el método gráfico de la programación linear

EL MÉTODO GRÁFICO DE LA PROGRAMACIÓN LINEAR
Elvis Magno da Silva, autor
Vladas Urbanavicius Júnior, co-autor
1
FACESM/Gpde, Av. Presidente Tancredo de Almeida Neves, 45 - Itajubá – MG
2
FAPEMIG/IC, Rua Raul Pompéia 101, São Pedro, Belo Horizonte – MG
3
UNINOVE/PMDA, Rua Guaranésia, 425, Vila Maria, São Paulo-SP
Resumen: En el estudio de investigación operativa encontramos la programación linear. Esta herramienta
matemática puede utilizarse come ayuda en la toma de decisiones gestores. De esto grado, tenemos como
objetivo mostrar la programación linear como una herramienta de gestión, así como la forma de calcular
este tipo de problemas por el método gráfico. Para realización, utilizamos el método de investigación
bibliográfico, así un estudio de caso hipotético. Al final llegaremos a solución que maximiza el beneficio del
problema, así como las etapas para la resolución gráfica. Concluimos que realmente la programación lineal
es una herramienta de gestión que puede asistir a directores a toma de decisiones de forma más empírica y
más científica.
Palabras clave: Investigación Operativa; Programación Lineal; Método Gráfico.
1. Introducción
Girão y Ellenrieder (1971, p.xi) comenta
que en los últimos años, una nueva rama del
conocimiento altamente general viene siendo
convertido, bajo el nombre de la investigación
operativa. El objetivo de esta nueva rama del
conocimiento es decidir a problemas de la
decisión en las áreas de la economía, la
administración, las finanzas y la organización en
general e esto con un embarque científico de
tales problemas.
La investigación operacional (IO) es un
recurso imprescindible, una época que si los
presentes como herramienta para tomar racional
de decisiones empresarias, substituyendo las
decisiones empíricas usadas grandemente. Sin
embargo, no se piensa decir con este trabajo que
las experiencias de años de servicio deben ser
dejadas. En cambio, el IO viene ayudar a
encargados a tener más información de modo
que puedan tomar las decisiones más correctas
para las compañías.
Este trabajo demostrará lo que viene a
ser investigación operativa y su importancia.
También trae el concepto de programación linear
y dice como es la montaje y el forma matemática
de la resolución de un problema del maximización
de los recursos financieros. También un caso
hipotético será visto para ilustrar la demostración
matemática de un problema de la toma de
decisión, así como el desarrollo por el método
gráfico.
2. Metodología
Para este trabajo
investigación
descriptiva
será hecho
utilizando
una
las
metodologías: investigación bibliográfica y el
estudio de caso. Oliveira (1999, P. 119) dice que
la investigación bibliográfica no tiene que ser
confundida con la investigación del documento. El
examen bibliográfico es más amplio de lo que se
ejecuta la investigación documental, y de ése
normalmente el examen bibliográfico en las
bibliotecas públicas, universidad y, catálogo
colectivo y las bibliotecas virtuales.
Ve el flujo de trabajo:
Figura 1: Flujo de la Metodología Del trabajo
En el figura 1, puede ser observado, en A,
los parámetros que irán a definir la función
objetiva del caso que será estudiado; e en B es
los parámetros que irán a restringir la función
objetiva. La adición de ambos, forma el modelo
linear que será utilizado para la resolución del
problema.
3. Investigación Operativa
McCloskey y Trefethen (1966, p.13) dice
que la investigación operativa si está puesta firme
como una actividad para apoyar la gerencia.
También comentan que los nuevos conceptos, las
nuevas actitudes y las nuevas técnicas han
aumentado la capacidad de la investigación
XIII Encontro Latino Americano de Iniciação Científica e
IX Encontro Latino Americano de Pós-Graduação – Universidade do Vale do Paraíba
1
operativa en la ayuda a la resolución de
problemas complejos y tomas de decisiones
importantes.
Para Shamblin y Stevens Jr (1979, p.13),
la investigación operativa (IO) es “un método
científico de toma de decisión”. Él iniciase
describiendo un sistema por intermediario de un
modelo y de una tarea posterior con este modelo
para levantar la manera óptima de gestionar el
sistema.
Duckworth (1972, p.16-17) también dice
que la pieza más importante del concepto de
investigación
operacional
es
“soluciones
excelentes para los problemas… esos él dice
respecto al funcionamiento de un sistema”. Él
apoya que en los trabajos del IO, importa el
sistema, no los elementos que compone él.
Shamblin y Stevens Jr (1979, p.266-267),
la forma matemática de un problema modelo es:
Optimizar: Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn
Sujeito a:
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤ b2
.
.
.
.
.
.
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤ bm
x1, x2, ..., xn ≥ 0
(1)
O en la forma reducida:
n
Z = ∑c j xj
j =1
(2)
Sujeito a:
n
∑a
j =1
ij
x j ≤ bi (i = 1,2,..., m)
x1, x2, …, xn ≥ 0
(3)
Garvin (1960, p.3) dije nos que el
problema central de la programación linear es
para reducir al mínimo o aumentar en el máximo
una función linear, y que considere condiciones
de que las variables no ceja la negativa y debe
satisfacer la forma de una ecuación linear.
Para mejor entendimiento de la formación
algebraica del la forma del problema, observe un
ejemplo hipotético de Montevechi (2006, p.20).
4. Formulación Del Problema Y El Caso
Hipotético
Montevechi (2006, p.20): una planta
produce dos tipos de juguetes de madera:
soldados y trenes. Un soldado es vendido por $27
y utiliza $10 del materia prima de la sustancia.
Cada soldado que se fabrica a mano tiene un
costo adicional del $14 de la ejecución. Un tren es
vendido por $21 y costa $9 del materia prima de
la sustancia. El coste adicional de la mano de la
ejecución para cada tren está de $10. La
fabricación de estos juguetes requiere dos tipos
de mano de la ejecución: carpintería y
acabamiento. Un soldado necesita 2 horas para el
acabamiento y 1 hora de carpintería. Un tren
necesita 1 hora para el acabamiento y 1 hora de
carpintería. Cada semana, la planta puede
conseguir a cualquier cantidad de materia prima
de la sustancia, pero tiene la disposición solo 100
horas de acabamiento y 80 de carpintería. La
demanda para los trenes es ilimitada, pero las
ventas de soldados están en del máximo 40 por
semana. La planta quiere maximizar su beneficio
diario (gaño-costo). Con estos datos, el modelo
matemático será formulado para asistir a la
maximización del beneficio semanal.
Montevechi (2006, p.20-25), ayuda nos
aclarar este ejemplo. Primero debemos suscitar
los problemas de la pregunta, que es “cuántos
soldados y los trenes deben ser hechos en la
semana”. Para todavía aclarar más, la variable de
la decisión debe ser representada. En este caso,
el número de soldados producidos y el número de
trenes producidos.
Mirra:
X1 = el número de soldados producidos a
cada semana
X2 = el número de trenes producidos a
cada semana
Para el logro de la función objetiva,
consideran tres puntos: la prescripción y los
costes pueden ser expresos en términos de 0 X1
y X2 variables, será asumido que todos los
juguetes producidos pueden ser vendidos, y que
la prescripción de la semana es igual la
prescripción de los soldados más la prescripción
de los trenes, de esto tenemos que:
Beneficio por semana = 27*X1 + 21*X2, e
Custos de M.P. = 10*X1 + 9*X2
Custos de M.O. = 14*X1 + 10*X2
Así se dice que quiere la fábrica para
aumentar al máximo:
(27*X1 + 21*X2) – (10*X1 + 9*X2) –
(14*X1 + 10*X2)
Simplificar esta ecuación, obtenemos la
maximización de la cuestión es:
Max Z = 3X1 + 2X2
X1 y X2 están limitados por ciertas
restricciones. Ver cuáles son:
1) Cada semana, no más de 100 horas de
acabado;
XIII Encontro Latino Americano de Iniciação Científica e
IX Encontro Latino Americano de Pós-Graduação – Universidade do Vale do Paraíba
2
2) Cada semana, no más de 80 horas de
carpintería;
3) Limitación de la demanda, no más de
40 soldados por semana.
El siguiente paso es la transformación de
estas
restricciones
en
las
expresiones
matemáticas en términos de variables de decisión
X1 y X2.
Restricción 1: 2X1 + X2 ≤ 100
Restricción 2: X1 + X2 ≤ 80
Restricción 3: X1 ≤ 40
Pero Montevechi (2006, p. 25) nos
recuerda que tenemos que tomar otras dos
restricciones para la formulación matemática de
este problema, que son los siguientes:
Restricción adicional 1: X1 ≥ 0
Restricción adicional 2: X2 ≥ 0
En resumen, hemos matemáticamente:
Max Z = 3X1 + 2X2
Sujeta a:
2X1 + X2 ≤ 100
X1 + X2 ≤ 80
X1 ≤ 40
X1 ≥ 0
X2 ≥ 0
El problema de este ejemplo hipotético es
típico de muchas empresas, que necesitan para
maximizar los beneficios y al mismo tiempo están
sujetas a la limitación de recursos.
En la continuación de este trabajo se
muestra cómo resolver este problema matemático
por método gráfico.
5. Resolución Del Problema Por El Método
Gráfico
Para Lachtermacer (2004, p.28-29), el
método gráfico puede ser utilizado sólo cuando el
problema sólo afecta a dos variables de decisión,
donde la solución óptima de un problema de
programación lineal se puede encontrar
gráficamente. Para él el primer paso es
establecer las dos líneas que representan las
cantidades de X1 y X2. El siguiente paso es
encontrar todas las soluciones del problema, y
para ello puede utilizar la representación gráfica
impuesta por cada una de las restricciones, es
decir, "determinar qué subzona del espacio X1 x
X2 sería aceptada por cada restricción.
Según Agosti (2003, p.19-20) Método
gráfico es un método limitado para resolver los
problemas con sólo dos variables, y este método,
que restringir la definición de cada uno en la zona
de plano cartesiano, que contiene infinitos puntos.
Para él, la cuestión es seleccionar un punto, al
mismo tiempo, está contenida en este ámbito y
cumplir la línea de meta. Incluso se afirma que "el
método garantiza que los puntos de intersección
de las líneas límites de la zona de interés son los
posibles puntos que satisfagan a la tareaobjetivo".
También según Agosti (2003, p.19-20), es
posible describir un plan de trabajo de base para
la resolución de problemas por métodos gráficos.
Véase la secuencia de comandos:
1) Identificar las variables de decisión;
2) Montar la línea de meta;
3) Reunir las ecuaciones / desigualdades
de restricción;
4) Determinar el mínimo de puntos para
cada línea de restricción;
5) La trama de puntos y dibujar líneas en
el plano cartesiano;
6) Seleccione (marque) la zona viable;
7) Verifique el área común a todas las
restricciones;
8) Encontrar el punto óptimo del problema
y
9) Para formular la respuesta.
Observe que, para aplicar el método
gráfico en algunas situaciones pueden llegar a
soluciones ilimitado o no encontrar soluciones a
nuestro problema. Por ejemplo, el gráfico que no
tiene espacio común entre las líneas formadas
por las restricciones del problema se considera no
resueltos.
Una vez más, como fue la formulación
matemática de nuestro caso hipotético, tal como
se describe en el capítulo anterior:
Max Z = 3X1 + 2X2
Sujeta a:
2X1 + X2 ≤ 100
X1 + X2 ≤ 80
X1 ≤ 40
X1 ≥ 0
X2 ≥ 0
Montevechi (2006, p.27) define la
solución a un problema de programación lineal
como un conjunto de todos los puntos que
satisfacen todas las limitaciones del problema. Y
también la región donde la solución se busca es
una gran solución. Para él, se entiende como el
punto óptimo de la solución que lleva a mayor
valor de la función objetivo.
Silva et al (1998, p. 24) habla de la gráfica
del conjunto de soluciones. Nos dicen que "la
representación gráfica de una ecuación lineal con
dos variables es una línea recta. Una
representación gráfica de una desigualdad lineal
con dos variables es una de las seme-recta de la
ecuación correspondiente. "
XIII Encontro Latino Americano de Iniciação Científica e
IX Encontro Latino Americano de Pós-Graduação – Universidade do Vale do Paraíba
3
Theophilo y Ejecutar (2007, p.338)
también dijo que completar el primer paso
consiste en representar gráficamente cada
restricción del problema. Por lo tanto, debemos
hacer
una
simple
conversión
de
las
desigualdades en ecuaciones, solo se convierta
en igualdad de las desigualdades.
Por lo tanto, pedimos que la resolución
por el método gráfico, la función objetivo de la
ecuación (1), y la restricción de (2), (3), (4), (5) y
(6), respectivamente.
Este puesto, que es el eje de ordenadas
X1, X2 y el eje de abscisas.
Véase:
El gráfico a continuación, también lo es:
Figura 4: Gráfico de la 1 ª y 2 ª restricciones
La tercera restricción (4) tenemos:
X1 ≤ 40
Considerando que X2 = 0, tenemos X1 ≤
40. Por lo tanto, nuestra tercera línea está
formada por: (0, 0), (40, 0). El gráfico a
continuación, es como sigue:
Figura 2: Gráfico plano cartesiano X1 por X2
La primera restricción (2) tenemos:
2X1 + X2 ≤ 100;
Considerando que X1 = 0, tenemos X2 ≤
100.
Y
si
X2
=
0,
X1
≤
50.
Así que tenemos nuestra primera línea formada
por dos pares de orden, que es (50, 0) y (0, 100).
Por lo tanto, la tabla es la siguiente:
Figura 5: Representación gráfica de la 1 ª, 2 ª y 3 ª
restricciones
Las dos últimas restricciones (5) y (6),
tenemos que su área es el primer cuadrante de la
gráfica. Por lo tanto tenemos la siguiente región
de la solución en el gráfico realizado por las
restricciones del problema:
Figura 3: Gráfico de la 1 ª restricción
Nosotros haremos lo mismo para las otras
restricciones del problema. Recordando que la
región pertenece a todas las restricciones será
nuestra solución.
La segunda restricción (3) tenemos:
X1 + X2 ≤ 80
Considerando que X1 = 0, tenemos X2 ≤
80. Y si X2 = 0, X1 ≤ 80. Así tenemos nuestra
segunda línea formada por (80, 0) y (0, 80).
Figura 6: Representación gráfica de la solución
XIII Encontro Latino Americano de Iniciação Científica e
IX Encontro Latino Americano de Pós-Graduação – Universidade do Vale do Paraíba
4
Montevechi (2006, p.30), dice que
después de la identificación de la región de la
solución, debe encontrar una solución "genial" a
ser el punto de la región de la solución que tenga
el mismo valor de Z = 3X1 + 2X2.
Lachtermacer (2004, p.30-31) comenta
que un procedimiento simple, pero no muy
eficiente, es asignar valores a la Z, haciendo una
línea de meta la ecuación de una línea.
Antes de elegir un punto de partida para
la solución del problema es necesario hacer un
apuntamiento para continuar. En el gráfico,
tenemos la región de la solución, esta región
quiere un par de ordenadas para que nuestra
función objetivo sea el más alta posible. A ser el
mayor, este punto debe ser entre la extrema
derecha y el extremo superior de nuestro
polígono que comprende la región de solución.
Cuanto más a la derecha, más en el valor de X1 y
cunto más arriba él, mayor hasta el valor de X2, y
por lo tanto, el mayor de los valores de X1 y X2,
sus productos son mayores en la función objetivo
(Z = 3X1 + 2X2). Así, podemos ver gráficamente
en este caso, uno de los vértices del polígono del
primer cuadrante de la gráfica será nuestra
solución óptima.
En este punto, Hillier y Lieberman (2005,
p.28-29) a la observación de que encontrar de
manera eficiente el cumplimiento de este paso, se
inicia el método de ensayo y error.
Podemos resolverlo por los intentos de
ordenar el lanzamiento de estos pares de
vértices. Sin embargo, para fines educativos,
elegimos otro punto que es la línea X1 para
demostrar la solución.
Por lo tanto, decide en cualquier lugar de
la región de la solución, por ejemplo (20,0),
porque se cae en la línea.
Desde (20,0), Z = 3X1 + 2X2 = 60 (ya que
X1 = 20 y X2 = 0).
Ya que tenemos Z = 60, hacer el
procedimiento de la función objetivo:
Z = 3X1 + 2X2 Debemos aislar X2:
3/2X1
60 = 3X1 + 2X2
X2 = 30 –
Esta ecuación puede definir la pendiente
de todas las líneas es 3X1 + 2X2 "-3 / 2".
Sabemos también que esta línea pase por el
punto (20, 60), que se calculó anteriormente,
podemos trazar la línea de solución óptima en el
gráfico y, por tanto, adoptar todas las otras
soluciones (no óptimos) posible.
Consulte el gráfico:
Figura 7: Representación gráfica de la línea recta que limita
con la función objetivo
Importante señalar que una vez extraídas
directamente de la ecuación que representa la
función objetivo, podemos encontrar todos los
demás por el movimiento paralelo a la línea de
diseño y, por tanto, tener una visión de las
posibles soluciones.
Figura 8: Gráfico de la restricción de líneas paralelas con la
función objetivo
Visualmente en la imagen de arriba nos
encontramos con que la última línea paralela que
toca un punto en la región de solución.
Por lo tanto, visualmente el punto G
(20,60) como punto de gran problema. Luego,
calcular el valor por debajo del máximo beneficio.
Z = 3X1 + 2X2 , para X1 = 20 e X2 = 60,
tenemos:
Z = 3*20 + 2 * 60 Z = 180
Así tenemos el máximo de beneficios
como la importancia de $ 180,00 unidades
monetarias, por X1 y X2 = 20 = 60.
6. Conclusión
Hemos visto que con este trabajo de
McCloskey y Trefethen (1966, p.13) la
investigación se ha establecido como una
XIII Encontro Latino Americano de Iniciação Científica e
IX Encontro Latino Americano de Pós-Graduação – Universidade do Vale do Paraíba
5
actividad operacional en apoyo de la gestión. Y
también el comentario de que los nuevos
conceptos, nuevas actitudes y nuevas técnicas
han aumentado la capacidad de investigación
operativa para ayudar a resolver problemas
complejos y en la toma de decisiones
importantes.
Para Shamblin y Stevens Jr. (1979,
p.263), la programación lineal es "un medio
matemático para designar una cantidad fija de
recursos para satisfacer la demanda de manera
que algunos se optimiza la función objetivo, y aún
así cumplir con el resto de condiciones.
Lachtermacer (2004, p.28-29) completa el
método gráfico de solución de problemas de
programación lineal pueden ser usadas sólo
cuando el problema sólo afecta a dos variables de
decisión, donde la solución óptima se puede
encontrar gráficamente. Para él el primer paso es
establecer las dos líneas que representan las
cantidades de X1 y X2. El siguiente paso es
encontrar todas las soluciones del problema, y
para ello puede utilizar la representación gráfica
impuesta por cada una de las restricciones, es
decir, "determinar qué subzona del espacio X1 x
X2 sería aceptada por cada restricción.
Y finalmente, tenemos la solución para el
caso hipotético, la mejor solución es X1 = 20 y X2
= 60, con un beneficio de 180,00 unidades
monetarias, lo que corresponde a la maximización
problema.
Llegamos a la conclusión de este trabajo
con la operación de búsqueda es una herramienta
de gestión que no puede dejarse a cabo por los
directivos y empresarios con el fin de ayudarles
en la toma de decisiones. También nos
encontramos con que usted puede usar el método
gráfico para resolver un problema de
programación lineal en dos variables.
7. Referência
ACKOFF, Russell L. & SASIENI, Maurice W. .
Pesquisa Operacional – Vol.4; editora Livros
Técnicos e Científicos S/A, Rio de Janeiro/RJ;
1974.
AGOSTI, Cristiano. Apostila de Pesquisa
Operacional; Universidade do Oeste de Santa
Catarina; 2003.
CERVO, Amado Luiz; BERVIAN, Pedro Alcino.
Metodologia Científica; 3ª edição; Ed. McGraw
Hill do Brasil; São Paulo; 1983.
CORRAR, Luiz J.; THEÓPHILO, Carlos Renato.
Pesquisa Operacional para Decisão em
Contabilidade e Administração; Ed. Atlas; São
Paulo; 2007.
DUCKWORTH,
Eric.
Guia
à
Pesquisa
Operacional; Editora Atlas; São Paulo, 1972.
GARVIN, Walter W. Introduction to Linear
Programming.
Ed.
McGraw-Hill;
New
Yourk/USA; 1960.
GIRÃO, Sérgio Ellery; ELLENRIEDER, Alberto
Ricardo Von. Programação Linear; Ed.Alveida
Neves; Rio de Janeiro; 1971.
LACHTERMACHER,
Gerson.
Pesquisa
Operacional Na Tomada De Decisões, 2ª
edição; editora Campus; São Paulo/SP; 2004.
HILLIER, Frederick S.; LIEBERMAN, Gerald J.
Introduction To Operations Research; 8ª
edition; Ed. McGraw-Hill; New York/USA; 2005.
MARTÍN, Quintín Martí. Investigación Operativa;
Ed. Prentice Hall; Madrid; 2003.
MEDEIROS, José Adelino. Estrutura e espaços
voltados à inovação e parceria: papel dos
pólos e parques tecnológicos. Tecnológicos e
Meio Urbano Artigos e Debates: Organizado por
Gina G. Paladino e Lucília Atas Medeiros.
Brasília. Anprotec, 1997.
MIRSHAWKA, Victor. Pesquisa Operacional.
Vol.1; 1ª edição; Ed. Nobel; 1978.
McCLOSKEY, Joseph F., TREFETHEN, Florence
N.. Pesquisa Operacional Como Instrumento
de Gerência; Editora Edgard Blucher Ltda; São
Paulo; 1966.
MONTEVECHI,
José
Arnaldo.
Pesquisa
Operacional; Universidade Federal de Itajubá
(UNIFEI); 2006.
OLIVEIRA, Silvio L. de. Tratado de Metodologia
Científica; Ed. Pioneira; São Paulo; 1999.
SHAMBLIN, James E. & STEVENS JR, G.T. .
Pesquisa Operacional – Uma Abordagem
Básica; editora Atlas, São Paulo/SP; 1979.
SILVA, Ermes Medeiros da. Et Al. Pesquisa
Operacional; editora Atlas; 3ª edição; São Paulo;
1998.
VERGARA, Sylvia Constant. Projetos e
a
Relatórios de Pesquisa em Administração, 3
ed., São Paulo: Atlas, 2000.
WAGNER, Harvey M. Pesquisa Operacional, 2ª
Edição, Prentice Hall, Rio de Janeiro/RJ, 1986.
YIN, Robert k. Estudo de Caso: Planejamento e
Métodos. 2 ed. Porto Alegre, Bookman, 2001.
http://www.ead.unifei.edu.br/~teleduc/cursos/aplic/
index.php?cod_curso=570
consultado
em
13/02/2009.
XIII Encontro Latino Americano de Iniciação Científica e
IX Encontro Latino Americano de Pós-Graduação – Universidade do Vale do Paraíba
6