Ruido en sistemas digitales banda base

Ruido en sistemas digitales banda base
Habíamos dicho que el canal producía dos perturbaciones: La interferencia
intersimbólica y el ruido. Para esto recordemos el diagrama básico de un sistema de
transmisión banda base:
A continuación veremos el efecto del ruido.
Si una señal binaria, supongamos que va entre 0.5 A y –0.5 A, se contamina con ruido
esta cambia de apariencia tal y como se muestra en la gráfica siguiente:
Si el receptor fuese un comparador, en este caso con cero volts, es probable que la
decisión respecto a los 1s y 0s resulte errada. El parámetro que se debe calcular es la
probabilidad de error por símbolo (para el caso binario un símbolo es igual a un bit).
Para el caso general supondremos que los niveles están distanciados A volts. Así:
P(error)=P(error/T1)P(T1) + P (error/T0)P(T0)
Donde:
P(T1)=Probabilidad de transmitir un 1
P(T0)=Probabilidad de transmitir un 0
Entonces:
P(error)=P(0.5A+n<Umbral)P(T1) + P(-0.5A+n >Umbral)P(T0)
Hacer 0.5A+n, es desplazar la fdp del ruido en 0.5A.
Calcular P(0.5A+n<Umbral) se reduce a determinar el área que se encuentra por debajo
del Umbral.
Hacer -0.5A+n, es desplazar la fdp del ruido en -0.5A.
Calcular P(-0.5A+n >Umbral)se reduce a determinar el área que se encuentra por
encima del Umbral.
A continuación se observa esto de manera gráfica:
En el ejemplo se ha supuesto que las probabilidades de transmitir 1 y 0 son iguales y
que por esto el umbral seleccionado ha sido cero volts.
El área con rayas verticales representa P(0.5A+n<Umbral)P(T1)= 0.5P(0.5A+n<0).
El área moteada representa P(-0.5A+n >Umbral)P(T0)= 0.5P(-0.5A+n >0)
Juatamente para este caso:
P(error)=P(0.5A+n<Umbral)P(T1) + P(-0.5A+n >Umbral)P(T0)
P(error)=0.5P(0.5A+n<0)+ 0.5P(-0.5A+n >0)
P(error)=0.5P(n<-0.5A) + 0.5P(n >0.5A)=Q(0.5 A /σ)
Observe que la probabilidad de error disminuye si A crece o si s disminuye, lo cual por
cierto es totalmente lógico.
Supongamos ahora una transmisión de tres en niveles (ternaria), con valores (A,0,-A)
P(error)=P(error/TA)P(TA) + P (error/T0)P(T0) +P(error/T-A)P(T-A)=
P(error)=P(A+n<Umbral1)P(TA) + (P(n >Umbral1)+ P(n <Umbral2))P(T0) +P(-A+n>Umbral2)P(T-A)
Como se observa existen ahora dos niveles de umbral. Umbral1 correspondería a un
umbral entre A y 0; Umbral2 correspondería a un umbral entre 0 y –A. Si fuesen
equiprobables los tres niveles, entonces
Umbral1=0.5A Y Umbral2= -0.5 A, con lo cual
P(error)=P(A+n<0.5A)P(TA) + (P(n >0.5A)+ P(n <-0.5 A))P(T0) +P(-A+n>-0.5 A)P(TA)
P(error)=P(n<-0.5A)0.333 + (P(n >0.5A)+ P(n <-0.5 A))0.333 +P(n>0.5 A)0.333
P(error)=(4/3) Q(0.5 A /σ)
Observe que para la misma distancia entre niveles la probabilidad de error por símbolo
da mayor para el caso ternario que para el binario, en presencia de la misma cantidad de
ruido.
Por otra parte es bueno comparar la potencia transmitida.
Para el caso binario
Observe que la potencia para el
caso ternario es mayor que para el caso binario.
Para comparar mejor las probabilidades de error, es bueno expresarlas en función de la
relación señal a ruido. Lo haremos para un caso genérico M-ario; consideraremos M
impar aunque el resultado será idéntico para M par.
La probabilidad de error es igual a la suma de las áreas marcadas. Para cada campana se
suman dos áreas(superior e inferior) menos para las dos extremas. Si son equiprobables
P(error)=(2/M)(M-2) P(n >0.5A)+ (2/M)P(n >0.5A)
P(error)=(2(M-1)/M) P(n >0.5A)=( 2(M-1)/M) Q(0.5 A /σ)
Vemos que cuando M crece la probabilidad de error tiende a 2 Q(0.5 A /σ)
Lo cual es peor que ternario y por supuesto peor que binario.
La potencia de una señal M-aria es:
Esta probabilidad es la probabilidad de error por nivel. Por ejemplo en binario 1 nivel es
igual a 1 bit. En cambio si tenemos 4 niveles, por ejemplo, equivocarse en un nivel
implica varios errores de bit posibles. Como M=2n
En binario:
Si M=7 (3 bits)
Si se usa un código como el Gray, donde entre un nivel y su vecino solo cambia 1 bit
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
0
0
Se está considerando que si se cometió un error en el nivel solo puede estar malo 1 de
los bits (el bit 1, el bit 2 o el bit 3) y por eso la probabilidad de error por nivel es el
triple de la probabilidad de error por bit.
REPETIDORAS
Una repetidora es un sistema colocado en un punto intermedio del sistema de
transmisión que permitirá mejorar la relación señal a ruido y por ende la probabilidad de
error. Existen repetidoras regenerativas y no regenerativas; en las regenerativas cuando
les llega la señal sucia no solo la filtran y amplifican, además se realiza comparación
con el umbral y se restablecen los niveles lógicos.
Para tener un patrón de comparación plantearemos el sistema básico constituído por
transmisor-canal-receptor.
Se asume que el trayecto produce una pérdida igual a α, además en el canal se agrega
ruido balnco gausseano; finalmente el receptor está constituído por un filtro pasabajo
ideal con ganancia G que compensa la pérdida del trayecto. Por lo tanto en cuanto a la
señal la potencia a la salida es igual a la potencia a la entrada; el ruido tiene a la salida
una DEP constante con valor 0.5ηG entre –B y B. Por lo tanto podemos llegar al
cálculo de la relación señal a ruido de la siguiente forma:
Con este valor de referencia, veamos primero el caso sencillo:
repetidoras no regenerativas, las cuales constan de un amplificador y un filtro pasabajo
de ancho de banda APROPIADO (dependerá del código usado).
Supondremos que se tienen R repetidoras equiespaciadas (el receptor será considerado
la última repetidora), que el ruido tiene las mismas características en todos los tramos y
que cada repetidora compensará la pérdida de señal que sufrió en el trayecto. Observe el
siguiente esquema:
Cuando el ruido de la primera etapa pase por el filtro pasabajo de ganancia G1, su DEP
quedará como:
Las ganancias y pérdidas
siguientes se compensarán, por lo tanto la potencia de ruido a la salida debido al ruido
de la primera etapa será η1G1B= η1α1B. Si se hace el análisis para los ruidos que
ingresan al sistema en todas las etapas el resultado es el mismo. Como se asumió que las
repetidoras estaban equiespaciadas, las ganancias y pérdidas son todas iguales. La
potencia de ruido total a la salida será R veces la de cada etapa. Finalmente:
El subíndice entre paréntesis significa Con Repetidoras Sin Regeneración. Para
comparar este resultado con el obtenido sin repetidoras hay que relacionar la pérdida
total del trayecto con la pérdida de cada etapa.
La relación señal a ruido es mayor cuando se usan repetidoras. Veamos un ejemplo:
Se tiene un sistema de 14 repetidoras en un trayecto que produce 140 dB de pérdidas
totales. Compare la relación señal a ruido con la obtenida en el caso sin repetidoras.
Claramente el caso CRSR produce una mayor relaci
señal a ruido que el caso sin repetidoras.
ón