Solución TP Ejemplo [solTp1Ejemplo]

75.12 Análisis Numerico I
Trabajo Práctico Nº 1 - Cálculo Numérico y Errores -
Introducción
El cálculo numérico como lo aplicamos en la teoría, nos permite hacer aproximaciones y usar
definiciones tales como el infinito, que nos ayudan a obtener un resultado aproximado o correcto
del problema en cuestión.
Estas operaciones, pueden ser muy complicadas y hasta imposibles de realizar en la realidad, por
ejemplo una sumatoria hasta infinito, etc..
∞
∑ f (i )
i =1
Algunas de estas operaciones, llevarían mucho tiempo de realización, y con la ayuda de una
computadora, se podría realizar en menor tiempo. Pero aquí surge el inconveniente de poder resolver las cosas mediante una máquina. Para cumplir el objetivo, se deben tener en cuenta las
limitaciones que poseen estas máquinas (por Ej. No poder representar al infinito).
Objetivo
En este trabajo práctico se tratará de encontrar las limitaciones y ventajas del cálculo por computadora. Esto se realizará haciendo pruebas de cálculo con límites, sumatorias y representación de
números.
Observando la respuesta de la máquina, trataremos de concluir las características del cálculo mediante estos métodos, y los errores que se presentan, como así también determinar la importancia
que se debe dar a los distintos resultados.
Se definirá también lo que es la unidad de máquina, se determinará con cuantos dígitos trabaja
en simple y doble precisión, se tratará de ver si la máquina tiene algún comportamiento extraño
al resolver los algoritmos y finalmente se dará una conclusión sobre todos estos aspectos.
Arrigo Gastón
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75.12 Análisis Numerico I
Trabajo Práctico Nº 1 - Cálculo Numérico y Errores -
A.
Unidad de Máquina
A.1 Implementar un programa para encontrar el menor número de máquina superior a 1.
Trabajar en simple precisión.
Indicar:
•
•
la cantidad de dígitos con los que trabaja la máquina (t).
la unidad de máquina (u).
A.2 Repetir el punto anterior en doble precisión.
A.3 ¿Qué errores están presentes?
(1-t)
u = 0,5 x 10
t = se determinará de la experiencia
Según los datos obtenidos de la experiencia, los valores son los siguientes:
u
t
Simple Precisión
0,5 x 10 –7
8
Doble Precisión
0,5 x 10 -15
16
3. El error presente es el de redondeo simétrico, debido a como se resuelve el algoritmo. Este
error es inherente a la máquina, depende del algoritmo y del problema.
La u (unidad de máquina) es la cota del error relativo que comete la máquina por la representación interna.
B) Cálculo de límites
B.1 Implementar dos algoritmos en simple precisión para determinar los siguientes límites:
  1 x 
α = lim ln 1+  
x→0
  x  
x
 N
β = lim 1+ 
x→∞
 x
Donde N = última cifra del número de Padrón de la facultad. Completar las siguientes tablas.
Primero analicemos analíticamente el resultado de estos límites, para luego compararlo con el
resultado obtenido con el algoritmo.
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75.12 Análisis Numerico I
Trabajo Práctico Nº 1 - Cálculo Numérico y Errores -
1

ln 1+ 
  1  
1 

x

α = lim ln 1+   = lim x . ln 1+  = lim 
x→0
x→0
1
x  x→0


  x  
x
x
 1
. − 2 
1  x 

1
+


1
x

lim
= lim
=0
x→0
x→0 
1
1
− 2
1+ 

x
x

1
α = L'Hopital



N
1

β = lim 1+  = lim 1+

x→∞
x→∞
x
x



N

x
N 2
X. .
2 N
N
x


N




1 

= lim 1+
= eN


x→∞
x 


N 



Si N = 2 β = e2
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75.12 Análisis Numerico I
Trabajo Práctico Nº 1 - Cálculo Numérico y Errores -
Cálculo de α y β con Simple Precisión
x
α
β
1.0000000
0.0000000
1
0.0000000
0.1000000
0.2397895
10
6.1917362
0.0100000
0.0461512
100
7.2446461
0.0010000
0.0069088
1000
7.3743124
0.0001000
0.0009210
10000
7.3875785
0.0000100
0.0001151
100000
7.3889084
0.0000010
0.0000138
1000000
7.3890414
1.00e-07
0.0000016
10000000
7.3890548
1.00e-08
0.0000002
1.00e+08
7.3890562
1.00e-09
0.0000000
1.00e+09
7.3890557
1.00e-10
0.0000000
1.00e+10
7.3890572
1.00e-11
0.0000000
1.00e+11
7.3890572
...
...
1.00e+12
7.3887291
9.81e-45
0.0000000
1.00e+13
7.3936524
1.40e-45
0.0000000
1.00e+14
7.3772540
1.00e+15
7.3772535
1.00e+16
9.2114391
1.00e+17
1.0000000
1.00e+18
1.0000000
x
...
...
1.00e+38
1.0000000
B.2 Indicar el rango de valores de x para el cual se alcanza la convergencia (a partir de cuál y
hasta cuál x el valor obtenido coincide con el límite).
-9
-45
Para el caso de α el límite alcanza la convergencia a partir de x = 1.00 x10 hasta x = 1.40 x10 . Que
es valor máximo distinto de cero que reconoce la máquina en simple precisión.
10
11
Para el caso de β el límite alcanza la convergencia desde x = 1 x 10 hasta x = 1 x 10 .
16
17
Luego en x = 1 x 10 se produce un salto y en 1 x 10 nuevamente otro salto, y luego se mantiene
constante hasta el final, siendo β =1.00
Estos saltos se producen ya que la máquina al realizar la división, pierde dígitos debido a la diferencia de exponentes entre el numerador y denominador. Esto hace que la división sea cero porque se considera a N = 0 frente a x y el cálculo se reduce a “1” elevado a la “x”.
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75.12 Análisis Numerico I
Trabajo Práctico Nº 1 - Cálculo Numérico y Errores -
Cálculo de α y β con Doble Precisión
x
α
1.000000000000000
0.000000000000000
1.0
0.000000000000000
0.100000000000000
0.239789527279837
10.0
6.191736422399997
0.010000000000000
0.046151205168413
100.0
7.244646118252348
0.001000000000000
0.006908754779315
1000.0
7.374312390354616
0.000100000000000
0.000921044036698
10000.0
7.387578632453057
0.000010000000000
0.000115129354649
100000.0
7.388908321189566
0.000001000000000
0.000013815511558
1000000.0
7.389041321277888
0.000000100000000
0.000001611809575
10000000.0
7.389054613341233
0.000000010000000
0.000000184206807
100000000.0
7.389056025405986
0.000000001000000
0.000000020723266
1000000000.0
7.389055666198995
0.000000000100000
0.000000002302585
10000000000.0
7.389057320199425
0.000000000010000
0.000000000253284
100000000000.0
7.389057321529456
0.000000000001000
0.000000000027631
1000000000000.0
7.388729188885773
0.000000000000100
0.000000000002993
10000000000000.0
7.393652710940212
0.000000000000010
0.000000000000322
100000000000000.0
7.377253717268134
0.000000000000001
0.000000000000035
1000000000000000.0
7.377253717268267
1.00e-16
0.000000000000004
1.00e+16
9.211438704993530
1.00e-17
0.000000000000000
1.00e+17
1.000000000000000
.....
...
1.00e+18
1.000000000000000
1.00e-308
0.000000000000000
1.00e-309
Inf
1.00e+307
1.000000000000000
1.00e-311
Inf
1.00e+308
1.000000000000000
....
x
...
β
...
...
9.88e-324
Inf
-16
-308
B.2.
Para el caso de α el límite alcanza la convergencia a partir de x = 1.00 x10 hasta x = 1.40 x10 .
-309
-324
En x =1.00 x 10 se produce un salto donde el valor de a se hace igual a Inf, hasta x = 9.88 x 10 .
El Inf que muestra la máquina, es la representación aritmética del infinito estandarizada por la
IEEE. El resultado toma este valor debido a que –308 es el mínimo exponente que la máquina
puede representar en doble precisión. Al alcanzar un exponente menor, el comportamiento es indeterminado.
En rigor de verdad, en el caso de β, el límite nunca alcanza la convergencia ya que no hay un valor que se mantenga constante. Pero una estimación considerable podría ser la siguiente:
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75.12 Análisis Numerico I
Trabajo Práctico Nº 1 - Cálculo Numérico y Errores -
El límite alcanza la convergencia
10
11
x = 1 x 10 hasta x = 1 x 10 .
16
17
Luego en x = 1 x 10 se produce un salto y en 1 x 10 nuevamente otro salto, y luego se mantiene
constante hasta el final, siendo β =1.00.
B.3 ¿Qué errores están presentes?
En estos cálculos el único tipo de error presente es el de redondeo, ya que la máquina redonda
simétricamente al realizar los cálculos correspondientes.
Página 7
75.12 Análisis Numerico I
Trabajo Práctico Nº 1 - Cálculo Numérico y Errores -
C.
Cálculo de Series
Cálculo de T Simple y Doble Precisión
n
T (simple)
n
T (doble)
1
0.00000000
1
0.000000000000000
2
0.10000000
2
0.100000000000000
3
0.09500000
3
0.095000000000000
4
0.09533333
4
0.095333333333333
5
0.09530833
5
0.095308333333333
6
0.09531033
6
0.095310333333333
7
0.09531017
7
0.095310166666667
8
0.09531018
8
0.095310180952381
9
0.09531018
9
0.095310179702381
10
0.09531018
10
0.095310179813492
11
0.09531018
11
0.095310179803492
12
0.09531018
12
0.095310179804401
13
0.09531018
13
0.095310179804318
14
0.095310179804325
15
0.095310179804325
16
0.095310179804325
17
0.095310179804325
18
0.095310179804325
En el cálculo de T, la serie converge en n = 8 con simple precisión, y n = 14 con doble precisión.
Los errores presentes, son los de truncamiento, debido a que la sumatoria no se realiza hasta n
igual a infinito, sino n = N < infinito.
Y también está presente el error de redondeo inherente a la máquina y dependiente del algoritmo
con que ser resolvió el cálculo.
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75.12 Análisis Numerico I
Trabajo Práctico Nº 1 - Cálculo Numérico y Errores -
Cálculo de S Simple y Doble Precisión
n
S (simple)
1
1.0000000
2
n
S (doble)
n
S (doble)
1
1.000000000000000
94500000
1.644934057745121
1.2500000
2
1.463611111111111
94600000
1.644934057767325
3
1.3611112
5
1.491388888888889
94700000
1.644934057789530
4
1.4236112
10
1.549767731166541
94800000
1.644934057811734
5
1.4636111
70
1.630749907490019
94880000
1.644934057829498
6
1.4913889
170
1.639068981021743
94883072
1.644934057830180
7
1.5117971
600
1.643268788298844
94883076
1.644934057830181
8
1.5274221
1000
1.643934566681561
94883081
1.644934057830182
9
1.5397677
2000
1.644434191827396
94883085
1.644934057830183
10
1.5497677
4000
1.644684098095632
94883090
1.644934057830184
11
1.5580322
10000
1.644834071848065
94883094
1.644934057830185
12
1.5649766
20000
1.644884068098209
94883099
1.644934057830186
13
1.5708938
40000
1.644909067160726
94883103
1.644934057830187
15
1.5804403
80000
1.644921566926372
94883104
1.644934057830187
22
1.6004970
120000
1.644925733549637
94883105
1.644934057830187
29
1.6110392
150000
1.644927400203800
...
...
203
1.6400204
180000
1.644928511308114
94890000
1.644934057830187
900
1.6438237
1000000
1.644933066848771
95000000
1.644934057830187
1300
1.6441646
5087030
1.644933870269845
96000000
1.644934057830187
1500
1.6442677
6833270
1.644933920505978
100000000
1.644934057830187
1900
1.6444082
10000000
1.644933966847318
200000000
1.644934057830187
2500
1.6445351
20000000
1.644934016846540
300000000
1.644934057830187
4000
1.6447139
30000000
1.644934033487429
500000000
1.644934057830187
4094
1.6447251
40000000
1.644934041815659
4095
1.6447252
50000000
1.644934046798629
4096
1.6447253
60000000
1.644934050084582
4097
1.6447253
70000000
1.644934052305028
4105
1.6447253
80000000
1.644934054525474
4131
1.6447253
90000000
1.644934057190009
Al igual que en el cálculo de T los errores presentes son de truncamiento y de redondeo simétrico.
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75.12 Análisis Numerico I
Trabajo Práctico Nº 1 - Cálculo Numérico y Errores -
Conclusiones
Para poder utilizar una máquina en el desarrollo del cálculo numérico, es importante conocer el
funcionamiento de esta y sus limitaciones. Ya sea su precisión, el error cometido por la misma,
su unidad de máquina, representación de los números, etc.
Es importante además entender su comportamiento, ya que como vimos en el cálculo de los
límites, el comportamiento de la máquina no es el esperado cuando se alcanzan ciertos valores.
Definir la precisión de trabajo a utilizar es importante para obtener el resultado buscado, porque como se puede ver en el cálculo de la serie S, la obtención de la convergencia en doble precisión, es un proceso que lleva mas tiempo que en simple precisión. La elección dependerá del resultado que queramos obtener, y se debe tener en cuenta que a mayor precisión se tiene mayor
tiempo de ejecución del algoritmo, como en el caso nombrado. Por lo tanto un factor a tener en
cuenta es el resultado a obtener y el tiempo que estamos dispuesto a entregar a cambio del primero.
Una observación que cabe destacar, es el hecho de que los resultados obtenidos al calcular las
series S y T, no registran ningún salto o variación del resultado luego de que estas series convergen. En contraposición, esto no sucede en el cálculo de los límites donde sí se registran comportamientos no esperados luego de ciertos valores de n. Esto posiblemente se deba a que en el cálculo de los límites, estos están próximos a ser indeterminaciones (infinito elevado a la cero), o a
tomar valores que solo son posibles de expresar en teoría, pero que a la máquina le es imposible
de representar (infinito). En cambio en el cálculo de las series, simplemente se realizan sumas
sucesivas de términos, que en cada paso son más próximos al cero.
Nota: Si bien la máquina contiene una secuencia de dígitos, estandarizada por la IEEE, para
representa al infinito (mostrada en pantalla como “Inf”), esta representación no puede ser utilizada para el cálculo, ya que solo sirve como indicador al igual que la secuencia NaN (Not a
Number). Estas secuencias sirven para indicar que el valor tomado por la máquina provino de
realizar una cuenta con un resultado imposible de expresar en un formato numérico.(Ej.: A/0).
Página 10
75.12 Análisis Numerico I
Trabajo Práctico Nº 1 - Cálculo Numérico y Errores -
Anexo I
Apellido:ARRIGO - Padron:77432 -Curso:4 - Fecha: 4/9/2001
/*****************************************************************/
/*Punto A1 con Simple Precision*/
#include <stdio.h>
#include <math.h>
int main()
{
char c;
float u;
int t;
int nt=0;
float s=1;
float x=2;
printf("\n\n\n\n\n\n\n\n\n");
while (x > 1) {
printf("\n nt = %d, x = %2.7f",nt,x);
c=getchar();
nt += 1;
s /= 10;
x = s + 1;
}
u= 0.5 * pow(10,1-nt);
t = nt;
printf("\n U = %2.8f",u);
printf("\n T = %d",nt);
c=getchar();
return 0;
}
/*****************************************************************/
/*Punto A1 con Doble Precision*/
Página 11
75.12 Análisis Numerico I
Trabajo Práctico Nº 1 - Cálculo Numérico y Errores #include <stdio.h>
#include <math.h>
int main()
{
char c;
double u;
int t;
int nt=0;
double s=1;
double x=2;
printf("\n\n\n\n\n\n\n\n\n");
while (x > 1) {
printf("\n nt = %d, x = %2.15f",nt,x);
c=getchar();
nt += 1;
s /= 10;
x = s + 1;
}
u= 0.5 * pow(10,1-nt);
t = nt;
printf("\n u = %2.16f",u);
printf("\n t = %d",nt);
c=getchar();
return 0;
}
/*****************************************************************/
/*Alfa con simple precision*/
#include <stdio.h>
#include <math.h>
int main()
{
char c;
double u;
int t;
int nt=0;
float s=1;
float x=1;
float alfa=0;
printf("\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n");
while (x > 0) {
if (x >= pow(10,-7))
printf("\n x = %2.7f, alfa = %2.7f",x,alfa);
else
printf("\n x = %2.2e, alfa = %2.7f",x,alfa);
c=getchar();
s /= 10;
x = s;
alfa = log( pow((1+1/x),x) );
nt +=1;
}
printf("nt = %d",nt);
c=getchar();
return 0;
}
Página 12
75.12 Análisis Numerico I
Trabajo Práctico Nº 1 - Cálculo Numérico y Errores /*****************************************************************/
/*Alfa con doble precision*/
#include <stdio.h>
#include <math.h>
int main()
{
char c;
double u;
int t;
int nt=0;
double s=1;
double x=1;
double alfa=0;
printf("\n\n\n\n\n\n\n\n\n");
while (x > 0) {
if (x >= pow(10,-15))
printf("\n x = %2.15f, alfa = %2.15f",x,alfa);
else
printf("\n x = %2.2e, alfa = %2.15f",x,alfa);
c=getchar();
s /= 10;
x = s;
alfa = log( pow((1+(1/x)),x) );
nt +=1;
}
printf("nt = %d",nt);
c=getchar();
return 0;
}
/*****************************************************************/
/*Beta con simple precision*/
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define N 2
int main()
{
char c;
float u;
int t;
int nt=0;
float s=1;
float x=1;
float beta=0;
printf("\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n");
while ( x < (pow(10,100)) ) {
if (x < pow(10,8))
printf("\n x = %8.0f, beta = %2.7f",x,beta);
else
printf("\n x = %2.2e, beta = %2.7f",x,beta);
c=getchar();
s *= 10;
x = s;
beta = pow((1+N/x),x);
nt +=1;
Página 13
75.12 Análisis Numerico I
Trabajo Práctico Nº 1 - Cálculo Numérico y Errores }
printf("nt = %d",nt);
c=getchar();
return 0;
}
/*****************************************************************/
/*Beta con Doble Precision*/
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define N 2
int main()
{
char c;
double u;
int t;
int nt=0;
double s=1;
double x=1;
double beta=0;
printf("\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n");
while (x < exp(710)) {
if (x < pow(10,16))
printf("\n x = %15.1f, beta = %2.15f",x,beta);
else
printf("\n x = %2.2e, beta = %2.15f",x,beta);
c=getchar();
s *= 10;
x = s;
beta = pow((1+N/x),x);
nt +=1;
}
printf("\nnt = %d",nt);
c=getchar();
return 0;
}
/*****************************************************************/
/*Serie T con Simple Precision*/
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define N 2.0
int main(void)
{
char c;
unsigned int n = 1;
float x=1;
float T=0;
printf("\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n");
while (n < pow(10,10)) {
fprintf(stdout,"\n n = %8.0d, T = %8.8f",n,T);
c = getchar();
x = N / 20.0;
T += (pow(-1,n-1)) * (pow(x,n)/n);
n += 1;
Página 14
75.12 Análisis Numerico I
Trabajo Práctico Nº 1 - Cálculo Numérico y Errores }
printf("\n n = %d",n);
c=getchar();
return 0;
}
/*****************************************************************/
/*Serie T con Doble Precision*/
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define N 2.0
int main(void)
{
char c;
unsigned int n = 1;
double x=1;
double T=0;
printf("\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n");
while (n < pow(10,10)) {
fprintf(stdout,"\n n = %8.0d, T = %1.15f",n,T);
c = getchar();
x = N / 20.0;
T += (pow(-1,n-1)) * (pow(x,n)/n);
n += 1;
}
printf("\n n = %d",n);
c=getchar();
return 0;
}
/*****************************************************************/
/*Serie S con Simple Precision*/
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define N 2.0
int main(void)
{
char c;
lomg n = 1;
float S=0;
printf("\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n");
while (n < pow(10,10)) {
fprintf(stdout,"\n n = %8.0d, S = %2.7f",n-1,S);
if (n > 4050)
c = getchar();
S += 1 / pow(n,2);
n += 1;
}
printf("\n n = %d",n);
c=getchar();
return 0;
}
/*****************************************************************/
/*Serie S con Doble Precision*/
Página 15
75.04 Algoritmos
75.12 Análisis
y Programación
NumericoIII
Trabajo PrácticoTrabajo
Nº 1 - Práctico
Cálculo Numérico
Nº 2 - Árboles
y Errores
AVL -
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define N 2.0
int main()
{
char c;
unsigned int n = 1;
double S=0;
printf("\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n");
while (n < pow(10,10)) {
fprintf(stdout,"\n n = %8.0d, S = %2.15f",n-1,S);
c = getchar();
S += 1 / pow(n,2);
n += 1;
}
printf("\n n = %d",n);
c=getchar();
return 0;
}
Página 16
75.12 Análisis Numerico I
Trabajo Práctico Nº 1 - Cálculo Numérico y Errores -
A
nt = 0, x = 2.0000000
nt = 1, x = 1.1000000
nt = 2, x = 1.0100000
nt = 3, x = 1.0010000
nt = 4, x = 1.0001000
nt = 5, x = 1.0000100
nt = 6, x = 1.0000010
nt = 7, x = 1.0000001
U = 0.00000005
T=8
nt = 0, x = 2.000000000000000
nt = 1, x = 1.100000000000000
nt = 2, x = 1.010000000000000
nt = 3, x = 1.001000000000000
nt = 4, x = 1.000100000000000
nt = 5, x = 1.000010000000000
nt = 6, x = 1.000001000000000
nt = 7, x = 1.000000100000000
nt = 8, x = 1.000000010000000
nt = 9, x = 1.000000001000000
nt = 10, x = 1.000000000100000
nt = 11, x = 1.000000000010000
nt = 12, x = 1.000000000001000
nt = 13, x = 1.000000000000100
nt = 14, x = 1.000000000000010
nt = 15, x = 1.000000000000001
u = 0.0000000000000005
t = 16
x = 1.000000000000000, alfa = 0.000000000000000
x = 0.100000000000000, alfa = 0.239789527279837
x = 0.010000000000000, alfa = 0.046151205168413
x = 0.001000000000000, alfa = 0.006908754779315
x = 0.000100000000000, alfa = 0.000921044036698
x = 0.000010000000000, alfa = 0.000115129354649
x = 0.000001000000000, alfa = 0.000013815511558
x = 0.000000100000000, alfa = 0.000001611809575
x = 0.000000010000000, alfa = 0.000000184206807
x = 0.000000001000000, alfa = 0.000000020723266
x = 0.000000000100000, alfa = 0.000000002302585
x = 0.000000000010000, alfa = 0.000000000253284
x = 0.000000000001000, alfa = 0.000000000027631
x = 0.000000000000100, alfa = 0.000000000002993
x = 0.000000000000010, alfa = 0.000000000000322
x = 0.000000000000001, alfa = 0.000000000000035
x = 1.00 e-16,
alfa = 0.000000000000004
x = 1.00e-17,
alfa = 0.000000000000000
.....
.....
x = 1.00e-308,
alfa = 0.000000000000000
x = 1.00e-309,
alfa = Inf
x = 1.00e-311,
alfa = Inf
.....
.....
x = 9.88e-323,
alfa = Inf
x = 9.88e-324,
alfa = Inf
nt = 324
Anexo II
Corrida de máquina de los algoritmos del punto A.
Arrigo
Horacio Gastón.
x = 1.0000000, alfa = 0.0000000
x = 0.1000000, alfa = 0.2397895
x = 0.0100000, alfa = 0.0461512
x = 0.0010000, alfa = 0.0069088
x = 0.0001000, alfa = 0.0009210
x = 0.0000100, alfa = 0.0001151
x = 0.0000010, alfa = 0.0000138
x = 1.00e-07, alfa = 0.0000016
x = 1.00e-08, alfa = 0.0000002
x = 1.00e-09, alfa = 0.0000000
x = 1.00e-10, alfa = 0.0000000
x = 1.00e-11, alfa = 0.0000000
x = 1.00e-12, alfa = 0.0000000
.
.
.
x = 9.81e-45, alfa = 0.0000000
x = 1.40e-45, alfa = 0.0000000
nt = 46
Corrida por
máquina de los algoritmos del punto B.
Corridas por maquina del punto B.
Página 16
75.12 Análisis Numerico I
Trabajo Práctico Nº 1 - Cálculo Numérico y Errores -
Arrigo Horacio Gastón Padrón:77432
x=
1.0, beta = 0.000000000000000
x=
10.0, beta = 6.191736422399997
x=
100.0, beta = 7.244646118252348
x=
1000.0, beta = 7.374312390354616
x=
10000.0, beta = 7.387578632453057
x=
100000.0, beta = 7.388908321189566
x=
1000000.0, beta = 7.389041321277888
x=
10000000.0, beta = 7.389054613341233
x = 100000000.0, beta = 7.389056025405986
x = 1000000000.0, beta = 7.389055666198995
x = 10000000000.0, beta = 7.389057320199425
x = 100000000000.0, beta = 7.389057321529456
x = 1000000000000.0, beta = 7.388729188885773
x = 10000000000000.0, beta = 7.393652710940212
x = 100000000000000.0, beta = 7.377253717268134
x = 1000000000000000.0, beta = 7.377253717268267
x = 1.00e+16, beta = 9.211438704993530
x = 1.00e+17, beta = 1.000000000000000
x = 1.00e+18, beta = 1.000000000000000
....
....
x = 1.00e+306, beta = 1.000000000000000
x = 1.00e+307, beta = 1.000000000000000
x = 1.00e+308, beta = 1.000000000000000
nt = 309
x=
1, beta = 0.0000000
x=
10, beta = 6.1917362
x=
100, beta = 7.2446461
x = 1000, beta = 7.3743124
x = 10000, beta = 7.3875785
x = 100000, beta = 7.3889084
x = 1000000, beta = 7.3890414
x = 10000000, beta = 7.3890548
x = 1.00e+08, beta = 7.3890562
x = 1.00e+09, beta = 7.3890557
x = 1.00e+10, beta = 7.3890572
x = 1.00e+11, beta = 7.3890572
x = 1.00e+12, beta = 7.3887291
x = 1.00e+13, beta = 7.3936524
x = 1.00e+14, beta = 7.3772540
x = 1.00e+15, beta = 7.3772535
x = 1.00e+16, beta = 9.2114391
x = 1.00e+17, beta = 1.0000000
x = 1.00e+18, beta = 1.0000000
...
...
x = 1.00e+37, beta = 1.0000000
x = 1.00e+38, beta = 1.0000000
nt = 39
Página 17
75.12 Análisis Numerico I
Trabajo Práctico Nº 1 - Cálculo Numérico y Errores -
Corridas por máquina del Punto C.
n=
n=
n=
n=
n=
n=
n=
n=
n=
n=
n=
n=
n=
n=
n=
n=
n=
n=
n=
n=
n=
n=
n=
n=
n=
n=
n=
n=
n=
n=
n=
n=
n=
n=
n=
n=
n=
1, S = 1.0000000
2, S = 1.2500000
3, S = 1.3611112
4, S = 1.4236112
5, S = 1.4636111
6, S = 1.4913889
7, S = 1.5117971
8, S = 1.5274221
9, S = 1.5397677
10, S = 1.5497677
11, S = 1.5580322
12, S = 1.5649766
13, S = 1.5708938
15, S = 1.5804403
18, S = 1.5908931
22, S = 1.6004970
26, S = 1.6072028
29, S = 1.6110392
40, S = 1.6202443
68, S = 1.6303359
69, S = 1.6305460
127, S = 1.6370910
144, S = 1.6380136
203, S = 1.6400204
325, S = 1.6418619
900, S = 1.6438237
1300, S = 1.6441646
1500, S = 1.6442677
1700, S = 1.6443449
1900, S = 1.6444082
2500, S = 1.6445351
4000, S = 1.6447139
4094, S = 1.6447251
4095, S = 1.6447252
4096, S = 1.6447253
4097, S = 1.6447253
4105, S = 1.6447253
Arrigo Horacio Gastón. Padron:77432
n=1
n=2
n=5
n = 10
n = 70
n = 170
n = 600
n = 1000
n = 2000
n = 4000
n = 10000
n = 20000
n = 40000
n = 80000
n = 120000
n = 150000
n = 180000
n = 1000000
n = 5087030
n = 6833270
n = 10000000
n = 20000000
n = 30000000
n = 40000000
n = 50000000
n = 60000000
n = 70000000
n = 80000000
n = 90000000
n = 94500000
n = 94600000
n = 94700000
n = 94800000
n = 94880000
n = 94883072
n = 94883076
n = 94883081
n = 94883085
n = 94883090
n = 94883094
n = 94883099
n = 94883103
n = 94883104
n = 94883105
...
...
n = 94890000
n = 95000000
n = 96000000
n = 100000000
n = 200000000
n = 300000000
n = 500000000
,S = 1.000000000000000
,S = 1.463611111111111
,S = 1.491388888888889
,S = 1.549767731166541
,S = 1.630749907490019
,S = 1.639068981021743
,S = 1.643268788298844
,S = 1.643934566681561
,S = 1.644434191827396
,S = 1.644684098095632
,S = 1.644834071848065
,S = 1.644884068098209
,S = 1.644909067160726
,S = 1.644921566926372
,S = 1.644925733549637
,S = 1.644927400203800
,S = 1.644928511308114
,S = 1.644933066848771
,S = 1.644933870269845
,S = 1.644933920505978
,S = 1.644933966847318
,S = 1.644934016846540
,S = 1.644934033487429
,S = 1.644934041815659
,S = 1.644934046798629
,S = 1.644934050084582
,S = 1.644934052305028
,S = 1.644934054525474
,S = 1.644934057190009
,S = 1.644934057745121
,S = 1.644934057767325
,S = 1.644934057789530
,S = 1.644934057811734
,S = 1.644934057829498
,S = 1.644934057830180
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