Tema 2. Organización y representación de datos

Análisis de Datos I
Esquema del Tema 2
Tema 2. Organización y representación
de datos
1. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
2. REPRESENTACIONES GRÁFICAS
3. MEDIDAS DE POSICIÓN: CENTILES
4. OTROS CUANTILES
 DECILES
 CUARTILES
5. EJERCICIOS
__________________
Bibliografía: Tema 2 (pág. 45-83)
Ejercicios recomendados: 1, 2, 5, 6, 9, 10, 12,
14, 16, 17, 20 y 21.
Carmen Ximénez
1
Análisis de Datos I
Esquema del Tema 2
1. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
Xi
X1
X2
..
.
XN
ni
n1
n2
..
.
nN
Totales: N
na
n1
n1 + n2
..
.
N
pi
n1 / N
n2 / N
..
.
nN / N
1
Ejemplo A:
Muestra de datos:
2 1 2 3 4 2
1 3 1 3 1 1
3 1 3 2 3 3
1 3 1 3 1 1
4 3 4 3 1 4
Ordenación de datos:
pa
p1
p1 + p2
..
.
1
Frecuencia absoluta (ni)
Frecuencia absoluta acumulada (na)
Frecuencia relativa (pi)
Frecuencia relativa acumulada (pa)
Xi
ni
na
1
2
3
4
:
11
5
14
5
35
11
16
30
35
pi
3
3
4
3
2
pa
0,31 0,31
0,14 0,45
0,40 0,85
0,14
1
1
Ejemplo B:
Datos originales:
1
2
3
4
3
3
1
3
1
3
1
3
2
3
4
3
4
3
1
2
Distribución de frecuencias:
ni
na
pi
Xi
1
5
5
0,25
2
3
8
0,15
3
9
17
0,45
4
3
20
0,15
1
 : N = 20
pa
0,25
0,40
0,85
1,00
2. REPRESENTACIONES GRÁFICAS
Convenciones:
1)
2)
3)
4)
5)
En las abscisas van siempre los valores y en las ordenadas las frecuencias
La intersección es siempre el origen de los ejes
Si los valores mínimos son muy grandes, cortar los ejes
Incluir toda la información posible (leyendas)
Si se incorporan dos representaciones en una sola gráfica, usar frecuencias relativas
Variables nominales o cualitativas:
Diagrama de pastel (y también de barras)
Ejemplo 1: Género
Xi
ni
Varón (1)
20
Mujer (2)
30
Carmen Ximénez
pi
0,40
0,60
Varón
Mujer
2
Análisis de Datos I
Esquema del Tema 2
Variables ordinales:
Diagrama de barras
60
pi
0,32
0,50
0,18
1
pa
0,32
0,82
1,00
50
Porcentaje
Ejemplo 2: Satisfacción laboral
Xi
ni
na
Nada satisfecho
32
32
Medianamente
50
82
Muy satisfecho
18
100
N = 100
40
30
20
10
0
Nada
Medio
Mucho
Grado de Satisfacción
Variables Cuantitativas Discretas:
Polígono de frecuencias (y también Diagrama de barras)
Ejemplo 3: Nº aciertos en un test
Xi
ni
na
pi
pa
1
9
9
0,45 0,45
2
3
12 0,15 0,60
3
2
14 0,10 0,70
4
1
15 0,05 0,75
5
5
20 0,25 1,00
10
Frecuencia
8
6
4
2
0
0
1
2
3
4
5
X
Variables Cuantitativas Continuas:
Histograma (y polígono de frecuencias)
Ejemplo 4: Estatura (cm)
Intervalos
Xi
ni
150 – 156 153
6
157 – 163 160
13
164 – 170 167
11
171 – 177 174
18
178 –184 181
8
ni 18
na
6
19
30
48
56
pi
0,11
0,23
0,20
0,32
0,14
16
pa
0,11
0,34
0,54
0,86
1,00
14
12
10
8
6
4
153
160
167
174
181
Xi
Forma de la distribución:
Propiedad de la Asimetría
Propiedad de la Curtosis
A
A
B
C
A. Asimetría positiva
B. Simetría
C. Asimetría negativa
A. Leptocúrtica
B. Mesocúrtica
C. Platicúrtica
B
C
X 0
1
2
3
Carmen Ximénez
4
5
6
X
0
1
2
3
4
5
6
3
Análisis de Datos I
Esquema del Tema 2
Ejemplo: Baremo del peso de
un recién nacido (niñas)
3. MEDIDAS DE POSICIÓN
Peso (Kg.)
2,500
2,850
3,000
3,400
3,750
4,000
4,500
Las medidas de posición son
estadísticos que indican la posición
relativa que ocupa un sujeto en una
distribución de frecuencias.
Centil
3
10
25
50
75
90
97
LOS CENTILES, Ck
Un centil es una puntuación (Xi) que deja debajo de sí un porcentaje acumulado (k)
de sujetos de la distribución
Ck  Xi
Pi
60%
35%
0
donde k = 1, 2, …, 99.
C35 = 2
25%
Xi
C60 = 4
6
Los centiles…
 Son 99 valores la variable X que dividen la distribución
en 100 secciones
 Indican la posición relativa de un sujeto en su grupo de
referencia
 Dependen de la forma de la distribución de frecuencias
Ejemplo 5:
Xi
1
3
5
ni
5
12
3
na
5
17
20
pi
0,25
0,60
0,15
pa
0,25
0,85
1,00
C85 = 3 ... “La puntuación 3 es el centil 85”
“El centil 85 es 3”
“Un 85% de sujetos no superan la
puntuación X = 3”
“Un 15% superan la puntuación X = 3”
Cálculo de centiles*
Cálculo directo:
Si se desea conocer el centil que corresponde a la puntuación:
En puntuaciones observadas:
kXi  pa 100
En el ejemplo 5, tenemos que: C25 = 1, C85 = 3, etc.
Cálculo inverso:
Si se desea conocer la puntuación que corresponde a un centil:
En puntuaciones observadas:
Ck  X i
En el ejemplo 5, al centil 25 le corresponde la puntuación X = 1
____________
*
Nota. Para las puntuaciones no observadas (en el ejemplo 5, X = 2), los centiles pueden calcularse
(tanto de forma directa como inversa) mediante unas “fórmulas de interpolación” (para más
detalles véase el apéndice del tema 2 del libro, pág. 79). Dada la complejidad de estos cálculos,
no veremos cómo obtenerlos a mano. Lo haremos con el SPSS.
Carmen Ximénez
4
Análisis de Datos I
Esquema del Tema 2
Ejemplo 6: Uso de los centiles como baremo
4. OTROS CUANTILES
 DECILES, Dk
Son lo mismo que los centiles pero en este caso: k = 1, ..., 9
 D1  C10 D 2  C 20 D 3  C 30 D 4  C 40 D 5  C 50

 D 6  C 60 D 7  C 70 D8  C 80 D 9  C 90
 CUARTILES, Qk
Son lo mismo que los centiles pero en este caso: k = 1, ..., 3:
Q1
 C25
En resumen:
Carmen Ximénez
Q2  C50
Q3  C75
C10 ______________ D1
C20 ______________ D2
C25 _____________________________ Q1
C30 ______________ D3
C40 ______________ D4
C50 ______________ D5 ____________ Q2
C60 ______________ D6
C70 ______________ D7
C75 _____________________________ Q3
C80 ______________ D8
C90 ______________ D9
5
Análisis de Datos I
Esquema del Tema 2
Ejemplo 7 (resuelto)
Xi
1
2
3
4
5
ni
5
10
15
15
15
60
Pi
8
17
25
25
25
Pa
8
25
50
75
100
1. ¿Qué centil corresponde a la puntación 4?
Solución: 4 = C75
2. Calcule el centil correspondiente a la puntación 2
Solución: 2 = C25
3. Calcule el centil 50
Solución: C50 = 3
4. Calcule el centil 25
Solución: C25 = 2
5. ¿Cuántos sujetos superan la puntuación 4?
Solución: C75 = 4; Por tanto, la superan 15 sujetos (el 25%)
6. ¿Qué puntuación es superada por el 75% de sujetos?
Solución: C25 = 2. Por tanto la puntuación X = 2 es superada por el 75%
de los sujetos
7. ¿Cuántos sujetos hay entre los centiles 60 y 70?
Solución: 6 sujetos (el 10%)
8. ¿Qué valores acotan el 50% central de sujetos?
Solución: 2 y 4
C25 = 2
C75 = 4
25%
C25 = 2
Carmen Ximénez
50%
25%
C75 = 4
6
Análisis de Datos I
Esquema del Tema 2
5. EJERCICIOS
EJERCICIO 1
Con las puntuaciones de una muestra en un test de ansiedad (STAI) hemos construido
la siguiente distribución de frecuencias.
Xi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
ni
2
4
5
9
22
12
6
6
6
3
2
2
1
na
2
6
11
20
42
54
60
66
72
75
77
79
80
pa
0,025
0,075
0,138
0,250
0,525
0,675
0,750
0,825
0,900
0,938
0,963
0,988
1,000
pi
0,025
0,050
0,063
0,113
0,275
0,150
0,075
0,075
0,075
0,038
0,025
0,025
0,013
1. ¿Cuál es el tamaño de la muestra?
2. ¿Cuál es el mayor valor observado?
3. ¿Cuál es el menor valor observado?
4. ¿Qué nivel de ansiedad es el más
frecuente?
5. Si definimos como “ansioso grave” al
que tiene 10 puntos o más, ¿cuántos
de estos hay en la muestra?
6. ¿Con qué puntuaciones podemos
extraer grupos extremos (25%)?
7. Represente gráficamente las
frecuencias relativas y las acumuladas
EJERCICIO 2
Xi
1
2
3
4
ni
5
3
7
5
na
5
8
15
20
pi
0,25
0,15
0,35
0,25
pa
0,25
0,40
0,75
1,00
k
25
40
75
99
1. ¿Qué centil corresponde a las puntuaciones 1 y 2?
2. ¿Qué centil corresponde a la puntación 3?
3. ¿Qué puntación corresponde al centil 25?
4. ¿Qué puntuación es superada por el 25% de sujetos?
5. ¿Cuántos sujetos hay entre los centiles 30 y 65?
6. ¿Qué valores acotan el 50% central de sujetos?
EJERCICIO 3
Xi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
ni
2
4
5
9
22
12
6
6
6
3
2
2
1
na
2
6
11
20
42
54
60
66
72
75
77
79
80
Carmen Ximénez
Pi
2,50
5,00
6,25
11,25
27,50
15,00
7,50
7,50
7,50
3,75
2,50
2,50
1,25
Pa
2,50
7,50
13,75
25,00
52,50
67,50
75,00
82,50
90,00
93,75
96,25
98,75
100
1. Sistema de evaluación:
25% de suspensos
50% de aprobados
15% de notables
10% de sobresalientes
¿Qué notas delimitan cada categoría?
2. Si decidimos adoptar los siguientes criterios:
Más de 5
para aprobado
Más de 8
para notable
Más de 11 para sobresaliente
¿Qué centil corresponde a cada puntuación?
¿Qué porcentaje de sujetos obtiene cada
calificación?
7