Espectro de PAM banda base Señal PAM banda base s(t) = X n Sea {A[n]}1 n= aleatorio) I I I I 1 A[n] · g(t nT) una secuencia de variables aleatorias (proceso E[A[n]] = m E[|A[n]|2 ] = Es E[A[k] · A⇤ [j]] = RA [k j] = RA [j k] La densidad espectral de potencia es j! SA (e ) = 1 X n= 1 RA [n] · e j!n Sea g(t) cualquier señal determinista con transformada de Fourier G(jw) GITT (UC3M) Comunicaciones Digitales Modulaciones Lineales 1/7 Teorema de Wiener-Khinchin Densidad espectral de potencia |XT (j!)|2 E[|XT (j!)|2 ] def SX (j!) = E lı́m = lı́m . T!1 T!1 T T Teorema de Wiener-Khinchin Si para cualquier valor finito ⌧ y cualquier intervalo A, de longitud |⌧ |, la autocorrelación del proceso aleatorio cumple Z RX (t + ⌧, t)dt < 1, A la densidad espectral de potencia de X(t) es la transformada de Fourier de Z 1 T/2 def < RX (t + ⌧, t) > = lı́m RX (t + ⌧, t) · dt. T!1 T T/2 GITT (UC3M) Comunicaciones Digitales Modulaciones Lineales 2/7 Corolarios Teorema de Wiener-Khinchin Corolario 1: Si X(t) es un proceso estacionario y ⌧ RX (⌧ ) < 1 para todo ⌧ < 1, entonces SX (j!) = TF[RX (⌧ )]. Corolario 2: Si X(t) es ciclostacionario y se cumple que Z entonces To 0 RX (t + ⌧, t)dt < 1, eX (⌧ )], SX (j!) = TF[R donde eX (⌧ ) = 1 R To Z To /2 To /2 RX (t + ⌧, t) · dt, y To es el perı́odo del proceso cicloestacionario. GITT (UC3M) Comunicaciones Digitales Modulaciones Lineales 3/7 Espectro de una PAM banda base X(t) = 1 X A[n]g(t nT) n= 1 mX (t) = E " X # A[n]g(t nT) = n k = k = GITT (UC3M) nT) = m g(t nT) n !0 kT) @ E[A[k]A⇤ [j]]g(t X X A⇤ [j]g⇤ (t + ⌧ j kT)g⇤ (t + ⌧ jT) 13 jT)A5 j XX k E[A[n]]g(t n RX (t, t + ⌧ ) = E[X(t)X ⇤ (t + ⌧ )] 2 X 4 =E A[k]g(t XX X RA [k j]g(t kT)g⇤ (t + ⌧ jT) j Comunicaciones Digitales Modulaciones Lineales 4/7 Cicloestacionariedad mX (t + T) = m X g(t + T nT) = m g(t (n kT)g⇤ (t + T + ⌧ jT) n =m X X 1)T) n g(t jT) = mX (t) j RX (t + T, t + ⌧ + T) = XX = RA [k j]g(t + T k = k = j]g(t 1)T)g⇤ (t (k (j 1)T + ⌧ ) RA [m + 1 (n + 1)]g(t mT)g⇤ (t nT + ⌧ ) n XX m RA [k j XX m = j XX RA [m mT)g⇤ (t n]g(t nT + ⌧ ) = RX (t, t + ⌧ ) n GITT (UC3M) Comunicaciones Digitales Modulaciones Lineales 5/7 Promedio temporal de la autocorrelación 1 R̃X (⌧ ) = T 1 = T 1 = T 1 = T 1 = T = 1 T Z Z T RX (t, t + ⌧ )dt 0 T 0 XX k 1 X RA [k j 1 X RA [ m] k= 1 m= 1 1 X RA [m] m= 1 1 X m= 1 1 X j]g(t RA [m] 1 Z X k= 1 Z 1 Z kT)g⇤ (t + ⌧ T 0 g(t (k 1)T kT jT)dt kT)g⇤ (t + ⌧ g(u)g⇤ (u + ⌧ g(u)g⇤ (u + ⌧ (k + m)T)dt mT)du mT)du 1 RA [n]rg (nT ⌧ ), n= 1 rg (t) = g(t) ⇤ g⇤ ( t), GITT (UC3M) Comunicaciones Digitales Modulaciones Lineales 6/7 Densidad Espectral de Potencia 1 1 X R̃X (⌧ ) = RA [n] · rg (nT T n= 1 ⌧) 1 X 1 = rg (⌧ ) ⇤ RA [n] · (⌧ T n= 1 nT) 1 X 1 ⇤ = g(⌧ ) ⇤ g ( ⌧ ) ⇤ RA [n] · (⌧ T n= 1 1 X 1 ⇤ SX (j!) = · G(j!) · G (j!) RA [n] · e T n= 1 nT) j!nT |G(j!)|2 = · SA (ej!T ) T GITT (UC3M) Comunicaciones Digitales Modulaciones Lineales 7/7