INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CHETUMAL CUADERNILLO DEL CURSO DE NIVELACIÓN 2014 PARA LAS CARRERAS DE: INGENIERÍA CIVIL INGENIERÍA ELÉCTIRCA INGENIERÍA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES INGENIERÍA EN TECNOLOGIAS DE INFORMACIÓN Y COMUNICACIONES LIC. EN BIOLOGÍA LIC. EN ARQUITECTURA ING. EN GESTIÓN EMPRESARIAL. A LOS ESTUDIANTES El presente Curso de Nivelación forma parte del ingreso al Instituto Tecnológico de Chetumal y está dirigido a los aspirantes que han sido aceptados en las carreras de licenciatura. El objetivo del curso es profundizar y aumentar los conocimientos matemáticos que se estudian en las distintas Instituciones de Educación Media Superior, de manera que todos los estudiantes puedan acceder a los primeros semestres de su carrera con un adecuado nivel de conocimientos y de dominio, tanto en los conceptos como en los métodos matemáticos y lograr un mejor desempeño académico durante su formación profesional. Para realizar el repaso de estos tan necesarios conocimientos, que se utilizan en las materias de las distintas carreras, se trabaja con las nociones básicas. En cada tema tratado se incluyen ejercicios resueltos que el estudiante deberá desarrollar y comparar sus resultados con los aquí presentados. Para lograr terminar su carrera profesional, es indispensable que el estudiante verdaderamente lo desee y este convencido de realizar el esfuerzo para estudiar y adquirir los conocimientos necesarios de su profesión. Este curso es el primer paso para lograr esta meta. Bienvenido al Instituto Tecnológico de Chetumal. Índice TEMA I: ALGEBRA 1 EXPONENTES 1.1 LEYES DE LOS EXPONENTES 2.1 2.2 2.3 2.4 BINOMIO AL CUADRADO BINOMIO AL CUBO BINOMIOS CONJUGADOS BINOMIOS CON UN TERMINO COMUN 2 PRODUCTOS NOTABLES 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.4.1 3.4.2 3.5 3.6 3.7 3.8 FACTORIZACION FACTOR COMUN FACTOR COMUN POR AGRUPACION DE TERMINOS TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POLINOMIO DE LA FORMA ax2 + bx + c CUANDO a =1 CUANDO a ≠ 1 DIFERENCIA DE CUADRADOS SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS METODO DE EVALUACION (DIVISIÓN SINTÉTICA) FACTORIZACIÓN TOTAL. MISCELÁNEA DE LOS CASOS 4 FRACCIONES ALGEBRAICAS 4.1 SIMPLIFICACION DE FRACCIONES ALGEBRAICAS 4.2 MINIMO COMÚN MÚLTIPLO Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR 4.3 OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS 4.3.1 SUMA Y RESTA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS 4.3.2 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS 5 RADICALES 5.1 SIMPLIFICACION DE RADICALES 5.2 RACIONALIZACION DE RADICALES 5.2.1 CASO I: EL DENOMINADOR ES UN MONOMIO 5.2.2 CASO II: EXPRESIONES CONJUGADAS 5.2.3 CASOS ESPECIALES: RACIONALIZAR EL NUMERADOR 6 GRAFICACIÓN DE RECTAS. SOLUCIÓN DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 6.1 GRAFICACIÓN DE RECTAS 6.2 SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 7 ECUACIONES CUADRÁTICAS 8 DESPEJE DE FÓRMULAS Y REGLA DE TRES SIMPLE 3 3 3 5 5 6 6 6 7 7 9 10 12 12 12 14 14 16 17 20 21 22 26 26 28 30 30 31 31 32 33 34 34 35 36 37 TEMA I: ALGEBRA 1.-EXPONENTES Exponentes enteros Los exponentes enteros son una forma de expresar la multiplicación de una expresión por sí misma un número determinado de veces. n Definición: 𝐚𝐧 = 𝐚 ∗ 𝐚 ∗ 𝐚 … 𝐚 a aaa a n veces A la letra a se le llama la base y a la letra n se le llama exponente. Veamos algunos ejemplos 𝟐𝟑 = 𝟐 ∗ 𝟐 ∗ 𝟐 Base 2, exponente 3 𝟓𝟕 = 𝟓 ∗ 𝟓 ∗ 𝟓 ∗ 𝟓 ∗ 𝟓 ∗ 𝟓 ∗ 𝟓 Base 5, exponente 7 𝐲𝟔 = 𝐲 ∗ 𝐲 ∗ 𝐲 ∗ 𝐲 ∗ 𝐲 ∗ 𝐲 Base y, exponente 6 1.1.-LEYES DE EXPONENTES: Las leyes de exponentes nos permiten evaluar y simplificar expresiones matemáticas. La tabla siguiente nos ilustra cuales son: DESCRIPCIÓN 1) Producto de dos factores con igual base 2) Producto de dos factores elevado a un exponente 3) El cociente elevado a un exponente ILUSTRACIÓN DE LA LEY EXPRESIÓN n m a a =a a3 a4 = (a ∗ a ∗ a)(a ∗ a ∗ a ∗ a) =a∗a∗a∗a∗a∗a∗a = a7 3 (a b) (a b) (a b) (a b) n+m (a ∗ b)n = an ∗ bn n n a a n b b a b 5 4)Expresión exponencial elevado a su vez a un exponente 5) El cociente de dos expresiones exponenciales 6) Cero como exponente donde a0 7) Exponentes enteros negativos a 5 (a n )m a nm 2 (a a a)(b b b) a 3 b3 a a a a a b b b b b aaaaa bbbbb a5 b5 a a a a a 2 a a a a a aaaaaaaaaa a10 a6 aaaaaa 4 a aaaa aa an a nm m a a2 a2 a a a2 a a a0 1 an 1 an a2 aa 1 a 5 3 a aaaaa a 3 2 EJEMPLOS: Simplifique la expresión Ejemplo 1: 27y 9 z 6 3y 4 z 2 Observe que para resolver este tipo de expresión algebraica utilizaremos la ley #5 y propiedades de la multiplicación de expresiones racionales. Solución: −9y 5 z 4 Ejemplo 2: (8x 2 y)(4xy 2 )(2x 5 y 3 ) Solución: (8 ∗ 4 ∗ 2)(x 2 ∗ x1 ∗ x 5 )(y1 ∗ y 2 ∗ y 3 ) = 64x 8 y 6 Ejemplo 3: Determina el valor numerico de la expresion 34 ∗ 35 Solución: 34 ∗ 35 = 34+5 = 39 Ejemplo 4: Determina el valor numérico de 517 − 12 5 Solución: 517 − 12 = −517−12 = −55 5 Ejemplo 5: Determina el valor numérico de 37 (34 )3 = (33 )6 Solución: 37 (34 )3 37 (34∗3 ) 312+7 319 = = 18 = 18 = 319−18 = 31 = 3 (33 )6 33∗6 3 3 Ejemplo 6: Determina el valor numérico de (54 )6 515 Solución: − (54 )6 54∗6 524 = 15 = 15 = 524−15 = 59 515 5 5 Ejercicios de taller de exponentes Simplifica las siguientes expresiones Ejercicio = 340 1. (−35 )8 2. (321 ∗ 26 )2 (−38 )5 = 3. 35 ∗ (−34 ) = −35+4 = −39 Solución 321∗2 ∗ 26∗2 342 ∗ 212 = = −342−40 ∗ 212 = −32 ∗ 212 −38∗5 −340 4 4. 517 −512 = −517−12 = −55 5. 710 −710 6. 37 (34 )3 (33 )6 = 37 (34∗3 ) 37 ∗ 312 312+7 319 = = 18 = 18 = 31 = 3 33∗6 318 3 3 7. (52 ∗ 34 )3 (5 ∗ 32 )4 = 52∗3 ∗ 34∗3 56 ∗ 312 = 4 = 56−4 ∗ 312−8 = 52 ∗ 34 54 ∗ 32∗4 5 ∗ 38 8. 9. −(43 ∗ 34 ∗ 55 )2 (43 ∗ 32 ∗ 52 )4 Efectuando [(−2𝑎2 𝑏 −5 )3 ]3 = −710−10 = −70 = 1 =− 43∗2 ∗ 34∗2 ∗ 55∗2 46 ∗ 38 ∗ 510 = 43∗4 ∗ 32∗4 ∗ 52∗4 412 ∗ 38 ∗ 58 = −46−12 ∗ 38−8 ∗ 510−8 = −4−6 ∗ 30 ∗ 52 = − 52 46 𝑎) 2𝑎2 𝑏 𝑏) 12𝑎8 𝑏 𝑐) − 512𝑎18 𝑏 −45 𝑑) − 256 𝑎9 𝑏 −15 2.- PRODUCTOS NOTABLES En matemáticas, continuamente encontramos expresiones que mantienen la misma mecánica, son tan repetitivas que no necesitamos realizar la operación para conocer su respuesta, a este tipo de operaciones se les llama notables, y puede encontrarse su respuesta con un mínimo de esfuerzo. El primer producto notable que consideramos es: 2.1.- BINOMIO AL CUADRADO Básicamente se escriben así: (𝑎 + 𝑏)2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 (𝑎 − 𝑏)2 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑎𝑏 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 Se lee, cuadrado de un binomio Como se puede ver en ambos casos se sigue la misma mecánica y si se sustituye “a” o “b” o ambos por expresiones que incluyan tanto números como letras (𝟐𝟓𝒙𝒚𝟑 𝒛𝟐 )seguirán exactamente la misma mecánica. Se puede acortar como: (𝒂 + 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝑏 𝟐 (𝒂 − 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 Que se leen respectivamente: El cuadrado de la suma de dos cantidades ( (a+b)2) es igual al cuadrado de la primera (a2) más el doble producto de ellas (2ab) más el cuadrado de la segunda (b 2). El cuadrado de la diferencia de dos cantidades ( (a - b)2 ) es igual al cuadrado de la primera (a2) menos el doble producto de ellas (-2ab) más el cuadrado de la segunda (b2). Ejemplo: (𝟖𝒚 + 𝟑𝒙)𝟐 = (𝟖𝒚)𝟐 + 𝟐(𝟖𝒚)(𝟑𝒙) + (𝟑𝒙)𝟐 = 𝟔𝟒𝒚𝟐 + 𝟒𝟖𝒙𝒚 + 𝟗𝒙𝟐 (𝟏𝟑𝒎𝒏𝟑 − 𝟕𝒎𝟐 𝒏)𝟐 = 𝟏𝟔𝟗𝒎𝟐 𝒏𝟔 − 𝟏𝟖𝟐𝒎𝟑 𝒏𝟒 + 𝟒𝟗𝒎𝟒 𝒏𝟐 5 2.2.- BINOMIO AL CUBO Las siguientes son las formas básicas de los cubos de binomio. (𝒂 + 𝒃)𝟑 = 𝒂𝟑 + 𝟑𝒂𝟐 𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐 + 𝒃𝟑 (𝒂 − 𝒃)𝟑 = 𝒂𝟑 − 𝟑𝒂𝟐 𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐 − 𝒃𝟑 EJEMPLO (𝒙 + 𝟖)𝟑 = 𝒙𝟑 + 𝟐𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟗𝟐𝒙 + 𝟓𝟏𝟐 𝟐 𝟑 (𝟐𝒙𝒛 − 𝟑𝒚) = (𝟐𝒙𝒛𝟐 )𝟑 − 𝟑(𝟐𝒙𝒛𝟐 )𝟐 (𝟑𝒚) + 𝟑(𝟐𝒙𝒛𝟐 )(𝟑𝒚)𝟐 − (𝟑𝒚)𝟑 (𝟐𝒙𝒛𝟐 − 𝟑𝒚)𝟑 = 𝟖𝒙𝟑 𝒛𝟔 − 𝟑𝟔𝒙𝟐 𝒚𝒛𝟒 + 𝟓𝟒𝒙𝒚𝟐 𝒛𝟐 − 𝟐𝟕𝒚𝟑 2.3.- BINOMIOS CONJUGADOS Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades conocido como binomios conjugados. Básicamente se escriben así: (𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃) = 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 Se lee: la suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia es igual a la diferencia de sus cuadrados Ejemplo: (3𝑚𝑛2 + 7𝑥 2 𝑚)(3𝑚𝑛2 − 7𝑥 2 𝑚) = (3𝑚𝑛2 )2 − (7𝑥 2 𝑚)2 = 9𝑚2 𝑛4 − 49𝑥 4 𝑚2 (𝑥 + 𝑦 + 1)(𝑥 + 𝑦 − 1) = [(𝑥 + 𝑦) + 1][(𝑥 + 𝑦) − 1] = (𝑥 + 𝑦)2 − 12 = 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 − 1 Como puede verse en el último ejemplo se puede convertir un polinomio de más de dos términos en un binomio con solo usar paréntesis y tomar lo que se encuentra en el paréntesis como un todo. 2.4.- BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN Tenemos los binomios (m + c)(m + b), donde “m” es el termino común, ahora desarrollamos la multiplicación. Como notable nos queda: (𝒎 + 𝒄)(𝒎 + 𝒃) = 𝒎𝟐 + (𝒄 + 𝒃)𝒎 + 𝒃𝒄 Se lee: El producto de dos binomios con un término en común es igual al cuadrado de ese término, más el producto de este por la suma algebraica de los otros dos, más el producto de estos. Ejemplo: (𝒚 − 𝟓)(𝒚 + 𝟑) = 𝒚𝟐 + 𝒚(−𝟓 + 𝟑) + (−𝟓)(𝟑) = 𝒚𝟐 − 𝟐𝒚 − 𝟏𝟓 (𝒎 + 𝟓)(𝒎 − 𝟑) = 𝒎𝟐 + 𝟐𝒎 − 𝟏𝟓 (𝒎 − 𝟏)(𝒎 − 𝟑) = 𝒎𝟐 − 𝟒𝒎 + 𝟑 Ejercicios taller de productos notables Realiza los productos notables Escribir por simple inspección, el resultado de: 1. (𝒙 + 𝟐)𝟐 Solución: (𝒙 + 𝟐)𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙(𝟐) + 𝟐𝟐 (Desarrollando el cuadrado de la suma) = 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟒 2. 3. 4. 5. 6. (𝒙 + 𝟐)(𝒙 + 3) Solución: (𝒙 + 𝟐)(𝒙 + 𝟑) = 𝒙𝟐 + (𝟐 + 𝟑)𝒙 + (𝟐 ∗ 𝟑) = 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟔 (𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏) (𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏) = 𝒙𝟐 − 𝟏𝟐 = 𝒙𝟐 − 𝟏 Solución: (𝐷𝑒𝑠𝑎𝑟𝑟𝑜𝑙𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠) (𝒏 + 𝟑)(𝒏 + 𝟓) 𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏: (𝒏 + 𝟑)(𝒏 + 𝟓) = 𝒏𝟐 + (𝟑 + 𝟓)𝒏 + (𝟑 ∗ 𝟓) = 𝒏𝟐 + 𝟖𝒏 + 𝟏𝟓 (𝒎 + 𝟑)(𝒎 − 𝟑) (𝒎 + 𝟑)(𝒎 − 𝟑) = 𝒎𝟐 − 𝟑𝟐 = 𝒎𝟐 − 𝟗 Solución: (𝑫𝒆𝒔𝒂𝒓𝒓𝒐𝒍𝒍𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒆𝒍 𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒄𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒔𝒖𝒎𝒂 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒂 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒅𝒐𝒔 𝒄𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔) (𝒂 + 𝒃 − 𝟏)(𝒂 + 𝒃 + 𝟏) 𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏: (𝒂 + 𝒃 − 𝟏)(𝒂 + 𝒃 + 𝟏) = [(𝒂 + 𝒃) − 𝟏][(𝒂 + 𝒃) + 𝟏] (𝑨𝒈𝒓𝒖𝒑𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒗𝒆𝒏𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆) = (𝒂 + 𝒃)𝟐 − 𝟏𝟐 (𝑫𝒆𝒔𝒂𝒓𝒓𝒐𝒍𝒍𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒍𝒂 𝒔𝒖𝒎𝒂 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒂 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒅𝒐𝒔 𝒄𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔) 6 7. 8. 9. = 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 − 𝟏(𝑫𝒆𝒔𝒂𝒓𝒓𝒐𝒍𝒍𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒆𝒍 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒃𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐) (𝟏 + 𝒃)𝟑 𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏: (𝟏 + 𝒃)𝟑 = 𝟏𝟑 + 𝟑(𝟏𝟐 )𝒃 + 𝟑(𝟏)𝒃𝟐 + 𝒃𝟑 (𝐷𝑒𝑠𝑎𝑟𝑟𝑜𝑙𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑏𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑏𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜) = 𝟏 + 𝟑𝒃 + 𝟑𝒃𝟐 + 𝒃𝟑 (𝒂𝟐 + 𝟒)(𝒂𝟐 − 𝟒) Solución: (𝒂𝟐 + 𝟒)(𝒂𝟐 − 𝟒) = (𝒂2 )𝟐 − 𝟒𝟐 (𝑫𝒆𝒔𝒂𝒓𝒓𝒐𝒍𝒍𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒆𝒍 𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒄𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒔𝒖𝒎𝒂 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒂 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒅𝒐𝒔 𝒄𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔) = 𝒂𝟐 − 𝟏𝟔 (𝟑𝒂𝒃 − 𝟓𝒙𝟐 )𝟐 𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏: (𝟑𝒂𝒃 − 𝟓𝒙𝟐 )𝟐 = (𝟑𝒂𝒃)𝟐 − 𝟐(𝟑𝒂𝒃)(𝟓𝒙𝟐 ) + (𝟓𝒙𝟐 )𝟐 (𝑪𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝒖𝒏 𝒃𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐) = 𝟗𝒂𝟐 𝒃𝟐 − 𝟑𝟎𝒂𝒃𝒙𝟐 + 𝟐𝟓𝒙𝟒 3.-FACTORIZACIÓN Antes de comenzar directamente con los casos de factorización vamos a necesitar algunas definiciones: Factor: Cuando un polinomio se escribe como producto de otros polinomios, cada polinomio del producto es un factor del polinomio original. Factorización: Es el proceso con el cual expresamos un polinomio como un producto. Primo: Se dice que un polinomio es primo o irreducible cuando no puede escribirse como producto de dos polinomios de grado positivo. Al factorizar un polinomio el objetivo es expresarlo como un producto de polinomios primos o potencias de polinomios primos, tratando principalmente de trabajar con los números enteros. La factorización juega un papel importante en una gran cantidad de aplicaciones de la matemática, pues nos permite convertir expresiones muy complicadas en expresiones más simples facilitando así su estudio. Para factorar un monomio se realiza por pura inspección, separando los números y las letras entre sí. Prueba general de los factores En cualquiera de los casos de factores la prueba es la misma: multiplicación de los polinomios primos para ver si el resultado es el polinomio original. 3.1.- FACTOR COMÚN Se dice que un polinomio tiene factor común cuando una misma cantidad, ya sea número o letra, se encuentra en todos los términos del polinomio. Si en todos los términos de un polinomio figura un factor común, dicho polinomio es igual al producto de ese factor por el polinomio que resulta al dividir cada término por ese factor. Para efectuar el factor común hay que tomar en cuenta que este se realiza tanto para los números como para las letras, y con las letras se toma la que tenga el menor exponente de todas. Ejemplo: x 𝟓𝒙𝟒 𝒚 + 𝟏𝟓𝒙𝟐 − 𝟑𝟎𝒙𝟑 𝒚𝟑 5 Como puede verse el cinco es el común numérico y la “x” la única letra común en este polinomio, como dos es el menor exponente de “x” es este el exponente que se tomara en cuenta, siendo el factor común 𝟓𝒙𝟐 .Nos queda como respuesta: 𝟓𝒙𝟐 (𝒙𝟐 𝒚 + 𝟑 − 𝟔𝒙𝒚𝟑 ) Ejemplos: Encontrar el factor común de los siguientes términos: 1) 𝟖𝒎𝒙 + 𝟏𝟖𝒙𝟐 𝒚 − 𝟐𝟓𝟖𝒙𝟑 𝒚𝟐 = 𝟐𝒙(𝟒𝒎 + 𝟗𝒙𝒚 − 𝟏𝟐𝟗𝒙𝟐 𝒚𝟐 ) 7 𝟒𝟒𝒎𝒙𝟖 + 𝟏𝟐𝟏𝒎𝟐 𝒙𝟒 − 𝟖𝟖𝒎𝟑 𝒙𝟓 = 𝟏𝟏𝒎𝒙𝟒 (𝟒𝒙𝟒 + 𝟏𝟏𝒎 − 𝟖𝒎𝟐 𝒙) 𝟏𝟑𝒂𝒗 − 1𝟓𝟔𝒂 + 𝟏𝟑𝟎𝒂𝒙 = 𝟏𝟑𝒂(𝒗 − 𝟏𝟐 + 𝟏𝟎𝒙) 2) 𝒙𝒚 + 𝒚𝒛 = 𝒚(𝒙 + 𝒛) 3 ) 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 = 𝑥(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) 4 ) 𝑥 3 + 𝑥 2 = 𝑥 2 (𝑥 + 1) Ejercicios taller factor común 1. Encontrar un factor común en 2a+4 Paso 1. Buscamos el factor común de 2a y 4. Como el factor común de 2a y 4 es 2, procedemos a factorizarlo: 𝟐𝒂 + 𝟒 = 𝟐 ∗ 𝒂 + 𝟐 ∗ 𝟐 = 𝟐(𝒂 + 𝟐) 2. Encontrar un factor común en a+a2 Paso 1. Buscamos el factor común de a y a2 Como el factor común de a y a 2 es a, procedemos a factorizarlo: 𝒂 + 𝒂𝟐 = 𝒂 ∗ 𝟏 + 𝒂 ∗ 𝒂 = 𝒂(𝟏 + 𝒂) 3. Encontrar el factor común en b2 + b3 Paso 1. Buscamos el factor común en b2 y b3 Como el factor común en b2 y b3 es b2, procedemos a factorizarlo: 𝒃𝟐 + 𝒃𝟑 = 𝒃𝟐 ∗ 𝟏 + 𝒃𝟐 ∗ 𝒃 = 𝒃𝟐 (𝟏 + 𝒃) 4. Encontrar un factor común en 3a + 4a2 + 5a3 Paso 1. Buscamos el factor común en 3a, 4a2 y 5a3. Como el factor común de 3a, 4a2 y 5a3 es a, procedemos a factorizarlo: 𝟑𝒂 + 𝟒𝒂𝟐 + 𝟓𝒂𝟑 = (𝒂 ∗ 𝟑) + (𝒂 ∗ 𝟒𝒂) + (𝒂 ∗ 𝟓𝒂𝟐 ) = 𝒂(𝟑 + 𝟒𝒂 + 𝟓𝑎𝟐 ) 5. Encontrar un factor común en 5x3 + 2x - 3x2 Paso 1. Buscamos el factor común en 5x3, 2x y 3x2 Como el factor común de 5x3, 2x y 3x2 es x, procedemos a factorizarlo: 𝟓𝒙𝟑 + 𝟐𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 = (𝒙 ∗ 𝟓𝒙𝟐 ) + (𝒙 ∗ 𝟐) − (𝒙 ∗ 𝟑𝒙) = 𝒙(𝟓𝒙𝟐 + 𝟐 − 𝟑𝒙) 6. Encontrar un factor común en 4b - 12b2 +8b3 Paso 1. Buscamos el factor común en 4b, 12b2 y 8b3 Como el factor común de 4b, 12b2 y 8b3 es 4b, procedemos a factorizarlo: 𝟒𝒃 − 𝟏𝟐𝒃𝟐 + 𝟖𝒃𝟑 = (𝟒𝒃 ∗ 𝟏) − (𝟒𝒃 ∗ 𝟑𝒃) + (𝟒𝒃 ∗ 𝟐𝒃𝟐 ) = 𝟒𝒃(𝟏 − 𝟑𝒃 + 𝟐𝒃𝟐 ) 7. Encontrar un factor común en 5m2 +10m3 -15m5 Paso 1. Buscamos el factor común en 5m 2, 10m3 y 15m5 Como el factor común de 5m 2, 10m3 y 15m5 es 5m2, procedemos a factorizarlo: 𝟓𝒎𝟐 + 𝟏𝟎𝒎𝟑 − 𝟏𝟓𝒎𝟓 = (𝟓𝒎𝟐 ∗ 𝟏) + (𝟓𝒎𝟐 ∗ 𝟐𝒎) − (𝟓𝒎𝟐 ∗ 𝟑𝒎𝟑 ) = 𝟓𝒎𝟐 (𝟏 + 𝟐𝒎 − 𝟑𝒎𝟑 ) En esta serie de problemas, debemos factorizar un binomio, que sin embargo sigue con la misma idea que los anteriores problemas, es decir, se aplica la ley distributiva: a(b+c)=ab+ac. 1. 2. 3. 4. 5. Factorizar x(m+n) + y(m+n) Paso 1. Buscamos el factor común entre x(m+n) y y(m+n), como el factor común es (m+n), podemos factorizarlo: 𝒙(𝒎 + 𝒏) + 𝒚(𝒎 + 𝒏) = (𝒎 + 𝒏)(𝒙 + 𝒚) Factorizar a(x-y) + b(x-y) Paso 1. Buscamos el factor común, que es (x-y), podemos factorizarlo: 𝒂(𝒙 − 𝒚) + 𝒃(𝒙 − 𝒚) = (𝒙 − 𝒚)(𝒂 + 𝒃) Factorizar r(m+n) –s(m+n) Paso 1. Buscamos el factor común, que es (m+n), podemos factorizarlo: 𝒓(𝒎 + 𝒏) − 𝒔(𝒎 + 𝒏) = (𝒎 + 𝒏)(𝒓 − 𝒔) Factorizar x(a+b) –a – b Paso 1. Factorizamos el -1 de –a-b 𝒙(𝒂 + 𝒃) − 𝒂 − 𝒃 = 𝒙(𝒂 + 𝒃) − (𝒂 + 𝒃) Paso 2. Buscamos el factor común de x(a+b) y (a+b), como es (a+b), entonces: 𝒙(𝒂 + 𝒃) − 𝒂 − 𝒃 = 𝒙(𝒂 + 𝒃) − 𝟏(𝒂 + 𝒃) = (𝒂 + 𝒃)(𝒙 − 𝟏) Factorizar a(c-d) + xc - xd 8 6. Paso 1. Factorizamos la x de xc-xd 𝒂(𝒄 − 𝒅) + 𝒙𝒄 − 𝒙𝒅 = 𝒂(𝒄 − 𝒅) + 𝒙(𝒄 − 𝒅) Paso 2. Buscamos el factor común de a(c-d) y x(c-d), que es (c-d) entonces: 𝒂(𝒄 − 𝒅) + 𝒙𝒄 − 𝒙𝒅 = 𝒂(𝒄 − 𝒅) + 𝒙(𝒄 − 𝒅) = (𝒄 − 𝒅)(𝒂 + 𝒙) Factorizar a(m+2n) + bm + 2bn Paso 1. Factorizamos la b de bm+2bn 𝒂(𝒎 + 𝟐𝒏) + 𝒃𝒎 + 𝟐𝒃𝒏 = 𝒂(𝒎 + 𝟐𝒏) + 𝒃(𝒎 + 𝟐𝒏) Paso 2. Localizamos el factor común (m+2n), entonces: 𝒂(𝒎 + 𝟐𝒏) + 𝒃𝒎 + 𝟐𝒃𝒏 = 𝒂(𝒎 + 𝟐𝒏) + 𝒃(𝒎 + 𝟐𝒏) = (𝒎 + 𝟐𝒏)(𝒂 + 𝒃) 3.2.- FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS Se llama factor común por agrupación de términos, si los términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de términos con un factor común diferente en cada grupo. Cuando pueden reunirse en grupos de igual número de términos se le saca en cada uno de ellos el factor común. Si queda la misma expresión en cada uno de los grupos entre paréntesis, se la saca este grupo como factor común, quedando así una multiplicación de polinomios. Tratar desde el principio que nos queden iguales los términos de los paréntesis nos hará más sencillo el resolver estos problemas. 𝟐𝒂𝒙 + 𝟐𝒃𝒙 − 𝒂𝒚 + 𝟓𝒂 − 𝒃𝒚 + 𝟓𝒃 Agrupo los términos que tienen un factor común (2𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 + 5𝑎 ) + ( 2𝑏𝑥 − 𝑏𝑦 + 5𝑏 ) Saco el factor común de cada grupo a ( 2x - y + 5 ) + b (2x - y + 5 ) Como las expresiones encerradas entre paréntesis son iguales se tiene: ( 2x -y +5 )(a + b) Que es nuestra respuesta. Ejemplos: 𝟏𝟕𝒂𝒙 − 𝟏𝟕𝒎𝒙 + 𝟑𝒂𝒚 − 𝟑𝒎𝒚 + 𝟕𝒂𝒛 − 𝟕𝒎𝒛 = 𝒂(𝟏𝟕𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟕𝒛) − 𝒎(𝟏𝟕𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟕𝒛) = (𝟏𝟕𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟕𝒛)(𝒂 − 𝒎) 𝒎(𝒙 + 𝟐) − 𝒙 − 𝟐 + 𝟑(𝒙 + 𝟐) = (𝒙 + 𝟐)(𝒎 + 𝟑) − 𝟏(𝒙 + 𝟐) = (𝒙 + 𝟐)[(𝒎 + 𝟑) − 𝟏)] = (𝒙 + 𝟐)(𝒎 + 𝟑 − 𝟏) (𝑶𝒕𝒓𝒂 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒉𝒂𝒄𝒆𝒓𝒍𝒐) m(x + 2) – x – 2 + 3(x + 2) = m(x + 2) -1(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(m + 3 -1) Ejercicios taller agrupación de términos 1. Factorizar 2xy + y - 6x – 3 2𝑥𝑦 + 𝑦 − 6𝑥 − 3 = 𝑦(2𝑥 + 1) − 6𝑥 − 3 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑦 = 𝑦(2𝑥 + 1) − 3(2𝑥 + 1) 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 3 = (2𝑥 + 1)(𝑦 − 3) 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 (2𝑥 + 1) 2. Factorizar 3mn + 15n -4m -20 3𝑚𝑛 + 15𝑛 − 4𝑚 − 20 = 3𝑛(𝑚 + 5) − 4𝑚 − 20 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 3𝑛 = 3𝑛(𝑚 + 5) − 4(𝑚 + 5) 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 4 = (𝑚 + 5)(3𝑛 − 4) 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 (𝑚 + 5) 3. Factorizar 2a2 +6a – 3ab – 9b 2𝑎2 + 6𝑎 − 3𝑎𝑏 − 9𝑏 = 2𝑎(𝑎 + 3) − 3𝑎𝑏 − 9𝑏 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 2𝑎 = 2𝑎(𝑎 + 3) − 3𝑏(𝑎 + 3) 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 3𝑏 = (𝑎 + 3)(2𝑎 − 3𝑏) 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 (𝑎 + 3) 4. 5. Factorizar m(4x-1) + 12x – 3 Paso 1. Factorizamos el 3 de 12x – 3 𝑚(4𝑥 − 1) + 12𝑥 − 3 = 𝑚(4𝑥 − 1) + 3(4𝑥 − 1) Paso 2. Localizamos el factor común (4x-1), entonces: 𝑚(4𝑥 − 1) + 3(4𝑥 − 1) = 𝑚 ∗ (4𝑥 − 1) + 3(4𝑥 − 1) = (4𝑥 − 1)(𝑚 + 3) Factorizar y(5x+2) – 15x - 6 Paso 1. Factorizamos el 3 de 15x + 6: 𝒚(𝟓𝒙 + 𝟐) − 𝟏𝟓𝒙 − 𝟔 = 𝒚(𝟓𝒙 + 𝟐) − 𝟑(𝟓𝒙 + 𝟐) 9 Paso 2. Localizamos el factor común (5x+2), entonces: 𝒚(𝟓𝒙 + 𝟐) − 𝟏𝟓𝒙 − 𝟔 = 𝒚 ∗ (𝟓𝒙 + 𝟐) − 𝟑 ∗ (𝟓𝒙 + 𝟐) = (𝟓𝒙 + 𝟐)(𝒚 − 𝟑) 3.3.- TRINOMIO CUADRADO PERFECTO (TCP) Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio (polinomio de tres términos) tal que, dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro término es el doble producto de las bases de esos cuadrados. 𝟑𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙𝒚𝟐 + 𝒚𝟒 Es un trinomio cuadrado perfecto. El primer término es el cuadrado de 6x pues (6x) 2=36x2, el último es el cuadrado de y2 pues (y2)2=y4, y el segundo término es el doble producto de las bases de estos cuadrados, es decir 6x y y2, pues 2*6x*y2=12xy2. (𝟔𝒙 + 𝒚𝟐 )𝟐 = (𝟔𝒙 + 𝒚𝟐 )(𝟔𝒙 + 𝒚𝟐 ) = 𝟑𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙𝒚𝟐 + 𝒚𝟒 En el trinomio cuadrado perfecto los términos cuadrados son siempre positivos, en cambio el término del doble producto puede ser negativo; en este caso debe ser negativo uno de los términos del binomio cuyo cuadrado es el trinomio dado, del ejemplo anterior tenemos: (𝟔𝒙 − 𝒚𝟐 )𝟐 = (𝟔𝒙 − 𝒚𝟐 )(𝟔𝒙 − 𝒚𝟐 ) = (𝟔𝒙)𝟐 − 𝟏𝟐𝒙𝒚𝟐 + (𝒚𝟐 )𝟐 O también así (𝒚𝟐 − 𝟔𝒙)𝟐 = (𝒚𝟐 − 𝟔𝑥)(𝒚𝟐 − 𝟔𝒙) = (𝟔𝒙)𝟐 − 𝟏𝟐𝒙𝒚𝟐 + (𝒚𝟐 )𝟐 Ambas son respuestas aceptables. Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando la primera y tercer letra son cuadrados perfectos (o tienen raíz cuadrada exacta) y son positivos y el segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas. Ejemplos: 25 + 10𝑥𝑦 + 𝑥 2 𝑦 2 = (5 + 𝑥𝑦)2 1 + 𝑎10 − 2𝑎5 = (1 − 𝑎5 )2 4 225𝑥 + 25𝑚2 𝑛4 − 150𝑥 2 𝑚𝑛2 = (15𝑥 2 + 5𝑚𝑛2 )2 2 𝑥 + 2𝑥(𝑥 − 𝑦) + (𝑥 − 𝑦)2 = [x + (𝑥 − 𝑦)]2 = (2𝑥 + 𝑦)2 Ejercicios taller factorización trinomios cuadrados perfectos 1. Factorizar 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝒚 + 𝒚𝟐 a) 𝒙𝟐 es el cuadrado de x. b) 2xy es el término donde aparece x c) 2y es la parte restante de x del término anterior d) y es la mitad de esa parte restante e) 𝒚𝟐 es el cuadrado de esa mitad f) 𝒚𝟐 es en efecto, el tercer término del trinomio. Por lo tanto, el trinomio es cuadrado perfecto. 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝒚 + 𝒚𝟐 = (𝒙 − 𝒚)𝟐 𝐸𝑙 "-" 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑏𝑖𝑑𝑜 𝑎𝑙 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜 𝑒𝑛 − 2𝑥𝑦 𝟐 2. Factorizar 𝒙 + 𝟒𝒙 + 𝟒 a) 𝒙𝟐 es el cuadrado de x. b) 4x es el término donde aparece x c) 4 es la parte restante a x del término anterior d) 2 es la mitad de esa parte restante e) 𝟐𝟐 = 𝟒 es el cuadrado de esa mitad f) 4 es en efecto, el tercer término del trinomio Por lo tanto, el trinomio es cuadrado perfecto. 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟒 = (𝒙 + 𝟐)𝟐 𝐸𝑙 "+"𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑏𝑖𝑑𝑜 𝑎𝑙 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜 𝑑𝑒 + 4𝑥 3. Factorizar 𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 + 𝟗 a) 𝟒𝒙𝟐 es el cuadrado de 2x. b) 12x = 6*2x es el término donde aparece 2x c) 6 es la parte restante a 2x del término anterior d) 3 es la mitad de esa parte restante e) 𝟑𝟐 = 𝟗 es el cuadrado de esa mitad 10 4. f) 9 es en efecto, el tercer término del trinomio Por lo tanto, el trinomio es cuadrado perfecto. 4𝑥 2 + 12𝑥 + 9 = (2𝑥 + 3)2 𝐸𝑙 "+"𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑏𝑖𝑑𝑜 𝑎𝑙 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜 𝑑𝑒 + 12𝑥 Factorizar 𝟏𝟔𝒂𝟒 − 𝟐𝟒𝒂𝟐 𝒃 + 𝟗𝒃𝟐 a) 16𝑎4 es el cuadrado de 4𝑎2 b) 24𝑎2 𝑏 = 6 ∗ 4𝑎2 𝑏 es el término donde aparece 4𝑎2 c) 6b es la parte restante a 4𝑎2 del paso anterior d) 3b es la mitad de esa parte restante e) (3𝑏)2 = 9𝑏 2 es el cuadrado de esa mitad f) 9𝑏 2 es en efecto, el tercer término del trinomio Por lo tanto, el trinomio es cuadrado perfecto. 16𝑎4 − 24𝑎2 𝑏 + 9𝑏 2 = (4𝑎2 − 3𝑏)2 𝐸𝑙 " − "𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑏𝑖𝑑𝑜 𝑎l 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜 𝑑𝑒 − 24𝑎2 𝑏 5. Factorizar a) 9𝑥 2 𝑒𝑠 4 d) e) f) 3𝑥 2 4 4𝑦 2 9 3𝑥 𝑑𝑒 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 b) 2𝑥𝑦 = c) 9𝑥 2 4 ∗ 3 ∗ 𝑦 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑐𝑒 3𝑥 2 4 3𝑥 𝑦 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑎𝑠𝑜 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 3 2 2 𝑦 es la mitad de esa parte restante. 3 2 2 2 4𝑦 ( 𝑦) = 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑎 𝑚𝑖𝑡𝑎𝑑. 3 9 4𝑦 2 𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜, 𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 9 Por lo tanto, el trinomio es cuadrado perfecto. 9𝑥 2 4𝑦 2 3𝑥 2 2 + 2𝑥𝑦 + = ( + 𝑦) 𝐸𝑙 "+"𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑏𝑖𝑑𝑜 𝑎𝑙 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜 𝑒𝑛 + 2𝑥𝑦 4 9 2 3 Creación de trinomios cuadrados perfectos Existe una manera de lograr trinomios cuadrados perfectos a partir de binomios si simplemente les sumamos y restamos el término que le haga falta. 1. Si tenemos un binomio cuyos dos factores tengan raíces cuadradas se siguen los siguientes pasos para la creación de un trinomio cuadrado perfecto: o Se les extrae la raíz cuadrada a los dos términos. o Se encuentra el doble producto de estas raíces. o Este doble producto se suma y se resta a los dos términos que son cuadrados perfectos. Ejemplo: 9𝑥 2 + 36 → 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠: 3𝑥, 6 → 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜: 2(3𝑥)(6) = 36𝑥 𝐸𝑙 𝑡𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎: 9𝑥 2 + 36𝑥 + 36 − 36𝑥 2. Si tenemos un binomio de la forma x2 + bx hace falta completarlo con el cuadrado de la mitad del coeficiente de la raíz del término de la derecha. Ejemplo: 16𝑥 2 + 16𝑥𝑦 → 𝑙𝑎 𝑟𝑎í𝑧 𝑒𝑠: 4𝑥 → 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑠: 4𝑦 → 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑡𝑎𝑑 𝑒𝑠 2𝑦 𝐸𝑙 𝑡𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑛𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎: 16𝑥 2 + 16𝑥𝑦 + (2𝑦)2 − (2𝑦)2 Pero para que el resultado original del polinomio no varíe se le debe restar lo que se añadió. 3.4.- POLINOMIO DE LA FORMA ax2+bx+c 3.4.1.- Cuando a=1. Ejemplo explicativo: Factorizar 𝑚2 + 8𝑚 + 15 ) 1𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑠𝑜(𝑚 )(𝑚 2° 𝑝𝑎𝑠𝑜(𝑚 + )(𝑚 + ) 3° 𝑦 4° 𝑝𝑎𝑠𝑜𝑠 (𝑚 + 3)(𝑚 + 5) Ejemplos: 11 𝑥 2 + 10𝑥 + 24 = (𝑥 + 6)(𝑥 + 4) 𝑎2 − 2𝑎 − 24 = (𝑎 − 6)(𝑎 + 4) 𝑎2 𝑚4 + 𝑎𝑚2 − 380 = (𝑎𝑚2 + 20)(𝑎𝑚2 − 19) 𝑥 6 − 21𝑥 3 𝑚 + 98𝑚2 = (𝑥 3 − 7𝑚)(𝑥 3 − 14𝑚) Detengámonos un poco en los últimos dos ejemplos. En el tercero podemos ver que lo que hemos llamado “x” no es una sola letra, pero aun así se utiliza el mismo procedimiento, esto es porque “x” es un factor lo que implica que no necesariamente será una simple letra, este puede ser también un polinomio completo. Siguiendo con el tercero vemos su cantidad numérica es bastante elevada y no todos pueden ver fácilmente los números que buscamos, una herramienta bastante útil es descomponer este número en sus factores primos, de esta manera sabemos que cualquier combinación que hagamos al multiplicar estos números para formar los dos que busco cumplirán con el requisito multiplicativo y solo me preocupare por cumplir la suma algebraica. Así: En el cuarto ejemplo se observa que el término “c” no es un simple numero sino que tiene una forma "𝒄𝒙𝟐 ", en este caso no se ha hecho ninguna diferencia simplemente se ha tomado como factor “b” como si fuera “21m” así al multiplicar (7m)(14m) nos resulta 98m2 y al sumar 7m + 14m nos da 21m, con lo que se cumple con los requisitos. Los términos “x”, “b” y “c” pueden ser cualquier cosa, ya sea números, letras, o polinomios. Sólo se necesita que se cumplan las reglas indicadas. 3.4.2.- Cuando a≠1 Ejemplo explicativo: Factorizar 1er paso 3𝑚2 + 8𝑚 + 5 3(3𝑚2 + 8𝑚 + 5) = (3𝑚)2 + 8(3𝑚) + 15 2° paso 3° paso (3𝑚 (3𝑚 )(3𝑚 ) )(3𝑚 3 ) 4° paso (3𝑚 + )(3𝑚 + 3 5° paso (3𝑚 + 3)(3𝑚 + 5) 3 Simplificar (𝑚 + 1)(3𝑚 + 5) Ejemplos: Factorizar 𝟏𝟑𝒚𝟐 − 𝟕𝒚 − 𝟔 (𝟏𝟑)(𝟏𝟑𝒚𝟐 − 𝟕𝒚 − 𝟔) = (𝟏𝟑𝒚)𝟐 − 𝟕(𝟏𝟑𝒚) − 𝟕𝟖 ) (𝟏𝟑𝒚−𝟏𝟑)(𝟏𝟑𝒚+𝟔) 𝟏𝟑 = (𝒚 − 𝟏)(𝟏𝟑𝒚 + 𝟔) (𝟐𝟏𝒎 + 𝟏𝟒)(𝟐𝟏𝒎 − 𝟑) = (𝟑𝒎 + 𝟐)(𝟕𝒎 − 𝟏) 𝟐𝟏 𝟐 𝟐 2 𝟐 𝟑𝟎𝒑 + 𝟏𝟕𝒑𝒒 − 𝟐𝟏𝒒 → (30𝑝) + 𝟏𝟕𝒒(𝟑𝟎𝒑) − 𝟔𝟑𝟎𝒒 → (𝟑𝟎𝒑 + 𝟑𝟓𝒒)(𝟑𝟎𝒑 − 𝟏𝟖𝒑)/𝟑𝟎 = (𝟔𝒑 + 𝟕𝒒)(𝟓𝒑 − 𝟑𝒒) 𝟐𝟏𝒎𝟐 + 𝟏𝟏𝒎 − 𝟐 → (𝟐𝟏𝒎)𝟐 + 𝟏𝟏(𝟐𝟏𝒎) − 𝟒𝟐 → 𝟔(𝒙 + 𝟑)𝟐 + 𝟕(𝒙 + 𝟑) − 𝟑 → [𝟔(𝒙 + 𝟑)]𝟐 + 𝟕[𝟔(𝑥 + 𝟑)] − 𝟏𝟖 → = [𝟐(𝒙 + 𝟑) + 𝟑][𝟑(𝒙 + 𝟑) − 𝟏] [𝟔(𝒙 + 𝟑) + 𝟗][𝟔(𝒙 + 𝟑) − 𝟐] = 𝟔 12 Siempre que sea posible hay que realizar la división indicada que nos queda, sin olvidar que los factores del denominador dividen a todos los términos del binomio correspondiente. Ejercicios de taller de factorización de trinomios de la forma ax2+bx+c, en los casos que a=1 y a≠1. 1. Factorizar x2 +4x+3 8. Factorizar x2-2x-24 a) 3 y 1 suman 4 a) -6 y 4 suman -2 b) 3 por 1 da 3 𝟐 b) -6 y 4 da -24 c) Por lo tanto, 𝒙 + 𝟒𝒙 + 𝟑 = (𝒙 + 𝟑)(𝒙 + 𝟏) c) Por lo tanto x2-2x-24=(x-6)(x+4) 2. Factorizar x2-4x+3 9. Factorizar a2+5a+6 a) -3 y -1 suman -4 a) 3 y 2 suman 5 b) -3 por -1 da 3 b) 3 por 2 da 6 c) Por lo tanto, c) Por lo tanto x2-4x+3=(x-3)(x-1) a2+5ª+6=(a+3)(a+2) 3. Factorizar x2+3x-10 10. Factorizar b2-7b+12 a) 5 y -2 suman 3 a) -4 y -3 suman -7 b) 5 por -2 da -10 b) -4 por -3 da 12 c) Por lo tanto, c) Por lo tanto x2+3x-10=(x+5)(x-2) b2-7b+12=(b-4)(b-3) 4. Factorizar x2-2x-8 11. Factorizar c2-4c+3 a) 4 y -2 suman -2 a) -3 y -1 suman -4 b) 4 por -2 da -8 b) -3 por -1 da 3 c) Por lo tanto, c) Por lo tanto x2-2x-8=(x-4)(x+2) c2-4c+3=(c-3)(c-1) 5. Factorizar x2+x-20 12. Factorizar 2x2 + 7x+ 3 a) 5 y -4 suman 1 R: ( 2x + 1)(x + 3) b) 5 por -4 da -20 13. Factorizar 2y2 + 9y + 4 c) Por lo tanto, R: (2y + 1)(y + 4) x2 +x-20=(x+5)(x-4) 14. Factorizar 3z2 - 14z – 5 6. Factorizar x2-x-12 R: (z - 5)(3z + 1) a) -4 y 3 suman -1 15. Factorizar 4x2 - 29x + 7 b) -4 por 3 da -12 R: (4x - 1)(x - 7) c) Por lo tanto 16. 5x2 + 12x– 9 x2-x-12=(x-4)(x+3) R: (5x-3)(x+3) 7. Factorizar x2+7x+6 17. Factorizar 6y2 + 17y +12 R: (3y + 4)(2y + 3) a) 6 y 1 suman 7 18. Factorizar 7x2 - 46x – 21 b) 6 por 1 da 6 R: (x - 7)(7x + 3) c) Por lo tanto 19. Factorizar 8y2 +24y – 32 2 x +7x+6=(x+6)(x+1) R: (4y+ 16)(2y- 2)=8(y+4)(y-1) 3.5.- DIFERENCIA DE CUADRADOS Se le llama diferencia de cuadrados al binomio conformado por dos términos a los que se les puede sacar raíz cuadrada exacta. Al estudiar los productos notables teníamos que: (𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃) = 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 En donde el resultado es una diferencia de cuadrados, para este tema es el caso contrario: 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 = (𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃) Donde siempre la diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de sus bases. 13 Pasos: 1. Se extrae la raíz cuadrada de ambos términos. 2. Se multiplica la suma por la diferencia de estas cantidades (el segundo término del binomio negativo es la raíz del término del binomio que es negativo). Ejemplo explicativo: 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑥 2 − 𝑦 2 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠 √𝑥 2 = 𝑥; √𝑦 2 = 𝑦 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦) Ejemplos: 16𝑚2 − 9𝑛2 = (4𝑚 + 3𝑛)(4𝑚 − 3𝑛) 2 2 [𝑦 𝑦 − (3(𝑥 − 1)) = + 3(𝑥 − 1)][𝑦 − 3(𝑥 − 1)] = (𝑦 + 3𝑥 − 3)(𝑦 − 3𝑥 + 3) 49(𝑚 + 𝑛)2 − 144(𝑚 − 𝑛)2 = [7(𝑚 + 𝑛) + 12(𝑚 − 𝑛)][7(𝑚 + 𝑛) − 12(𝑚 − 𝑛)] = (19𝑚 − 5𝑛)(19𝑛 − 5𝑚) 𝑧 4𝑛 − 900𝑠 8 = (𝑧 2𝑛 + 30𝑥 4 )(𝑧 2𝑛 − 30𝑠 4 ) 1) 𝑚2 − 𝑛2 = (𝑚 + 𝑛)(𝑚 − 𝑛) 2) 𝑥 2 − 100 = (𝑥 + 10)(𝑥 − 10) 3) 25𝑎2 − 144𝑏 2 = (5𝑎 + 12𝑏)(5𝑎 − 12𝑏) 4) 9𝑥 2 𝑦 4 − 121𝑧 8 = (3𝑥𝑦 2 + 11𝑧 4 )(3𝑥𝑦 2 − 11𝑧 4 ) 5) 6) 1 16 𝑎6 36 − − 𝑥4 25 1 𝑥2 4 5 =( + 49𝑏 4 100 =( 7) 𝑥 2𝑛 𝑏 8𝑛 − 1 169 𝑎3 6 1 𝑥2 4 5 )( − + 7𝑏 2 10 )( ) 𝑎3 6 = (𝑥 𝑛 𝑏 4𝑛 + − 1 13 7𝑏 2 10 ) ) (𝑥 𝑛 𝑏 4𝑛 − 1 13 ) 8) 0.81𝑎6 − 1.21𝑏 8 = (0.9𝑎3 + 1.1𝑏 4 )(0.9𝑎3 − 1.1𝑏 4 ) 9) 1.69𝑥 8 − 2.25𝑧12 = (1.3𝑥 4 + 1.5𝑧 6 )(1.3𝑥 4 − 1.5𝑧 6 ) 10) 𝑎4𝑛 𝑏 6𝑛 − 𝑐 12𝑥 64 = (𝑎2𝑛 𝑏 3𝑛 + 𝑐 6x 8 )(𝑎2𝑛 𝑏 3𝑛 − 𝑐 6𝑥 8 ) 3.6.- SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS FORMAS BASICAS: SUMA: a3+b3= (a+b)(a2-ab+b2) DIFERENCIA : a3-b3= ( a-b)( a2+ab+b2) 1) Se extrae la raíz cúbica de cada término del binomio 2) Se forma un producto de dos factores. 3) Los factores binomios son la suma o diferencia de las raíces cúbicas de los términos del binomio. 4) Los factores se determinan así: El cuadrado de la primera raíz menos (para la suma), o más (para la diferencia) el producto de estas raíces para el cuadrado de la segunda raíz. Ejemplo 1: Factorizar 𝒙𝟑 + 𝟏 La raíz cúbica de: 𝒙𝟑 𝒆𝒔 𝒙 La raíz cúbica de: 1 𝑒𝑠 1 𝑥 3 + 1 = (𝑥 + 1)[(𝑥)2 − (𝑥)(1) + (1)2 ] 𝑥 3 + 1 = (𝑥 + 1)(𝑥 2 − 𝑥 + 1) 3 Ejemplo 2. Factorizar (8𝑥 + 64) La raíz cúbica de: 8𝑥 3 𝑒𝑠 2𝑥 La raíz cúbica de: 64 es 4 8𝑥 3 + 64 = (2𝑥 + 4)[(2𝑥)2 − (2𝑥)(4) + (4)2 ] = (2𝑥 + 4)(4𝑥 2 − 8𝑥 + 16) Ejemplo 3: Factorizar 1000𝑥 6 𝑦 3 + 125𝑧12 𝑤 15 La raíz cúbica de: 1000𝑥 6 𝑦 3 𝑒𝑠 10𝑥 2 𝑦 14 La raíz cúbica de: 125𝑧12 𝑤 15 𝑒𝑠 5𝑧 4 𝑤 5 Según procede 1000𝑥 6 𝑦 3 + 125𝑧12 𝑤 15 = (10𝑥 2 𝑦 + 5𝑧 4 𝑤 5 )[(10𝑥 2 𝑦)2 − (10𝑥 2 𝑦)(5𝑧 4 𝑤 5 ) + (5𝑧 4 𝑤 5 )2 ] 1000𝑥 6 𝑦 3 + 125𝑧12 𝑤 15 = (10𝑥 2 𝑦 + 5𝑧4𝑤 5 )(100𝑥 4 𝑦 2 − 50𝑥 2 𝑦𝑧 4 𝑤 5 + 25𝑧 8 𝑤 10 ) Ejemplo 4: Factorizar y3 - 27 La raíz cúbica de: y3 es y La raíz cúbica de: 27 es 3 𝑦 3 − 27 = (𝑦 − 3)[(𝑦)2 + (𝑦)(3) + (3)2 ] 𝑦 3 − 21 = (𝑦 − 3)(𝑦 2 + 3𝑦 + 9) 3 Ejemplo 5: Factorizar 125x - 1000 La raíz cúbica de: 125x3 es 5x La raíz cúbica de: 1000 es 10 125𝑥 3 − 1000 = (5𝑥 − 10)[(5𝑥)2 + (5𝑥)(10) + (10)2 ] 125𝑥 3 − 1000 = (5𝑥 − 10)(25𝑥 2 + 50𝑥 + 100) Ejemplo 6: Factorizar 216x9y12z15 - 343m30w18a La raíz cúbica de: 216x9y12z15 es 6x3y4z5 La raíz cúbica de: 343m 30w18a es 7m10w6a 216𝑥 9 𝑦12 𝑧15 − 343𝑚30 𝑤 18𝑎 = (6𝑥 3 𝑦 4 𝑧 5 − 7𝑚10 𝑤 6𝑎 )[(6𝑥 3 𝑦 4 𝑧 5 )2 + (6𝑥 3 𝑦 4 𝑧 5 )(7𝑚10 𝑤 6𝑎 ) + (7𝑚10 𝑤 6𝑎 )] = (6𝑥 3 𝑦 4 𝑧 5 − 7𝑚10 𝑤 6𝑎 )(36𝑥 6 𝑦 8 𝑧10 + 42𝑥 3 𝑦 4 𝑧 5 𝑚10 𝑤 6𝑎 + 49𝑚20 𝑤 12𝑎 ) Ejercicios taller de factorización de suma y diferencia de cubos 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 1 + 𝑥 3 𝑅: (1 + 𝑥)(1 − 𝑥 + 𝑥 2 ) 𝑥 3 + 1000𝑅: (𝑥 + 10)(𝑥 2 − 10𝑥 + 100) 27𝑎3 + 125𝑏 3 𝑅: (3𝑎 + 5𝑏)(9𝑎2 − 15𝑎𝑏 + 25𝑏 2 ) 64𝑥 3 𝑦 6 + 216𝑧 9 𝑅: (4𝑥𝑦 2 + 6𝑧 3 )(16𝑥 2 𝑦 4 − 24𝑥𝑦 2 𝑧 3 + 36𝑧 6 ) 512𝑥 6𝑎 + 729𝑦 3𝑏 𝑅: (8𝑥 2𝑎 + 9𝑦 𝑏 )(64𝑥 4𝑎 − 72𝑥 2𝑎 𝑦 𝑏 + 81𝑦 2𝑏 ) 1 1 1 5𝑥 + 125𝑥 3 𝑅: (2 + 5𝑥) (4 − 2 + 25𝑥 2 ) 8 1 𝑥6 1 𝑥2 1 𝑥2 𝑥4 + 𝑅: ( + ) ( – + ) 27 216 3 6 9 18 36 𝑎6 8𝑏12 𝑎2 2𝑏4 𝑎4 2𝑎 2 𝑏4 + 𝑅: ( + ) ( − 343 1000 7 10 49 70 3 + 4𝑏8 ) 100 𝑎2 7 =( + 𝑏4 𝑎4 )( 5 49 − 𝑎 2 𝑏4 35 + 𝑏8 ) 25 9) 1000 – 𝑚 𝑅: (10 − 𝑚)(100 + 10𝑚 + 𝑚2 ) 10) 8𝑎3 − 64𝑏 3 𝑅: (2𝑎 − 4𝑏)(4𝑎2 + 8𝑎𝑏 + 16𝑏 2 ) 11) 125𝑥 9 𝑦18 − 512𝑧 27 𝑅: (5𝑥 3 𝑦 6 − 8𝑧 9 )(25𝑥 6 𝑦12 + 40𝑥 3 𝑦 6 𝑧 9 + 64𝑧18 12) 216𝑥 12 − 729𝑦 21𝑎 𝑅: (5𝑥 3 𝑦 6 – 8𝑧 9 )(25𝑥 6 𝑦12 + 40𝑥 3 𝑦 6 𝑧 9 + 64𝑧18 ) 13) 343𝑥 3𝑎 – 512𝑦 6𝑏 𝑅: (7𝑥 𝑎 – 8𝑦 2𝑏 )(49𝑥 2𝑎 + 56𝑥 𝑎 𝑦 2𝑏 + 64𝑦 4𝑏 ) 14) (𝑥 + 4)3 – 8𝑅: (𝑥 + 2)(𝑥 2 + 10𝑥 + 28) 15) (3𝑎 + 2𝑏)3 – (2𝑎 + 2𝑏)3 𝑅: 𝑎(19𝑎2 + 30𝑎𝑏 + 12𝑏 2 ) 3.7.- METODO DE EVALUACION (DIVISIÓN SINTÉTICA) Procedimiento Recordemos que “un polinomio entero y racional en x. que se anula para x=a, es divisible por x-a” (Corolario del Teorema del residuo) 1. Sacamos los divisores del término independiente 2. Hallamos el valor del polinomio, P(x), para cada uno de los divisores hallados en el paso anterior 3. Tomamos como correcto el divisor, a, para el cual el polinomio se anula (da cero): hemos hallado uno de los factores del polinomio; este factor es, x-a 4. Buscamos los coeficientes del otro factor por medio de la “División Sintética” 15 Nota: Me parece que este procedimiento es menos laborioso que el que se presenta en Álgebra de Baldor, pues es más fácil calcular P(x) para varios valores de x que realizar otras tantas divisiones. Descomponer por evaluación: 1. 𝑥 3 + 𝑥 2 − 𝑥 − 1 Solución: El término independiente es 1 Los divisores de 1 son 1 y -1. 𝑃(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑥 2 − 𝑥 − 1 𝑃(1) = 13 + 12 − 1 − 1 = 1 + 1 − 1 − 1 = 0; 𝑠𝑒 𝑎𝑛𝑢𝑙𝑎 ∴ (𝑥 − 1) 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒 𝑎 𝑃(𝑥) ∴ (𝑥 − 1) 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑃(𝑥) Ahora, encontraremos los coeficientes del otro factor por medio de la división sintética: ∟1 1 1 -1 -1 1 2 1 __________________________ 1 2 1 0 ∴ 𝑥 2 + 2𝑥 + 1 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑦𝑥 2 + 2𝑥 + 1 = (𝑥 + 1)2 ( 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜) De tal manera que 𝑥 3 + 𝑥 2 − 𝑥 − 1 = (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)2 = (𝑥 − 1)(𝑥 2 + 2𝑥 + 1) 3 2 2. 𝑥 − 4𝑥 + 𝑥 + 6 Solución: El término independiente es 6 Los divisores de 6 son ±1, ±2, ±3 y ±6 𝑃(𝑥) = 𝑥 3 − 4𝑥 2 + 𝑥 + 6 𝑃(−1) = −13 − (4)(−1)2 + (−1) + 6 = −1 − 4 − 1 + 6 = 0; 𝑠𝑒 𝑎𝑛𝑢𝑙𝑎 ∴ (𝑥 + 1) 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒 𝑎 𝑃(𝑥) ∴ (𝑥 + 1) 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑃(𝑥) Ahora, encontraremos los coeficientes del otro factor por medio de la división sintética: 1 -4 1 6 ∟-1 -1 5 -6 __________________________ 1 -5 6 0 ∴ 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 ∶ 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑦𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = (𝑥 − 3)(𝑥 − 2) (𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐) De tal manera que 𝑥 3 − 4𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 + 1)(𝑥 − 3)(𝑥 − 2) 3.8 FACTORIZACIÓN TOTAL. MISCELÁNEA DE LOS CASOS Estrategia general 1. Factorizar todos los factores comunes. 2. Observar el número de términos entre paréntesis (o en la expresión original). Si hay: I. Cuatro términos: factorizar por agrupación II. Tres términos: probar si es TCP y factorizar; si no es TCP, emplear el caso general. III. Dos términos y cuadrados: buscar la diferencia de cuadrados y factorizarla. IV. Dos términos y cubos: buscar la suma o diferencia de cubos y factorizar. 3. Asegurarse de que la expresión está factorizada completamente. Identificación del factor común 16 Usamos la propiedad distributiva para realizar la multiplicación de una suma (o resta) de término por un factor. Por ejemplo (3+x)y = 3y + xy. Podemos igualmente usar esta propiedad para deshacer esta multiplicación. Esto requiere que identifiquemos el factor que es común a todos los términos en la expresión. En la expresión 3y + xy, y es el factor común. Por lo tanto, nuestra factorización será 3𝑦 + 𝑥𝑦 = (3 + 𝑥)𝑦, o equivalentemente, 3𝑦 + 𝑥𝑦 = 𝑦(3 + 𝑥). Generalmente conviene factorizar el factor común “máximo” posible. Por ejemplo, en el polinomio 12𝑥 3 𝑦 2 − 9𝑥 2 𝑦 3 + 15𝑥𝑦 4 podemos identificar como factor común a todos los términos, varios monomios: xy es factor común porque 12𝑥 3 𝑦 2 = 12𝑥 2 𝑦 ∗ 𝑥𝑦 −9𝑥 2 𝑦 3 = −9𝑥𝑦 2 ∗ 𝑥𝑦 15𝑥𝑦 4 = 15𝑦 3 ∗ 𝑥𝑦 3xy es factor común porque 12𝑥 3 𝑦 2 = 4𝑥 2 𝑦 ∗ 3𝑥𝑦 −9𝑥 2 𝑦 3 = −3𝑥𝑦 2 ∗ 3𝑥𝑦 15𝑥𝑦 4 = 5𝑦 3 ∗ 3𝑥𝑦 Similarmente podemos establecer que 3𝑥𝑦 2 también es factor común. Preferimos factorizar el factor común máximo (FCM) de los términos, el cual puede hallarse de la siguiente manera: Primero: Factorizamos completamente los términos. Esto significa que los factores obtenidos son primos (que no pueden ser factorizados más). Segundo: El FCM es el producto de todos los factores presentes en las factorizaciones del paso previo, elevados a la menor potencia en que aparecen, la cual es la potencia 0 si hay una factorización en la que el factor no aparezca. 1) Si queremos factorizar el polinomio 30𝑥 3 𝑦 2 + 12𝑥 2 𝑦 3 𝑧, comenzamos factorizando completamente sus términos: 30𝑥 3 𝑦 2 = 2 ∗ 3 ∗ 5 ∗ 𝑥 3 𝑦 2 z 0 12𝑥 2 𝑦 3 𝑧 = 22 ∗ 3 ∗ 𝑥 2 ∗ 𝑦 3 ∗ 𝑧1 Luego formamos el FCM: 2 ∗ 3 ∗ 𝑥 2 ∗ 𝑦 2 = 6𝑥 2 𝑦 2 . Finalmente hacemos la factorización: 30𝑥 3 𝑦 2 + 12𝑥 2 𝑦 3 𝑧 = 6𝑥 2 𝑦 2 (5𝑥 + 2𝑦𝑧) 2) 𝑦 6 − 𝑦 4 = 𝑦 4 (𝑦 − 1)(𝑦 + 1) 3) 𝑎3 − 𝑎2 𝑏 − 𝑎𝑏 2 + 𝑏 3 = (𝑎3 − 𝑎2 𝑏) − (𝑎𝑏 2 − 𝑏 3 ) = 𝑎2 (𝑎 − 𝑏) − 𝑏 2 (𝑎 − 𝑏) = (𝑎2 − 𝑏 2 )(𝑎 − 𝑏) = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)2 4) 4𝑥 3 + 4𝑥 2 − 9𝑥 − 9 = (4𝑥 3 + 4𝑥 2 ) − (9𝑥 + 9) = 4𝑥 2 (𝑥 + 1) − 9(𝑥 + 1) = (4𝑥 2 − 9)(𝑥 + 1) = (2𝑥 − 3)(2𝑥 + 3)(𝑥 + 1) 5) 𝑎3 − 𝑎2 𝑏 − 𝑎𝑏 2 + 𝑏 3 = (𝑎3 − 𝑎2 𝑏) − (𝑎𝑏 2 − 𝑏 3 ) = 𝑎2 (𝑎 − 𝑏) − 𝑏 2 (𝑎 − 𝑏) = (𝑎2 − 𝑏 2 )(𝑎 − 𝑏) = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)2 6) 𝑦 4 + 4 = 𝑦 4 + 4𝑦 2 − 4𝑦 2 + 4 = (𝑦 4 + 4𝑦 2 + 4) − 4𝑦 2 = (𝑦 2 + 2)2 − 4𝑦 2 = (𝑦 2 + 2 − 2𝑦)(𝑦 2 + 2 + 2𝑦) 7) 4𝑥 3 + 4𝑥 2 − 9𝑥 − 9 = (4𝑥 3 + 4𝑥 2 ) − (9𝑥 + 9) = 4𝑥 2 (𝑥 + 1) − 9(𝑥 + 1) = (4𝑥 2 − 9)(𝑥 + 1) = (2𝑥 − 3)(2𝑥 + 3)(𝑥 + 1) 8) 𝑎2 − 𝑏 2 + 𝑎3 − 𝑏 3 = (𝑎2 − 𝑏 2 ) + (𝑎3 − 𝑏 3 ) {𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑛𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒} 𝑎2 − 𝑏 2 + 𝑎3 − 𝑏 3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏 + 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) {𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑟é𝑛𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠 𝑦 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑏𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜} 𝑎2 − 𝑏 2 + 𝑎3 − 𝑏 3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏 + 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) {𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚ú𝑛(𝑎 − 𝑏)} 17 Ejercicios Taller de miscelánea de factorización 1. 3𝑎𝑥 2 − 3𝑎 Solución: 3𝑎𝑥 2 − 3𝑎 = 3𝑎(𝑥 2 − 1){𝑠𝑎𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚ú𝑛} 2 ∴ 3𝑎𝑥 − 3𝑎 = 3𝑎(𝑥 + 1)(𝑥 − 1){𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠} 2. 3𝑥 2 − 3𝑥 − 6 Solución: 3𝑥 2 − 3𝑥 − 6 = 3(𝑥 2 − 𝑥 − 2){𝑠𝑎𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚ú𝑛} ∴ 3𝑥 2 − 3𝑥 − 6 = 3(𝑥 − 2)(𝑥 + 1){𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐} 3. 2𝑎2 𝑥 − 4𝑎𝑏𝑥 + 2𝑏 2 𝑥 Solución: 2𝑎2 𝑥 − 4𝑎𝑏𝑥 + 2𝑏 2 𝑥 = 2𝑥(𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 ){𝑠𝑎𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚ú𝑛} ∴ 2𝑎2 𝑥 − 4𝑎𝑏𝑥 + 2𝑏 2 𝑥 = 2𝑥(𝑎 − 𝑏)2 {𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐} 4. 2𝑎3 − 2 Solución: 2𝑎3 − 2 = 2(𝑎3 − 1){𝑠𝑎𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚ú𝑛} 3 ∴ 2𝑎 − 2 = 2(𝑎 − 1)(𝑎2 + 𝑎 + 1){𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐} 5. 𝑎3 − 3𝑎2 − 28𝑎 Solución: 𝑎3 − 3𝑎2 − 28𝑎 = 𝑎(𝑎2 − 3𝑎 − 28) {𝑠𝑎𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚ú𝑛} 3 ∴ 𝑎 − 3𝑎2 − 28𝑎 = 𝑎(𝑎 − 7)(𝑎 + 4){𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐} 6. 𝑥 3 − 4𝑥 + 𝑥 2 − 4 Solución: 𝑥 3 − 4𝑥 + 𝑥 2 − 4 = 𝑥(𝑥 2 − 4) + (𝑥 2 − 4) {𝑠𝑎𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚ú𝑛 𝑒𝑛 𝑙𝑜𝑠 2 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠} 𝑥 3 − 4𝑥 + 𝑥 2 − 4 = (𝑥 2 − 4)(𝑥 + 1) {𝑠𝑎𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚ú𝑛 (𝑥 2 − 4)} ∴ 𝑥 3 − 4𝑥 + 𝑥 2 − 4 = (𝑥 + 2)(𝑥 − 2)(𝑥 + 1){𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠} 7. 3𝑎𝑥 3 + 3𝑎𝑦 3 Solución: 3𝑎𝑥 3 + 3𝑎𝑦 3 = 3𝑎(𝑥 3 + 𝑦 3 ){𝑠𝑎𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚ú𝑛} ∴ 𝑥 3 + 3𝑎𝑦 3 = 3𝑎(𝑥 + 𝑦)(𝑥 2 − 𝑥𝑦 + 𝑦 2 ) {𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑏𝑜𝑠} 8. 4𝑎𝑏 2 − 4𝑎𝑏𝑛 + 𝑎𝑛2 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: 4𝑎𝑏 2 − 4𝑎𝑏𝑛 + 𝑎𝑛2 = 𝑎(4𝑏 2 − 4𝑏𝑛 + 𝑛2 ){𝑠𝑎𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚ú𝑛} 2 ∴ 4𝑎𝑏 − 4𝑎𝑏𝑛 + 𝑎𝑛2 = 𝑎(2𝑏 − 𝑛)2 {𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜} 9. 𝑥 4 − 3𝑥 2 − 4 Solución: 𝑥 4 − 3𝑥 2 − 4 = (𝑥 2 − 4)(𝑥 2 + 1) {𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐} ∴ 𝑥 4 − 3𝑥 2 − 4 = (𝑥 + 2)(𝑥 − 2)(𝑥 2 + 1){𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠} 10. 𝑎3 − 𝑎2 − 𝑎 + 1 Solución: 𝑎3 − 𝑎2 − 𝑎 + 1 = 𝑎2 (𝑎 − 1) − (𝑎 − 1) {𝑠𝑎𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚ú𝑛 𝑎2 𝑒𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 − 1 𝑒𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑠 ú𝑙𝑡𝑖𝑚𝑜𝑠} 𝑎3 − 𝑎2 − 𝑎 + 1 = (𝑎 − 1)(𝑎2 − 1){𝑠𝑎𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚ú𝑛(𝑎 − 1)}, ∴ 𝑎3 − 𝑎2 − 𝑎 + 1 = (𝑎 − 1)(𝑎 + 1)(𝑎 − 1) = (𝑎 − 1)2 (𝑎 + 1) {𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠} 11. 2𝑎𝑥 2 − 4𝑎𝑥 + 2𝑎 Solución: 2𝑎𝑥 2 − 4𝑎𝑥 + 2𝑎 = 2𝑎(𝑥 2 − 2𝑥 + 1){𝑠𝑎𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑛} ∴ 2𝑎𝑥 2 − 4𝑎𝑥 + 2𝑎 = 2𝑎(𝑥 − 1)2 {𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜} 12. 𝑥 3 − 𝑥 + 𝑥 2 𝑦 − 𝑦 Solución: 𝑥 3 − 𝑥 + 𝑥 2 𝑦 − 𝑦 = 𝑥(𝑥 2 − 1) + 𝑦(𝑥 2 − 1){𝑠𝑎𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑛} 𝑥 3 − 𝑥 + 𝑥 2 𝑦 − 𝑦 = (𝑥 2 − 1)(𝑥 + 𝑦){𝑠𝑎𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑛} 𝑥 3 − 𝑥 + 𝑥 2 𝑦 − 𝑦 = (𝑥 + 1)(𝑥 − 1)(𝑥 + 𝑦){𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠} 18 13. 16𝑎5 𝑏 − 56𝑎3 𝑏3 + 49𝑎𝑏5 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: 16𝑎5 𝑏 − 56𝑎3 𝑏3 + 49𝑎𝑏5 = 𝑎𝑏(16𝑎4 − 56𝑎2 𝑏2 + 49𝑏4 ){𝑠𝑎𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑛} Ahora, vamos a factorizar el paréntesis: (16𝑎4 − 56𝑎2 𝑏2 + 49𝑏 4) 4𝑎2 : 𝑟𝑎í𝑧 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 7𝑏2 : 𝑟𝑎í𝑧 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 2(4𝑎2 )(7𝑏2 ) = 56𝑎2 𝑏 2 ∶ 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 Por lo tanto, se trata de un trinomio cuadrado perfecto y se factoriza como tal: (16𝑎4 − 56𝑎2 𝑏2 + 49𝑏4 ) = (4𝑎2 − 7𝑏2 )2 De tal manera que: 16𝑎5 𝑏 − 56𝑎3 𝑏3 + 49𝑎𝑏5 = 𝑎𝑏(4𝑎2 − 7𝑏2 )2 8 14. 1 − 𝑎 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: 1 − 𝑎8 = (1 − 𝑎4 )(1 + 𝑎4 ){𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠} 1 − 𝑎8 = (1 − 𝑎2 )(1 + 𝑎2 )(1 + 𝑎4 ){𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠} ∴ (1 + 𝑎4 )(1 − 𝑎4 ) = (1 + 𝑎4 )(1 + 𝑎2 )(1 − 𝑎)(1 + 𝑎){𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠} 6 15. 𝑎 − 1 Solución: 𝑎6 − 1 = (𝑎3 + 1)(𝑎3 − 1) {𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠} 2 ∴ (𝑎 + 1)(𝑎 − 𝑎 + 1)(𝑎 − 1)(𝑎2 + 𝑎 + 1) {𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑦 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑏𝑜𝑠} DESCOMPONER EN CINCO FACTORES: 1. 𝒙𝟗 − 𝒙𝒚𝟖 𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏: 𝒙𝟗 − 𝒙𝒚𝟖 = 𝒙(𝒙𝟖 − 𝒚𝟖 ){𝒔𝒂𝒄𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒄𝒐𝒎𝒖𝒏} 𝒙𝟗 − 𝒙𝒚𝟖 = 𝒙(𝒙𝟒 + 𝒚𝟒 )(𝒙𝟒 − 𝒚𝟒 ){𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒍𝒂 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔} 𝟗 𝟖 𝒙 − 𝒙𝒚 = 𝒙(𝒙𝟒 + 𝒚𝟒 )(𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 )(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 ){𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒍𝒂 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔} ∴ 𝒙𝟗 − 𝒙𝒚𝟖 = 𝒙(𝒙𝟒 + 𝒚𝟒 )(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 )(𝒙 + 𝒚)(𝒙 − 𝒚){𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒍𝒂 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝑒𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔} 2. 𝒙𝟓 − 𝟒𝟎𝒙𝟑 + 𝟏𝟒𝟒𝒙 Solución: 𝒙𝟓 − 𝟒𝟎𝒙𝟑 + 𝟏𝟒𝟒𝒙 = 𝒙(𝒙𝟒 − 𝟒𝟎𝒙𝟐 + 𝟏𝟒𝟒){𝒔𝒂𝒄𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒄𝒐𝒎ú𝒏} 𝒙𝟓 − 𝟒𝟎𝒙𝟑 + 𝟏𝟒𝟒𝒙 = 𝒙(𝒙𝟐 − 𝟑𝟔)(𝒙𝟐 − 𝟒) {𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒆𝒍 𝒕𝒓𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂 𝒙𝟐 + 𝒃𝑥 + 𝒄} 𝟓 𝟑 ∴ 𝒙 − 𝟒𝟎𝒙 + 𝟏𝟒𝟒𝒙 = 𝒙(𝒙 + 𝟔)(𝒙 − 𝟔)(𝒙 + 𝟐)(𝒙 − 𝟐) {𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒍𝒂𝒔 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔} 𝒂𝟔 + 𝒂𝟑 𝒃𝟑 − 𝒂𝟒 − 𝒂𝒃𝟑 𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏: 𝒂𝟔 + 𝒂𝟑 𝒃𝟑 − 𝒂𝟒 − 𝒂𝒃𝟑 = 𝒂𝟑 (𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 ) − 𝒂(𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 ){𝒔𝒂𝒄𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒄𝑜𝒎ú𝒏} 𝒂𝟔 + 𝒂𝟑 𝒃𝟑 − 𝒂𝟒 − 𝒂𝒃𝟑 = 𝒂𝟑 (𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 ) − 𝒂(𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 ){𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒍𝒂 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔} 𝟔 𝟑 𝟑 𝟒 𝒂 + 𝒂 𝒃 − 𝒂 − 𝒂𝒃𝟑 = (𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 )(𝒂𝟑 − 𝒂) = 𝒂(𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 )(𝒂𝟐 − 𝟏){sacando factor común} 𝟔 ∴ 𝒂 + 𝒂𝟑 𝒃𝟑 − 𝒂𝟒 − 𝒂𝒃𝟑 = (𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 )(𝒂𝟑 − 𝒂) = 𝒂(𝒂 + 𝒃)(𝒂𝟐 − 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 )(𝒂 + 𝟏)(𝒂 − 𝟏){factorizando la diferencia de cubos y la diferencia de cuadrados} 3. 19 DESCOMPONER EN SEIS FACTORES: 1. 𝒙𝟏𝟕 − 𝒙 Solución: 𝒙𝟏𝟕 − 𝒙 = 𝒙(𝒙𝟏𝟔 − 𝟏) {𝒔𝒂𝒄𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒄𝒐𝒎ú𝒏} 𝒙𝟏𝟕 − 𝒙 = 𝒙(𝒙𝟖 − 𝟏)(𝒙𝟖 + 𝟏){𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒍𝒂 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔} 𝒙𝟏𝟕 − 𝒙 = 𝒙(𝒙𝟖 + 𝟏)(𝒙𝟒 − 𝟏)(𝒙𝟒 + 𝟏) { 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒍𝒂 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔} 𝒙𝟏𝟕 − 𝒙 = 𝒙(𝒙𝟖 + 𝟏)(𝒙𝟒 + 𝟏)(𝒙𝟐 + 𝟏)(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏)) { 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒍𝒂 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔} 2. 𝟑𝒙𝟔 − 𝟕𝟓𝒙𝟒 − 𝟒𝟖𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝟎𝟎 Solución: 𝟑𝒙𝟔 − 𝟕𝟓𝒙𝟒 − 𝟒𝟖𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝟎𝟎 = 𝟑𝒙𝟒 (𝒙𝟐 − 𝟐𝟓) − 𝟒𝟖(𝒙𝟐 − 𝟐𝟓){𝒔𝒂𝒄𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒄𝒐𝒎𝒖𝒏} 𝟑𝒙𝟔 − 𝟕𝟓𝒙𝟒 − 𝟒𝟖𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝟎𝟎 = (𝒙𝟐 − 𝟐𝟓)(𝟑𝒙𝟒 − 𝟒𝟖) = 𝟑(𝒙𝟐 − 𝟐𝟓)(𝒙𝟒 − 𝟏𝟔) {sacando factor común} 𝟑𝒙𝟔 − 𝟕𝟓𝒙𝟒 − 𝟒𝟖𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝟎𝟎 = 𝟑(𝒙 + 𝟓)(𝒙 − 𝟓)(𝒙𝟐 + 𝟒)(𝒙𝟐 − 𝟒) {Factorizando las diferencias de cuadrados} ∴ 𝟑𝒙𝟔 − 𝟕𝟓𝒙𝟒 − 𝟒𝟖𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝟎𝟎 = 𝟑(𝒙 + 𝟓)(𝒙 − 𝟓)(𝒙𝟐 + 𝟒)(𝒙 + 𝟐)(𝒙 − 𝟐) {𝒇𝒂𝒄𝑡𝒐𝒓𝒊𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒍𝒂 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔} 4.- FRACCIONES ALGEBRAICAS Definición:Una fracción algebraica es una expresión de la forma O también, es toda expresión de la forma 𝒂 𝒃 donde a y b son polinomios. r ( x) , donde r(x), q(x) P(x); q(x) 0. q( x) El polinomio r(x) es el numerador y q(x) el denominador de la fracción algebraica. Son fracciones algebraicas: 𝟓𝒙𝟑 𝒙𝟔 𝒚 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃𝟐 − 𝒃𝟑 ; ; − 𝟕 𝟔𝒙 𝒙 𝒃 𝟐𝒃 + 𝟏 Existen tres signos asociados en una fracción algebraica: El signo del numerador El signo del denominador Y el signo resultante de la operación de la fracción Es decir: −𝒂 𝒂 −𝒄 𝒄 𝒄 = ; = =− −𝒃 𝒃 𝒅 −𝒅 𝒅 De lo anterior se observa que se pueden hacer cambios en los signos de una fracción, sin que ésta se altere. 20 4.1.- SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Para simplificar una fracción, se dividen el numerador y el denominador por uno o más factores comunes a ambos. Se obtiene así otra fracción equivalente. Por ejemplo: Simplificar Donde hemos dividido numerador y denominador entre 3, , Para poder simplificar una fracción el numerador y el denominador tiene que estar factorizado. Si no lo están la primera operación ha de ser la de factorizarlos. Por ejemplo: Simplificar Como vemos el denominador es un polinomio, o sea una suma, por tanto antes de simplificar hay que factorizarlo. En este caso el método adecuado es sacar factor común así Más ejemplos: Simplificar las siguientes fracciones algebraicas 1. Como ya son productos, tanto el numerador como el denominador, basta dividir numerador y denominador por los factores comunes 2. 3. En esta fracción aparece una suma en el numerador y otra en el denominador, por tanto hay que factorizar ambas cosas. Podemos sacar factor común en el numerador e en el denominador 21 4. , aquí el numerador es una suma pero no se puede factorizar, pero el denominador se puede factorizar ya que es el cuadrado de una suma. 5. , aquí sólo podemos factorizar el denominador, que se trata de una diferencia de cuadrados y que es igual a suma por diferencia Ejercicios propuestos: Simplifica cada una de las siguientes fracciones algebraicas 15a 3 b 2 20ab 4 121a 4 c 5 d 7 (3) 11ac 5 d 8 16a 2 56ab 32b 2 (5) 2a 2 5ab 3b 2 (1) (7) 27m 36n 36m 48n a 2 2ab b 2 3a 3b 2 x 5x 6 (11) x 2 2x 3 x 2 27x 42 (13) 5 x 2 15x 140 (9) m 4 n m2n3 m3n m2n2 8a 16b (4) 24 (2) 12mn (6) 18m n 3 3 2 (8) 4 x2 x x y x (10) 4p 2q 8p 8pq 2q 2 (12) a3 b3 a2 b2 2 16x 2 y 25y (14) 4x 2 y 3x y 10y 4.2.-. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM) Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) Un polinomio p(x) es el mínimo (MCM) de un conjunto de polinomios dados, si p(x) es el polinomio de menor grado divisible por cada uno de los polinomios del conjunto. Para encontrar el m.c.m. debemos, en primer lugar, factorizar cada uno de los polinomios en sus factores primos y luego obtener el producto de los distintos factores primos, eligiendo en cada caso el de mayor exponente. Cálculo del MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M) Partiendo de dos o más números y por descomposición en factores primos, expresados como producto de factores primos, su mínimo común múltiplo será el resultado de multiplicar los factores comunes y no comunes elevados a la mayor potencia, por ejemplo el mcm de 72 y 50 será: 22 Tomando los factores comunes y no comunes con su mayor exponente, tenemos que: El MCM se puede emplear para sumar o restar fracciones de distinto denominador, tomando el MCM de los denominadores de las fracciones, y convirtiéndolas en fracciones equivalentes que puedan ser sumadas. Véase el siguiente ejemplo: Para poder efectuar la suma, primero se debe buscar el mínimo común múltiplo de los denominadores (6 y 33) Luego, el mínimo común múltiplo de 6 y 33 es: que corresponde al número 66; ambas fracciones tendrán como denominador 66, ahora sólo hay que hallar a cada fracción su fracción equivalente, con denominador 66 y será posible la suma: Operando las fracciones, podemos realizar la suma: Cálculo del MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) El máximo común divisor de dos números puede calcularse determinando la descomposición en factores primos de los dos números y tomando los factores comunes elevados a la menor potencia, el producto de los cuales será el MCD. Ejemplo: para calcular el máximo común divisor de 48 y de 60 se obtiene de su factorización en 23 factores primos El MCD son factores comunes con su menor exponente, esto es: En la práctica, este método solo es operativo para números pequeños tomando en general demasiado tiempo calcular la descomposición en factores primos de dos números cualquiera. Mínimo común múltiplo de fracciones algebraicas Dadas dos fracciones algebraicas, reducirlas a común denominador es encontrar dos fracciones algebraicas equivalentes con el mismo denominador. Reducir a común denominador las fracciones: x x 1 2 y 1 x .3 x 2 2 1 Descomponemos los denominadores en factores para hallarles el mínimo común múltiplo, que será el común denominador. x 2 − 1 = (x + 1) · (x − 1) x 2 + 3x + 2 = (x +1 ) · (x + 2) m.c.m. (x 2 − 1, x 2 + 3x + 2) = (x + 1) · (x − 1) · (x + 2) 2 Dividimos el común denominador entre los denominadores de las fracciones dadas y el resultado lo multiplicamos por el numerador correspondiente. Ejemplos resueltos de determinación de mínimo común múltiplo para cada conjunto de polinomios. Polinomios factores m.c.m. 24 1) 9x 2 y 32 x 2 y 22 32 x 5y 4 6x y4 23 x y4 36x 5 y 4 12x 5 y 22 3 x 5 y ( x 2)( x 3) x 2 5x 6 2) 3) x 2 6x 9 x 2 3x 2 x2 ab 3b 3a a2 b2 5a 5b 6 x 3 6y 3 4) ( x 3) 2 ( x 2)( x 1) ( x 2) ( 1) (b a) 3 (b a) ( 1) (b a)(b a) ( 1) 5 (b a) ( x 2)(x 3) 2 ( x 1) 1 3 5(b a)(b a) 15 (b 2 a 2 ) 3 2 ( x y )( x 2 x y y 2 ) x2 x y y 2 x2 x y y 2 3 2( x y )( x 2 x y y 2 ) 2( x y ) 2 (x y) 6( x 3 y 3 ) Ejercicios de aplicación de MCM y MCD 1.-Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada minuto. A las 6.30 de la tarde los tres coinciden. Averigua las veces que volverán a coincidir en los cinco minutos siguientes. Debemos tener todos los tiempos en la misma unidad, por ejemplo en segundos. 12 = 2 2 · 3 18 = 2 · 3 2 60 = 2 2 · 3 · 5 MCM. (12 , 18, 60) = 2 2 · 3 2 · 5 = 180 180 : 60 = 3 Coinciden cada 3 minutos, por tanto en los 5 minutos siguientes sólo coinciden una vez. Sólo a las 6.33 h . 2.- El suelo de una habitación, que se quiere embaldosar, tiene 5 m de largo y 3 m de ancho. Calcula el lado de la baldosa y el número de la baldosas, tal que el número de baldosas que se coloque sea mínimo y que no sea necesario cortar ninguna de ellas. 25 Como las baldosas se suelen medir en centímetros, pasamos todo a centímetros. 3 m = 300 cm = 2² · 3 · 5² 5 m = 500 cm = 2² · 5³ A = 300 · 500 = 150000 cm 2 m. c. d. (300, 500) = 2² · 5² = 100 cm de lado A b = 100 2 = 10000 cm 2 150000 : 10000 = 15 baldosas 3.- Un comerciante desea poner en cajas 12 028 manzanas y 12 772 naranjas, de modo que cada caja contenga el mismo número de manzanas o de naranjas y, además, el mayor número posible. Hallar el número de naranjas de cada caja y el número de cajas necesarias. Calculamos el máximo común divisor. 12 028 = 2² · 31 · 97 12 772 = 2² · 31 · 103 m. c. d. (12 028, 12 772) = 124 124 naranjas en cada caja. Cajas de naranjas = 12 772 / 124 = 103 Cajas de manzanas = 12 028 / 124 = 97 Cajas necesarias = 103 + 97 = 200 4.- ¿Cuánto mide la mayor baldosa cuadrada que cabe en un número exacto de veces en una sala de 8 m de longitud y 6.4 m de anchura? ¿Y cuántas baldosas se necesitan? Pasamos las unidades a centímetros porque las baldosas se miden en centímetros. 8 m = 800 cm = 2 5 · 5² cm 6.4 m = 640 cm = 2 7 · 5 cm m. c. d. (800, 640) = 2 5 · 5 = 160 cm de lado A b = 160 2 = 25600 cm 2 A = 800 · 640 = 512000 cm 2 512000 : 25600 = 20 baldosas 4.3.- OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS 4.3.1 Suma y resta de fracciones algebraicas. Suma de fracciones algebraicas : Con el mismo denominador: 26 Con distinto denominador: El proceso se ilustra en el siguiente ejemplo: Buscamos el MCM de los denominadores. (x+1)=(x+1) (x-1)=(x-1) Entonces Resta las fracciones algebraicas: 4.3.2 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS 27 Multiplicación de fracciones algebraicas División de fracciones algebraicas I.- Realiza las siguientes operaciones 28 29 Ejemplos: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 16𝑎2 𝑏 3 = 8𝑏 2𝑎2 𝑏 2 2𝑥 2 −2𝑥−24 2(𝑥 2 −𝑥−12) = 2𝑥+6 42𝑎3 −30𝑎2 𝑚 (𝑥−4)(𝑥+3) = 2(𝑥+3) 6𝑎2 (7𝑎−5𝑚) 𝑥+3 6𝑎2 = 5𝑚2 (7𝑎−5𝑚) = 5𝑚2 35𝑎𝑚2 −25𝑚3 12𝑎3 𝑥 4 +2𝑎2 𝑥 5 = 2𝑎2 𝑥 4 (6𝑎+𝑥) 18𝑎𝑏 2 𝑥+3𝑏2 𝑥 2 3𝑏 2 𝑥(6𝑎+𝑥) (𝑎−1)2 𝑎2 −2𝑎+1 = 𝑎−1 𝑥 2 −2𝑥𝑦+𝑦 2 𝑥 2 −𝑦 2 =𝑥−4 2𝑎2 𝑥 3 = 3𝑏 2 =𝑎−1 𝑎−1 (𝑥−𝑦)2 𝑥−𝑦 = (𝑥+𝑦)(𝑥−𝑦) = 𝑥+𝑦| Ejercicios taller simplificación fracciones algebraicas 1) 2) 3) 4) 5) 𝑎𝑐+𝑏𝑐+𝑎𝑑+𝑏𝑑 𝑎2 +𝑎𝑏 (𝑎+𝑏)2 (𝑎3 −𝑏3 ) = (𝑎2 −𝑏 2 )2 8𝑎12 −125𝑏15 = 𝑎(𝑐+𝑑)+𝑏(𝑐+𝑑) = (𝑐+𝑑)(𝑎+𝑏) = 𝑐+𝑑 𝑎(𝑎+𝑏) 𝑎(𝑎+𝑏) 𝑎 2 2 2 2 (𝑎+𝑏) (𝑎−𝑏)(𝑎 +𝑎𝑏+𝑏 ) (𝑎+𝑏) (𝑎−𝑏)(𝑎2 +𝑎𝑏+𝑏 2 ) = [(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)]2 (𝑎+𝑏)2 (𝑎−𝑏)2 = 𝑎2 +𝑎𝑏+𝑏2 𝑎−𝑏 = 4𝑎8 + 10𝑎4 𝑏 5 + 25𝑏10 2𝑎4 −5𝑏5 𝑥 2 +𝑥 𝑥 =𝑦 𝑦𝑥+𝑦 𝑥+1 𝑥 2 +2𝑥+1 = 1 𝑥+1 5. RADICALES 5.1. SIMPLIFICACION DE RADICALES. SIMPLIFICAR UN RADICAL. Es reducirlo a su más simple expresión. Un radical está reducido a su más simple expresión cuando la cantidad subradical es entera y del menor grado posible Para simplificar radicales debe tenerse muy presente que para extraer una raíz a un producto se 𝑛 𝑛 𝑛 1 𝑛 1 1 extrae dicha raíz a cada uno de sus factores, o sea √𝑎𝑏𝑐 = √ 𝑎 · √𝑏 · √𝑐 = (𝑎𝑛 ) (𝑏 𝑛 ) (𝑐 𝑛 ) En la simplificación de radicales consideraremos los dos casos siguientes: CASO I: Cuando la cantidad subradical contiene factores cuyo exponente es divisible entre el índice de la raíz. 1).- Simplificar √9𝑎3 √9𝑎3 = √32 · 𝑎2 · 𝑎 = √32 · √𝑎2 · √𝑎 = 3a √𝑎 2 2 1/2 (3 𝑎 𝑎) = 1 (32 )2 1 (𝑎2 )2 1 2 2 2 2 2 o también: 1 1 (𝑎) = (3 ) (𝑎 ) (𝑎2 ) = 3𝑎 (𝑎)2 = 3a √𝑎 2).- Simplificar 2√75𝑥 4 𝑦 5 2√75𝑥 4 𝑦 5 = 2√3 · 52 · 𝑥 4 · 𝑦 4 · 𝑦 = 2 √52 · √𝑥 4 · √𝑦 4 ·√3𝑦 2 · 5 · 𝑥 2 · 𝑦 2 · √3𝑦 = 10𝑥 2 𝑦 2 √3𝑦 En la práctica no se indican las raíces, sino que una vez arreglados los factores de la cantidad subradical, aquellos cuyo exponente sea divisible entre el índice, se sacan del radical dividiendo su exponente entre el índice. 1 3).- Simplificar 7 √49𝑥 3 𝑦 7 1 7 1 1 √49𝑥 3 𝑦 7 = 7 √72 · 𝑥 2 · 𝑥 · 𝑦 6 = 7 × 7𝑥𝑦 3 √𝑥𝑦 = 𝑥𝑦 3 √𝑥𝑦 30 Ejercicios: Simplificar: 4 1).- 2).- 3 √81𝑥 3 𝑦 4 2√243 3).- 1 3𝑎 √27𝑎3 𝑚7 CASO II: Cuando los factores de la cantidad subradical y el índice tienen un divisor común. 1).- Simplificar 2).- Simplificar 4 √4𝑎2 4 6 6 √9𝑎2 𝑥 2 ; R 15 2 6 15 1 2 2 1 15 6 4 1 1 1 3 5 √27𝑥 3 𝑦 6 = √33 · 𝑥 3 · 𝑦 6 = √3𝑥𝑦 2 R. 8 2).- 5√49𝑎2 𝑏 4 1).- √9 2 √9𝑎2 𝑥 2 = √32 · 𝑎2 𝑥 2 = 36 · 𝑎6 ·𝑥 6 = 33 ·𝑎3 ·𝑥 3 = √3𝑎𝑥 3).- Simplificar √27𝑥 3 𝑦 6 Ejercicios. Simplificar: 2 4 √4𝑎2 = √22 · 𝑎2 = 24 · 𝑎4 = 22 · 𝑎2 = √2𝑎 R. 3).- √81𝑥 4 𝑦 8 5.2 RACIONALIZACION DE RADICALES 5.2.1.- CASO 1. EL DENOMINADOR ES UN MONOMIO Procedimiento 1. Se multiplican los dos términos de la fracción por un radical, del mismo índice de la raíz en el denominador, que multiplicado por éste se elimine el signo radical. 2. Se simplifica Racionalizar el denominador de: 𝟏 1. √𝟑 𝟏∗√𝟑 √𝟑 Solución: = 𝟑 √𝟑∗√𝟑 2. 3. 4. 5. 6. 7. 𝟓 √𝟐 𝟑 𝟒√𝟓 𝟐𝒂 √𝟐𝒂𝒙 𝟓 𝟑 √𝟒𝒂𝟐 𝟏 𝟑 √𝟗𝒙 𝟑 𝟒 √𝟗𝒂 𝟓 𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏: √𝟐 = 𝟑 𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏: 𝟒√𝟓 𝟐𝒂 𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏: √𝟐𝒂𝒙 = 5√𝟐 𝟐 = 𝟑∗√𝟓 = = 𝟑√𝟓 𝟐𝟎 𝟐𝒂√𝟐𝒂𝒙 = 𝟐𝒂𝒙 √𝟐𝒂𝒙∗√𝟐𝒂𝒙 𝟑 𝟒√𝟓∗√𝟓 𝟐𝒂∗√𝟐𝒂𝒙 𝟓 𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏: 𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏: 𝟓∗√𝟐 √𝟐∗√𝟐 𝟑 √𝟒𝒂 𝟏 𝟑 √𝟗𝒙 = 𝟏∗ √(𝟗𝒙)𝟐 𝟑 𝟑 𝟓∗ √𝟐𝒂 = 𝟐 𝟑 √𝟗𝒙∗ √(𝟗𝒙)𝟐 √𝟐𝒂𝒙 𝒙 = 𝟑 𝟑 √(𝟐𝒂)𝟐 ∗ √𝟐𝒂 = 𝟑 √𝟖𝟏𝒙𝟐 𝟗𝒙 = = 𝟑 𝟑 𝟓 √𝟐𝒂 𝟑 √(𝟐𝒂) √𝟑𝟑 ∗𝟑𝒙𝟐 𝟗𝒙 = = 𝟑 𝟑 𝟓 √𝟐𝒂 𝟐𝒂 𝟑 √𝟑𝒙𝟐 𝟑𝒙 Solución: 𝟒 𝟑 ∗ √(𝟗𝒂)𝟑 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒 𝟑 𝟑√𝟐𝟒𝟑𝒂𝟑 √𝟑𝟑 ∗ 𝟑𝟐 𝒂𝟑 𝟑√𝟗𝒂𝟑 √𝟗𝒂 = = = = = 𝟒 𝟗𝒂 𝟑𝒂 𝟑𝒂 𝒂 √𝟗𝒂 𝟒√𝟗𝒂 ∗ 𝟒√(𝟗𝒂)𝟑 𝟑 31 5.2.2.- CASO 2: EXPRESIONES CONJUGADAS Procedimiento 1. Se multiplica tanto el numerador como el denominador por la conjugada del denominador 2. Se efectúan los productos indicados; en el denominador, la suma por la diferencia de dos cantidades. 3. Se reduce y se simplifica Racionalizar el denominador de: 𝟑−√𝟐 1. Solución: La conjugada del denominador es 𝟏 − √𝟐; entonces, multiplicamos 𝟏+√𝟐 tanto el numerador y el denominador de la fracción por 𝟏 − √𝟐 𝟑 − √𝟐 (𝟑 − √𝟐)(𝟏 − √𝟐) 𝟑 − 𝟒√𝟐 + 𝟐 𝟓 − 𝟒√𝟐 = = = = 𝟒√𝟐 − 𝟓 𝟏−𝟐 −𝟏 𝟏 + √𝟐 (𝟏 + √𝟐)(𝟏 − √𝟐) 2. 𝟓+𝟐√𝟑 Solución: La conjugada del denominador es 𝟒 + √𝟑; entonces, multiplicamos 𝟒−√𝟑 tanto el numerador y el denominador de la fracción por 𝟒 + √𝟑. 𝟓 + 𝟐√𝟑 (𝟓 + 𝟐√𝟑)(𝟒 + √𝟑) 𝟐𝟎 + 𝟏𝟑√𝟑 + 𝟐(𝟑) 𝟐𝟔 + 𝟏𝟑√𝟑 = = = 𝟏𝟔 − 𝟑 𝟏𝟑 𝟒 − √𝟑 (𝟒 − √𝟑)(𝟒 + √𝟑) = 3. 4. 𝟏𝟑(𝟐 + √𝟑) = 𝟐 + √𝟑 𝟏𝟑 √𝟐−√𝟓 Solución: La conjugada del denominador es √𝟐 − √𝟓; entonces, multiplicamos √𝟐+√𝟓 tanto el numerador y el denominador de la fracción por √𝟐 − √𝟓. √𝟐 − √𝟓 (√𝟐 − √𝟓)(√𝟐 − √𝟓) 𝟐 − 𝟐√𝟐√𝟓 + 𝟓 𝟕 − 𝟐√𝟏𝟎 𝟐√𝟏𝟎 − 𝟕 = = = = 𝟐−𝟓 −𝟑 𝟑 √𝟐 + √𝟓 (√𝟐 − √𝟓)(√𝟐 + √𝟓) √𝒂+𝒃−√𝒂−𝒃 Solución: La conjugada del denominador es √𝒂 + 𝒃 − √𝒂 − 𝒃; entonces, √𝒂+𝒃+√𝒂−𝒃 multiplicamos tanto el numerador y el denominador de la fracción por √𝒂 + 𝒃 − √𝒂 − 𝒃. √𝒂 + 𝒃 − √𝒂 − 𝒃 (√𝒂 + 𝒃 − √𝒂 − 𝒃)(√𝒂 + 𝒃 − √𝒂 − 𝒃) 𝒂 + 𝒃 − 𝟐√𝒂 + 𝒃√𝒂 − 𝒃 + 𝒂 − 𝒃 = = 𝒂 + 𝒃 − (𝒂 − 𝒃) √𝒂 + 𝒃 + √𝒂 − 𝒃 (√𝒂 + 𝒃 + √𝒂 − 𝒃)(√𝒂 + 𝒃 − √𝒂 − 𝒃) = 𝟐𝒂 − 𝟐√(𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃) 𝒂+𝒃−𝒂+𝒃 = 𝟐𝒂 − 𝟐√𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 𝟐𝒃 = 𝒂 − √𝒂𝟐 − 𝒃 𝟐 𝒃 Ejercicios taller de racionalización de radicales 1) 2) 𝟓 √𝟐 = 𝟓√𝟐 √𝟐√𝟐 = 𝟓√𝟐 √𝟐𝟐 = 𝟓√𝟐 𝟐 𝟐√𝟑 √𝟏𝟖 = 2√𝟑 √𝟐 ∗ 𝟑𝟐 = 𝟐√𝟑 𝟑√𝟐 3) 𝟕 √𝟓 − √𝟑 = 𝟕(√𝟓 + √𝟑) (√𝟓 − √𝟑)(√𝟓 + √𝟑) 4) 𝟏 𝟑 √𝟐𝟓 𝟐 𝟒 √𝟐 𝟏 = 𝟑 √𝟓𝟐 𝟑 = √𝟓𝟐 𝟑 √𝟓 √𝟓 𝟒 = 𝟐 √𝟐𝟑 𝟒 𝟒 √𝟐 √𝟐𝟑 𝟐𝟑 𝟐 √𝟐𝟑 𝟒 √𝟐𝟒 𝟕(√𝟓 + √𝟑) 𝟕(√𝟓 + √𝟑) = 𝟓−𝟑 𝟐 𝟑 = √𝟓 𝟓 = 𝟐 √𝟐𝟑 𝟒 𝟑 = √𝟐 𝟐 𝟒 = = 𝟒 32 5) 𝒙 √𝒙 + 𝟏 − √𝒙 − 𝟏 6) 𝟐 √𝟐 + √𝟑 = 𝒙(√𝒙 + 𝟏 + √𝒙 − 𝟏) 𝟐 = −𝟐(√𝟐 − √𝟑) 7) 𝟐 √𝟐 − √𝟑 = 𝟐(√𝟐 + √𝟑) (√𝟐 − √𝟑)(√𝟐 + √𝟑) = 𝟐√𝟐 + 𝟐√𝟑 𝟐 𝟐 (√𝟐) − (√𝟑) = 𝟐√𝟐 + 𝟐√𝟑 𝟐√𝟐 + 𝟐√𝟑 = 𝟐−𝟑 −𝟏 = −𝟐√𝟐 − 𝟐√𝟑 8) √𝟐 √𝟑 − √𝟐 = √𝟔 + √𝟐𝟐 𝟐 𝟐 (√𝟑) − (√𝟐) = 𝟐 + √𝟔 = 𝟐 + √𝟔 𝟑−𝟐 9) 𝟏 𝟐√𝟑 − √𝟓 𝟏 = ∗ (𝟐√𝟑 + √𝟓) (𝟐√𝟑 − √𝟓) (𝟐√𝟑 + √𝟓) = 𝟐√𝟑 − √𝟓 𝟐 𝟐 (𝟐√𝟑) − (√𝟓) = 𝟐√𝟑 + √𝟓 (𝟐√𝟑 − √𝟓) = 𝟒∗𝟑−𝟓 𝟕 10) 𝟐 √𝟑 − √𝟓 = 𝟐(√𝟑 + √𝟓) (√𝟑 + √𝟓)(√𝟑 − √𝟓) = 𝟐(√𝟑 + √𝟓) 2 2 (√3) − (√5) = 2(√3 + √5) 2(√3 − √5) = = −√3 + √5 3−5 −2 11) 4 √6 − √5 = 4 ∗ √6 + √5 √6 − √5 √6 + √5 = 4(√6 + √5) (√6 + √5)(√6 − √5) = 4(√6 + √5) 2 2 (√6) + (√5) = 4(√6 + √5) 4(√6 + √5) = 6−5 1 = 4(√6 + √5) 5.2.3.- CASOS ESPECIALES: RACIONALIZAR EL NUMERADOR EJERCICIOS. Racionalizar el numerador de las siguientes expresiones: Utilizar el mismo procedimiento del caso I y caso II anteriores, pero operando los numeradores. Ejercicios Respuestas 1. 2. 3. 4. 5√2 − 4√3 2 19 95√2 + 76√3 7√2 − 6√3 3√2 5√7 + 4√11 √7 + 3√11 − 5 9√6 + 21 1 97−11√77 2√а + √𝑥 4a− x √a + √x 2a−x+ √а𝑥 33 5. √а + √а+1 √a − √a+1 6. √а+4 + √а √a+4 − √a 7. √а+𝑏 + √а−𝑏 √a+b − √a−b 1 2√a2 +a−2a−1 2 a+2−√a2 +4a b a−√a2 − b2 6.- GRAFICACIÓN DE RECTAS Y SOLUCIÓN DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES. Se llama ecuación lineal con dos incógnitas a cualquier expresión de la forma: ax+by=c donde a, b y c son números reales cualesquiera y x e y son las incógnitas Toda ecuación lineal con dos incógnitas representa una línea recta o, simplemente, recta. 6.1 GRAFICACIÓN DE RECTAS Para graficar una recta basta con hallar dos de sus puntos, despejando y, dándole dos valores a x, sustituyendo dichos valores en la ecuación y calculando los correspondientes valores de y. Posteriormente en el plano cartesiano se localizan dichos puntos y con el borde de una regla se traza una línea que una a los puntos. Ejercicios. Graficar las siguientes ecuaciones lineales: a) 5x - 3y = 0; b) 3x+4y=12; c) x-3=0; d) y=2 Se le llama sistema de ecuaciones lineales al conjunto de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas. Casos en la solución de un sistema de ecuaciones lineales. SOLUCION UNICA INFINITAS SOLUCIONES SOLUCION INCONSISTENTE APLICACIONES:http://webpages.ull.es/users/amontes/cabri/inter-rc.htm http://tutormatematicas.com/archivoCAR/archivoCAR_alg/Interactivo_Forma_Pendiente_Interseccion_Linea _Recta.html 6.2 SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE APLICACIONES LINEALES EJEMPLOS: Resuelve por sustitución, por igualación y por reducción el sistema: 34 2x + 3y = −1 { 3x + 4y = 0 POR SUSTITUCIÓN: 2( −4y ) + 3y = −1 3 −4y 3x = −4y → x= 3 −8y → + 3y = −1 → −8y + 9y = −3 3 −4(−3) x= =4 3 → y = −3 6.2.- Por igualación −4y 3 −1 − 3y 2x = −1 − 3y → x = 2 −4y −1 − 3y = 3 2 3(−1 − 3y) = 2(−4y) → −3 − 9y = −8y → −4(−3) x= =4 3 3x = −4y 6.3 Por reducción: → x= y = −3 ∗3 2x + 3y = −1 → 6x + 9y = −3 { 3x + 4y = 0 ∗−2 { −6x − 8y = 0 → y = −3 −4(−3) x= =4 3 Ejercicios: 35 7. Ecuaciones cuadráticas Las siguientes expresiones algebraicas son ejemplos de ecuaciones cuadráticas o ecuaciones de segundo grado con una incógnita: x2 + 2x – 8 = 0, 3x2 – 5x = 20, 4x2 + 12x – 8 = 0 , x2 + 12x = 0, 4x2– 8 = 0, x2 + 3x – 2 = 0, x2 – x – 12 = 0. Solución de ecuaciones cuadráticas. Ecuaciones cuadráticas completas como las anteriores, que tienen la forma, , pueden resolverse: a) Por factorización, b) Mediante la fórmula general. (Otro método empleado se denomina completando cuadrados el cual no se muestra en este material). 7.1 Aplicación de Factorización Simple La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio que los hace igual a cero, estas son las soluciones o raíces de la ecuación cuadrática. Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación x2 + 2x – 8 = 0. Aplicando la factorización de expresiones de la forma 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, en el caso cuando 𝑎 = 1, su buscan dos números cuyo producto sea -8 y sumados den 2. (x + 4 ) (x – 2) = 0 x+4=0 x–2=0 x=0–4 x=0+2 x = -4 x=2 Estas son las dos soluciones o raíces. 7.2 Fórmula General Este método es muy simple, hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática en la siguiente fórmula: 𝑥= −𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐 2𝑎 Ejemplo: Resolver mediante la fórmula general la siguiente ecuación cuadrática x2 + 2x – 8 = 0; a = 1, b = 2, c = -8 36 x = -2 ± 6 2 X = -2 + 6 2 x=4 2 x=2 x = -2 - 6 2 x = -8 2 x=-4 Estas son las dos soluciones o raíces. Ejercicios Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas empleando la fórmula general o por factorización según sea el caso: x2 + 2x – 8 = 0, 4x2 + 12x – 8 = 0 , x2 + 3x – 2 = 0, 3x2 – 5x = 20, x2 + 12x = 0, 4x2– 8 = 0, x2 – x – 12 = 0. OBSERVACIÓN.- La resolución de ecuaciones cuadráticas mediante la fórmula general se puede emplear para resolver cualquier ecuación cuadrática, mientras que el de factorización sólo es aplicable cuando las raíces son números enteros. 8.- DESPEJE DE FÓRMULAS Y REGLA DE TRES Los términos son expresiones que constan de uno o varios símbolos no separados por los signos de más (+) o menos (−). Una ecuación es una igualdad en donde están involucrados varios términos. Una ecuación está dividida en dos partes, el primer miembro que está a la izquierda de la igualdad y el segundo miembro que está a la derecha de la igualdad. Una fórmula es una ecuación que expresa una ley o principio general. Ejemplo: La ecuación V = 𝑽𝟎 + 𝒂𝒕 , es la fórmula para determinar la velocidad de un objeto, en la que tenemos tres términos, que hemos señalado en los recuadros: Términos V = 𝑽𝟎 + 𝒂𝒕 1er miembro 2do miembro Las variables son cada una de las posibles incógnitas de la ecuación, que en este ejemplo son V, 𝑽𝟎 , 𝒂 y 𝒕. Despejar consiste en modificar una ecuación hasta que la variable seleccionada quede sola en uno de los miembros de la igualdad. Para efectuar el despeje de una variable se aplica el axioma fundamental de las ecuaciones: “Si con cantidades iguales se verifican operaciones iguales los resultados serán iguales”. Como resultado directo de este teorema tenemos que para cambiar los términos de una ecuación de un miembro a otro, aplicamos la siguiente regla: 37 Si un término en un miembro está sumando restando multiplicando dividiendo restando sumando dividiendo multiplicando Las siguientes reglas tienen plena justificación, debido a que los números reales son un campo. En forma general se consideran para toda ecuación algebraica simplificada a su mínima expresión. Procedimiento General. Estos pasos deben aplicarse en el orden en que se presentan para obtener un despeje correcto. 1.- Si existen diversos denominadores, para eliminarlos debes hallar el común denominador A AMBOS LADOS de la fórmula. Multiplica la ecuación por este común denominador y simplificar cada término. 2.- Lleva TODOS los términos que tengan la variable a despejar a un sólo lado de la fórmula, y los demás términos al otro lado; debes tener en cuenta que cuando pasas de un lado al otro los términos que estaban sumando pasan a restar y viceversa. 3.- Suma los términos semejantes (si se puede). 4.- Si la variable a despejar se encuentra en el denominador cambiarla al otro lado. 5.- Aislar el término donde está la variable a despejar en alguno de los miembros. 6.- TODOS los números y/o variables que acompañan la incógnita a despejar, pasan al otro lado, a realizar la operación contraria: si estaban dividiendo pasan a multiplicar y viceversa.( OJO: En este caso NUNCA se cambia de signo a las cantidades que pasan al otro lado) 7.- Si la variable queda negativa, multiplica por (-1) a AMBOS lados de la fórmula para volverla positiva (en la práctica es cambiarle el signo a TODOS los términos de la fórmula) 8.- Si la variable queda elevada a alguna potencia (n), debes sacar la raíz (n) a AMBOS lados de la fórmula para eliminar la potencia. Ten en cuenta que no siempre es necesario aplicar todos los pasos para despejar una incógnita. Ejemplo: En la ecuación x= (at²)/2 a) Despejar “a” Solución: x = (at²)/2 ⇒ 𝒙= 𝒂𝒕𝟐 𝟐 ⇒ 2x = 𝒂t² ⇒ 𝟐𝒙 𝒕𝟐 =𝒂⇒ 𝒂= 𝟐𝒙 𝒕𝟐 b) Despejar "t" Solución x = (at²)/2 ⇒ 𝒙= 𝒂𝒕𝟐 𝟐 ⇒ 𝟐𝒙 = 𝒂𝒕𝟐 ⇒ 𝒕𝟐 = 𝟐𝒙 𝒂 ⇒ 𝟐𝒙 𝒕 = √𝒂 Ejemplos: 38 1.-Despejemos x en la ecuación z= r t − wa + dxdy 2. Encontremos el valor de z en la ecuación xs=rtz 3. Encontremos el valor de «y» en la ecuación r+y−s=q 4.- Despejar c en la ecuación 𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 5.- Despejar 𝒑 en 𝟏 𝟏 𝟏 = 𝒓−𝒑. 𝒇 6.- Despejar c en 𝒙 = −𝒃+√𝒃𝟐 −𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂 . Regla de tres simple En la regla de tres simple, se establece la relación de proporcionalidad entre dos valores conocidos A y B, y conociendo un tercer valor X, calculamos un cuarto valor. Y, 𝐴→ 𝐵 y 𝑋→ 𝑌 La relación de proporcionalidad puede ser directa o inversa, será directa cuando a un mayor valor de A habrá un mayor valor de B, y será inversa, cuando se dé que, a un mayor valor de A corresponda un menor valor de B, veamos cada uno de esos casos. Regla de tres simple directa La regla de tres simple directa se fundamenta en una relación de proporcionalidad, la regla de tres establece una relación de proporcionalidad, por lo que rápidamente se observa que: Donde k es la constante de proporcionalidad, para que esta proporcionalidad se cumpla tenemos que a un aumento de A le corresponde un aumento de B en la misma proporción. Que podemos representar: y diremos que: A es directamente proporcional a B, como X es a Y, siendo Y igual al producto de B por X dividido entre A. Imaginemos que se nos plantea lo siguiente: Si necesito 8 litros de pintura para pintar 2 habitaciones, ¿cuántos litros necesito para pintar 5 habitaciones? Este problema se interpreta de la siguiente manera: la relación es directa, dado que, a mayor número de habitaciones hará falta más pintura, y lo representamos así: Regla de tres simple inversa En la regla de tres simple inversa, en la relación entre los valores se cumple que: donde, e es un producto constante, para que esta constante se conserve, tendremos que un aumento de A, necesitara una disminución de B, para que su producto permanezca constante, si representamos la regla de tres simple inversa, tendremos: 39 y diremos que: A es inversamente proporcional a B, como X es a Y, siendo Y igual al producto de A por B dividido por X. Si por ejemplo tenemos el problema: Si 8 trabajadores construyen un muro en 15 horas, ¿cuánto tardarán 5 trabajadores en levantar el mismo muro? Si se observa con atención el sentido del enunciado, resulta evidente que cuantos más obreros trabajen, menos horas necesitarán para levantar el mismo muro (suponiendo que todos trabajen al mismo ritmo). El total de horas de trabajo necesarias para levantar el muro son 120 horas, que pueden ser aportadas por un solo trabajador que emplee 120 horas, 2 trabajadores en 60 horas, 3 trabajadores lo harán en 40 horas, etc. En todos los casos el número total de horas permanece constante. Tenemos por tanto una relación de proporcionalidad inversa, y deberemos aplicar una regla de tres simples inversas, tenemos: Campo de aplicación Como se ha comentado, la regla de tres es un mecanismo sencillo y extremadamente útil que sólo se puede establecer cuando existe una relación de linealidad entre los valores que pueden tomar las variables que intervienen. Sin embargo no es siempre fácil averiguar si existe tal relación, de modo que es necesario utilizar para ello el sentido común y la experiencia. Ejemplos Para pasar 60 grados a radianes podríamos establecer la siguiente regla de tres: Ubicamos la incógnita en la primera posición: Esto formaliza la pregunta "¿Cuántos radianes hay en 60 grados, dado que π radianes son 180 grados?". Así tenemos que: Donde π es el Número π. Una técnica útil para recordar cómo encontrar la solución de una regla de tres es la siguiente: X es igual al producto de los términos cruzados (π y 60, en este caso) dividido por el término que está frente a X. Calcular cuántos minutos hay en 7 horas. Sabemos que hay 60 minutos en 1 hora, por lo que escribimos: El resultado es: 40