SOLUCIONES ep5 - FiloSevilla2012

SOLUCION EJERCICIOS EP-5
1.- |- (p → q) ^ (q → r) → (p → r)
┌1. (p → q) ^ (q → r)
H.A.
│2. p → q
E^(1)
│3. q → r
E^(1)
│┌4. p
H.A.
││5. q
E→(2,4)
│└6. r
E→(3,5)
└7. p → r
I→(2-6)
8. (p → q) ^ (q → r) → (p → r) I→(1-7) Q.E.D.
2.- ¬(p ^ h) |- p → (h → q)
1. ¬(p ^ h)
2. ¬p v ¬h
┌3. p
│4. ¬h
│5. ¬h v q
└6. h → q
7. p → (h → q)
F.I.
DM1(1)
H.A
SD(2,3)
Iv1(4)
DI1(5)
I→(3-6) Q.E.D.
3.- |- p v (q ^ r) → (p v q) ^ (p v r)
┌1. p v (q ^ r)
H.A.
│┌2. p
H.A.
││3. p v q
Iv1(2)
││4. p v r
Iv1(2)
│└5. (p v q) ^ (p v r)
I^(3,4)
│┌6. q ^ r
H.A.
││7. q
E^(6)
││8. r
E^(6)
││9. p v q
Iv2(7)
││10. p v r
Iv2(8)
│└11. (p v q) ^ (p v r)
I^(9,10)
└12. (p v q) ^ (p v r)
Ev(1, 2-5, 6-11)
13. p v (q ^ r) → (p v q) ^ (p v r) I→(1-12) Q.E.D.
4.- |- p → (q → p)
┌1. p
│2. ¬q v p
└3. q → p
4. p → (q → p)
1
H.A.
Iv2(1)
DI1(2)
I→(1-3) Q.E.D.
5.- {p , p → q v r, q → s , r v t → h}|- s v (r ^ h)
1. p
F.I. .
2. p → q v r
F.I. .
3. q → s
F.I. .
4. r v t → h
F.I.
┌ 5.¬(s v (r ^ h))
H.A
│6. ¬s ^ ¬(r ^ h)
DM2(5)
│ 7. ¬s
E^(6)
│ 8. ¬(r ^ h)
E^(6)
│ 9. ¬ r v ¬h
DM1(8)
│ 10. ¬q
MT (3,7)
│ 11. q v r
I →(1,2)
│ 12. r
SD (10,11)
│ 13. ¬h
SD (9,12)
│ 14. ¬(r v t)
MT (4,13)
│ 15. ¬r ^ ¬t
DM2(14)
│ 16. ¬r
E^(15)
│ 17. ¬t
E^(15)
└ 18. r ^ ¬r
I ^(12,16)
19 ¬¬(s v (r ^ h))
I¬(5,18)
20. s v (r ^ h)
E¬ (19) Q.E.D.
6.- ¬(p v q) |- ¬p ^ ¬q
1. ¬(p v q)
┌2. p
│3. p v q
└4. (p v q) ^ ¬(p v q)
5. ¬p
┌6. q
│7. p v q
└8. (p v q) ^ ¬(p v q)
6. ¬q
7. ¬p ^ ¬q
F.I.
H.A.
Iv1(2)
I^(1,3)
I¬(2,4)
H.A.
Iv2(2)
I^(1,7)
I¬(6,8)
I^(5,6) Q.E.D.
7.- |- (p → (q v r → s)) → (q → (¬s → ¬p))
┌1. (p → (q v r → s))
H.A.
│┌2. ¬(q → (¬s → ¬p))
H.A.
││3. q ^ ¬(¬s → ¬p)
DI2(2)
││4. q
E^(3)
││5. ¬(¬s → ¬p)
E^(3)
││6. ¬s ^ ¬¬p
DI2(5)
││7. ¬s
E^(6)
││8. ¬¬p
E^(6)
││9. p
E¬(8)
││10. q v r → s
E→(1,9)MP
││11. ¬(q v r)
MT(10,7)
││12. ¬q ^ ¬r
DM1(11)
││13. ¬q
E^(12)
2
││14. ¬r
│└15 q ^ ¬q
└16 (q → (¬s → ¬p))
E^(12)
I^(4,13)
E¬(2,15) Q.E.D.
8.- {p → (q → r) , r → (t → s) , ¬s}|- p → (q → ¬t)
1. p → (q → r)
F.I.
2. r → (t → s)
F.I
3. ¬s
F.I.
┌4. p
H.A.
│5. q → r
E→(1,4)
│6. ¬q v r
DI1(5)
│┌7. ¬q
H.A.
│└8. ¬q v ¬t
Iv1(7)
│┌9. r
H.A.
││10. (t → s)
E→(2,9)
││11. ¬t v s
DI1(10)
││12. ¬t
SD(11,3)
│└13. ¬q v ¬t
Iv(12)
│14. ¬q v ¬t
Ev(6, 7-8, 9-13)
└15. q → ¬t
DI1(14)
16. p → (q → ¬t)
I→(4,15) Q.E.D.
(sin MT)
9.- {p , (q v s) → ¬p} |- p ^ ¬(¬q → s) (pistas: MT , DI)
1. p
F.I
F.I
2. (q v s) → ¬p
3. ¬¬p
IDN(1)
4. ¬(q v s)
MT(2,3)
5. ¬q ^ ¬s
DM2(4)
6.¬(¬q → s)
DI2(5)
7. p ^ ¬(¬q → s)
I^(1,7)
Q.E.D.
10.- {p v ¬q → r , q → (¬p → r)} |- r (pista: PTE)
1. p v ¬q → r
F.I.
2. q → (¬p → r)
F.I.
3. p v ¬p
PTE
┌4. p
H.A.
│5. p v ¬q
Iv1(4)
└6. r
E→(1,6)
┌7. ¬p
H.A.
│8. ¬q v (¬p → r)
DI1(2)
│┌9. ¬q
H.A.
││10. p v ¬q
Iv2(9)
│└11. r
E→(1,10)
│┌12. ¬p → r
H.A.
│└13. r
E→(7,12)
└14. r
Ev(8, 9-11, 12-13)
15. r
Ev(3, 4-6, 7-14)
Q.E.D.
3
11.- {p → (q ^ r → t) , q ^ t → ¬r }|- p → (q → ¬r) (pistas: MT, DM, SD)
1 .p → (q ^ r → t)
F.I.
2. q ^ t → ¬r
F.I.
┌3. p
H.A.
│4. q ^ r → t
E→(1,3) MP
│5. ¬(q ^ r) v t
DI1(4)
│┌6. ¬(q ^ r)
H.A.
││7. ¬q v ¬r
DM1(6)
│└8. q → ¬r
DI1(7)
│┌9. t
H.A.
││10. ¬(q ^ t) v ¬r
DI1(2)
││┌11. ¬(q ^ t)
H.A.
│││12. ¬q v ¬t
DM1(11)
│││13. ¬q
SD(9,12)
│││14. ¬q v ¬r
Iv1(13)
││└15. q → ¬r
DI1(14)
││┌16. ¬r
H.A.
│││17. ¬q v ¬r
Iv2(16)
││└18. q → ¬r
DI1(17)
│└19. q → ¬r
Ev(10, 11-15,16-18)
└20. q → ¬r
Ev(5, 6-8, 9-19)
I→(3,20) Q.E.D.
21. p → (q → ¬r)
12.- {(r ^ t) v q , p → (r → ¬q) , ¬r → ¬p }|- p → r ^ t (reglas derivadas)
1. (r ^ t) v q
F.I.
2. p → (r → ¬q)
F.I.
F.I.
3. ¬r → ¬p
┌4. p
H.A.
│5. r → ¬q
E→(2,4)
│6. ¬¬r
MT(3,4)
│7. r
E¬(6)
│8. ¬q
E→(5,7)
└9. r ^ t
SD(1,8)
10. p → r ^ t
I→(4,9) Q.E.D.
4