Series de tiempo

Series de tiempo
Estadı́stica
Miguel Ángel Chong R.
[email protected]
12 de febrero del 2013
Miguel Chong
Series de tiempo
Método 2
Suavizamineto de la media vı́a un promedios moviles.
Sea q un entero no negativo y considederemos el promedio movil de dos
lados como
m̂t =
q
X
aj Xt+j , para t ∈ {q + 1, q + 2, . . . , n − q} ,
j=−q
donde
q
X
aj = 1.
j=−q
Un caso particular de este tipo de ajuste de la tendencia es si suponemos
1
, es decir
que aj = 2q+1
q
1 X
Xt+j , t ∈ {q + 1, q + 2, . . . , n − q} .
m̂t =
2q + 1 −q
Notemos que hay 2q + 1 sumandos, por lo tanto,
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Pq
1
−q 2q+1
= 1.
Antes de describir el último método introduzcamos los operadores
retraso y diferencia.
El operador retraso, denotado por B, actua sobre el tiempo de la
siguiente manera
BXt = Xt−1
B 2 Xt = B (BXt ) = BXt−1 = Xt−2
..
.
B j Xt = Xt−j .
Definamos a B 0 Xt = Xt .
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A partir del operador retraso definimos el operador diferencia como
∇Xt = (1 − B) Xt = Xt − Xt−1 .
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Notemos que el operador diferencia lo podemos manipular como si
fuera un polinomio común y corriente es decir
∇2 Xt = (1 − B) (1 − B) Xt = 1 − 2B + B 2 Xt = Xt − 2Xt−1 + Xt−2 .
Y por lo tanto si deseamos diferenciar Xt la serie j veces tenemos
que
∇j Xt = (1 − B)j Xt
j X
j
(−1)k B k Xt
=
k
k=0
n X
j
=
(−1)k Xt−k .
k
k=0
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Método 3
Cuando la serie de tiempo Xt tiene una tendencia lineal, mt = at + b,
entonces al aplicar un el operador diferencia ∇ obtenemos ∇mt = a.
De la misma forma, si nosotros tenemos una serie de tiempo
Xt = mt + Yt donde la tendenca es polinomial de grado k, mt =
k
X
aj t j ,
j=0
entonces al aplicar el operador diferencia a la tendencia tenemos que
∇k mt = k!ak y por lo tanto tenemos que
∇k Xt = k!ak + ∇k Yt .
Lo que pretendemos ahora es quitar la tendencia y la parte estacional en
un modelo general
Xt = mt + st + Yt
donde E [Yt ] = 0, st = st+d y
Pd
j=1 sj
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=0
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Método S1
Para ilustrar este método usemos la serie de muertes accidentales USAccDeaths, y cambiemos la notación de la
serie de tiempo {x1 , x2 , . . . , xn } por los sub ı́ndices xj ,k , donde j ∈ {1, 2, . . . , 6} representa los años y
k = {1, . . . , 12} representa los meses y claramente el periodo es d = 12
Para este método calculemos la tendencia anual que cambia suavemente como
m̂j =
12
1 X
12 k=1
xj ,k .
Mientras que la parte estacional la calcularemos como
ŝk =
6
1 X
6 j =1
xj ,k − m̂j .
Por último, calculamos la parte aleatoria como
Ŷj ,k = xj ,k − m̂j − ŝk ,
para j ∈ {1, 2, . . . , 6} y k = {1, . . . , 12}
Lo que pretendemos ahora es quitar la tendenciay la parte estacional
Xt = mt + st + Yt
donde E [Yt ] = 0, st = st+d y
Pd
j =1 sj = 0
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Método S2
Supongamos que tenemos una serie observada {x1 , . . . , xn },
1. Primero vamos a identificar el periodo de la parte estacional, si la serie
es mensual y cada año se repite un tipo de comportamiento tenemos que
d = 12, si es una serie cuatrimestral entonces d = 3. Además
supongamos que la serie {x1 , . . . , xn } tiene k ciclos, es decir que n = kd.
2. Vamos a estimar la tendencia de la serie {x1 , . . . , xn } vı́a un promedio
movil.
(a) Si d es par entonce la ventana del promedio hacia atras y hacia
delante la determinamos por d = 2q
0.5xt−q + xt−q+1 + . . . + xt+q−1 + 0.5xt+q
m̂t =
, q + 1 < t ≤ n − q.
d
(b) Si d es impar, la ventana hacia atras y hacia delante la determinamos
por d = 2q + 1 y la tendencia la calculamos como
xt−q + . . . + xt + . . . + xt+q
, q + 1 < t ≤ n − q.
m̂t =
d
3. A la serie original le quitamos la parte de la tendencia
zt = xt − m̂t , para q + 1 < t ≤ n − q.
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Continuación del método S2
4. Con la serie auxiliar zt vamos a crear un ciclo promedio que estimará
de la parte estacional, es decir, calcularemos, wk con k ∈ {1, . . . , d},
igual que como lo hicimos en el método S1,
zq+1
zq+2
zq+3
...
zq+1+d
zq+2+d
zq+3+d
zq+4+d
...
zq+1+2d
zq+2+2d
zq+3+2d
zq+4+2d
...
zq+1+3d
..
..
..
..
.
.
.
.
zn−q−d+1
zn−q−d+2
zn−q−d+3 . . .
zn−q
↓promedio ↓promedio ↓promedio
↓promedio
w1
w2
w3
wd
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Continuación del método S2
6. Para que se cumpla con la condición de que
d
X
ŝk = 0, ajustamos el
k=1
ciclo obtenido en la serie {wj }12
j=1 de la siguiente forma
ŝk = wk −
d
X
i =1
d
wi
, k ∈ {1, . . . , d}
Ojo si la serie es anual entonces ŝ1 representa el ciclo promedio en julio,
ŝ7 representa el ciclo promedio en enero, entonces conviene reordenar el
arreglo de la siguente forma Vecciclo = (ŝ7 , ŝ8 , . . . , ŝ12 , ŝ1 , ŝ2 , . . . , ŝ6 ).
7. Ahora
 vamos a repetir elvector Vecciclo , tantos ciclos tengamos
St = Vecciclo , . . . , Vecciclo  .
{z
}
|
k veces
8. Podemos calcular la parte aleatoria como
yt = zt − St , para q + 1 < t ≤ n − q.
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Continuación del método S2
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Método S3
El método de diferenciación puede ser adaptado cuando existe una
parte ciclica de periodo d. Introduzcamos la siguiente notación
∇d Xt = 1 − B d Xt = Xt − Xt−d
Ahora aplicando ∇d a Xt = mt + st + Yt tenemos que
∇d X t = 1 − B d X t
= (mt + st + Yt ) − (mt−d + st−d + Yt−d )
= (mt − mt−d ) + (Yt − Yt−d ) .
para ∇d Xt notamos que (mt − mt−d ) es el componente de
tendencia y (Yt−d − Yt−d ) es el componente aleatorio. Entonces
podemos eliminar la tendencia usando algúna podencia del
operador diferencia simple ∇.
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