Funciones inversas

Función inversa. ExMa-MA0125
W. Poveda 1
Objetivos.
Interpretar y aplicar los conceptos de
función inyectiva,
función sobreyectiva
función biyectiva,
función invertible
Función Inyectiva
De…nición. Sea una función f : A ! B, se dice que f es inyectiva sii cada elemento del
ámbito tiene una y solo una preimagen.
Simbólicamente: una función f : A ! B es uno a uno o inyectiva sii
8x 1 ; x 2 2 A[x 1 6= x 2 , f (x 1 ) 6= f (x 2 )]
Dada la grá…ca de una función f : A ! B tal que y = f (x); f es inyectiva en A sii
cualquier paralela al eje X interseca el trazo de f una única vez o ninguna.
Teorema. Sea f es una función real
1. Si f es creciente en su dominio, entonces f es inyectiva.
2. Si f es decreciente en su dominio, entonces f es inyectiva.
Ejemplo. Sea la función f : R ! R y su respectiva grá…ca. En cada caso determine si f
es inyectiva no.
f (x) =
2x + 1
3
f es inyectiva
f (x) =
x2 + 2x + 1
f no es inyectiva
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Ejemplo. Sea f : R ! R una función tal que f (x) = 2x + 1:Determine si f es inyectiva
no.
Veamos si f es inyectiva. Supongamos que f (x1 ) = f (x2 ); si demostramos que x1 = x2
entonces f es inyectiva.
Como f (x1 ) = 2x1 + 1; f (x2 ) = 2x2 + 1
) 2x1 + 1 = 2x2 + 1
) x1 = x2
Por lo que f es inyectiva.
Ejemplo. Sea f : R ! R una función tal que f (x) = x2
no.
Veamos si f es inyectiva. Supongamos que f (x1 ) = f (x2 )
Como f (x1 ) = x21 5; f (x2 ) = x22 5
) x21 5 = x22 5
p
p
) x1 = x2
) jx1 j = jx2 j que equivale a x1 = x2 _ x1 = x2
Por lo que f no es inyectiva.
Considere f : R ! R; f (x) = x2 + 1
5:Determine si f es inyectiva
10
8
6
4
2
-4
-2
-2
2
4
Observando la grá…ca podemos ver que para todo elemento del conjunto [1,1[ existen dos
preimagenes diferentes.
En notación matemática 8 y 2 [1; 1[ 9 x1 ; x2 2 Df ; tal que f (x1 ) = f (x2 ) = y
Función sobreyectiva
De…nición. Una función f : A ! B es sobreyectiva si cumple que 8y 2 B 9x 2 A tal que
f (x) = y:
Es decir, una función se llama sobreyectiva si el ámbito y el codominio son el mismo conjunto.
Ejemplo. Sea f : [ 3; 6] ! [ 1; 17] una función tal que f (x) = 2x + 5:
f es una función sobreyectiva sii Af = [ 1; 17]
Para calcular Af procemos a calcular la imagen de 3 y de 6
f ( 3) = 1^ f (6) = 17
) Af = [ 1; 17]
) f es sobreyectiva.
Ejemplo. Considere f : R ! R; f (x) = x2 + 1
f es una función sobreyectiva sii Af = R
pero Af = [1; 1[ por lo que f no es sobreyectiva.
Considere f : [ 3; 0] ! [1; 1[; f (x) = x2 + 1:
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8
6
4
2
-4
-2
2
4
-2
Notamos que Af = [1; 1[ = Codf por lo que f es sobreyectiva.
Toda función f : A ! B posee una relación inversa de B en A: Esta relación inversa no
necesariamente es una función.
Función inversa
La función inversa de f se denota como f 1 : El exponente 1 no denota potencia
1
se desea expresar la potencia 1 en funciones se hace mediante (f (x))
1. Si
De…nición. Sea f una función biyectiva de A en B. La función inversa de f es una
función de…nida de B en A para la cual se cumple que
f (f
Cuando se gra…ca f ^ f
respecto a la recta y = x.
1
1
(x)) = x ^ f
1
(f (x)) = x
en el mismo plano entonces una función es re‡exión la otra con
Cómo rede…nir una función no invertible para que su inversa sea función
Considere f : IR ! IR; f (x) = x2
Grá…camente y = x2 2x + 6
2x + 6
20
15
10
5
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Sabemos que f 1 es función sii f es biyectiva.
Note que la función en su dominio no es inyectiva y, por otra parte, no es sobreyectiva pues
el codominio no es igual al ámbito.
Si trazamos el eje de simetría, la parábola se "parte" en dos ramas :
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f :]1; 1] ! [5; 1[
f (x) = x2 2x + 6
-8
-6
-4
-2
f : [1; 1[! [5; 1[
f (x) = x2 2x + 6
20
20
10
10
0
2
4
6
8
-8
-6
-4
-2
En ambos casos la función de…nida es biyectiva, por lo cual f
¿Cómo podemos hallar el criterio de f 1 ?
En la ecuación procedemos a despejar y
y = x2
0
1
2
4
6
8
es función.
2x + 6
Como se trata de una ecuación cuadrática, la igualamos a cero y aplicamos fórmula general
para despejar la variable x
x2 2x + 6 y = 0
Note que a = 1; b = 2, c = (6 y)
= ( 2)2 4 1 (6 y)
= 4y 20
p
p
p
p
2(1
y 5)
x1 = 1 + py 5
20
=
=
1
y
5
!
x = 2 4y
2
2
x2 = 1
y 5
Tenemos dos posiblesp
casos para f 1 :
Caso 1. Si x1 = 1 + py 5 por lo que f
Caso 2. Si x2 = 1
y 5 por lo que f
p
(x) = 1 + px
1
(x) = 1
x
1
5
5
En conclusión
: [5; 1] !]1; 1] y su criterio es f
1
1
Si f : [1; 1[!
p [5; 1[ entonces f : [5; 1] ! [1; 1[ y su criterio es f
pues 1 + x 5 1 8x 2]5; 1]:
1
Si f :]1; 1]
p ! [5; 1[ entonces f
pues 1
x 5 1 8x 2]5; 1]
1
(x) = 1
p
x
5
p
(x) = 1+ x
5
¿Cómo podemos veri…car si la función inversa que encontramos es la respuesta correcta?
Un primer método es gra…car f y f 1 en un mismo plano y veri…car que son simétricas con
la recta y = x:
Gra…quemos
f :]1; 1] ! [5; 1[; f (x) = x2 2x +p6
f 1 : [5; 1] !]1; 1]; f 1 (x) = 1
x 5
y=x
en un mismo plano
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20
10
-20
-10
10
20
-10
-20
Observemos que las dos funciones gra…cadas son simétricas con respecto a y = x
Ahora, gra…quemos en un mismo plano
f : [1; 1[! [5; 1[, f (x) = x2 2x +p6
f 1 : [5; 1] ! [1; 1[; f 1 (x) = 1 + x
y=x
5
25
20
15
10
5
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
Observemos que las dos funciones gra…cadas son simétricas con respecto a y = x
Un segundo método es hacer la composición f
resultado sea x:
Considere
f :]1; 1] ! [5; 1[; f (x) = x2 2x +p6
f 1 : [5; 1] !]1; 1]; f 1 (x) = 1
x 5
f
f
= f
= 1
1
(x) = f f
1 2
p
2 f
x
5
2
1
1
(x)
(x) + 6
2
1
p
x
5 +6
f
1
(x) y f
1
f (x) y veri…car que el
Función inversa. ExMa-MA0125
=1
=x
p
2 x
5+x
5
p
2+2 x
W. Poveda 6
5+6
Ejercicios
Compruebe que f 1 f (x) = x:
Considere f : [1; 1[! [5; 1[; f (x) = x2 2x+6 y f 1 : [5; 1] ! [1; 1[, f
Veri…que que f 1 f (x) = x y f 1 f (x) = x
1
p
(x) = 1+ x
5.
2. Considere h una funcion de…nida en su dominio máximo y codominio R;tal que h(x) =
2 j5x + 3j 6
a) Rede…na h tal que sea biyectiva. Justi…que
h(x) = 2 j5x + 3j
6 el dominio es R:
Solución
Para darnos una idea de como rede…nir h para que sea biyectiva vamos a gra…car y =
2 j5x + 3j
3
.
Para determinar intersección con el eje x resolvemos 2 j5x + 3j = 0; la solución es x =
5
3
; 0 es la intersección con el eje x:La intersección con el eje y es (0; 6)
5
6
4
2
-2
-1
Ahora, gra…quemos y = 2 j5x + 3j
unidades hacia abajo)
1
2
6 (es la grá…ca anterior con un desplazamiento de 6
4
2
-2
-1
1
-2
-4
-6
2
Función inversa. ExMa-MA0125
W. Poveda 7
Basados en la grá…ca, podemos rede…nir h para que sea biyectiva de las si-guiente forma
3
3
h:
1;
! [ 6; 1[ o bien h :
; 1 ! [ 6; 1[:
5
5
Estas dos formas de rede…nir h no son únicas.
c) De…na las funciones: h 1
De…nir una función signi…ca determinar dominio, ámbito y criterio
De…namos h
1
Tomemos el caso h :
1;
3
! [ 6; 1[ , h(x) = 2 j5x + 3j
5
Para determinar el criterio de h
1
se despeja x en y = 2 j5x + 3j
3
Como x 2
1;
entonces j5x + 3j = 5x 3:
5
y 12
y = 2 ( 5x 3) 6 () x =
10
3
Tenemos que h : [ 6; 1[!
1;
tal que h 1 (x) =
5
4
2
-2
2
-2
-4
-6
4
6:
x 12
:
10
Podemos comprobar la respuesta gra…cando y = h (x) y y = h
esas dos funciones son simétricas con respecto a y = x
-4
6:
1
(x)observando que