Tema 4 - Equilibrio - Web del Profesor

Universidad de los Andes
Facultada de ingeniería
Escuela Básica
Tema 4:
Equilibrio de Cuerpos Rígidos
Prof. Nayive Jaramillo
Contenido:
Equilibrio de Cuerpos Rígidos
Tema
Contenido
objetivos
Introduccion
Expresiones de equilibrio para
cada sistemas de fuerzas
Vinculos. Vinculos de un
cuerpo.
IV
Equilibrio de los cuerpos rígidos
Ecuaciones de condicion
Estudio de estabilidad y
determinacion de cuerpos
rigidos
Tipos de cargas
Diagrama de cuerpo libre
Calculo de reacciones
Correo para el desarrollo de actividades:
[email protected]
Introducción
En capítulos anteriores se ha analizado como obtener el
sistema resultante de cualquier sistema dado. En este se
analizara las condiciones que deben de satisfacer las
fuerzas de un sistema para que se encuentre en equilibrio,
es decir un sistema equivalente nulo =0 y
= ̅ x =0. Las
ecuaciones o condiciones algebraicas se denominan
ecuaciones de estática o ecuaciones de equilibrio. Para que
un sistema este en equilibrio lo han de estar cada uno de
las partículas que lo conforman.
Equilibrio de partículas
Una partícula está en equilibrio cuando todas las fuerzas externas que actúan sobre ella
forman un sistema equivalente a cero. Un cuerpo rígido estará en equilibrio cuando todas
sus partículas lo están.
Condiciones de Equilibrio
=
;
;
= 0; 0; 0
=
;
;
= 0; 0; 0
=
=0
=
=0
=
=0
=
=0
=
=0
=
=0
Ecuaciones de
Equilibrio
Estático
1._ Sistemas no coplanares
Y
1.a._ Sistema general de fuerzas
Y
2
1
X
X
3
Z
Z
Para que el sistema resultante esté en equilibrio deberán cumplirse:
∑
∑
=0
= 0 ∑
=0
∑
∑
=0
= 0 ∑
=0
1.b. Fuerzas concurrentes no coplanares
Y
Y
2
1
o´
o´
X
X
Z
3
=[Fx;Fy;Fz] y Mo´=0 Z
El momento con respecto a cualquier punto será cero (0) y las
ecuaciones de momento resultaran triviales.
;
;
De las 6, solo quedaran disponibles:
∑
∑
=0
= 0 ∑
=0
1.c. Fuerzas paralelas no coplanares
Y
Y
1
2
X
X
Z
3
Z
No existen fuerzas en Z, ni en X, asi como no existe momento en Y. Por o tanto quedaran
disponibles
=0
=0
=0
2._ Sistemas coplanares
2.a. Sistema general de fuerzas (plano xy)
Y
Y
2
1
3
X
= [Fx;Fy] y Mo= Mz y cualquier punto A no perteneciente a la línea de
acción de Producirá un Mz.
Ecuaciones disponibles
∑
∑
=0
= 0 ∑
=0
∑
∑
=0
= 0 ∑
=0
Resultan triviales:
∑
∑
=0
= 0 ∑
=0
X
2.b. Sistema de fuerzas Concurrentes coplanares
Y
Y
1
2
o´
3
X
X
Dado que Mo´=0 e igualmente lo será para cualquier punto disponible
∑
∑
=0
=0
∑
∑
=0
= 0
Siendo A un punto que no
pertenezca a la vertical pasando por o´ tal que la recta que determinan
A y B no contenga a o´(punto de concurrencia)
donde ∑
=0y∑
=0
2.c. paralelas coplanares
Y
Y
2
1
o´
3
• Resultan triviales
∑
=0
En general
∑
∑
= 0 ∑
∑
=0
X
X
= 0 ∑
=0
o´
∑
∑
=0
=0
A cualquier punto del plano siempre que A y B no formen vertical
=0
3.Casos especiales
3.a.Sistema de Fuerzas Colineales
⃑
⃑
⃑
⃑
=0
Donde el punto A no debe pertenecer a la recta de acción de las fuerzas
=0
3.b tres fuerzas en equilibrio
Y
1
2
3
X
En forma general
Condiciones de equilibrio para los distintos sistemas de fuerzas
Sistema general de fuerzas en el espacio
y
⃑
=0
=0
=0
x
⃑
z
⃑
=0
=0
=0
Vínculos que restringen una traslación
Estos apoyos solo impiden el movimiento en una dirección. Las
reacciones de este grupo solo proporcionan una incógnita,
que consiste en la magnitud de la reacción y se pueden dirigir en
uno u otro sentido a lo largo de la dirección conocida.
Vínculos que restringen una
traslación
Rodillo o Apoyo Móvil: restringe la traslación perpendicular a su plano, generando una
incógnita o reacción.
Biela: restringe el movimiento en la dirección paralela a su eje, generando una incógnita o
reacción.
Cable: restringe el movimiento en la dirección paralela al cable (siempre que trabaje a
tracción), generando una incógnita o reacción.
Superficie Lisa: restringe el movimiento en la dirección perpendicular a la superficie,
generando una incógnita o reacción.
Vínculos que restringen dos
traslaciones
Dos incógnitas. Una reacción perpendicular y
otra paralela a la superficie de apoyo.
Vínculos que restringen dos
traslaciones
Articulaciones Fijas o Apoyos Fijos: restringe dos traslaciones (vertical y horizontal),
generando dos incógnitas o reacciones.
Superficie Rugosa: restringe el movimiento en la dirección perpendicular y paralela a la
superficie, generando dos incógnitas o reacciones
∥
∥
Vínculos que restringen dos traslaciones y
una rotación
Tres incógnitas. Las reacciones son el momento de
un par, una reacción perpendicular y otra paralela
a la superficie de empotramiento
Vínculos que restringen dos traslaciones y
una rotación
Empotramiento: restringe la rotación, y la traslación horizontal y vertical, generando tres
incógnitas o reacciones.
Vinculación completa de un cuerpo en el
plano
• Si solo conectamos el cuerpo con una articulación el cuerpo podría
rotar. Para evitarlo se puede colocar en B un rodillo cuyo plano de
apoyo no sea paralelo a la línea de acción que une al perno con B,
recordando que una articulación equivale a dos bielas y un rodillo a
una de estas. Concluimos que un cuerpo esta comletamente
vinculado mediante tres vielas cuyos ejes no se corten en un pnto en
común, que sean paralelas.
Equivale a:
B
B
A
A
Ecuaciones de condición
Son las generadas por dispositivos o vínculos que conectan a dos o más cuerpos
=
Cuerpo 1
−1
N: Número de cuerpos que conecta la
superficie lisa
Cuerpo 2
Ejemplo:
Cuerpo 3
=3−1=2
Estudio de estabilidad e indeterminación
• Si el número de reacciones es igual al número de ecuaciones, se
dice que la estructura es estáticamente determinada.
• Si el número de reacciones es mayor al número de ecuaciones, se
dice que la estructura es estáticamente indeterminada
• Si el número de reacciones es menor que el número de
ecuaciones, se dice que la estructura es estáticamente
indeterminada con restricción parcial
• Si las reacciones están ubicadas de manera concurrente o
paralelas entre ellas mismas, se dice que la estructura es
estrictamente indeterminada con restricción impropia.
Grado de indeterminación
estática
G=
−
−
R: Número de reacciones o incógnitas
EE: Ecuaciones de equilibrio
EC: Ecuaciones de condición
=0
Estructura Isostática
> 0 Estructura Hiperestática
< 0 Estructura Inestable
Isostáticas
Una estructura es isostática cuando el número de ecuaciones de
equilibrio coincide con el número de incógnitas estáticas.
R= 5
EE= 3
EC=3-1=2
G=5-3-5=0
Hiperestáticas
Se conoce como estructura hiperestática, a aquella estructura que en
estática se encuentra en equilibrio, destacando que las ecuaciones
que expone la estática no son suficientes para saber las fuerzas
externas y reacciones que posee.
R= 4
EE= 3
G=4-3=1
Estructura inestable
En este caso el número de ecuaciones de equilibrio es excesivo ya
que supera el número de incógnitas estáticas. Se trata de un
mecanismo, es decir, una estructura inestable que no puede
equilibrarse.
R= 3
EE= 3
EC=4
G=3-3-4=-4
Tipos de inestabilidad
Inestabilidad Estática
Sucede cuando no se le suministran suficientes vínculos externos a la estructura
Ejemplo de Inestabilidad Estática
A
B
G=
−
−
= 2 − 3 − 0 = −1 < 0
Inestabilidad Geométrica
Sucede cuando si le suministran suficientes vínculos externos a la estructura pero
dispuestos de tal forma que no producen estabilidad
NOTA:
1. Siempre que la línea de acción de las reacciones sean paralelas, existirá inestabilidad
geométrica.
2. Siempre que la línea de acción de todas las reacciones sean concurrentes en un
punto, existirá inestabilidad geométrica.
Ejemplo de Inestabilidad Geométrica
G=
A
B
C
A
C
D
−
=3−3−0 =0
Isostática Inestable
G=
B
−
−
−
=3−3−0 =0
Isostática Inestable
E
Estudio de estabilidad e indeterminación
• Ejemplos:
Inestabilidad estática
A
D
C
B
B
C
R= 3
EE= 3
EC=1
Hiperestática de 1er grado
R= 4
EE= 3
A
C
B
Estructura estable
Hiperestática e 2do grado
D
A
E
Ve
R= 6
EE= 3
EC=1
Estudio de estabilidad e indeterminación
• Ejemplos:
A
Estructura estable
Hiperestática de 1er grado
B
C
A
R= 5
EE= 3
EC=1
A
Isostáticamente determinada
Inestable Geométricamente
B
R= 3
EE= 3
A
B
C
D
Estructura estable
Hiperestática de 1er grado
R= 5
EE= 3
EC=1
Tipos de Cargas
Cargas
Distribuidas
Uniformemente
distribuidas
Linealmente
distribuidas
Puntuales
Puntual
Distribuidas
Concentración de cargas
P
Tipos de Carga
1. Concentradas
(Kgf, tn)
1.1 Carga Concentrada
i
M
1.2 Momento Concentrado
i
.
L/2
2. Distribuidas
L/2
w
j
2.1 Intensidad Uniforme
i
L
. /2
2L/3
2.2 Intensidad Variable
w
j
i
Ing. José Gregorio Gutiérrez
L/3
L
(Kgf/m, tn/m)
Diagrama de Cuerpo Libre
Para construir un diagrama de cuerpo libre considerado como un solo sistema, deben efectuarse los
siguientes pasos:
• Imaginar el cuerpo como aislado, libre de sus restricciones y conexiones, y bosquejar la forma de
su contorno
• Identificar todas las fuerzas externas y momentos de pares que actúen sobre el cuerpo, las que se
encuentran por lo general se deben a: cargas aplicadas, reacciones que se dan en los vínculos y el
peso del cuerpo, ya que representa la fuerza ejercida por la Tierra
• Las magnitudes y las direcciones de las fuerzas externas que son conocidas deben señalarse con
claridad en el diagrama. Cuando se indiquen las direcciones de dichas fuerzas
• Las fuerzas externas desconocidas consisten en las reacciones a través las cuales el suelo y otros
cuerpos se oponen a un posible movimiento del cuerpo libre. Las reacciones lo obligan a
permanecer en la misma posición y, por esta razón, algunas veces reciben el nombre de fuerzas de
restricción. Las restricciones se ejercen donde el cuerpo libre está apoyado o conectado a los otros
cuerpos y deben indicarse con claridad.
• Debe incluir las dimensiones, ya que serán necesarias para el cálculo de momentos de fuerza.
Diagrama de Cuerpo Libre
Se convierte en: