos que tanto la amplitud como la fase de la tensión a extremos de la
resistencia y de la tensión a extremos del condensador dependen de la frecuencia ω.
De esta forma tendremos, según tomamos la salida a extremos del condensador o de
la resistencia, las siguientes funciones de transferencia:
TC (ω) =
VC
1
1
e (− j arctg (ωRC )) =
=
2
VS
1 + (ωRC )
1 + ωωc
( )
2
e
ω
V
ωRC
j ( π − arctg (ωRC ))
ωc
TR (ω) = R =
e 2
=
2
VS
1 + (ωRC )
1 + ωωc
( )
2
e
− j arctg
(
( )
j π2 − arctg
ω
ωc
( ))
ω
ωc
donde se ha definido ωC = 1/RC
La frecuencia ωC se denomina frecuencia de corte y como se puede comprobar
cuando ω = ωC la tensión de salida es 1/ 2 veces la tensión de entrada. Es uno de los
parámetros característicos de un filtro y se puede considerar la frecuencia límite de la
banda de frecuencias que pasan. Para los filtros de paso banda es necesario definir unas
frecuencias de corte inferior ωCL y superior ωCH que constituirán los límites de la banda de
paso. En este caso el intervalo de frecuencias entre ωCL y ωCH e denomina Ancho de
Banda. En las gráficas siguientes se muestran los diagramas de Bode de amplitud y fase
para un filtro RC de paso–baja. En la simulación se han utilizado los siguientes valores R
= 500 Ω y C = 330 nF. Se ha tomado un rango de frecuencias desde 100 Hz a 1 MHz
0.0E+0
20log|T(j )| (dB)
-1.0E+2
-2.0E+2
-3.0E+2
Diagrama de Bode de Amplitud
Filtro RC Paso - Baja
-4.0E+2
-5.0E+2
1.0E+2
1.0E+3
1.0E+4
1.0E+5
log
Apuntes de Fundamentos Físicos de la Informática. (© Dr. J. García Rubiano)
1.0E+6
22
Lección 8. Circuitos de corriente alterna.
Fase (Rad)
0.0E+0
-5.0E-1
-1.0E+0
Diagrama de Bode de fase
Filtro RC Paso - Baja
-1.5E+0
1.0E+1
1.0E+2
1.0E+3
1.0E+4
1.0E+5
1.0E+6
log
Los diagramas de Bode de amplitud y fase para el circuito RC con salida por la
resistencia se construyen de forma similar y en este caso corresponderán a un filtro de
paso–alta.
Un fenómeno que puede darse en los circuitos de corriente alterna es la
resonancia que consiste en la aparición de una respuesta máxima del circuito cuando
lo excitamos con una fuente de una frecuencia determinada. Esta frecuencia, que sólo
depende de las características eléctricas del circuito, se denomina frecuencia de
resonancia ωR.
Ejemplo 5. Determinar la frecuencia de
resonancia para el circuito RCL serie.
L
C
La frecuencia de resonancia es la
que provoca que la amplitud de la tensión
vs(t
)
R
vo(t)
de salida sea máxima.
Según hemos visto en el ejemplo 1, el fasor de tensión a extremos de la
resistencia en el circuito RLC serie esta dado por:
V 
RVS
V R = RI = R S  =
=
 Z T  R + j  ωL − 1 
ωC 

siendo ϕ ZT
1

 ωL −
ω
C
= arctg 

R








RVS
1 

R 2 +  ωL −

ωC 

2
e
− jϕ Z T
la fase de la impedancia total ZT. Con lo cual la salida en
función del tiempo es
Apuntes de Fundamentos Físicos de la Informática. (© Dr. J. García Rubiano)
23
Lección 8. Circuitos de corriente alterna.
vo (t ) =
RVS
1 

R 2 +  ωL −

ωC 

2
(
cos ωt − ϕ ZT
)
Evidentemente la amplitud será máxima cuando el denominador de la amplitud
en la expresión anterior sea mínimo, (es decir cuando el módulo de la impedancia total
sea mínimo). Esto ocurre cuando la frecuencia del generador es tal que se cumple
1 
1
1

⇒ ω2 =
 ωL −
 = 0 ⇒ ωL =
LC
ωC 
ωC

con lo cual la frecuencia de resonancia es:
ωR =
1
LC
Vemos que, en resonancia, la amplitud de la señal de salida es igual que la amplitud
de la señal de entrada. Además, ambas señales están en fase, ya que:
0
ϕ ZT (ω = ω R ) = arctg   = 0
R
Comprobamos, además, que la frecuencia de resonancia depende sólo de
características del circuito (en este caso de L y C).
En la figura mostramos, para el
circuito RLC del ejemplo, el módulo de la
impedancia total del circuito y la amplitud
Vo
de la tensión de salida. Como vemos a
bajas frecuencias la impedancia es alta
porque domina el término 1 ωC
condensador
que
va
del
perdiendo
importancia a medida que la frecuencia
|ZT|
aumenta.
ωR
A altas frecuencias domina el término inductivo Lω de forma que en la zona
intermedia entre ambos comportamientos hay un mínimo a la frecuencia de resonancia
que se corresponde con un máximo de la amplitud de salida.
Apuntes de Fundamentos Físicos de la Informática. (© Dr. J. García Rubiano)
24
Lección 8. Circuitos de corriente alterna.
5.- Potencia en los circuitos de corriente alterna.
Como hemos visto en lecciones anteriores, la potencia eléctrica es la energía
que se transfiere a un elemento por unidad de tiempo. Esta energía transferida puede
ser almacenada por el elemento o disiparla transformándola en energía térmica. En el
primer caso la energía almacenada suele ser devuelta de nuevo por el elemento.
Recordemos que la expresión de la potencia es:
P = v ⋅i
[8.49]
En el caso de la corriente continua vimos que esta magnitud es constante en el
tiempo. En el caso de la corriente alterna, el producto v(t ) ⋅ i (t ) es variable con el
tiempo y se denomina potencia instantánea P (t ) .
Si consideramos una impedancia Z (que puede ser una resistencia, una bobina
un condensador o una asociación de estos elementos) la tensión a extremos de la
impedancia y la intensidad que circula por ella estarán, en general, desfasados una
cierta cantidad ϕ de forma que la potencia instantánea valdrá:
P(t ) = v(t )i(t ) = Vm cos ωtI m cos(ωt + ϕ) [8.50]
vab(t)
a
b
Z
Generalmente la magnitud que interesa es la
i(t)
potencia media en un periodo, que será:
P(t ) = Vm I m cos ωt cos(ωt + ϕ) = Vm I m cos ωt [cos ωt cos ϕ − sen ωt sen ϕ] =
[
]
[
= Vm I m cos ϕ cos 2 ωt − sen ϕ cos ωt sen ωt = Vm I m cos ϕ 21 − 0
]
con lo cual
Pa = P(t ) = 21 Vm I m cos ϕ = Vef I ef cos ϕ
[8.51]
esta cantidad representa la potencia neta que se transfiere para producir trabajo o ser
disipada en forma de calor y se denomina por ello Potencia Activa (Pa). A cosϕ se le
llama Factor de Potencia. Para los elementos pasivos el factor de potencia toma los
siguientes valores:
Resistencia:
ϕ = 0 ⇒ cos ϕ = 1
[8.52]
Bobina:
ϕ = − π2 ⇒ cos ϕ = 0
[8.53]
Condensador:
ϕ = + π2 ⇒ cos ϕ = 0
[8.54]
Apuntes de Fundamentos Físicos de la Informática. (© Dr. J. García Rubiano)
25
Lección 8. Circuitos de corriente alterna.
Que nos indica que la potencia activa disipada por una bobina o un
condensador es cero (resultado que ya conocíamos). Que la potencia activa sea nula
significa que en estos elementos durante medio periodo almacenan energía y durante
otro medio periodo la devuelven al resto del circuito. La potencia disipada por una
resistencia corresponde al valor máximo permitido para el factor de potencia. Al valor
máximo de la potencia se le denomina Potencia Aparente (PQ).
PQ = máx P(t ) = 21 Vm I m = Vef I ef
[8.55]
Para tratar el almacenamiento de energía en los elementos reactivos
(condensador y bobina) –es decir para aquellos para los que la potencia activa es nula
se define la magnitud Potencia Reactiva (PR) que representa el valor de la energía
almacenada promediada durante el tiempo en el cual se almacena.
PR = 21 Vm I m sen ϕ = Vef I ef sen ϕ
[8.56]
siendo ϕ de nuevo el desfase entre la intensidad y la tensión. En el caso particular del
circuito RLC serie se cumple que
ϕ(ω) = −ϕ ZT
 Lω − 1

ωC 
= − arctg 

R



[8.57]
de forma que se cumplirá que si el circuito está en resonancia ϕ(ω R ) = 0 ⇒ cos ϕ = 1
con lo que la potencia disipada en este caso será máxima.
Ejemplo 6. Calcular la potencia activa y
reactiva suministradas por la
VR
fuente en el
circuito RC de la figura.
Datos: R=500 Ω; C=100 nF ; f=1 kHz y la
amplitud de la fuente de tensión es de 10 V.
vs (t)
I
VC
Según estos datos, la tensión de entrada es:
(
)
v s (t ) = 10 cos 2 π × 10 3 t V
Para calcular la potencia suministrada por la fuente a la impedancia formada
por la asociación de la resistencia y el condensador debemos determinar la corriente
que circula por el circuito. Esta será:
Apuntes de Fundamentos Físicos de la Informática. (© Dr. J. García Rubiano)
26
Lección 8. Circuitos de corriente alterna.
V
VS
VS
I= S =
=
=
1
2 2
 1 
1  
Z 
j
arctg
−


 1  
R − j

2
 ωRC 
  e
ωC   R + 

 ωC  

VS
 1 
R2 + 

 ωC 
2
e
 1 
j arctg 

 ωRC 
por tanto:
I=
10V
(10 Ω)
2
3
1


+

3
−9
 2π ×10 rad / s ×100 × 10 F 
2
e

1
j arctg 

 2 π×103 Rad / s ×103 Ω×100×10 − 9 F 
(
⇒
)
I = 0.006e j1.27 A ⇒ i(t ) = 0.006 cos 2π × 10 3 t + 1.27 A
Como ya conocemos la intensidad máxima y el desfase entre la intensidad y la
tensión, podemos calcular la potencia
0.006 A

≈ 0.004 A = 4 mA

2
2

Vm 10 V
  Pa = I ef Vef cos ϕ = 0.009 W
=
≈ 7.07 V
Vef =
⇒
2
2
  PR = I ef Vef sen ϕ = 0.027 W
cos ϕ = cos(1.27 ) ≈ 0.3; sen ϕ = sen(1.27 ) ≈ 0.96


I ef =
Im
=
La potencia aparente es el máximo de la potencia activa:
PQ = I ef Vef ≈ 0.028 W
6.- El transformador
El transformador ideal es un dispositivo que permite modificar la tensión de un
circuito de corriente alterna, y por tanto la corriente, sin pérdida de potencia en el
proceso. Está formado por un núcleo de material ferromagnético con una elevada
permeabilidad sobre el que se arrollan dos bobinas como se muestra en la figura.
I1
ε(t)
V1
Apuntes de Fundamentos Físicos de la Informática. (© Dr. J. García Rubiano)
V2
27
Lección 8. Circuitos de corriente alterna.
Si en la bobina 1 (circuito primario) circula una corriente alterna de valor eficaz
I1, de acuerdo con la Ley de inducción de Faraday se genera una caída de tensión en
la bobina que viene dada por:
V1 = − N 1
dΦ m
dt
donde Φm es el flujo del campo magnético (producido por I1) que atraviesa cada espira
y N1 el número de espiras del primario.
El material magnético de alta permeabilidad confina las líneas de campo
magnético de forma que, si despreciamos los efectos de la histéresis magnética, el
flujo por espira del secundario es el mismo que en el primario. Aplicando la Ley de
inducción de Faraday, el flujo magnético variable en el secundario induce una fuerza
electromotriz que viene dada por:
V2 = − N 2
dΦ m
dt
De las expresiones anteriores es evidente que la tensión de salida se obtendrá
a partir de la relación:
V2 =
N2
N
V1 = − 2 ε
N1
N1
Donde se ha tenido en cuenta que la fem V1 inducida en el primario es opuesta
(en fase) a la fem del generador. Por tanto, un transformador ideal transforma la
tensión de entrada en una de salida de la misma forma, cuya amplitud depende de la
relación entre el número de espiras del primario y del secundario. Al cociente
n=
N2
N1
se le denomina relación de transformación. Según la relación de transformación los
transformadores se clasifican en
•
N2>N1 ⇒ n>1: Transformador elevador.
•
N2<N1 ⇒ n<1: Transformador reductor.
•
N2=N1 ⇒ n=1: Transformador de acoplo.
Cuando se conecta al secundario una resistencia de carga circulará por el
mismo una intensidad I2.
Apuntes de Fundamentos Físicos de la Informática. (© Dr. J. García Rubiano)
28
Lección 8. Circuitos de corriente alterna.
I2
I1
ε(t)
RL
V1
V2
Si el transformador es ideal, la ley de conservación de la energía exige que la
potencia suministrada por el primario sea igual que la recogida por el secundario. Así
se cumplirá
P = V1 I 1 = V2 I 2 ⇒ I 2 = −
N1
1
I1 = − I1
N2
n
que es la ley de transformación de intensidades. Además, como se cumple que
I2 =
V2
RL
podemos relacionar estas cantidades con la tensión e intensidad del circuito primario:


ε

 ⇒ I1 =
V2
1 N2 
(N1 N 2 )2 R
=−
ε
RL
RL N1 
I2 = −
N1
I1
N2
de forma que la corriente I1 es la misma que si conectásemos una resistencia
(N1
N 2 ) R al generador. Este efecto se denomina transformación de impedancias
2
puesto que en general se conecta la bobina secundaria de forma de alguna
combinación de capacidades, bobinas y resistencias con una impedancia Z.
Como elemento de circuito un transformador se simboliza por:
que como vemos es un elemento de cuatro terminales (cuadripolo).
Ejemplo: Un transformador tiene 400 vueltas en el primario y 8 en el secundario.
a)
¿Es un transformador elevador o reductor?. Determine la relación de
transformación.
Apuntes de Fundamentos Físicos de la Informática. (© Dr. J. García Rubiano)
29
Lección 8. Circuitos de corriente alterna.
b)
SI se conecta el primario a una fem de tensión máxima 110 V, ¿cuál es la
tensión en circuito abierto que aparece en el secundario.
c)
Si la corriente en el primario es de 0.1 A de máxima, ¿cuál es la corriente el
secundario admitiendo que existe una corriente de imanación despreciable y que
no hay pérdidas de potencia?. Determinar la resistencia que se ve desde los
terminales de entrada (primario).
Solución
a) En este transformado N2<N1 luego es transformador reductor. La relación de
transformación es:
n=
N2
8
=
= 0.02
N 1 400
b) La tensión del secundario está dada por
V2 = −
N2
ε = −0.02 × 110V = −2.2 V
N1
en este caso el signo menos lo que indica es que la fem del generador y la fem
inducida en el secundario están en oposición de fase.
c) Si el transformador es ideal se cumplirá que:
I2 = −
N1
400
I1 = −
× 0.1 A = −5 A
8
N2
como vemos al aumentar al disminuir la tensión en el secundario aumenta la
intensidad de forma que la potencia permanezca constante. Desde los terminales de
entrada la se ve una resistencia (resistencia de entrada) dada por:
Rin =
R
ε
= ( N 1 N 2 )2 RL = 2L
I1
n
pero no conocemos la resistencia de carga. Es sencillo determinarla teniendo en
cuenta que
I2 =
V2
V
− 2.2 V
⇒ RL = 2 =
= 0.44 Ω
RL
I2
−5A
de forma que:
Rin =
RL
n
2
=
0.44 Ω
(0.02 )2
= 1110 Ω
con lo que la pequeña resistencia de carga se multiplica debido al transformador.
Apuntes de Fundamentos Físicos de la Informática. (© Dr. J. García Rubiano)