Un pa s - eoa lrededo dl ateor´ı ad econjunto Introducción

La Gace
t − a de la RSM
E
Vo l
Un pa s − e o a lrededo
1
( 200 8 ) , Nú m . 1 , Pág
d
. 45 – 9
4
l ateorı́ ad econjunto
po
José
Introducción
Lui
Góme zPard
La teo r iacute − a de o − cnj−u nto sh a ocupad o , desd equ eCanto rl ae t − s a
blec ócom oun a di
cip il na i − n depen dient a finale de lsigl oXIX , u nluga respe ci le n l sm a
e − t m á tic a A lo largo d e sigl XX s h id gener a l − i zand ol aide ad equ
e l sc onjunt s o − s un concep t − o u − f n − da menta e debid o aqu eproporciona
nu nleng ua ea lcu a , e no cier sentido , pued e − n r d − e ucirs l toda sla smatemá
t − i ca s . Est aide ay a e t − s ab a presen ee n
´ o n d lo nú mero sreale s aparti rd elo sentero sre al z − i ad apo rD
construcc i −
edek i − n d y teorı́a de co nj−u nto s desd ee m oment oe nqu es eform alz óco ne l
o bjet v − i od equ ep
diera ser v i − r p a a − r desarrolla rla smatemática sa lampar od ela samen az s plant
e − a d por las pa r − a d o ja surgida s aprincipio sde lsigl opasad o , pas ó a s rcon
side a − rd a c − o m parte in t − e ga nt sd l qu es epued ellama r fundamento sd
ela sm eaem á tica . Un ad las ideas b ás i − c a q u oe justifica nest aadscripció ne sl
ad equ e , e n princip i , s e u − s po
´ i aredu c r aun adedu occoacute − i
que cualquie dm ostració m atemátic as epod r −
n f o − r m a en el sen t i − do de ea−l lógic a dentr od el ateorı́ ad econjunto sa
xom áti c . E s cier oqu nad i − e ha vis o − t u n − a demostració m atemátic an o
t i − r via ltot a − l me n e f r − o m ali z − ad ae
la teorı́a de co nj−u nto — y com s h ase ñ alad o amenudo , na d eq uerr a ver
a exis t i − e ra — p e o − r a m ucho le stranque i l − i z ae lpensa rqu ee t − s a
t − r ad ucc oacute − i nd e l sm l@ máticas a lo c onj−u nto e sposibl e “ e nprincipi
o . Otro , i − s nemba r − g , ha npu es oe duda que e s t − a t a − r sducció nse
arealment eposibl ey , má saun , qu ee lfundam en o sót li
que pre t − e nde p roporciona se necesari opar ala smatem á t c − i a . Po r ot ap ar
t , c − o independenc i − a d lo aspecto a fundacionales , l ate o iacute − r ad eco
´ e ns eh desarro l l − a do como u n disciplin amatemátic
n − j u n o − t stam b i −
aautónoma , co nsu sp o − r pi s prob l − e m a
Quizá el ej−e mp o − l más aimportant se al ahipóte s sde lco n t − i nu o , qu e u − f
e f o − r m u a − ld por Can to y ya f i gurab e l list ad elo s Pr o b lema sd eH i
l − b er t — com o l p i − r m prob l − e ma — y q u e a pesa rd el ademostració
nd es uinde i − c dib i l − i da de n lm ar od e teorı́a de co nj−u n to axiomátic
ausua l , sigu esiend ocon i − s derad apo rmu ech s c − o m ou prob l − e ma no resuelt
o a cua s ha ndedicad ogrande se f − s ue r − z o se na ñ o s recient e
Puede ser pe rtinent lseñ ala qu e a pesa rde lcarácte rb á s i − c oqu es e e u − s p o e
concepto de co nj−u nt o e ne lestudi od eest e yd eotro spro bema sco njuntist sim po
tantes , se han desarrollad método smu ysofis t − i cado s ys eha no btend o resul
a − t d muy pr o − f und o s n − e contr od l ide qu alguno smatem át
i − c o s t e − i ne n — deri v − ad quizá de l − a a o − sc, iaci oacute − n co nlo
sproblema sfundacion ae s yco nl a filosofı́ — d e q ue teorı́a de c onj−u nto carec d
interé m atemá i − t c o . Po r o t − r apa r t , l a teor ad e o − c
46
U npase oalrededo rd el ate or ad e
conjunt
j untos t i − e ne imp or a − t nte aplicacione a la smatem átca sy , d el aman od
´ e n a a − l info r − má tic a a l qu eprest aun aestructur ad
e a lógi c tamb i −
eda o − t s básic
En e s − tas n ota s pas revist a aalguna sd ela scue stone sb á sic s o − s b e l s
c − o j untos y , en c oncret o a la qu econcierne n as uinterac ci ó nco n l − a sm
aae−tm rátic s — en par t i − c u la r c n − o lo sfundamento sd ela m atemá tcas — yco
nl ainf o−r m á ti c . E s aacute−t escr i−tas desde el pu nt d vist d eu nmatemá
i − t c oqu en oe s e − s p ecialis ae n teor de co nj−u n to y q u e a ol elarg ad s utrabaj
o , sol oh atenid ocont act s ocas o − i nal con los a s − p e cto n , triviao le od ed
ich ateorı́ a , atravé sd elo sor dinal s y cardinal infin i − tos y de a − ls“co−m binators
i ainfinita ” . N opretende nse rexhau stiv s , d eb d − i o a elección ba s t − a nt
subjetiv d elo stema stratados , tampoc o e − s rá nmu y y sis t − e m á tic a No obstan
´ an escri ta co nl aesperanz ad equ epueda nco ntrb u r a arr oj arl sobre
t e es et −
a l − g unas de esta cuestione básica s , aunqu esol ose a a r − t a v sd e l s refere
cias que se i − n c u − l y e − n e l bibliografı́ a , e nla scuale ss ed s − i cu t − e
nmá sd etena d − i a men muchas de e sta cuestn ione s Entr eella sfiguran : la sdis
t − i nta s o − f rma sd e c − o n ceb r concepto de c sonj − u nt o e pape d elo
sconjunto s yd ela ssuc esone se nm a e − t m átic y en inf o − r má t c − i a l − a
“ sencille z ” de concept od econjunto , l a hp ótes sd l contin como pro b l − e
ma a ,biert y lo argumento se nfavo r ye nco n r − t ad es u vere ificaci ó la u tili dad
de lo conjunto par modela rlo s “ fenómeno s c i − r c ular e s ” , fin l − a
men t la d i − s cus oacute − i n s − o br s la matema á tica sso nreduci be s
al ateo r ad ec onjuy nt o . H muchos o tro aspecto q u eserı́a ndigno sd econ s − idera
ci ó n , p r − e o c r − e oqu e l sm enci nados son smás q u s − usf iciente par ada
run aide ad ela sm úl i − t pl s f o − r ma se nqu e teorı́a de c onj−u nto n − i fluy
ee notra sdisci p l − i na s ; e npa r tc ul a , n oh ar é hincap ée n
desarro l l − o históri o − c d l teorı́ a , par ae lcua ll areferen c − i ap rincip le
s [41
Los conjuntos y l
o
fundamento sd ela smatemática
´ i de conj−u nto h sid am p i − l ament eusad apar a d e − s
La t e − o r a −
arroll r l s u − f nd mentos de la ma t e − má tica s . L aide asubyacent e ae t − s
ehech os epued e c − o ndens re las dos premisa s i − g uiente s
1 . Los conjun to
s−o n
obj eto
matemático smu y senci l − l o s yfá ci
l − e sd ecomp e − r n de
2.
Todas las ma t − e má tica
s epuede nformula re n término sd el a e − t
or ad e conj−u n tos .
La prim e r − a de esta afirmacione pued parece rba t − s ant ee v i − d en t
, d eb d − i o hecho de que lo conjunto tiene nmu ypoc a “ estructura ” per
o , com oi endica émá adelante si s − e p ro u − f n di z au npoc m á s , s eobserv
aqu elo sco n − j u n o − t spuede n plante problemas muy c − o mp licado s yesta rsu
jeto s ad f − ierente sin t − e r pr t − e a c i − o n e . L a sg−e u − nd
´ on1 a − t m bi eacute − n e m u discutibl epue s , aunqu e ap i − r m
afirmac i −
e − r a vis a pare e cla que todas la ma temáts ica s puede formula rd emaner
anatu r le n l l − eg − n ua
conjun tisa — p o ejempl o e nl ateorı́ ad econjunto sZF C ( Z e − r m el hyphen − oF
r a − e e nk e , o − c n
1U na fomu lació
explı́cit a — debid a aY . Moschovakis — d e es aid ae s a siguient e : “ L a
teor de conjuntos es e
nl−e nu−g aj
oficia
d
la
matem át − i cas , d el amism
a o − f rm aqu e l sm a t − e m átic s on el l engu aj e ofi cia
d
l
cienci a e [ 8
5 . L ave r s − ió nd e K . Kune n e : “ L a teor ad e conjunt s el fundamento de la m atemáticas
” Todo slo sconcepto smatem át i − c o s s edefine ne n t
conjunt
ypertenenci a ” [ 6 6
i − v a sd
´ e m i n sd
r−
oel nociones primit
t − a? Ar tı́culo
4
axioma de e l − e cc oacute − i n [66]− − −, e nl apráctic alo smatem átco sn o t − r
adu e − c ntod o a teor de conjun t − o s s n − i o q u s contenta nco nsupone rqu
e , e np r − i n i − c p i , es a t r − ad ucc oacute − i n posib l − e. De h c − e h o sól
oun apart emu ypeque ñ ad ela smatem át i − c a sh a s d − i o t r − a duc d − i a la
teor iacute − a de c onu−j nto saxiomátic a yest oy apropor c − i on au nin dic oqu e arr
o adu d sobre la v i − a b il d − ia − d d dich atraducción
En el res t − o d esta nota ana i − l.zar amba scue s t − i one sco nma
y rd etal e pe antes menc i − o naré ement
ela sinterpretacione smá shab t − i u al sd
˘
lu niver od e teorı́a de co nj−u nto s
El un i − v er o − sV
descrit opo rl ateorı́ aZF Cs e “ construy e ” pa rt i − e nd
od e l s p e − r mis
sigu i − e nt s − e2 Tod o lo elemento d elo sconjunto sha nd ese r as uve z conjua nto 3
dado que por e a sxiom d eregularida d ofundació n ( “ tod oconjunt on ov a c o x t
i−e n
un e l emento ∈ − minima al e decir u a ∈ t a lqu e a∩ = x ∅ ” , n opuı́e−d
eh
ab
“ cadenas d esc e − n dente inf ins ita sd epertenencx i a ,00 4 s ededuc equ ee l úl
i − t m o e l − e m en de una ∈ hyphen − c ad n − e a descendent etien equ ese re
lconjunt ov ac o , d e f − o rm aqu e o − tdo sl conjuntos se c onst r − u y n − e “
parti d el anada ” . Po rotr apa r t , dad oqu e a hipót sis de que t − o das la
colecca ione d conjunto sd V
so nco j − n un t − o sd e V, o − c n du e
paradoj as parenlef t − c omo a − lsd Russel qu discutir émá sad e − l an t e
, a − l sop erac i − o n s q e perm i − ten p a a − r co nstrue i nuevo conjunto sd
V
so núnicament e l − a sp o − reporci − oa − n d por los a x i − o mas de Z F C
De hech o V
s econstruy epo rrecu rsó n r − t ans fini a ap a tir del con j − u n
o − t v acı́ aplicand solament el aopera ci ó nd etoma r l “ conjun od partes ”
, aunq u s p ued demostra rqu e , además V
e sc e r − r ad op r − a a l s otr
so p raciones con j − u ntista definida spo rlo saxioma sd eZFC . Recordemo squ eu n
o a rdin es un con j − u n o − t t r − ansis tiv ( e e qu el arelació n ∈ e stran
sitv a , e s dec i , o − tdo s s elementos s o − n u − s bconjuntos )nbie nordenad
opo r ∈ . Cad aori dna le s l conjun od
los or id na le a nteriore y po tant o , s etien equ elo s p r − i mero sor dn al s
o−s n 0=
1 = {∅} 2 = { ∅{ ∅}} ..,U nordina llı́mit ee su nordina lqu en oe ss uceso 5d e ot
ordina l y un c ardina e u nordina κ ta lqu epar aningú nor dna l α < κ exir s
eun
´ on e ntr κ y 6α s E prime rordina linfinit o ( orde n −s − i omo ir oa lc
biyecc , i −
´e
onjun o N d los númer o na e turale s q u s suel eidentifica rco né l , e stam b i −
nu n cardin l y denota usualm ent epo rl aletr a ω A parti rd eé ls edefin el asuc es
´ o nd e l s cardinal transfinito ω0 = ω ω1 ... ωα , ... Un anotació n a l − t ern a
i−
i − t v a f r − e cu en e consis ee usar alefs , de modo q u ,lo cardinale sinfinito sso n
´ o n ω ” c a − u n d lo consideramo
ℵ0 , ℵ1 , e t . Amenu d , s e u a “ nota c i −
´
scom oordin ae s yl a “ not ac i − o n ℵ ” cuand o l consideramos como cards inale
´ o n d e u nivers
( po rejempl o , ω0 + ω0 6= ω0 , p e − r o ℵ0 + ℵ0 = ℵ0 . L definic i −
V , denotand oO n al aclas ed elo sordin al s y P al ao )peracoacute − i “ conjunto de
p arte s ” e l asiguient e
La Gace
´ o ns
2V se l l − a ma univers
d
Vo
Neuman n yl aide ad es ucon s r − t u cc i −
b − i u e a Z e − r m e o y Von Neuma n n
´en
3T am b i −
e
posibl
admiti rl aexistenci ad eelemento sató mic — e s frecuen e usa
comma − r pa a ref rirse a e llo s
e stérmin
alemá
Urelemente — , cuy anatu ra l − e z
e atr
an os e especific
4Es t − a c uestl oacute − in s
discuo tir áco nmá sdeta l − l ee nun ase cci ó np osteri
o , do n e
seintroducir ánl “ hipe r − c o nu−j nto s ” q u
n osatisface ne laxiom ad efund
aci ó n
5El suc eso
de
orde ina α e α + 1 = α ∪ {α}
6Los c ard i − n ale
so nas ı́representante sd ela sclase sd eequiva e − l nc ad efinid s p or a
´onya
existenc i − a una b i − yc − e c i −
cad aconjunt
dna | Xbar − comma qu es el a − l m a a cardin aid
deX
X l ecorrespond eu nú n c − i ocar
48
U npase oalrededo rd el ate or ad e
V0 =
conjunt
∅
Vα+1 = P parenlef t − V α)
Vα =
S
β<α
Vβ
s α e su nordina llı́mit e
[
V =
Vα
α∈On
En el un i − v er o − s d conjunto as construido , 7lo sconjunto ss ó os eo bt i − e
ne n despu de “ co l − e cc o − i nar ” otro conjunto s yreunirlo spar aforma run
onuev , pe o exis eu enfoque comp le t − a ment ediferent ebasad oe nintrodu c rlo
sco j − n un t − o scom o “ conjunt abstrac t − o s ” q u s obtiene despo jand
objeto smatem át c − i o sy ae xistent sd toda es t − r uc ,tura En e prime cas o , e
lconjunt od elo snúmero s real ss e obtendr “ de ab aj−o a rr b − i.a ” comenzand opo
rdefini rlo snúmero snatur al se nZFC , l s cual forman un c onj−u nt p o e axiom
d
infinitud . Apa rt rd e o − l snúm er sn o atural se cons t − r uyen lo entero s
a parti ad eesto slo sracion a e − l sy , fin a − l me n t , a part rd los rac i − o na le
s s obtiene lo sreale susand o cortadura sd eDede i − k n d o s uces i − o ne sd
Cauchy . Por el c ontrari o , e ne l “ enfoqu eabstract o ” , co n s − idera ramo s al s
real s o − c m un cuerpo o rd e − n a d complet o eirı́amo sdescartand ol ae s r − t u
ı́c−tura , olv d − i ándo n sd que es comp let o de q u ee sordenad y d equ ee su ncuerp
opar ao b t − e n e , fin l − a men t el conjun t − o a bstract subyacent e alo snúmero
sre ae s
Este en f − o q u d ol teorı́ d conjunto sh a i − sd opromo v − id opo r F .
W i l − li − a mLaw
vere 8, s i − e ndo u − s pu nt d partid aun aaxioma t − i za i − có nd el ac a
t − e g or ad e conjunt [ 70 ] que adem á d permie ti describi rd eform aelegant
e ( po r eem p l , e n t eacute − r min
de funtor e − s a du−j ntos mucha snocione sconjun tsta sbá sc a , t i − e n el a venta
ad equ sus ax i − o mas e − s p ued e − n debilita dand oluga r a categorı́a sd
etopo s q u , au np ar ciéndose ba s t − a nt a l d conjunto s , tiene nmuch amayo
rfle xibilda dpu e , p run parte , permi t − e n u sa alógica diferente sd el aclá i − s c
ay , po r o t − ra , en g o − lba n categorı́ diferentes de l − a d conjunto com o
´ i sd e hac e . A d − e m de estas ve nta ja s s p ued
po rejempl o , la scatego r a −
argumenta r ( [ 13 ] ) qu el ano ci ó nd eco nu n o abstrac o el enfoque ca t − e góric
está m á spróximo s al aprá ctc amatem á t c − i ah tabiu lqu e
j“ erarquı́a acumu lativ (oin terativa ) d econjunto s ” propo rconad apo r l
tuniver o V Por o ta p art e todavı́ s pued eda ru npas omá se ne s − t a direcc
´ i ad ec
oacute − i n y trat rd fundamentar la ma temática sdirectament ee nl ateo r −
a e − t go rı́ a . L aid ainia ci cons i − s te , como e bi n − e sabid o , e npone
rénfa s − i se nlo smorfismo se nt e estructur s no en las p r − o pia estructuras .
Además , e ngenera llo sobe−j to sd eun ac a t − e gor a C n son conjun to s a u − n qu
es ı́l oso nlo smorfismo sentr edo sobe−j to s X e Y, Hom C(X, Y Este con t − e x o − tin,
t r − o duc cambio se nnuestr apercep i − có nd elo so bjet sm a t − e m á tic o Por
ej emp l o un o b jet X d el acategorı́ a C s epued eide n t − if ic a , a t a − rvo sd e l
l − e m ad
Yoneda con el f − u nto q u erepresenta Y → Hom C(Y, X . Com oo bs r − e v
aMa n n [ 7 8 ] , C es peque ñ a
es t − o conviert ea lobjet o X, qu einicialment
en ote n a es r − t u ctur a − comma e nu
7En bracketlef t − eight0] Ma ni
s
refier ea lunivers od eVo nNeuman nco n est sp alabra
f − i ı́c ili magin un o bje to de con t − e mplació m á spur oqu eest adiscret a
aajerarquı́ a
8Lawv e r − e describió
lo
conjunto
abstractos , e
[ 6 9 , d el aman e a siguient
: “ U n conjun abstracto X
t i − e ne e lm ento squ en ots iene nestructur ainn tern
a agun .X n o t e − i n e estructu rainter excepto en
l − o que
s
refier a
l
igualda
d epare sd e eement o , yn o t e − i n e propiedad s extern salvo su car d i − n a
l d − ia ed a u − n
ası́
u
conjunt oabstract oe smá srefinad o ( meno s abstract ) q eu
número car d i − n a p r − o e ;
hech
d etene relementos , mientra squ ee lnúmer o cardn
o
l care ed e ell
s
: “ E s d
ypoderos
t − a? Ar tı́culo
4
conjunto e st r − u ctu a − r d y e “ un
caracterizació nexterna
, ‘ sociológ
i − c a , d eu n o b je matemático a t r − a vés de
u − s s interacció
co ntodo slo
s ob j eto sd el m
i − s m ac @g−e or a no de su estructura intrı́nsec a ” . D eest
m aner a , e nluga rd e e s − t u di r direc a − t men la catego r iacute − aC s p ued
estudia l categorı́ ad efunto e − r sco n t − r avariant sd e C e la catego r iacute − a
de conu−j nto ( o e ocasione s , e nun acateg or aco n “ má s estructura
como , por ej−e mp l o u n categorn ı́ ab eliana ), i − s end ocad aun od e est
´ o n ” de C La categorı́ C s esumerg eas ı́e nl ac a
sfu ntor sun “ representa c i −
e − t gor ad e funtor e en la cual ap arec e − n nuevo objeto qu n oestaba nprese
n e − t se nl ac ategor a or ginal pe r − o que p roporciona informació nadiciona lsobr el
am s − i m aq u , am e − n u d resulta enormem ent ú ti l nEst enfoqu efu eu til zad
´ i algebraic a eOtr diferenci
oco ngra n éxi opo rG rothe dieck en g e − o me tr a −
aimportant ee nt e es ee n f − o q e y n puramen t − e c onu−j ntist e qu e com
otambié nobserv aMa n i , e lh e − ch od e q edo objetos ma t − e má t ico isomorfo
stiene nla smisma spropiedade shac equ en oimp or cuántos o bjeto i s − o morfo a
un dad oesté ncontenido se nun ac a e − t gor a C, oqu
lleva al conc ep t − o de categorı́a equivalente s ( cuand oamba s t e − i ne n l − a s m
s − i ma s lclas
de o bj−e t o i o − s mo rfo y d morfismo sentr esu srepresentan t e s , qu ee smu
c − h o m importans t − e que e de categorı́a isomorfa s . Est osugier equ e a − l
sc a t − e gorı́ s o − s n al más que co nj−u nto c n − o estructura , pue se snatura
lide n t − if ica r a − l scuand o exia s e ent ellas una equ i − v alenci a qu n tien
qu ese rneces a i − r ament e bi−y ect v − i ae n l s clas de o bj−e o − t s A p arti d
eaqu surg eun aimage n jerárquic acuand os e c − o nside a a l propias ca .t−e gorı́a
com ob jeto d eun acatego iacute − r acuyo smorfismo s s − o n l s funtor que , a
su v e z s − o n slo obo jeto sd eun acategorı́ a . Cuand oe t − s acon s t − r u cc
oacute − i ns ea x i − o m tiza surge el co ncept d 2 - categorı́ y l aconstrucció
ns epued e iter rp a a obten las n− cat e − g orı́a s En est context o s eproduc
ee l i − s guient e f − e nómen oqu e a − t mbi
observa Man i − n [78] n − quotedbllef t o h a
igualda dd e ob j eto smatem át − i
co s i − s n os ó o e − q uiva e − l nci y ,
a su ve z
dado q
u
la
equivalencia
so
ob j eto smatem á tc o
, n oha y i − g u a d − l a entre e l
´o
las ,
s ino
eq u i − v a lencias
etc”
sM ani nse ñ al aqu ee t − sai viss i −
ne smu h − c omá adecuada pa r − a a − l descripció ncuántic ade m und o , e nl aqu
e l − o sc onu nt sn o o − s ny conjuntos de c o − s as
n − e l atradició nd eCanto
rsin omá sbie n conjunto sd ep o s ibil i − d ad pero , a pes a de t − o d o s
conclusió ne squ eest eenfoqu en oe sco ntrar o a a vis oacute − i
conjun tisa orig i−n a de uCanto rsin oqu el oqu ehac ee sen i − r que cer al
Conjuntos ver
su
s − u cesione
Si pensamos e − n lo conjunto sdesd el aperspe c i − t v ad elo s “ c onu nt
s abstract o s cabe p l − a n e − t a rs l − a posis b ilida d qu eexista notro
sconcepto sq u , au n s e − i nd omá comp lej−o s d esd e p unt od evisd t aestructur
a , pueda nparec r − e no s i − n tuit v − i am en emá idóneos pa r − a mo dela
´ o n de
cierto fenómeno m atemá tco s . Po r o r − t apa r t , lá mbi od ap li cac i −
r
´a
lo conjun to n s limit a ala smatem átca s sn oqu e tam b eacute − i n es t −
La Gace
9De he c − h o
n − e[80], Mani nconsider ala sidea sd eCanto rcom o l orig−e nd e a teor
ad e catego iacute − ra “ La intuición de Ca nto
subyac
e
l
mayo rpart ede ltr a
b a ofunda c i − o n
le nm a e − t m átic s d siglo XX : o es v i − gr − o o s − a
ment
refutad apo rlogicista sd eva i − r a sco s − e cha s o u − f nc i − o n a o − c
m ou n gr proyecto de un i − f i c ación
tant
e
l aform ad
Teorı́ ad eConju no
scom oe n
ad es u suceso r ,
Teorı́a de Ca
t − eo − g rı́a s ”
50
U npase oalrededo rd el ate or ad e
conjunt
siendo amp l i − a m ent usado e notra sdisci p i − l na srela c − i onada s , e n
pa rticul a , e n i formá t i − c a f n − u da mentalment ee ne lcamp od el av e
´ e ne n n
r − if ica ci ó n o − f rma l ytam b i −
de las bas e de d ato s
par
cuy m anej os eu til za n lengua je sd econs ul a
parenlef t − quotedbllef t que
languages ” ba s − a do n − e l ateorı́ d conjuntos . Si nembarg o , e ninf o − r
´ o n e m uch amá frecuent qu elo slenguaje s u til
m táti a ye computac i −
c − i e ns uces i − o ne s o i − lst
( suces i − o nes f i ni tas q u conjuntos , yest osugier el ap o i − sb i l − i da dd equ
e l s sucesion pueden s e − r un o − c ncept m á natura le nest econtexto . L
amayo r ad e l s l e − n gu aj
´on
de programac i −
n p osee
u ntip od edato squ ecorrespond a aco njunt s
a − parenlef t u − n q
algunos com o p o ejempo l o Python , s ı́l otienen ) . S ino s fiamo se ndo sd e
l smá importan t − e s sis, tm a d cálcul simb ói − l c od e t − i p ogenera lqu
es e u t l − ii−za ne nm at máticas y que c − o ntiene eolenguaje sd eprogramación ,
asab e , Ma p e y M a h − t em a tic
vemos que el pr i − m er ns tien eu ntip od edato squ eco r − r espond e ac onu nt s ( “
set”
mientras que Ma t − hema ı́tic ( inspirad oe n Lisp ) carec ed e é. E nl ap rácj ti c
, o l − a s erl lengua j − e s de p o − r g r − a m ació secuenciale s , lo sconjunto
ss ere pre e − s n t − a nn r − o m a − l m en como suce s i − o ne y ha br áqu
eespecifica re ne l − l o su norde nan t − e sd epo d r escribirl s un fiche r − o o mo strarlo
se nun apantall a . E n Maple , lo s eemento sd eu n conjun o o − s ordenado s en b as
´ o nqu e o u − c pa ne la memo
a consideracione sd eeficienci a , segú nl apo sic i −
r i − a Aunq u est pued eincrementa ru npoc ol av e lo i − c da dd l sis t − e
m comma − at − a m bién t i − e ne su in o − c nvenientes S ie lresultad od
´ o ne su n conjun o se nos mue st r − a n − e l pantall a , pued
eun acomputa c i −
´
equ ese ad i f − i c lreconoc er oaunqu e es é f r − o m ta por númer o o caractere
alfabético s , debid o aqu e , proba beme n t , l s e l − e m ent sn aparecerán en e
ord e − n usua a lqu eestamo sacostumbrad o . Po r e on osotr s s e − i m pre so
l − e mos e scril bi lo elemento sd eu nconjunt od enúmero se ns u r − od − e nn o
´ i ci lreconoce rs ido sd e est s
atura ya que de no ha cerl as pued se rmu ydi f −
conjunt son o no el mim o
El uso de lista e − n luga rd econjunto stien eclara sven t aa scomp utac o − i
n al e s − comma q son fáci l − e s de ilustra co e jemplo cotidiano s . Un ad e
e l − l a se squ el ab úsq u−e d ae una l i − s ta puede se m uch má sef ics ient
equ el abúsqued ae ne lc o nu n o correp−s o diente . Pen s − e mos n − e e listı́
´ i figurar va rio millone
telefónic d eun a c − i uda dgrand , e ne lcu lp odr a −
n
ld tel éfono s . Cuand oqueremo sav ergua re l telé f − o n od eun persona , a p
r − o v e h − c amo se lhech od equ elo snombre sestá nordenado s al f − ab é ti a − c
´ a pidament e qu eestamo sbuscand o . Par a el o recor
men para encon tra r −
e − r mo s l s c racteres del nom br y e consecuencia , l abúsqued as ere al i − z
ae n t e − i mp op ol i − n óm i
´ o n de a − l longi, tu de mism o . 1
S , po re lcontra r i , qu
en func i −
eemo sa veri−g u r c nombre de l − a person q u tien eu nteléfon odeterminad o
, habremo sd e r bus a − can uno por uno y po a etérmin m edi o habrı́
´ eo − f no p resente e
aqu erecorre rin divdu a − l me n e am i a − t de los t e l −
l guı́ ahast aencontra re lbuscado . E s o signifi aqu el tiempo de b sús−q ued serı́
exponencia le nfunció nd el alon g t − i u dd e l snú mer
telefónico s . 1
10U n a l − g ori m − t o
e
d
tiemp opolinómic ocuand os u temp od e ej e − c uc
oacute − i n cre c , asintó t − ia − c m en t como una
f − u nc oacute − in polinómic
de ltama ñ ode linpu
. E ne lcas od eun a gu a c n nn − o mbr e comma − s es tama ñ o
´ a a − l longitu
se r−
d n
e
u nsistem ad enumera ci ó n — qu epode m s s − u
pon r
l − e bina r − i − o y , en con s − eu − c encia
serı́
esencialment elog 2n . S ilo
snomb r sd el ag u a estuvies ne n binar o carec i − ee − s n de r − e dundancia , e lrecorre rlo
gener
ssı́mbolo sde lnom b ebu c − s ad o r − e querir ı́alo g n operacione En1 1
Est−e ate−impo l e
mer
sreque
r−id oser á
x−imadame
nú e
deoperacioneexponenciacom
oconsecuen
,
aproadequ
n
e
i−c
porcion
cre nt, po − reexponencia−lm l − aenaloeen n.fg2unci
t − a? Ar tı́culo
5
Si se ana li z − a e p r oces d búsqued ade lnúmer ot elef ó n c − i od eun ap er
s − o n , observa que l − a eficienci ade m ism on oresid emerament ee nl ae xis
e − t nc ad eu n ord sino más b i − e n n − e e hech od equ ee lorde nd el a l
i − st ad enomb r s e t − s áge ne r − ad opo r e orden — que n o result perfectament
´ o d alo
econocido — d eun a li s − t amuch omá sp eque ñ a saber , l − a sucesis n −
caractere salfabético s . E lpas ode lorde n al f − ab éti od el caracteres i − n div
d − i uale a orde alfa bétic oúnic od el a li s − t ad enom br se s posib porque e
sto ú ltimo s tambl ié nso nlista sd ecaractere s ye s − t ohac eq u , pa a re o − c noc
un nombr e ba st c o − n recorre rsu scaractere ssecuen i − c almen t , l oqu en
o ocurrir a el nombre f ue s − e un conjunt od ecaractere s . Po rtant o , e ne t − s
epro ce o j − u g − e a nu np ap importan t − e tre tipo de lista s : l alist ad
enombre s , l a li t − s aformad apo r l alfabe con su orden ha bitua y la lista
formada spo rcad aun od e l − o snom br e . P r t contra r i − o cuando s busc e
´ e n b us a − c
nombr ede lusua i − r oqu e ten eu nnú me od e teléfo dado , tam b i −
mo e un list a — l ad elo snúmero sd e telé f − o no — , pe ono encontramos c
o − n a − l dificulta d qu ee lorde nd ees t a li s − t ano se sd e c − s o noc
i − d o comma − y no tener r e l − a c oacute − in c o − n e orde natura ld
elo sdı́gito s , n opodemo sex plotar o pa
buscar rec orr i − e ndo caractere sindividualment e . Apesa rd etod o , in clu oe n
es e ca s el hecho de que lo nú mero stelefónico sforma nun a l i − st afa cil t − i
amuch ol a tar e a − comma p u basta ir l − o s r c − e orri e − n d secuencialment
ehast aencontra re lb u c − s ad o . Ade m á, l s cada núme r − o telefónic un
alist a , podemo sreconoce l − r omuch omá s fác i − l m en e q e fuera merame nt un
conjunt d edı́gito s
Podemos i − m a ginarno l qu ocurrirı́ as ipres i − c ndimo sd e e s − t a sv e nt
aj s y o − c sideramos una g u iacute − a telef s ónic purament econjun t s − ita ,
qu epo dr acon sist re nun relación en t r − e e conu−j nt U ad lo usuario s
ye lconjunt o T d e l − o snúm er s tel fónicos , es d eci r serı́ simplement eu nsu
bconjunt ode lprodu c − t o cartes a − i n o U ×
( que podemos s − u o − p ne qu e un aaplicació nbiye c t − i va . D
c − ih ag u apo dr a est arf sicamen t − e e − r presen t − a d e u gra npane
lbidimen i − s ona lpo run a “ nub ed epu nt o
( como en l − a f o m − r a trada iciona d epresenta ru nconjunt o ysu s e l − e me nt
sm
edian
diagramas de V e − n n ) cad un d eello setiquetad opo re l eeme n oc orrepo
ndien del con j − u n o − tU × T q u no proporcion ae lnombr ed eu nusu ar o ys
sunúm e od teléfono . De hech o p ar qu el aguı́ afues epurament eco n − j u nti
t − sa , cad aun od e est
´ i,d ese rrepresentad on oe nl aform ahab i − t ua l (u, ) qu e
elementos d e − b er a −
p−s
corre
o
n
a un par ord e − n a d o sin com u conjunt oqu epo d iacute − r ase r
{{u}, {u, t}, e n am
delación ha bi t − u a , debid a Kuratowsk i . 1
Est oha iacute − r aqu el abúsqued
ad l usuar correspon d i − e n e − t a un tela éfon odad ofues eahor aau nmá
sd ifı́c lqu el a correpo ndie te búsqueda ex ponencia e un aguı́ aordina r − ia ,
puest oqu etend ramo s dificultad para i − r rec orr e − i n − do lo lnúmero sd
eteléfon oa ln oes ta re t − s o sdado se n f o − r m a ord n − e da , aunque es t − o
resultarı́ amuch omá sfáci ls imarcamo slo snúm er sy aexa m n − i ad o
formando el s − u b conu−j nt correspondient e .13Ha yqu etene re ncuent aqu einclu o e
La Gace
otra
forma sposible sd erepresenta rco nu ntisam en eu n p r ordena
delog
12 E 2nxist−en m ucha
o
(u,
por e j − e mp l o
{{u, t}, {t}} serı́ aotr a . Po rotr aparte , e lco j − n unt o {{u}{u, t} pue
e s r presenta secuenciame nte , e nl anotació nhabitu a , d ecuatr oforma s diferente , c orres−p o
ndient s − e al asform de ordenar el co njunt y
su selementos
13Es t − a d f i − ic ult a − d s eacrecentarı́ atodavı́ amá ss in os ó ol ag u a sn o o − td
o e − l sis e − t m afue e conju t ista
S
lo nom bre
d
lo
usuario s ylo s “ números
” ( onomb re ) d e telé f − o n o fues n conjus nt s no l i − s ta s el núm er sd
caractere
´ i mo s q e dedic
snecesari oaumenta r amuch o , adem á, tendr a −
52
U npase oalrededo rd el ate or ad e
conjunt
´ o n bidimensiona ld elo sconjunto sim p lcado sprop orc
ta repre s − e n a − t c i −
´ o n a d ic o − i n a n contenid ae ne lconcept
o − i n aun a cier informac i −
od econjunto , p u spo dr iacute − a mo s us nuestro sen t i − do d a − l orieno
tació npar ai restableciend ou norde nap ro x − i mad o ent los elemen to s recorri
eacute − n dolo s , po rejempl o , d eizquierd a ade e − r ch a yd e arr i − b aa ba j
Para que l − abú, q − s u e − da fues epurament econjun tst a , e t − s eproc e − s
oha br aqu e real iza lo a c i − e ga s es deci r n podrı́ habe r “ izquierd a ” y
“ derecha ” qu e n sp r − e m itie r − a situar y ord e − n ar de a lgun form lo
selemento sde lco j − n unt o . Podemo sp ens re un con j − u n o − t de b ola co
sı́ma bolo scontenida se nun aurna . S iqu eemo sd et e − r min si una bo l − a d d − aa
está e l urn ( e deci r , s iu n eement op er t − e n e ea l conjunt y si solame n
t − e p odemo n hacerl extrayend obola s yvolviénd o a − l s aintodu c re n urna , de
´ i c i linclus os ipodemo s rm ar a − c
una en un a e pr oces oserı́ m u yd i f −
nd o l bolas ya exam i − nd − a a p ue s , mientra sl abol abuscad an oapa r − e zca ,
nunc a e − t ndr iacute − a mo la seguridad de ha be completad ol abúsqueda
La d i − s c us oacute − in a nterio rmuestr ala sventa ja sd ela ssuce sone ssobr
e l s conjunt se algunos con t − e xto s per on oresuelv el asiguient ecue s i − tónbi ás
i − ca , qu e est á relac o − in − ad con la premis−a inicia sobr el asenci l − l e zde
lconcept od eco n − j unt o
questiondown Qué o bje cto
s − o n m á senci llo spar anuestr apercepción : lo sco nu nto
o las suc e si ones o
li sta ?s
El hecho de tene “ meno sestructura ” sugier equ eso nlo sc o nu nt o , p e o es
on está tan c la r − o s tenemo e cuent qu emucho sd elo sco j − n un t − o
squ eap arec ne matemá t i − c a y n − e informátic atiene nun aestructur aadicon a
— e nmu ch s cas s s − o suces i − o nes o slistas y ha qu ehace ru nesfuerz od eab
t − s ra lccó nsu p l − e me ontar o pa verlos como co nj−u nto abstracto s . D ehech
o , l adiscu i − só nan iteri − o rd el oqu e iser au list ı́n t e l − eoacute − f n i − c
o p urament conjuntist as epued einterpreta rcom oun a abstracı́ c oacute − i de
´ o nica usuale construida scom o l s − ita . Per otam b i −
´e
las gu ı́a tele f −
n exis e − t n c − o j untos que c arec e − n de n − u orde nnatura lcom o , po r e − j
´ i m u difı́ci trata
emplo , gr a o − f s y otr s conjunt geomét r i − c o s y ser a −
rd eimagina r − l o scom osu ces o − i ne s o list a . E lengua j − e ma ,tmá t ic usua l
aunqu en oest écom petament e o − f rm al i − z a d , comp ar con los l − enguae je
d p rogramació nl acaracte iacute − r s t − i c ad ese re e − s nci a − l me n e secuenci
y unidimen s i − o na l y n o oblig a representa rsecuen i − c alment e l − o s e
e − l m ent sd e l conjuntos que s m enciona explı́citament e . Si nembargo , e sha
b i − t ua lintercal re dicho l − e ngu ae−j f r − a gmento sn olineale spar afac ilta
rl apercep có nd e l s h c − e h sm a@ máticos . El e jmp l m á sevident eso nla sfigura
sgeomé trca squ eap are c − e n a m n − e u
en demo s − ta − r c i − o ne m atemática sinformale s , 1 4 aunqu en oforme np ar ed
e l s dedu ciones f o − r ma le s sOtr e jempl ode lus od eimágene se ne lleng u a el o
p o − r p orc i − oa − n nl diagramas c o − n mu tato ivo s qu eso nmu yút l − ie se
nálgebr a . U ncas oin s t − r u cti v , cita
en [76] l − o p o − r po rcion ae ,diagram acorrespondient ea l lem ad el a ser p i − e n
t , u n resu tado bá, s i − c o de á lgebr homológic aqu eencierr abrevement eu nenun
c a − id oqu ee n escr i − tura s c − e uencia ordinari ae smuch omá scom p l − i cad
o . E l dagram ad el a serpien
14V éa s − e
cierto
t i − e mpo a
x − e amina rcad ateléfon o ycad ausua r − i oha t − s ad ecid r i l
conjun o correspondien es o no el q u − e
estamo sbuscand o ( pue sn ose iacute − r afá c lde
c − id r ido sc o njunto comma − s cuy s e l − e m ent osest dados como
quotedbllef t − n
u be
d
sı́mbolo s ” , so n on oiguale s
one − bracketlef t9 p ar
un
provocativ adiscusió nde lpape ld e l − a simá e − g n se n l s d − e mostracione
t − a? Ar tı́culo
5
es un gra f − o dirigid o q u pued se rinterpretad oconju nti t − samente1 5 aunqu
en oh ya una forma n atura d representarl osecuencialment e , yl a f − o rm a g
aacute − rf ic a tie e ventaj a de que n o permie t reconoce rfácilment es ie llem
ae sa pl i − c a b ee nm ulti u − t de s i − tua c o − i n e s S i − n embargo s
quisiésemo straba ja rco no bj t − e o lsgeom étric s o c − o diagramas u t il. i z − a
n d un ilenguaj einformátic oestánda , fo z − r osame n eha br iacute − a mo sd
representa rlo en form secuencial , co nl acon s − i guient epérdid ad en t − a ural
i − d a d q eso con l l − e va a diferenci ad el oqu e ocurr ee ne llenguaj einforma ld
e l sm a e − t m á tic a A pesar ,d est o e posibl plantears el apo s − ib i i − l da
dd equ e l sm a t − e m átic s pudieran “ r − e d uci r ” a sucesione se ne m ism
ose n i − td oe nqu es esupon equ es e pued “ redu c i − r ” a c onu−j nto s Est
cuestió ns emencion ae n [ 1 3 , ye n [ 3 ] s ep r − o p on n l
suces i − o nes r − t an s − f i nita com ofundament od ela smatem á tc a s . 6
S nem bar g , p are que la sencille estructura ld elo sconjunto slo shac emá sadecuado
squ e l s sucesion como l − e ngua e − j b ásic d la m atemáticas , aunqu en
oparec equ e s − e a aa ı́e n l ca
de la inf o − r má tic a dond e us d sucesione se smu ynatu r l ( ymá ssaú n u − c a n
uno se ac e − ra − c al n ive e de l hardwar e qu pr oces alo sdato se n f o − r m a
secuencia l No obstan t e l − a g a − r n economı́ de llenguae j econju nt i − st
a ys ugra n versa t l − ii−d a d pa propor c i − o nar mo delo tambié encuentr
aimportante sa p lca cone se ninf r − o m á ti c donde hay co ncepto qu etradicn
´ e n o−s n
ionalment eha n s − id omod l − e ado scom os ucesion s pe que tam b i −
susceptible d ese rmodelado scom oco n − j unt o . U n e e − j m p o — qu puede s
e − r vi como tes par s decidi rentr econjunto s ysuc esone se nun a situac oacute − i
concreta — rl−o p o − r porciona alo flu jo ( “ stream s ” ) , qu es epuede ncon sider r
c−o m
suce s i − o nes n − i fin i ta de elemento sd eu nalfabet o A. Po r eempl o , i
a − commab ∈ A, po e − d mo defin i − r un flu j o de maner informal , com a
seguid od e b, seg ud od e , segu d − i od b, etc . Para d e − f i nirl de m aner aprecis
´ o n f :N→A d d−a
a , pod iacute − r amo susa rl afun ici −
por
(
a sn espar
f (n) =
sinesimpa
La Gace
´ e n po drı́amo trata d eimagina re lfluj od e o r − t ama ne r , u
Pero tam b i −
s − a nd o par ordenado s S s q uit a − nslo do sprimero selemento ss eo bten ee l
m s − i m ofl u o y − comma p
tanto , pa r − ee − c n atura lmodela re lfluj oe nl aform a = f (a, (b, f )).7E n el f − o
nd oambo modelos e s át n e − x presado se ntérmino sconjun tsta s , per oe lsegund
o est ámu h − c omá próximo a nu est r − a intuició nde lconcept od econjunt oqu ee
lp i − r m e r , aunqu e el on significa que s − e a necesariament m á sintuitiv o ,
pue s tambié ntenemo sun a lpercepcoacute − i muy clara d e co ncept d sucesió
´ o n conjuntis ad este concep to ) Est e jempl oser
( qu en opresupon el adefi nic i −
ád enuev odiscu t − ido , má sad ea n t , e n relac oacute − i n c − o los con j − u n to q
u no satisface ne laxiom ad efunda i − có n
A pesar d e i − m p ortant pape ld ela ssuce i − s one se ninform át i − ca , e xis
e − t n t − a mbi é al menos d esd e pu nt d evist ateóric o , e jemplo sd elengu a
j − e sin o − f rm átic sb a s − a d
15De h e − c h o a − l relació nentr econjunto y
grafo se smá se st r − e ch ad el oqu ep
odr a parec r − e porqu como v e − r emos má sadelante , ha yun m ets áfor amu ysuge st v − i
aqu ep e − r m i e consider r − a al osconjunt
como gra fo s
´en
16T am b i −
n − e[30 s
propon efundamenta rla smatem át i − c a se n l s m
ulticonjunto comma − s q e s n sim lares a lo co nj−u nto
e
qu ecarece nd eorde nper
e − t n r “ e l − e m ent s repetid o
17En e s t − e c a o − s exist eautorreferenci a ( pue sestamo sdefi n i − e nd o f e n t
´ e min s d e − l00 prop o
´ a más
r−
) pe r como se v e r −
adelante
est
construcció ne
scom pl t − e ame n e legı́t−i m , a unq en o pue e s rea l i − z ada de nt o − r de Z
FC
opuede n
54
U npase oalrededo rd el ate or ad e
conjunt
en conjun to q u g ana e expresivida dco nrespect o aleng uaj s s − i m ilar s ba
a − s d en suce s i − o ne s Un cas concret s mencion ae n [ 13 ] ycon sis ee nu
n e − ln − g u a ed consu l − ta pa a − r b ase d odatos . Esto sso nlenguaje sespe c − i
alzado squ es e u t l − i i z − a n pa solic i − tar n − i fom sacioacute − n e ( travé
d un consulta
) aun abas ed ed at s o − c m , po ej emp l − o, el e − l n − g
ua j Q − S L ( “ Structure dQuer yLanguag e ” , qu es epued e consider como una
“ v ar i − a nt sintáctic a ” d el alógic ad eprime rorden
Hay un t i−p o especia d consultas , llamada s cons u t−l a sinva r −i a nt
s e n l s cual los inputs s−o n estructura ef initas po rejempl o , grafo , e nluga
rd ecade n sd e c racteres . Las co nsulta invariante s restringe n apropiedade
squ edepea nd n só del ti po de i s − o mo rfism d l aestructura i − hyphen npu
t . Po r eem p l , co nside r − e mo su n gra b ipartido , e d eci r un graf ocuyo
´ o nd e d conjuntos sdisj−u nto V1 V2
svértice ss epuede ndescompone re nl a un i −
co nl apropieda dd equ ee ncad aun od e est s conjunt no hay dos v értice a dyacente
( conectado spo run aa ri s − t ade lg raf o . E ontonce , u
emparejamiento
parenlef t − m atching de lgraf os edefin ecom ou nco j − n unt od
e arist squ en tienen n i − n gún vértic e común , ye lempare jamient os e d c − i
ep erfec o i t − od o vérti es in ci den t − e c n − o u n arisn t de empare
´ e a llamad
jamient o . E lpro bem ade lemp ar e j − a mien bipartido (t − a m bi n −
e pr o b lem
de
matrimonio ) con sis ee ne ncontr ru
emparejam i − e n o − t p erfect e u graf obipartid o ta lqu e | V =| | V t2 . E
lp rob l − e m ad decid i − r s un gra o − f biparto id odad otien eu nempar e − j
a ment op erfec oe sun a consul invarian t − e p ue e resultad o com e nun
acons ut a aun ab a ed ed at o , n o de depender de l − asf om−ra e qu ,lo dato
sestá nalmacenad o . E n l smod el s usual de compu t − a c oacute − i n com e
proporcionad opo rla smáquina sT urn , lp rob l − e m a resolub l − e en t e − i
´a n c
mpo p olinl ómico , com oconsecuenci ad equ ela s es t − r u t − c u r s es t −
dificadas s e − c e − u ncialmente . Un ave zqu ee lgraf oest ápresentad odan d ,
po r e j − e m p l la mat r i − z de n − i cidenci a , existe nalgoritmo sd e t − i emp op
o i − l nóm i − c o ( l opi − r m e od e ell
debido a Edmon d ( 1965 ) par encontra ru nempar e − j a m e − i nt op erfec oe n ca od
que ex i − s ta p arti n − esd d eu nempare jamient oparcia l ( po r eem p l , e lem par e
j − a m ien
´ a n dol iterativamente . Per ol a stua i − có ncam b a il a estructu
vacı́o ) y aume n t −
a(
grafo , en n uest r − o e j m − e plo ) n o tien eu norde nespecii ficad o , pue sn
os econoc eu nmod de cod i − f icar e ficientement com ocadena sla sclase sd e s − i
omorfismo sd e estructura
´ a relacionad co e problem ad edetermina rs ie xis eun a lógi a
Esto e s t −
pa capturar l − a c las d complejida d ( lo sproblema sresolu b e − l se n temp
op ol i − n óm ic en el sen t i − do d q u l clas d problema sdefini be se nd
c − ih a lóg i−c a coinc d − i a c − o
P ( véase bracketlef t − three5 p a a − r u n a f ormulace ió nmá sprecisa ).18L
´ o n r esid e o − c m e e e jempl
adific u l − t a d princip ld e es cues t i −
anterio r , e ntene rqu e resolv ru n prob l − e m ( o responder a u n − a consulta
sobr eun aestructura , e n temp op eolnóm i c , u − c a n no hay espe cifi c − a d
un orde linea e d ich aestructura . Un a direcc oacute − i nd e a t − a q
18Es t − e es un
problem
fundamenta ld el a teorı́ ad el acom pl ejda dd escripti a
[56comma − bracketright q e tra de carac teriza
la
clase
d
complejida dmediant ee l tp od e lóg i−c a necesar o pa a expres arl prob l − e mas de r dicha
clase s . E lpunt od
epar i − td ad ee s − t ateo r afu eu n resul a − td od eR . Fag n ( 197
que
d i − c e q e − ul − a
clas NP
( d e tiemp op o i − l nómic on odetermini s − t a
) c orrepo n e a a lógi a existenci de segundo o r − de n m ostrand
as ı́
po
primer ave
z , cóm ocar acteriz r
a o − cml plejid d s n hac referen c i − a a co ncepto
com otiemp o
oespacio . L adific u t − l a dde l p r − o b e − l m ae n
o referen e a a cla P v i − e ne av a
a − ld − a po re lhech od equ el aform anatura ld eobtene run a soluc oacute − i np osl iti av
´ i q el problema del i s − o m orphism
imt p l − i car a −
d egrafo s esta iacute − r ae
´ o n negati vai mp i − l car que P 6= N
nP , m i − e n r − t a squ eun a soluc i −
P
t − a? Ar tı́culo
5
con s i − s te en trata de encontra ru nprocedimient od e temp op olnó mi oqu e
asg−i n uno de s u órdene a cad estructur ( e númer od eórdene spo sibl s
´ o de atamañ d l amisma ) . Otr apo
pue e s exponencia en f − u ncis n −
sibilda de s desarroll modelos de comp utació o , e nlo sto eérmino sexpresado sant
e , l − e ng u aj sd e consul
( el concep t − o d “ lógic a ” qu s m anej e nest econtext oe sam pl o einclu e l
modelos de comp u tació y lo lenguaje sd econs u ta ) qu e t − r a e − t n direcam en e
c−o
las es t − r uc tura s s n − i usa run acodificació nsecuencia ld ela s m i − s m a .
E n [14comma − bracketright s e tu t i − l i este ú lti mo e n f − o q u y p ar ell
s eformul au nlenguaj ed econs sut−l , lamad oB G que es pur o en e sentid
od equ en oproporcion emedio spar aexp res run a propi e − d a del input que no e
preservad po risomorfismo s . Est elengu a e est áb a s − ad oe n
teorı́a de con j − u nto y no permit eeleccione sarbitr a i − r a s ( n joperm i e eleg ru
n orde pero u til i − z a p aralels ism o U algoritm od eest elengu a en oe scapa zd e
resolv ru prob l − e ma como e de emparejamient obipartid oe n temp op olnó m
c − i o [ 1 4 , p u sn puede traba ja c o − n u n codificació nsecuencia lde lgraf o . E
ncon e − s cue nc i , a elógi asociada a BGS no resuelv e problem d ecaptura
rl a cas eP , s nem bar g ,
demue s − tra en [ 15 q u un versió d BG S i − l mitad a a temp op ol ii − nóm i o ( P
i−t m
BGS ) es m á ex presiv — pue scaptur amá spro bema sd ei temp op ol i − n óm ic
— qu un lengua j − e de consult simila qu etraba j aco nsuce sone se nluga rd e
conjunto Por t an t − o en est context o lo conjunto sso nprefe i − r b l − e
´ o n la dificu l − t ad d s m − i ula conjun, to (
s a a − l s list s y a ra z −
n oordenados ) mediant e li s − t a s (r − od − e na d a ) s introdu c i − r mu h − ca d
uplicació n
´ o n parec dif ı́ci decidi globalment ee n r − t ec o nu nt s o
En conc lus i −
sucesion pues la u t il i − d ad de u no o d otro spued edepende rfue t − r ement
ed l contex t . E cuanto a l − a pr g − e u nt e s [ 13 sobr el aposib i l − i da
dd etoma rlo sco nu ent scom oo tp−i de datos b ás i − c o n − e informática au nn
odescartand oest apo sibilda d , n o pare equ fuera a t − e n e venta ja práctica e
l m ayorı́ ad ela s s t − i ua co n e . Un a v aqu e e en c i − e r o − t mod o intermedi
entr elo sconjunto s yla ssuc eson e , l ap r − o porc o − in − a n l mul ti co nj−u n to q
u y es atá siend oextensament e u tilzado se n divers s áre sd e informá t i − c a
questiondown Son los con
j − u ntos
realment eta nsencillo
La Gace
s
Ana l i − c emos c n − o mayo detall l apremis ainicia ld equ e l − o sco nu
nt s o − s nmu sencil l − o s y f ácile de comprende r A primer v is t a , l a úl i − t
m apa r ed e es a oaf i−r mac oacute − i parece deducirs sd l − a sencille zestructura
ld elo sconjunt o , p r − e o is e pro f − u ndi au poco más p r − o n o − t s
encuentra ndificultade sse r − i a squ ea srrj − o a nduda s sob e a zclar dad de nue
st r − a cm prensió de lconcepto . Par asomete r a aprueb an oe s necesar recurr
i − r a c onstruccione exón t ica y no smantendremo se ne lám bi od l conjun de
los núme ro n aturale ω (N e l anotació nmatem á t i − c a r − t a dic i − o n a )
yd e s sub conjun to s En est context o , so nnaturale s — nunc am eo r d i − cho
— l s siguient cues t i − o nes b ásica s
questiondown Qué es un con j − u nt
d
número snaturale ?s
questiondown Cuántos con j − u nto
d
número snaturale sha y
56
U npase oalrededo rd el ate or ad e
conjunt
La r e − s pu es a − t a l − a segund apregunt adepend ed el arespue t − s a al
ap r − i me a yp are mucho más difı́ci d obtene r . N oobstant e , l arespuest a al
ap r − i m r − e atampoc o s t − a obvia como pue d parece a primer avist a .
Com oobserv aTim o − th yGo we se ne [53 parece na tura p ensa qu u conjunt od
enúmero snatur al se su nsu b conjur n od N obten i − do a pl c − ia − n d algun n
“ regl a ” par aselecciona rlo s eeme n o − t squ e o f o − r m a Pero es fáci v e q u
e lnúmer od eregla s ( usand ocadena sfi n i − t a sd eu nnú me ofi ni
de sı́mbo l − o s pa a − r e − x presarlas ) e snumerabl ey , e ncambi o , e lnúm e od
esu b conjur nt
de N no l − o es (n − e v ir t − u d de famos “ argument odiagona l ” d
eCa nto r . Po r tan t existen conjuntos
i − n d f i − e ni b le
d enúmero
snaturale sy , d ehech o , s epued e dec rqu “ ca si todos ” lo conj−u nto sd
enúmero snaturale sso nindefinible . E np a rticul a comma − rc − o m indica Gow er
s est signific qu n opodemo scomprende re l sg nficad o gener ld la palabra “
co nj−u nt o ” mediant el aobservació nd e j − e emplo sco ncret o ; p a a descra
´ i amo sadm it rqu e
ib todos l − o s co nu−j nto smediant e “ regla s ” necesita r −
rd−e
est spu
e nn o s expresab le en tim p finit ( par aun adiscusió nmá spr ec
i − s ad e es e e − f nóm e − n oe n contexto de lo l e − noguaje sformalizados
, véas e [ 7 6 , Propo sito n 2 1 2 , C orolla y 2 . 1 3 ] Pero l − a s dificultade
planteada spo rl aprimer acue sti ó nn o t r − e mina na qu ı́ pu e aun conside
r − a ndo conjunto sdefinible s , diferente smatem át c − i o s o lógic spo dr iacute −
a n d respuestasmuy
porlae xist−en c a − idistintade conjs unt sobred sulo existencisnúmero a
oreemplo
g−e u ntarn
podemo
.P
001 .A nt de nada es p reci s − o se ñ ala rqu
jal−e ,smeno r squ spe10 r1
snatur
el apalabr a “ existen i − c a ” pued e t − e n e , e nm a e − t m á tic a muchos s i − g
n f i − ic − a do distinto s . L amayorı́ ad elo smatem át c − i o sso n realist s ( o
plató
nicos ) , es d eci r cre e−n q u lo conjunto s — ylo sobjeto sm aem átic se n genera
tienen una e xistenc i − a ob jetiv qu ee sindependient ed enue s r − toconoo c − i
mien od e l mismos y que c − u a q − l uie pregunt asignificativ asobr e elo s t i − e
n equ e s r ved tade a
falsa .19 Según es t − a ide a , lo sobjeto smatemático sso ndescu bie t − r o spo r
nosotr s pe no creados n i − n ventado y n ha dud ad equ epar au nre ali t − s
ae lc o njun oa nt menc i − o nado ite − i n existenci apropia . Opuest oa lre alsm
o , e nl oqu e al ae xistenc ad objetos ma t − e má et ico s erefier e , e se l formalismo
, homologabl ea lnomin al s − i m o filos fico : “ los t érmin o a sbstracto n
so
´ o más ext r − e ma
nombre sd e ob j eto sab s − t ra t − c o
s . E ns u vers i −
y − parenlef tsmás simple ) , e lform a l − i sm opostul aqu elo so bj t − e o sm a t − e
m á tic sn
existen y que la ma temática s ereduce na lestudi od elo s sisema s f o − r m al e s
0E consecuencia no c − a b ehabla rpropiament ed e “ l ate o iacute − r ad eco n − j
u n o − t s , s i − n o m s bi de diversas t − e orı́a a xiomática d conjunto s : ZF
C , NB G ( Vo nNeuman hyphen − nB ernay
Göde l − parenright, MK ( M orse - Kelley ) , e t c . Par au nform alsta , e lco j − n
unt oa nteri rn o plant
dificu l − t ad a g − l u − n a p ue s aunqu en oexist ee nsen i − td oe str i − ct o (
“ re l − a me n t o e ” , s u “ exi tencia ” puede se demostrad fácilment ee nl
´ i aZF C apa rt rd e l sa x o − i m a Sin emba r − g o a − l re s − p uest
ateo r −
d eDavi dVa nDantzi g ( matem át c − i oh o l − a ndé s fallec d − i oe
1 959 ) hab r iacute − a s d − io p robablement enegativa , pue se nun a oca si ó ns e p
r − e gu n ó
i 10
1
es un núme r − of i nit [ 26 ] Est e u ejempl od el oqu es esu e e lama r
tultraintu c ionismo o u l − ta − rf inio tim o
un aversió nradica lde lint uicon sm o
. E lintuicion i − s m o originó con B r − o u we y postul qu la m atemá tca
sha nd e s r desarrol a − lda spo
´en
19T am b i −
e
frecuent
át c − i ae s o bjetiv ) y
a ve r − s
sobjeto smatemá i − t co sexi s − t e n
20T an t − o el
realism
com
s c − o m plej s y s u t l − i s q uel
vers i − o nes b ásica
q e n s ocup
oaqu
distingui rentr e re a i − l sm o parenlef t − l amatem
i n m rad i − c al l a − l ma d − a p latonism
( lo
re l − a me nt e
e lforma i − l sm o tiene nv a r − i an e − t smuch omá
descrio ta squ eso n , si nembargo , sufi c e − i nt sp a al a discusi n
t − a? Ar tı́culo
5
métodos co nstructivo a parti d el a “ intuició np r − i mordia l ” d e o − l snú mer
s enter y de conta r si e−n d sas un varianr t d el oqu e , má sgener l −a
me n t , s e c − o no e o − c m construc tivim o Otr ı́f initist aradica l — o , quiz
ám e − j o , u nm eaemá ti oc u op un de v i − s t a es una m e zcl d eformalism y
finitism oradical — e sEdwar dN el o − s n qui e después de ha be hech ou ntrabaj
omu yimportant ee n fı́sc amatem áti c , d e di ó s esfuerzos a c uestr i − o ne
de fundamentos . E ns u i − lbr o [ 8 8 , N iel−so nadm i e s n prob e − l ma
22
2
´ i as ó ou n “ nú
el número 22 = 6553 per n 222
= 265536 , qu es e r −
me o f r − o m a l pero no un quotedbllef t − n úm er genétic o o ” pue s , com
oargument ae n [ 8 8 , p . 7 5 , iun oc uen a
razón de uno c a − da o 10−2 segundos , qu ee se l i − t emp oaproximad oqu e t a − rd
´ a metr d u protó n , ys il aeda dde lunive s − r
a a l ze atravesar el d i −
oe sd e 2 0 m llm i − l lon
de a ñ os en t − o nce tardará m á d 1 0 1968 4 edade sde luniv e s − r oa nt sd e cont r
has
265536 . Ası́ l l − ea − g a l − a conclusis ó e [ 8 8 , p . 97 ] d equ ee lnive l V 5 de lu
niver o V, o − c
´o
sus 65536 o b jeto s exist e per nV6 co nsu s 2 6553 6 o bet o , e ss ó oun a construcc i −
La Gace
f ormal21.
Es po sib l − e a − t m bi eacute − n considera conjunto smuch omá speque ñ o
squ e l squ e acaban de me nciona sobr cuy aexistenci atampoc oha br auna n − i
mida . R ecord mos que l − aconjeu−t r − a de G oldbac
afirm aqu etod oenter
opa r ≥ 4 s epudd−e e escrib
como la suma de do p rimos Aunqu eexist el acreen c − i a ( d s − ed eu npu n od e vis
rea il sta ) de q u l − a conjetur .d Goldbac he scier t a ( basándos ee n ag−r um ent s he
rı́sticos y r esul t − a do experimentales ) , po re lmoment on oh a sd odem ost a − r d ;
pa
el argumen t − o q u sigu e cualquie rotr oproblem amatem á t c − i on o r e − s u el o
(o − c
m o − comma p
ej emp l − o, a − l H i − pó e tesi de Riemann ) servirı́ atambién . Supongamo squ
ede
f ii − n mo su
conjunto X po stu l − a n sd q u X = {0} s il aconjetur ad eG odbac he s cier a yqu
X = {1} en c a s − o d q u se fals y , acontinuación , afirmamo squ e l conjun
o ası́ definido v erifi c − a q u X − bar |= 1. Desd ee lpunt od e v i − st a clás
c − io , e sd eec i , des eun visión rea lis t − a de la matemáticas , e sindudabl equ
ee lres u t − l ad oe s cier oy aqu e tiene un ún i − c o e lement o , aunqu en osepamo
ss idich o eement oe s 0 oe s . Pe o des el punto de vis t − a constructivist an oe
sas , pue se lconjunt o X n o exis t , dad oqu en lo hemos d e − f i nid p o u pr
ocedimient oconstruc i − t v o . D ehech o , un od e l spu nt de par tda históro ico r
de constructivism oy , má sconcretame n t , d lintuio cion i − s m tal como l − o
f omu ló sBrouwer , fu ee lrechaz oex p iacute − l c i − t ode l p i − r n cipi ode l terc
o
e xcl u que postu l − a que u − c a l − q uie enunciad m atemá i − t c o s − i
gnific atv oe sv r − e da de o o fal s Brouwer admit iacute − a a − l v alide d d ich
oprincipi osobr eco n − j unto sfi nit spu e , e n t caso , la v erifi c − a c oacute − in d
´ i ai rcomproband op a acad aun od sus elemen to s per p
un propieda ds epod r −
ensab qu es ugener a l − i zació n au nco j − n unt oinf ir ni on o est a − b j ustificada
P o es o , Brouwe rn oadmitirı́ al aexisten c − i ade lco j − n unt o X a tnt s defini
hasta que pu rdiésemo da un ademostració n parenlef t−exclamdown constru c i−
t v a ) ou nco ntra e j −e m p od la con j −e tura de Goldbach e cuy cas oy atend
l−a
ma yorı́
iacute−r amo sun acon s t−r ucc oacute−i nd e X. S embargocomoY
tod denter
= {0 } s
iacute−r
o
elo sconstructivistaoparmenorqu sse1 ı́adm010 0itiessum a nqueeadedo lc onjunspr−imo Ys e, Y de =f ini
{
21La ar i − tmé t c − ia predicativ
qu
Nelso ndesarr o l − l óe ns u lbr o ci a − td
os e pue e e − n m arc re n contexto de l − o q u
s
conoc ecom o aritmétic aacotada , qu es
eo rign óco n l a rtı́cu o [9bracketright − two y englo diferen te
t − e orı́a scuy acaracterı́stic
acomú ne squ ee t − sá naxiom at i − z ada spo ru n conjun o
defórmul acotada s La
aritmétic
acotad aest árelacionad aco ne le s − t u d od el a o − c m plejid d c − o m putacion y su de s − a
rrol o − l no p resupon el aadopció nd eun apo s − t ur a f io − l sófic a radic l c − o m o
ad
eN els o
58
U npase oalrededo rd el ate or ad e
conjunt
si no es a s ı́ es un conjunt bie definid o . Per ootro s , en t − r elo sq u , p o − rb
´ i Nelso n tampoc oadmitirı́a nl aexisten c − i
ab l − e m en t se encon t − r a r a −
ade lc oj−n unt o Y
Por supu es t − o q u , eaú npued ehabe rmucha spo i − s cione sin t − e rme d a − i
´ o n c − i a d l − a existenci ad etodo slo sconjunto
se nt el a acept ción pla t −
´ o nd
sde lunive s − r o V yl a posic i −
Nelson r e − c ha a − z n ed l − a existenci d e V.26 2P o re jempl o , u nre ali t − s
amod e r − ad op odr admit i − r s n − i n i − nuacute − g n p roblem l existenci
ade lconjunt o N yd etodo s l s s − u b o − c j untos de N q u s o − n definible m
ediant eun apropieda d ( exp r s − e a b em edian eun
fórmula del l − e g − n ua j d eprime rorden ).23D eest aforma , con s − idr−e ar
aqu e l conjut n de los númer o p are o e conjunt od elo snúmero sp r − i mo se
xis e − t n re a − l m en e y pa él no hab r iacute − a duda a g − l un ld equ el aconjetur
ad eGoldbac h t i − e n equ e s r ve d − r ade a falsa . S i − n emb a g − r o est
m ism person apodrı́ an ocree re nl a exis t − ene c a re ld e l sub conjun to no d
e − f i nible d e N
Los come ntario anteriore ssolament epretende nmo s − t ra rqu ee lcon cep od e
o − c j unto — y , más au n de “ conjunt od enúmero snaturales — qu i − z án o
e − s a t − a n sen c l − i y fáci de com pr e − n,de com pued eparece r aprimer avi
t − sa , p e − r o l s e e − j m pl sm o trados no d e − ben n − i duci a pensa rqu
ela sidea sconstru c t − i vi t − s a sso nma yor oitari se matemá t i − c a s p ue dist
´ o nd ea [84
much d ese ra s . Po r j − e empl o , e nl aintod ucc i −
J . D . Monk e stma q u e lunivers m atemátic oest ápoblad opo ru n 65% d e platón
cos , un 30 % d fo r − m alista y u 5 % d econstru c i − t vi ta s .4Aunqu epu e − d e
q e es
´ o n no s a − e m u riguros porque , ademá sd eesta s alt e − r n ativ s
estimac i −
(o − c n s sn
merosas v ar i − a nte y subdivisiones ) , e nl aactu a i − l da dexi s − t e nmucha s aotr
s filosofı́
de las ma t − e má tica s Un d ella se se cuasi - empirism o [ 2 7 , 10 7 , cu y
s aorı́gen s
remontan a Pu t − n am
[ 94 ] yLakato s [ 67 ] , ycon i − sder aqu ela sm aem á tic s
s − o n falibl
y usan mé t − o d o u − c asi - empı́rico ( oinclus oemp ı́r − i co s , c . [ 3 7 ) qu e l
sa pro i − x ma n las c i − e n c a − is ex perimentale s Otr alternativ ae se l fic ci
on alsmo , s − eagú n lc u l l objetos ma t − e má tico so ficticio a [ 5 ] . Tambié
ne sr eevant ee l natu ral s − i m oe [7] q u más que una f i losofı́ d ela smatemáticas
, e su nmétod opar aev aua rl am e t − od 3olog matemá t i − c a y u − s relació nco
nl afilosofı́ a , qu efu edefinid opo rQ un ecom o “ l re c − o no c imiento de que es
dentr de
l apropi
ci enci a yn oe n algun afilos of a p revi , dond la realidad tie ne
´ of i c s sob e rea il dad o
que
se o identificad y
de scrit 00a . La scue sto n s ı́f ilos −
l − a o b jetivid d − a d lo sobjeto m atemá t − i co s , e t c , so n , d s − ed e es epu
n od vista , ext e r − n a a la m ateme ática y , e nconsecuencia , tot .l−ame n e irre
l − e v ant se n que conc i − en − r e a l − a evaluació d es umetodologı́a . Po re
t − s arazón , e ln atural i − s m o compa tib l − e c n − o “ versione moderadas (
“ su t i − l e s , e nl a e − t rminolog ad eMa d − d [ 74 ] ) del p la t − o nism o
e formalism o ye lficcion alsmo . E np aab a − r sd eMadd y [ 7 2
22U n e j − e mp o − ll − o proporcion al asiguient edeclara i − có nd e S . F ef e − r ma ne
´ o n c − io confirmado En
n [ 3 9 ] : “ E n ella o negativ s oy un an ti - pla t −
e
lad
oposi t − i v o , so yu n realis ae n
oqu e a l s uacute − n mer naturales se r e − f i er e
e
decir
cre
qu elo senunciado ssobr el ae s r − t u c − t u ad e l snúm er s natural
tienen un va l − o r de
verda , determinado
independient ed ela sdemo strac o − i ne s y
construccion humanas ”
23Es t − ad − ie − a de
considera rsolament esubconjunto sdefinibl ss ea pli ap a a l − e pa
od eu n niv el sigu i − e n e − t en l − a
definició
de
univers
constructibl e d eGöd e
, a lqu em e referi ém
s adelant period − e S embarg o
quotedbllef t − c onstructible ”
n
otien eu nsentid ofin t − i a r − i oe ne t − s ec a s , pue s
a construcá ci n
ser ea l − i
por r e − c urs oacute − in
transfinit
sobr etodo slo sordinales
24Y uri G urevi c − h m aencion ae
[ 54 ] qu ee lconstru .ci−tvism ol e r − e cu ed a l
perri oM osk comma − a q e
en fábu l − a de
v − Ia − n Krylo
“E
elefant e
yMoska ” , ladr af urosame n e au n elefant comma − e t e − l cu a comma − l a pes a − r ello
, l − og − i n o r − a totalmente lSi nembargo , est ohac equ eMosk as e sien a fuer t e .
t − a? Ar tı́culo
5
“ la tarea del f i ló o f − o de
la m a temática
e sdescribi r yex p i − l ca rla
smatem á tica , n reformarlas ”
Abordemos a hor l cuestió d cuánto sconjunto sd enúm er sn atural sha
o , en o t − r as pa a − l bra s cuáa e l carde in la ida dd e P (ω.25Canto rdem
ost óqu e es conjunto no es num erabl per o , s itraba jamo se nZFC , vemo squ e i
d i − ch a teor a
cons i − s ten e − t (l − o q u e sól u artı́cul od ef e ) , entonce s ten eu nmod e onu
merab
M ( por el t − e orma sd Löweno he m − i− Skolem [ 7 6 , p . 6 5 ] . E n d i − ch
omod e o ( q e
puede i − n c lu o − s s − u pone qu e transitiv opo ru nres u tad od eMo
sow s k i , exis e
conjunto i − nf i ni o − tω ( po e saxiom ad einfinitud ) , ytambié ne lco nu
tn o P (ω, po r axioma de p arte s Po otr part e , po re lteorem ad eCanto r — qu
ee s consecuenc de los ax i − o m a d ZF — s tien qu e P (ω) e sn onumera b l .
Po rta n t , lm ode
transit i − v o num e a − r e bl M exclamdown contien conjunto sn onumera bl
e ! ( parad o ad e e Sko l − e m Desde el pun t − o de vise t extern o a se
´ e n o − l s − o n per
M
numerable , todo s o − l sc jo njunt sd e tamb i −
l parado j ,d Skol m − e s eresuelv ein t − e r pr t − e and oqu eo i X un conjun
t − on − if i nit de M , yconsia deramo sun aenumera ci ó nde lc onu n onu merab
P (X), d i − c ha e u − n m eració ( s grafo ) n opued eesta rde n t − r od e M.
Sk toe−l m y otr especia l i − s tas en u − f n − d amento saceptaba ntraba ja rco
nconjunto snum erabl s n − i finit pero no con i − n finito n numerable s ,
puest oqu eco n i − s deraba n e s − t ap a a − r d o a c − o m una ma n i − fe s a − t
´ o n de carácte rrelativ od elo sconcepto sco j − n u ntist a . E n pa rticj ul a
c i−
creı́an que e xist e − n “ diferente continuo s ” , P (ω)M , correspon d e − i nt s a l s
diferent
modelos M n i−nu−g n de lo cuale scoincid eco ne l “ verdader o ” P (ω)[7, .6]9 .
Desde el p unt de vis t realista tant ol aparad o − j ad eSk o e − l mcom o
p l hec de que ca s t − o d o olo su bconjunto ,d N sea nindefinib e − l s sg nfica n
s − i m p e − l men que los l − e ngua je s formale tiene nlimitacione s al ahor ad
eim t − i a r l s ra z − o na mient intuiti vos bracketlef t − seven 6 p 69 ] Desd
est punt d evist ae spe rfe t − c ame n e legı́t−i m oh abl de “ la teo r iacute − a
de conjunto s ” aunqu en ocab eiden i − tf ica r − l aco nu nt sis e − t m a f o − r m a
comma − l ej ZFC , pu es t − o q u est n ,l adescrib etotalment e . Veam o , n oob
stan t , h as a qu punto l − o s sis e − t mas e formale so capace sd eda rrespuest
as s atisa ctor a a a se−g n − ud pregunta so b r − e e nú mer sd conjunto
sd enúmero snatur al e . E lp i − r me rinten od responder a e s t − a pregunt fu
obr de lpropi oCanto . Desp u sd edem ostr r q
la car id na l i − d ad de continuo 2eℵ 0 e m ayo rqu e ℵ0( y , po rl o ta n t , ma y r
aog − i u
´ o nd e l s cardinal
que ℵ1 ) Ca nto s preguntó , dónd eest ásituad o 2ℵ 0 e nl asuc es i −
,
transf ini to y c on jeturó qu 2ℵ = ℵ1 , l oqu es econoc eco ne lnombr ed e hipótes
del continuo
parenlef t−a brev a−i dament C H .2) Canto rdedic ógrande s esu
erz s a trat rd demos t − r a r a − l s i − n conseguirl o l cua n oe snad aextra
ñ os is e t e − i n ee ncu en a q u andando el t i − e mp o Göde demostrarl ı́ a
, e n 194 0 , l aco nsi t − s en c ad eC H c − o nZF C [ 4
La Gace
´u
25Dado q u P (ω está
e
correspondenci abiunı́voc aco ne lc o njun o R d e l s n −
m er s re a l esta pregun t − a q − e uival
a
questiondown Cuánto snúmero sreale sha y
26En un
s − e nt d − io diferent y
desd eu npunt od ev i − st a ?ulr−t afi n itist , A
l − ea − x nd r Esenin - Volp i n , h del gran poe t − a rus oSerge iEseni n , l − l eg ómuch omá s
le−j o , a lpo n re ndud a a unie cid dd e lasucesi de l − o s núme ro n aturale s . Y u . Gurevic
hcuent ae n [ 54 ] qu eun ave z
eins ó a o − c mpar a r “ a sucesi potencialmen t − en − i fini
´ o n potencialmen
t−a d
lo
segundo s aparti rd eu nin t − s a n edad o y l as uces i −
infinita de
l − a s g e − ur − r a mu
27Dado q u
conjun os u funci
carac t − e rı́st
exist
un
biyecció
ndiale
s
00
natura l — qu ehac eco rr
e − s ponde r a a − cd a
c − i a — entr P a (X y e lconjunt o 2Xd ela sa pl i − c a c o − i ne sd e
X
l conjun o 2 = {0, 1},
| X = ℵ s − e d n − e ot 2ℵ e
cardina ld e P (X), d emod oqu e 2ℵ0 e s l cardin l d
e − lcont tin o P (ω
60
.
rea
s
s
U npase oalrededo rd el ate or ad e
conjunt
y más tard e Co h e − n demostrarı́a , e 196 3 , l aindependen c ad eC Hd
eZF C [ 2 2 ] ,
que se puede re s − u m i d iciend qu n C He sindecidi b ee nZFC . Po r tan t , ZF C (
´ e n o tro sist m − e a formale scom oNBG ) e sincapa zd er e − s ponde
tamb i −
r al a prg−e un básica sobre el núm er od econjunto sd enúmero snatur al e . Si nemb
ar g o − comma elsignifica de este hec h − o es aacute − t sujet a interpretació n
yl ad eu nre salis−t ae smu y diferen ed e de un forma lis t − a p − parenlef t ar u
´ o rea il sta l − a f omu ló
finitist aC Hn isiquier a ten ese ntd o . L ainterpretac i −
clarament Göde le [ 5 1 , un ave zqu ey aha b adem ost a − rd o cons i − s ten c a − i
de CH c o − n ZF y y as nesuponı́ aqu e tambié nres u t − l ar a s rindepe ndien t
. .
s e deduce q
u
lo
concepto y
te orema
conju nt i s − t a sdes cri e − b nun
l − i dad
b e − in d e terminad
e
l
cua
l
scon j etur ad
eCanto r t i − e n equ
er verdade r − a o
f alsa
Po a tanto , s uposia b l einde ci b i i − l da dd e l − o sa xoma
´
ó l o puede
s i − g ni fica
qu
e sto
axioma
n
con i − t ene nun ad escripci−o
r
completa de
e s t − a r eal idad
´o
En cam bi o desd e punt d evist aform alst a , C Hn oe sun a pop osic i −
nd e “ teorı́a de con j − u nto s ” sin d eu nsistem aforma lcom oZF C oNB G
yl oqu e hicie o − r Gödel y Coh e − n a proba qu CH e indecidibl efu e i − s
mplement edem ostr run prop i − e dad de a g − l u no d eso sise temas . Est
´
aer a , aunqu eu npoc o a r − ea − gñ adient e la posici−o n de Co h n − e sobr CH
e 197 [ 7 6 , p . 17 2 . A s , d e − sd ee lpu n od e vis forma l i − s ta e strict o
ta lı́cit serı́ atraba1 ja re ne l s s − item aZF C + C Hcom oe nZF
+(2ℵ 0 = ℵ2 ) ZFC + (2ℵ = ℵ17 o , inclus o , ZF + (2ℵ 0 = ℵω + 17, pue
´ i a s t e − i ne
spo r trabajo de Gö , de y Cohe sabemo squ etoda sesta ste o r −
nmod el se n ca
de tener l − o s ZFC l (n − e cambn i o , Z F − C + (2ℵ = 0 ℵω) e sinco nsi t − s e
n t , v éa s , p r e j − e m p l
[ 66 , Lemma I . 1 0 . 3 8 Corollar I . 1 0 . 4 1 ] ) . Otr acos ae se lin ter squ epo
odriacute − a n ten estas teo rı́a y c − uá p odrı́ se l arazó nd eprefe r run a a
o r − ta , al−g oqu en o resul
fáci de d i l − u c d − i a desd u npunt od evist aest r − i ctament eform ali t − sa 2
´ o n h y − a qu reconoce qu n o dsponemo sd eun a repu
En conc lus i −
e s a c − o m pletamen t − e satisfactori a ela pregunta de lp i − r n c − i pi oper o
, e ne lc a od eCH , l matemá t i − c o no s resigna y sigue buscand oes arespue
´ a co nmá sdetall ecuá le se lse
t − sa . E ne lap ar t − ad o s guiente se ana li za er −
n i − td od ee s − t abúsqued aun a v z q ya sabemos que CH e indecidibl ee nlo
ssistema sform a l − e sha b t − i u al e
La hipóte
s i − s del co
ntin o − u
Desde una ó ptic realist a e problem d el ahipóte s sde lco nt i − n u on op
ue considera r − s e c er a − r d p o lo resultado d eGöde l yCohe n yau n s n
´ i ad elo sesp
neces i−d a dd enmarca r −s e en es a−t p ostur s filosófic a sl amayo r −
eciali st se n teor ad conjuntos c onside r − a n q u CH — y , má se ngener a , l ahipó
tes sde lco antn−iu o gener liz ada , GCH s − euacute − g n l cua 2ℵ = ℵα+−−−
e sun acue s t − ió n sgnific at v − i a eim portan t
28N e l − s on
sp alabra
: “Ls
describió
iacute − s
e
[89
l
tare
mbol en la fórmula s
de lmatem átc oco n
o − n ma rca
e
a − l s si−g uient
e
papel ,
e
ltraba j ode lmatem át c − i oe sid e − a rp ro u − f n d s y h e − r mos concatenaciones de
esa
marca ssiguiend oreg la sestricta s ” . P e − r on o est ád el o − td o cla o cuál esserı́ los
cri t − e rio
d
bellez y
profundida de nest econtexto
t − a? Ar tı́culo
6
que debe s e − r resuelta . 2 Un camin onatura lpar atrata rd eh al a − l run a soluc
´ o n o − c siste en a ñ a di a l − g n −
´ u axiom a ZF Cqu epermit ahace r o (
i−
com oy ap r − o p u oG öde l Sin emba r − g o no e s n much m eno s , evident
˜ n,
e , cu áe ss era n o − l s “ bueno sa x i − o m a que pod r iacute − a n se a a −
dido ( obviament e , e lproblem as eres ı́ov er a ag r − ea − g nd o aZF
bien CH o b i − e n u − s snegació n , per oest asolució nn os econ s − id r − e as
atisfactori a
Una po stu r − a discrepant eco nl aide aqu eacab od eexpone re sl am anifes
a − td apo el lóg i − c o So o − l mon Feferma e [ 38 dond e , despué sd ean al
i − z a re lh c − eh od e q u , pesar de l − a g a − r n c − a ntida nd axioma
snuevo squ es eha nco nsd r − e ad oe n teor ad conjunto s i − n c u − l y e − n d
lo d llamado axioma
d ecardin ae sgrand e , l a hipótes s d con ti nuo perma nec
osi decidi r , concluy equ eest oarro j ase ra sdu d s s − o b e iC H un prob l − e
ma bi n − e d e − f i nin d oy , má saun , sobr es ie lco n i − t nu oe su ne n em a
t − ermá ti o bi definido . E s t − e hech on oofrec eduda sdesd eun aperspe c i − t v a
p l − ató n c − i , pe oF ef e − r ma rechaza e s t − e pu nt d vist y concluye “
E st o yconvencid od equ el aHipótes s d Continuo es un prob l − e ma inherentement
evag oqu e ningú n axiom anuev o r e so lver ád
forma convincen t − e me
nt
definida .
( cf [ 38 ] par alo sdet al e − l s ytam
´ e n [ 4 0 , do n se a ñ aden más e − x plicace ione sobr est posició n
b i−
ys ed s − i c u t − e n ag−l una s opinion
contraria s )30
Para l − o s e specialista qu ecree nqu eC He su nproblem a sg nfi cati v , l a
cuest oacute − i crucial es d eterm i − n a cuás le spuede nse rlo saxioma s aagrega r
aZF C pa ad ecidir l Los cr i − t erio ma nea−jr do shabitualment eso nqu elo saxioma
s aa ñ a d r t − e nga nu n bu contenido intuit i − v o y dad qu ee sposibl edecidi
rl acue sti ó ne nun o u ot o senti d que conduzcan p r − a gmáticament a l solució
nmá sdesea b l . Ha yu ninteresan
ar tı́ cu l − o de Pe nelop Madd e e qu s discut ees t acue estoacute −
in , [72 , an ali z − a n algunos de lo más importante argumento squ es eha
ndado , ta n oe n f − a v r o − c m en con t − r a de CH as com olo saxioma squ
epod iacute − r a nse rr e l − e va nt sp a a l prob e − l m
Comenzando p o lo argumento a favo r , un od e elo spo edr a s r e lh e c − h
od que CH se v erifi c − a n − e e u
niver s
constructibl e L, qu efu e u til
i − z ad opo rGe ö d lp a probar l − a co nsistenci l de axiom d eelecció n yd el
ahipó tes sde l cont n − i u .L puede carac teriza com e meno rmodel otran si
t − i v od eZ Fqu eco nt e − i n e a t − odo sl ordina l − e s ( e m eno mo d e l
interno ) per o , má sex plı́c tame n t , s epued ede fin r o − c m una subc la s − e
de V q u s eobtien ed eform asim l − ia rpo rrecu ersó n t − r ans fini a ap art de
L0 = ∅ c o − n a − lú enic diferenci d qu e , mientra squ ee lpas od e V α a
V α + 1 hace me d i − a n e − t l − a a plicaca ió nn orestricte iv ade laxiom ad epa
rt e , Lα + 1 es á f r − o m a únicamen t − e por lo subconjunto d L qu eso
ndefinib e − l s apa rt rd eu nnú me finito de e l − e me nto de Lα po un f órmue
l ade llengu a ed el a e − tior ad e conjunt
La Gace
29M a n i − n distingu
e
[ 8 0
entr
u
problem
ame n t , un a cuesti n sı́ / n ) yu programa de inv estigacin oacute −
n
( qu e e , b ás c − i
(]“u e sboz od eun
avisia ónams p i − la , u nmap ad eu n pais a j e . . . )
yse ñ a
´ i aun acu e st oacute − i n s
que CH que
e−n l
époc ad eCanto y
H l − iber tpare c −
iacute − slash n o a a − cb ó generan ou n vas programa de i − n vestigació
qu llev r a
l
aprueb ad es uind ecidibilda
. Pa am uch s espec ial s − i t a este pro g r − a ma de investigació
naú nn oh asid ocom p e − l tado
30Como tes a diciona
sobr el acuestió n , Feferma nme ncon ae n [ 4 ] q u , pe e a s rC H u o los
pocos
“ p r − o t blema
d
Hilber t ” qu esigue nabiert o , n oh a sd oincl0 u d − i o ent
rel s P r ob l − e m s d Milenio , por
l − a solucs ió
d
cad
un od elo scuale se
lIn st t − i ut o C l − a y ofre eu nm o l − il nd e dólar e El te s que p r − oo − p n
está
contena id oe nl a s − i guient epregunt
: questiondown S e se ntir a ust d leg ó i i − t m
´ e ciene tı́fic
a o pa dirigirse al comi t −
d
es
Institut o yargumenta rqu ee l p r ob
e − l m ad
l contin oh a si descartado injust i − f i c d − aa
mente y
qu es u solució
ntambié ndeb er av a l − e ru nm il oacute − l n l − i mp oi
62
U npase oalrededo rd el ate or ad e
conjunt
relativ i−z ada a Lα As ı́ m ientra | V ω+1 |= 2ℵ0, s e i−t en equ e | Lω+ 1| = ℵ0 ,
d e hec h los sa l − tos de c ard n − i alid a − d e nlo snivele s Lα sól os eproduce
ncuand o α e su n cardina puesto que bar − Lα = | α par todo slo sordinale
sinfin t − io s α[76, p .150.L s e l l − a m a universo cons t − r u c ti b l y e axiom
d
constructib i i − l da d = V L po s − t u aqu e o − tdo sl conjuntos d e u
nivers so constructible s , d emod oqu e L e su nmod le od e a teor ZF +(V = Ll)
Gö de odemostr óqu ee laxiom ad eelec ci ó n yl a hp ótes sd l contin genera l i − z
ada o − s n teorema d es t teorı́ a , l oqu eprueb al aco nsis t − eni c ad eam b
con ZF ( por e jmp l o CH s ededuc ede lhech od equ elo ssubc o nu nt sc onstructibl
de ω se co nst r − u y n − e, todo e algú nive numerable , d emod oqu e
P (ω ) ⊂ Lℵ
cf . [ 76 , p 1 6 1 o [ 6 6 p s 175 ] ) Si embargo , poco sespe ciali
s − t a sco nside a − r n es solución sa tisfactoria porqu ecree nqu ee laxiom ad econ s
t − r u ctibilda de s dem as a − id
´en).
restrictivo y q u L no agot V ( ye lpropi oGöde l as ı́l oc re atami b i −
Otro a r − g um ent q u h asid ousad oe nfavo rd eC He sl ae xis e − t nc ad e resul
´ iod conj−u nto
t − a d parcia l − e s en t eo r a −
de scriptiva . Un aformul aci ó
n alt r − e n i@i−v ad eC H que no e xis t − e n c ardinalidade sintermedia sentr el ad elo
sco j − n un t snu merabl s y del con t i − n u o e deci r qu tod subconjunt
on onumerabl ed e R t e − i n el ap otenc del con t i − n u o M ás s generalment e ,
dad aun afam i i − l ad esubco n − j un o − t sd e R, s e di equ satisface CH c − un − a
d tod conjunt n onumerabl ed e d i − ch afam il a t e − i n e apc ote cia del con
t i − n u o Po ejempl o lo subconjunto scerrado sd R ( po r l teo e − r m ad
Cantor - Ben dix s − o n y má generalmente , lo sconjunto san alı́e t c − i o
s — y − comma e n pa rticul a
los conjun to d Borel satisface nC He nest ese n t − id o [ 8 5 . S nemb ar g , l sm
ét dos usados pa r − a demostrarl n otiene ngener al za i − có ns atisfa c − t or a yho
ye n d an se conside r − a q u est argument se arelevant e . Otro sargumen o − t s
f − a vorabl s o − s n efectividad de GC H q u permit eresolve rd emaner ainme dat
ac a itoda s l s cue tiones r elat i − v a a a − l aritmétic d cardinale s ytambié
ne lhech od equ e ¬ GC H
restric t i − v a en ciers t sentid surgid od el ateo iacute − r ade l “ forcin g ”
3 2 qu etampoc o exp caré .
Si n emb a r − g o s ha nformulad omucho smá
´ ied lo experto ss
sargumento se nco nt ad e a valid de CH y l − a may , ora −
ein c l − i na ne ne t − s ese n t − ido
En t − r e lo a g − r u mento e contr s puede men cona r aguna
s c − o nsecuenci contra i−ntuits i − v a de CH qu y fuero observada spo rGöde
l ytam b eacute − i n a veri cación de CH e − n e u nivers constructn ibl e ,
qu ealguno sin t r − e pr e − t a nn egati a − v men dado el carác te restrictiv od edich
ounivers o . Otr oargument oe nco nt ae s a intu ción de que el a xiom d parte se
smá sfuert equ ee ld ereem p l − a z o , un a postu aqu fue defen d i − da p o Cohe
a pesa rd es uform alsm o [ 2 2
31La
´ i
t − e or a −
a b aja ee n
u , po r resul
d
conjunto
s
sim p l − if icarı́
l contex od eZ F (V = L) p ue no
sól AC y e GC
a − t d sd e Jens n [61bracketright − comma unive
much ı́i − s m os is e t − r
serı́a nteorema s s − i n oq
r − s o co nstructibl e otien
eun a “ estructur afina ” qu ehac equ ec a i − s toda sl s cuestion essob e L se deci dible s
Es
t−o es
precisamente , l oqu ehac ee laxiom ad econ s r − t u cti b i − ld−i a dp o o atracti
o pu e en pa l − a bra
d
H.M
Friedma
[ 40
“E
especi a i − l st ae nconju
n o sb u s − c a e − f nómeno s conjun t − ist profundo s y
ası́ V = L
e
anatem
apuest oqu erestring ee lunive r
de f n − eó
meno
está
− s oc onu ntis a a − t n drásti
c − a men que todo ,ti−po
demostrablement eausent e . Po r ot a part , d a o q e V =
(
y ¬GCH esconsistent eco
nZF C ,sededuc eque¬
V
=L )e s
e
imp32El li−caf −quotedbllef tGCH
orci−ng 00 f u
eelmétod
oemplead opo
rCohe nensudemo strac oacute−i nd e a consi sten
La idea b ás i − c a de
est
métod oconsist ee nextende rmod eo sd e f r − o m a controlad a ,
o q e pemr i que
l − a s se n e − t ncia
verdadera se ne lmodel oextendid osea np rec i − s
am en e l s q e s n “ forzad a ”
serl − o
t − a? Ar tı́culo
6
El conjun t − oC ( e
continuo
e
mayo rqu e ℵn , ℵω , ℵα , dond e α = ℵω
´ a da ld po
e t c . pues e s t −
u
atrevid onuev oaxiom a ( e ld epa rte ) q u en
puede s er a p − r ox m − ia od po
ningú nproces od econstrucció npo rp as s (
axioma de r e − e m plazo )
Un argume nt curios ocontr aGC He se lproporcionad opo rl oqu eMadd yl l − a
ma
id “ en ti dad c aprichosa ” ( “ whimsica lidentit y ” ) . L aide n t − i da d
n+ = 1 2n só os ecum p para n = 0 1 P o tant o s G C − H s everifica ,
entonce s ℵ0 s epod r ade lf in r o − c m o cardinal an ,te de cua G , C − H e
fals ( exceptuand o 0 y 1 ) y d s − eı́pué sd lcu lGC es verdade r a sEst a rg−u
ment os ebas ae nl acreenci ae nqu ee lu niver od e a teor de conjun to de eberı́ d
ese rl osuficientement e r − i c opar adesca t − r a r est s s “ i − denl t d − i ad accidenta
l − ess ” A dma á s ta identida dcontrade ci iacute − r ae l prin ci p i od eun a i
orm i − d a d qu muchos de f i − e n d n − e com un regl aheurı́stic a v
ál − id apar al ateo r ad ec f o njunto . E s prin ci p i − o se p ued formula ras ı́ “
E
univers od e lo sconjunto sn ocam b as u carás ct sustancialmente cuan
d−o
s epas
d ecardinale smá speque ñ o s acardin al s o conu−j nt
mayore s es de cir lo mi s − m o o similare spatrone sreaparece nrep etdame n e (
quiz
en versiones más co m pli c − a das ) ” [ 108 ] . Est asingula i − r da dd e ℵ0 ir ae
nc
ont ad e dic
prin cp i − o
Un argum en t − o p ersuasiv contr C Hh asid oformulad opo r C . F r e l − ii−n
ge n [ 4
( véanse tam bi eacute − n [32 87]) Consideremo sun acomp etici ó ne nt edo s per
o − s na s A y que arr oj−a n da d − r o a un .dian ad eform acompletament e aea
tor a eindepe ndien t Supongamos q u lo p unto d el adian as eha npuest oe
nc orr e − s ponden c a biunı́vo con los núme ro reale s d mod qu elanza ru
ndard o al a dan a e , s − i m p e − l men t generar un nú mer rea aleatoriamente
´ o n de R y ga n
. Par ade c − idi re lganad o , s es f i aun a bu n − e ordena c i −
e competido rqu elanc ee ldard o au npu n o o − c n lnú me mayor en es t − a o
rdenacia ó n Supongamo sademá squ eC He s v r − e dad e r . E ntonc s buena ordena
´ o n de R s pued ehabe relegid od eform aqu ee lco nu an o ord n − eea resultan
c i−
t − e s a − e ord e − n− isomorf a ℵ y , com oest ee se lp i − r me ror dna ln onu
merab l se deduce que t − o d o lo segmento sinicia1 le s Rx = {r ∈ R | r ≤ x} so
nnu merabl e comma − s
decir , para cada pu nt P d el dian a , e lconjunt o S =P {Q | Q ≤ P } e snu merab l
En consecu enci a da d qu u conjunt onumerabl e ten eme dd an u l , i A lan
primero y su d ard s clav e P l aprobab i l − i da dd equ ee ldard od e Bcag−i
ae un punto de SP
e cer y po n tant o co nprobab i l − i da d 1, B gan .
Pe o o − c m o l lanzam i − e n to e a − r n si − n dependientes , s epued esupone
´ o n q u e B quie nh
rtam b eacute − in , s n vari rp a an a − d la compe tic si −
alanzad oprimer o . E ne t − s ecas o , po r l ra z − o nam ie to simé tr i − c o es A q
suin − e gan co probab i l − i da d 1 . S e leg a a ı́ aun a contradicc oacute − i que
mue s t − r a q u CH e falsa E problem ae squ e , s is e r − t at ad eh ac r riguro o
argumen t − o en e context d .l teorı́ ad el amedida , e snec s − e ar odem ostr
rqu e grafo de l − a bu n − e a ordenaco ió uta ilizad ae smedible , cos aqu en os
eh ajustif ic−a d oe absoluto S i − n emb arg o est oparec eproporciona reviden c
aint uit v − i ab astan e plaus ble en con ta de CH y e apoy od eest aaseveración
La Gace
, c i − t ar éuna sp a a − lb r sd e Dav
Mumford en bracketlef t − eight7]
Esto nos l l − ea − v a lpasmos oresultad od eChristophe rFre i l − i n g ( 198 6 : usan
do la idea de
l − a nza
dardos
podemo
refuta rl ahip óte s sde lco )ntn u
´ o po
Desconozco
l − a r az n −
l
qu
e s t ete orem an oe sunivers a − l ment e o − c no
64
U npase oalrededo rd el ate or ad e
conjunt
c ido y co
n s i − de a − r d
a n ive
d
lo
resultado sd eGöde l yCohen . [ . .
As ı́questiondown recha z − ae − r m o
l − a demostració n ? Freilin gus ó e largument op a amo
tivar un nuevo a xiom
d
l
te orı́
d
conjunto squ er e − f ut al a hipr ótes
´on
del con tinu o C r e − o qu ad eb aerı́amoasi rmuch omá s e − l jo s : s u ‘ demo strac i −
muestra que
si h
acm o
d
la
vari a ble saleat oria sun od elo s eeme nt
básicos de
la ma temáts icas
s
deduc equ C
He sf as a yno s libra r − e mo
de uno de
lo a cert ij o
si
significad od el ate orı́ ad econjunt o
Freil i − n g enm arcó u − s argument oe nu naxiom a “ d e s − i m etr a ” qu
ee sintuiti a − v m e
te muy p l − a usibl y formalment equivalent ( e nZFC ) a ¬ C H . E s ea x
o − i m , A postula que p a r − a tod funció f R → Rℵ qu ea i − s gn a acad
tanú me o re lu
conjunto num e r − a
bl de
número
reale s , existe n x1 , x2 ∈ R t al squ e
x1slash − elementf (x)
´ o po l qu eAℵ im p l − i c a ¬ C He
x2 element − slashf (x1 ) La eraz n −
s ju t − s ol aqu e v − i mo se n a2 di cusión preced ent e s suponemo C H
, podemo scon s − idera run abuen a r − od − e n ac oacute − i nd R con segme nto :
iniciale numerable y l afunció nqu e acad anúm e o re l e ha corresponder e s
e − g ment s inicia correspondient en os ati f − s ac eAℵ . L a plausa i lb i − ld−i a
de Aℵ0 proce d d q u podemo lsimagina rqu e x1 y x2 s epuede nenco ntr r lan z − a n
indepen d i − e n e − t m ent edo dardo aleatorio sy , d ehech o , com o Freiln g
obser v , A es incluso m á débi qu nuestr aintuició nporqu el oún i − c oqu eafirm
ae squ e oqu heur iacute − s t c − iame n t − e va a ocurri rsiempr e , e sposibl equ
e ocurra , d emod oq u , s comma − i po ru milagro , x2 ∈ f (x1) siempr epodrı́amo
slanza re ldard od enuev o
Una o bj−e c c oacute − in a argument d Fre i l − i n con s s − it ee nl aob s e − r vac oacute − i nd equ e
posib l − e mo d f i − i carl p ar adirigirl ocontr ae glaxiom ad e ee cci ó n ( A C . S epu
e − d ep ens que el argume nt s bas e qu eu nsubconjunt onumera b ed e l − o
s real s tie eu comp l − e men o − t d cardinala ida m ayo r yas ı́e sinfinitament emá
s p r − o ba b equ en dic comp l − e men o − t s e − a a l a − c n zad opo ru ndardo .
Est aide ae spla usib e y l l − e v a a consider a de forma tota l − m ent análoga , e
laxiom aA < 2ℵ0, sim l − i a r aAℵ 0, co nl aú n i − c a diferenc
de que se re fier a ef −u ncione f R → R < 2ℵ d elo sre a e − l s ac o nu nt sd e real
s c−o
cardina ldad m e − n o q u l s de continuo Com oe ne lrazonam e − i nt oa nteri
o , es axioma imp l i − c a q u R n opued ese rbie nordenad o ye , po rtant o , in
o − c nsisten e c − o
ZFC ( pues co nt r − aedic A C ) Si nembarg o , Fre i i − l n gaduc equ el ae vde
nc a cont a axioma de e l − e cc oacute − in n oe sta nfuert epue sl aide ad equ elo sco
n − j un o − t sd e cardinal i − d a
< 2ℵ 0 t i − e nen p o − r b − a bilida dcer oparec esól oun aintui i − có n s − i
´ o po l qu eu
nningú na g − r um en o sóli que la sopo rt e l − a raz n −
ndard oaleato r − i on oca r − e áe nu nsu bconjun numerab l − e p e − r : determinad
n e qu edich oconjunt o ten ecar dn alda dm en rqu la de R, s i − n o q u tien
´ e n qu e c
medo id ad eLebesgu e 0 . Po rotr apa r t , s epodi r a ag−r u ment tamb i −
n − o i − n dependenci ad equ eC Hse a on o cie t − ra , R t i − e n eu nsub conjun X
de car d i − n a l d − ia − d ℵ1 e cual d m aner asim l − iar , n opod r a s r b
i − e n ord n − e a d contra d ic i − e ndo A C Per est argument oe sd f − ierent
´ o ofı́s ic qu
ede lconı́ sid e − r ad o p r Fr e l − ii − n pues aquı́ l − a intuici. n −
eno spermitı́ atoma ru nnúmer o re l aleator i − a men ya no nos a c − o mp ntilde − a
a S l cardinalida dd e R e smayo rqu e ℵ , n o t − e ne m sn iid de cómo se r
iacute − a e conu−j nt X y questiondown cóm opodrı́amo sentonce slanza r eu n
da r − d o
El expe rm ent m enta d eFreilin g , au nsiend obastant ep e r − s u as v − i op a
a al−g un matemá t i − c o s no e s e general aceptad com oun asolu có n
aC H yp ersis e idea de tra ta de halla est solució a travé sd enuevo sa xom a .
E nt e l s nuev
t − a? Ar tı́culo
6
axiomas que s − e h n − a introducido , destaca nlo sy amen c − i onado sa xoma sd
e cardinal grandes , que as e − g u a − r n l existenci ad einfinito sd eorde nsup
eri o , qu eva nmá s al de los i − n finito más peque ñ o d l amism aform aqu
ee linfi n t − i ov amá s al ád e
finito . Su e s t − usdo−i e u n d la sprincipale srama sd el ateo r ad ec o nu
nt s a part de los a ñ os 1 970 [ 29 y s e justificació nprovien etant od es uco ntend
ointuiti o su armon iacute − a c n − o e l l − a mad principi
d
reflexió n
— un are g aheu rı́si ti a q e go
de gran ac eptaci oacute − n e oteorı́ d conjuno to — 3
com od es ué x t − i
op a a deciu d ru gran núme r − o de n − e u ncian do qu e ZF Cn opued eproba
r [ 6 4 . Po rtod o r el o exis eu cierto conse n s − o entr lo sespeciale ista se
nconjunto spar aacepta rl o . Po r e e − j m p l , u cardinal κ se dic ( fuertemente
inaccesibl e s ie sn onumera b l , r − e g ul r ( s dec i comma − r n existe una ap l icaci
oacute − n cofina f α → κ, dond e α e su nordina lme n rqu e κ , e otras pa l − a
bra s κ no e l unió d m eno sd e κ conjunto sd e c r − a dinal i − d a dm en
que κ), y v erifi c − a q u e par tod cardina l < κ, 2 < κ[66, p . 3 2 . S i κ e
su cardinal i − n ac cesibl e entonce Vκ e u model od eZF C ( a spro p e − i
dade sd e V reflej an en Vκ ) Est muestr qu el aexistenci ad eu ninacc esl bl e κ e
sindepe ndien de ZFC pu e s e − n cas contrara i o , l ademostració nd equ e
V κ e su nmod e od eZF C
podrı́a f o − r ma ,liza n − e Z F C proband os ucon s − i sten i − ca , l oqu eco n t − r
a di e
l teo e − r m
de incomp leti t − u d de Göde ls i com osuponemo s , ZF Ce scon sis e − tnte3 4( c
.e [5, 98] Los i − n acc esible ( junt co lo d é b ilment einaccesibes ) fu r − e
o n l s p r − i mer s ca dina l − e s grand e q u s consideraro y s uexistenci an os
ó oim pl c − i al a consistenc de ZFC s i − n o q u Z − parenlef t e F − C+ “ Exist
eu ninaccesibl e ” ) e s equicon s i se n e — e n l senti
de que l − a co nsistenci d un d esta steorı́a sim plc al ad el a o r − t a —
c − o n ( Z F “ Todos lo s u − bo − cnj−u nto ed R so medible sLebesgu e ” . E
s e resulad o tie eun cierta asime tr iacute − a a a parece e é n Z F debid o
aqu ee )laxiom ad e elecc oacute − i ng arant za la exis t − e nc a − i d conjunto
´ e
n med, ible s , per ol acos an o tr mn aaqu ı́ s i − n oqu parece ser t − a m bi n −
e
q u cad extensió nnatura ld eZF C ( de tr mnad , po r e j − e m p l
´ i ad ec onu nt
a ñ ad i − e ndo a ZFC a lu−g n propieda dinteresant ed eteo r −
sd escriptiv es equ i − c o nsis e − t nt c o − n un extensió naxiomatizad apo r
agú na xom ad e cardinal grandes . P o e jmp l o mencionar ési nda rla sdefini c − i
´ o n tota de l m edid d eLebesgue ” ) e
one squ e ( ZF C + “ Exis eun exten s i −
sequico nsi t − s ent eco n ( ZF C + “ Exis
un car d i − n al m edibla e ” ) , 3 y resultado ssim l − iare sex i − ste npar amucho
s otr s card n − i les grande s Ademá s la “ fuerza sd econsistenci a ” co r − r espon
d e − i nt s a l s cardinal grandes p a r − e c n − e es ta sbie ordenada ( l acon
ssten c − i ad el ae xis e − t nc ad e l smá grandes imp li c − a a − l d rl exisn tenci
ad elo smá speque ñ o s ) mo s t − r and oun a oespec ed “ camino hac i − a arr b − iea
” marcad opo rlo saxioma sd ecardin a l − e sgran d e . E s o ha equ estos ax i − o m a
s a − e n considerado sgeneralment ecom ol aform amá sn sa−t ur l y fruct fera de ex
´ o nd en uev
t − e n sde Z C − F ([58 64 71]) yrefuerza nl aide ad equ el aa dic i −
r
axiomas es l − egı́t m − i a Si embarg o , lo saxioma shabitu a l − e sd ecar dn
al s g a − r nd sn
La Gace
33En pa l − a bra
d
P
Maddy
[71]
“ e lunivers od elo sconjunto se sta ncom
pl e o q en o pue e s descrito comp le t − a m ente
po , tanto
al g
qu ee sciert oe
ntod oe lun v − i e r o t i − e n e q e s ry a cier en algún s egme n t − o inicia
suyo En
otra spalabras , cualquie rintent od e d escr ib urú ni a − c men e también se a pl i − c a a a
luacute−g n Vα
.má speque ñ oqu
‘ refle j a ’ l apro p
i − e da d atribu d − i a
a
i
V
34M ás c o − n cre a − t mente
e
segund
teorem ad eincom plet i − t u d [50, sg−e ú
n
l cu lZF C — y − comma genera l c ua l − q uie
extensió
recursiv
d
l aa rtm étc
ad ePea o − n — n o pue e prob r
u prop
cons i − se − t n c i − a a m eno
qu
se ainconsistente
35Es t − e e un
resultad ed
Solova y [ 10 5
66
U npase oalrededo rd el ate or ad e
conjunt
dicen nada s − o br l hipótesi de continu o . Apesa rd e el l , e t − s o sa
xo m sjueg−a un papel r e l − ea − v nt e − n lo intento d resolve rC Hpue
t − s oqu , po run ap ar t , s éxito su gie r − e q u ea−l adicis ó d nuevo saxioma
stambié ne se lcamin on atur l pa intentar l − o y por o tra qu nlo axioma squ es ea
ñ ada ndeberá n s rcomp atibl s o − c la ex i − se − t nc i − a de cardinale grandes .
Esto sso nlo sp i − r n c − i po sbá sic squ eha n guie a a W . H . Woo d i − n n − e
e intent d eresolve r — nega t − i vamente — C Hqu eh a desarroll do en a ñ os
r − e c e − i nte s En luga d ebusca ru naxiom aconc r e − t oqu e l e − l v ea l resulta
deseado , ha e s t − u d a − i d la condr icione squ eu nta laxiom adebe r acum
pl i , oqu e ha llevado a l − a s g − i uient conjetur [ 29 ]
Toda t eo r iacute − a o b ten d − ia a ñ adiend a
Z F − C u naxiom aqu ee scomp a t ib e o − c
la exi s − tenca−i de
cardinale
grande y
h ac equ ela spro p i − e dade sd e o − c n
juntos con c a − r d n − i alid a − d h ereditari a
l osum o ℵ 1 sea ninv ara nt s b a
quotedbllef t − f orc ing ” im
pli a − c q
u
l
hipótesi ad e lcontinu oe sfalsa
Los r e − s ul a − t d o d Woodi ns eacerca nmuch o aresolve re s − t ac o nj
t − e u r , most r − a n que se v er i − f ica p a a − r u n part sustancia ld el
ajerarquı́ ad e l − o sc ardn aal s g a − r nd e Woodin se ha a p o − y a d e esto
sresultado spar adefende rl a tes s — op ues a a ad Feferman — de q u e concept
d econjunt oarb i − t ra i − r on oe s “ n he r − e n e − t m en e va g o
y de que lo resul t − a do d independenci asobr eC H i − parenlef t ndependen
´ e n de ZFC junt oco naxioma sd ecardinale sgrande s
c an o só od eZF sino tam b i −
´ i ci . Aunqu en
, l oú n c − i oqu e hac n mostrar que CH e un p roblem amu yd i f −
s
´
opued eafirm ar equ e es a s “ la ” soluc i − o n d f i − e ni tiv a l ahipótesi sde
lcontinu o , s ı́s epued ed ec rqu e p r − otporco − i n “ una ” so l − u c oacute − in n
e − g ativ a l amism abaj ouna shipót es squ e a o − l sexp ert se n teor ad conjuntos le
pa rec e − n mu yplausible s . Par aun adiscu ii − só ndet alad ad el a c − o nvenienc
de a ñ a d i − r n e − u vo a xioma a Z F − C y , e npar i − t cula r , d elo sr
e − slut−l ado sd eWo od n pueden v e − r [42s8 29 111]
En t − r e lo e special, ista qu ha mostrad ciert a i − s mp at apo rl a
hipótes s d con ti nuo hay u n − o m u yimportant e , pue se sun aperson aqu eh ah
c − eh o contr i − b ucion
fundamen tale e − n l mayo rpart ed elo saspecto sd el ateo r ad ec o nu ont s .6S e tra
de Saharon S s he l − a h q uie n e [ 103 ] h aseguid ou ncamin o dife e − r n ea l
consisten en buscar n u − e v o a xioma y nh reformulad oGC Hmediant eun a e − r
´ o nd e exponenc i − a c oacute − in d ecardinale s , proband ou nteorem
defi nic i −
aqu e t i − e n econ e − s cue nci s s − i m ilar a GCH . S i − n em barg o a pesa de
lindudabl einteré sd ee t − s e r e − s u t − l a d , p oc s cre que que sea un sustitut
válid a un asolució nd e “ l averdader aGC H
La h i − pó tesi de continu e se lproblem amá scono i − cd oe nt e l − o squ e
o − s nindec dibles en ZFC sSi−n embarg o , n oe sn imuch omeno se lún c − i oco
´ e n e xist n − e m ucha cuestione indecidible s s i − t
n es a caracterı́sti y tam b i −
uada sfu r − e ad t lá mbi od e teorı́a de co nj−u nto p ropiament edicha . Lo smétodo
sconju nti t − s a s t i − e ne n , e np artic lar , muchas a pl sicacione e análisi s ,
e ntopologı́a , e nl ateo r ad e g − r upo sab el a − i n y en ál − g ebra hom ológic a S
Shela htambié nh atenid oqu eve rco nmu ch sd e e st
ap li cac i − o n e y n − e particula r com os eindic ae n [ 3 6 , l a util i − z acó
nmod en ad em todos con j − u n tis, ta n − e álgebr comenz óe 1 1 d e j u l − i
od e 197 3 , cuand oSh el a , q
36Ot r − o e p − s e cialist
qu
h apostulad oun a “ solució n ” a l − tr − e n at i − v
´ o s ebas ae nlo sllamado
a al ad eWo od n
s M . Fo e − r ma [ 43 ] D i − c ha
soluci n −
s cardinale sgrande sgene ral i − z a d o comma − s qu e p e − r mit enresolv afirma t i − v
ame nt CH
t − a? Ar tı́culo
6
entonces e r − a muy joven , tom óprestad ou ne jempla rde l i − lbr od eL ázs óFu c
s I − nf i n i abelian groups
e − n a − l bibliotec d el aUniversida dHebre ad e J
e − r u sal eacute − l n ys einter só por el prob l − e ma de
Whitehead
Est eproblem
ahabı́ a i − sd opla n t − e ad opo r period − J H C Wh i − t ehead en nine − one5 y
´o
preguntab as iu ngrup oab e l − i an o A qu es atisfa el a o − c n dic i −
Ext (A, Z) = 0 (e − n otra palabra s , Z ⊆ B y B/ =Z∼ A im pl c − i a n ∼
=B Z ⊕ A)
h ad ser necesa r i − a m ent libr e Shela tuv ol aide ad eaborda re lpro b e − l
m ainvestig−a n los con j − u n to u − sb − y acente y prob qu e , inclus opar
agrupo sd eca rdn al d − i a d ℵ, d prob l − e ma de W hitehe d − a e sindecidó
ibl ee nZFC
Para empe za r S hela consider óe lunivers oconstru c t − ib e L ydem ost óq u ,
e
él , si un g r − u po a belian A satisfac el acondició nEx t (A, Z =) 0, e non c s A e
slib r
Por otra pa rt e consideró e axiom d eMarti n ( MA ) [ 3 6 , p . 17 0 , e lcua l p roce ed
la teorı́a del “ forc i − n g ” MA n s verific ae ne lunivers ocon s r − t u ] ctib l
, pe oM A ¬ CH es con sistent c o − n F − Z C y o Shela hprob óqu ee nl ateo r aZF
C + M A +¬ C Hha
grupos abe l i − a n o q u satisface nEx t (A, Z) = 0 per on oso n libr s ( c . [ 3 , T heo
e−r
XII . 2 . 5 o el t r − asbaj origina d Shela [ 1 0 1 ] . E nconsecuen c i , s
epued e dec rq u en la teo r iacute − a ZF C e p roblem ed W hh itehea de sinde
´ o inclus qu etambe ié ne
i − c dibl e , p oco sa ñ o s despu é Shelah demo st r −
sindecidibl ee nZF C + GCH . E l resul a − td od
Shelah fue comp le t − a ment einesperad opue s , aunqu ey as econ oca nmu ch s e
e − j m pl de cues t i − o nes n − i decidible s toda sella sestaba nenmarcado se
nl a teor ad e conjunt y este fue el p rime problem apurament ealgebraic oqu etam
´ e n result ó ser l . Com consecuenc i − a de m − i p act causad opo rest
b i−
eres utad o , e lus od em eacute − t o d s conjuntist en otras p arte de la m atemática
y e parl t − i cula , e n ágebra , reco ib óu n g a − r impu l − s o . Una mu estr
representativ ad el aa p i − l cab i l − i da dd ee lt−so sm éodo s la álgeb
la propor c i − o na e libr [ 36 ]
El traba j − o d lS S o hela abarc acas itod al ateo iacute − r ad eco n − j unto
smod en a y pue serv i − r de ee−j mp l − o p ar mostra rcóm oest as eh adesarr
o l − l ad ocom oun aram ad e l
matemá t i − c a c n − o tota lina dependenci ad elo saspecto sfunda con al s ( a l squ e
She l − a
apenas ha co ntr i − b uido ) E m u yinteresant ee la r iacute − t cul o [ 10 2 ,
dond eSh oe l − a h expre no sólo sus i − de a sobr .l evolució nfutur ad el ate
´ o n a c u − t a de l
o iacute − r ad ec on−j u nt s s n − i o t − a mbi su percep c i −
misma . Po re jempl o , establec eun a ser ed e aspect squ motivan su t r − a baj o
´ o nex pre a − sd apo un cier t − o
a tribuyend o acad aun od ee l − l o sun apuntu iaci −
núm e o − r de signo d admiración . A s , l a b elez a e ss umá x − i m am otivac
oacute − i con nueve s i − g n o — n − e l estel ad eHardy “ Beaut yi sth efirs t
te s 00 −−−
, s − e gu d − i ad e
t.
generalidad c o − n sei y l “ demostració
co
‘ hueso s ’ o , a lmen o
, c − quotelef t arn
e ’ ” ( s i )c − o cinco , m i − e n tra q u e e contrast e la
a pl icacione s ala smatems á t c − i a s só o recc ib tres signos y lo f un, d − a m
ento y
la
a pl icacione s al afilos o iacute − f a u nú n i − c o sg−i n . S ob
La Gace
este ú lti mo aspect comenta
Muchos ponen g r − a n
énfasi
e
e lpape ld e lo sfundamento s yl a fil osofı́
No t engo n i − nu − g n − a objeció a
e so saspecto se n s , per odesco n f od e e ll o
´onp
Mi impr e s i −
ued
se
simila a
l ad m
ucho sautore sq u , au n re o − c no
c iendo e l p a − p e de elo crı́tico rliterario se nl avid ac u t − l ur a , p iensa nqu
s eguir sus
di c t − a do
l levará a
obra saburrida s — per oqu ela ssuy a , cla
está , b ri l l − a rán
e ternament a
caus ad es ub e l lez aint iacute − r n se c a 3
37La r e ticenci de
much
Shela
haci
la
cuestione sfund acon al sn oe s men r q e
ad e
68
Cı́rculos
U npase oalrededo rd el ate or ad e
conjunt
vicioso
le
interpreta t − i on sq quoteright − u áinerp r e t − e r l
su
le
livre
qu
su
au t − r es u bjec
: nou
sn
fais ons que nous
entreglo ser
( Mo ntaigne , Le sEssais , D e l − quoterightExpe renc e
En las s − e cc o − i ne p recedente shemo san a l − i zad ol acue sti ó nd e il
s conjunt s o − s objetos ma t − e má t ico m u fácile d ecomprende ry , com ohemo
´ a de tod o justy ificad apue s , y aa lcon
ss vis t , es a pre u − s ción no e s t −
i − sdera rlo ssubco nu nt sd l conjun de los núme ro n aturale s surge problema
smu ydifı́ci l − e squ ep r − e ma ne c − e n s nun solución sa ti s − f actori y qu e e
ocasione s , da nluga r al ae xis e − t nc ad e respuest incompa tible entr ası́ pue
, depende nd el aconcep c − ió n fiosófic aqu es ead op t . pesar de t − o d o m
ucho ssostiene nqu ee lunivers o V, de lqu etenemo sun a fuer teintu ción , enca r − n a
,o−t do lo aspecto sesenciale sde lconcept od eco nu n t . S nem bar g como vamos
a v e r tambié ha razone d epes opar aduda rd e es a p r − e mi s . E universo
´ a formad po conjuny to sbs ie nfundado , e sde c i , po rc o njunt s
V
es t −
tal que todo s u − bco nu−j nt n rvacı́ contien eu nelement oqu ee s minimar l
e n l senti de que t i − e ne intersecco ió vacı́ co ne lpropi osubconjunt o . E la
xom ad eZF C q
perm i − te d − ien tifica “ e nlunivers o a ” d el ateorı́ ad econjunto sco n V e se ld e
f − u nd aci ó n Este a x i − o ma es q − e uivalent a l an oexistenci ad e ∈ − cadena
sde s − c end ent s n − i finit s
en consecu e − n c i a no permit l existenci ad e “ conjunto s c r − i c ular e s ” com
o x = {x ni la ex i − se − t nc i − a,d ciclo d el aform a x1 ∈ x2 ∈ · · · ∈ xn ∈ x1.
Sobr e est s conjunt
dice K . Kun e − n six − bracketlef te6 p 9 4 p 1 0 1 ]
´ o n irrelevante .questiondown Exist eu n x t a lqu e = x {x}?[..] n u est
Segunda cue st i −
adopción del a x i − o ma de
fundació nn odic enad a s obr e s ie x i s e re l − a m en
( con inde p − e nde
n c a − i de
l
qu
e st
signifique ) algú n x ta lqu e x = { }x
s implemen t − e nos a bstenemo ed considera ru nt a l x....] A dife e − r nc
de los o t − rs − o a x i − o mas
d ZF sC e
d efundació nn o i − t en ea pl i − c a ció n a l
matemátic a or d i − n arias
pue
s
aceptació
equival e ar est i − r n g rnu e
´ona
tra atenc i −
a − l cla s ,d lo
conjunto
b ie nfundad o
, dond e t − oda s l
matemá ti c a
s − e desarro llan
´
´ o nd
Esta opini−o n de K une e bastant erepresent a i − t v a : l aadop c i −
´
la x o − i m ad fundac i − o n no e un asunt fundamenta sin osól oun acue stó
nd e ehige − i n equ e único que ha c − e e evita e us d econjunto s “ extra ñ
o s ” qu en oso n necesari sp a las matemá t i − c a s sSn−i embarg o , e nlo súltimo s
2 0 a ñ o ss eh aex p l − o rad ol ap osi ob l − ii−d a de que , de s − p u é.d tod o , e
sposibl equ eexista nconjunto squ e , s n s r b e − i n f − u nd ad o sean no o bs t − a
nt eú tile par m odela cierto sfenómeno sd einteré , o − s b e t − od oe informá t
i − c a En est ámbit y h m encionad ol aide ad emod el r l s rf luj s o − c m
Il y a p lu aff air á interprete
chose s
e t p lu
d
livre
matemá t i − c o q u
trabaja
e ncampo m uch omá s alj−e ado sd e est a ; quiz á tra ad
e destac r a sı́ autonom iacute − a de a − leteorı́
d
conjunto scom oun apa r − t ed e p
e − l n o der e − ch od e l sm tae−tm átic a
38Es t − e a x o − i ma
s
expres a
vece smediant el aigualda d =
W F, dond e V
e − l.univer de los co nj−u nto y W F e ad lo sconjunto sbie nfundado s ( po r e
e − j m p l , e n [ 6 6 ] . E tn a defin i − c i antes dada de V ya
s
esuponı́ al averificació
´ on , po r
nde laxiom ad efund ac i −
oqu e dic a defi n c − ii es realme n t − ea − l de W F
deno a
t − a? Ar tı́culo
6
pares ordenad o y tambié u e jempl oconcret odefinid opo r = f (a, (b−commaf ).
E s idea se acomoda bi e − n a nuestr aintuició nper o i − t en eu npeque ñ oinco
nvenien t . S pongamos que d e − f i nimo s e genera l , u nfluj o f com ou npa
rordenad o f = (comma − af0 donde a ∈ A(A e u alfabeto y f e sotr ofluj o .
Enton c se sn a − t u r ld efin r
conjunto F l A) de f l ujo ssobr A com oe lmayo rconjunt oqu es atisfa el a c − o n
dici oacute−i sigu i−e nte si f ∈ F l (A), entonce s = (a, f 0) par aalgú n a ∈ A y ag−l ú
n f 0 ∈ F l−parenlef t A )[7 El prob l−e ma es q u e siend f = (a, f 0 =) {{a}, {a, f 0}},
s e t e − i n equ e f 0 ∈ {a − commaf } ∈ o , en otras pa l − a bra s f pertenec
a l aclausur atra nsi i − t v ad e f ( lme n r conj−u to transit i − v o q u contien a
f )eCom f = (b, f 0) , et c , s eo bt e−i n eun a ∈ − cad e−n descenden t−en−i f inie
´ on . P r tan t , d cho a x i − o ma
t a q u est áprohibid apo re laxiom ad efund ac i −
tien com consecuenci qu eF l (A) = ∅. E t − s opropo rc i − o n aun a bu n − e
´ o n p a a − r p rescindi de axiom ad efundació n yadm it re nnu est o
motivac i −
univer conjuntos que no s o − n bie r fundado s . Esto sso nlo sconjunto s b p a a l
squ e exis una cadena d esc e − n dent infinita
La Gace
· · · ∈ an + 1 ∈ an ∈ · · · ∈ a1 ∈
y se les su e l − e l a − l mar también , siguiend o a [ 8 , hiperconjunt o . U n e j − e m
p o e − s n c i − l od
hipercon j − u n o − t e x = {0, {0, {0, {0, ...}}}}, puest oqu e x ∈ x. I n − t uit v − i
am en t , es
´ a definid po l aecuació n = x {0, x} per oe lman
hipercon j − u n o − t e s t −
e od e ecuaci nes de e s t − e t p − i o p l − a nte alguno problema squ ee sneces
ar o resolv e . L a prg−e un más bás i − c a es s as estamo definiend ou nnuev
oconjunt o ytam b eacute − i npodemo s pr
guntarnos s el c − oı́nu − j nt y = {0, y e sigua la lconjunt o x a nteri o . E la
x i − o m ad extens i − o na l d − i ad no e suficient epar aaclara rest o , pue s s − i
m peme n eno s di equ e es igual a y s y sól x e sigua l a y ” , l ocua ln oe sd
´ o n c ilaa−r de q u x e y debe nse
emuch aayuda . Aunqu e te n − e mo la intuic i −
riguale s , e snecesa r oa c l − aa − r r est sc ue stion y , para e l l − o se aacute − rú ti
lpensa re nlo sconjunto sd eun aform ad iif er−ent e al aqu e es a − t mo acostumbrad o s
Aunque l − a relació ∈ sól est su jet al oespe i − c ficad opo r l s ax i − o ma
sd e teorı́a de con j − u nto s l image habitua qu etenemo se sl ad eu n conjun o
o − c m una caj a o un c − o ntenedo r dond s encuentra nlo s eement o , qu
e pertenec n él . Esta i − dea ya a − l tenı́ Canto r quie defini óu nconjunt
´ o n de o bj−e o − t s y e l − a intua ició qu m otiv al
ocom oun a “ colecc i −
´ o n P er o com y
a jerarquı́ aacum ulat v − i a y l ax i − o m ad funda c i −
e
h ind icad oanteriormente , tamb eacute − i ne xis el ap osi b i − ld−i a de pensar en
lo conjunto com ob jeto smatemá tco squ es eo bt i − e ne n a part rd otros más
comps le jo “ olvidand ol estructur a . Un aimage nqu eh a s i − d o idecisi para
el des arrol l − o d l teorı́ d ahiperconjunto se squ ecad aco nu n o b pu e e s
representado p o un graf dirigia d o Par ae l − lo , con i − sderemo se lgrj a ocu
y s vérd tic son b y l − o s e lemento d ol clausur atransitiv ad e b, e ne lcua lha
yun a aris a d vértice x al v értic y p recisament ecuand o y ∈ x. D eest aforma , e l gra
o represen la estructu r − a d pertenenci ahereditari ad e b. Lo sgrafo sr s − e u l − t
a nt ss es ue e − l n l l − a m
grafos punteados acc e si ble
[ 7 ] ( abreviadament egpa ) , pue sso ngr a f − o s dirigid
o sjun con un v ért i − c e distinguid p ( qu e , e nl arepresentació ndes cr t − ia , c
orr e − s pond e l − a prop
conjunto ) que tien l propieda d qu ecualquie rvé rt i − c e di stin od e ls
ep ue alcanzar me d i − a nt un camin ofinit oqu epart ed e p. Es t aide ad eas oci
r graf s o − c conjuntos es mu c − ho má fructı́fer a yprofund ad el oqu eparec e ap
i − r me a vi s a s − i
70
U npase oalrededo rd el ate or ad e
conjunt
piensa en l − o s co nu−j nto com oobjeto sobtenido solvidand ol a es t − r u t − c
u r , e s dec i r − comma consideramos lo grafo com oobjeto s preexistente s alo
sco n − j un o − t squ e representa Esta fue l − ad − ie − a q u guiós a Pete rAcze
[ 2 ] par adesa r − r ola rs u teor ad e conjunt
no b ien fundados (hiperconjune tos ) . E nefect o , s epued edemo str re nZFC −( ZF
sin el a x i − o ma de u − f n dación qu tod ogp asi ncadena sde s − c ende ant s n − i
finit s
(q
se puede l l − a mar bi n − e fundado represent au núnic oconjunt o , n ea−t ur l − a m
en t , e
ZFC se t i − e ne q u sól lo gp ab) ie nfundado spuede nrepr s − e enta rco njunt
s ( q u e − comma e presencia del a eximaod s fundació n , tiene nqu ese r be nfundado
´ o nd Aczel fue que deberı́amo pensa e nlo sconjunto scom olo so
s . L aintuic i −
bjet squ es e pued representar por un gp arbitrari o Precisand ou npoc om á,
s epued ede fin run decoración de un graf dirigid com un afunció n d cuy
odomin oe s l conjun de los v eacute − r t c − i e y c − u yo valore sso nconjuno to
s , sa t s − if a cend oqu ep a − r acad a vérti e d(n) = {d(m) s n → ms} dond n → m
signific aqu e “ m e su n h ij od e n, o s e , qu hay una aris t − a | de vértic n
a lvértic e m. S edic eentonce squ eu ngp a Go − c np un distinguido p represent e
conjunt o b cuand oex i − st eun adecor ac oacute − i n d d e G t lqu
d(p) = b La id e − a de Acze e capturad apo re l Axiom ad eA nt hyphen − i Funda ció
n , qu ey
habı́a si do c onside r − a d previament epo rFort i yHons e l [ 4 4
AFA Todo g p − a r epresent
u
conjunt oúnico
A l − terna t v − i am ent e A F − A s pued etambié nenun i − c a rd el a f − o
rm a siguien t : T
d − o gpa tien e una ún i − c a
decoración . L acolecció
nd eaxioma sZFC −+ AF As ede no a p ZFA y l − o s e e − l m ento de univers
oqu edescrib eso npre c i − s ame n e l s hiperconjunto Observemos q u AFA tien do
svertiente s , po run apa r − t eprop orc o − i n al a existenc de hiperco nj−u nto y
po otr a resuelv ee lproblem ad ecuánd odo s hiperconjunt deben cons i − d erars
eiguale s . Po rejempl o , e lgp acon s s − i tent ee nu nú n i − c o vérti e p yun única
arisa parenlef t − u n b ucle de p a p defin ee lhiperconjunt omá ssen cil o ( lama
d comma − o a vec e
átomo de Quine o tambié conjunt
reflexiv o [55])Ω = {Ω}. E s e hiperconjun o
único y
l−a u
n ic d − ia − d tambin é nmuestr aqu elo shiperconjunto s =
x {comma − zerox} e y = {0y anter i − o rme n e − t c − o nsiderado sso n
, e nre al idad , e l msmo
La r e l − a c oacute − i n entr Z F − A y Z C − F
e sl asiguient e : S
´ e n o − l es ZF A eD hech o s pued
iZFC − e scon sisten t , e ntonc tamb i −
eextende rd eform acanó n i − c au nm ode od ZF C − pa r − a o btene un m odel
d eZFA . Est omuestr aqu eZF Ae sun ae xtens oacute − i nd ZF C − que no c − a m
rba − i la smatemática squ es edesarr o l − l a ne ne s e úl i − t m oám bi t o − comma
pu no puede dar l − u ga a n uevo sresultado sreferido ssól o aco j − n unto s b i − e
´ o qu e , com os eobserv ae n [
n u − f nd ad o . S tiene ası́ una si t − uacir n −
7 , e ssem e − j ant e al aqu es e p o − r du cuando se e xt i − e n d n − e lo
número sreale spar ada rluga r alo scom plej o , p u ss e g − a n la pos i − b il d − i
ad d resolve cierta secuacione smediant elo snuevo s o bjet sint r − od uc dos sin
perd e ne i − nu − g n rd lo objeto soriginale s . L aan ao g aco n l s e − c u acion
sn es meramen t − erf om−ra osin qu e d ehecho , AF Apued ese rform uad oe n t
eacute − r min sd sistemas de e c − u acione s Consideremos , po re jempl o , e l si
t − s em a f − o rmad opo rl s e u − c ciones s i − g u e − i nte s d o − n d e
x, y, z so nla svariable s := x {y, z}; = y {comma − twoz ; z = {two − commaΩ, y
´ a clar intuitivament equ es epued econs r − t ui ru ng ra oqu e
Entonce s es t −
´ o n de p ertenenci e un posibl esolució nde l si t − s ema . S
represen la rela c i −
is ea pli aAF A este grafo s − e o btien n − e conjunto aX Y , Z, qu eresu e − l
ve ne l sisem ad e c − e uacion en las va , ri − a ble x y z cf [ 7 3 1 8 ]
par alo sdet ale . D ehech o , l lamad o Lem
t − a? Ar tı́culo
7
de la Solución
[ 8 proporcion l aexistenci ad esolu c − ió nún c − i apar a ciert s
tip sd sistemas de e c − u]acione com e anterio ry , e npresen i − c ad eZF C− , e
se quiv o alen e AFA . Es t − e e − l ma p ermit conclul i r , po re jempl o , qu ee l si
s − t em a = x (comma − ay; y = (b, x
en las va r i − a ble x e y ( dond (a, y) denot ae lconjunt o {{a}, {a, y}} c orrepo ndien
al par ordenad o tien epo rsolució ndo shiperconjunto s f y f 0 qu e r − e p resen a − t n
f l uj o
de modo qu e e − n p resenci d eAFA , e lconjunt oFl (A), qu eer av ac oe nZFC , y
ah dejado de s erl o
De e s − ta f om a hemo conseguid omodela rlo sflujo scom op ar s r − od − e nado
sau que , claro e s t á e − n Z C − F
tambié npuede m odelars elo sfl u − j o
scom ofun c o − i ne s f :→ A. Estamos ası́ e − n presenci ad eotr oepisodi od el
abata l − l ae nt eco nu nt s y Nsucesi
nes para mod ela lo concepto sbásico sd el ainform átc a . E nr [8, s e ar−g um en a q
el mode l − o p o − r porcionad po rlo spare s ( y , e nconsecuen c − ia , po r o − l s
hiperconjunto s
es más na tural . 3 A odemás exist eotr aalterna t − i v apar amod e a − l r f − e
nóme n s circul res , y es l − a p o − r porcionad po l teorı́ d ecateg o
´ i a , qu eh aen cont a − rd om uch ap li cac i − o n e en a − l inf orma átic
r−
a
rteóric ( véas e , po r e − j em p l , [ , 7 5 , yta mbi n [ 5
´ o n genera d la aplicaca ione sd ela scateg ora s al ainf r − o
para una svisi −
m á tic a . E este con t − e xt o a specto com l acoinducció n yl acorrecu rsi ó n ,
qu e ju g − e a nu np ap muy impo r t − a nt n − e l steorı́ od hiperconjuntos ,
´ o n de la co álg ebra sfinales , má s a
s eha ndesa rrolad , a trav sd e utili za c i −
l − l ád el oqu eperm i ee l estric o mar o c − o j un t i − s ta six − bracketlef t 086]
Per o e cualquie rcas o , es t áclar oqu el ate or ad e hiperconjunt propor c i − o na
u a − n form nuev y enriquecedor ad emod e − l a rlo s e − f nómeno s circular
e y la consta t − a c oacute − in de est hech y d el aexistenci ad elo s “ co n − j
u nt se xt a − rñ o s ” qu se u til i − z an pa a − r ell sirv e un ve má s ,
par aarro ja rnueva sduda s sob e nuest hipóte s i − s inicia relativ a ,l asencille zde
lconcept od eco j − n unt o
Los fenómen o circulare modelado spo rZF Aha ngozad od em a a r − e p utac
oacute − i n
lo largo de t − o do e sigl X sX .4 E orige nd eest amal areputa c oacute − i ns
´
e r − e mo n a a aparici−o n de la p aradoo ja e l teorı́ ad econjunto sd eCanto r
, e n particul a r , paradoj a — o a ntinomi — sd eRussel l . Est asurg ea lcon s − idera
re lco nu n o r f r − o m a por todos aqu ello conjuna to qu en oso nelemento sd
es ı́m i − s m o , = r {x | xslash − element x
para el cual s o sbtien inmediatament qu e ∈ r s i ys ó o i r / , o cu l
´ o n Est s pued considera rsimplement ecom oun
una con t − r a d c − ieci −
´ o n al a . bsurd ed qu ee lconjunt o r n opued
ade mostraca oacute − i por reduc c i −
ee xist i , l ocua l soluc o − i n a paradoj a pe r − o es aacute − t e − n franc
contradicció nco nl ahipót es sbár s c − i ad eCa nt r sob existen c i − a de co nu−j nto s
“ u − n conjunt
e
cualquie rcoleccii ó nd e o b je o − t sd en u est intuición
o nue s t − r o p en a − s miento . . . ”
( o , e notra spalabra , cu aq ui rco
´ o n dete mina un con j − u nt o formad po rlo selemento squ es at s − if ace
n dic i −
n d i − ch acon dició n . E s idea tuvo que se a bandonad a ysustituid ae nla ste o
´ i a sa xom á tic spo r l )axo − i m de subcon j − u n to o de separación qu ee
r−
smá sdéb lpue ss ó opo t − sau al a exie stenc del subconjunto de un conjunt dad
La Gace
oformad opo rlo s eemento squ e satisfac nun
39Es t − o es muy
discutibl
porqu ee lconcept od esuce si ó npa re e est r fuer e − t men e
´ o n de m od
enraiza o nuestra intuic i −
previ oa m odel opropo r i − c onad opo r l s f − u n
cion s sob e l s uacute − n mer natura le s
40Qu i − zá c n − o v e − n drı́ aprecisa rqu eest oh asid oas ı́e nl a fios of a occ d − i ent a
l − comma p e on oe nl s − a o r − i ent a l
i − c ula r
e
budism on oconsider aqu el avid ase a i − l ne a ,ı́ sn o circula
r − comma recorrien ou n c c − i o q no term i − n a nu nc a
En par t
72
U npase oalrededo rd el ate or ad e
conjunt
´ o n de term n − i a d a . Com ocas itoda sla sparado ja s , l ad eR usse
condic i −
´ o n de a − l circularida co nl anegación . L
l − l s e orig n − i a p or interacc i −
´ i n de se d
aperspe c t − i v a logicis t , b a o a cu los con j − u n to ha br a −
“ definidos ” e ntérmino sd el aló g i − ca , l e − lavó a Russe l declarar l − ails ici
u − t d de l acircularida d : L oqu einvolucr a atod aun ac olecció nn op ue
s er uno de la c o l − e c c oacute − in ( cf [ 8 , p . 80 ] ) . Est aide ah apermane cd
´ e n s manifiest e ne llenguaj eordin a i − ro ,
oom nipresen ee n lógica y tam b i −
dond es eha b ad e t cı́rcul vicios os pa r − a referirs a razonamient ocircula r
. Si nembarg o , l a ci c − rularl i − d a , p ro sola , no es l − a c u p − l a bl
ld lo problema scausado spo rla sparad oj s ye s fác l v que en el con tex t − o d
el teorı́ d ehiperconjunto sl aparad o ad eRu sse ln o plant
ningún p r − o b e − l ma a d icionae [7 a 8.4]
Las pa r − a d o ja relacionada co nl acircula i − r da dsurg i − e ro nmuch oa nt sd
e q e hablara de co nj−u nto y d l paradoj ad eRusse l . Co nant eriorda d a l s
pa a − rud oj lógicas como es t a s aconocı́a y alguna sd ela squ e , má star d
, fue r − o n l a − l ma d paradojas s emán , ti − c a
porqu nhace referenci aa l “
i − s gnificad o ” o al a “ veda d ” d expres i − o n e de l n − e guaj e L qu
s podrı́ a l − l ama rl a madr ed etoda s a − l sp a r − ado
jas s emántis cas
e l p a r − a.ado j
d e m entiro so4 2 qu e , e ns uform ulac
oacute − i nmá s sen c i − l — aunque no l − a más precis — consist ee nl asenten
i − c a s − i gu e − i n t : “ E s a s − e n e − t n c ae
falsa ” 43. D u r − a nt a − l crisi a fundaciona lqu eafect ó al ateo r ad ec o nu
nt sd eCa tor sur g i − eo − r n m ucha otra paradoja ssemán t − i ca sy , e neso
smome nt o , l a opin oacute − i predom i − n an e − t e ntr lo matemático ser al
´ e nd o e a a p radoja de Richard e [ 45 ] “ Exempl
aqu eexpres óPean o , refer i −
d
R ichar dno npe r t − i n ea dmathem a tic
, s da l inguistica ”
S i−n
em barg o , pront os eib a ave rqu ela sparad oa ssemá n tic sa iacute − seteniacute − a
relación con la ma temática s — atravé sd el alógica — y , d ehech , l ap a r − a d
oad
men t i − r oso sirv soacute − i d inspiració a Göde l [ 50 ] par ademo s t − r
a rs u ( p i − r me ) teo r − e m ad incomp leti t − u d m ede iant el aconstrucción , e
ncualquie r si t − s em a f − o rma l r c − e ursi v − a men axioma t i − z ab e − l q u
conteng a l aritmétic a , d eun asente nc aqu e — e nu n cier
sen ti do que no p recisar é cf a [ 76 ] par alo sdeta l − l es — afirm as upro p aindem
ostrab
lidad y por t − a nt o n − e cas .d ese re lsistem acon s i − s tent e , e sv r − e da de a
parenlef t − e n
lm
ode
estándar de l − a a ritmética per on odemostrable . 4
La pa r − a d oa−j de mentiros tambié nsirvi ód eins p i − r a ci ó n a Tarsk i
pa a e − d m o trar su t eorema de
i − n d f i − e ni b ilo ida
d
l
verda
[ 7 6 , p .79, s − e gú ne lcua ln o exis una fórmu l − a de a − l lógic d prime
rorde nqu ed srv apar adefi n rl a v e − r da dd e o − tda
41La
i − dea de
qu
l
paradoj
d
Russel limpide , d e agun a f
r−o m
, desarroll
r u a teor a conjuntos no
bi e − n
fundados , e scompletament eerrónea . S i x e s b e − i
nfund a d o − comma entonc s n elconjun rx = {y ∈ x y ∈
y satisfac equ e rx= x ( y ,
e npa rtcul a , rxelement − slashx. S , po r
l contrari comma − ox n o bien funda d o
e
axiom
d
separació ntambié nno spropo rrcon a rx = {y
úni que se pue d − e o − c nclui
e
est
cas oe squ e
tendr a q e
x∈ x s−i
∈ x | yelement − slashy} y o
rx ∈ x pu e , d en o s r a s , s e
sólosirx element − slashrx
42Es t − a p a a − r.doj−a
atribuci n m s a ntig se ñ ala que
ad e sie e ace r t ij o
s
remont
fu incluid
a m eno sa lsigl oI Van
po rEubull ide sd eM
e − t sd eC ris o y
a
i − l et oe nun a li t − s
43U na v ar i − a nt
e
l
versió
“ reforzad a ” de lme nt r − i oso : “ E s − t ase
tne−tn c an oe s verdade r a ” ; es forma
d i − f ic ul a − t l
“ solució n ” consistent ee
nsupone rqu el a s − e n e − t n c ad lm e ntiro on o
s verdade ni fa l − s a
44Aunque formalistas
com
Nelso n
qu ecree nqu ela sm aem átic s s − o n pu a sinta
´on
x , nieg cualq uie
relac i −
entr ee lteorem ad eG, öde l yl aparad j − o ade lme ntiro s
. E s cier o q e elconteni del teorema
d
Göde
e
sintáctico , per oe lpropi oGöde lr e − c
on oc ól oainspiracinu proporciona por la p a r − a doja
t − a? Ar tı́culo
7
las sen t − e ncia d a − l lógic a e deci rqu ese asa tsfech apo rla s s − e n e − t
nci s ve r − d ader y no l − o sea por ela demá ( e otra palabra s , l alógic
ad ep i − r me r o − rde nn oe su lengua j − e s emán t c − iame n t
cerrado )sP ar
defi n re lconcept od e v e − r da de nu n le gua j − e forma li a − z do Tarsk propus
oconsidera run a jerarquı́ ad e l − e ng u aj e . E n l niv más ba j − o es aacute − t
e l − e n u − g aj
objet
qu esól ocon t − i en e “ expr esone sor dinari a s ” p e
on nombres de esta e − x epresione on término ssemá n i − t co . Par apode
r referirn s a l expres i − o n e d e l n − e guaj ob jet iha qu erecur r ra l s − i g
u e − i n e niv l ( m eta l − e ng u aj e que ya permit h acerl oy , ademo á s , contien
epredicado spar aafirma rl a verac i − d a d o falsedad de una e − x presió de
llenguaj eobjet o . S iqueremo sha b a − l rsobr ee xpresion del meta l − e g − n u a
j tenemo qu ei ra lnive linmediatament esup er i − o r (ag−l o a ı́c − o m o
“ metameta l − e g − n ua j e ” y sas sucesivamente , dand oluga r aun ajera−r
qu a n − if i ni ad metalengu aje ( es t − a) ide ı́d un estructur a jerárq uc ay al
´ i d conjunto libr d econtradiccione
atuv oR usse l l des rrollar la t − esora −
smedia n el a t − e o r ad e tipo s Como cons e − c uenc a − i d est o s T arsk e
illeg ó al aconclu s − ió nd equ en oe s posı́ ib e defin sa ti sfac t − o r a − i m ent e
concept d verda de nlo slengu a j − e snatu ral e , p u se n ca de ser semá nt i − c
am ent cerrado serı́a ncontradicto i − r o s . Si nemba r − g , su s eide sha
insp i − r ado a − l soluci oacute − n m á conocid ad el aparado j ade lme nt r − i
os o , qu eco nsis ee n e tablecer una estructur ajerárquic ae ne llenguaj enatur a . E
s − t a lne ad e ra o − z na mien fue segu i − da p o Qu in [ 95 ] quie nlleg ó al
´ arbin−e formad a o
aconclu i − só nd equ el a sen t − e nc ad l me tiroso no e s t −
, e ntod ocas o , carec ed e s − i gnificad o , pue s e − t endr aqu resid i − r simu l
aacute − t n e − a m ent ee nmá sd eu nnive : l afras e “ e sf a s − l a ” t − e n dr aqu
ea p licar e senten c i − a s en un lenguaj einferio re nl ajerarquı́ a yn o al apro p a sen
e − t nc ae n aqu
aparece 45. P e r − o es a − t solució d l aparado j an oe sunive r − sl − a ment
e a c − e p a − td a yun alterna t i − v a imp or a − t nt nsurgi e 197 5 co nl apu
´ i u od e . Krip “ Outline of a
blca c − ió nde la rt c −
t − he r − o y of
trut ”
ó [65]. Kripk emostr óqu ee lrazona mien o circul r mucho más frecuent d l qu
es esuponı́ a yqu ee lqu eun ase n t − e nc a e − s ap a r − a d aó ji puede depend e d
hecho sempı́rico s , n o l − i ngüı́s i − t co s . K r − i pk epus ou n e e − j m p o f − a
mo de esto me d i − a nt ela do sentencia ssiguiente s
( 1 ) La mayor iacute − a de
la
de claracione sd eNixo n s obr eWaterg a e so n fals a
( 2 ) Todo lo que Jon e
dic
s obr
Watergat ee sverdadero
Ninguno de e sto do enunciado e sintrı́nsecament eparad ó j i − c o yha ymu ch
s ci cunstanc i − a s p a − l usis ble se nla squ eambo spodrı́a nse rverdadero s s n nngú
n prob l − e m
( lo que s i − g nifi a − c q u e a − u n tomada sconjuntament e , dicha safirma c
o − i n sn o s − o nintrı́ secamen t − e o s s q , uier e , lingüı́sticamente , paradó jca
´ e n hay iciru − c nstancia qu hace
s . Per o , com oob se v − ró Krip k tamb i −
nqu eambo senun c − i ado sju nt s cr e − e nun ap radoj a . Por e jmp l o supongamo
qu Jone ssol oafirm a ( 1 ) sobr eW aterga e pe
Nixon afirma (2)j−u nt co notra sdo safirmacione ssobr eWa e − t rg a t , d e l scu al sun
es verdadera y l − a o tr o fals a Parec eentonce squ e ( 2 ) e sverdad r − e a i y a só
o in o verdadera y e s t − o e aas com consecuenci ad efactore scon e − t xtu
al s a j − e no s aamba sentenc i − a s como s n − o la sotra sdo safirmacione squ
eNixo nh i − z oso b eW aterga t . P otra par t − e K r p − i k rechazó l aestructur
La Gace
a jerárquic apue s questiondown Cóm oa si−g na ru n niv l − e a sentenc i − a(1) de
mod q u se asuperio re nun aunida d ala sde c a − l r ac i − o ne sd e Ni o − x
45A l − g o a sı́ como
op ue e habl arsob r − ep
“Si
p habl asobr e q, q n opued eha ba rsobr e p, lu g − e o p n
74
U npase oalrededo rd el ate or ad e
conjunt
sobre Wa te r − g at e a nte d conoce lo nivele sd eesta s ? Y is ehu bie e asg−i n a
este n i − v e l al ha ce Nixo s declaració n ( 2 ) rompe iacute − r acom pl e − t ame n el
a estructu
j erárq u i − c a
Kr i−p ke p o−r p u s−o u n teorı́ ad el averda dqu en opresupon el ajerr−a
qu a sintácti de meta l − e ngua je y permit a u nlenguaj econtene ru npredicad od
ev r − e da da plicab a sus propia sentencia ssiend o , a lmism otiemp o , con si s − t
ent e . Par a el oe s necesar permit i − r que a g − l u − n a sentencia s , au nsiend
o i − s gnific a t − i va , c a e − rz − c a nd ev al rd e ve
dad ( es decir no s e − a n verdadera sn ifalsas ) yl asenten c ade lme ntiro oe sun
ad ellas . El c riter, i − o p a a − r decidi rqu ésentencia scarece nd ev ao rd ev e − r
da dn o pue e s simplemen t − e e de no atribuirle ses evalo rcuand ode nluga r
apara d oj s comma − y p a a dobt nerlo , K r i − p ke lhio−z a lg as com oestablece
run a quotedbllef t − j erarquı́ asemá nt c − i a , conside r − a n un lengu aj−e o b
jet ú on ic qu eest ásu jet o aun a jerarquı́ ainfi n t − i ad einterpretacion
parcia l − e s L o detalle d el ateorı́ ad el averda dd eK i − r pk es epuede n v re n
[65bracketright − comma pe lo que aquı́ n o interes e resalta re lhech od equ emo
s − t r óqu ee sp ose ib e f r − o m ul un concep t − o d v e d − ra − d coherent ee
nu nlenguaj eco nauto r − r efe r − e nc i
En [ 8 ] Ba rwis y Mos s inspira ne nKripk eper oproponen , e n . l contex od
la teor iacute − a de mo delo basad e hiperconjuntos , un aex plc acó nd el a pa
a − r d o aqu no imp l i − c a aba d − no na l hipóa tesi sd equ ecualquie rafirma
có ne sv e − r da de a on o es . Según e s t − a x − e plicacia ó n contenid ae [ 8
, Theore m 1 3 1 0 , l oqu e pare e llev r una parado j − a en e razonamient e se
´ o n d e m entiros provoc
lhech od equ en os e t e − i n ee ncu en aqu e afirmac i −
au ncambi opragm átc od eco n e − t xt oqu e ha equ
este no sea el m i s − m o ante d el aafirmació nqu edespué sd e el a ( c . [ , . 1 8 ] pa
los deta lles )
Para conc lui r mencionar qu ee [ 8 ] s econ s − idera nmucha s otr sa p
licacion sd
los hiperco nj−u nto s l m ayorı́ d eella sfuer ad ela smatem á t c − is4a 6E s ono sd
aun mues t − r a más d a − l gr a − n versata ilida dd elo sconjunto s ytam b
eacute − i nde l h e − ch od equ es ap li ca bil dad va m á allá d ela scuestione
sfundacion ae s yd e s ru n l − e ngu a e bási para las ma t − e má tica s
questiondown Es posible redu c i − r la m atemática s al ateorı́
ad econjun
tos?
De las dos hipótesi siniciale squ ehemo scon s − i derad o , l aqu e e t − s a ble el
a relevanc de los con j − u n to p ar lo fundamento d ela smatem átca se sl aqu e
postu aqu estas se pued e − n r d − e auci a sl teorı́ ad econjuntos , l acua ls esupon
equ e p r − olporco − i n una base firme p a r − a p ode a desarrolla rrigurosament ela
smatem átic a . P e oinclu la nece si dad y l − a existencr i d tale sfundamento
se sun ac uestó n discut d − i a sob la que hay o pinione m u adivergentes . E lpunt od
e vi t a clás i − co , qu e estable eu contras t − e e nt e − r la s yexigencia sd erigo
rd ela smatem á tca s yla sd e l s otr s ccienci a
se manifie s a c la r − a ment e l Secció n 1 . 1 de l i − lbr od e J − periodP . May be
r − r y [ 8 2 , titu l − ad
´ o p rincipa
46La r a − z n −
d
qu eest ateorı́ an os ehay adesa rrolad omu c − h oa nt s
e comma − s probab l − e men t el hecho de no
se
enecesari apar ala smatemá t − i
ca s yqu ela sa pl c − i ac i − o ne s a
a inf r − o m áti an o podı́ haber exist i − do h ast
tiempo srecientes
t − a? Ar tı́culo
7
“ Why mathema tic
need sfoundation s ”
dond e , y ae nl a p r − i m r − e a
fra s , s ua ut r ha
´ o n x − e plı́cit d eest anecesida d [ 8 2 , p . 3
una dec l − aa − r c i −
Las matemá t i − c a
difier n − e d
toda sla sotra s cie n cia se n e l r − e q ue i − r m i − e n
de que sus pr o − p o si cione
ha
d e se rdemostradas
Por el co ntrari o Mani dic e a an a l − i za re lconcept od edem ostrac
:
oacute − i ne n [ 7 p . 48
]
Una dem o s t − r a c oacute − in s ó l
l leg a
se
un
demostració ndespué sde la c
s ocial de
‘ er a cep t − a d
com ot a l . E st oe sta n ciert opar ala sm aem á tic
como para sl−a fı́ sica
l
linguı́stic o
l a b i o logı́a
Esta de claraci oacute − n e congruent eco ne lescep i − t cism oqu eMa n nm uest a
sob e necesidad de f u − n da mento s , expresad oe ne lsiguient ecomenta r osobr e l
conten d − i od su li bro : “ Los pro b l − e m a
d efundamento s son , e ns umayo
rpar t , dj−e ado se n s i l − e n c i Muy probablemen te
l − aslógic n
pued e
justifica rla smatem á t c − i a se nmayo rm ed i − d que la b io logı́a puede justifica
ol vid a00 . Aú nmuch omá sex plı́c i − t oe ns u recha o
:
la necesidad de lo fundamento af u eH i − l ar yPutna me n [9 “ N oc e − r oqu
4
e l sma t emáticas s ean p o − c o c a − l ras
tampoc
cre oqu ela smatem át − i
ca s tenga
n ‘ undame nt o ni que l os nec e si t − e n ”
L qu aqu ı́est
árechazand oPutna mso n l s “ unda ment o en el sen t i − do de lo m edio qu
trata d e jus i − tf ica rqu ee lcon o c − i m ien om a e − t m tico es a prio ri
y
e − n consecuencia trata nd epropor cona r a a − l sm a t − e m á tic su rigor abs
olut o e − n oposició n ala sciencia semp ı́i − r ca s , qu ecarece nd e l ( un a
´ o imp lı́c i − tame nt def n − e did e nl acit aanterio rd eMaybe r − r y
aposici −
En cua l − qeuie cas o está m u extendid l ide ad equ e o − l sc onu nt s
parec propor c i − o nar un rlenguaj comú nqu eeventualment epod iacute − r aperm it
ro jbt−ene r e − d m o traciones de teor e − m a m atemático squ efuese nmecánicame
n e verfic abl e . E s e el punto de v is t − a def n − e did po rlo sautore sd e
[ 1 3 , dond es ein sis ee nqu ee smu importan t − e a − l p osibilida od traduci rla
smatemá] tca s aco n − j u n o − t spue s i algui afirma haber dem ostrad u teorem
aimportant e yun on ocomp r − e nd e ag−l una sd las noc i − o n e ma nea−j da s
ol podrı́ apedi ra ldemostrado rqu e l − a sdefin ad emod o pr ciso , hasta r − e d
uci a − l demostració n aZFC , d emod oqu es eco nvie r − t ae nm ecáni c Aquı́ hay
v ario a specto discutible s . E nprime rluga , e smu yproba b equ en o s factible
´ i d slo caso shace res atraduc ci ó nper o , adem á, d e j − a
en l − a ma yor a −
nd opo el momen t − o a un a − l d est s dificultad , s epued eargumenta rqu eau
ne n l s cas se que sea po sibl e no p arec qu se deseabl e o , a lmen o , n ol o ser
´ o que se acaba de e − x pone r , e sdece i r , dica h atraducció nn
apo r a ra z −
soservir apar aco n e − v n c r m ej a otros s e − rs − e huma no d l valide d
el ademostra c − ión . E n efec t , l a creenc ae
´ o n forma pued ese rcomprobad afá c l − i ment epo run a per
que una dedu cc i −
s − o na 7 n parece e sta justifi c − a d y existe nmucho sindicio sd equ e ,
´ a bi n − e capacitad apar ae lan
po re lco ntrar i , am en humana no es t −
ális sd etexto sform al e , l scu lale , po otra par t e ra r − a ve s usa e l
comunicació nen r − t ematem á t i − c o , sa v − l o qu iz áe contextos e stre c − ha
ment erelacionado sco nl alógic a . N o d s − i c utir séaqu ı́e nd etal e es
´ o n y me limitaré a referirm e alo scomenta i − r o sd eMa n − i n [ 7 ] e
cues t i −
La Gace
n es e senl ti d
47En bracketlef t − seven6 p
38
s
cit l aopinió nd e J . B . Rosse re ne lse ntd
od equ
e “ un a v z q eun a e − d m o tración es descu ]bi − e r a − t y
enunciad
e nlógic asimb ól − i ca , pued ese rcom p ro a − bd a p ru ni mbé ci
76
U npase oalrededo rd el ate or ad e
conjunt
La d i − f icu l a − t d hum an par analiza r ycomprende rtexto s f − o rm al ss
ugie e a h pótes i − s p a − l u sibl de q u al aúnic ajustificació nrea ld eu nintent od
e f o − r m aliz r o − tda las matemá t i − c a o a m eno s , gra npart ed e e l − l
´ i ae lha c rqu ee l o − c no c − i m ien matemá t i − c o fu es ,directament
a s , s e r−
eaccesibl a lo sordenador e , co nl a s − e p eran ad ep der exp l − o tar la a − c
pacidade sd eesto spar atrata rd eincrementa r d i − ch o o − c n zoc − i mien o para obt
e − n e a pl icacione d emétodo s yres utado smatem át c − i o sy a c − o n ocid o
. E la actua l i − d ad exist n − e diverso sámbito se nlo squ es etrab a − j ae n e
t − s a direcci ó n , o cu imp il ca ca s s i − e mp r ehace rus omá o meno sex p
iacute − l c i − t od el ateo r ad ec o nu nt s (comma − y po
supuesto de l − a oacute − l g ic a cf [ 90 ] dond es edesc r − ibe nalguna sd esu sa p
licac o − i n smá
importan, t − e s a a − l inf ormát. ica ) . U náre aqu eut i l − i z aco néx t − i olo
sm éodo s conjune ti st es la verificación f o − r ma l
qu etrat ad eobtener , mediant
ee lus od tem éodo s f r − o m al e demos t − r ac o − i ne r i − g urosa d qu
sistema sd ehardwar e od es o t − f w a ecum pl nun
serie de e s − p e cificacione .4s
La v er i − f ic ac oacute − in forma de softwar e tien econexione sco n o t − r
aa ctiv d − i a dd e es
tipo que es mu c − ho m á ambicl ios a : l ademostració nautom át c − i ad e teo r − e
m a s , a cu a a su vez , es un cas particula d el oqu es esuel e l − l ama r razona
me n oa uom á ti c El o bj−e t v − io de lo siso tema denominado s demostradore
sautom át i − c o sd e e − t o r − e ma s permit i − r que lo o rdenadore spueda
nencontrar , po rs ı́sol o , dem ostrac o − i ne sd e te remas ma t − e má st ico s Dad
qu elo sordenadore sso nmu yapto spar al am anipulac oacute − i sintác t i − c a es
a − t id e − a está obastant eligad a al aconcep i − có nd equ e l − a sm a e − t m á
tic s s − o
esenciamen t − e oacute − l gic a p er n oe demasiad opopula ren t − r elo sm aem
oátic s . 9 E lfi último s er iacute − a e − r aliza re olsueñ od eLeibni zd eobtene ru n
si s − t em ad tec álcu oa u o − t m á ti
que permitie r − a r d − e uci re lrazonamient o acomputa c − ió n y aguno sha nim
ag n − i a − d o q u finalmen t e t − o d a la matemática spodrı́a nse rsubsumida
se n es eco ntex t
An t − e s de co menta la dificultade spar aobtene rdemo s r − t acone sa uom
átic sd teoremas es n ecesari sseñ ala qu e , inclus oe ne lcas od equ e es e progam
´ i mos m u olejo d epode renmarca rtod al aa cti v − i
a atuvie éxito , e s − ta r a −
da dm a e − trm áti ae n e
te ám b i − to En e fect o com se ñ al acertadament eCorfi l − e de n [ 2 3 , l
´
ainvesctigaci−o matemá t i − c a comp r n − e,de ademá sd el ademostració nd eteorem
a , a lmeno s otr sdo aspectos muy i − m p ortante s : l aformulació nd econjetura s yl
aforma c oacute − i nd e c − o ncept o
48U n ej−e mp o − l de
us
d m étodo sconjun t i − sta se ne t − s eco n t − e x ol o
p o − r porcio a
ellengua e espe c i − f ica c oacute − in
Zqu
está e basad oe nl ateo
´ i ad econjunto sd e Z r − e m elo - Fraenk l ye n
r−
alógi a primer
o r − dn − e [112]
49Al men o s
entr elo squ en oso nform a l − i sta s . Po ro r − t apa r t , e nt e l squ e t
r − a b aj n
eninf r − o
má t − i teór i − c a — qu e
com
acertadament
sostien e
S . Ka h se ns ud e e − f ns ad
l f o−r
ma s − i m o [63bracketright − comma
su
´ o nmu yn e atur
subd i − s cipl n − i a ,d
la
matemáticas
e lform alsm oe sun ao pc i −
l comma − y probab l − e m en t mayor i − t aria P o
ejemplo , e sbie nconocid al apostur
aqu ete n a period − EW . D
ij kst r , qui ne n [ 3 3 ] l l − a m inf “
orma lista s ” a
lo
matemático
n oform al i − sta s y t t − i ul óun od esu sma nuscr a it s e “ A f o − r m u a
worth a thousand pics ture s ”
E
e lámbit od el amatem át i − c amá s tradic o − i n a
, t − aombi n
e obser
´ o n filosófi ad
cómo el ár − e a
o − c ncret
d
trabaj
pued
infl u re nl aconce pc i −
e l sm a e − t m
át − i c a Compár es e p o
ejemplo el
defens ade lform alsm ohech apo
rD al se n [ 2 4 , qui n hab a des e punto de vis t − a r de
“ anális, i sabstract o ye lálgebra ”
co ne l e − r al i − s m od eV
.period − FR . Jon e s [62bracketright − comma qui n u
prob l − e mas de
o − t p ologı́ ad ebaj adimensió npar ades c r − ibi rl a “ v r − e da d ” m a
´ o n fı́si a − c y de l aexperienci aespaci a .
´ e min o − s de intuic i −
t − e m áti ae n t r −
Quiz áe s − t a ssea nma nifestac o − i n sd el sm od o − s e − d pens correspon d i − e nte a
hemisferi oizquierd o ya lhe m s − if e r − i o de e − r ch od l cerebr o − comma respecti a − v
men t e − comma q u como ob se r − v a M lani
e
[ 79 ] , matemáticament ecorresponden
, a pro i − x madam en t e − comma al s dico o − t mı́ álgebra /g − e ome trı́a n deducció
nformal / visió n , et c . Tod oe t − s os ugie equ e
a c − o m plejid d y dive s − r id de las ma
´ of ic a sen c l − il
t − e má tica
hace ndifı́ci lcaptura rs uesen i − c ae nun aide a rf ilo s −
t − a? Ar tı́culo
7
Además como a r − g um entó brillantement eLakato se n [ 6 7 , e t − s o s tr s
a − s pect s es aacute − t estrechamen t − e interrelacionado s yningun od e e l − l o ss
epued ed e − s arroll r p e − l na men en ausenc i − a d lo otro s . L aimportanci ad
ela sconjetura sn opued e s rsub es i − t m a − d y se pod r iacute − aedecir contr lo
qu aventura nl at es sredu cco ni t − s ad equ e l sm temáticas co nsist e − n n − e
resolve problemas , qu en opued ehabe rbuena s respuest si con an terior i − dd − a
no h habid buena spreguntas . Po r c i − t a ru n e e − j m p o históri concreto
no es e − x agerad deci rqu e , ademá sd ehabe rdemo s r − t ad omu ch s teo r − e
ma importan, t − e s una de la grande contribucione squ eH l − iber th i − z o a l
sm oae−tm átic fue la formu ,l−a c oacute − in d s famos alist ad eproblema se ne
lCong re oI anternaci−on ld Matemá t i − c o d e a ñ e 190 0 Mucha sd eesta scue
s i − t one sy aha ba n sd o f o − r m u a − l d s consideradas por o tro smatemático sper
´ o n y sis e − t m tización que Hilber hiz o , pue
ofu emu yimportant el a selecc i −
sesto sproblema smarcaro ne ld e − s arrol od e g a − r n par
de las ma t − e má t ica de sigl XX y alguna sd ee l − l a ssegu i − rá n e − t n i − e nd
oim pac o (
menos ) duran t − e e sig s l X X o ( po re jempl o , l aHipót es sd eRiemann , qu e p
r − e m ane
abierta ) .
En cuan t − o a a − l formació d concepto sm e l − i mitar étam b eacute − i
n a c it ru n e j − e m p muy claro El p roblem d l resolució npo rradic ae sd
eecua c i − o n s algebraic sd grado 5 o supe rio r a se atacad opo rGaloi s yAb e , tr
´ o n d e c oncept rd egrup o , qu
a − j ocom oco ns c − eu − e n c a aa i troducc i −
ee scentra le nmatem á t c − i a , co nun a i − n fluenc que se e xt i − e nde desd
l teorı́ ad enúmero s yl ageome t iacute − r a ageb sr a i − c a a l sa p licaci nes a la
fı́s i − c a La entrad ad eest econcept oe nla smatem á t c − i a s t i − e n eun aimp
ortanc incomparab l − e m ent mayo qu l resolució nde lpro bem aso b e c − e
ua c i − o n s q e originó .
Hasta l − a f e h − c a e m ayo réxit oe ne lcamp od el ademo s t − r a có na
uom á ti a f ue solución , en 1 nine − nine 6, de pr o blem
d
R o b bin
[8
3 . E lres u t − l ad otuv oun a cier a repe cusión me diát i − c a e inclus m eereci
óu nartı́cul oe ne l Ne wYor kTim e . E l prob e − l m preguntaba s un á lgebra co
un operació nbina r − i adenotad a + yun ao perac oacute − i unaria n ta le q u + e
conmutativ a yasociativ a , yqu e , adem á, v erfic a a e − c u ac oacute − i
de Robbin s n s (n(x + y + n(+ n(y))) = x, e su nálgebr ad eBo o e ( l lrecı́pro oy
era conoc i − d o ) E p roblem ad eRobbin sfu eresu et oafirm atvame n epo rW . McCun
con el prog r − a ma l demostrado EQP . E lres utad on oe s t i − ri vi l ( T arsk i y
al−g u n sd
sus estu d i − a n te l dedicaro atenció nsi nconsegui rresolv er o ) p r − e ol
oqu eu nm o@ mático se p r − eu − g ntarı́ par n trata d ediscerni rs upo s − i bl ein
ter se s ino s y − a ud a comprender m ejo la álgebra d eBool e o , sim pemente
, s i t i − e n ea p l c − i ac i − o n s ( q u
valga la ci r − c ular d − ia d s deberı́a nd ese r “ interesante s ” par ase r t − e
nda se ncu ent a
´ o n d Robbin sn otien eu ngra ncontenid ointu itv o ye lp rop oMcC
La ecuac i −
u reconoce que e resultad ocarec ed eaplicacione s . Po rotr apa r t , p are e cla oqu
e us estos ax i − o m a n − e l − u ga d lo habituale sn otra e iacute − r a s − i
n oinconve nient e , po r oqu no es aven tu r − a do conclui qu e , e ntérmino sest
i − r ctament ematem átic o , s l resulta carece de u t il i − da d Lo m ism opued edecirs
La Gace
ed emucho s o r − t o sr e − s u t − l ado s s obtenid spo demos t − r ado re a utomáticos
, gra npart ed elo scuale scon si t − s e ne nen contr a r “ sis t − e ma minima l − e s de
´ i mb ol que
a ximas ” o , inclus o , axioma squ eu til za nu nnúm r − e ome n rd e s −
otros ya c − o n ocido s Lo resultado sd eest e i − t p oprobablement es eha n
elegi porque sus demo stracione sestá nmu ypróxima s ala smanipul acone s sintáctic squ
pueden rea li za lo programa sdemostradore sper os uin t − eeacute − r sm aem át
i − c oe sd audos
78
U npase oalrededo rd el ate or ad e
conjunt
Por e j − e mp l o e o − c n ocid oqu elo sgrupo ss epuede naxiom at za rco nu nú ni o
ax i − o m
en térm i − n os de u a − nú n ic aoperació nbinari a ( com odemo s t − r aro nHigma
n yNeum n − a en 1 952 ) p e r − o est axiom tambié carec ede l i − s gnificad
oint uit i − v oqu e tien n l usua l − e s y trata d usarl e l práctic aserı́
adesvent j − a os o . Po r e s , l ve r − deade test para l − a dem ostració automátic
n oresid ee nl aobte ncó nd e resul a − t d sn trivia l − e s s n − i o en l − a d
resultado sinteresante s ( e ne lse n i − td om aem át i − c od l − e t eacute − ro min y
parece c la r − o q u est tes n h sid superad oaún . Per o es on o signific
, mucho men o s q u el demostraco ió automátic ad eteorema sc are z − c ad einteré
. E primer l − u ga r el adiseñ d demostradore s ye lan ális sd elo spro ce o − s
squ es e pued utili zar pa r − a ell o as com od elo sresultado sobtenido sa lataca
r po b e − l ma s c − o ncret o pueden a rro ja lu sobr la sforma sd erazona re
nmatem á t i − c a s , e n e − s gund o lug a es pruden t − e c onsidera qu l obtenid
ohast al afech aso ns ó o l s p i − r m er s pas de un cam i − n o q u p ued se
mu larg o Quiz álo sdemo s r − t ad or sautom átic sn lleguen a hac e ma temáte ica
rimportante spo rs m ismo , per os epued ee ntrev r posibili dad de q u llegue a se
d much aayud apar alo smatem átic shum an o posib l − e men e − t a c t − un − a
d e nform ainr teractiv a . Y ahac e temp oqu e l − o s r − oden ador s usan en ma
t − e má tica p ar aobtene rdato squ epueda na r − ro − j a rlu zso b el a via b l − ii−d a
de co nj−e tur a s y c n − o e desarroll d elo sprograma sd ec ál − c ul o i − smbr
óli os e abr perspec t i − v a p o − r metedora qu epuede ni m uch omá sa l − l
ád el a i − s m p e g − e n erac oacute − i nd datos numé sri − c o s U n lı́ne ad
etrabaj ointeresant e , e ne t − s a di r − e cc oacute − in , e sl a p r − o pues
por el pr o − y ec o − t CA L − C a L − U EM U [ 20 ] , cuy oobje t − i v oe
´ o automátS ic aco
sconseg u rl aintegracoacute−i nd el sistemas de d e − d ucci n −
i
nlo sd eálgebr acomputa con a
En cuan t − o a lo otro aspecto smencionado sd el aa c i − tv − i da dm a e − t
m á ti c , a g neración au t − o má ti a − c d conjetura sparec ealg otodavı́ amuch
omá s l e j − a n . N oha indic i − o s de q u l q u s podrı́ llama inducció
mecánic a vay a a s r realizab
( y , después de et−o odo e razonamient oinductiv ohuman otampoc oe su nivers l − a
men
aceptado r e − c uérdes el adeclaració nd ePoppe rd equ e “ l ainduc c oacute − i
ne su nm i t o ” parenright − periodP o otra par t − e a n − u qu u n m áquin
apued agenera rconjetura smatem á tic a , e sd i − fı́ c l − id imaginar , cómopoe drı́
selecciona rla squ efuese ninteresan t e . L ap osi bi l i − d a dd e q las máqu i − n a p
u d − ea − n a llega a genera rconcepto sinteresan e − t sn odeb e s rd escar t − ad
pero pa r − e ce aún más le jana
Después de ha be discutid ol aconvenienci ad el atradu ccó nd e l sdem ostraci
nes matemá t i − c a a rlenguaj conjuntista , m edetendr éu npoc o aan aaliz r i
´ o n es factibl e Aqu s epuede naprecia rdo s i − t po sd edific
di h − c traducc i −
ula d e . Un ae sd tipo puramen t − e práctic y s epued eilustra rrecur i − r end o
alo s P r − i n c tπ aM a h − t em a ti
[ 99 ] , que f u − e escrit c n − ool aide ad m ostra rl aviab i l − i da dde l lo g icsm
, sg−e ú n l cu las matemá t i − c a oserı́n − a reducible s al alógica , s − i nqu
´
es udes arrol o f r − o ma l p e − r m e itie la aparici−o n de p a a − r do ja com la
qu esurgı́a ne nl ateo r ad ec o nu nt sd eCa
´ o g ic ( teorı́
tor . El s i − se − t ma l −
d o tipos ) d elo s Principi a ı́perm
´ i posibl desarrolla d ees t
it ó visum br rq u comma − e e princip i − o s er a −
aform alo sconcepto sb ásic sd e a teor de conjun, t − o s y p o extensión d ela
m atemá i − t ca s , per omo s t − r ótam obeacute − i nqu e oqu era po sibl e en p
´ o n ep−s a ñ o ad
rincipi o n serı́ afactibl ee nl aprá c tc a . E nl ae dic i −
,
los P rincipi a
bracketlef t − nine9] s m enciona , e nl apágin a 42 3 , despué sd e
∗54f our − period
A partir de e s t − a proposición
un
ve zintroducid al asum aa r t − i m étic , s
podrá demo s t − rr − a q
u
1+ =,2
t − a? Ar tı́culo
7
Esto s i − g nifi a − c q u Russel y Whitehea dn o l − l egaro n i − s q ui e − r
a ade mostr r fo malmen t − e e st hech ebásic lsin sól o aindica com opodrı́ a se
´ o n de ea−l distanci entr el amatemátic aform
rdemo st a − r d . Ot i lustrac i −
al zad a yl am a t − e m áti a re al proporc i − o na a − l s i − g uient enotació
nabreviad ade ltérmin o “ un o ” qu e — e np alabr sd
Manin [ 76 — fu i − m p u − r dentement eintroducid apo rBourba k
La Gace
τZ (parenlef t−existential
⇒
u)(U )(u =
(U, {∅}, Z)U ⊂
parenlef t − existential
{∅} × Z ∧ (∀x )parenlef t − parenlef tx ∈ {∅}
y)((x, y ∈ U )) ∧ (∀x)(∀y)(∀y)(((x, y ∈ U ∧ (x, y) ∈ U
⇒
(= y0) ∧
(∀y)((∈
Z⇒
(∃x)((x, y) ∈ U )))
Según el p r − o p o − i Bourbak i escribi est etérmin ocom p l − e tament e e − r q
uerir a decen
de mi l − e s de sı́m bolo p er u cálcul omá sprecis orev l − e aqu e ser iacute − a
´ i ase
nmá sd e 4 · 10 [ 8 1 ] Aun uando un s formalism omá seconómic on oten d r −
ntd o plantear e a tr ducción f o − r mal d e po e jemplo , l ademostració nde l
úl i − t m oteorem ad eF e − r m a comma − tc − o vistas a facilita s − u comprensió
n aotra spersonas . Requirir au n r − t a b a o g i−g antes y el resu l t − a do f i na
serı́ esencialment eincompren i − s b epar a l − o shuman o
Pero , además de l a dificulta dpráctic a , ha yotr oobstácul omu y ser o a a posib
forma l i − z ac oacute − i n d et o − d a sla smatemáticas . E lproblem asurg ea lco
nsider ar oqu ee sun demos t − r ac oacute − i n ma temática E nlo sestudio sfundacion
ae sha yun a t − e nde nc a cla a iden ti ficar la dm ostracione sco ndeduccione sform
ae se nun a lóg i−c a s − e pecifi c − ad a desde e s − te pun o − t de vist a , e lobjetiv
od eun ademostral c − ió ns er afundam ent l − a men e de serv i − r como verificació
nd eu nresultad o . Si nembarg o , au ncuand o es e aspec o e sin duda impo r t − a
nt e entr elo smatemático sest átambié nmu ye x e − t n dd a aid ad que hay o ,tr−o
q u e p robablemente , l ose ainclus omás . L aide ae squ eun ade mostrae c oacute − i
debe de s e r a n t − e, tod o , un aexplicació y qu el oqu el aleg i i − t m a , má squ
es u estructu
formal , es su c a − p acid d − a d hacerno comprende r lo shecho smatem átic s5o
En a ñ os reciente s diverso sautore sha ninsis t − id oe nest aide a . Po r e
e − jm. p l , M an
en[ 77
:
]
Los axiom as de
finicione y
te orema s so nlugare se nu npais a em aemá tico ,
atra c c i − o nes
locale y
cruce
d
carreteras . La sdemo s r − t a jcone s
so las propias c a − r r e teras
lo
camino s yla sautopistas . Tod oi i − t ner a
r o t i − e n sus pro
pia cua l i − da de spaisaj s ı́ st icas , qu epuede n se rmá
simpo t − r a nt squ
Por su pa rt e Y
e l h echo de q
u
l lev
d Aa
R a − v [96 abund ae nl amism aide a
B
Los t eoremas
s−o n
n − e un
sentido , s ó l o etiq u eta spar ala sdemo s
t − r a con e resúmenes de información
titulare
d
noticias
, recurso s edio
riale s .
50Hace ya a l − g uno sa ñ o stuv el aoportunida dd e asist r aun aco nfe e − r nc ae n aqu
i − s princip del conf e r − e nc a − i nt eer aqu
“ E nmatemática sl oimportant eso
senuni cado sd
e ) l osteo r − e m a period − s L demostraciones
s−o n
o − c mo
la
garantı́a
qu eno sda ncuand ocompramo s electr o − d o mésti c o . Com
estas , en c i − r cuns a − t ncia
normale ssirve nsolament epar atranqu il i − z arno s
yp o e − d mo s guardarl se un cajón , de donde
s ól sla
sacaremo ss ivemo squ ealg ov
am a l . E naqu el a ocasi nn o pu e adej de man i − f esta m
radica
discrepanci aco nest
ainterpret aci ó n , e nl a lı́n ad equ eun a e − d mostraci debe de
se más q u
un a justificació
n yque , e nconsecue nc i , cab e exigie r em uc o m s q e e − l q nos tranquilice
segú nMani n [
76,p. 51
, s ie sun abuen ademo ast−r ac oacute − in , deb ler a hacern sm ássabio
e lates
n ( o
80
U npase oalrededo rd el ate or ad e
conjunt
Pensemos en
la
dm o stra cione scom oun are dd ecarr e − t era se nu n s i st
ma de tran s − p ort
epú bl ico y
consideremo s lo senunciado sd e lo s e − t o r − e ma
como paradas
d
autobús
e
luga
d
la
parada
e s s − i m peme n
eu
asunto de con venienciea .5
En la mima lı́nea podrı́amo stambié nimagina rqu ela sdemo s t − r ac o − i ne s
s − o n vi j es . Pensemo s p o ejempl o e e últim oteorem ad eFerm a . S
ndu d , s u g r − a importanc i − a his, rtóric p rovien e lmá qu ede lres utad
oe n s , de l lag−r ocam i − n o q
ha habido que recorre par demostrarl .5o 2Est ecamin oe s − táj ı́ aonad od e g a − r
n c − a tidad de i − de a y método importante squ es efuero nin r − t odu c i − e
nd oco n l a aacute − f nd demos t − r a rl o p e o − r q u va much omá s a l − lá
ye nm úl i − t p l − e s di e − r cc i − o n e . D e hec h o , demos t − r ac oacute − i n
de teorem nd Ferma ts epued eve rcom oun apeque ñ a e t − a p ad eu gran viaj−e c
olectl iv q u comenz Galoi sestudiand ol ar s − e ou bilda dpo r radical de las ecuac
i − o ne a o lgebraicas y qu continú ae nl aactu a i − l da dco nmuc h s r − a m i
caciones , pu d i − e n sd se observad o , po rejempl o , e ne l Program ad eLan ga
an s
[ 1 1 ] . Este programa e un conjunt od eprofunda sconjetura squ es epued
einterpret r c mo una gran un i − f i ca c oacute − in e matemáticas , puest oqu
´o
epo s − t u aun a estr c − eh a relaa c i −
entre las r epresentacione nd Galoi ( enmarcada se ne lcon t − e xt ode l álgebr ) y l
formas au t − o m orfa (n − e e anáe lisis ) ; e lúltim oteorem ad eFerma t ,
má se n genera la co nj−e tura de Ta niyama - Shimura , d el acua le sconsecue nc a , s
epuede n v r o − c m una peque ñ a pa rt de program ad eLangland s . E lo r − i ge
nd e es e progam a f eun carta manus cri t − a de 1 página squ eLangland sesc i − r
bi ó aAndr é We le n 19 6 , do n esbozaba es ta sorpre−n7 dente conexione
s . Lo santeceden e − t sh i s − t óric ss e e − r m ont a al menos a l − a l ey de
reciprocida
cuadrátic a qu edemo t − s r óGau s , l acua l f − u e segu d − i por otras
muc ha leye d ereciprocida dqu efuero nprobada se nl a s − e gund am i a − t d
´ i ad eG a lo
d siglo XIX y en la q u e u ningredient eimportant el a te o r −
s
i . Posterio mente se d esarrolló d urant el asegund m ita dde l s − i gl oXI X yl a
p i − r m e ad lX X , teorı́a de c ue r − p o d clase s qu busc adescribi
r i − c erta sex t − e nsone sd ecu erp s q tienen grupo de Ga eloi abel, ian o . E ne m
arc od eest ateo r a , Em lA rt n obtu oe
1 927 una l − e y de reciprocida dgenera l ( reciprocida dd eA r i − tı́n , qu een g l − ob a
o − tda s l
leyes de re ciproci−d d − a p recedentes A parti rd eaq u , er anatu r l trat rd e extend
la teorı́a de c uerpo de clase a cas e qu ee lgrup od eG aalo sn oe sab elia
n y Lang l − a nds c on jeturó qu deberl ı́ d eexisn ti run aco r − r esponde nc a
biunı́vo a ent ciertas rep re s − e ntacione d eadimensió n de lgrup od eG alo sd eun ae
xtens oacute − i nd eu cuerpo K y c ierta representacione sllamada sautomo r − f a
sde lgrup o line l gener
51El tı́tu l − o
a presenta o u charla
de
titu
artı́cul
l − aa − d
d
Ra vh asid oparafrasead opo rJoh nDaw s o , qui nh
“ Why
d
w
re - prov etheorem s ? ” ,
e nl aqu esu gie e acer t − adam en e q ue a necesd id que a me n − u do
rdemostracione snueva sd e r s − e u l − t a d sy a o − c nocid s apo ya a tes
demostracione sla sportadora sde lcono c − i mient om oaem áti c
sentimo sd eda
i − s que son la
52Es t − o n o
recuerd la spalabra sd eCavafi se ns upoem a t − I a c a,
oe nqu e
sm
ásimpo tante r e − c orre
e
a − c amin qu ellega
Cuand oemprenda se l vi a e hac a Ita a rue a q tu camino sea
l − ag − r o
aventura y
e ndescubrimient o s
. Iac at eh ad ia ou n b el og via j
insist i − e nd
ra ldestino
“
y
oric e
Sin el la nunca
l − o h u biera
emprendido ; per on o i − t en emá squ e . of r − e cer t e
53Se vis l − u m b a − r aqu ı́l aposibilida dd eu nviaj equ en otermin anun c , com oe n a
secue am oder de l − a Odise a de
Niko sKazantzakis , dond e Ulses , despué sd e regres r a Itac
a , el sien teins at s − i fec y reempr e − n de e
via j e
t − a? Ar tı́culo
8
GL(n, K.5) En 2 0 2 Lauren tLafforgu erecibi ól ameda l − l a Fied spo rs ude mostr
ción de l − a c orrespn−o denci ad eLangland spar acuerpo sd efu ncon e , pe o l
ca omá importan t − e y m á dif ı́ci l qu ee se ld elo scuerpo sd enúmero s ag−l eb
raic o , p e − r m ane abierto .
La impo r t − a nc a − i de program ad eLangland sre s − id efundamen t l − a
me n ee n au ni cación que p r − o o − p n e p ue se sgeneralment eadmi t − id
oqu ee lhech od e l e − l g r a observ que o bje t − o s muy distinto aparece ncom
oaspecto sdieren e − t sd e o bjet smá s gen rales l l − e va a una c m − o prensió
m uch omá sprofund ad elo sco n t − e xt se nqu e dich objetos apa r − e ce n e ob
jetiv oprincipa laqu ı́e sest acompren só nmá sp ro u − f nd a yn la mera o b t − e nc
oacute − in ld respuest a aalguna scues t − i one s
En el po l − o op uest a la sdemostracione sex p i − l c a t − i va ss eencue n
r − t a n l sdem ostr ciones que s − e lm i a − t n a da run arespuest ası́ / n o ;
u n eempl oe xtem oe sl adem ostr ción , obten i − da n − e 1988 d qu en oexiste
nplano sproye c t − i vo sf ir nit sd e o d − r e n 1 0 ,
cual fue rea li z − a a − d mediant eun abúsqued apo rordenado r [ 6 8 . E lp r − o
b e − l m a c − o n es demos t − r ac oacute − i n no e tant oqu epued acontene
rerrore s s − i n oqu en od al am en orid ad la razón por l − a q u no existe nplano
sproyectivo sd eest eorde nn iso b el a existenc o no de p l − a n o p o − r yectivo d
eotro sórdene s . N os econoc eningú n p l − a n o proyecti finito cuyo od e − n no se
aun apotenci ad eu nnúmer o p i − r m oy , po r e j − e m p l , n os e sa si ex i − s te o
no un p lan p royectiv od eorde n 1 2 ; l ademo t − s ra ci ó nde lc a od e ord n 1 no arro
j − a a bsolu a − t ment ningun alu zsobr el oqu epued e oc urr rpar a o r − d e n
1 . E este caso y en o tro parecido s , e lordenado rh aactuad ocom ou norá cu o
y − commao − c m o
argumenta en bracketlef t − nine6] s inclus s dispusiésemo sd eu norác u o ( qu
eRa vim ag n − ióc − o m una máqu i − n a a − f n tástic llamad Pythiagor aqu
eno srespon der a s − obr e a ve d − r a d
falsedad de cua l − q uie conjetura ) , seguirı́amo snece stand odemo s r − t ac i − o ne
sp a a ten
exp li cac i − o n e s C orfie d − l [23 p 5 1 m encion aqu ee lorácul opo dr a s r út
lp orq e podrı́amos p l − a ntea posible slema s ye lconocimient od es uv r − e da d
o fal s − e da dp uodr ayudarnos a o btene u n estrategi par al ademostra ci
ó n . E s − t oe s cier o pe on inva li da el f o − n do d ra−l argumentació nd eRav
´ o nmá déb i − l del o aacute − r c u l − o q u no
. Podemo spensa re nun a vers i −
cumplirı́ aes afunción : u n i − lbr od em aem átic s c − o n result dos clá s i − c os q u h
n − a venid osiend oabundantement e u tilzado se nl a literatur , pe que contuvie s − e
so a − l ment lo senunciado sd elo saxioma , la sdefi nic i − o ne s y l s teor
mas , pe r − o s n − i dem ostracione s , n itampoc oimágene sn icomenta r i − o sa dic
o − i n al s
(q
se pueden con sidera part ed ela sdemostracione sinform ale s . E s e tp od elibr sn
existe y la c au s − a no e q u lo sposible slectore sfuese n ade c − s onfia rd el av
alid zd los resu lad o s u n no sle el demostració nd eu nres u l − t ad o cá s c − i oco
nl a esperan de encon tt−r a un fall y demostra rqu ee lresultad oe sf a s − lo , s − i
n oco nl a s − e p eran a — casi dir iacute − a que o − c n l − a certeza d equ
ev a aaprende ralg o
Una de la razone de l apreponderanci aqu es eh avenid o atrbuyend o a a
teor de conjun to en lo estudio sfundacionale sresid e , proba beme n t , e n lh
e − ch od equ estos ú l timos p ema nece ncentrado se nla m atem á tca sd ecom i − e
La Gace
n z sd l − e sig oX X en la pro p i − a e − troriacute − a de conjuntos , ignorand
´ o nm lae−tm
oe ngra nmedid al ain ve stg−i a c i −
tica de l − o s ú l t m − i o 70 a ñ o s . Est ae sl atesi sinicia lde l l − ibr od e D . C
r − of i e d [23bracketright − commado
n
54Exp l i − c a
es o − t
co
precisió nexigirı́ amucha spágina s ye s − t áfu e ad l alcan
´ o n ge nera de
period − sL vers i −
l
correspondenci
d eLanglands ,
tamb eacute − i n lamad a prn ccip od e funtorialida es aún mu c − ho más
complicada ,
véas ee l i − lbr o [ 1 1 ] ylo sa rt iacute − c u o − lslbracketlef t−one 0, 47
ed e est s not a
82
U npase oalrededo rd el ate or ad e
conjunt
se sos t i − e ne a − l id e − a de q u el afilosofı́ ad ela smatemá tca sdeb ed ep re st rmá
s atenc oacute − i a las cue st i − o ne q u surge e l práctic amatem iátc aactu
a , incuyend o lp ap de los ordenad ore e − n matemática s , e lrazonamient
opo ran ao g ı́, l l ra o − z na mien plau sib l − e y el desarroll históric d ela
smatemá tca sbasad oe n e t − s u di s concret sobre la em e r − g e nc a − i d
´
nuevo concepto s ys uimportan c apar an uest ap ercepci−o de las ma t − e má t ica y
s posibl desarr o l − l ofutur o . N iqu ede c r t i − e n equ ee n es enfoque la t − e
´ i d conjunto sn eo juega , n imuch omeno , e lpape l pom i − n en e q e
or a −
le reserva en lo es t − u dio fundacionale stradicionale s ye lauto rd e t − sa − c
amá s t lp ap
de la teo r iacute − a de categorı́a ( su variante s , como , po r eempl o a − l s
n− categorı́a ) e el desarro l l − o de la matemáty ica s . E nrelació nco ne lpape ld
el a teor ad e conjunt
dice :
Aunque
l − a e − t o r iacute − a d
conjunto m
uestr a c ierta svirtude s “ funda con al e s
t enemos que r e c − o noce
qu
reformula run apiez ad ematem á t c − i a sd e e
forma puede
i − r co
ntr as
e senci a [ . . . ] E lpre ci o apaga rpo rl aun v − i ersal
dad es la f al t − a de n
aturalu idad En
luga rd eve r lo sente s yla scon s r − t u c co
nes de
l − a s ma e − t má tica m erament
com oformados
, e n úl t − i m o eacute − t rmin
por po l − v o
con u − j nti sta
sd eberı́amo etene e
c uent acon s − idera co n
se
tructur a e s de
l − a m ism aform aqu eu nestudn iant ed eanatomı́ agan a po
al v er e l esque l e t − o h
uman
com
u nmer odepóst−i od ec a l c − io
El reconocimient d qu lo sconjunto spropor c − i ona nmu ybueno smod el s
pa los concep to ma temáo t ico ebásico sn oim p l − i c aadmit rl at es s e − rd uccioni s
a s − u by cente a muc sho es t − u dio fundacionale ssegú nl acua l “ la smatem
á tic s o − s n teor ad
conjuntos ” Como i − n d ica Barwis e yMos se n [ 8 , p . 5 , “ e lhech od equ
el a teor ad conjuntos pueda mo d ela n tanta
cosa
n o signific aqu e lo smod eo
s
s r e − s ula nt s e − t n gan que s er l os m ej−o re m odelo 00 . Po res oinsiste
ne nqu elo sé xit sd el a eteor ad conjuntos no lo i − m p ele a tomarl acom o “ l
afundament acó n ” d e l sm a e − t m átic y dicen :
El saber que c osa
com
lo
número sreales , funcion e , r ea co ne
,etc
pueden s er fie l − m ent
representado se nl a teorı́ ad econjunto sn o sg−i nfic
que s e − a n con u − j n tos de
l m ism aform aqu e lo savione se nqu ev oamo
no s on l os mo
d elo a
e scal
qu efuero npr obado se n lo stún e l − e sd e v e − i n t
Abundando e − n es t aide a , e sclar oqu el adesc i − r p c − ió nco j − n u nti
s − t ad e l sp ar s ord nados no s i − g n f i − ic − a q u esto ssea nprecisament eeso
sconjunto sespe cfi c o comma − s e nt e otr razones , porque l − a representació
nconjuntist adist amuch od e s rú ni c . E n a m s − i m
lı́nea , Benac erra [ 9 a rgument óqu elo snúmero sn opuede nse rco nu ant s pu e , po
ej emp l − o, no p ued se simultáneament correct oqu e = 2 {∅, {∅}}5 5( considera
como un or d i − n al n − e e sentid od eVo nNeumann , qu ee se l u til i − z ad oe n est
sn ota )
que 2 = {{∅}} (c − o nsiderad ocom ou nordina le ne lse n i − td od eZ e − r m el
o ).6aS nemb a go , se puede a r − g u menta qu el adefinició nconjun t s − it ad
eKuratow sk i y l s ordinal
55En mu c − h a de
su
conferencias , Saunder sMacLan es ol a p a − l nte rl a siguien e
pregun a a s
uie−n qu
a
oyent56Es e st − oquestiondownHayle−lv−o
´ a g − lBenacerra creaal seriamenteahipótesi
sd
,{∅}
}
equ,qu e2 = ela{∅
sprop e−idade sd e l snú mer s s n esencialmen estructurale s
t − a? Ar tı́culo
8
de Von Neuma n − nf i nito proporciona nmodelo smu ys ati f − s a c − t o ri sd
e l s par s o denados y de lo núm ero naturale s , respectivamente . E s − t ae sun
a r z − aó n bási apo la que l − o s co nu−j nto s o − n mu yimportante spar ala
smatem át c − i a : p e − r m i e − t nm c odel de manera c la r − a y precis amucho
´ i nmá sd i − f ı́cil de manejar c o − n e
sconcepto squ e , d eotr aforma , ser a −
´ o ns e defi e veces de
rigo requerid o . Po re jemplo , e lconcept od ea pl c − i ac i −
man e r − a no m u yprecis aindicand oqu ee sun aregl aqu e au n e e − l m en o ngen
rico le hace c orresponde otr oelement m ediant e certa sopera c i − o ne sm a e − ttmá
tic a Esto puede dar l − u ga a un situació nambigu a s , po r eem p l , n os e ha e
explı́ci cuál es el codo mini de l aplicació n , qu ee su ndat oimpo r − t ant ee nmu
cch s si u − t ciones ma t − e má tica o dond ee snecesari oconsidera rla sa p lca co n s g
o − lb a − l m en e yn como meras regla q u va actuand osobr elo s eemento sun o
´ o conjun tisa p reci s − a todo lo de talle s yn ode j
aun . L ad ef init c i −
aluga r al aam bgi üedad , aun q ee contextos c o − n creto s com lo lenguaje sd
eprograma ci ó n , e t − s aam bi−g üeda d pu d − e ser inc l − u so be neficios a
permiti run amayo rvers a ti i − l da dd e l − o s m s − i m o . Po r ot parte , adem á
d aservi com soport ebásic opar amod e − l a rmucho scon cept sm temáticos —
y e − n gr n − a m edid a , precisament ecom oconsecuen c ad e elo — a teor de
conjun to , ti − e n a plicacione aotra sparte sd ela smatem á t c − i a , n o relac
i − oa − n d
con cues t i − o n e “ u − f n − d acionale s ” s ( si nolvida rqu etambié n t e − i n esu
s p r − o pi s prob e − l ma
que , s i − n dud a fo m − r an part d ela smatemáticas ) . Po rtoda s e s − t a
sr z − a one ss e pue concl u i − r qu e a n − u qu la m atemática sn o “ sea n ” te
´ i ad eco j − n u nt o , l s conjunt son muy imp or t − a nte par la smatemáticas
or−
La objet i − vd−i a
d
el
r i−g r−o y
l
comprensió
“ Curiouser and
curiouser ! ”
crie dAlice
La Gace
( Lewi
Carrol l
Alic e ’ sAdventure si nWonde ran d
En r e l − a c oacute − i n c − o n lo comentario santeriore s , merec el apen a
e−sñ al rex plı́ci t−a men que las o bse r −v ac o−i ne sobr l insuficienci ade
´ o n f r −o m l pa capturar l −a id a−e d demostracia ó
lconcept od eded aucci −
nn odebe nse rinterpretada scom ou n ar−g um en oe favor de una edismi − n ució
de rigo re nmatemá i − t ca s . L aexpe r i − e nc amu est r , fue de toda dud a q u
l formalizació nn oe sun acondi c − ió nne e − c sa r a pa a alcanz ru nivel de r i − g
or muy alt y la demostracione smatem átca sinform al s ref ectia−v men
lo alcanzan parenlef t − a n − u q u e clar oes t á, e l “ rigo rabsolut o ” n oexi
s − t ee nl ape ráctic )a .7E n comunidad ma tmá , tic rar ave zha ydiscrepancia sd
efond osobr el av alid zd eun demos t − r ac oacute − i n y c − un − a d surgen
termina nresolviéndos emá spro n oqu e tar d , s necesidad a l − g n − u a de recurri
a l aform a l − i zació n . Má saún , cuand o l s d − i e sd eun demos t − r ac oacute − i
n s − o n correcta s , n isiquier al aapa i − r ció nd ee r − r o e − r scon cret se
su n asun grave , pues l − o ha bitua e qu etermine nsubsanándos erápidame n t
. Po r e e − j m p l o − comma bien sa b i − do que a − l lversió norigina ld el
´ i un
ademostració nd e − W i e − l sde l eúlt−im o teo e − r m ad Fermat t − e n a −
erro r per opoco sdudaro nd equ el ae s − t ructur agen er l e a correc y como era de
s − u pone r l dificulta ds esuper órápidament e
57René Thom m encion óe n [ 97 ] qu el apalabr a “ r − i go r ” l er c − e u e − rd a e l “
rig rm o rt i s comma − quotedblright pe ro e − s posib rechazar l − a
vis oacute − in
formalist ad ela m atemática s s − i nrenu nc a − i r a l s nivel sd e rig r habituale
84
U npase oalrededo rd el ate or ad e
conjunt
Un e j − e mp o − l de discrepanci aentr m atemá t − i co sl opropo rcona n l sa
r − f i m acion de Lou i − s de B a − r n ge ( u m atemátic oconocid opo rhabe
rdemo s t − r ad ol a co n jetu
de Bieberbach ) d h abe n demostrad ol aHipóte s sd eRiemann . L a g − r a nm ayor
ad los expe rto no consider qu se aas ı́ yl ademostra c − ió nn oh a sd , po r
lmo me
to , aceptada por l − a comunida matemática . Aotr oniv e , e s tam obeacute − i
´
n frecuen e aparici−o n de “ dem ostracione s ” dd eresultado smatem átco simpo t − r
a nt spo rp ar ed aficionados que ha bitualment carece nd elo scono c − imieni to s mı́
i − n mo sim prescind bles para l l − e va a cab u trabaj coherente . Un ave
zqu ee l teoem ad e F r − e ma ha sido demo st r − a d o e problem afavorit oe nest
eámb t − i oparec e s rl a co njetu ad Goldbach p r − o a − b blement edebid a l
asenci l − l e zd es uenun cad o . E lm ed od e dif ur s oacute − i
hab i − t ual de e sta
pret n − e
dida
“ demostraciones ” su e ese rI int−e rne t
(hyphen − e m a i , g r − u p sd
no tici as , pá g i − n a we b et c . ) per ningun ad ee l − l a spas ae l fil t − r oimp ues
opo r l
revistas ma t − e má stica seria s . 5
Tambié npued ehabe r d s − ic − r epan c a − i
s s − o b el a valid de una dem ostració n debida a l aexistenci ad ed i − f erente
sidea ssobr requ ém éo − t d son aceptab le s P o , e jempl o , y as eh m encionad
oqu eun apeque ñ aminor ad em temáticos s ól − o acepta m étodo constructivos
. Si nembarg o , e t − s a s dife r − e nci s es aacute − t usualmen t − e e xplicitada
d form aclar a , d emod oqu en oda nluga r a adiscusoacute − i n i incertidum b
r − e a − parenlef t part e clar oest á, d eposible sdiscu s − i one sfilosófica s . U
nm a e − t m nát co cons t − r uc tivis a − t n aceptarı́ acom ov ál − id aun ademo
sra có nqu e u )tl−ii−z a principi existen cia l − e s como e axiom ad eelecció nper o
, apesa rd e el l , e − t nd r a perfec t − a m en claras l − a s r a o − z ne p o la
qu eotro smatemático sn ocon s t − r u ctio vist s ı́l a conside a − r vá il da .
El gran c onsens existent ee nl acomunida dmatem átc asobr el oqu e constitu una
demo st r − a c oacute − in v o álid proporcion un agra nobje t − i vida d a o − l s
resul t − a d sm at máticos . Ha ha bid episodio e l aha istori ad ela smatem
át i − c a se n l squ e oag−l un de los mé t − o d o u t ilo izado era n dudoso s . U
n j − e empl oe se lus od einfi nité s − i m o , e los sig l − o s XV I y X VII qu e
a pesa rd etod o , cuand oera nusado spo rm a e − t m átic destacado s ra r − a v e
daba nluga r aresultado serróneo sy , andand o l t e − i m p o , fue r − o vindicados
cuando zAbraha−m Robinso ndesarro l − l óe l an ál is sn oe st ánd a . Despu de la r
i − g o ri a c oacute − in q u s llev ó acab oe ne lsigl oXI Xn oh avu e l − t o ahabe
re pisodi históricos simiz lare s en tampoc ofractura simportante se nl acomu nda
dm a t − e m á ti
como , por ej−e mp l o ,l producid ae nbiologı́ apo re llysenk o s − i m o 5
A pesar de lo comentario anteriore s , ha yu ncamp o f − r o .nterz − i oe nt e
a fı́si a las matemá t i − c a sdn−o d s h producid orecientement eu nep i − s o
d oqu e rilust a cel
58 S i − n emb a g − r o , e nocasiones , esta s “ demostracione s ” a l − c anza n cier a e − r
p ercusi nm ediáti ca ( usua mente a n i − v e local ) . Y oh etenid oocasió nd eencontrarm eco nnu
meros a s “ e − d m ostracion e s ” e l − e m e ta l − e s del ú l t m − i o
teorem ad eFerma
y
d el aconjetur ad eG odbach . E nun a ocasi n tu e u naexten charla con un p eriodist
sobr
eun aperson aque , en t − r e o r − t a sco s a , p re t − e nd ah óab r e − d m ostra do raciona
l i − d ad de
πE
periodist atratab ad eave i − r gua rl oqu eha b ad e cier oe n l s eaf i−r
macion s − e este se ñ or
parenlef t − c onsiderado
po
algunos , u ngeni oincompren ddo
) y es a − tb a bastan e predispues o su favo r D u r − a nt
un m edi ahor atrat éd ehace r eve
rl amag n t − i u dd e l s disparat s q e figurab en los e scrito de
aque
hombr
per oe lpe
r − i od s − ita , alegand oqu e
l e o a “ e letr a es ,
e mostra refrac t − a r o − i a
mi a
rgumento sy , a lfina , termin ópreguntándom
: “ questiondown yn o esta r − e m sa n e ot
o c a como el de Ga li l − e o ?
”
59Es t − au − f e u n − a .teorı́ cientı́fic aque , amparad apo re lré i − g me ns oviétic ,
dom i − nó a biolog a
en URSS e n t − r e lo
a ñ o
3 y lo sa ñ o s 6 0 . E llysenkoism
or c − e hazab al a i − d e ad r − a winia ad e a evoluci y la gené t i − c a
d
Mendel
t − a? Ar tı́culo
8
cuentemen t − e a − l i − m p erios necesida dd m antene rlo se t − s ánda r sd e rig
r existent e Me refie r − o al l a − l ma d “ cas Bogdanoe f f ” , qu esurgi óe
n 200 2 , cuand ocom e nza r − o n circular rum ore de q u do hermano sfrancese
´ i
s , Igo r y Gr i − c hk aBogdanoff , h ab a −
consegu i − do pu bls ica n − e revista d efı́sic a ( do sd ela scu al e , Cla ssic lan dQua
nu
Gravity y Anna l of P hysic s tiene nalt oprestigio )c − i nc o r − t a b a j − o scuy o
conten d − i o e absurdo y se s − u o − p nı́ q u formaba npart ed eu nenga ñ od
elberad , com o respues al famoso a r t iacute − c ul q u e efı́sic oAla nSoka lpu
b i − l c óe nl are vi s − t ad es ociolog a S oci Text con el tı́tu l − o “ T a − r
nsgressin
th
boundaries : toward s atran s orm ati e h e − r m neutics of quantum
g ravit y ” . Est earte ı́cul oer aun aparodi a l l − e n ad f ejeg − r a s n senti pero fue
ace p t − a do po l revist creyend oqu eib acom p e − l tament ee n ser i . S
nem bargo , en el c a s − o Bogdanf f −o l arealida der ad i − f erent e , pue se t − s
o sh e − r ma n o , qu e o − s perio disas c o − n ocido po dedicars a re a
i − l za rprograma sd e dv ul−g ac oacute − ins cientı́fi para la t e l − e vis oacute − in y
acababa d consegui rlo s ttulo sd edo c − t o rpo rl aU nivers d − i a
de Borgo ñ a ( G r i c − h k e mateme ática s eIgo re n fı́ i − s ca ) 6 0 co ne l m
i − s m om ateri l pr sente en l − o s a rtı́culo s sostuviero ne ntod omoment oqu el
ain vestga c oacute − i nqu eh aabiacute−a rea il zado e r − a g n − e u i − n a E
asunt odesencaden óun aauté ntc atem pe t − s a de n lmu n de la fı́s i − c a e − t
óri c − a y .la opinione d elo sexperto scomenzaro n aa parec e , a g a − r mayorı́a
´ i culo ser au ncom ple o sinsenti d
con fiman d q u e contenid od elo sa r t −
Uno de l − o s p r m − i ero ofı́s ico smatemático se ndars ecuent ad e el ofu eJoh n
Ba e z − comma q ui tiene una pá g i − n a w b − e [3], dond es epued esegui rl afas
c − i nant eev oluc oacute − i nd l ca s . Ot
buena re f − ee − r nc i − a e a − l Wikipedi [ 16 ]
Es s i − g n f i − ic at i − v a sa−l ú ltim fras d el arecen s − ión , re al zad apo
rRob e t Oec lp ra Mathematic a Re views
de arte ı́cul qu elo sBogdano ffpu b l
k
i − c a o − r ne n a revi s
Classical and Quan t − u m
Gravit :6y
To conc l − u d e
h − te pre sen tpape rfa ll sshor to f s c ie n t − if i c t − s anda r − d san dap
pears to have no m eaningfu
content
No menos categórico e su opinione sha n s − id oo r − t o s fı́s i − c o sd e
sta a − c d o . Po
ej emp l − o, J Distle [ 34 ]
The Bogdanov ’
paper
consis to fbuzzword sfro mvariou sfi ed so fm a t − h e
matical phy sics
strin s theor
an dquant u − m grav t − iy , strun gto gehe rin
syntactic a l l − y c r − o rect gbu semantica ll m eaningles sprose
´ i sic ae n 200 4 [ 9 1
´ e n Da v d − i Gros s premi oNobe ld e f −
y tam b i −
It is easy to
j − u dge
eve
fr m − o th
abstrac talone
, tha tt he s epap e sar
nutt y
Al gen e − r alizars l convicció d qu elo sa r iacute − t culo scar eca nd ev
al o , l a revis Classical and Quane t − u m
Gravit
reae i − l z óun adeclara ci ó n
s − i n pre e − cd ent se n aqu reconocı́a ex plı́ci t − a ment qu l aaceptació
nde la r iacute − t cul od elo sBogdano ffh ab a si un error . D e s − p ué s e asunt
ocomenz ó atoma raire sd eóper ab u f , p r − o qu e ı́surgier − o algunos de f − e
nsore de lo Bogdano a travé sd ela s li t − s a s y for sd e Intern e ,
La Gace
tesi
d
Grichk as etitul
“ Fl uctuation squa n t − i que sd el a sgn atu ed e
à l ’ éch e de Planck ” y el−a d
Igo
“ È ta
topologiqu ed e l ’ espac
´ − e ch el er 0
hyphen − etemp s a l quoteright
61P a r − a no a ltera
e rl
má m ı́nim os ucontenido , c t − i ar él − a so pin o − i n s
60La
am étriq e
sob e
l traba od
el Bogdanoff literalmente
e ne lidiom ae nqu efuero nformulad a
86
U npase oalrededo rd el ate or ad e
conjunt
mayorı́a de lo c − u ale s descubri eventualment equ eera n o − l sp ropi sB
o − ga − dn − o
actuando con nom bre e inventado [ 3 12 Per ol oin t − ee − r sant en oe s
oqu e ell puedan hac e o deci r sin la implicacione sde lcas opar al a c i − e n c
i . N o so o l Bogdanoff co ns i − g uier n − o publica rsu strabajo scarente sd e
sg n − i ficad oe na cin o revi st internac i − o na le de fı́s ic a — alguna sd e e l − l
a spres t − i giosas — yun ad em a e − t m cátic s si que , ademá s o sbt−u viero ne
ltı́tul od edocto rco nte s sdoctor al sd eco nten d − i o s − iam il a ante t r i − buna ,le
internacionale formado spo rinve isi−t gado r − e s e − r con ocid s y despu
de haber s i − do o b jet de numeroso sinforme s ( es o s , amba s tes sfu e o − r n ap
´ o n “ honorabl e ” qu ee sl amı́nim apar apasa r y sg
r − o a − b d con la menc i −
nfic aqu e a tes s
considerada m ediocre )
El con t − e n d − io de lo trabajo d lo Bogdano ffe s a l − t ament e
s − e p eculati o yn tiene sopo r t − e x − e perimental , d emod oqu es ufundament
om aem á t i − c oh ubie a debi j ugar un papel f − u n damenta cuand ofuero
nevaluado san e − t sd es upu rblicació. Pe no parece que h a − y a sid as a juzga
rpo rla sdeclara cone sd eexp ert scom oB a o D i − s t e − l r , de la q u s o deduc
qu e , matemáticamente , lo sa r t iacute − c ul s tampoc o tien sen ti do . Es i − n
q uietant qu lo filtro squ edebe iacute − r a nhabe r s − e r vd op a ad etect r e
absurdo f alla r − a n repetidament e ymá saú nl oe squ ealguno sd e o − l sim rp li
c − a d o sjust fiquen a po sterior q u hay a ocurrid oas ı́. La sconsecuen c − i a sso ng
a − r v spue s pued contribu i − r a arro ja e duda sobr part d el a fı́ i − s c
ateó rc a . Po r e j − e m p l , P . W o
( quien en su lib r − o [110] crı́tic oco nl a teorı́ ad ecuerdas , de d c − i au nca pı́tu o
ente o
este asun to ) declaró ( [ 3 ] )
The Bogdanoff ’ w or
i
significantl
mor
incoheren ttha n jus t a b − o u
anything e l e
b sein p u blished
Bu tt h eincreasing y l y lo w s − t andar do f o − che
rence in
t − he who l
f i e d − l i w .ha a l lowe
the mt othin kthe yw e ed o i − n
s omething
s − e n si b l a
n
t
ge
i tpublished
Es cu rio s − o q u e , inclus oaquello squ e , d ealgun amanera , s emu es r − t a
ncom prensiv con el trab aj−o de lo Bogdanoff , l ohace nsobr el abas ed equ , au
n s e − i nd o esencia
mente i − n comp rensibl e podrı́ quiz ácontene ridea s fı́sca sinter s − e a nt s
parenlef t − a un q e a − t feliz coinc i − d enc a − i p arec ebastant eimprobabl eteniend
´ a nd
oe ncuent aqu eto d s esu t −
acuerdo en q u − e a − l b as m atemátic ae smu ydébi l . E ne s − t a lne a est á lcom
entar
de R . Jac k i − w nine − bracketlef t1] q u ef u “ rapporteur ” d el ate s sd eIgo
rBogdanoff
It showed s ome o riginalit
an
som efamiliar i − t w t − i ht h e jargon
. Tha t
al l I as k
[ . . ] It ’
lik m oder
art
On eperso n look sa t a pie eo fa
and says
ii
gi bberish
anothe
per so
look
an dsay
sit swond erf
[. . . ]
When ps hysic
talk
abou
th
univers
befor eth eBi gBa n
,
t
complete l − y speculats iv e
I
woul tb ver
carefu lb f − e or ec a l l − i n g som g eti h n − i
nonsens e
e s − p e cia ll i I
didn ’
understan di
Más c rı́t i − c o e e premi oNobe ld e iacute − f s ic aFran kW icze k [ 9 1
The pa p − e r has a
lo
o th
righ tbuz zwords . Referee sr e yo nth egoo dw i
of the au t − hor s
[ . . . f T h epape ri ses sentia ll yimpossibl et oread , l k − i e “ Fin
negans
Wake .00 [... T hi
say
somethin gprofoun dabou twha th a − pe − p n
to th eor et i − c a p. hysic
i
th
ab senc eo fth edi s ci p i − l n eo fexpe r − i me n
t − a? Ar tı́culo
8
Es c i − e r o − t q u e e − n est easunt ol m ayorı́ ad elo sreferee sn o hici r − e o n
b i − e ns u t a − r b ajo pues , como s − e s ntilde − e al e − n [3 a l vist ad
elo sinforme sd e aguno sd e ell o , es a − tb − a más preocupad o p o corregi rerrata
squ epo rcomproba rl aló g i − c ad e l s artı́cul o Probab l − e me nt h y − a a r influid
e qu elo sartı́culo ssea nese nci a − l me n eimp osibl sd
leer63 e i − n c lu o − s incomprensibles Per est o , qu el amayo r aint e − r pre
acom o eseñ segura de que c arec e − n d valo r , parec equ eh a i − sd ointerpr e − t
ad opo r ag−l uno s refere como “ no s e en t i − e nde
p er
adelante , n ovay a
se rqu econteng aidea sinter s − e a nt es La f o − r ma y el estil d elo sartı́culo sd
elo sBogdano ffn oso n o − l susu al se nm at máticas — la dm ostracione smatemáticas
, au nn oestand oform al i − z a d s s o , debi a su gran o bjetiv i−d a d un antı́dot
oefica zcontr a stua i − c one scom ol ad escria — yp rece ext r − e madam ent eimpro,
babl equ etrabajo sd eest e i − t p o , qu e agu n sha n l l − a m a “impresi − o nista
s ” pu diera se aceptado se nun arevit amatem lá t c − i ad e cier o pre
tigio 64. S i − n emb arg o lo autore ( ba j os upropi onombr e olo sd e ált r eg
s o − c m Yang o Schwa rt z s ,ha def ends id oe nmucha s oca s − i one sd e o − l s
a − t aque sd e l s fı́ cos a l − e gando q u u − s e trabaj e m atemátic o yqu elo s
cr ı́t i − c o sca re e − cn , po r o tan t
de conocim i − e nto p ar juzga s [109.6]
S eaprovecha nas ı́d equ es u t a − rb a oe
´
sun mezcla de e s − p e culaci n − o fı́sic aco n jerg amatemá t − i c a ya lse ratacado
s o − s b e j l p r − i m aspecto pon e − n énfasi e e segund o Per oha yu nam
pl ocon e − s n o s − obr e e l esca valor de sus ma tm áts ica s ysól ouno spoco spiensa
´ o fı́s ic aqu ehace nd ela
nqu ee is−t epo dr a s r reivindica por la in t − erpretace i n −
smismas . Aunqu e , com ohemo s vis t o , l cı́rculos v icioso no s o − n siempr m
alo s , est en oparec ese ru nbue n e e − j m p od e el l o . En a l − g un o a − c m po
de l afı́se ic aha yun afuert etradici ó nd e t − r ab a o s − e peculati v y es bueno que
s e − a as ı́porqu emucha sgrande sidea s l − parenlef t ateo r ad el a relativ i − d a
d,sn
más l ej−o s ) surgiern−o d eest amanera . Per on otod aespecula ci ó ne sr a − z on
ab e yp are que lo menos q u c − a b exigirl e qu elo sfundamento smatem á
tic s s a − e n sólid o cosa que no o c urr e − n est ecas o . Además , alguna sd
ela sde car ac o − i ne sa nteri o − r men menc i − o nadas u − s gier e − n q u e d
prolifera rla sinve s i − t ga cone sd e es e tp , ha y áre
de la fı́s i − c a e − t óri c − a q u corre e riesg d econve rt r − i s ee ncadena s e − s p
eculativ a s
La Gace
62Hay r a z − o ne p ar
qu
lo sreferee sn oco n iacute − f e ndema sad oe nl abu e − n
a volunt dd
el s autor e Una es que
di c − ha
buen
volunta dpodrı́ aesta rausente , com
oocu rr óe n l ca od e plag om asi de ar t iacute − c u lo de
fı́sic
po
autore sd eUniver i − s
dade sturca s de s − c u bier oe n e agos od e 20 7[1period − bracketright Ot razón es q u e a
u − n qu
se area l , l abuen avolunta dpo rs ı́s o an ob as a pa ah ac r t cienci period − aCom o
´ a n el n − i fiern
r−
est áempedrad od ebuena sinten c − i on e s
63Las an a l − o gı́a
artı́stica y
literaria sd elo scomenta ro sa nterior s v a , cier a − t
m en t , m s a del ficc i − o na limo y
apunta a
l
dificulta dd e critca re ld s − e arrol
´ i ae nl
od eu n rela o fantá s − t i o c argumen to
racionalistas
Ciern tament eas ı́se r −
amet afı́s c − i ad e lT lö : “ L o sm etafı́sic sd e Tl no buscan la ve r − d ad n
.siquier
di el ref
l
verosim i i − l tud : busca ne lasomb r . J uz−g a nqu e
am et a iacute − f si a
una rama de l − a li e − t r atur afantástic a ” [ 1 8
. Per on oparec ede s − e a b equ e
aliteratu rafantá t − s i caent a forme pa r t − e
d a−l
cienci a , pue sserı́ ad eteme rqu ee
lres u l − t ad on o tuvie a gr n calid d nicientı́fi ni l i − tr − e a ri a
64En t − r e .lo artı́culo
d
lo
Bogdanoff , sól oun oe t − s áe nun a revis ad em a
t − e m átic a : Chine Annals of Ma t − hema tics eE [34] [12] lo sBogdano f f — o agun
od e u − s sh eteró n − i m o —
e olvid
(?) en a l − g u a − n o casió
d l apalabr C hines e ys erefiere n as ua rtı́cu oe n Ann a so fM
˜na
at h − e m atic Una pequ e −
dif erencn i a . .
65En t − r e lo
crı́tico
co ne ltrabaj od elo sBogdano vqu e el o − l sha nd escalific a − d
o p rn o conoc erl grupos cuá n stico
suficientemente , figur aAlai nConnes , med allis aF ie l − d
s einiciad rd e a g o − e m etr
no conmuta t i − v a
66A e s t − e respecto
so
oportuna sla spalabra sd eMa cLan ee n [ 9 7 : “ L a co njetu
ah a si o des hace tiempo ace p t − a,a−d y
honrad
e m atemática s . . . ] Per oe l si−g
u e − i nt e p a o tie e q e s r
88
U npase oalrededo rd el ate or ad e
conjunt
Todo e so u n i − do a otra declaracione squ eapunta n aqu el oqu eh a o curr
d − i o e inev i − t ab te−l e i − n clus normal revel al aexistenci ad eu npro bem a
laten equ ev amá allá del ca s − o Bo d − g anoff De , toda sformas , e spo s − i bl esaca
run acon s c − e ue nc ap ositi de todo el a s − u n t o f i nalmente e concept os
´ o na lqu es e refer Manin ha func i − o a − n :d y la “
ocia ld edemo s r − t a c i −
demostracione s ” d elo sBogdano ffn oha n s i − d o acepa−t d por la comun i − d ad
cientı́fic a
´ o n tambié n tien ecabid ae nmatem átcas6 7 dond el a f r − o m
La especu lac i −
´
ulac i − o nd conjeturas es u n − a p art emu yimportant ede lproces od edescu b i − r
m i − e n t , pe on oh as el punto de dar l − u ga a l aaceptació nd eres utado s
i − s ndemo s t − r acó n . N o ob stan t e , tiempos rec i − e nte h n − a surgid
ovoce sfavorable s al aacepta ci ó ncom onu ev sa x i − o m a basándose en u n − a
justificació npragmática , d ehipót es smatem átic squ en oha n si
demos t − r adas y n − e concreto , d el a Hipótesi sd eRieman n ( HR . L a
p r − o pu e s ad e G . Chaitin en bracketlef t − two1 e p recisament eest a : puest
oqu eex s − it eun ae vde nc acompt utac i − o n considera b l − e en sa−f vo de H
R l suficientement epersu asv apar aqu eu n fı́si o
considera s − e ex perimentalment verificada , 6 8 ypuest oqu eH R t e − i n e
c − ocnsecuenci muy impo r t − a nte par l teorı́ ad elo snúmero sp i − r mo ,
deb e s ra c − e p a − td a c − o m ou
nuevo ax i − o m .6a sCom a justificació nadiciona lpar ahace r oaduc el ap osi b l − ii−d
´ i ase n
a dd que HR pu die r − a se n − i o decidibl e , e ncuy ocas on oten d r −
i − td o e − s per r aqu e su r una demo s t − r a c oacute − in rd est ehech opue s
, s ie sa s , entonce sH Rdeb er a s a r “ ve r − d ade r ya que , en o t r − o cas o
´ o n ζ fue de la recta crı́tic
serı́ posibl eencontra ru ncer on o t i − r vi ld el afu nc i −
i−g
a C ,haiti termin as unot aco nla spalabra s s
uient e : “ a ve d − r a puede s
er alcan z − a da a
ntravé d
aproximacione ssucesivas ; l ainsisen c ae n
l
rig instantáneo abso lu t − o e
e s téri
— e st
e sl oqu eh eaprendid od el
aincom p leti u − t d
Hay que t − e ne n − e cuent qu el apropuest ad eChai t − i ne smu y
˜ n di axioma s aZF Cpar adecidi rl ahipót es
diferen ed e l sd los que bus c − a n ar a −
sde lco nt i − n u . E n es último ca s − o ya a − s bemo qu CH y ¬ C Hso
´ − i n ad
nindependien t − e sd eZF C , au n oa s comma
demostración y no más
especulación ”
67U n ma t − e má tic ocontemporáne oqu eh aemplead ométodo s alame n e especulativ s y po
´ o nllev
´ e T h m − o ( u nmedallist aFields ) , aquie ns uprofund aintuic i −
corig rosos es Re n −
ó a obten erresultad muy imp or t − a nte
e
topologı́ adiferencia l ye nl ate o iacute − r
ad e sng ulardad e , much sd el o − s cual esfu ron despu é
d e − m ostrado
rigurosament
epo rotro smatem iátc − i o . E n [ 5 ] s em oencio a u a cu r − i o anécdota q u − e
ocurri
ócuando , e ns useminari ode lIHES , Tho menu nc óu n teo e − r m a y nAdri n Doua — qu i − e
n
a − t m bi eacute − n llegarı́ a
se
u m atemátic od e p i − r mer a lnea —
e
pre−g u n ó si o hab a e − d m o trado
Thom co ntestó
a“No
per me
jugarı́ al
acabez a aqu ee s cier t o ,
oqu e hi o q e Doua murmur as e “ Con
t − o da
la
cabeza
d T ho mqu es eha nco t − r ad oy a [...l] . L a b r i − l lant z espec la ti va de Thom no
parec
00
e
u nargument oconvincent ee nfavo rd el aa ceptac i ne nm a t − e má i − t c a − s la espec u
l − a c oacute − in s i − n demostració
( má sa l − l ád el anecesa r a yha b i − t ua le
´ i
n
a f r − o m ulaci nd e conj turas )
iS se
hicies
as ı́
parec eprobabl equ eha b r −
amucha smá s s − e peculacion s
“ ti oB ogdanoff que
“ .ti − p o Thom ”
y
además ,
inclus ol a “ cabez ad eThom ” , pued en o s r u − s ficien e pa a convenc a un ma t − e má tic o
,Com dic eMacLan ee n [ 9 7 , “ E ntérmino s teológ c − i o , n o somo s salvad s p o r fe s ola
, sino p
o − r.a−l
fy
ola
obra
s
00
68Aunque s h a − n computad om l − ie sd emi l − l one sd ecero sn o trivial sd e
a
funci n ζ y tod s h resu l − t ado
esta
n − e l arect acrı́tic a , d eacuerd oco nl opred i − ch
opo rHR , e l − e val rd e est o − s cálcul os o − c m eviden c i − a en
a−f vo
d HR
e srelativ o , pue sinclus oes enúmer od e cer se sp eque oe n c − o m paraci con el
i − n finito
rmáseimportant parec ese rl aeviden c apropo rc o − i nad apo r
a relaci nd eH R c nume
r − o s o co ncepto y
resultado sd el ateo iacute − r ad enúmero s , e n particul a , c n
a teor
a análo en el con t − e x o − t de v aries dade salgebraica ssobr ecuerpo sfin i − t o , qu ec l − u
m i − nó c n
a e − d mostraci n De l i − g ne de a − l H i − p ótesi
d
Rieman
npar afuncione szet ad eva r e − i dade s s ob ec uerp sfi ni t o s [ 1
69Chaiti−n
a − t m bié
argumenta , po rrazone ssim
i − l ar e , e nfavo rd el a aceptaci nd e q e P 6=
N
t − a? Ar tı́culo
8
propone ace p ta ¬ CH com ou nnuev oaxioma , s − i n omá sb e − i n util iz r otr
sa x i − o m que presumiblement deberı́a nservi rtambié npar aresolve r o t − r a sc
uest o − i ne simp o tantes . El p r − o blma de agrega axioma a ZF Ctambié
nh a sd oco nside a − rd o des el punto de vis t − a de q u e a f ird ecuentas , d icho
´ i n a s − i m s − i m o todas las ma t − e má tica ( e l
saxioma ss ieañ a dir a −
medid ae nqu eesta ss ebasa ne nl a teor ad e conu−j
tos ) y pod r iacute − a n eventualment servi rpar adecidi rcue stone squ en o o − s n
´ i a nnecesa ro
pu r − a m en conjun tista s P o ejempl o Göe de creı́ aqu ese r −
.
snue v s ymá s fuert axiomas con j − u ntista par , decidi rn osol ocues i − t one scom
´ e n probl mas ar i − tmé t c − i o d lo qu es epuede nescribi
oC H sn otam b i −
re nl aform amá s s − i m p l , l a purame n universa l q u − e s é l a − l m ab pr
o b lema
tip
G oldb ac h [ 3 8 . S i agun od e l s prob l − e ma aritmé t i − c os
imp or a − t nte q u permanece nabierto sres u l − t ar a s rin decidib ee nZFC este
hecho p r − o p sorcionarı́ au ngra nalicient epar al abúsqued ad enu ev sa x o − i m a
s − periodE cierto que ya s c − o noce nenunciado saritmético sinde i − c dibl e
, com o lqu e construy Gödel cuando edemostr óe lprime rteorem ad eincom plet i − t
u d , p r − e oaunqu e es e e − n u ciado t i − e ne un interé metamatemátic
ogrand e , s uinte eacute − r spro pame n e ar i − t m é ti se puede de ci q u e nul
o y nunc ahabrı́ asurgid oe ne lco n t − eix od el a teor ad número s P o e s − o
s ha nhech oesfuerzo spo rconstr u renun cado sm a e − t m á ti c − a m en interesan
.tes en e c − a mp d l combinatori afinita , qu esea nindepe ndient sd e
aritmé t i − c a de P a − e n o inclus o , d eZFC . E lprime r eem p od e es e
tp o f − u e constru do por J . P ari y L Harringto [ 93 ] y , poste r − i orment e
, H . Fr e − idma nh a cont i − n u a
produc i − e ndo e u − n nciado d combinatori afinit a ( rela c − i onado sco nl a teor ad
eRam
sey ) cuya r esoluci oacute − n requier el aexistenci ad ecardinale sgrande s ( v éa s , po
r e e−j m p l
[ 48 ] ) . S i − n emb a g − r o l − a demostració nd eesto senunciado se sm t − e
am a t − eemá ti c , pu s
basa en probar q u so equivalente s al a 1 - con s i − sten i − c a ( un a f − o rm a fuer
ed e econsi
tencia ) de una extensin ó d Z F − C mediant ecardin ae sgrande s , po r e s ,
a pes rd la indudab l − e mp or a − t nncied lo sresultado sd eF r − i edman , qu
econ ec a − t ndo sá mba it tan a lej ados en ap arienci com oso nl acombinato r − i
afin t − i a y l − o sc ardn al s g a − r nd e Feferman no lo acept com oun a
justificació npar apo s − t ula rl ae xis e − t nc ad e dich
cardina l − e s three − bracketlef t8.] 7 Po otr apart e , n oha yningun aeviden
c − i aqu eapoy el ai hipótes sd que alguno de lo p roblema aritmético s formulado
spreviament e a est s constru ciones v a − y a a resulta indecidible , ytampoc oparec
ehabe r ae ne lc a od eHR . E hecho de que l − a solucir ó d u nproblem atard ee
nenco n r − t ar en ocu e n a c − o m o ev dencia de e s t − e t p − i o p ue bast
apensa r , po re jemplo , e nl oqu es et a − rd óe n encontr
La Gace
´on
70La cue s t i −
d es ila smatemática snecesita nnuevo sa xoma sh a s d − i o o bje od
e discusi ó n , a d − e m de en bracketlef t − f our0] en a − l list FOM
( Foundation so
fMathem atic ) [ 4 2 , a part rd em a od e 200zero − period P r − o u parte , J
S t−e
e
defiend el anecesida dd equ ela smatem átca sado p e − t nnu ev sa x i − o m a — n concret
axiomas de c ardinale
grande —
puest oqu eesto sso nnec e − s ari sp a a
a teor ad e conjunto
period − s P otra , H
Fr i − e dman y
S . G . Simpson , proponente sd el a lamad a matem
rátc − i ainver a ( “ rever em ath ma t i − c s ” )
sostien n − e
qu eest eargument on oe
ssufi cente , pue sl a teor ad e conjunt s es ád − e masia al ej ada de
lo
problema
concreto
s ycomputacion a l − e squ e o − f rma n ı́ ln úcl od e l sm a t − e m ái − t c a La matemá t
i − c a invers
[ 104 ] , as ı́llamad aporque , pa rtend od e teo e − r ma sm a t − e m átic s concret
s − o “ marcha a trás ” b uscand olo saxioma snecesario spar ademo s t − r arl o , preten e establec
r − e conexion más es t r − eh − c a
entr
l
teorı́
d
conjunto s ( ylo s si s − t ema
s o − f rm ale ) y l sp art s central sd
el matemá t i − c a s
sesfuerzo sd eF r i − edma n pa a establec r conexion s ent los ax
s yl acombinat o i − r afin i − ta
sEsa−t e ide
i − o m a .d
guı́ a tambié nlo
cardinale sgrande
90
U npase oalrededo rd el ate or ad e
conjunt
la demos t − r a c oacute − in de teorem d Ferma t .71Además , l oqu es eb u s − c aa l
resolv rH
es comprender a lg m u abásic o , l arelació nentr el aa dici ó n yl am ultiplicaci ó n
. 2 questiondown qué a ñ a dir iacute − a a n uestr comprensió ne lacepta r , i − s
nmá , aH Rcom o v e − rd adear
A pesar d t − o d o ha qu ereconoce rqu eacepta rH Rs er amu y diferen
e a ace tar las espe cu l − a c o − i ne tip Bogdanoff , pue saqu ı́e l s − i gnificad
´ i mo aceptando estar iacute − a p erfectament clar ( ademá
od el oqu e estar a −
sd etene rapoy oheu rı́sti o y x − e per
menta l ) Aun as ı́ l − a comunida m atemátic ae ngenera le scom pleame cn e reac
a hacerlo . No só l − o no ha evidenci convincent ed equ eH R e − s aindem
´ i aconsecuen c
ostrab e si que hay que adm i ti l posibilida d — aunqu etend r −
r−a
a − i s desag
d able
de que pu die r − a resulta fals ( as ı́l ocreı́ aLittlewoo dante sd es um uert e .
E s on impide e s t − u dia la consecuencia d H Ry , d ehech o , s eha ndem
ost a − rd om uch resultados intere s − a nte qu depende nd es uve i − rf ica c − ió n
— s e − i nd o es eu n ar−g um en importan t − e en a − f vo d el eamisma —
per o , teniend oe ncuent al a t − r a dict oacute − i nm a t − e m á ti c no parece muy n
ecesari cambia rartificialment es ue s − t at u . E sp osib equ ed e es forma se d e − s
´ o n y ln o
a n m − i a r − a n lo esfuerzo spar aobtene run ademo ssr−ta c i −
buscar supond r iacute − a — n − e e mejo sd lo caso s , e sdeci r , suponiend
oqu eH Rn o s a fal — una dob l − e e − rn − u nci a n − e l m edid ad equ el
´ o n s n − i o t − a m bié
ademostra c − ió n jueg an o só o lp ap ld verifica c i −
´
´ i mo renunciando
e d eexplicación . A lrenun i − c a r al av erfic ac i − o n estar a −
al rigo inherent a la demostracione smatem á t i − c a , ya l e − rn − u nci r
´ o n r n − e u nciarı́amo a l aposibil ida dd eobtene run am e
la exp li ca c i −
j − o rcom prens oacute − i nd algunos conce pto aritmético sbásico s ytod o e l − lo ,
aparenteme n t , acam b od en a d
Epı́logo
A l − o a − lr − g o d la seccione anteriore shemo s v s − it oqu eha yr
a − z o n sp a a pens que nue s − tra com prensió nd elo sconjunto sn oe sta npe rect
acom os ugie es u sen c l − i l estructura l y q u l p osibilida dd ereduci rla smatem f á
´ e n ba s a − t nt discutibl y e ntod ocas o
tca s al a teor ad e conjunt es tam b i −
, d i − st amuch od e s r real z − i ab ee n prác ti ca La p rime r − a cuestió etien
com oconsecuen i − c aqu el a t − e or ad e conjul nt se haya de sarrol l − a d com
un discip i − l n amatem átc aco nsu sproı́ pi s prob l − e ma — algunos muy dif
ı́cio le — y est oafect atambié n al asegunda , pue se linter sd e l conjuntos no s − e
circunscrib y a lo problema sfunda con al e . Am b sc ue stion plantean p r − o
b e − l mas filosófico sinteresante squ e , salv oe n aguno sc as se axtr−em o comma − s
n parecen t − e n e a p n − e a influenci ae ne ldesarro l − l od el aprá lc t c − i am
oaemá ti c . A pes de todo , l − o s c onu−j nto proporciona nu nlenguaj equ ee ,
al av e , mu y e c − oanóm i o muy poten t − e y est lo hac eidóneo spar amodela
rs at s − if act orament e g r − a n cant d − i a
de fenómen o en m atemática s ytambié ne ninformá tc a ( aunqu e el on osup o − n g a
q
71Y en
l − a p otenci
d lo m étodo squ ehub oqu edes a r − r ol l − a rp a a ell , qu e v
´ i pensa a
nm uc o m s a de lo que
s − e po dr a −
parti rde lenunciad ode lteorem
72En pa l − a bra
d
B
Conrey
citad
e
[ 10 0 ] : “ L aHipót aes sd eRieman
ne s
a conexi n m básica que exis t − e e ntr .a−l adici, ó y
l mu nlti p l − i
cación , as ı́qu ey o p e − i n oe n el ae n l s t eacute − r m in más s en ci l l − o s como
a lg
realment
abásic oqu en ocomprendemo ss o b el a relac oacute − i n ent e adici n
multiplicación ” T ambié
A
Connes , citad oasimism oe n [ 10 0 :
“
. e s p rob ab
l − e m en e r l − e p r ob l − e m más básico en ma t − e má nticas e
e
sentid
d equ eentr l − e az al aad. ici. ó n y l am u l − t iplicació . E su profundo aguje r − o en n
uestr
comprensió
o00
n
t − a? Ar tı́culo
9
esta tenga que se l − aú n ic a — y , e n ocasione s , n i i − s quier al a m e j − o r —
o − f rm ad e hacerl o
Por todo e l l − o s p ued deci rqu e , co nindependenci ad elo spro b e − l ma s f − u n
dac o − i nal e
la teorı́a de co enj − u nto sigu esiend oun apart emu yimpo t − r a n ed e l sm a t − e
m átic a
La Gace
Referencias
[12]
[ 1 ] 2007 P l − a giari m − s Rin Affai r e htt p : / / ww w .
eureka journalwatc
h . or
index
period − pp − h slash − two0 07 underscorePlagg iarism underscoreRing underscore A f fai r
[ 2 ] P . Acze
l Non W e ll - Founde dSets , CSL ILectur eN ot e , V o . 1 , CLS IP ub
ca t i − o n s S a − t nfor d 198 8
[ 3 ] J . Bae
z
ht t − p : // mat h . uc r . edu / home / baez / bogdanoff /
[4] J.
Bagaria
Natura axiom o se ttheor yan dth eco ntnuu m
prob l − em , e
http : // w − w w
. cr m . cat / Publ ica f tion s / 4 / pr 5 9 1 . pd f
[ 5 ] M . Balague
r
Pl atoni s − m an
anti - Platonis mi nmathem
ati c , O xfo dU n i
Pre s s 1 nine − nine 8
[ 6 ] M . Bar
r
Termina coalgebra si nwe l l − hyphen founde dse ttheo r
, The o re tic lCom
puter Science 1 one − four (1993), 299 – 3 1 5
[7] J.
Bar
w i s−e y
L
Mos s
Hypersets Math
Int el
i − l gence
r 1 3 parenlef t − one991 , n .
31–4 1
[8] J.
Bar
w i s−e y
L
Mos s
V i c iou
Cir cl e s
O
th
Mathem a ti
so fNon
Wel l − f ounded P h n − e om ena , CSL ILectur eNote s 6 0 , CLS IPu blicat
i − o n comma − s Stanfor
1 996
[ 9 ] P . Bena
c−e r−r a f
Wha tnumber scoul dno tb e , e n [ 1 0 , 272 – 29
[ 1 0 ] P . Benace
r−r f −a y
H
Putna
( Ed s . ) , Ph i − l o
soph yo fMathem ati c , 2 n d e d
Cam br i − d g U ni v Pres s 198 3
[ 1 1 ] J . Berste i − n y
S
Gelbar
( Ed s . ) , Introdu c i − t o nt
ot h eLan gand s prog r−a m
B i − r khä use r 2 0 3
F . Besnar
d
htt p : / / pers o . orang e . fr / fabie n . b esnard / bogdano
f f .
[ 1 3 ] A . Blass y Y
uG
urevich , Wh ySet s ?, Bu l l e t − i no fth
eEu o − r pea nA ssociat i − o
for Theor et i − c a Com pute
S c ienc e 8 4 ( 2004 ) , 139 – 15 6
[ 1 4 ] A . Blas
sY
u
Gu
revic y
S
Shelah , Ch oc ele sp
oynomi l t − i m , A
n
Pure Ap
p l L .ogi 10 (1999), 141 – 187
[ 1 5 ] A . Blas
sY
u Gu
revic h y J . Va nde nBussche , Ab s
t − r ac t sta em achin
and comp utationall ycomplet equer ylanguages , Inform a t − i o nan dComp
utat o − i
174(two − zero0 2) 20 – 3 6
h t
[ 1 6 ] Bogdan o − v Aff ai – Wikipedi a htt p : / / e n . wikipedi a
org / wik i /o − B g da n − ov
Af fair
[ 1 7 ] E . Bomb i − e r i , Problem so fth eMi l − l ennium : th eRieman
nHyp o − th es i comma − s e n ht pt
a − y mat h . org / m i llenn u − i m /Riemann underscore Hypothesis / r ieman n − period
[18] J.L.
Borg
es
Tlö n Uqba r Orbi Ter t − i u s , e n
Ficcio n e , Al a − i n z a Editoria
1 971
.
/ / www .
c l
p
92
U npase oalrededo rd el ate or ad e
conjunt
[ 1 9 ] J . R . Brow
n P hilo soph
o fmathematics : a nintrodu c t − i o
nt oth ewo r do f pro
and pictur e s , Routledge y 199 9
[ 20 ] The CALCULEMUS pro jec t , e n htt p : / / ww w . ca lculemu s . ne
[ 2 1 ] G . J . Ch
aiti n T hought so nth eRieman nHypothe s i , Math . I
n t ell i g − e nc r 2
( 2004 ) n o 1,4 – 7
[ 22 ] P . J . Cohe
n
Se
theor
an
th
continuu mhypothe s i , B e nami n , 19 6
[ 23 ] D .
Corf i − e l d
To
ward a
philo soph
o
rea
lmathem ati c , Camb rid e Un i
Pre s s 2 zero − zero 3
[ 24 ] H . G . Dal
e s T h m athematicia na s aform ali s , e n [ 2 5 , 1 81 – 2 0
[ 25 ] H . G . Dal
ey
G
Oliver
( Ed s . )
Trut hi nMathem a
ti c , Cla r − e ndo n Pre s
1 998
[ 26 ] D . van Dan
t zi g , I 1 0 1 0 1 a finit enumbe r ?, Diale c t − i c a
9 ( 1955 – 5 6 , 27 2 – 2 7 [ 27 ] P . J . Da vi y
R
Hers h
Th eMathematica
lExperien c , B i − r khä us e , 1 9 8
[ 28 ] P . Dehorno
y
Au - del d uforcin g : l ano t − i o nd ev ér t − ié
essentiel ee n théor
des en s − e m ble s e n htt p : / / ww w . mat h . un icae n . fr /
~dehornoy / srvey
s . ht m [ 29 ] P . Dehorn
oy
Progre srécent ssu
r l − quoteright hypoth è s ed uco ntn u ( d a − quoteright p r sWo odi n
Sem i − n air Bourbaki expos 9 1 5 , mar s 200 3 , e n htt p : / / ww w . mat period − h unic a − en
fr / ~deho
rnoy / survey s . htm l
[ 30 ] O .
De i − s e
r
Or te
Li s ten
Aggregate
Hab ilt a i − t
o n s − s ch ri f , F re eU niversit
Be rli n 2zero − zero 6
[ 3 1 ] K . Devlin
The
Jo
o
S et s , Springer - Verla g , 199 3
[ 32 ] K . Devlin
htt p : / / ww w . ma a . org / dev lin / dev lin underscore6 underscore01. htm l
[ 33 ] E . W .
D ij k s − t r
a
Rea mathematician do n pro v e n htt p : / w − slash w
w . s
utexas . e
du / user s / EWD / ewd 10 xx / EWD 1 0 1 2 . pd f
[ 34 ] J .
D i−s t e−l r
htt p : / / g o le m . p h . utexa
s . edu / ~d is tler / blog / rchive
375
. htm l
[ 35 ] H . D . Eb
b i−n g
a − h u s , I sther e alogi cfo rpolynomia l
t − i m e , L o g cJourna lo f
t
IGPL 7 parenlef t − one 999) 359 – 374
[ 36 ] P . C .
Eklof y
A.H
Mekler
Almos tfre emod ule
. Se
tt he o re t cm e t − h o d
rev i − s ed e ditio n North - Hollan d , 200 2
[ 37 ] Exp erm enta M athematic sWebsite , htt p : / / ww w . experimentalm a − th . in f
[ 38 ] S .
Feferma
n
Doe mathematic snee dne waxiom s ?, Am e
. M at . Mo nth
106(1 nine − nine 9) 99 – 1 1 1
[ 39 ] S .
Feferma
n
Predicativity e Th
Oxfor dHandboo ko fth
eP hil o s − o h − p yo
Mathema tic a
n − d Logi
( S .Shapn ir o , E d . , Oxfor dUniv . P re s , 2 0 0
[ 42 ]
[ 40 ] S . Feferma
n
H period − M Friedman , P . Madd y
J.
Steel , Doe sm a h − t em a ti
need new a ?xioms ( Pr oceeding so f asympo s − i um , B u l le i − t no fSym b
o l c Log
6 ( 2000 ) 4 1 – 44 6
[ 4 1 ] J . Ferre i − r ó s L a byrint
o
Thought : Ahistor yo f s e ttheor
yan d i s r o ei
modern ma t − hema tic s
Birkhf äuse r , 199 9
FOM archive s e − n htt p : / / ww w . c s . ny u . edu / pipermail / fom /
t − a? Ar tı́culo
9
[ 43 ] M . Forema
n
Generi cLarg eCardinals : Ne wAxiom s f − o rM
t − ahem ati c s , Do cumenta Ma th .
Pr oceeding o th eInterna t − i ona lCong
re so fM a h − t em ?atic Vo l I I ( Berli n , 1998 ) , p p 11 – 2 1
[ 44 ] M . For t y
FH
onsell , Se ttheor w it hfre econ s t − r u ct o − i
np rincipl e , A
n
Scuola Norma l S uperior
d iPis
1 0 ( 1983 ) , 493 – 52 2
[ 45 ] A . Fraenke
l
Y
Bar - Hille l y A . Levy , Found a t − i
on so f s t
theor , 2 n ed . No r t − h− Hollan d 197 3
[ 46 ] C . Freil i − n g
Axiom o f sm−y metr y : Throwin gda r sa tth
e re l li n , . Sym
bolic Lo g i − c51 (1986) s 190 – 20 0
[ 47 ] E . Frenk
el
Recen advance si nth eLangland sprogram , B u l .
Am e . M at
Soc .41 parenlef t − two4) 151 – 18 4
[ 48 ] H . Fr i − e dma
n
Finit efunction san dth enecessar yus eo f
a − lr − g ec ardina l , A
n
of Mat h 1 four − eight (1998) 803 – 89 3
[ 49 ] K . Göde
l T h Co
n si s tenc
o ft h
Continuum - Hypoth es i
, P rince t − o n Unive s i − ty P res s , 194 0
[ 50 ] K . Göde
l On Formall yUndecidabl ePropo si t − i on so f Prn cip
aM a h − t em a ti
and Re lat e − d S ystems , e n Fr m − o Freg et oGöde l ( J . va nH e ij eno
o r , E d .parenright − commaH arva Un i − v ersi y − t Pres s 196 7
[ 5 1 ] K . Göde
l W ha i Canto r ’ sContinuu mPro be m ?, e n [10, 47zero − endash48
[ 52 ] J . A .
Gogu
e n A categorica lman i − f est o , Math
. Str u
c
. Comp . S c . 1
( 1 9 9 1 49 – 6 7
[ 53 ] T . Gower s W ha i th differenc ebetwee nnaiv ean dab s t − r a
t s t theo r y en ht
t − pslash − colon slash − ww − w. dpmm s .c − am . a c .
uk / ~wtg 10 / settheor y . htm l
[ 54 ] Yu . Gure
v i − c h P latonism , Constructivism , an dComp ut rP
roo s v . Proo by Han d Bu l l et i − n of th eEuropea nAssociatio nfo rTheor et c − i
a lComp ut r S c i − e n ce 57(1, nine − nine 5) 145 – 16 6
[ 55 ] K . Hrba
c−e k y
T
Jec h
Introductio nt o s e ttheory , 3 r
de d , M arc lD ekk e 1 999
[ 56 ] N . Immerma
n D e scriptiv
Complexity , Sp r − i nge hyphen − rV erag , 199
[ 57 ] C . Ivorra C
astill o
Lógic y
teorı́ ad econjunto
, e n htt p
: / / ww w − period u v . e ~ivorra / L − ibro s / Log ic a . pd f
[ 58 ] C .
Ivorra
C
astill o
Prueba
d
consistencia
e htt
p : / / ww w − period u v . e ~ivorra / L − i bro s / CONJUNTO S . pd
f
[ 59 ] A . Jackso
n T h e I − H E Sa tforty , Notice so fth eAmerica nMa
t. So. 46
( 199 9 329 – 33 7
[ 60 ] B .
Jacobs y
J
Rutten A tutoria lo ( Co ) Algebra san d (
C o ) n ducti o Bulletin
of
t − he E uropea ,Associatio nfo
n Theor e i − t
ca
Comp u t − e r IS c e − i nc e 6
(1997)2two − two – 25 9
[ 6 1 ] R . Jense
n T h efin estructur eo fth econstru c t − i b eh e − i r a
r − c h , Ann . M at . L o g
4 ( 1 972 ) 2 , 29 – 30 8
La Gace
[ 62 ]
V.F.R
Jon
es A
cred oo fsort s , e n [ 2 5 , 203 – 2 1 4
94
[ 63 ]
U npase oalrededo rd el ate or ad e
conjunt
S . Kahr s A formalis t ’ sperspectiv eo fmathem a ti c , e n htt p : / / ww w . c s . u c
ac . uk / pe
opl e / sta f f / smk / manifest o . p s
[ 64 ] A .
Kanamo
ri
Th
highe
infinite
larg
cardinal si n s
e ttheor y fo m
t he
beginning s 2 n − d e d .eSpringer − Verla g , 200 3
[ 65 ] S . A . K
r i−p k
e O utlin o f atheor yo ftrut h , Journa lo
fPh io soph y 7 2
( 197 5
53 – 8 1
[ 66 ] K . Kune
n Set
theory . A nintroductio nt oindependenc epro o f ,
N o r − thyphen − hH ol l − a n
1 980
[ 67 ] I . Lakat
o s Pr
u eba y
refut a c iones , A l − i anz aEd t − i ori a , 197 8
[ 68 ] C . W . H
La
m T h searc hfo a finit eproje c t − i v eplan eo
forde r 1 , Am eri a − c
Mathema t i − c a Mo
nthl
9
( 19 9 1 ) , 305 – 3 1 8
[ 69 ] F . W . Lawv
e−r e
Variabl equantitie san dva i − r abl e s t − r
u t − c u r si n t − o p o comma − i e n Alg
bra ,
Top o l − o gy a
d − n Categor
Theor
( A . H ele r , M . Ti
e − r n e , E d s . , A ca e − d m
Pre s s 1 nine − seven 6 p p 1 1 – 1 3 1
[ 70 ] F . W . Lawv
e−r e y
R
Rosebrugh , S et sfo rmathem a ti c
, Camb rid e Unive
s i − ty P res s 2 0 3
[ 7 1 ] P . Madd
y
Believin gth eAxioms . I , I I . J . Symb o l − i cLo g c
53 one − parenlef t988parenright − comma 481 – 5 1
736 – 76 4
[ 72 ] P . Madd
y Re a li s − m n − i mathematics , Oxfor dUniv . P re s , 19 9
[ 73 ] P . Madd
y Na turali s − m i
mathematics , Oxfor dUni . P re s , 19 9
[ 74 ] P . Madd
y
H o − w t b anatura i − l s tabou tmathem ati c , e n [ 2 5 , 1 61 – 1 8
[ 75 ] E . G .
Manes
y
M.A
Arbi b
Alg e brai
approache
st op r − or − g a m sema n ti c
Spr i − n g er - Verla g 198 6
[ 76 ] Yu .
I Ma
ni n A C ours
i
Mathematica lLogic , S p r − i ng e hyphen − rV erl a , 1 9 7
[ 77 ] Yu .
I.
Ma
ni n
Contribució a l discu s − ió ne T h
etheor yan d p r acti
eo
proo f
1
Pro c o th 7 t hInternationa lCongres so nMathem a tic lEd
ucati o Mon t r − e a l 199 2
[ 78 ] Yu .
I Ma
ni n
Geor Canto ran dhi she r tag e , arXi v : math / 20924 4
( 200 2
[ 79 ] Yu .
I Man i n
Th enotio no fdimensio ni ngeome t − r yan d ag−l e
b r , B u l . A me
Math . So c 43 , ( 2006 ) 139 – 1 6 1
[ 80 ] Yu .
I Man i n M athematica lknowledg e : intern a , s o ci lan dc
ultur l aspec t
arXiv colon − m a th zero − slash, 703427 v
( 2007 )
[81] A.RD
Mat
hia s A te r − m o flengt h 4 , 52 3 , 65 9 , 42
492 9 , Synth e e 13 3
( 200 2
75 – 8.6
[ 82 ] J . P . Mayb
e−r r
y
Th efoundation so m
at hema i − t c
si nth et heor yo f se t , Cam
bridge Un iversit Pres s Cambridge , 200 0
[ 83 ] W .
McCun
e
Solutio o th Robbin Pro bem J
.
Autom a t − e d Rea o − s n i − n
19(3)(1 nine − nine 7), 263 – 27 6
[ 84 ] J . D . Mon
k Ma thematica
Logic , Springer - Ve r − l a g , 197 6
[ 85 ] Y . N . M
o s−c h
v − o aki s
N ote
o nSe
Theory , Sp
r − i nge hyphen − rV er l − ag , Ne w Yo r , 199 [ 86 ] L . Mos
s P a r−a
metri Corecursion Theoretica lCompute rS ce n e 26 0
(2001
1 39 – 1 6 3
t − a? Ar tı́culo
9
[ 87 ] D . Mumfor
d
Th edawnin go fth eag eo fst ocha s ticit , e n
Mathem a ti c : F r − o n
tiers and Pe rspective
( V . Arnol d , M . A t − i ya h , P . La x y B . Maz u , E d s . , Am
r i − c an Ma th m − e atica sSociety , 2000
[ 88 ] E .
Ne l s − o n
P redicativ
arithmeti c , Mathem atca lN ot s
3 , Prince o − t nU n
ver si t − y Pres s 198 6
[ 89 ] E . Nelso
n
Confession so fa napostat emathem atica n , e n htt p
: //w − wperiod − w m a − th
princeton
.e − d u / ~n e l son / paper s . htm l
[ 90 ] M . O j − e da Ac e − i g o , Lógica , matemática , deduc c − ió
nautom á ti c , L aG a ce ad
la RSME 8
( 2005 ) 93 – 1 1 9
[ 9 1 ] D . Overb
y − e ( ar tı́cul oe n N w − e Y or kTimes ) , e n htt
p : / / quer y . ny t
i−m e
s . co
gst / ful l
p − a g e . htm l ? r es = 941 E 4 D B 14 3 1 F 93 AA 35752 C 1 A 9649 C 8 B 63& s ec
& spon equal − ampersand a − p g e − w anted = a l l
[ 92 ] R . J .
Pa
r i−k h
Existenc an feasib ilt yi n ar t − ihm
et i , J
. Symb ol c Log c 3
(1971)4nine − f our – 50 8
[ 93 ] J . Par i − s y
L Har
rington A mathema i − t ca lincom ple
t − e ne si nP a − e n o arit
me t i c en Hand b − o o kfo
mathematica l logi c ( J . Barw s − ie , E d . , Stu
di si nL og
and t − he F u − o n dation so Mathematics , North - Ho l − l an d ( 197 7 , p p . 1 e three − one 3 – 11 4
[ 94 ] H .
Putna
m
Mathematic withou found a t − i on Journa
lo fP h il o o − s ph y 6
(1967)5endash − two 2
[ 95 ] W . V . Q
u i−n e
Th eway so fparadox , e n Th eway so
fparado xan d ohe r essay
2 nd e d . Ha r − v a d − r Universit yPres s , 197 6
[ 96 ] Y .
Rav
Why do we prov theorem s ? Ph i − l o sophi
aMathem at c − i a
7
( 199 9
5 – 41
[ 97 ] Re s − p o nse o − t quotedbllef t − T heoretica lmathematics :
Towar d ac u t − l u r lsy s n − t hes so fm a
hema t ic a n − d theoretica lphysic s ” , po r A . Jaff e y F . Q i − u n n , B u l
. Am e . M at
Soc . 30 s ( 1994 ) 178 – 20 7
[ 98 ] J . Ro i − t ma
n I nt o − r du ct io
t
moder n s e ttheory , W i l − e , 199
[ 99 ] B . Rus s − e l − l y
A.NW
hitehead , Pri n ci pi aMathem
at i − c a ( ha s a ∗56, Par
ninf o 1 nine − eight 1
[ 1 0 ] K . Sabbag
h Dr
Riemann ’ sZeros , Atla n t − i cBoo k , 200 3 [
101] S.
Shela
h
I − n finit abelia ngroups , Whitehea dpro be man
dsom e constru
t i − o n s Israel
J Ma th
1
( 1974 ) , 243 – 25 6 [ 1 2 ] S . Shela
h T
h futur eo fse ttheory , e n S e tTheor yan dth eR ea l , 1 – 1 2 , Isra
La Gace
Ma t − h Co nf Pr o c 6 Bar - Ila Uni v Rama tGan
, 1993, hyphen − e p ri te n a
r X − iv
math period − L O / 0
2 1 139 7
[ 1 3 ] S . Shela h T h egeneralize dcontinuu mhypothe s sre visi t − ed , SH 4 6 , e n
ht tp
/ / she lah
. logi c . a t /
[ 1 4 ] S . G . S imp s − o n S ubsystem o fSecon dOrde rAr t − ihm et i , Sp rn ge
r − hyphen Verl a comma − g 199
[ 1 5 ] R . Solo v − a y A m ode o se theor yi nwhic hever yse to f rea s sL ebesg
meas u r − a bl e An
n
o M ath . 9 2 ( 1970 ) , 1 – 5 6 [ 1 6 ] R .
Taylo
r
Galoi representation s , Ann . Fac . S c
. To uous e 13 parenlef t − two04, 7
119
96
U npase oalrededo rd el ate or ad e
conjunt
[ 1 7 ] T . Tymoc z − k o N w − e directi on si nth eph i − l o soph yo fmathem a ti
c , Bi k − rh
äus e
1 986
[ 1 8 ] H . Wan
g T h concep to fse t , e n [ 10 , 530 – 57 0 [ 1 9 ] P .
Woit , htt : p
/ / ww w . mat h . c o l − u mbi a . edu / ~w oit /
b log / archives
zero − slash 0zero − three4 html
[ 1 1 0 ] P . Woit Not E v e − n Wrong Th eFailur eo fStrin gTheor yAn dth e Sea
c−r h f
Unity in Phy sica L aw , Basi cBooks , 200 6 [ 1 1 1 ] W . H .
Woo
di n T
h Continu u − m Hypothe s i . Pa r s Ian d I , N o tic so f
t
Ame r Ma th So c
4 e ( 20 0 1 ) , 567 – 57 6 ; 6 81 – 69 0 [ 1 1 2 ] The Z No tatio
n e htt p : / / v l . zuse r . org /
José Lu i − s Gómez
Pard o
Departament od e Á lxebr a , Unive rsdad ed eSan t
a − i g od eCo mpo
tela , 1 5782 S
a−n t a−i g
d
Compostel Correo e l − e ct oacute − r nico
pardo @ u s c . e