Ejemplo
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Álgebra Lineal Ma1010 Vectores en Rn y producto punto Departamento de Matemáticas ITESM Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 1/40 Introducción En este apartado se introduce el concepto de vectores en el espacio n-dimensional asi como el concepto producto punto entre vectores en el espacio n-dimensional. Se incluyen anotaciones geométricas sobre estos conceptos. Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 2/40 Vector Un vector n es arreglo vertical de n números reales de la forma: x1 x2 x= . . . xn Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 3/40 Vector Un vector n es arreglo vertical de n números reales de la forma: x1 x2 x= . . . xn Los elementos xi se llamarán las componentes del vector y podrán ser números reales cualquiera. Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 3/40 Ejemplo El vector x= Vectores en Rn y producto punto 5 −3 8 −2 Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 4/40 Ejemplo El vector x= 5 −3 8 −2 es un vector 4, es decir es un vector con 4 componentes. Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 4/40 Ejemplo El vector x= 5 −3 8 −2 es un vector 4, es decir es un vector con 4 componentes. La componente 1 es 5, Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 4/40 Ejemplo El vector x= 5 −3 8 −2 es un vector 4, es decir es un vector con 4 componentes. La componente 1 es 5, la componente 2 es -3, Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 4/40 Ejemplo El vector x= 5 −3 8 −2 es un vector 4, es decir es un vector con 4 componentes. La componente 1 es 5, la componente 2 es -3, la componente 3 es 8, Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 4/40 Ejemplo El vector x= 5 −3 8 −2 es un vector 4, es decir es un vector con 4 componentes. La componente 1 es 5, la componente 2 es -3, la componente 3 es 8, y la componente 4 es -2 Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 4/40 3 2.5 2 1.5 1 0.5 00 0.5 0 1 0.5 1.5 2 1 1.5 2 Figura 1: Componentes de un Vector Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 5/40 Igualdad entre vectores Dos vectores ~x y ~y se dicen vectores iguales si tienen la misma dimensión y las coordenadas correspondientes son todas iguales. Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 6/40 Ejemplo Indique para que valor de x y y los vectores son iguales: " # " # x−1 y−3 x= y= 3 x+1 Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 7/40 Ejemplo Indique para que valor de x y y los vectores son iguales: " # " # x−1 y−3 x= y= 3 x+1 Solución Igualando componentes: x−1 = y−3 3 = x+1 Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 7/40 Ejemplo Indique para que valor de x y y los vectores son iguales: " # " # x−1 y−3 x= y= 3 x+1 Solución Igualando componentes: x−1 = y−3 3 = x+1 Resolviendo primero para x y luego para y obtenemos: x=2 y = 4 Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 7/40 Suma entre vectores La suma entre vectores ~x y ~y sólo puede realizarse cuando los vectores tienen la misma dimensión, en cuyo caso la suma se calcula: x1 y1 x 1 + y1 x 2 y2 x 2 + y2 . + . = . . . . . . . xn yn Vectores en Rn y producto punto x n + yn Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 8/40 4 3z 2 1 4 3 2 x 1 0 000.5 11.5 2 y Figura 2: Suma de dos vectores por Componentes Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 9/40 Producto por escalares El producto de un escalar c (número real) por un vector ~x da como resultado un vector. Este producto se define como: x1 cx1 x2 cx2 = . c . . . . . xn cxn En la figura 3 se ilustra que el resultado de escalar un vector (hacerlo más pequeño o más grande, inclusive cambiarlo de sentido) coincide con el escalamiento de las componentes del vector. Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 10/40 -3 4 6 4 -2 xz 2 -1 0 2 00 -2 -4 -6 y -21 -4 2 -6 -8 Figura 3: Producto de escalar por vector Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 11/40 Propiedades Las operaciones de suma entre vectores y producto de un escalar por un vector satisfacen las siguientes propiedades: 1 Ley asociativa de la suma de vectores: (~u + ~v ) + w ~ = ~u + (~v + w) ~ 2 Ley conmutativa de la suma de vectores: ~u + ~v = ~v + ~u 3 Vector cero: ~u + ~0 = ~0 + ~u = ~u 4 Inversos aditivos: ~u + (−~u) = (−~u) + ~u = ~0 Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 12/40 5 Propiedad distributiva del producto sobre la suma: a (~u + ~v ) = a~u + a~v 6 Propiedad distributiva de la suma se escalares sobre el producto: (a + b) ~u = a~u + b~u 7 Propiedad asociativa del producto: (ab) ~u = a (b~u) = b (a~u) 8 Propiedades generales: 1~u = ~u y 0~u = ~0 Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 13/40 Aplicaciones de vectores Ejemplo Suponga una empresa maquiladora que a partir de componentes tipos básicos A, B y C ensambla otros componentes. A los componentes A, B y C los podemos considerar como materia prima, además son direrentes y un tipo no puede suplir a otro. Normalmente, la empresa tiene almacenado en un buen número de estos componentes y lleva un control estricto de las cantidades. El personal de almacen por conveniencia reporta el contenido y la salida de materiales por un vector de 3 componentes. En lugar de decir: en bodega hay 200 componentes tipo A, 250 componentes tipo B y 347 componentes tipo C, la gente de bodega dice tenemos < 200, 250, 347 >. Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 14/40 Ejemplo Siguiendo con el ejemplo, suponga que inicialmente poseen < 1200, 1400, 800 >. Un mes después salen cuatro pedidos por < 25, 30, 50 > cada uno y entra < 100, 300, 200 >. En el siguiente mes salen tres pedidos por < 30, 25, 30 > cada uno y no hay entrada. Indique cuál es la cantidad de material en bodega. Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 15/40 Ejemplo Siguiendo con el ejemplo, suponga que inicialmente poseen < 1200, 1400, 800 >. Un mes después salen cuatro pedidos por < 25, 30, 50 > cada uno y entra < 100, 300, 200 >. En el siguiente mes salen tres pedidos por < 30, 25, 30 > cada uno y no hay entrada. Indique cuál es la cantidad de material en bodega. Solución 1200 1110 25 100 30 1400 −4 30 + 300 −3 25 = 1505 800 710 50 200 30 Quedan 1110 tipo A, 1505 tipo B y 710 tipo C Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 15/40 Producto punto Sean ~u =< u1 , u2 , · · · , un >, y ~v =< v1 , v2 , · · · , vn > dos vectores cualquiera en Rn . Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 16/40 Producto punto Sean ~u =< u1 , u2 , · · · , un >, y ~v =< v1 , v2 , · · · , vn > dos vectores cualquiera en Rn . El producto Punto, o producto escalar, de ~u y ~v se define como ~u • ~v = u1 v1 + u2 v2 + · · · + un vn Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 16/40 Ejemplo Determine el producto punto entre los vectores: v =< 2, 3, −4 > y v =< 2, −1, −1 > Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 17/40 Ejemplo Determine el producto punto entre los vectores: v =< 2, 3, −4 > y v =< 2, −1, −1 > Solución De la propia definición del producto punto: 2 2 • 3 −1 = −4 −1 Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 17/40 Ejemplo Determine el producto punto entre los vectores: v =< 2, 3, −4 > y v =< 2, −1, −1 > Solución Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 De la propia definición del producto punto: 2 2 • 3 −1 = (2) · (2) + (3) · (−1) + (−4) · (−1) −4 −1 = Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 17/40 Ejemplo Determine el producto punto entre los vectores: v =< 2, 3, −4 > y v =< 2, −1, −1 > Solución Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 De la propia definición del producto punto: 2 2 • 3 −1 = (2) · (2) + (3) · (−1) + (−4) · (−1) −4 −1 = 4 − 3 + 4 = 5 Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 17/40 Nota Es importante observar que el producto punto es sólo entre vectores de la misma dimensión: Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 18/40 Nota Es importante observar que el producto punto es sólo entre vectores de la misma dimensión: No entre un escalar y un vector; Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 18/40 Nota Es importante observar que el producto punto es sólo entre vectores de la misma dimensión: No entre un escalar y un vector; No entre dos vectores de diferente dimensión. Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 18/40 Nota Es importante observar que el producto punto es sólo entre vectores de la misma dimensión: No entre un escalar y un vector; No entre dos vectores de diferente dimensión. También debe observarse que el resultado del producto punto es un escalar, no un vector. Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 18/40 Ejemplo Indique cuales opciones contienen operaciones indefinidas: 1. 3. 5. 7. ~u • (~v • w) ~ 2. ~u • ~u + 2 (~u • ~v )w ~ 4. ~u • (3~v ) (~u • ~u)3 6. ~u • (3 + w) ~ (~u • ~v )(~v • w) ~ Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 19/40 Ejemplo Indique cuales opciones contienen operaciones indefinidas: 1. 3. 5. 7. ~u • (~v • w) ~ 2. ~u • ~u + 2 (~u • ~v )w ~ 4. ~u • (3~v ) (~u • ~u)3 6. ~u • (3 + w) ~ (~u • ~v )(~v • w) ~ Solución 1. Indefinida porque (~v • w) ~ es un escalar. Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 19/40 Ejemplo Indique cuales opciones contienen operaciones indefinidas: 1. 3. 5. 7. ~u • (~v • w) ~ 2. ~u • ~u + 2 (~u • ~v )w ~ 4. ~u • (3~v ) (~u • ~u)3 6. ~u • (3 + w) ~ (~u • ~v )(~v • w) ~ Solución 2. Definida porque es una suma entre escalares. Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 19/40 Ejemplo Indique cuales opciones contienen operaciones indefinidas: 1. 3. 5. 7. ~u • (~v • w) ~ 2. ~u • ~u + 2 (~u • ~v )w ~ 4. ~u • (3~v ) (~u • ~u)3 6. ~u • (3 + w) ~ (~u • ~v )(~v • w) ~ Solución 3. Definida porque es un escalar por un vector. Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 19/40 Ejemplo Indique cuales opciones contienen operaciones indefinidas: 1. 3. 5. 7. ~u • (~v • w) ~ 2. ~u • ~u + 2 (~u • ~v )w ~ 4. ~u • (3~v ) (~u • ~u)3 6. ~u • (3 + w) ~ (~u • ~v )(~v • w) ~ Solución 4. Definida. Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 19/40 Ejemplo Indique cuales opciones contienen operaciones indefinidas: 1. 3. 5. 7. ~u • (~v • w) ~ 2. ~u • ~u + 2 (~u • ~v )w ~ 4. ~u • (3~v ) (~u • ~u)3 6. ~u • (3 + w) ~ (~u • ~v )(~v • w) ~ Solución 5. Definida: es un escalar al cubo. Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 19/40 Ejemplo Indique cuales opciones contienen operaciones indefinidas: 1. 3. 5. 7. ~u • (~v • w) ~ 2. ~u • ~u + 2 (~u • ~v )w ~ 4. ~u • (3~v ) (~u • ~u)3 6. ~u • (3 + w) ~ (~u • ~v )(~v • w) ~ Solución 6. Indefinida: lo que falla es la suma de escalar con vector. Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 19/40 Ejemplo Indique cuales opciones contienen operaciones indefinidas: 1. 3. 5. 7. ~u • (~v • w) ~ 2. ~u • ~u + 2 (~u • ~v )w ~ 4. ~u • (3~v ) (~u • ~u)3 6. ~u • (3 + w) ~ (~u • ~v )(~v • w) ~ Solución 7. Definida: es un producto entre escalares Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 19/40 Ortogonalidad Dos vectores ~u y ~v , se dice que son vectores ortogonales, si ~u • ~v = 0 Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 20/40 Ejemplo Diga si las siguientes parejas de vectores son o no ortogonales: u1 =< 2, 3, −4 > y u2 =< 1, 2, 3 > v1 =< 2, 3 > y v2 =< −3, 2 > Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 21/40 Ejemplo Diga si las siguientes parejas de vectores son o no ortogonales: u1 =< 2, 3, −4 > y u2 =< 1, 2, 3 > v1 =< 2, 3 > y v2 =< −3, 2 > Solución Los vectores < 2, 3, −4 > y < 1, 2, 3 > no son ortogonales debido a que Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 21/40 Ejemplo Diga si las siguientes parejas de vectores son o no ortogonales: u1 =< 2, 3, −4 > y u2 =< 1, 2, 3 > v1 =< 2, 3 > y v2 =< −3, 2 > Solución Los vectores < 2, 3, −4 > y < 1, 2, 3 > no son ortogonales debido a que Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 < 2, 3, −4 > • < 1, 2, 3 >= (2)·(1)+(3)·(2)+(−4)·(3) = −4 6= 0 Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 21/40 Ejemplo Diga si las siguientes parejas de vectores son o no ortogonales: u1 =< 2, 3, −4 > y u2 =< 1, 2, 3 > v1 =< 2, 3 > y v2 =< −3, 2 > Solución Los vectores < 2, 3, −4 > y < 1, 2, 3 > no son ortogonales debido a que Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 < 2, 3, −4 > • < 1, 2, 3 >= (2)·(1)+(3)·(2)+(−4)·(3) = −4 6= 0 Los vectores < 2, 3 > y < −3, 2 > sí son ortogonales debido a que: Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 21/40 Ejemplo Diga si las siguientes parejas de vectores son o no ortogonales: u1 =< 2, 3, −4 > y u2 =< 1, 2, 3 > v1 =< 2, 3 > y v2 =< −3, 2 > Solución Los vectores < 2, 3, −4 > y < 1, 2, 3 > no son ortogonales debido a que Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 < 2, 3, −4 > • < 1, 2, 3 >= (2)·(1)+(3)·(2)+(−4)·(3) = −4 6= 0 Los vectores < 2, 3 > y < −3, 2 > sí son ortogonales debido a que: < 2, 3 > • < −3, 2 >= (2) · (−3) + (3) · (2) = 0 Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 21/40 Longitud o norma La norma de un vector ~u se define como p √ k~uk = ~u • ~u = u1 2 + · · · un 2 Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 22/40 Ejemplo Determine la norma del vector: v =< 2, −3, 1 > Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 23/40 Ejemplo Determine la norma del vector: v =< 2, −3, 1 > Solución Directamente de la definción: k < 2, −3, 1 > k = Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 23/40 Ejemplo Determine la norma del vector: v =< 2, −3, 1 > Solución Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Directamente de la definción: p (2) · (2) + (−3) · (−3) + (1) · (1) k < 2, −3, 1 > k = Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 23/40 Ejemplo Determine la norma del vector: v =< 2, −3, 1 > Solución Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Directamente de la definción: p (2) · (2) + (−3) · (−3) + (1) · (1) k < 2, −3, 1 > k = √ 14 = Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 23/40 Distancia entre vectores La distancia euclidiana entre los vectores ~u y ~v , se define como d~u,~v = k~u − ~v k Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 24/40 Ejemplo Determine la distancia entre el punto P (2, 3, 0) y el punto Q = (0, 6, −1). Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 25/40 Ejemplo Determine la distancia entre el punto P (2, 3, 0) y el punto Q = (0, 6, −1). Solución Directamente de la definición tenemos: dP~ ,Q~ = Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 25/40 Ejemplo Determine la distancia entre el punto P (2, 3, 0) y el punto Q = (0, 6, −1). Solución Directamente de la definición tenemos: dP~ ,Q~ = k < 2, 3, 0 > − < 0, 6, −1 > k = Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 25/40 Ejemplo Determine la distancia entre el punto P (2, 3, 0) y el punto Q = (0, 6, −1). Solución Directamente de la definición tenemos: dP~ ,Q~ = k < 2, 3, 0 > − < 0, 6, −1 > k = k < 2, −3, 1 > k = Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 25/40 Ejemplo Determine la distancia entre el punto P (2, 3, 0) y el punto Q = (0, 6, −1). Solución Directamente de la definición tenemos: dP~ ,Q~ = k < 2, 3, 0 > − < 0, 6, −1 > k = k < 2, −3, 1 > k p 22 + (−3)2 + 12 = = Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 25/40 Ejemplo Determine la distancia entre el punto P (2, 3, 0) y el punto Q = (0, 6, −1). Solución Directamente de la definición tenemos: dP~ ,Q~ = = = = k < 2, 3, 0 > − < 0, 6, −1 > k k < 2, −3, 1 > k p 22 + (−3)2 + 12 √ 14 Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 25/40 Vector unitario Un vector ~u se dice vector unitario, o simplemente unitario, si k~uk = 1 Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 26/40 Ejemplo Diga si los siguientes vectores son unitarios: √ √ u =< 1, 2 > y v =< 1/ 2, −1/ 2 > Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 27/40 Ejemplo Diga si los siguientes vectores son unitarios: √ √ u =< 1, 2 > y v =< 1/ 2, −1/ 2 > Solución El vector < 1, 2 > no es unitario debido a que: p √ k < 1, 2 > k = < 1, 2 > • < 1, 2 > = 1 + 4 6= 1 Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 27/40 Ejemplo Diga si los siguientes vectores son unitarios: √ √ u =< 1, 2 > y v =< 1/ 2, −1/ 2 > Solución √ √ Mientras que el vector < 1/ 2, −1/ 2 > sí es unitario porque: p √ √ k < 1/ 2, −1/ 2 > k = 1/2 + 1/2 = 1 Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 27/40 Ángulo entre vectores El ángulo entre vectores ~u y ~v , se define como el único número θ (0 ≤ θ ≤ π)que cumple ~u • ~v cos (θ) = k~uk k~v k Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 28/40 Ejemplo Determine el ángulo entre los vectores ~ =< 1, −1 >. P~ =< 1, 2 > y Q Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 29/40 Ejemplo Determine el ángulo entre los vectores ~ =< 1, −1 >. P~ =< 1, 2 > y Q Solución Como ~ = 1 − 2 = −1, kP~ k = P~ • Q Vectores en Rn y producto punto √ ~ = 5, kQk √ 2 Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 29/40 Ejemplo Determine el ángulo entre los vectores ~ =< 1, −1 >. P~ =< 1, 2 > y Q Solución Como ~ = 1 − 2 = −1, kP~ k = P~ • Q √ ~ = 5, kQk √ 2 De donde: ~ P~ • Q −1 cos (θ) = = √ ≈= −0.31622, ~ 10 kP~ k · kQk de donde θ ≈ 1.8925(en radianes), θ ≈ 108.43o Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 29/40 Proyección ortogonal Sean ~u y ~v dos vectores en Rn , ninguno de los dos el vector cero, La proyección ortogonal de ~u sobre ~v se define como el vector ~u • ~v ~upr,~v = ~v . ~v • ~v En la figura 4 se ilustra la proyección ortogonal de un vector sobre otro. Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 30/40 Componentes de un vector 2 1.5 1 0.5 0 –0.5 0.5 1 1.5 2 –1 Figura 4: Proyección Ortogonal Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 31/40 Ejemplo Determine la proyección de ~u =< 1, 2 > sobre ~v =< 1, 1 >. Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 32/40 Ejemplo Determine la proyección de ~u =< 1, 2 > sobre ~v =< 1, 1 >. Solución Como Así ~u • ~v = 3, ~v • ~v = 2 Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 32/40 Ejemplo Determine la proyección de ~u =< 1, 2 > sobre ~v =< 1, 1 >. Solución Como ~u • ~v = 3, ~v • ~v = 2 Así ~upr,~v 3 3 3 = < 1, 1 >=< , > 2 2 2 Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 32/40 Componente vectorial La componente vectorial de ~u ortogonal a ~v se define como el vector ~u • ~v ~v ~uc,~v = ~u − ~v • ~v En la figura 5 se ilustra la componente vectorial sobre un vector. Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 33/40 Componentes de un vector 2 1.5 1 0.5 0 –0.5 0.5 1 1.5 2 –1 Figura 5: Componente vectorial Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 34/40 Ejemplo Determine la componente ortogonal de ~u =< 1, 2 > sobre ~v =< 1, 1 >. Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 35/40 Ejemplo Determine la componente ortogonal de ~u =< 1, 2 > sobre ~v =< 1, 1 >. Solución Como ~u • ~v = 3, ~v • ~v = 2 Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 35/40 Ejemplo Determine la componente ortogonal de ~u =< 1, 2 > sobre ~v =< 1, 1 >. Solución Como Así ~u • ~v = 3, ~v • ~v = 2 1 1 3 ~uc~v =< 1, 2 > − < 1, 1 >=< − , > 2 2 2 Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 35/40 Propiedades del Producto Punto Para cualquier vectores ~u, ~v , y w ~ en Rn y escalar c se cumple 1 Simetrı́a: ~u • ~v = ~v • ~u Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 36/40 Propiedades del Producto Punto Para cualquier vectores ~u, ~v , y w ~ en Rn y escalar c se cumple 1 Simetrı́a: ~u • ~v = ~v • ~u 2 Aditividad: ~u • (~v + w) ~ = ~u • ~v + ~u • w ~ Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 36/40 3. Homogeneidad: c (~u • ~v ) = (c ~u) • ~v = ~u • (c ~v ) Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 37/40 3. Homogeneidad: c (~u • ~v ) = (c ~u) • ~v = ~u • (c ~v ) 4. Positividad: ~u • ~u ≥ 0 Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 37/40 3. Homogeneidad: c (~u • ~v ) = (c ~u) • ~v = ~u • (c ~v ) 4. Positividad: ~u • ~u ≥ 0 Además, ~u • ~u = 0 si y sólo si ~u = ~0 Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 37/40 Desigualdad de Cauchy-Schwarz Teorema Para cualquiera dos vectores ~u y ~v en Rn se cumple |~u • ~v | ≤ k~uk k~v k Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 38/40 Desigualdad de Cauchy-Schwarz Teorema Para cualquiera dos vectores ~u y ~v en Rn se cumple |~u • ~v | ≤ k~uk k~v k Además, la igualdad se cumple si y sólo si los vectores ~u y ~v son múltiplos escalares entre sí. Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 38/40 Desigualdad de Cauchy-Schwarz Teorema Para cualquiera dos vectores ~u y ~v en Rn se cumple |~u • ~v | ≤ k~uk k~v k Además, la igualdad se cumple si y sólo si los vectores ~u y ~v son múltiplos escalares entre sí. El resultado anterior se conoce como la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 38/40 Desigualdad del Triángulo Teorema Para cualquiera dos vectores ~u y ~v en Rn se cumple k~u + ~v k ≤ k~uk + k~v k. Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 39/40 Desigualdad del Triángulo Teorema Para cualquiera dos vectores ~u y ~v en Rn se cumple k~u + ~v k ≤ k~uk + k~v k. El resultado anterior se conoce como la desigualdad del triángulo. Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 39/40 Teorema de Pitágoras Teorema Los vectores ~u y ~v son ortogonales si y sólo si se cumple k~u + ~v k2 = k~uk2 + k~v k2 . Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 40/40 Teorema de Pitágoras Teorema Los vectores ~u y ~v son ortogonales si y sólo si se cumple k~u + ~v k2 = k~uk2 + k~v k2 . El resultado anterior se conoce como el Teorema de Pitágoras. Vectores en Rn y producto punto Introducción Vector Ejemplo 1 Igualdad Ejemplo 2 Suma Producto por Escalares Propiedades Ejemplo 3 Producto Punto Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ortogonalidad Ejemplo 3 Norma de Un Vector Ejemplo 5 Distancia Ejemplo 6 Vector Unitario Ejemplo 7 Ángulo Ejemplo 8 Proyección Ejemplo 9 Componente Ejemplo 10 Álgebra Lineal - p. 40/40
