matematicas para gastronomia elaborado por

TECNOLOGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES
DEL ORIENTE DEL ESTADO DE MEXICO
LICENCIATURA EN GASTRONOMIA
ELABORACIÓN DE
CUADERNILLO DE APUNTES:
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
ELABORADO POR:
ING. ELIAS SILVERIO MARTINEZ
LOS REYES LA PAZ ESTADO DE MEXICO
2012
2
TABLA DE CONTENIDO
Pág.
INTRODUCCION
UNIDAD 1. Algebra..........................................................................................
5
1.1 Conceptos Básicos…………………………………………………………….
6
1.2 Operaciones Algebraicas……………………………………………………..
6
1.2.1 Suma, Resta, Multiplicación y División de Monomios
y Polinomios.................................................................................
1.3 Potencia de un Monomio.........................................................................
11
1.3.1 Potencia de un Monomio……......................................................
11
1.3.2 Cuadrado y Cubo de un Polinomio…...........................................
12
1.3.3 Binomio de Newton......................................................................
12
1.4 Productos Notables..................................................................................
14
1.5 Descomposición Factorial.......................................................................
19
1.5.1 Factorización de Monomios y Polinomios…..…………………….
20
1.6 Sistema de dos Ecuaciones Simultaneas de Primer Grado con
dos
Incógnitas………………...................................................................................
22
1.6.1 Método de Eliminación por Igualación…………...........................
24
1.6.2 Método de Eliminación por Sustitución……………......................
25
1.6.3 Método de Deducción……...........................................................
26
1.6.4 Método de Solución por Determinantes…………….....................
28
1.6.5 Solución Grafica……….................................................................
30
1.7 Ecuaciones de Segundo Grado……………………..……………………..
1.
7
31
1.7.1 Método de Completar Cuadrados…………..................................
32
1.7.2 Formula General……………………………….…………………….
35
1.7.3 Método de Factorización…………………..…………....................
35
1.7.4 Método Grafico……….…………….…………………………………
36
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
3
UNIDAD 2. Funciones Matemáticas y Ecuaciones
Lineales...…………………………………………..…………………………………
38
2.1 Definición……………………………..…………………………………
41
2.2 Dominio y Rango Restringidos….…….............................................
42
2.3 Funciones Multivariadas Básicas…….……......................................
42
2.4 Representaciones Graficas de Funciones
Matemáticas……………….……………….…………………………...
2.5 Formula Pendiente Intersección………………….…………………….……
43
44
2.5.1 Interpretación de la Pendiente……………….…………….……….
45
2.5.2 Intersección con el eje Y………….…………….…………………..
47
2.6 Determinación de la Ecuación de una Línea Recta……….…..………..... 48
1.
2.6.1 Pendiente e Intersección……………………….………….…………
50
1.1
2.6.2 Pendiente y un Punto...................................................................
51
2.6.3 Dos Puntos…...............................................................................
53
2.6.4 Aplicaciones a Modelos de Oferta y
Demanda.....................................................................................
54
UNIDAD 3. Sistema de Ecuaciones Lineales y sus Aplicaciones a la
Gastronomía……………………………….………………………………………… 55
3.1 Funciones Lineales…………………………………….…………….............
56
3.1.1 Funciones Lineales de Ingresos..................................................
56
3.1.2 Funciones Lineales de Costo.......................................................
58
3.1.3 Funciones Lineales de Utilidades…………….……………..……..
61
3.2 Modelos de Equilibrio……………………………………………….………..
63
3.2.1Modelo de Punto de Equilibrio Aplicado a la
Producción....................................................................................
68
3.2.2 Modelo Grafico de Punto de Equilibrio………………………...…..
69
3.2.3 Modelo Utilizando la Contribución al
Costo Fijo y a la Utilidad…………………….……………………….
70
3.2.4 Modelos de Equilibrio para tomar Decisiones
de Comprar o Producir………………………………………………
71
3.3 Sistemas de Ecuaciones Lineales………………………………..………..
72
3.3.1 Sistema de Ecuaciones de 2x2 y 3x3 Método de
Eliminación Suma y Resta………………………………………….
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
72
4
3.3.2 Método de Eliminación Gaissiana de Sistemas 2x2,
3X3 Solución única………………………………………………….………
75
3.3.3 Aplicación a Modelos Económico Administrativos…………………..
78
UNIDAD 4. Introducción a las Matemáticas Financieras……………..…….
79
4.1 Razones Aritméticas y Geométricas……..………………………….
80
4.2 Proporciones………..…………………………………………………..
84
4.3 Reparto Proporcional……………..…………………………………...
84
4.4 Regla de tres Inversa y Compuesta……..…………………………..
87
4.5 Tanto por Ciento……………………..………………………………...
89
4.6 Progresiones Aritméticas y Geométricas……..……………………..
90
UNIDAD 5. Intereses Simple y Compuesto…………………………………...
92
5.1 Conceptos Básicos…………………………………………………….
92
5.2 Valor Presente y Futuro……..………………………………….…….
93
5.3 Reparto Proporcional………………………..…………………….…..
96
5.4 Intereses Simple y Ordinario……………..……………………..…….
97
5.5 Plazo……………………………...……………………………….…….
98
5.6 Descuento……………………..…………………………………….….
99
5.7 Ecuación de Valor………...……………………………………………
100
5.8 Aplicaciones………..…………………………………………….…….
102
5.9 Intereses Compuesto…………...………………………………….….
102
5.10 Valor Presente y Futuro………...…………………………………...
105
5.11 Tasa Nominal, Efectiva y Equivalente……..……………………….
106
5.12 Tipo………………..…………………………………………………...
109
5.13Tiempo………………………………………………………………….
111
5.14 Ecuación de Valor Equivalente.....................................................
113
5.15 Aplicaciones…………………………………………........................
114
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
5
Introducción
Objetivo:
Matemáticas
para
gastronomía
aporta,
al
perfil
estudiante
en
Gastronomía, la capacidad para desarrollar un pensamiento lógico, heurístico y
algorítmico al modelar fenómenos de naturaleza lineal y resolver problemas.
Muchos fenómenos de la naturaleza, que se presentan en la
Gastronomía se pueden aproximar a través de modelos matemáticos lineales
simples. Esta materia nos sirve para caracterizar estos fenómenos y
Convertirlos en modelos ya que son más sencillos de manejar, de allí la
importancia de estudiar matemáticas en el área de la gastronomía.
Esta asignatura proporciona al estudiante de Gastronomía una
Herramienta para resolver problemas de aplicaciones de la vida ordinaria y de
la economía en dicha área. Está diseñada para el logro de siete competencias
específicas dirigidas a la aprehensión de los dominios: matemáticas
financieras, interés simple y compuesto, álgebra, funciones lineales y sistemas
de ecuaciones lineales.
Esta materia proporciona además herramientas matemáticas que se
aplicarán en otras materias de la carrera de Gastronomía.
Unidad 1
Algebra
Objetivo: Resolverá problemas de monomios y polinomios; ecuaciones
simultáneas de primer grado; y de segundo grado relacionados con el ámbito
de la gastronomía.
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
6
1.1 Conceptos Básicos.
El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia las estructuras,
las relaciones y las cantidades (en el caso del álgebra elemental). Es una de
las principales ramas de la matemática, junto a la geometría, el análisis
matemático, la combinatoria y la teoría de números.
La palabra «álgebra» es de origen árabe, deriva del tratado escrito por
el matemático persa Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi, titulado Kitab al-yabr
wa-l-muqabala
(que significa "Compendio de cálculo por el método de
completado y balanceado"), el cual proporcionaba operaciones simbólicas para
la
solución
sistemática
de
ecuaciones
lineales
y
cuadráticas.
Etimológicamente, la palabra «álgebra», proviene del árabe y significa
"reducción".
1.2 Operaciones Algebraicas
Monomios conceptos
Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones
que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente
natural.
El coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando a
las variables.
La parte literal está constituida por las letras y sus exponentes.
El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las
letras o variables.
Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.
Clases de expresiones algebraicas:
a) Si una expresión algebraica está formada por un solo término se llama
monomio.Ejemplo:3x2
b) Toda expresión algebraica que esté formada por dos términos se llama
binomio.Ejemplo:2x2 + 3x2
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
7
c) Toda expresión algebraica formada por tres términos se llama trinomio.
Ejemplo: 5x2 + 4y5 – 6x2
d) Si la expresión algebraica tiene varios términos se llama polinomio.
Polinomio: es un conjunto de monomios. Tendremos en cuenta lo siguiente:
a) Si está ordenado. Para ordenar un polinomio, colocamos los monomios
de mayor a menor, según su grado.
b) Si está completo. Completar un polinomio es añadir los términos que
falten,Poniendo de coeficiente 0.
c) Cuál es su grado. El grado de un polinomio es el mayor exponente de sus
términos.
Ejemplos
Expresiones algebraicas equivalentes: Dos o más expresiones algebraicas
son equivalentes cuando tienen el mismo valor numérico.
1.2.1. Suma, Resta, Multiplicación y División de Monomios y
Polinomios.
Suma o resta de monomios: Para sumar o restar monomios es necesario que
sean semejantes. Monomios semejantes son aquellos que tienen la misma
parte literal y el mismo grado.
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
8
Ejemplo: Suma de monomios, Para sumar dos monomios con la misma
parte
literal,
se
mantiene
ésta
y
se
suman
5xy+5xy=10xy
a) 2x2 + 6x + 5
Ejemplo: sumar
;
Suma los términos similares:
(2+3)x
2
coeficientes.
5x3-2x3 =3x3
más
2x2 + 3x2 + 6x - 2x
Junta los términos similares:
los
3x2 - 2x - 1
+5-1
+ (6-2)x + (5-1)
2
= 5x + 4x + 4
b) 5a+6b+8c = 3a+(-2b)
Resta de monomios. Para restar dos monomios con idéntica parte literal,
mantenemos la parte literal y restamos los coeficientes.
Ejemplo:
a)
b) -5a2b-4a2b = -9a2b
c) 7-(-4) = 7+4 =11
Multiplicación de monomios: Para multiplicar monomios no es necesario que
sean semejantes. Para ello se multiplican los coeficientes, se deja la misma
parte literal y se suman los grados.
Ejemplo: 3x por 4x2y3 = 12x3 y4 ,se multiplican los coeficientes y se suman los
exponentes de los elementos con la misma base.
Ejemplo:
a) 3x2yz3 por 4x3y6z5 = 12x5yz8
b) 3a2bx(-4b2x) = -3 x 4a2b1+2x = -12a2b3x
c) 2a2 x 3a3 = 2 x 3a2+3 = 6a5
División de monomios: Para dividir dos monomios, se dividen los
coeficientes, se deja la misma parte literal y se restan los grados.
Ejemplo:
a) 4x5y3 entre 2x2y = 2x3y2
b) 4a3b2 entre -2ab= 2a2b
c) -5a4b3c entre a2b= 5a2b2c
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
9
Ejercicio:
Solución:
Polinomios
Un polinomio es una expresión algebraica de la forma:
P(x) = an x n + an - 1 x n - 1 + an - 2 x n - 2 + ... + a1 x 1 + a 0
Siendo an, an - 1 ... a1 , ao números, llamados coeficientes.
Un polinomio es:
Y tiene 3 términos
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
10
Multiplicación de polinomios: Para multiplicar polinomios haremos lo mismo
que para multiplicar monomios, multiplicamos los coeficientes y sumamos los
grados de las letras que son iguales.
Si son varios los polinomios que tenemos que multiplicar haremos lo
mismo pero pondremos los que son semejantes debajo unos de otros y los
sumaremos al final.
Ejemplo:
a) P(x) = 2x5+3x4–2x3-x2+2x
Q(x) = 2x3
P(x) por Q(x) = 4x8+6x7–4x6–2x5+4x4
b) a-4 x 3+a = a2-a-12
c) 4x-3yx-2y+5x= 20x2-23xy+6y2
División de polinomios: Para dividir un polinomio y un monomio, ordenamos
y completamos los polinomios, dividimos el primer monomio del dividendo por
los monomios del divisor, multiplicamos el cociente por el divisor y se lo
restamos del dividendo. Así sucesivamente.
Para dividir dos polinomios haremos lo mismo que para dividir
monomios y polinomios, teniendo en cuenta que en el divisor nos
encontraremos con 2 términos.
Ejemplo:
a) (3a3_6a2b+9ab2)/3a = a2-2ab+3b2
b) p(x) = 3x2- 4x+5 resultado p(2) = 9
c) a2+2a-3 entre a+3 resultado a-1.
Ejemplos: de suma, resta y multiplicación de polinomios
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
11
1.3 Potenciación.
La potenciación es una operación matemática entre dos términos
denominados: base a y exponente n. Se escribe an y se lee usualmente como
«a elevado a n» o «a elevado a la» y el sufijo en femenino correspondiente al
exponente n. Hay algunos números especiales, como el 2, al cuadrado o el 3,
que le corresponde al cubo. Nótese que en el caso de la potenciación la base y
el exponente pueden pertenecer a conjuntos diferentes, en un anillo totalmente
general la base será un elemento del anillo pero el exponente será un número
natural que no tiene porqué pertenecer al anillo. En un cuerpo el exponente
puede ser un número entero o cero.
1.3.1 Potencia de un Monomio.
Para realizar la potencia de un monomio se eleva, cada elemento de
éste, al exponente de la potencia.
Ejemplo:
(axn)m = am · xn · m
a) (2x3)3 = 23(x3)3 = 8x9
b) (-3x2)3 = (-3)3 (x2)3 = −27x6
c) (3ab2)3 =33.a1x3.b2x3 = 27 a3 b6
Monomio es una expresión algebraica en la que se utilizan potenciales
naturales de variables literales, un número llamado coeficiente. Las únicas
operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia de
exponentes naturales. Se denomina polinomio a la suma de varios monomios.
Un monomio es una clase de polinomio con un único término.
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
12
Ejemplo:
entonces
;
;
; pero si se considera a una constante,
no es monomio.
1.3.2 Cuadrado y cubo de un Polinomio.
El cuadrado de una suma (a + b)2 o el cuadrado de una resta (a - b)2 son
sólo los casos más sencillos cuando elevamos un binomio a una potencia.
Para estos casos, son conocidas las fórmulas "el cuadrado del primero más (o
menos) el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo", es
decir:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
;
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Si generalizamos esto para cualquier exponente n, tenemos lo que se
conoce como "Binomio de Newton". Según esta fórmula, los coeficientes del
desarrollo de (a + b)n son los números combinatorios mientras que los términos
van disminuyendo el grado de a de uno en uno y aumentando el de b de uno
en uno (de forma que la suma de los exponentes siempre es n).Precisamente
esos coeficientes son los números de la fila enésima del Triángulo de Tartaglía.
1.3.3 Binomio de Newton.
La fórmula que nos permite hallar las potencias de un binomio se conoce
como binomio de Newton.
Podemos observar que: El número de términos es n+1.
Los coeficientes son números combinatorios que corresponden a la fila
enésima del triángulo de Tartaglia.
En el desarrollo del binomio los exponentes de a van disminuyendo, de
uno en uno, de n a cero; y los exponentes de b van aumentando, de uno en
uno, de cero a n, de tal manera que la suma de los exponentes de a y de b en
cada término es igual a n.
En el caso que uno de los términos del binomio sea negativo, se alternan
los signos positivos y negativos.
La fórmula que nos permite hallar las potencias de un binomio se conoce
Como binomio de Newton.
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
13
En el desarrollo del binomio los exponentes de a van disminuyendo, de
uno en uno, de n a cero; y los exponentes de b van aumentando, de uno en
uno, de cero a n, de tal manera que la suma de los exponentes de a y de b en
cada término es igual a n.
En el caso que uno de los términos del binomio sea negativo, se alternan
los signos positivos y negativos.
Ejer ci ci o s d el b i no mi o d e New to n
1.
2. -
Cál cu l o d el térmi n o q u e o cu pa el l u g ar k
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
14
Ejemp l o s :
1.
El término quinto del desarrollo de
2.
El t érmi no cuart o del d esarro llo de
3.
Hall ar el t ér min o oct av o del de sarroll o de
T8=(-1)7
es:
es:
(X2)3(3y3)=-262440x6y21
1.4 Productos Notables.
Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación.
También sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores.
Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se
encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista;
es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.
Se les llama productos notables (también productos especiales)
precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios.
A continuación veremos algunas expresiones algebraicas y del lado
derecho de la igualdad se muestra la forma de factorizarlas (mostrada como un
producto notable).
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la
primera cantidad, más el doble de la primera cantidad multiplicada por la
segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
15
Demostración:
Producto
Expresión algebraica
Nombre
notable
(a + b)2
= a2 + 2ab + b2
Binomio al cuadrado
(a + b)3
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Binomio al cubo
a2 - b2
= (a + b) (a - b)
Diferencia de cuadrados
a3 - b3
= (a - b) (a2 + b2 + ab)
Diferencia de cubos
a3 + b3
= (a + b) (a2 + b2 - ab)
Suma de cubos
a4 - b4
= (a + b) (a - b) (a2 + b2)
Diferencia cuarta
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc Trinomio al cuadrado
Entonces, para entender lo que hablamos, cuando nos encontramos
con una expresión de la forma a2 + 2ab + b2 debemos identificarla de
inmediato y saber que podemos factorizarla como (a + b)2.
Factor Común: Este es el primer caso y se emplea para factorizar una
expresión en la cual todos los términos tienen algo en común (puede ser un
número, una letra, o la combinación de los dos).
Ejemplo: x3 y + x2 y2 - 2xy = xy (x2 + xy - 2)
Factor Común por agrupación de términos: Aquí utilizaremos el caso
anterior, adicionando que uniremos los factores que se parezcan, es decir, los
que tengan un factor común.
Ejemplo:
a) ax+bx+ay+by = (ax+bx)+(ay+by)
b)
Trinomio cuadrado perfecto: Este nombre es otorgado a los trinomios que
cumplen con las siguientes características:
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
16
a) El primer y tercer término se tiene raíz cuadrada exacta y son positivos.
b) El segundo término es igual a dos veces el producto de las raíces
cuadradas y puede ser positivo o negativo. y se factoriza como una
suma o diferencia, dependiendo del segundo término, elevado al
cuadrado, se factoriza asi:
Diferencia de cuadrados:
Para esto debemos tener en cuenta que un binomio es una diferencia de
cuadrados siempre y cuando los términos que la componen tengan diferentes
signos y ambos términos tengan raíz cuadrada exacta, se factoriza así:
Suma o diferencia de potencias iguales: Para solucionar este caso debes
tener en cuenta los conocimientos adquiridos sobre cocientes notables, es
decir: donde n pertenece a z;
si n es par
si n es impar
se factoriza asi: si n pertenece a z
si n es par
si n es impar
Trinomio cuadrado perfecto por adición o sustracción:
En este caso se intenta transformar una expresión (binomio o trinomio),
en otra igual en la que se pueda aplicar trinomio cuadrado perfecto.
Ejemplo:
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
17
Resolviendo nos queda:
Aplicamos diferencia de cuadrados:
Trinomio cuadrado de la forma
Debe cumplir con las siguientes características:
a) Debe estar organizado de forma correspondiente(es decir, debe coincidir
Con la formula.
b) El primer término debe ser positivo, tener un coeficiente a diferente de 1 y
la parte literal debe tener raíz cuadrada exacta.
c) La variable que está acompañando el segundo término debe ser la raíz
Cuadrada del término uno.
d) Cumpliendo con todas las características anteriores se procede a
factorizar transformando el trimonio dado en uno de la forma.
Luego se procede a multiplicar y dividir por la variable que acompaña al
primer término (esto con el fin de no alterar el ejercicio) de la siguiente forma:
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
18
y se opera, dando como resultado:
Cubo perfecto de Binomios
Teniendo en cuenta que los productos notables nos dicen que:
y
es decir que debe cumplir con las siguientes características:
a) Debe tener cuatro términos.
b) Que tanto el primero como el último término sean cubos perfectos
c) Que el segundo término sea aproximadamente el triplo del cuadrado
de la raíz cúbica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del último
término.
d) Que el tercer término sea más que el triplo de la raíz cúbica del último.
Raíz cúbica de un monomio: esta se obtiene tomando la raíz cúbica de su
coeficiente y dividiendo el exponente de cada letra entre 3.
Factorar un expresión que es el cubo de un binomio:
Suma o Diferencia de Cubos perfectos
Para esto debemos recordar que:
y
Tenemos que tener en cuenta las siguientes reglas para desarrollarlo:
a) La de sus cubos perfectos se descompone en dos factores:
1. La suma de sus raíces cúbicas
2. El cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, más el
cuadrado de la segunda raíz.
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
19
b) La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:
1. La diferencia de sus raíces cúbicas.
2. El cuadrado de la primera raíz, más el producto de las dos raíces, más el
cuadrado de la segunda raíz.
Suma o Diferencia de dos potencias iguales
Debemos tener en cuenta una pequeña recapitulación de:
es divisible por
siendo n un número par o impar
es divisible por
siendo n impar
es divisible por
siendo n par
nunca es divisible por
Ejemplo:
se divide por
y tenemos:
y obtenemos como respuesta:
1.5 Descomposición Factorial.
Para descomponer en factores un número lo dividimos por el primer
número primo que podamos.El cociente que haya resultado lo colocamos bajo
el número. Si podemos seguimos dividiendo sucesivamente ese cociente por el
mismo número primo.
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
20
Cuando no podamos hacer la división por ese número primo lo hacemos
por el siguiente primo que se pueda. Así sucesivamente hasta que el cociente
final sea 1.Finalmente ponemos ese número como un producto de potencias
de factores primos.
1.5.1 Factorización de Monomios y Polinomios.
Factor común monomio: Se pretende descomponer en factores la
expresión algebraica:
.
Como los factores de la expresión
en común a
escribiremos al factor común
son
y
, los cuales tienen
como coeficiente de la expresión
teniendo
Una factorización de un polinomio de grado n es un producto de como
mucho
factores o polinomios de grado
con
.
Así por ejemplo el polinomio P(x) de grado 5 se puede factorizar como
producto de un polinomio de grado 3 y un polinomio de grado 2:
Una factorización de un polinomio de grado n es un producto de como
mucho
factores o polinomios de grado con
n
. Así por ejemplo
el polinomio P(x) de grado 5 se puede factorizar como producto de un
polinomio de grado 3 y un polinomio de grado 2:
Factor común polinomio.
Se pretende descomponer la expresión
Los términos
y
.
tienen en común el factor
por lo
que
Como podemos observar en ambos casos, factor común monomio y
factor común
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
21
Polinomio, cada uno de los términos de la expresión original se puede
dividir por el factor común.
Ejemplos:
Expresión algebraica Factor común
descomposición
2+2x
2
2 + 2x =2(1+x)
x(a + b) + m(a + b)
(a + b)
x(a + b) + m(a + b) = (x + m)(a + b)
3x2 + 3
3
3x2 + 3 = 3(x2+1)
2x+1
Ninguno
3x2 + 1
Ninguno
Ejemplos:
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
22
1.6 Sistema de dos Ecuaciones Simultáneas de Primer grado
con dos Incógnitas.
Un sistema de 2 ecuaciones simultáneas con 2 incógnitas es un par de
ecuaciones que tienen exactamente las mismas 2 incógnitas.
Este tipo de sistemas de ecuaciones simultáneas es muy común que
aparezca en problemas donde se plantean 2 sucesos distintos con las mismas
cosas.
De cada suceso se obtiene una ecuación y las dos ecuaciones
involucran las mismas cosas (mismas variables o incógnitas).
Sistemas de dos ecuaciones simultáneas de primer grado con dos
incógnitas para desarrollar un sistema de ecuaciones de estas características
es indispensable obtener una sola ecuación con una incógnita a partir de las
dos ecuaciones iniciales.Este proceso se conoce como eliminación de
variables y existen varios métodos de aplicación
.
Ejemplo:
2x+3y = -3 & 3x+4y= -2
3x+4y = -2 --> pasando "3 x" queda: 4y = -2 – 3 x
pasar el 4 dividiendo queda: y= (-2 - 3x)/4
2x+3 [(-2 -3x)/4] = -3
2x+ (-6 -9x)/4 = -3
Distribuir el 4 que está dividiendo
2x+ [-6/4 - (9x)/4] = -3
Queda:
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
23
2x - 6/4 - (9/4)x = -3 ---> 2x - (9/4)x = -3 + 6/4
(-1/4)x=-3/2--->x=(-3/2)/(-1/4)
se obtiene x = 6
reemplazo x=6 en "y= (-2 - 3x)/4" --> y= -5
Ejemplo:
2)
5x+2y = 11 & 3x+2y = 0
3x+2y =0 --> 3x =-2y --> y= (-3/2)x
queda:
5x+2 [(-3/2)x] = 11 --> 5x - 3x = 11 --> 2x=11 --> x=11/2
Remplazar x=11/2 en y=(-3/2)x --> y = (-3/2) (11/2) --> y = (-33/4),
Ahora por igualación...
1)
2x+3y= -3 --> 2x=-3-3y --> x= (-3-3y)/2
3x+4y=-2 --> 3x=-2-4y --> x = (-2-4y)/3
después x=x entonces igualo:
(-3-3y)/2 = (-2-4y)/3
(-3/2) - (3/2)y = (-2/3) - (4/3)y
-5/6=1/6y --> y =-5
para obtener x:
2x + 3y = -3 --> y =(-3 -2 x)/3
3x+ 4y =-2 --> y =(-2 -3x)/4
y=y
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
24
(-3 -2x)/3 =(-2 -3 x)/4
-1 - (2/3) x = (-1/2) - (3/4)x
(1/12) x = 1/2
x=6
2)
5x+2y = 11 --> y = (11 - 5x)/2
3x+2y = 0 --> y = (-3/2)x
igualo:
(11 - 5x)/2 = (-3/2)x
11/2 - (5/2)x = (-3/2)x --> x =11/2
para obtener y:
5x+2y = 11 --> x = (11-2y)/5
3x+2y = 0 --> x = (-2/3)y
igualo:
(11-2y)/5 = (-2/3)y
(11/5) - (2/5)y = (-2/3)y --> 11/5 = (-4/15)y --> y= (-33/4)
1.6.1 Método de Eliminación por Igualación.
Consiste en despejar de las ecuaciones dadas la misma variable e
igualarlas para obtener una sola ecuación con una incógnita. Resolver el
sistema:
3x - 2y = - 2......... (1)
5x +8y = - 60…… (2)
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
25
Solución:
Para comprobar que los valores obtenidos satisfacen las dos
ecuaciones, los reemplazamos en cada una de ellas verificando que se
conviertan en identidades.
Observa las siguientes ecuaciones:
3 x - 2y = - 2
2)……5 x + 8 = -60
3(- 4) - 2(-5) = -2
5(-4) + 8(-5) = -60
-12 + 10 = - 2
-20 – 60 = - 60
-2 = - 2
- 60 = - 60
(1).......
1.6.2 Método de Eliminación por Sustitución.
Consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituirla
en la otra:
x=2+y
;
2(2 + y) = 5.
Resolviendo esta ecuación obtenemos y = -1 y sustituyendo este valor en
una de las ecuaciones obtenemos el valor de la otra incógnita.
a) Despéjese
una
incógnita
en
una
de
las
dos
ecuaciones.
b) Sustitúyase la expresión que representa su valor en la otra ecuación.
c) Resuélvase la nueva ecuación, con lo cual se obtiene el valor de la
Incógnita no eliminada.
d) Sustitúyase el valor así hallado en la expresión que representa el valor
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
26
de la otra incógnita resuélvase la ecuación resultante.
Ejemplo:
3x + y = 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . (1),
4x - 3y = -1 . . . . . . . . . . . . . . . . .(2).
Se va a eliminar "x". Despéjese el valor de "x" en (1):
3x = 22 - y
x = (22 - y) / 3 . . . . . . . . . . . . . . . (3).
Sustitúyase (3) en (2):
4 [(22 - y) / 3] - 3y = -1
4 (22 - y) - 9y = -3
88 - 4y - 9y = -3
-13y = -91
y = 7.
Sustitúyase en (3) el valor hallado para "y".
x = (22 - y) / 3 . . . . . . . . . . . . . . . (3).
x = (22 - 7) / 3
x=5
por tanto: x = 5; y = 7.
1.6.3 Método de Reducción.
El método de reducción consiste en multiplicar cada una de las ecuaciones
por los valores necesarios, de forma que los coeficientes de una de las
incógnitas sean los mismos cambiados de signo. Conseguido esto, se suman
las dos ecuaciones y la incógnita que tiene los coeficientes opuestos se
elimina, dando lugar a una ecuación con una incógnita, que se resuelve
haciendo las operaciones necesarias. Conocida una de las incógnitas se
sustituye su valor en una de las ecuaciones originales y calculamos la
segunda.
Ejemplo: tenemos el sistema
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
27
En este caso la x, ya tiene el mismo coeficiente en las dos ecuaciones
cambiado de signo y no es necesario hacer ninguna operación para lograrlo;
podemos sumar las dos ecuaciones directamente:
Como resultado de la suma tenemos una sola ecuación con una incógnita:
Despejando la y, tenemos:
Que haciendo la operación da:
Para calcular el valor de x, sustituimos el valor de y en una de las
ecuaciones, por ejemplo la primera:
Despejando x, tenemos:
que realizando la operación da como resultado:
El resultado del sistema es el valor de x e y que satisface las dos
ecuaciones simultáneamente, que como ya sabíamos es:
x=2
;
y=3
En este caso era muy fácil dado que la x ya tenía el mismo coeficiente
cambiado de signo en una y otra ecuación. Podemos resolver el mismo
sistema, pero esta vez eliminando la y:
Vemos que el coeficiente de la y de la primera ecuación es 1 y el de la
segunda, 2; si multiplicamos la primera ecuación por 2, y la segunda la
cambiamos de signo, tendremos:
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
28
Con lo que tenemos que la y tiene el mismo coeficiente en las dos
ecuaciones cambiado de signo. Sumando las dos ecuaciones:
Así tenemos una ecuación con una incógnita:
Despejando la x:
el valor de x que obtenemos es:
Para calcular y sustituimos el valor obtenido de x en una de las
ecuaciones, la primera de ellas por ejemplo:
Que despejando la y tendremos:
Con lo que tenemos:
Como puede verse en el ejemplo resuelto, el método de reducción
consiste en operar el sistema de modo que una de las incógnitas tenga el
mismo coeficiente en las dos ecuaciones pero cambiado de signo; al sumar las
dos ecuaciones el sistema se reduce a una ecuación con una incógnita que
despejamos. Con este valor sustituido en una de las ecuaciones iniciales
calculamos la segunda incógnita. Es indistinto que se haga con la x o con la y,
en los dos casos obtendremos el mismo resultado.
1.6.4 Método de Solución por Determinantes.
El determinante de una matriz cuadrada es un número que se obtiene a
partir de los elementos de la matriz. Su estudio se justifica en cuanto que
simplifica la resolución de sistemas lineales y el cálculo de la matriz inversa,
entre otras aplicaciones.
En este curso estudiaremos, sobre todo, los determinantes de orden dos y
los de orden tres. Los de orden superior se reducirán a éstos.
Determinantes de segundo y tercer orden.
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
29
Definición 1. Dada una matriz de orden dos
, se llama
determinante de la matriz al número que se obtiene así: a11a22 - a12a21.
Se representa
Ejemplo 1:
= 3-(-8) = 11.
Observación. La interpretación geométrica es que es el área orientada
del paralelogramo que determinan los vectores (a11, a12) y (a21, a22).
Se puede ver con detalle en Interpretación Geométrica del terminante,
usando el applet Descartes.
Definición 2. Sea A una matriz cuadrada de orden 3, se llama
determinante de A al nº que se obtiene así:
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 a11a23a32 - a12a21a33.
Observar que para calcular el determinante se hacen todos los
productos posibles de tres elementos que se encuentren en filas y columnas
diferentes y luego se suman todos manteniendo el mismo signo o cambiado,
según la regla siguiente debida a Sarrus.
Términos positivos
Términos negativos
Ejemplo 2. Calcula el valor del determinante de la matriz A
=Aplicando la regla de Sarrus
-4) + 28 - 0 - (-2) -8 = 18
Otra forma práctica de recordar la definición es la siguiente:
Se escriben a la derecha (o debajo) de la matriz las dos primeras líneas
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
30
La diagonal principal y sus dos paralelas llevan el signo +, la diagonal
secundaria y sus dos paralelas llevan el signo - .
Ejemplo 3. Calcula el valor del determinante
= 16 +15 +18 -10 =39
Ejercicio 1. Calcula los siguientes determinantes:
a)
,
b)
,
c)
.
1.6.5 Solución Grafica.
Se nos plantea el siguiente sistema de ecuaciones (recordemos que
cuando decimos sistema estamos diciendo que las incógnitas tienen el mismo
valor en una ecuación que en la otra)
Despejamos una incógnita en cada
ecuación
(puede
ser
la
misma),
las
incógnitas las transformamos en variables,
a
la
que
despejamos
la
llamamos
dependiente y a la que no despejamos la
llamamos independiente. Le asignamos valores a la variable independiente y,
de acuerdo a los valores asignados, la variable dependiente tomará un valor
determinado.Vamos a asignarle 2 valores porque se trata de funciones lineales
y, con 2 valores, podemos graficarlas.
Hacemos una tablita para cada ecuación.
Luego, representamos los
valores obtenidos en un par de eje
cartesianos.
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
31
En el eje horizontal (eje de
las absisas) represento los valores
de X y
en el eje vertical (eje de las
ordenadas) represento los valores
de Y.
Desde el punto de intersección
de
las
dos
representaciones
graficas de las funciones trazamos rectas perpendiculares a cada uno de los
ejes.
X=2
;
Y=3
1.7 Ecuaciones de Segundo grado.
Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación
algebraica de segundo grado.1 2 Es decir que la mayor potencia de la incógnita
considerada en la ecuación, es dos. La expresión general de una ecuación
cuadrática es
Donde x representa la variable y a, b y c son constantes; a es un
coeficiente cuadrático (distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el término
independiente.
La gráfica de una función cuadrática es una parábola. La ecuación
cuadrática proporciona las intersecciones de la parábola con el eje de las
abscisas, que pueden ser en dos puntos, en uno o ninguno.
Los puntos comunes de una parábola con el eje X
(recta y = o), si los hubiese, son las soluciones reales
de la ecuación cuadrática.
Una ecuación de segundo grado es toda expresión
de la forma:
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
ax 2 + bx + c = 0 con a ≠ 0.
32
Para resolver ecuaciones de segundo grado utilizamos la siguiente fórmula:
F ormu la:
Ejemp l o 1
Ejemplo 2
Si es a<0, mult ip lica mos los do s mie mbros por (−1).
1.7.1 Método de Completar Cuadrados.
En este método, la ecuación tiene que estar en su forma a x 2+b x+c; y
siempre la constante de a tiene que ser igual a 1. Ejemplo: para factorizar la
ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma:
4x2 + 12x – 8 = 0
x2 + 3x – 2 = 0 Ahora, a= 1.
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
33
Ejercicio: 1
x2 + 2x – 8 = 0
2
x + 2x = 8
[Ya está en su forma donde a = 1.]
[ Pasar a c al lado opuesto.]
x2 + 2x + ___ = 8 + ___ [Colocar los blancos]
x2 + 2x + 1
=8+1
x2 + 2x + 1 = 9
(
) (
) =9
Hay que factorizar.
( x + 1) (x + 1) = 9
(x + 1)2 = 9
(x + 1) = ±
x+1= ±3
x = -1 ± 3
[Separar las dos soluciones.]
x = -1 + 3
x = -1 – 3
:
x=2
x = -4
Fórmula Cuadrática: Este método es muy simple; hay que sustituir los valores
de a, b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula:
Ejemplo: 2
X2 + 2x – 8 = 0
a = 1, b = 2, c = -8
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
34
x = -2 ± 6
2
X = -2 + 6
x = -2 - 6
2
2
x=4
x = -8
2
2
x=2
x=-4
Se llama método de la completación de cuadrados porque se puede
completar un cuadrado geométricamente, y porque en la ecuación cuadrática
se pueden realizar operaciones algebraicas que la transforman en una
(a x + b)2 = n
ecuación del tipo:
En la cual el primer miembro de la ecuación (a x + b)2, es el cuadrado de
la suma de un binomio. Partiendo de una ecuación del tipo x2 + b x + c = 0
por ejemplo, la ecuación x2 + 8x = 48, que también puede escribirse
X2 + 8x − 48 = 0
Al primer miembro de la ecuación (x2 + 8x) le falta un término para
completar el cuadrado de la suma de un binomio del tipo
(a x + b)2 Que es lo mismo que (a x + b) (a x + b)
Que es lo mismo que:
ax2 + 2axb + b2
Ejemplo:
En nuestro ejemplo x2 + 8x = 48, el 8 representa al doble del segundo
número del binomio, por lo tanto, ese número debe ser obligadamente 8
dividido por 2 (8/2), que es igual a 4, y como en el cuadrado de la suma de un
binomio (a2 + 2ab + b2) el tercer término corresponde al cuadrado del segundo
término (42 = 16) amplificamos ambos miembros de la ecuación por 16, así
tenemos
x2 + 8x + 16 = 48 + 16 ;
x2 + 8x + 16 = 64
la cual, factorizando, podemos escribir como sigue:
(x + 4) (x + 4) = 64
Que es igual a
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
(x + 4)2 = 64
35
Extraemos raíz cuadrada de ambos miembros y tenemos
Nos queda x + 4 = 8 Entonces x = 8 – 4
x=4
Se dice que "se completó un cuadrado" porque para el primer miembro
de la ecuación se logró obtener la expresión (x + 4)2, que es el cuadrado
perfecto de un binomio.
1.7.2 Formula General.
Consideremos la ecuación cuadrática general
.
Se puede resolver al completar el cuadrado, factorizar o por fórmula general
que es la siguiente:
Analizando la raíz cuadrada, se llega a las siguientes conclusiones:
Si
es menor que
los resultados de X serán dos valores con parte real
y parte imaginaria. Es decir, el resultado será un número complejo.
Si
es mayor que
obtendremos dos valores distintos de X reales.
Y si
es igual que
obtendremos dos valores de X reales e iguales.
Al término
se le llama: discriminante.
1.7.3 Método de Factorización.
Para resolver una ecuación del tipo: a x 2 + b x + c = 0, por el método de
factorización se deben seguir los siguientes pasos:
Se descompone en 2 factores el primer término de la ecuación.
Después en el primer factor se pone el signo del segundo término del trinomio.
Mientras que en el segundo factor se pone el signo que resulta de la
multiplicación del signo del segundo término por el signo del tercer término del
trinomio.
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
36
Ahora se deben encontrar dos números que sumados den el segundo
término y multiplicados den cómo resultado el tercer término. Estos números se
pueden encontrar sacando el mínimo común múltiplo de 187.
Una vez encontrados los números que, en donde los dos factores se
están multiplicando, dándonos como resultado 0, se puede concluir que uno de
los dos factores es 0, ya que cualquier numero multiplicado por 0, da como
resultado 0, por lo que se procede a igualar dos factores a 0.
Después se despeja X en los dos factores.
Por lo que el resultado para X, es X1 y X2.
Ejemplo:
x2 – 28 x + 187 = 0
(X)(X)=0
;
(X-)(X)=0
; (X-)(X-)=0
(X - 17) (X - 11) = 0 ; X - 17 = 0 X - 11 = 0
X1 = 17 ; X2= 11
1.7.4 Método Grafico.
Consiste en construir la gráfica de cada una de las ecuaciones del sistema
El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método
gráfico se resuelve en los siguientes pasos:
1.- Se despeja la incógnita (y) en ambas ecuaciones.
2.- Se construye para cada una de las dos ecuaciones de primer grado
obteniendo la tabla de valores correspondientes.
3.- Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.
4.- En este último paso hay tres posibilidades:
a) Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los
únicos valores de las incógnitas (x,y). "Sistema compatible determinado".
b) Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que
son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que
coinciden
ambas.
"Sistema
compatible
indeterminado".
c) Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. "Sistema
incompatible".
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
37
Ejemplo:
Entre Adriana y Carlos tienen 600 lámparas, pero Carlos tiene el doble de
lámparas que Adriana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?
Solución:
Llamemos "x" al número de lámparas de Adriana y "y" al de Carlos.
Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones:
Si los dos tienen 600 lámparas, esto nos proporciona la ecuación
x + y = 600.
Si Carlos tiene el doble de lámparas que Adriana, tendremos que
y = 2x.
Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema:
x + y = 600
; 2x - y = 0
Para resolver el sistema por el método gráfico despejamos la incógnita y en
ambas ecuaciones y tendremos:
y = -x + 600
;
y = 2x
Vamos ahora, para poder representar ambas rectas, a calcular sus tablas de
valores:
y =- x+ 600
x
y
;
y = 2x
x
y
Si x= 200 400
100 200
600
200 400
0
Con estas tablas de valores para las dos rectas y eligiendo las escalas
apropiadas en los ejes "X" y "Y", podemos ya representar gráficamente:
Si observamos la gráfica, vemos claramente que
las dos rectas se cortan en el punto (200, 400),
luego la solución del sistema es x = 200 e y =
400.La respuesta del problema planteado es
que: x = 200 (Adriana)
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
,
y = 400 (Carlos
38
UNIDAD 2
Funciones Matemáticas Ecuaciones Lineales
Objetivo:
Resolver problemas con funciones Matemáticas, así como su representación e
interpretación gráfica.
En matemática, el término función lineal puede referirse a dos
conceptos diferentes.
En el primero, correspondiente a la geometría y el álgebra elemental, una
función lineal es una función polinómica de primer grado. Es decir, una función
que se representa en el plano cartesiano como una línea recta.
Esta función se puede escribir como
Donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante
m es la pendiente de la recta, y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Si
se modifica m entonces se modifica la inclinación de la recta, y si se modifica b,
entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo.
En el segundo caso, en matemáticas más avanzadas, una función lineal es
una función que es una aplicación lineal. Esto es, una aplicación entre dos
espacios vectoriales que preserva la suma de vectores y la multiplicación por un
escalar.
Una función lineal según la primera definición
dada anteriormente representa una aplicación
lineal si y sólo si b = 0. Así, algunos autores llaman
función
lineal
a
aquella
de
la
forma
mientras que llaman función afín a la
que tiene la forma
distinto de cero.
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
cuando b es
39
Una función lineal de una única variable dependiente x suele escribirse
en la forma siguiente
que se conoce como ecuación de la
recta en el plano x y.
En la figura se ven dos rectas, que corresponden a las ecuaciones
lineales siguientes:
En esta recta el parámetro m= 1/2, esto es el
crecimiento de la recta es 1/2, cuando aumentamos
x en una unidad, y aumenta en 1/2 unidad, el valor
de b es 2, luego la recta corta el eje y en el punto
y= 2
En la ecuación:
la pendiente de la recta, el parámetro m= -1, indica que cuando el valor de x
aumenta en una unidad, el valor de y disminuye en una unidad; el corte con
el eje y es en y= 5, dado que el valor de b= 5.
En el caso de una recta el valor de m se corresponde al ángulo de
inclinación de la recta con el eje de las x a través de la expresión:
Funciones lineales de varias variables: Las funciones lineales de varias
variables admiten también interpretaciones geométricas. Así una función lineal
de dos variables de la forma
Representa un plano y una función
Representa una hipersuperficie plana de n-1 dimensiones y pasa por el origen
de coordenadas en un espacio n-dimensional
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
40
Función matemática
En la imagen se muestra una función entre un
conjunto de polígonos y un conjunto de números. A
cada polígono le corresponde su número de lados.
Una función vista como una «caja negra», que transforma los valores u
objetos de «entrada» en los valores u objetos de «salida»
En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de
otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la
segunda. Por ejemplo el área A de un círculo es función de su radio r: el
valor del área es proporcional al cuadrado del radio, A = π·r2. Del mismo
modo, la duración T de un viaje de tren entre dos ciudades separadas por
una distancia d de 150 km depende de la velocidad v a la que este se
desplace: la duración es inversamente proporcional a la velocidad, T = d / v.
A la primera magnitud (el área, la duración) se la denomina variable
dependiente, y la cantidad de la que depende (el radio, la velocidad) es la
variable independiente.
De manera más abstracta, el concepto general de función, aplicación
o mapeo se refiere en matemáticas a una regla que asigna a cada elemento
de un primer conjunto un único elemento de un segundo conjunto. Por
ejemplo, cada número entero posee un único cuadrado, que resulta ser un
número natural (incluyendo el cero):
En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales,
también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente
sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema
de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre
un cuerpo o un anillo conmutativo.
Ejemplo: de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
41
El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables
x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.
El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más
antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en
procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y
más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de
problemas no lineales de análisis numérico.
2.1 Definición.
Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación
o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado
por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para
designar una potencia xn de la variable x. En 1694 el matemático alemán
Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de
una curva, como su pendiente.
Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en
1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805–1859), quien
escribió: “Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un
conjunto de ello.
Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a
X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente
un
valor
a
Y,
se
dice
que
Y
es
una
función
(unívoca)
de
X.
La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable
independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se
llama variables dependientes.
Los valores permitidos de X constituyen el dominio de definición de la
función y los valores que toma Y constituye su recorrido”.
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
42
2.2 Dominio y Rango Restringidos.
Se llama dominio de definición de una función al conjunto de valores de la
variable independiente x para los que existe la función, es decir, para los que
hay un valor de la variable dependiente.
Se llama IMÁGEN a dos conjuntos A y B, se entiende por
correspondencia entre ambos al subconjunto de su producto cartesiano.
Si: A = {a, b, c} B = {1, 2}
y elegimos un subconjunto C de su producto cartesiano:
C = (a, 1), (a, 2), (b, 2)
Hemos definido una correspondencia entre dichos conjuntos, en la cual
se llama elemento homólogo, o imagen de un elemento a del primer conjunto,
a todo elemento b del segundo conjunto, tal que el par (a, b) sea un elemento
de dicha correspondencia. En la correspondencia definida anteriormente, el
elemento a tiene por homólogos los elementos 1 y 2, el elemento b tiene por
homólogo el elemento 2, el elemento c no tiene homólogo (o imagen) en esta
correspondencia. Esto se representa de la forma siguiente:
f = {1, 2} y f (b) = {2},
Siendo f (a) el conjunto imagen de a. La
correspondencia suele representarse con la
letra f.
Al
primer
conjunto
de
la
correspondencia (en este caso al conjunto
A) se le llama conjunto origen o conjunto
inicial, y al segundo (el conjunto B),
conjunto imagen o conjunto final.
2.3 Funciones Multivariadas Básicas.
Una función de dos variables es una regla de correspondencia que
asigna a cada pareja de números reales (x, y) un y sólo un número real z.
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
43
El conjunto de parejas ordenadas para las cuales la regla de
correspondencia da un número real se llama dominio de la función. El conjunto
de valores z que corresponden a los pares ordenados se llama imagen o
contra dominio.
Una función de dos variables se denota usualmente con la notación
z = f (x, y)
Las variables x, y se llaman variables independientes, y z se llama
variable dependiente. La gráfica de una función de dos variables es el conjunto
de puntos con coordenadas (x, y, z) en donde (x, y) está en el dominio de
f y z = f (x, y).
Este conjunto de puntos forma una superficie en el espacio
tridimensional. Líneas o curvas de nivel
Si tenemos una función de dos variables dada por z = f (x, y), entonces
la gráfica de la ecuación f (x, y) = constante = c es el conjunto de puntos con
coordenadas (x, y, c). Todos estos puntos tienen el mismo valor para lacoordenada z, es decir, z = c. Por lo tanto todos esos puntos están a la misma
altura sobre el plano xy, o sea que están “al mismo nivel” sobre el plano xy.
2.4 Representaciones Graficas de Funciones Matemáticas.
Una gráfica es una representación de datos, generalmente numéricos,
mediante líneas, superficies o Símbolos, para ver la relación que esos datos
guardan entre sí. También puede ser un conjunto de puntos, que se plasman
en coordenadas cartesianas, y sirven para analizar el comportamiento de un
proceso, o un conjunto de elementos o signos que permiten la interpretación de
un fenómeno. La representación gráfica permite establecer valores que no han
sido obtenidos experimentalmente, es decir, mediante la interpolación (lectura
entre puntos) y la extrapolación (valores fuera del intervalo experimental).
La estadística gráfica es una parte importante y diferenciada de una
aplicación de técnicas gráficas, a la descripción e interpretación de datos e
inferencias sobre éstos. Forma parte de los programas estadísticos usados con
los ordenadores. Autores como Edward R. Tufte han desarrollado nuevas
soluciones de análisis gráficos.
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
44
Existen diferentes tipos de gráficas, que se pueden clasificar en:
Numéricas:
con
imágenes
visuales
que
sirven
para
representar
el
comportamiento o la distribución de los datos cuantitativos de una población.
Lineales: se representan los valores en dos ejes cartesianos ortogonales entre
sí. Las gráficas lineales se recomiendan para representar series en el tiempo, y
es donde se muestran valores máximos y mínimos; también se utilizan para
varias muestras en un diagrama.
De barras: se usan cuando se pretende resaltar la representación de
porcentajes de datos que componen un total. Una gráfica de barras contiene
barras verticales que representan valores numéricos, generalmente usando
una hoja de cálculo. Las gráficas de barras son una manera de representar
frecuencias; las frecuencias están asociadas con categorías. Una gráfica de
barras se presenta de dos maneras: horizontal o vertical. El objetivo es poner
una barra de largo (alto si es horizontal) igual a la frecuencia. La gráfica de
barras sirve para comparar y tener una representación gráfica de la diferencia
de frecuencias o de intensidad de la característica numérica de interés.
Histogramas: Se emplea para ilustrar muestras agrupadas en intervalos. Está
formado por rectángulos unidos a otros, cuyos vértices de la base coinciden
con los limites de los intervalos y el centro de cada intervalo es la marca de
clase que representamos en el eje de las abscisas. La altura de cada
rectángulo es proporcional a la frecuencia del intervalo respectivo.
Circulares: gráficas que nos permiten ver la distribución interna de los datos
que representan un hecho, en forma de porcentajes sobre un total. Se suele
separar el sector correspondiente al mayor o menor valor, según lo que se
desee destacar.
2.5 Formula Pendiente de Intersección.
Formula: y = m x + b
Hallar la ecuación de la recta cuya intersección con el eje y es (0, 1) y
cuya pendiente es.
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
45
Solución: La intersección con el eje y ocurre a la altura 1 y corresponde al
término constante b. Por lo tanto, Reemplazando: y = 3x + 1
Agrupando: 3x -y + 1 = 0 Ecuación pedida
La recta pasa por el punto (0, 1); además, dando un valor cualquiera a x, por
ejemplo 1, se obtiene otro punto: (1, 4)
Ejemplo:
Determinar la pendiente y la intersección con el eje y de la recta definida
por
2x + 3y = 8
Solución:
Se despeja “y” para determinar la forma pendiente-intersección de la
recta ( y = mx + b)
3y = - 2x + 8y = - 2/3 x + 8/3 ;Por lo tanto: pendiente = - 2/3
Intersección con eje x = 8/3
2.5.1 Interpretación de la Pendiente.
La pendiente nos muestra la relación entre la variable dependiente (y) y
la variable independiente (x) de la función y=mx+b. asi tenemos que la
pendiente nos muestra que la variación que hay en el eje “y” a medida que
aumenta una unidad en el eje “x”. asi, si la pendiente m=3, nos indica que por
cada unidad que aumenta en el eje “x” hay un aumento de tres unidades en el
eje “y”.para determinar su ángulo de inclinación, aplicamos la función tangente
−1 al valor de m, lo que nos indica su valor en grados.
Antes de referirnos a la orientación de una pendiente de la recta (si es
positiva o negativa) hagamos una recapitulación: Veamos un ejemplo.
Si tenemos
y = 3x − 4 esto es igual a , 3x − y − 4 = 0 (ecuación de la recta)
Ahora lo que sigue es sacar la pendiente, pero ¿Cómo se obtiene la
pendiente si solo tenemos la fórmula?
Pues hay dos maneras de hacerlo: directa e indirecta Indirecta:
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
46
Obtenemos dos puntos (x e y) a partir de dos valores dados a x
(por ejemplo, x = 1 y x = 2), y los ponemos en la ecuación de la recta:
3x − y − 4 = 0 si
3x − y − 4 = 0 si (x = 2)
3(2) − y − 4 = 0
(x = 1)
3(1) − y − 4 = 0
6−y−4=0
3−y−4=0
y − 10 = 0
y−7=0
y = 10
y=7
P2 (2, 10) = (x2, y2)
P1(1,7)=(x1,y1)
Ahora sustituimos en la fórmula de la pendiente:
(Esta es la pendiente)
Directa:
Basándonos en los valores de la recta podemos conseguir la pendiente 3x − y
−4=0
A x – B y –C = 0
A = cantidad de x
B = cantidad de y
C=Número cualquiera
Ahora solo sustituimos en la fórmula de la pendiente
(Esta es la pendiente)
Grado de inclinación
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
47
Dada una recta, gráficamente su pendiente nos da su grado de
inclinación
Pendiente positiva
Cuando la recta es creciente (al aumentar
los valores de x aumentan los de y), su
pendiente es positiva, en la expresión analítica
m>0
Pendiente negativa
Cuando
la
recta
es
decreciente
(al
aumentar los valores de x disminuyen los de y),
su pendiente es negativa, en la expresión
analítica
m<0
Pendiente nula o cero
Cuando la recta es constante se dice que tiene
pendiente nula, en la expresión analítica m =0
Visualmente, también podemos definir si
la pendiente es positiva o negativa : Si el
ángulo que forma la recta con la parte positiva
del eje OX es agudo, la pendiente es positiva y
crece al crecer el ángulo.
Si el ángulo que forma la recta con la parte
positiva del eje OX es obtuso, la pendiente es
negativa y decrece al crecer el ángulo.
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
48
2.5.2 Intersección con el eje Y.
Intersección con el eje de las y: x = 0 será el punto (0, c)
Ejemplo:
En la función:
y=x2,
Interseccinará con el eje de las y en el punto (0,0) porque la c=0
Intersección con el eje de las x: y=0
Ejemplo:
en la función:
y=x2
0=x2
Para saber el valor de la x se resuelve la ecuación con la fórmula: x
Para el eje Y: Cuando la gráfica toca el eje Y es porque el valor de X para ese
punto es 0. Entonces reemplaza la X por 0 en la ecuación y tendrás el valor
de Y para este punto.
y=2x+3
y=2(0)+3
y=3------> entonces el punto en el que corta al eje Y es (0,3)
- Para el eje X:
Cuando la gráfica toca el eje X es porque Y vale 0. Entonces reemplaza
Y por 0 en la ecuación.
y=2x+3
2x+3=0
2x=-3
x=-3/2-------->entonces el punto en el que corta al eje X es (-3/2,0)
2.6 Determinación de la Ecuación de una Línea Recta.
Para determinar la ecuación de una línea recta y = mx + b es necesario
aplicar la fórmula que a continuación se muestra:
Y - y1 = m(x-x1)
Cuando conocemos dos coordenadas (x1,y 1) y (x2,y2)lo primero que
tenemos que hacer es calcular el valor de la pendiente:
m = y2-y1 / x2-x1
Ejemplo:
(4,3) (5,1)
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
49
Sustituyendo: m = (1–3)/(5–4) tenemos que m = −2/1 = −2.
De esto concluimos que la pendiente m es negativa.
Ahora aplicando la fórmula de la ecuación de la recta en la ecuación
Y - y1 = m (x – x 1): y- (3) = − 2 (x - 4)
así: y = −2x + 8 +3
por lo tanto
por lo tanto: y −3 = −2x + 8
y = - 2x +11.
Concluimos que la ecuación de la recta para las coordenadas (4,3) y (5,1)
es y = −2 x +11
Comprobación:
Cuando x=4
Por lo que se comprueba que p1 es
y=−2(4)+11 (4,3)
y=−8+11
Cuando x=5
y=3
y=−2(5)+11
y=−10+11
y=1
Por lo que se comprueba que p2 es (5,1)
Una línea recta se puede entender como un conjunto de puntos
alineados en una única dirección. Uno de los postulados de la geometría
euclidiana dice "para determinar una recta solo es necesario dos puntos del
plano.
El nombre que recibe la expresión algebraica
(función) que determine a una recta dada se
denomina Ecuación de la Recta.
Ecuación principal de una recta.
Se llama ecuación principal de una
recta a una expresión de forma: y = m x + n
En que m representa la pendiente de la
recta y n es el coeficiente de posición y es el
número en que la recta corta al eje de las
coordenadas.
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
50
Ejemplo :
Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente m = 3 e intercepto b = 10.
Tienes que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx + b.
m = 3 y b = 10 y sustituye en la ecuación
y = 3x + 10.
La ecuación que te pide el ejercicio es y = 3x + 10.
2.6.1 Pendiente Intersección.
Para ver el valor de la pendiente de la recta, se tiene que pasar a la
forma explícita.
y=mx+b
Ecuación explícita de la recta
ax+by+c=0
Ecuación general de la recta
la ecuación general tiene todos los términos del mismo lado, y del otro hay un
cero. En cambio en la ecuación explícita tiene la "y" sola de un lado, y todo lo
demás del otro lado. En la ecuación explícita se puede ver fácilmente la
pendiente,
ya
que
es
el
número
que
está
multiplicando
a
la
x.
Por lo tanto, lo que tenemos que hacer para pasar a la forma explícita es
"despejar la y":
7x - 9y + 2 = 0
( dividir por -9 es igual a multiplicar
-9y = 0 - 7x - 2
por -1/9, la fracción inversa a -9/1 )
-9y = -7x - 2
aplicando la propiedad distributiva
y = (-7x - 2):(-9)
queda:
y = (-7x - 2).(-1/9)
y = 7/9 x + 2/9
Ecuación explícita
en la ecuación explícita se puede ver la pendiente de la recta, ya que es el
número que está multiplicando a la x. Vemos que ese número es 7/9. Así que:
Pendiente: m = 7/9
(a la pendiente se la suele llamar con la letra "m", o a veces con la "a") hay
otra forma de encontrar la pendiente, sin pasarla a la forma explícita. Pero hay
que usar una fórmula que te da la pendiente partiendo de la ecuación general.
Si la ecuación general es:
ax+by+c=0
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
51
La fórmula para la pendiente es:
m = - a/b
( "a" es el número que multiplica a la "x" ,y "b" es el número que multiplica a la
"y") con el otro procedimiento:
a=7
;
b = -9
7x - 9y + 2 = 0
m = -a/b = -7/-9 = 7/9
da igual.
La fórmula proviene justamente de despejar la "y" en la ecuación
general. Es decir, de pasar de la ecuación general a la explícita:
ax+by+c=0
Ecuación general
b y = -a x - c
y = (-a x - c)/b
y = -a/b x - c/b
Ecuación explícita
Intersección con los ejes: Se refiere a los puntos donde la recta va a
cortar al eje de las "x" (abscisas) y al eje de las "y" (ordenadas). Y vamos a
usar la ecuación explícita que hallamos en el punto anterior.
Intersección con el eje "y".
Para que un punto caiga sobre el eje "y", su coordenada "x" debe ser
"0" (cero). Por ejemplo , grafica los puntos (0,8); (0,-1); (0,3), etc. y verás que
todos caen sobre el eje "y". Entonces, para encontrar ese punto de una
función que "cae" sobre el eje "y", lo que hay que hacer es ponerle a la "x" el
valor "0". en una función, le ponemos valores a la "x", y obtenemos valores de
"y" usando la fórmula de la función.
La función era:
y = 7/9 x + 2/9
Si le pongo a la "x" el valor "0", tengo que:
y = (7/9). 0 + 2/9
y = 0 + 2/9
y = 2/9
Para x = 0, la "y" vale 2/9.
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
52
2.6.2 Pendiente y un Punto.
La forma de la pendiente y el punto de una recta es una manera de
escribir una ecuación de primer grado usando cualquier punto en la recta y la
pendiente de la recta. Toma la forma y - y1 = m (x - x1), donde (x1, y1) está
cualquier punto en la recta, y m es la pendiente de la recta. Una ventaja de la
forma de la pendiente del punto es que puede ser escrito dado cualquier punto
en una recta y la pendiente de la recta. Para convertir una ecuación de primer
grado de la pendiente y el punto forme para inclinarse forma de la intercepción,
simplifican el derecho de la ecuación.
Dada la pendiente y un punto que cae sobre una linea recta se pueden
sustituir la pendiente m y las coordenadas del punto dado en la ecuación para
despejar k.
Ya que la pendiente de una línea recta es −2 y un punto en la línea recta es
posible sustituir estos valores en la ecuación que produce:
8= (−2)(2)+k 8 =−4+k
12=k 8+4 = k
Puesto que m=−2 y k=12 la ecuación de la pendiente-intercepción es:
y=−2x+12
y como antes se puede volver a escribir esta ecuación en la forma equivalente
2x+y=12
La pe nd ient e de un a rect a es l a t ang ent e de l á ngu lo que f or ma
la rect a con l a direcc ión p osit iv a del ej e O X.
Pendi ent e d ado e l án gul o
Pendi ent e dad o e l v ect or dire ct or de l a
rect a
Pendi ent e
punt os
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
dad os
dos
53
Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo, la
pendiente es positiva y crece al crecer el ángulo.
Si el án gu lo que f or ma la r ect a con la part e pos it iv a del ej e O X
es o bt uso, l a pen die nt e es n egat iv a y decrec e al cr ecer el
ángu lo.
Ecuació n pu nt o - pe ndi ent e
Part iend o de la ecuac ió n co nt inúa l a
rect a
Y quit an do de no mi nad ores :
Y despej an do:
Co mo
Se obt ie ne:
Una rect a pas a por el pu nt o A( - 1, 3) y t iene un v ect or
direct o
= (2, 5). Escribir su ecua ción pu nt o pe ndi ent e.
Hall ar la ecu ació n de la rec t a que p asa n por los p unt os A( - 2, -3)
y B(4, 2).
Hall ar la ecuac ión de l a rect a que p asan por A( - 2, - 3) y t e nga
una inc li naci ón de 4 5°.
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
54
2.6.3 Dos Puntos.
Dados dos puntos cualesquiera A(x1,y1), B(x2,y2), definimos la distancia
entre ellos, d(A,B), como la longitud del segmento que los separa.
Para calcularla aplicamos el teorema de Pitágoras
en el rectángulo coloreado :
Si los puntos tiene la misma ordenada o la misma abcisa, la distancia entre
ellos se calcula sin necesidad de aplicar la fórmula anterior.
Sean los puntos A (x1, y 1) y B (x2, y 2) que
determina una recta r. Un vector director de la recta
es:
Cu yas
co mp one nt es
s on: Sust it uyen do
est os v alores en la f or ma co nt i núa .
Hall ar la ecu aci ón de l a rect a q ue pas a por A(1, 3) y B(2, - 5)
2.6.4 Aplicaciones a Modelos de Oferta y Demanda.
Una función (de) demanda expresa la demanda q (el número de
artículos solicitados) como una función del precio unidad p (el precio por
artículo). Una función de oferta expresa la oferta q (el número de articulos un
proveedor está dispuesto a llevar al mercado) como una función del precio
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
55
unidad p (el precio por artículo). Es normalmente el caso que la demanda
disminuye y la oferta sube a medida que el precio sube.
La demanda son en equilibrio cuando son iguales. Los valores
correspondientes de p y q se llaman precio de equilibrio y demanda de
equilibrio. Para hallar el precio de equilibrio, determine el precio unitario p
donde cruzan las curvas de demanda y oferta (a veces podemos determinar
este valor analíticamente por igualar las funciones de demanda y oferta y
despejar
a
p).
Para
hallar
la
demanda de equilibrio, evalúe la
demanda (o oferta) con el precio
equilibrio.
Ejemplo:
Si
la
demanda
para
las
Botas
Wellington
de
Ludington
es q = −4.5p + 4000 pares vendidos por semana y la oferta es q = 50p − 1995
pares por semana (vea la gráfica más abajo), entonces se obtiene el precio de
equilibrio cuando la demanda = la oferta:
−4.5p+4000 = 50p−1995
54.5p = 5995
que se da p = 5995/54.5 = $110.
Sigue que el precio equilibrio es $110 y la demanda de equilibrio es q = 5(110)
+ 4000 = 3505 pares por semana. Lo que ocurre a precios distintos del precio
de equilibrio se puede ver en la grafica.
Cuando el precio es debajo del
precio de equilibrio, es mayor la
demanda que la oferta, y se
resulta una escasez.
Cuando el precio es igual al
precio
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
de
equilibrio,
no
hay
56
escasez ni excedente, y decimos que el mercado es liquido o está
despejado.
Cuando el precio es arriba del precio de equilibrio, es mayor la oferta
que la demanda, y se resulta una excedente.
UNIDAD 3
Sistema de ECuaciones Lineales y sus Aplicaciones a la Gastronomia.
Objetivo: Modelar
y resolver diferentes problemas de aplicaciones de
sistemas de ecuaciones lineales en el área de las matemáticas aplicadas a la
gastronomía por los diferentes métodos, así como, resolver problemas donde
se aplique el punto de equilibrio..
3.1 Funciones Lineales.
Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.
Ejemp l o : y = 2x
Si x=
0 1 2 3 4
y = 2x
0 2 4 6 8
Siguiente:
Funciones lineal y no lineal
Las funciones lineales tienen gráficas que son líneas rectas. Estas
gráficas representan
Tasas de cambio constantes. Las funciones no lineales no tienen tasas
de cambio constantes.
Por lo tanto, sus gráficas no son líneas rectas.
Definición: Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los
números reales, cuyo codominio son también todos los números reales, y cuya
expresión analítica es un polinomio de primer grado.
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
57
3.1.1` Funciones Lineales de Ingreso.
Para el análisis de funciones lineales relacionadas con el ingreso, valen
las mismas consideraciones hechas referentes a las funciones lineales de
costos.
El ingreso de una empresa, en un determinado período de tiempo, está dado
por las ventas de bienes o servicios en ese período. Por ello lo podemos
expresar como el producto de la cantidad vendida por el precio unitario del
bien o servicio.
I = p. q
Si la empresa comercializa n productos distintos, la función se define como
I = p1q1 + p2q2+ . . . + pnqn
Que se podemos expresar
Es decir que el ingreso se determina como la suma de los productos de
los precios por las cantidades vendidas de cada uno de los bienes.
Si volvemos al concepto de función lineal del tipo f(x) = ax + b vemos
que en la función de ingreso el término b es igual a 0 por cuanto si no hay
ventas de bienes el ingreso se anula. Por lo tanto esta función es del tipo f(x) =
ax, como a medida que aumentan las unidades vendidas, aumenta el ingreso,
es una función creciente y del primer cuadrante en la representación
cartesiana, pues las cantidades vendidas no pueden ser negativas siendo su
menor valor x = 0 (cero unidades vendidas). En este caso los ingresos serán
también igual a 0 (cero). La gráfica de esta función tendría su nacimiento en el
origen de un sistema de coordenadas cartesiana, es decir en el punto (0,0).
Ejemplo 1: El precio de venta de una campera es de $ 30. La función de
ingreso es:
I(x) = 30x
y su representación gráfica:
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
(x son las unidades vendidas)
58
Ejemplo 2: El sueldo de un vendedor (ingresos del vendedor) está dado por la
función I(x) = 1,5x + 300, el número 300 representa el sueldo fijo, es decir el
valor independiente de las ventas (valores de x) del vendedor. El número de
unidades vendidas por el empleado es el valor de x que matemáticamente
puede tomar cualquier valor dentro del conjunto de los números reales, pero en
este caso, obviamente no se pueden vender cantidades negativas, por lo que
cobra importancia la definición del dominio de la función que según lo descripto
debe ser un número mayor o igual a 0 (cero).
Otra posible restricción al dominio estaría dada por la cantidad máxima
de ventas determinada por la capacidad del vendedor, la del mercado para
absorber la demanda mensual y el stock del producto.
Cabría preguntarse ¿Cuál es el sueldo mensual mínimo y máximo que podría
cobrar el vendedor?
Sueldo mensual mínimo: cuando las ventas son nulas, es decir x = 0
I(x)= 1,5.0 + 300 = 300
Sueldo mensual máximo: cuando las ventas
son x = 100
I(x) = 1,5. 100 + 300 = 450
Intuitivamente diremos que cuanto más
vende el empleado , mayor será su ingreso por lo que estamos en
presencia de una función creciente , definida en el primer cuadrante con
dominio DI = {x / x  R  0  x  100 }
y conjunto imagen II = {y / y  R  300 < y < 450}
3.1.2 Funciones Lineales de Costos.
El costo es la expresión cuantitativa monetaria representativa del
consumo necesario de factores de la producción que se emplean para producir
un bien o prestar un servicio.
Con las funciones de costos trataremos de plantear un modelo
matemático simplificado de la realidad económica. Iniciaremos diciendo que los
costos de producción de un bien o de prestación de un servicio tienen distintos
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
59
componentes que, en un principio, le atribuiremos un comportamiento lineal,
pues es el modelo más sencillo.
Las funciones lineales cumplen un importante papel en el análisis
cuantitativo de los problemas económicos. En muchos casos los problemas
son lineales pero, en otros, se buscan hipótesis que permitan transformarlos en
problemas lineales ya que su solución es más sencilla.
Ejemplo: de Costo lineal
Cuando una empresa produce cualquier bien o presta un servicio, deberá
utilizar una serie de insumos que valorizados monetariamente le genera
costos, que analizados en función a la relación con la producción total, los
denominaremos costos fijos y costos variables. Los primeros, como lo indica su
nombre, son independientes de las cantidades de un artículo que se produzca
o un servicio que se preste (p.ej.: alquiler del local, depreciación de los bienes
durables, determinados impuestos, etc.). En cambio, los costos variables
dependen de la cantidad que se produzca de ese artículo o que se preste del
servicio, (p. ej.: costos de materiales, de mano de obra productiva, etc.)
El costo total es la suma de ambos
Costo total = Costos fijos + Costos variables
Si a los costos fijos de producir x artículos lo indicamos como b pesos,
estamos en presencia de una función constante de la forma f(x) = b
Haciendo b = 6, confeccionamos la gráfica correspondiente de C F (x) = 6
Podemos observar que si se confeccionan 1, 5 u
8 artículos se mantiene el mismo valor de costo fijo,
por eso decimos que CF (x) = 6 es una función
constante.
Para
simplificar
nuestro
análisis
supongamos la condición de que el costo
variable por unidad de artículo se mantiene
constante, en ese caso los costos variables
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
60
totales serán proporcionales a la cantidad de artículos producidos.
Si “a” pesos indican el costo variable por unidad, los costos variables para
Producir x unidades del artículo serán ax pesos. Estamos en presencia
de una función lineal de la forma g(x) = ax
Hacemos a = 0,8, o sea g(x) = 0,8 x , por lo que expresamos la función de
costo variable: CV(x) = 0,8 x
Como el costo total para producir x artículos es la suma de los costos
anteriores, tenemos
CT(x) = CV(x) +; CT(x) = a x + b (función afín) CT(x) =0 ,8 x + 6
Ejemplo 1
El costo variable de fabricar juntas para maquina es de $ 2 por
unidad y los costos fijos por día son de $30. Escriba la fórmula de costo total y
construya su gráfica ¿Cuánto cuesta fabricar 25 juntas de maquina por día?
Solución:
El costo total de fabricar x juntas de machimbre en un día es C(x) =2x +30
El costo total de fabricar 25 juntas de maquina por día es de $ 80.
C (25) = 2. 25 +30
C (25) = 80
Ejemplo 2: El costo de fabricar 10 bolsas de cartón al día es de $2,20,
mientras que fabricar 20 bolsas del mismo tipo cuesta $ 3,80. Suponiendo que
se trate de un modelo de costo lineal, determine la fórmula correspondiente a
producir x bolsitas de papel en el día y construya su gráfica.
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
61
Solución:
En este caso tenemos dos puntos P(10; 2,2) y Q (20; 3,80), pudiendo
construir la ecuación que determine la relación.
Por la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, tenemos
y = 0,16x+0,6
En el gráfico observamos que como x puede
tomar
únicamente
valores
enteros
no
negativos, no podemos representar a la función como una línea recta continua.
Generalmente, cuando se trabaja con funciones económicas, se considera el
dominio real, por lo que se la representa como una línea continua.
3.1.3 Funciones Lineales de Utilidades.
Una función lineal es una función de la forma
f(x) = mx + b
Notación de función
y = mx + b
Notación de ecuación
Donde m y b son números fijos (los nombres 'm' y 'b' son tradicionales).
Ejemplos:
La función f(x) = 5x - 1
es una función lineal donde m = 5 y b = -1
Las siguientes ecuaciones se pueden solucionar para y como funciones
lineales de x.
3x - y + 4 = 0
y = 3x + 4
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
62
4y = 0
y=0
3x + 4y = 5
y = -(3/4)x + 5/4
Rectas: La gráfica de una ecuación lineal es una recta. El pendiente de la recta
que pasa por (x1,y1) y (x2, y2) es se expresa por la formula
m
y2 – y1
=
Δy
=
x2 – x1
Δx
La gráfica de la función lineal
f(x) = mx + b Forma de función
o
y = mx + b
Forma de ecuación
es una recta con pendiente m y intersección en y igual a b.
Costo, ingreso y utilidad
Una función (de) costo C especifica el costo C(x) como una función del
número de artículos x.. Una función costo lineal tiene la forma
C(x) = mx + b
Donde m es
el costo
marginal, y b es
el costo
fijo. Una función
ingreso R específica el ingreso R(x) que resulta de la venta de x artículos.
Una función utilidad P especifica la utilidad (ingreso neto) P(x) que resulta de la
venta de x artículos. Las funciones costo, ingreso y utilidad se relacionan con la
formula
P(x) = R(x) - C(x)
Equilibrio se ocurre cuando
P(x) = 0
o,
equivalentemente, Cuando R(x) = C(x)
Funciones Lineales De Utilidades
La utilidad de una organización es la diferencia existente entre el ingreso
total y el costo total. Matemáticamente pudiera expresarse como:
Utilidad = Ingreso Total – Costo total
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
63
Cuando el ingreso total es mayor que el costo total la utilidad es positiva
se conoce como ganancia, en caso contrario la utilidad sería negativa y recibe
el nombre de pérdida o déficit. Cuando tanto la función de ingreso como la de
costo son funciones lineales de una misma variable, es decir, de la cantidad de
artículos producidos o servicios brindados la función de la utilidad también será
una función lineal de la misma variable. Es decir, si el ingreso total fuera la
función I(x) y el costo total C(x), la función utilidad sería:
Utilidad o pérdida = I(x) + C(x)
Ejemplo: Una empresa vende un artículo a un precio de $100.00, si sus gastos
por mano de obra son de $10.00 por producto y por concepto de materia prima
de $15.00 por producto teniendo costos fijos de $1‘000, 000.00 mensuales, si
su producción mensual es de 50,000 artículos determina la utilidad mensual de
la empresa.
Solución:
El ingreso estaría definido por:
Ingreso total = $100 (x)
El costo total sería:
Costo total = $25.00 (x) + $1 000, 000
La utilidad es:
Utilidad = 100(x) – ($25.00(x) + $1 000, 000)
Agrupando tenemos:
Utilidad = $75.00(x) – 1 000, 000
Utilidad Mensual = $ 75.00 (50,000 artículos) - $ 1000, 000
Utilidad Mensual= $3, 750 000 - $ 1000, 000
Utilidad Mensual = $2, 750 000
3.2 Modelos de Equilibrio.
En la determinación de las ganancias o beneficios de una organización,
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
64
expresada como la diferencia entre ingresos totales y costos totales, adquiere
gran importancia el concepto de punto de equilibrio, es decir el punto de
beneficio 0 (cero) en donde
CT =1.
Cualquier cambio en esta igualdad genera déficit o superávit, ganancia o
pérdida.
Para este análisis suponemos que los costos variables o costo por unidad de
producción y los ingresos por ventas son lineales.
Punto de equilibrio:
Si el costo total de producción excede a los ingresos obtenidos por las
ventas de los objetos producidos, la empresa sufre una pérdida; si, por el
contrario, los ingresos superan a los costos, se obtiene una utilidad o ganancia.
Si los ingresos obtenidos por las ventas igualan a los costos de producción, se
dice que el negocio está en el punto de equilibrio o de beneficio cero.
Si una empresa posee una función de costos C(x), una función de
Ingresos I(x), dadas por: C(x) = c x + k
c: costo de producción por unidad
;
k: costo fijo
x: cantidad producida del bien
;
I(x) = sx
s: precio de venta por unidad
;
X: cantidad vendida del bien
La función de beneficio B(x) estará dada por la diferencia entre la función
de ingresos y la función de costos.
B(x) = I(x) - C(x)
B(x) = (s - c)x - k
En el punto de equilibrio la empresa no tiene ganancias ni pérdidas
B(x´) = 0, entonces I(x´) = C(x´) el punto P(x´; p´) es la solución simultánea de
las ecuaciones p = C(x) y p = I(x) y recibe el nombre de punto de equilibrio; x´
es la cantidad de equilibrio y p´es el precio de equilibrio.
Geométricamente P(x´; p´) es la intersección de las rectas que
representan a las funciones de costos y de ingresos. Si x < x´, entonces I(x) <
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
65
C(x), luego B(x) < 0 indicando que la empresa produce con pérdidas.
Si x = x´ se tiene el punto de equilibrio, la empresa no gana ni pierde.
Si x > x´, entonces I(x) > C(x), luego B(x) > 0 lo que indica que la empresa
opera con ganancias.
Gráfica de la zona de pérdida
Gráfica de la zona de ganancias
Ejemplo 1: Los costos fijos de una empresa (luz, teléfonos, alquileres etc.),
que son independientes del nivel de producción, ascienden a $ 250.000. El
costo variable o costo por unidad de producción del bien es de $ 22,50. El
precio de venta del producto es de $ 30,00 por unidad. Calcular su punto de
equilibrio.
Podemos determinar la función de costos totales C(x) = 22,50x +
250.000 y la de Ingresos totales I(x) = 30x.
El punto de equilibrio se puede hallar:
a) Trabajando con la función beneficio definida como la diferencia entre
ingresos y costos
B(x) = I(x) – C(x) y buscando el valor para el cual la
utilidad es igual a 0 (cero).
B(x) = I(x) – C(x)
B(x) = 30x – (22,50x + 250.000)
B(x) = 7,50x – 250.0000
En el punto de equilibrio B(x) = 0
0 = 7,50x – 250.000
x = 250.000 / 7,50
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
66
x = 33.333,33 unidades
y = $99.999,9
Las coordenadas del punto de equilibrio serán (33.333,33; 99.999,9)
b) Igualando los ingresos a los costos, es decir I(x) = C(x)
30x = 22,50x + 250.000
30x – 22,50x = 250.000
7,50 x = 250.000
x = 250.000/ 7,50
x = 33.333,33 Unidades
y = $99.999,9
La empresa tendrá beneficio 0 (cero) o estará en el punto de equilibrio (no
gana ni pierde) cuando produce y vende 33.333 unidades.
En dicho punto tenemos:
I(x) = 30x = 30 33.333 = 100.000
C(x) = 22,50 x + 250.000 = 22,50 33.333 + 250.000 = 100.000
Así podemos concluir que con menos de
33.333 unidades producidas y vendidas la
empresa tendrá déficit (pérdida) y con
cualquier cantidad superior tendrá ganancia
gráficamente.
El punto de equilibrio nos permite medir no solo una relación entre
ingresos y costos, sino que tiene otras aplicaciones para la toma de decisiones
como por ejemplo la conveniencia
de contratar un servicio o no hacerlo,
comprar un bien u otro.
Para mayor ilustración tomaremos un ejemplo sencillo
Ejemplo 2: Problema de la facturación:
a) Una empresa para resolver sus problemas de facturación puede optar por:
Alternativa 1: Alquiler de una computadora, los programas y hacer
la
facturación Costo del alquiler y programas $ 15.000 por año y $ 0,65 es el
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
67
costo por factura emitida. Por lo tanto la función de esta alternativa podemos
definirla como A(x) = 0,65 x + 15.000
Alternativa 2: Contratar un servicio que se encargue del total del trabajo a
realizar cuyo costo sería de $ 3.000 anuales más $ 0,95 por factura procesada.
Por lo tanto la función de esta alternativa podemos definirla como C(x) = 0,95 x
+ 3.000.
El punto de equilibrio entre estas dos alternativas es aquel en donde los
costos de ambos se igualan a un cierto nivel de facturación, es decir:
A(x) = C(x)
0,65 x + 15.000 = 0,95 x + 3.000
15.000 – 3.000 = 0,95 x – 0,65 x
12.000 = 0,30 x
x = 12.000/ 0,30
x = 40.000
Es decir, si se procesan 40.000 facturas anuales ambas alternativas son
indistintas pues si en A(x) o C(x) reemplazamos x por 40.000 nos da un costo
total de $ 41.000.
Ahora, ¿qué sucede con un nivel de facturación en el orden de las 3.000 y
5.000 unidades?
A(x) = 0,65. 3.000 + 15.000 = 34.500
C(x) = 0,95 . 3.000 + 3.000 = 31.500
Evidentemente en este nivel de factura la alternativa más conveniente es
la 2, de alquilar el servicio completo pues representa un costo menor.
A(x) = 0,65. 5.000 + 15.000 = 47.500
C(x) = 0,95. 5.000 + 3.000 = 50.50
En este caso la mejor alternativa es la 1, del
alquiler del equipo y programas.
Veamos el problema gráficamente
Como conclusión podemos decir que con una facturación menor a
40.000 unidades conviene contratar el servicio completo y con un nivel mayor a
40.000 la alternativa más beneficiosa es la del alquiler.
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
68
a) La misma empresa se plantea una tercer alternativa consistente en el
procesamiento manual de la totalidad de la facturación, que no tendría costo
fijo anual y su costo por factura sería de $ 1,25. ¿Debe optar por ésta?
Se tiene una nueva función de costos S(x) = 1,25 x.
Representemos las funciones de las tres alternativas a efectos de poder
compararlas:
De la observación de la gráfica se concluye que la alternativa más
conveniente es en realidad una combinación de las tres opciones (está dada
por la traza inferior remarcada en rojo).
x < 10.000
alternativa 3
10.000 < x < 40.000
alternativa 2
x >40.000
alternativa 1
Si la facturación es menor a 10.000 convendría esta última alternativa, si
es mayor a 10.000 pero menos a 40.000 contratar el servicio completo es la
oferta más alentadora, pero si la facturación supera las 40.000 el alquiler del
equipo se trasforma en la mejor alternativa.
3.2.1Modelo de Punto de Equilibrio Aplicado a Producción.
El análisis del equilibrio puede realizarse desde diferentes perspectivas
como son el nivel de producción, las ventas totales o el porcentaje de
capacidad de producción, siendo de momento el primero el que nos interesa.
Los métodos de análisis del equilibrio pueden ser gráficos o analíticos en el
presente punto se analizará de manera analítica siguiendo los siguientes
pasos:
1. Determinar la función del ingreso en términos del nivel de producción R(x).
2. Determinar la función del costo en términos del nivel de producción C(x). 3.
Se igualan ambas funciones y se despeja el valor de (x), nivel de producción.
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
69
Ejemplo: un empresario que pretende abrir una empresa, después de hacer un
estudio de mercado para la zona en que lo pretende hacer, encuentra que los
costos variables por mano de obra y materia prima son de $22. 50. Los costos
fijos de producción se determinaron en $ 250 000. Además en el estudio de
mercado se encontró que el precio que el cliente está dispuesto a pagar por el
producto que se fabricará en la empresa es de $ 30.00. Determine la cantidad
mínima de productos que deben venderse para no tener pérdidas.
Solución:
1. El ingreso estaría definido por: Ingreso total = $30 (x)
2. El costo total sería: Costo total = $22.50 (x) + $ 250, 000
3. Al igualar ambas funciones se tiene que:
Ingreso total = Costo total 30 (x) = 22.50 (x) + 250, 000
Despejando para x se obtiene: 30 (x) - 22.50 (x) = 250, 000 7.50(x) =
250, 000 x= 250, 000 / 7.50 x = 33, 333. 33 unidades
Esto quiere decir que para que nuestros ingresos sean al menos iguales
a nuestros costos deben producirse al menos 33, 333. 33 unidades
3.2.2 Modelo Grafico Punto de equilibrio
Como se sabe, tanto la función del ingreso como la del costo total son
lineales por lo que sus gráficas serán dos líneas rectas. Si graficamos ambas
funciones dentro de un mismo plano obtendríamos que el punto en el cual se
cruzan determinará el equilibrio entre los costos y los ingresos.
Al graficar ambas funciones debe hacerse teniendo en consideración la
menor producción posible que sería de 0, es decir, no se produciría y un valor
alto y probable de producción para lograr que ambas funciones se intercepten.
La figura anterior nos presenta las graficas tanto para la función de ingresos
como para la de costos del ejemplo utilizado en el punto anterior, además,
muestra la manera en que ambas gráficas se integrarían dentro de un mismo
plano, siendo el punto de intersección de ambas líneas el punto de equilibrio.
Ejemplo :Para el caso de las Empresas Hoteleras hacemos la aplicación del
punto de equilibrio en un hotel de 2 Estrellas “POSADA E.I.R.L.”, que recién se
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
70
constituye, el cual aparte de prestar servicios de alojamiento y hospedaje;
también brindará servicios de restaurante a pequeñas empresas o negocios
unipersonales.
Los costos fijos mensuales a que se incurren son los siguientes:
Gerente S/. 1,400.001.
Abogado S/. 500.002.
Ayudante de limpieza S/. 720.002.
Mozos S/. 1,600.001.
Digitado S/. 400.001.
Secretaria S/. 370.00
-Depreciación de:
1 computadora
2 máquinas sumadoras
3 escritorios S/. 190.00
TOTAL S/. 5,180.00
El costo de suministros, mantenimiento y lavandería de los cuartos de
hospedaje del hotel se estiman en S/.20.00 por cada persona que se hospeda.
La empresa espera que por cada hospedaje de 1 día cobrara S/. 90.00
por habitación a cada persona, y la información que requiere la gerencia
básicamente es saber ¿cuántas personas deberán hospedarse para no ganar ni
perder un nuevo sol?
Solución:
Aplicaremos tres métodos para hallar el punto de equilibrio, En donde:
Pe
= Punto de equilibrio
Pvu = Precio de venta unitario
Cvu =Costo variable unitario
1. MARGEN DECONTRIBUCIÓN
2. ECUACIÓN
a) Pe = Costo fijo = 5,180 = 74
personas
Pvu - Cvu = 90 - 20
IT =CF+CV
CV= 20 * 74 = 1,480
En donde:IT = ingreso total
Reemplazando:
b) Pe = Costo fijo = 5,180 = S/.
6,660
1 - Cvu = 1 – 20
Pvu = 90
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
CF= costo fijo IT = 5,180 + 1,480
CV= costo variable
IT = S/. 6,660
71
3.2.3 Modelo Utilizando la Contribución al Costo Fijo y a la
Utilidad.
Una manera diferente de hacer el análisis de equilibrio es teniendo en
consideración su contribución a la utilidad. Siempre y cuando el precio de venta
p rebase el costo variable por unidad v, la venta de cada unidad tendrá como
resultado una contribución a la utilidad. La diferencia entre el precio de venta y
el costo variable por unidad recibe el nombre de margen de utilidad.
Matemáticamente: Margen de utilidad= p – v
Ejemplo: el margen de utilidad deberá utilizarse primero para subsanar los
costos fijos generados en la producción, mas una vez librados todos estos
costos, el margen de utilidad por unidad contribuirá directamente en la utilidad.
Es decir, si un objeto es vendido a un precio p = $20.00 y el costo variable por
unidad es de v= $5.00, su margen de utilidad será: Margen de utilidad= p – v
Margen de utilidad= $20.00 – $5.00 Margen de utilidad= $15.00
Mas si se considera que para producir se tiene que desembolsar por
concepto de costo fijo la cantidad de $30, 000, los $15.00 pesos de margen de
utilidad de cada producto primero deberán cubrir los costos fijos y hasta lograr
cubrirlos en su totalidad comenzará su contribución a la utilidad.
Para cubrir el costo fijo se necesita: Margen de utilidad (x productos) =
Costo fijo Es decir: 15.00 (x) = 30 000 Despejando para x: x= 30, 000 / 15.00
x= 2000 unidades
Esto quiere decir que solo contribuiremos a la utilidad una vez vendidas
al menos 2000 unidades siendo la utilidad de $15.00 por unidad vendida a
partir de este punto.
3.2.4 Modelos de Equilibrio para Tomar Decisiones de
Comprar o Producir.
Como se comento al inicio del punto 2.2 los modelos de equilibrio sirven
para tomar decisiones principalmente con respecto a la producción.
Cuando se trata de decidir si una empresa produce o compra algún artículo en
particular deben tenerse en consideración los costos tanto fijos como variables
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
72
de cada opción. Una vez considerados tales factores se determinan las
funciones lineales que representarían la relación. Se determina el punto de
equilibrio entre ambas funciones a través del método que se desee, ya sea el
gráfico o el analítico. A partir del punto de equilibrio, la opción que tenga el
costo por unidad menor será la mejor.
Ejemplo: Suponga que un fabricante puede comprar un componente a
un proveedor a un precio de $8.00 por unidad o bien puede invertir $ 40 000 en
equipo y producir este componente a un costo $4.00 por unidad. Decida cual
de las dos opciones es la mejor a un nivel de producción de 15 000 unidades.
El costo de comprar estaría determinado por: Comprar = (8.00) (x)
El costo de producir estaría determinado por: Producir = 40 000 + (4.00) (x)
Igualando ambas opciones se tiene: (8.00) (x)= 40 000 + (4.00) (x)
El equilibrio se encontraría al producir x unidades, despejando para x
tenemos: (4.00) (x) = 40 000 x = 10, 000 unidades
Por lo que a partir de 10, 000 unidades la mejor opción será producir. Sí
el nivel de producción es de 15 000 unidades la mejor opción es invertir en el
equipo y producir en ligar de comprar.
3.3 Sistema de Ecuaciones Lineales.
En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales,
también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema
lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de
ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un
cuerpo o un anillo conmutativo.
Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
73
El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las
variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.
El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más
antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en
procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y
más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de
problemas no lineales de análisis numérico.
3.3.1 Sistema de Ecuaciones 2X2 Y 3X3 Método de
Eliminación Suma y Resta.
Un sistema de dos ecuaciones en dos variables se dice que es de
dimensión 2x2. Un sistema de dos ecuaciones en tres variables se dice que es
de dimensión 2x3. Un sistema de tres ecuaciones en tres variables se dice que
es uno 3x3.
En ésta sección se estudiarán sistemas 2x2 y 3x3.
Ejemplo 1
2x  y  4

 x  2y  8
Dimensión 2x2; hay dos ecuaciones y dos variables
Ejemplo 2
x  y  z   1

 x  2y  z  2
Dimensión 2x3; hay dos ecuaciones y tres variables
Ejemplo 3
2a  b  c  0

 a  b  c  10
 a  2b  c   1

Dimensión 3x3; hay tres ecuaciones y tres variables
Están formados por 2 o más ecuaciones de primer grado, llamadas
también lineales, con 2 o más incógnitas y que deben ser resueltos en forma
simultánea.
Ejemplo:
2x + 3y = 13
x–y=4
Resolver este sistema significa encontrar los valores de x e y que
satisfacen ambas ecuaciones.
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
74
La solución se escribe: x = 5 , y = 1 , o bien ( 5 , 1
Sistemas de 2 x 2:Se llama así a un conjunto de 2 ecuaciones de 1º grado con
2 incógnitas cada una.
x – 5y = 32
Ejemplo:
Sistemas de 3x3
Se llaman así porque están compuestos por 3 ecuaciones y con 3 incógnitas.
Ejemplo:
x+y+z=1
x + y + 2z = 2
Existen varios métodos de resolución de sistemas de ecuaciones:
igualación, sustitución, reducción y cramer.
El método de reducción busca reducir 2 ecuaciones a una sola,
multiplicándolas para que los coeficientes de una de las incógnitas queden
igualados pero con signo contrario y puedan cancelarse.
De esta forma reducimos de 2 incógnitas a solo una y de 2 ecuaciones a una.
Elegir dos ecuaciones y eliminar una variable por el método de suma y
resta (se obtiene la ecuación 4).Elegir dos ecuaciones y eliminar la misma
variable por el método de suma y resta (se obtiene la ecuación 5).
Se toman las ecuaciones 4 y 5(formando un sistema de 2x2) y se resuelve por
el método de preferencia, obteniendo el valor de dos incógnitas.
Se sustituye el valor de las incógnitas en la ecuación de preferencia (1, 2, 3) y
se obtiene el valor de la tercera incógnita.
Ejemplo:
6x+5y+5z=39 …E1
x-16y+2z=-88 …E2
-3x+4y+4z=0 …E3
Paso 1:
3(-x-16y+2z=-88) …E2
-1(-3x+4y+4z=0) …E3
-3X-48Y+6Z=-264
+3X-4Y-4Z=0
-51Y-2Z=-264 …E4
Paso 2:
1(6x+5y+5z=39)
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
Paso3:
17(52y-2z=264) …E4
75
6(-x-16y+2z=-88)
2(-91y+17z=-489) …E5
6x+5y+5z=39
884y-34z=4488
-6x-96y+12z=-528
-182y+34z=-978
= -91y+17z= -489 …E5
702y=3510
y=3510/702
y=5
Paso 4
52y-2z=264
Paso 5:
52(5)-2z=264
-3x+4y+4z=0
260-2z=264
-3x+4(5)+4(-2)=0
-2z=264-260
-2z=4
z=4/(-2)
z=-2
-3x+20-8=0
-3x=0-20+8
-3x=-12
x=-12/(-3)
x=4
x= 4 , y=5,
z= -2
Comprobación:
-x-16y+2z=-88
6x+5y+5y=39
6(4)+5(5)+5(-2)=39
-(4)-16(5)+2(-2)=-88
24+25-10=39
- 4-80-4=-88
39=39
-88=-88
-3x+4y+4z=0
-3(4)+4(5)+4(-2)=0
-12+20-8=0
0=0
3.3.2 Método de Eliminación Gaussiana de Sistemas 2X2, 3X3
Solución Única.
El método de eliminación Gaussiana para la solución de sistemas de
ecuaciones lineales consiste en convertir a través de operaciones básicas
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
76
llamadas operaciones de renglón un sistema en otro equivalente más sencillo
cuya respuesta pueda leerse de manera directa. El método de eliminación
Gaussiana es el mismo para sistemas de ecuaciones 2×2, 3×3, 4×4 y así
sucesivamente siempre y cuando se respete la relación de al menos una
ecuación por cada variable.
Antes de ilustrar el método con un ejemplo, es necesario primeramente
conocer las operaciones básicas de renglón las cuales son presentas a
continuación:
1. Ambos miembros de una ecuación pueden multiplicarse por una constante
diferente de cero.
2. Los múltiplos diferentes de cero de una ecuación pueden sumarse a otra
ecuación
3. El orden de las ecuaciones es intercambiable.
Una vez conocidas las operaciones que en mi afán por resolver un
sistema de ecuaciones puedo realizar procedo a ilustrar el método con un
ejemplo:
1. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
x + 2y + 3z = 1
4x + 5y + 6z= −2
7x + 8y + 10z = 5
Donde cada ecuación representa un renglón y las variables iguales de
las 3 ecuaciones representan las columnas 1, 2 y 3 respectivamente.
Usando el método de eliminación Gaussiana.
Solución:
Para simplificar las operaciones se retiran las variables y se mantienen
exclusivamente los coeficientes de cada una, el signo de igual también es
eliminado pero se mantienen los datos del lado derecho de la ecuación.
Quedando como sigue:
Diagonal principal
La diagonal principal de la matriz busca quede conformada por solo
unidades (1) la parte inferior a la diagonal debe quedar en ceros. Esto se hace
utilizando las operaciones básicas de renglón para las ecuaciones, de arriba
hacia abajo y de izquierda a derecha.
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
77
Multiplico la ecuación 1 por −4 y la resto de la ecuación 2, de igual forma la
multiplico por −7 y la resto de la 3 obteniendo.
Después divido la ecuación 2 (renglón 2) entre −3 para hacer el componente
de la diagonal principal 1 quedando como sigue:
Multiplico la ecuación 2 (renglón 2) por 6 y lo sumo a la ecuación 3 (renglón 3).
Una vez lograda la diagonal principal formada por unidades y los datos por
debajo de la diagonal principal ceros reintegro las variables en cada ecuación y
también el signo igual de las ecuaciones obteniendo:
Donde el valor de z= 10 y al sustituir este valor en la ecuación resultante 2,
tendríamos
y + 2z = 2 al sustituir el valor de z Si z= 10 y y=−18, entonces el valor de
obtenemos que:
x será:
y + 2(10) = 2
1x + 2y + 3z = 1
y + 20 = 2
x + 2(−18) + 3(10)= 1
y = 2- 20
x – 36 + 30 = 1
y = −18
x–6=1
Al sustituir estos valores en la x = 1 + 6
ecuación resultante 1 se tiene:
x=7
1x + 2y + 3z = 1
La solución del sistema de ecuaciones sería x= 7, y= −18, y z= 10.
METODO DE GAUSS.
El método de Gauss-Jordán es una extensión del método de eliminación para
resolver un sistema de ecuaciones lineales. Se usan operaciones sobre
renglones en la matriz aumentada del sistema.
Ejemplo:
Luego usamos sustitución hacia atrás para resolverla.E n el método de Gaussjordan, continuamos el proceso con eliminación adicional de variables,
reemlazando la sustitución hacia atrás como sigue:
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
78
La solución del problema es ahora obvia; esta es (-14,-6,2).Advierta que esta
solución es la última columna de la matriz aumentada final.
En el método Gauss Jordan,las operaciones de renglones puden
efectuarse en cualquier orden, siempre que eventualmente conduzca a la
matriz aumentada de un sistema en el que la variable guía de cada ecuación
no sea la variable guía en ninguna otra ecuación del sistema. Cuando se tiene
una solución única, como en el ejemplo anterior, éste sistema final será la
forma x= constante, y= constante, z= constante,etc.
3.3.3 Aplicaciones a Modelos Económicos Administrativos.
En esta aplicación establecemos un modelo matemático para determinar
el costo total de un programa de capacitación. Luego usamos el cálculo para
encontrar el tiempo entre programas de capacitación que produce el costo total
minimo.El modelo supone que la demanda de aprendices es constante y que el
costo fijo de capacitar un lote de aprendices es conocido. Además se supone
que las personas a quienes se está capacitando,pero para las cuales no se
tiene aun trabajo disponible,resivira una cantidad fija por mes mientras esperan
un trabajo.
El modelo usa las siguientes variables.
D= demanda de aprendices por mes.
N= numero de aprendices por lote
C1= costo fijo de capacitar un lote de aprendices
C2= costo variable de entrenamiento por aprendiz por mes
C3=salario pagado mensual aun aprendiz que no tiene trabajo aun después
de su capacitación
m= intervalo de tiempo en meses entre lotes sucesivos de aprendices
t= longitud de programa de capacitación en meses
Z(m)= costo total mensual del programa
El costo total de capacitar un lote de aprendices esta dado por
C1+NtC2.Sin envargo, N =m D, por lo que el costo total por lote es C1+mDtC2.
Después de capacitarlo, se dan trabajos al personal a razón de D por mes .Así
entonces, N - D de los aprendices no tendrán un trabajo el primer mes,N-2D no
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
79
lo tendrán en el segundo mes , etc .Los N –D aprendices que no tienen trabajo
el primer mes generan costos de (N-D)C3 ,aquellos que no tienen trabajo en el
segundo mes generan costos de (N-2D)C3,etc.
Como N =mD,los costos duran el primer mes pueden escribirse como
(N - D)C3 = (m D - D) C3 = (m-1) DC3,
Mientras que los costos durante el segundo mes son (m-2) DC3, etc.El
costo total de mantener a los aprendices sin trabajo es entonces
(m-1)DC3+ (m-2)DC3
+ (m-3) DC3+…+2DC3+DC3,
Que pude factorizarce como
DC3 [(m-1)+(m-2)+(m-3)+…+2+1].
La expresión en corchetes es la suma de los términos de una sucesión
aritmética. Usando formulas para sucesiones aritméticas, la expresión en
corchetes es igual a m(m-1)/2,por lo que tenemos.
Para el costo total de mantener sin trabajo a los aprendices.
El costo total por la suma del costo de capacitación por lote,C 1+mDtC2 y el
costo de mantener a los aprendices sin trabajo,dado por (1) como suponemos
Que un lote de aprendices se capacita cada m mes,el costo total por mes Z(m),
esta dado por
Ejercicio:
Suponga que una empresa encuentra que su demanda de aprendices es de 3
por mes,que un programa de capacitación requiere 12 meses,que el costo fijo
de entrar un lote de aprendices es de $15,000 que el costo variable por
aprendiz por mes es de $100 y que alos aprendices se les paga $900 por mes
después de la capacitación pero antes de que tenga un trabajo.Use su
resultado del ejercicio 2 y encuentre m.
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
80
UNIDAD 4
Introduccion a las Matematicas Financieras
Objetivo:
Resolver problemas básicos de aplicación e interpretación de matemáticas
financieras en el área de la administración y en el campo de la gastronomía.
4.1 Razones Aritméticas y Geométricas.
Razón es una comparación entre dos cantidades y puede ser:
Aritmética: cuando es simplemente la diferencia entre dos cantidades de la
misma especie:
Ra= a - b Ra= b - a
Geométrica: Es el cociente entre dos cantidades de la misma especie.
Rg= a/b Rg = b/a
Razones: Es el resultado de la comparación de dos cantidades de la misma
especie.
Razón Aritmética: Resultado de la comparación de dos cantidades de la
misma especie con el fin de precisar cuanto excede uno de la otra.
Ejemplo:
100–50=50
Razón Geométrica: Es el resultado de la comparación por cociente de dos
cantidades de la misma especie A y B con el fin de establecer las veces que
una contiene a la otra.
Ejemplo: 100 / 50 = 2
Razón Aritmética
R = a - b Razón aritmética
R = a / b Razón Geométrica
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
81
Pro g resi o n es ari tméti ca s : Una progresión aritmética es una sucesión
de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior
más un número fijo llamado diferencia que se representa por d.
Diferencia:
d = an - an-1
Término general de una progresión aritmética
an = a1 + (n - 1) · d
an = ak + (n - k) · d
Interpolación de términos: Sean los extremos a y b, y el número de medios a
interpolar m.
Su ma d e térmi n o s eq u i di stan tes
ai + aj = a1 + an
a1,a2,a3,…,an-2,an-1,an
a3 + an-2 = a2 + an-1 = a1 + an
Su ma d e n térmi n o s co n secu ti vo s
Pro g resi o n es
g eo métri ca s : Una progresión geométrica es una
sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una
cantidad fija r, llamada razón:
T érmi n o g en eral d e un a p ro g resi ó n g eo métri ca
an = a1 · rn-1
an = ak · rn-k
I n terp o l aci ó n d e térmi n o s
Su ma d e n térmi n o s co n secu ti vo s
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
82
Su ma
de
los
té rmi n o s
de
una
p ro g resi ó n
g eo mét ri ca
d ecreci en te
Pro d u cto d e d o s térmi n o s equ i d i stan tes
ai . aj = a1 . an
a3 · an-2 = a2 · an-1 = ... = a1 · an
p ro d u cto d e n térmi n o s equ i di stan tes
Ejercicio:
El cuarto término de una progresión aritmética es 10, y el sexto es 16.
Escribir la progresión.
a 4 = 10;
a 6 = 16
a n = a k + (n - k) · d
16 = 10 + (6 - 4) d;
d=3
a1= a4 - 3d;
a1 = 10 - 9 = 1
1, 4, 7, 10, 13, ...
Int erp olar t res me dios ar it mét ic os ent re 8 y - 12.
8,
3, -2, - 7 ,
-12.
El primer término de una progresión aritmética es -1.
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
83
El 2º término de una progresión geométrica es 6, y el 5º es 48. Escribir
la progresión.
a2 = 6;
a5 = 48;
an = ak · r n-k
48 = 6 r5-2 ;
r3 = 8;
r = 2.
a1 = a2 / r; a1= 6/2= 3
3, 6, 12, 24, 48 , ...
El 1er término de una progresión geométrica es 3, y el 8º es 384. Hallar
la razón, y la suma y el producto de los 8 primeros términos.
a
1
= 3;
384 = 3 · r8-1 ;
a
= 384;
8
r7 = 128;
r7 = 27;
r= 2.
S8 = (384 · 2 - 3 ) / (2 − 1) = 765
Int erp olar t res me dios g eo mét ri cos ent re 3 y 48.
a = 3;
b = 48;
Entonces=
3,
6, 12, 24,
48
Juan ha comprado 20 libros, por el 1º ha pagado 1€, por el 2º 2 €, por el 3º
4 €, por el 4º 8 € y aí sucesivamente. Cuánto ha pagado por los libros.
a1= 1
r= 2;
n = 20;
S= (1 · 220-1 - 1) / (2 - 1) = 1048575 €.
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
84
Uniendo los puntos medios de los lados de un cuadrado de lado l, se
obtiene otro cuadrado, en el que volvemos a hacer la misma operación, y así
se continúa indefinidamente. Calcular la suma de las áreas de los infinitos
Cuadrados
.
4.2 Proporciones.
La proporcionalidad es una relacion entre magnitudes medibles. Es uno de
los
escasos
conceptos
matematicos
ampliamemte
difundido
en
la
poblacion.La proporcionalidad directa es un caso particular de las
variaciones lineales .El factor constante de proporcionalidad puede utilizarse
para expresar la relacion entre cantidades.
Ejemplo:
Miriam recibe un salario de $1580 semanal.Cuanto ganara al mes?
$1580 = x
1
4
x=$6320.00
Un tubo de cero de 2m pesa 16kg.Cual sera el peso del mismo tubo con una
longitud de 3m?
2 =3
16kg x
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
x=24kg
85
4.3 Reparto Proporcional.
Concepto: “el reparto proporcional no es más que la división equitativa de una
cifra o cantidad dada, entre ciertos números denominados índices del reparto”.
En los problemas del reparto proporcional se consideran tres elementos:
1.-Cantidad a repartir.
2.-Indices del reparto.
3.-Cociente del reparto.
La aplicación del reparto proporcional es muy variada, se aplica en gran
escala en empresas comerciales, pero fundamentalmente en la aplicación ó
prorrateo de gastos en la contabilidad de costos.
Casos:
1.-Simple y directo.
2.-Simple inverso
3.-Compuesto.
4.-Mixto.
Constante de proporcionalidad
Si se tiene la igualdad q = a K el valor es q es directamente proporcional al
b
Valor de a e inversamente proporcional al valor de b y depende del valor
de la constante de proporcionalidad conocido el valor de q para ciertos valores
de q y b queda determinado el valor de k.
Ejemplo:
Si 20 obreros construyen 50m de una carretera en 10 días cuantos
obreros se requieren para construir 1200 m. en 60 días el No. De obres es
directamente proporcional al no. De m. e inv. Proporcional al tiempo en que
deban construirse.
q = ak
b
0 = m k 20 = 50 (10) (20) 200 = 4
1
10
50
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
K= 4
50
86
q = 1200 4 20 (4) = 80 obreros
60
Ejemplo 1. Se compran 25 dulces con $12. ¿Cuántos dulces se puede
comprar con $36?
a) 12.5
b) 50
c) 75
d) 100
Solución:
La proporción es directa ya que con más dinero se compran mayor
número de dulces se establece la proporción 25 dulces es a $ 12. Como X es a
36 entonces.
25 = X X (25) (36) = 900 = 75.
Proporción inversa o regla de tres inversas
Una proporción es inversa si al aumentar una de las cantidades, la otra
disminuye en la misma proporción y viceversa
Definición:
Si “m” es a “n” como “c” es a “d” entonces m.n = c. d.
Ejemplo 2. Un auto viajará a razón de 60 km y tarda 3 horas de ir a una ciudad
y a otra ¿a qué velocidad regresará para cubrir dicha distancia en 2 hrs?
a) 30 km/hr
b) 45 Km/hr
c) 120 Km/hr
d) 90 Km/hr
Solución:
La proporción es inversa, ya que a mayor velocidad se establece la
proporción 60 Km es a 3 horas como “x” es a 2 hrs entonces hr
(60) (3) = 2X X = (60)(3) = 180 = 90 Km 2 2 h r.
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
87
Ejercicio: Compuesta
4 hombres – 8 horas – 100m – 10 días
60 obreros hacen en 30 días 100 metros 10 obreros en 20 días cuantos metros
harán
−60HOMBRES −30DIAS + 100M.
+10HOMBRES +20DIAS - X
R=10X20X100/60X30=20,000/1800= 11.11111 METROS.
Reparto proporcional
Un empresario por la realización de un trabajo debe repartir $4,500
entre 3 obreros de los que el primero a dedicado 10 hrs., el segundo 15 y el
tercero 20, de manera que cada uno reciba una cantidad proporcional al
número de horas empleadas es necesario evaluar el total de horas empeladas
y adjudicarle el total de la cantidad que se haya de percibir.
10+15+20=45
OBRERO 1 = 10X4500/45 = $1000
OBRERO 2 = 15X4500/45 = $1500
OBRERO 3 = 20X4500/45 = $2000
________
TOTAL DE $4,500.00
4.4 Regla de Tres (Inversa y Compuesta)
La
reg la
de
t res
co mp uest a
se
e mp lea
c ua ndo
se
relaci o na n t res o más magn it u des , de mod o que a part ir de l as
relaci ones
est a blec id as
ent re
las
ma gn it udes
co noci da s
obt en emos la d escon ocid a.
Una regla de t res co mpue st a se compon e de v arias reg la s
de t res simples apl icad as suce siv ament e.
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
88
Como
ent r e
las
mag ni t udes
se
p ued en
est ab lec er
relaci ones de pro porci on ali da d direct a o i nv ersa , pode mo s
dist ing uir t res casos d e regl a d e t res comp uest a :
Regl a de t res co mp uest a dir ect a
Ejemp l o :
Nuev e
grif os
abiert os
d urant e
10
hor as
di arias
ha n
consu mi do un a ca nt id ad de ag ua por v alor de 2 0 €. Av erigua r
el prec io d el v ert ido de 15 gr if os abi ert os 12 horas d ura nt e l os
mis mos dí as.
A más grifos, más euros
Directa.
A más horas, más euros
Directa.
9 grifos
10 horas
15 grifos
12 horas
20 €
x€
Reg l a d e tres co mp u esta i n ve rsa
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
89
Ejemp l o :
5 o brer os t rab aja ndo, t raba jan do 6 h oras di arias co nst ru yen u n
mur o en 2 dí as. ¿ Cuá nt o t ar darán 4 obrer os t rabaj an do 7
horas di ari as?
A menos obreros, más días
Inversa.
A más horas, menos días
Inversa.
5 obreros
6 horas
2 días
4 obreros
7 horas
x días
4.5 Tanto por Ciento.
La palabra "por ciento" significa "por cien", como si dividieras algo por
cien. En otras palabras, por ciento significa una centésima parte de algo. Un
por ciento es 1/100, 67% es 67/100, etc.
Consideramos alguna cantidad, por ejemplo 65 o $489 o 1.392, como
"un total". Si divides este "total" a cien partes iguales en su mente, entonces
cada parte es un por ciento del total.
Si el "total" es 650 personas, entonces 1% de eso será 6.5 people (si
se trata de una aplicación práctica, necesitaría redondear tal respuesta a
personas enteras, por supuesto).
Si el "total" es $42, luego 1% de él es $0.42. Y, 2% de él será $0.84 (doble
de 1%). Entonces, para hallar 1% de algo, divide por 100.
Cómo hallar un porcentaje o tanto por ciento de un número
Para hallar 24% o 8% o cualquier otro porcentaje de alguna cantidad,
puedes primero hallar el 1% de la cantidad, y luego multiplicar el resultado
por 24 o 8 o cualquier sea su tanto por ciento.
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
90
Ejemplos:
Halla 7% de $41.50. Primero calcula $41.50/100 para obtener 1% ó
1/100 de $41.50. Entonces multiplica eso por 7. Respuesta: $2.905.
Pero esa calculación es la misma que (7/100) x $41.50. Recuerda
que 7/100 es 0.07 como un decimal. En la mayoría de las calculaciones, es
más práctico usar decimales en lugar de esa regla de "divide por 100, luego
multiplica".
Pues, para hallar 7% de $41.50, yo simplemente calculo 0.07 x $41.50
con un calculador. Es tan simple que convertir el porciento en un decimal:
7% es 0.07.
Otra posibilidad es una regla: se multiplica por el "tanto" y se divide por el
"ciento":
Halla 78% de 905. El número 78 es el "tanto". Entonces multiplicamos
78 × 905, y después dividimos por cien: 78 × 905 / 100 = 705.9.
Si el 20% de una sierta cantidad total es 120. Cuál es el total ?
Cantidad porcentaje.
X
100
120
20
x=100. 1200 = 600
20
4.6 Progresiones Aritméticas y Geométricas.
Una progresión aritmética es una sucucion en la que cada termino se
obtiene apartir del anterior sumándole una cantidad fija que se denomina
diferencia de la progresión.
Formula del término general: am=a1+(n-1).a
an = termino general
a1 = valor del 1er termino
n = numero de términos
d = diferencia
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
91
Ejemplo:
a) 3,7,11,15 ,19
d=4
Con la fórmula del término general podemos calcular el valor de cualquier
término de la progresión. Sustantivos
a6 = 4(6) -1 = 24-1=23
a6 = 23
Una progresión geométrica es una sucesión en la cual cada termino se obtiene
a partir del anterior multiplicándolo por una cantidad fija, llamada razón de la
progresión
an = an =1.y
Formula del término general:
an=a1.rn-1
an= termino general
a1= valor del primer termino
n= numero de termino
r= razón
Ejemplo:
Identifica los tres primeros términos y la razón en la siguiente progresión
aritmética
a)1,3,9,27,81
r=3
sustituimos a1 y r
an =1.3n-1
Comprobamos a tenemos bien calculados.
a5 = 35-1
= a5 = 34 = 81
Ejercicio resuelto
1.- Hallar el t50 en la siguiente P.A.:
2, 5, 8,11,…
Solución:
Datos: r= 5 – 2 = 3
t1 = 2
n = 50
Aplicando la formula:
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
92
tn = t1 + (n-1) r
Se tiene: t50 = t1 + (50 - 1) r
t50 = 2 + (49)(3) = 149
Respuesta: t50 = 149
UNIDAD 5
Intereses Simple y Compuesto
Objetivo:
Aplicar los conceptos de interés simple e interés compuesto a problemas
diversos, analizando los resultados con cambios de las diferentes variables que
intervienen en su obtención
5.1 Conceptos Básicos.
En el sector financiero encontramos dos grupos de agentes económicos
o unidades financieras, aquellos que presentan un excedente en sus
necesidades de fondos (unidades ahorradoras) y aquellos que muestran
fondos insuficientes para sus necesidades (unidades deudoras). El sector
financiero posibilita, a través de las operaciones financieras, que las unidades
ahorradoras se desprendan de su excedente de fondos para utilizarlo en su
consumo futuro y tal excedente canalizarlo hacia las unidades deudoras que
cuentan con fondos insuficientes por su deseo de incrementar su consumo
presente.
Este capital financiero, propiedad de las unidades ahorradoras, presta
un servicio por el cual hay que pagar. Por lo que se llama interés al incremento
de capital que reciben las unidades ahorradoras como parte de pago de los
servicios prestados por su capital financiero.
Y también, viéndolo del lado de las unidades
deudoras, el interés es el monto que debe
pagarse por gozar del servicio del capital
financiero prestado.
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
93
Podemos decir que toda operación financiera cuenta con los siguientes
elementos: El capital financiero [f(t)] que es el monto en efectivo valuado en
una moneda particular del que se desprende la unidad ahorradora y del que
toma una unidad deudora.
El período de tiempo (t) por el cual el capital financiero prestará su servicio,
llamando unidad de tiempo al período al final del cual se computan los
intereses para ser cobrados, pagados o capitalizados.
- La tasa de interés (i) es la tasa de incremento de una unidad de capital en
una unidad de tiempo, denominando interés al incremento total del capital
financiero. La misma puede expresarse en tanto por uno (ej: 0,05 anual) o en
porcentaje (e j: 5 % anual).
Los cuales podemos graficar:
5.2 Valor Presente y Futuro.
Valor presente, P: corresponde a la cantidad de dinero que se invierte o se
presta ahora, a la tasa de interés i y durante N periodos.
Tasa de interés periódica, i: Es la tasa que se obtiene durante cada periodo de
conversión de los intereses a capital.
Periodos de conversión, N: Tratándose de rendimientos efectivos, N son los
periodos de conversión durante los cuales se invierte o se presta P.
Valor futuro, F: El valor futuro F, es la cantidad de dinero de la cual se
dispone al final de la transacción. Equivale a un pago único futuro en N,
equivalente a un pago único presente ahora.
Los intereses obtenidos periódicamente se han reinvertido o capitalizado
hasta el final de los períodos de conversión.
(1 + i ) N: Se conoce como el factor que convierte un pago único presente en
un pago único futuro equivalente a una tasa de interés i y en N periodos.
Las aplicaciones del esquema de pagos únicos:
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
94
1. Dados los valores del valor presente, la tasa de interés y los periodos de
conversión, hallar el valor futuro.
Ejemplo 1.
Hallar el valor futuro de $1 millón, invertido a una tasa del 5% trimestral
al cabo de 2 años. Definamos los valores de las variables así:
P = 1.000.000
i = 5% periódico trimestral
N = 8 periodos trimestrales.
Nota: La periodicidad de la tasa de interés debe coincidir con la periodicidad
del plazo de tiempo, en este caso trimestres y donde la tasa de interés
determina la periodicidad.
Luego elaboramos el diagrama de flujo de caja y definimos la formula que
determina el valor futuro:
F = 1.000.000 * (1+ 0.05)8 = $1.477.455.
El valor futuro de $1.477.455 es equivalente al valor presente de
$1.000.000. siempre y cuando los rendimientos generados al 5% trimestral se
reinviertan a la misma tasa durante los 8 periodos trimestrales siguientes. La
equivalencia en matemáticas financieras supone siempre la reinversión a la
tasa de interés periódica.
2. Dados los valores del futuro, la tasa de interés y los periodos de conversión
hallar el valor presente.
Ejemplo 2.
Hallar la cantidad de dinero que se debe invertir hoy para disponer de
$2.000.000 al final de 3 años, si la tasa de interés es del 2% mensual.
F = 2.000.000
i = 2% mensual
N = 36 meses.
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
95
F = P * (1+ i)N , despejamos el valor de P.
P = F * (1+i)- N. (1+ i )-N: Es el factor que convierte un pago único futuro de
valor F, en un pago único presente de valor P equivalente.
Diagrama de flujo de caja:
P = 2.000.000 * (1+.02)−36 = $980.446.
Valor presente, P: El valor presente de una cantidad F, es aquel valor P
que invertido ahora a una tasa de interés i y en N periodos será igual a F. Lo
anterior quiere significar que si se invierten $980.446 ahora en una entidad que
paga una tasa del 2% mensual, al cabo de 36 meses se dispone de
$2.000.000.
3. Dados los valores: presente, valor futuro y tasa de interés, hallar los
periodos de conversión.
Ejemplo 3.
En cuantos meses una inversión de $5.000.000 se duplica, si la tasa de
interés es del 1.5% mensual.
P = 5.000.000
F = 10.000.000
I =1.5% mensual.
De F = P * (1 + i)N , despejamos el valor de N.
N = log ( F / P ) ÷ log ( 1+ i ).
N = log2 ÷ log1.015 = 47 meses aproximadamente.
4. Dados los valores: presente, valor futuro y de los periodos de conversión,
hallar la tasa de interés periódica.
Ejemplo 4.
Una inversión de $2 Millones, realizada hace 15 años alcanza hoy un
valor de $70 Millones. Por consiguiente determinar tasa de interés mensual,
trimestral, semestral y anual.
P = 2.000.000 F = 70.000.000.
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
96
Mensual: Trimestral: Semestral: Anual:
N = 180 N = 60 N = 30 N = 15
i=1.99% i=6.10% i=12.58% i=26.75%
Para hallar la tasa de interés periódica, despejamos de F = P * ( 1 + i )N
el valor de i.
i = ( F / P )1/ N-1.
Las tasas periódicas del ejemplo son tasas equivalentes, lo anterior
significa que si la tasa periódica mensual del 1.99% se reinvierte, al cabo del
trimestre se dispone de la tasa del 6.10%, al final del semestre de 12.58% y al
final del año de 26.75%. Así con las otras tasas en las cuales se obtiene una
tasa periódica anual del 26.75%, en todos los casos.
5.3 Monto.
El monto se obtiene al sumar el capital con el interés simple, al final del
tiempo de préstamo. El monto se representará con la letra M. De acuerdo a lo
indicado en la definición, se puede decir que el monto es igual a:
M = IS + C
Ahora , si expresamos el Interés en forma anual y en función del capital,
quedaría así:
Al factorizar esta expresión por factor común C, queda:
Ejemplo 1:
El señor Jeremías Batzín acude a BANRURAL S. A. para que le presten
9,300 quetzales para 5 años, con una tasa de interés del 18% anual. Hallar el
Interés simple y el monto que deberá pagar el señor Jeremías.
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
97
Encontrando únicamente el monto queda:
Respuesta:
El señor Jeremías Batzín deberá pagar 8,730 quetzales de interés
simple. De monto deberá pagar: Monto es igual a 9,300+8,730=17,670
quetzales.
5.4 Intereses Simple y Ordinario.
El Interés Simple ordinario es Calculado Con El supuesto de q el año de
es de 360 días. A diferencia del Interés simple Exacto que se calcula con el
supuesto de q el año es de 365 días, 366 en año bisiesto.
Ejercicio: (Interés simple ordinario y comercial)
Calcular el interés simple ordinario o comercial y exacto de un préstamo
por UM 600 con una tasa de interés del 15% durante un año.
Solución: (operamos en base anual)
VA = 600; n COMERCIAL= 1; n EXACTO (30/365)*12 = 0.9863; i = 0.15; I =?
[8] I (ORDINARIO) = 600*0.15*1 = UM 90.00
[8] I (EXACTO) = 600*0.15*0.9863 = UM 88.77
Ejemplo 1:
Silvia Suarez pide un préstamo de $5000 a un interés del 11% por 11 meses.
Cuánto interés tiene que pagar?
I=Prt
P=500
r=11%=0.11
I = (5000)(0.91666) = 504.16
I = $504.16
t=11meses=0.91666 años.
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
98
Ejemplo 2:
Una empresa restaurantera solicita al banco $2 800 000 con un interés del
8.5% a 64 meses. Calcular el interés que tiene que pagar ?
I=Prt
P = 2 800 000
I = (2 800 000)(0.085)(5.333)=1269 333.33
r = 8.5% = 0.085
t = 64 meses =5.333 años
I = $1269 333.30
Con el interés simple ordinario pagamos mayores cantidades de dinero
que con el exacto, en casos como éste, de sumas pequeñas, la diferencia es
mínima; en montos mayores ésta puede convertirse en fuente de pagos
mayores. Por lo general los bancos y empresas de venta al crédito operan
aplicando el interés ordinario.
5.5 Plazo.
Plazo o tiempo: Es el que normalmente se especifica en el documento
o contrato puede ser cualquier unidad de tiempo; días, meses, años, etc.
Plazo de una anualidad: Es el tiempo que transcurre entre el inicio del primer
pago y el final.
A corto plazo: la duración de la operación no supera el año.
A largo plazo: aquellas con una duración superior al año.
El Depósito a plazo o imposición a plazo fijo (IPF) es una operación
financiera por la cual una entidad financiera, a cambio del mantenimiento de
ciertos recursos monetarios inmovilizados en un período determinado,
reporta una rentabilidad financiera fija o variable, en forma de dinero o en
especie.
En término, la persona puede retirar todo el dinero o parte del mismo.
Si las condiciones pactadas lo permiten, podría también renovar la
imposición por un período suplementario: en este último caso, si no se toma
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
99
una decisión el mismo día del vencimiento, no se pierden los intereses
generados hasta el momento, pero sí se pierden días durante los cuales se
podrían estar generando nuevos intereses.
Siempre que se contrata un depósito hay que tener en cuenta la
posible necesidad de liquidez del capital invertido ya que algunas entidades
cobran una cantidad o porcentaje por la cancelación anticipada del depósito,
mientras que en otros casos no existe tal comisión de cancelación
anticipada.
5.6 Descuento.
En el ámbito de la economía financiera, descuento es una operación que
se lleva a cabo en instituciones bancarias en las que éstas adquieren pagarés
o letras de cambio de cuyo valor nominal se descuenta el equivalente a los
intereses que generaría el papel entre su fecha de emisión y la fecha de
vencimiento.
Descuento Financiero: Bajo esta figura existen dos tipos de descuentos
El descuento legal o racional: En el descuento racional, el descuento se
calcula aplicando el tipo de interés y las leyes del interés simple, mientras que
en el comercial, el descuento se calcula sobre el valor nominal del documento.
Descuento de los Títulos de Crédito: Es la adquisición, por parte del
descontador, de un crédito a cargo de un tercero, de que es titular el
descontatario, mediante el pago al contado del importe del crédito, menos la
tasa del descuento.
Se calculan utilizando la fórmula:
Donde:
D: es igual al descuento efectuado
N: es el valor nominal del documento
I: representa la tasa de interés del descuento
d: representa la tasa de descuento aplicada
t: representa el tiempo.
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
100
Ejemplo 1:
Teresa de Palo necesita un préstamo de su banco y conviene en pagar $8500
a su banquero en 9 meses.El banquero resta un descuento de 12% y entrega a
De Palo el resto. Encuentre el monto del descuento y el beneficio neto,el
descuento se encuentra de la misma manera que el intereses simple, excepto
que la operación se basa en la cantidad por pagar.
Descuento=8500 ( . 12)(9/12)=765.00
El beneficio neto se encuentra restando el descuento de la cantidad original.
Beneficio neto=$8500 - $765.00 = $7735.00
Ejemplo 2:
Considere un préstamo de $3000 a 6% de interés por 9 meses.Encuentre el
monto de descuento.
D=3000( . 06)(9/12)
D=3000( . 06)( . 75)
D=$135
5.7 Ecuación de Valor.
En estas ecuaciones de valor se hace uso de un concepto "Fecha Focal",
la cual significa la fecha en las cual se capitalizan o actualizan las viejas y
nuevas obligaciones. Para ello, el deudor y acreedor tienen que convenir:
1. La nueva tasa de interés a la que se hará la sustitución de las deudas
originales.
2. La fecha de valuación, conocida como la fecha focal.
Para resolver este tipo de ecuaciones de valor, se hace uso del diagrama
de tiempo-valor, en donde en la parte de arriba se anotan las fechas y deudas
originales y en la parte de abajo se colocan las nuevas deudas.
Ejemplo:
El señor Juan Diaz firmó el primero del mes de febrero un pagaré por
15,000 quetzales a 120 días, con 9.7% de interés anual. 90 días después
suscribió otro pagaré por 12,000 quetzales a 120 días, sin pagar intereses. 90
días después de esa fecha inicial, conviene con su acreedor, el señor Juan
Miguel Solís, sustituir estas dos obligaciones en la siguiente forma.
Pagar 6,000 quetzales el 1 de mayo y recoger los dos pagarés,
sustituyéndolo por uno solo a 150 días, contados a partir de la fecha en que se
cancelan los 6,000 quetzales. El señor Juan Miguel Solís indicó estar de
acuerdo con dicha renovación, siempre y cuando logre un rendimiento del
11.2% anual. ¿Qué pago único deberá realizar el señor Juan Díaz, al vencer
los 240 días, considerando esta como la fecha focal? Utilice el año comercial.
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
101
a) elaborando el diagrama
de tiempo-valor
b) haciendo los cálculos para el vencimiento de los pagares
El Segundo pagaré no genera intereses.
c) llevando los viejos montos a la fecha focal
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
102
d) llevando las nuevas obligaciones a la fecha focal
Se realizó un pago de 6,000 quetzales, los cuales ganan intereses en la
fecha focal. Los cálculos son:
El otro pago, o sea el último pago no gana intereses, dado que se paga
en la fecha focal, por lo que se tiene la siguiente ecuación:
Viejas obligaciones = Nuevas obligaciones
16,063.11+12,122 = 6,280 + X
28,175.11-6,280 = X
X = 21,895.11
Respuesta:
El pago único que deberá hacer Juan Díaz será de 21,895.11 quetzales
5.8 Aplicaciones.
El alumno investigara más problemas de aplicación en los libros de la
biblioteca.
Matemáticas para Administración y Economía
Séptima Edición
Lial Hungerford
Número de Paginas: 645
Pearson Educación
Matemáticas para Administración y Economía
Cuarta Edición
Jean E. Weber
Número de Paginas: 823
Oxford University press
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
103
5.9 Interés Compuesto.
El concepto y la fórmula general del interés compuesto es una potente
herramienta en el análisis y evaluación financiera de los movimientos de
dinero.
El interés compuesto es fundamental para entender las matemáticas
financieras. Con la aplicación del interés compuesto obtenemos intereses
sobre intereses, esto es la capitalización del dinero en el tiempo. Calculamos el
monto del interés sobre la base inicial más todos los intereses acumulados en
períodos anteriores; es decir, los intereses recibidos son reinvertidos y pasan a
convertirse en nuevo capital.
Llamamos monto de capital a interés compuesto o monto compuesto a la
suma del capital inicial con sus intereses. La diferencia entre el monto
compuesto y el capital original es el interés compuesto.
El intervalo al final del cual capitalizamos el interés recibe el nombre de
período de capitalización. La frecuencia de capitalización es el número de
veces por año en que el interés pasa a convertirse en capital, por acumulación.
El interés simple se usa normalmente para préstamos de un año o
menos. Para periodos menores se usa el interés compuesto, el interés se
carga(o se paga) al interés así como a la capital. Por ejemplo, si $1000 se
depositan al 5% compuesto anualmente,entonces el interés en el primer año es
$1000(0.05)=$50, igual que con interés simple, por lo que el balance de la
cuenta es de $1050 al final del año se paga interés sobre los $1050(no solo
sobre los originales $1000, como en el caso del interés simple), por lo que la
cantidad en la cuenta al final del segundo año es de $1050+1050(0.05)
=1102.50.Esto es más de lo que el interés simple produce.
Para encontrar una fórmula para el interés compuesto, suponga que P dólares
se depositan a un interés r por año. La cantidad A en depósito después de un
año se encuentra con la fórmula del interés simple.
A = P[1+r(1)] = P(1+r)
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
104
Si el depósito gana interés compuesto, el interés para el segundo año se paga
sobre la cantidad total en el depósito al final del primer año ,P (1+r).Con la
formula A=P(1+rt ) de nuevo, con P=P(1=r) y t=1, se obtiene la cantidad total
en depósito al final del segundo año.
A = [P(1+r)](1+r) = P(1+r)2
De la misma manera, la cantidad total en depósito al final del tercer año es
P (1+r)3.
Continuando de esta manera,la cantidad total en deposito después de t año es
A=P(1+r)t,
Llamado el capital compuesto.
NOTA compare esta fórmula para el interés compuesto con la fórmula para el
interés simple de la sección previa.
Interés compuesto
A=P(1+r)t
Interés simple
A=P(1+rt)
La figura 6.2 muestra graficas generales con calculadora a partir de esas dos
formulas con P=1000 y r=10% de 0 a 20 año. El valor futuro después de 15
años se muestra para cada grafica. Después de15 años a interés
compuesto,$1000 crece a $4177.25,mientras que con interés simple, crece a
$2500.00,una diferencia de $1677.25.
Ejemplo:
1.-
Calcular el monto y los intereses obtenidos al invertir $200.- al 5% de
interés anual durante 10 años en régimen de capitalización compuesta.
Respuesta:
M = $ 325,78:1 = $ 25,78
2.- ¿Qué suma de dinero mínima se debe invertir si en 2 años se desea
disponer de $1.500.- y se consigue una tasa de interés compuesto del 6%
anual?
Respuesta:
$1, 334,99
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
105
3.- ¿Qué intereses producirán $300.- invertidos 4 años al 7% de interés
compuesto anual?
Respuesta:
$93, 24
4.- Determine la tasa de interés anual a la que deben invertirse $1.000.- para
que, en 12 años, se obtenga un monto de $1.601,03.-.
Respuesta:
4%
5.- Un capital de $2.000.- colocado al 4% de interés compuesto anual
asciende a $3.202.-. Determine el tiempo que estuvo impuesto.
Respuesta:
12 años
6.- Hallar el monto obtenido tras depositar $3.000.- durante 6 años y 3 meses
al 5% de interés compuesto anual.
Respuesta:
$4.069,63
7.- ¿Qué oferta es más conveniente para la venta de una propiedad sabiendo
que el dinero no utilizado puede ser depositado al 8% anual de interés con
capitalización semestral, si las propuestas son:
a) $90.000.- de contado;
b) $40.000.- de contado y el saldo en 3 pagarés iguales de $20.000.- a
1, 2 y 3 años de plazo.
Respuesta: b) por$1,393.50
5.10 Valor Presente y Futuro.
Valor futuro: significa el valor de un pago futuro en fecha determinada antes
del vencimiento. Cuanto menos tiempo falta para el vencimiento, mayor es el
valor actual del monto adeudado, y, en la fecha del vencimiento, el valor actual
es equivalente al monto por pagar. Para comprobar uno cualquiera de esos
valores actuales, basta hallar si a la tasa indicada, en el tiempo expuesto, el
valor actual es la cantidad adeudada.
Un deposito de P dólares hoy a una tasa de interés r por t años produce interés
de I =Prt.El interés, sumado al capital original P da
P +P r t = P (1+rt)
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
106
Esta cantidad se llama el valor futuro de P dólares a una tasa de interés r por el
tiempo t en años. Cuando hay prestamos implicados, el valor futuro suele
llamarse el valor al vencimiento del préstamo.
Ejemplo:
A=P (1+rt)
Un préstamo de $100 000 por pagarse en 6 meses con un interés de 15%
P=$100 000
A=100 000(1+(0.15)(0.5))
t=6 meses=0.5
=100 000(1+0.075)
r=15%=0.15
=100 000(1.075)
=$107 500
Valor presente: Una suma de dinero que puede depositarse hoy para producir
una cantidad mayor en el futuro se llama el valor presente de esa cantidad
futura. El valor presente se refiere al capital por invertir o prestar, por lo que
usamos la misma variable P que para el capital. En problemas de interés,P
siempre representa la cantidad al final del periodo. Pará encontrar una una
formula para P, comenzamos con la fórmula para el valor futuro
A = P(1+rt)
Dividiendo cada lado entre 1 + r t obtenemos la siguiente fórmula para el valor
presente.
P=
Ejemplo:
Encontrar el valor presente de $72 000 a 10 meses con 11% de interés.
A=72 000
t=10 meses=0.8333
r=11%=0.11
P=
P = $65 954.60
5.11 Tasa Nominal, Efectiva y Equivalente
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
107
Tasa Nominal: Es aquella que denota un crecimiento en el monto de dinero,
sin ajustar la moneda por inflación.
La tasa nominal es el interés que capitaliza más de una vez por año.
Esta tasa convencional o de referencia lo fija el Banco Federal o Banco Central
de un país para regular las operaciones activas (préstamos y créditos) y
pasivas (depósitos y ahorros) del sistema financiero. Es una tasa de interés
simple.
Siendo la tasa nominal un límite para ambas operaciones y como su
empleo es anual resulta equivalente decir tasa nominal o tasa nominal anual.
La ecuación de la tasa nominal es:
j = tasa de interés por período x número de períodos
Ejemplo:
¿A qué tasa nominal convertible trimestralmente, un capital de $30000.00
crecerá a $100,000.00 en cinco años?
M = C (1 + i)n
100000 / 30000 = (1 + i)n
Pero (1 + i)n = (1 + j/m) m n
Donde n = 5 años, y n = 4
Así, (1 + j/4)20 = 100000 / 30000
(1 + j/4) = (3.333333)1/20
j = 4{(3.333333)1/20 - 1)}
j = 4(1.062048 - 1)
j = 0.24819
Se requiere una tasa nominal de 24.82% convertible trimestralmente para que
un capital de $3,000.00 se convierta en un monto de $10,000.00 en un plazo
de 5 años.
Tasa Efectiva: Es cuando el interés se capitaliza en forma semestral, trimestral
o mensual, la cantidad efectivamente pagada o ganada es mayor que si se
compone en forma anual.
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
108
Con el objeto de conocer con precisión el valor del dinero en el tiempo
es necesario que las tasas de interés nominales sean convertidas a tasas
efectivas.
La tasa efectiva es aquella a la que efectivamente está colocado el
capital. La capitalización del interés en determinado número de veces por año,
da lugar a una tasa efectiva mayor que la nominal. Esta tasa representa
globalmente el pago de intereses, impuestos, comisiones y cualquier otro tipo
de gastos que la operación financiera implique. La tasa efectiva es una función
exponencial de la tasa periódica.
Las tasas nominales y efectivas, tienen la misma relación entre sí que el
interés simple con el compuesto (Capítulo 3). Las diferencias están manifiestas
en la definición de ambas tasas.
Con el objeto de conocer con precisión el valor del dinero en el tiempo
es necesario que las tasas de interés nominales sean convertidas a tasas
efectivas. Por definición de la palabra nominal «pretendida, llamada, ostensible
o profesada» diríamos que la tasa de interés nominal no es una tasa correcta,
real, genuina o efectiva.
Cuando no está especificado el período de capitalización (PC)
suponemos que las tasas son efectivas y el PC es el mismo que la tasa de
interés especificada.
Ejemplo: Sí se presta un capital al 8%, con capitalización trimestral, el 8% es
la tasa nominal anual, la tasa efectiva queda expresada por los intereses que
corresponden a $100.00 en un año, en las condiciones del préstamo.
M = 100.00
T = 8% (Tasa Nominal).
t = 8 / 4 = 0.02 (Tasa Efectiva).
n=4
M = (100) * (1 + 0.02)4 = (100 ) * ( 1.02)4 = (100) (1.0824321) = $108.24321
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
109
Tasa Equivalente: Cuando dos tasas de interés anuales con diferentes
periodos de capitalización producen el mismo interés compuesto al cabo de un
año. Son aquellas que, en condiciones diferentes, producen la misma tasa
efectiva anual. Así, para 12% con capitalización trimestral se tiene CP = 4, T =
12, T/n = 12/4 = 3%
CP = Periodos de capitalización
T = Tasa Nominal
n = Número de periodos.
Ejemplo: ¿Cuál es el monto de un capital de $30,000.00 impuesto a interés
compuesto a la tasa del 34% Anual, capitalizable trimestralmente durante 4
años?
C = $30,000.00
T = 34% Anual.
t = 34 / 4 = 0.085
n = 4 años x 4 = 16 trimestres
CP = Trimestral
M=X
Se ha establecido que ambas tasas son Equivalentes si producen un mismo
interés al cabo de un año
5.12 Tipo. (Interés simple y compuesto)
El tipo de interés sería entonces el interés que corresponde a un capital
(lo que se llama principal). Se expresa en tanto por ciento sobre el importe del
capital y se refiere a un periodo de tiempo determinado. Normalmente se
expresan los tipos de interes sobre el capital que se presta en un año
Ejemplo:
Si se dice que el tipo de interés de un préstamo es el 4 % anual, significa
que el interés que recibirá la entidad de crédito es de 4 euros por cada 100
euros que haya prestado durante un año.
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
110
Si se dice que el tipo de interés de un depósito de 100 euros es el 8%
anual pagadero solo durante un trimestre, significa que al final del trimestre le
darán 2 euros, que es lo mismo que un tipo de interés del 2% trimestral.
Tenga en cuenta que, por razones de economía lingüística, muchas veces
se utiliza el término “interés” como sinónimo de tipo de interés. Ejemplo: el
interés a cobrar por este préstamo es el 4 % anual; en realidad, el 4 % es el
tipo anual de interés, y el interés será el resultado de aplicar dicho porcentaje
al principal del préstamo durante el periodo de tiempo que corresponda. En el
ejemplo anterior, 4 euros. En una operación con interés simple, los intereses
liquidados no se suman periódicamente al capital (se cobran sin más), y por
tanto no generan nuevos intereses.
Tipo de interés simple y compuesto: En una operación con interés
compuesto, los intereses en cada período se suman al capital inicial para
producir con ellos nuevos intereses.
Tipo de interés nominal y efectivo: Cuando el periodo de tiempo previsto
para el cálculo y liquidación de intereses coincide con la forma de expresión del
tipo de interés se está utilizando un tipo de interés nominal.
Bajo la hipótesis del tipo de interés compuesto se construye el tipo de
interés efectivo. Así, por ejemplo, un préstamo con un tipo de interés nominal
anual del 4%, cuyos intereses se pagan cada semestre, es un préstamo con un
tipo de interés efectivo del 4,04%.
Tipo de Interés Fijo y Variable: Llamamos tipo de interés fijo al tipo de interés
cuya tasa porcentual se mantiene igual a lo largo de todo el tiempo que dura
el préstamo o el depósito.
En las de interés variable, el tipo cambia a lo largo del tiempo. En este
caso, el tipo de interés que se aplica en cada periodo de tiempo suele
expresarse como la suma de un índice o tipo de interés de referencia y un
porcentaje o margen diferencial (habitualmente constante).
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
111
La duración de cada uno de los períodos en los que se mantiene el tipo
de interés, así como el diferencial que se aplica, puede ser mayor o menor.
También existen operaciones mixtas. En algunas se pacta un tipo fijo para
un periodo inicial, y un tipo variable para el resto del plazo. En otros casos un
porcentaje de la operación (por ejemplo el 30%) es a tipo fijo y el resto del
importe (en este caso sería el 70%) lo es a tipo variable.
De cualquier modo, en España las condiciones de los préstamos son libres
y pueden negociarse de forma autónoma entre las partes.
Tipos de Interés Implícitos: Hay operaciones en las que el tipo de interés que
se aplica no es manifiesto. Por ejemplo una operación en la que acordamos
con la entidad bancaria entregar un determinado importe y esta se compromete
a devolvernos uno mayor a su vencimiento.
Este sería el caso de las cesiones temporales de activos, un producto
que ofrecen las entidades de crédito para captar fondos del público. Usted,
como cliente, entrega un dinero a la entidad y ésta adquiere para usted, o le
vende de su propia cartera, unos determinados valores, comprometiéndose a
recomprárselos por una cantidad –mayor que lo que Ud. ha pagado- en una
fecha posterior. La diferencia de precio es el interés que usted consigue. Las
cesiones temporales, también llamadas “repos”, son una operativa típica del
mercado de deuda pública anotada en España.
5.13 Tiempo.
Tiempo: Es el intervalo durante el cual tiene lugar la operación financiera en
estudio, la unidad de tiempo es el año.
Periodo: Es el intervalo de tiempo en el que se liquida la tasa de interés (año,
semestre, trimestre, bimestre, mes, quincena, semana, diario, etc.).
Capital: Es el dinero que se presta, comúnmente se le denomina valor
presente.
Importancia del Tiempo: Es importante señalar que el año natural tiene 365
días o 366 días si es bisiesto, y que el año comercial sólo se consideran 12
meses de 30 días es decir de 360 días al año, es por ello que debemos
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
112
considerar en algunas transacciones, los días transcurridos en forma exacta,
así también, la fecha de vencimiento de un documento.
Días Transcurridos: Para obtener los días transcurridos de una operación
financiera, primero: se obtiene la diferencia entre el día del mes terminal y el
día del mes inicial; segundo: utilizando la tabla de tiempo exacto, obtenemos la
cantidad de días definida por la intersección entre el mes inicial y el mes
terminal; y tercero: sumar los días del primero y segundo paso y así obtener los
días transcurridos.
Problema: Calcule el plazo de una transacción realizada el 4 de abril y con
vencimiento el 19 de mayo del mismo año.
Primero: 19 - 4 Mayo
Conclusión: El plazo de la transacción
Segundo: Abril 30 es de 45 días.
Tercero: 15 + 30 = 45 días.
Problema: Calcule los días transcurridos entre el 3 de septiembre de un año y
del 15 de abril del año siguiente.
Primero: 15 - 3 = 12 Abril
Conclusión: El plazo de la transacción
Segundo: Septiembre 212 es de 224 días.
Tercero: 212 + 12 = 224 días.
Problema: Calcular los días transcurridos entre el 18 de marzo y el 10 de
Noviembre del mismo año.
Primero: 10 - 18 = -8 Noviembre
Conclusión: El plazo de la transacción
Segundo: Marzo 30 es de 237 días.
Tercero: 245 + (-8) = 237 días.
Fecha de Vencimiento: Para encontrar la fecha de vencimiento de un
documento, primero: se utiliza la tabla de tiempo exacto para localizar el mes
de transacción y buscar por ese renglón el número de días más próximo o
exacto al establecido en la transacción y con ello se encuentra el mes de
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
113
vencimiento del documento; segundo: se obtiene la diferencia entre el número
encontrado en la tabla y el establecido en el documento; y tercero: se resta del
día del mes establecido por el documento la diferencia obtenida en el segundo
paso y así obtener la fecha de vencimiento.
Problema: El día 13 de marzo se firmó un pagaré a 120 días. Calcular la fecha
de vencimiento.
Julio
Primero: Marzo 122 " Julio: Mes de Vencimiento.
Segundo: 122 - 120 = 2
Tercero: 13 - 2 = 11
Conclusión: Fecha de Vencimiento: 11 de Julio del mismo año.
5.14 Ecuación de Valor Equivalente.
Ecuaciones de Valores Equivalentes: Un problema básico en las
operaciones financieras es el de las inversiones equivalentes, es decir que, en
valor y tiempo, produzcan el mismo resultado económico, esto se expresa en
ecuaciones de valores equivalentes.
Un mismo valor situado en fechas diferentes es, desde el punto de vista
financiero, un valor diferente. Usted no debe olvidar que solo se pueden sumar,
restar o igualar dineros ubicados en una misma fecha. Estas ecuaciones son
las que se forman igualando, en una fecha focal o de comparación las sumas e
los valores en fecha escogida de dos conjuntos diferentes de obligaciones.
Problema: Una persona debe $10, 000 pagaderos dentro de 2 años y $20, 000
a 5 años de plazo. Pacta con
su acreedor efectuar un pago
único al final de 3 años a la
tasa del 8% anual, capitalizado
semestralmente,
calcular
el
valor del pago único.
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
114
Solución:
P = $10, 000
n = 2 Sem.
F = $ 20, 000
n = 4 Sem.
I s = 4% Sem.
x = 10, 000( F/P, 4%, 2) + 20, 000 (P/F, 4%, 4)
x = 10, 000(1.0816) + 20, 000(0.8548).
x = $27912.00
5.15 Aplicaciones.
Ejercicios: Relacionados con los temas del cuadernillo (Unidad 1).
Resolver las siguientes Operaciones de monomios.
Resolv er los sig ui ent es Prob le mas d e pol in o mios:
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
115
a) Di si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no. En caso
afirmativo, señala cuál es su grado y término independiente.
1. -
x4 − 3x5 + 2x2 + 5
+ 7X2 + 2
2. 3. - 1 − x4
4. 5. -
x3 + x5 + x2
6. -
x − 2x−3 + 8
7. -
b) Escribe:
1. 2. 3. 4. -
Un polinomio ordenado sin término independiente.
Un polinomio no ordenado y completo.
Un polinomio completo sin término independiente.
Un polinomio de grado 4, completo y con coeficientes impares.
c) Dados los polinomios:
1.- P(x) = 4x2 − 1
2.- Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2
3.- R(x) = 6x2 + x + 1
4.- S(x) = 1/2x2 + 4
5.- T(x) = 3/2x2 + 5
6.- U(x) = x2 + 2
d) Calcular:
1. 2, 3. 4. 5. 6. -
P(x) + Q (x) =
P(x) − U (x) =
P(x) + R (x) =
2P(x) − R (x) =
S(x) + T(x) + U(x) =
S(x) − T(x) + U(x) =
e) Dados los polinomios:
1.- P(x) = x4 − 2x2 − 6x − 1
2.- Q(x) = x3 − 6x2 + 4
3.- R(x) = 2x4 − 2x − 2
f) Calcular:
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
116
1.- P(x) + Q(x) − R(x) =
2.- P(x) + 2 Q(x) − R(x) =
3.- Q(x) + R(x) − P(x)=
g) Multiplicar:
1. - (x4 − 2x2 + 2) · (x2 − 2x + 3) =
2. - (3x2 − 5x) · (2x3 + 4x2 − x + 2) =
3. - (2x2 − 5x + 6) · (3x4 − 5x3 − 6x2 + 4x − 3) =
h) Dividir:
1. - (x4 − 2x3 − 11x2 + 30x − 20) : (x2 + 3x − 2)
2. - (x 6 + 5x4 + 3x2 − 2x) : (x2 − x + 3)
3. - P(x) = x5 + 2x3 − x − 8
Q(x) = x2 − 2x + 1
i) Divide por Ruffini:
1. - (x3 + 2x + 70) : (x + 4)
2. - (x5 − 32) : (x − 2)
3. - (x4 − 3x2 + 2) : (x −3)
j) Halla el resto de las siguientes divisiones:
1. - (x5 − 2x2 − 3) : (x −1)
2. - (2x 4 − 2x 3 + 3x 2 + 5x + 10) : (x + 2)
3. - ( x 4 − 3x 2 + 2) : (x − 3)
k) Indica cuáles de estas divisiones son exactas:
1. 2. 3. 4. -
(x3 − 5x −1) : (x − 3)
(x6 − 1) : (x + 1)
(x4 − 2x3 + x2 + x − 1) : (x − 1)
(x10 − 1024) : (x + 2)
l) Comprueba que los siguientes polinomios tienen como factores los que se
indican:
1. 2. 3. 4. -
(x3 − 5x −1) tiene por factor (x − 3)
(x6 − 1) tiene por factor (x + 1)
(x4 − 2x3 + x2 + x − 1) tiene por factor (x − 1 )
(x10 − 1024) tiene por factor (x + 2)
m) Hallar a y b para que el polinomio x5 – a x + b sea divisible por x2 − 4.
n ) Determina los coeficientes de a y b para que el polinomio x3 + ax2 + b x + 5
sea divisible por x2 + x + 1.
o ) Encontrar el valor de k para que al dividir 2x2 − kx + 2 por (x − 2) dé de resto
4.
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
117
p ) Determinar el valor de m para que 3x2 + m x + 4 admita x = 1 como una de
sus raíces.
q ) Hallar un polinomio de cuarto grado que sea divisible por x2 − 4 y se anule
para x = 3 y x= 5.
r) Calcular el valor de a para que el polinomio x3 – a x + 8 tenga la raíz x = −2,
y calcular las otras raíces.
MATEMATICAS PARA GASTRONOMIA
118
Bi o g rafí a :
Matemáticas para administración y economía.
Cuarta edición.
Jean E. Weber.
Numero de paginas.823.
Editorial Oxford
Matemáticas para administración y economía
Séptima Edición
Lial Hungerford
Numero de paginas.647
Pearson Educacion.
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