1. “Todo autómata finito determinista de n estados, cuyo alfabeto Σ

Teoría de Autómtas y Lenguajes Formales
Preparo P1-2010
Dr Eric Jeltsch F.
1. “Todo autómata finito determinista de n estados, cuyo alfabeto Σ contiene m
símbolos debe tener m×n transiciones.”
a) Verdadero
b) Falso
Solución: A. De cada estado debe partir una transición por cada símbolo.
2. Queremos construir un autómata finito M tal que L(M)={xmynzp | m, n y p son enteros
no negativos}. ¿Es correcta la siguiente solución?
a) Correcta
b) Incorrecta
x
y
y
z
y
z
Solución: B. No admite la cadena yz.
3. Dado el alfabeto {x, z}, queremos construir un autómata finito M tal que L(M) sea el
lenguaje formado por las cadenas que contienen al menos una z, y cada z está
inmediatamente precedida y seguida por una x. ¿Es correcta la siguiente solución?
x
x
z
x
x
x
a) Sí
b) No
Solución: B. El autómata no acepta la cadena xzxzx .
4. La expresión regular (xz ∪ y) · (zz)* · (zy · (xy)* · (xz ∪ y) · (zz)*)*, ¿representa el mismo
lenguaje que reconoce el siguiente autómata?
a) Verdadero
b) Falso
z
x
z
y
y
Solución: B. La expresión regular no representa la cadena xyy . Una expresión regular
equivalente al autómata sería (xy)* · (xz ∪ y) · (zz)* · (zy · (xy)* · (xz ∪ y) · (zz)*)*.
5. “Todo autómata finito de n estados, cuyo alfabeto Σ contiene m símbolos debe tener
m×n transiciones.”
a) Verdadero
b) Falso
2
Solución: B. En los autómatas no deterministas el número de transiciones puede ser
mayor o menor.
6. ¿Son equivalentes este autómata y esta gramática?
a) Sí
b) No
x
y
y
y
z
z
S
→
xS
S
→
yA
S
→
zB
A →
yA
A →
yB
B →
zB
B →
λ
Solución: B. La gramática no genera la cadena vacía.
7. Señale la expresión regular que representa el lenguaje que acepta el siguiente
autómata.
y
x
x
y
x
y
a) (xy*x ∪ yy*x ∪ y ∪ x)
b) (xy*x ∪ yy*x ∪ yy* ∪ xx*)
c) (xy*x ∪ yy*x)
d) Ninguna de las anteriores
Solución: D.
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8. Indique cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera con respecto al autómata de
la figura:
λ, x; λ
x,λ; x
x, x; λ
y,λ; y
y, y; λ
λ, y; λ
a) Es determinista.
b) Es no determinista (en sentido estricto)
c) Es no determinista (en sentido estricto) sólo si el alfabeto de la máquina incluye
más símbolos que x e y
d) Ninguna de las afirmaciones anteriores es cierta
Solución: B. Para la cadena xx, después de la transición x,λ;x existen dos posibilidades:
λ,x;λ y x,x;λ.
9. Indique cuál de las siguientes expresiones regulares caracteriza al lenguaje
reconocido por el autómata de la figura:
x
z
y
a) x*∪yz*
b) x*∪ yz*∪ x*y
c) x*yz*
d) Ninguna de las anteriores
Solución: D.
10. Indique cómo caracterizaría las cadenas que genera la siguiente gramática:
S → S1
S1 → x S1 y
S1 → xy
S → S2
S2 → xS2 yy
S2 → xy
a) xy*(xy*)*
b) {xnym : m y n son enteros positivos tales que m = n o m = 2n}
c) x* (yy)*∪ (xy)*
d) Ninguna de las caracterizaciones anteriores es válida
Solución: D. L(G) = {xnym : m y n son enteros positivos tales que m = n o m = 2n–1}.
11. Indentifique cuál de las siguientes afirmaciones es cierta con respecto a los
lenguajes L(G1) y L(G2):
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S
S

X
G1 = 
Y
X

Y
→
X
→
→
Y
xXy
→ xxYy
λ
→
→
→
S
X

X
G2 = 
Y
X

Y
λ
X
→
Y
→ xXy
→ xxYy
λ
λ
→
→
a) L(G1) ⊂ L(G2)
b) L(G2) ⊂ L(G1)
c) L(G2) = L(G1)
d) Ninguna de las afirmaciones anteriores es cierta
Solución: A. L(G1) = {xnyn}∪{x2nyn}, mientras que L(G2) = {xnym | m≤n≤2m} = L(G2),
de modo que L(G1) ⊂ L(G2)
12. Dados los autómatas M1 y M2, indicar cuál de las siguientes afirmaciones es
verdadera:
a) M1 y M2 son equivalentes. M2 es determinista.
b) M1 y M2 son equivalentes. M2 es no determinista.
c) M1 y M2 no son equivalentes. M2 es determinista.
d) M1 y M2 no son equivalentes. M2 es no determinista.
M1
M2
x
y
x
x
x
x
y
y
y
y
Solución: D. No son equivalentes porque M1 no acepta la cadena xyxy. M2 es no
determinista porque para la cadena xy existen dos posibilidades.
13. Decidir si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: “Para cada autómata finito
no determinista existe una gramática regular que genera el mismo lenguaje.”
a) Verdadera.
b) Falsa.
Solución: A. Porque todo autómata finito no determinista es equivalente a un autómata
finito determinista.
14. Sea L un lenguaje regular y L’ = {x | x∈ L y x-1∈ L}; es decir, L’ es el subconjunto
de L formado por aquellas cadenas cuya inversa también está en L. ¿Es L’ regular?
a) Sí.
b) No.
-1
Solución: A. Sea L el lenguaje (regular) formado al invertir cada cadena de L. La
condición “x∈ L y x-1∈ L” es equivalente a “x∈ L y x∈ L-1” y por tanto L’ es la
intersección de dos lenguajes regulares.
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15.
Construir una expresión regular que denote el lenguaje L = { wÎ{a,b,c}* :|w|a ≠ 1}. Es
imprescindible incluir brevemente el razonamiento utilizado.
Solución: L puede definirse como la unión de dos lenguajes L = L1 union L2
con L1 = {wÎ{a,b,c}* : |w|a = 0} y L2 = { wÎ{a,b,c}* : |w|a > 1}. Donde (buc)* denota
L1 y (aubuc)*. a .(aubuc)*. a .(aubuc)* denota L2, por tanto
una solución es :
(buc)* union (aubuc)*. a .(aubuc)*. a .(aubuc)*.
16. Sobre el alfabeto sigma = {a, b} se define L como el lenguaje compuesto por las
palabras que contienen dos a’s separadas por un número impar de símbolos. El siguiente
autómata finito no determinista M reconoce dicho lenguaje L.
Se pide,
a) obtener (a partir de M) un AFD que acepte L.
b) Minimizar el AFD obtenido.
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7
Problema nº16.
Sean Σ1={a,b}, Σ2={0,1}, L={ w∈Σ1* | w=a2nbn, con n>0}. Defina una sustitución
*
s : Σ1 → 2Σ2 , de tal manera que s(L) ∈ 000 (000)*
Sol. s(a)={0}, s(b)={0}. Nótese que s(L) ={ w∈Σ2* | w=03n, con n>0}= 000
(000)*
Considere el siguiente autómata finito no determinista M, sobre el alfabeto {a, b} que
reconoce el lenguaje (ab union aba)*.Se pide que aplique los algoritmos
correspondientes con el fin de construir un autómata N que reconozca el lenguaje
complementario de L(M).
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Minimizar el siguiente Autómata Finito Determinista (AFD)
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Hallar una expresión regular que defina el lenguaje reconocido por el siguiente AFD.
Dada G = (V, ∑, S, P) , V = {S, A} , ∑ = {0,1} , S = S , P = {S → 0S|0A, A → 1A | 1}.
Se pide,
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a Describaa en forma conjuntistaa los elemen
a)
ntos o cadeenas que soon generadaas por
esta gram
mática.
b Clasificaar según la jerarquía
b)
j
dee Chomsky.
Sol: Para
P
determ
minar cuáll es el lengguaje generrado por una gramátiica se tienee que
calcuular cuales son las caadenas que pueden derrivarse a partir de su símbolo in
nicial.
Por ejemplo,
, es decir, se puede peensar en ap
plicar
primero n vecess la produccción
, obtenién
ndose
, tras lo cu
ual se
aplicca la produccción
, sienddo el resulta
ado
, trras la
cual
se
p
puede
applicar
vaarias
vecces
la
produccióón
,
Si se
s aplica m vecess
y ya, por
p
últimoo,
, se lleg
ga a
. Po
or lo tanto el
e lenguaje generado por
p la
gram
mática del appartado a) es el siguiennte:
Indiccar si la sigguiente afirm
mación es verdadera
v
o falsa: “Todo autómatta finito deffinido
para un alfabetoo Σ con n sím
mbolos debe contener al
a menos n transiciones
t
s.”
c) Verdadera.
b) Falsa.
Solución: B. El
E conjunto de transiciiones de un
n autómata no-determ
minista pued
de ser
cualqquier subconnjunto de S × Σ × S , inncluso el co
onjunto vacíío.
El núúmero mínim
mo de estaddos de un auutómata finiito no determ
minista es
d) uno.
e) dos.
f) no haay número mínimo.
m
g) depennde del alfaabeto sobre el que está definido.
Solución: A.
Indiccar si la exppresión reguular (x ∪ y)·(x ∪ y)* reepresenta el mismo lengguaje que acepta
a
el sigguiente autóómata.
x
x
y
y
h) Verddadero.
Solución: A.
b) Falsoo.
Sea L1 = {xnym | 1 < n ≤ m ≤ 2n } y L2 el lenguajje generadoo por la siguuiente gram
mática.
Se cuumple que…
…
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S
→
A
A → xAy
A → B
B → xByy
B → λ
i) L1 = L2
j) L1 ⊂ L2
k) L1 ⊃ L2
l) Ninguna de las anteriores
Solución: B. La gramática genera cualquier cadena xnym aplicando 2n−m veces la
segunda regla y m−n veces la cuarta; por tanto, L1 ⊆ L2. Sin embargo, las cadenas λ, xy
y xyy no pertenecen a L1, por lo que L1 ≠ L2.
Para el alfabeto {x, y}, ¿cuántos autómatas finitos deterministas de dos estados existen?
m) Menos de 50
b) 50 o más
Solución: B. Hay tantos autómatas como opciones para las siguientes cuestiones: si el
estado inicial es de aceptación o no; id. estado final; si la transición para x desde el
estado inicial se dirige al estado inicial o al final; id. para y; id. para x y para y desde el
estado final. Es decir, hay seis decisiones binarias, por lo que el número de autómatas es
26 = 64.
El lenguaje {(xyz)n| n ≥ 0}, sobre el alfabeto ∑={x, y, z} es regular?
Solución: A. Es muy fácil construir un autómata finito o una gramática regular. Para
demostrarlo, basta construir un autómata finito o bien una gramática regular, como la
siguiente: S→ xM, M→ yN, N→ zS, S→ λ.