Lagrange

8
MECANICA DE LAGRANGE
8.1
INTRODUCCION
8.1.1
Coordenadas cartesianas
Un sistema dinámico de n partículas tiene 3n grados de libertad Î requiere 3n coordenadas
cartesianas para especificar su configuración. El vector que contiene las 3n coordenadas cartesianas es:
x = {x 1 , x 2 , x 3 ,........, x n }
(8.1)
8.1.2
Restricciones y Grados de Libertad
Las restricciones limitan la configuración geométrica y el movimiento del sistema. Una restricción
genera reacciones y disminuye el número de grados de libertad del sistema.
Supóngase un sistema de:
• n partículas
• m restricciones
Î
Î
3n grados de libertad
r = (3n-m) grados de libertad Î requiere r coordenadas para
especificar configuración
8.1.3
Fuerzas
Supóngase un sistema sobre el cual, en un instante dado t, actúa una fuerza f. En coordenadas
cartesianas es:
f = {f1 , f 2 , f 3 ,........, f n }
8.2
(8.2)
COORDENADAS GENERALIZADAS
8.2.1
Definición
Conjunto de r coordenadas qk que, junto con las ecuaciones de restricción, permiten especificar
unívocamente la configuración de un sistema de r grados de libertad.
q = {q 1 , q 2 , q 3 ,..., q k ,....., q r }
q = {q& 1 , q& 2 , q& 3 ,..., q& k ,....., q& r }
Coordenadas generalizadas
Velocidades generalizadas
(8.3)
Por ejemplo, para una partícula que se mueve sobre una esfera de radio a:
x2+y2+z2-a2=0
•
La ecuación de la restricción es
•
La partícula tiene 2 grados de libertad Î Se pueden usar como coordenadas generalizadas las
coordenadas esféricas (θ,φ) o las cilíndricas (φ,z).
Mecanica Racional - UTFSM - Mecámica de Lagrange
1
Nótese que el par (x,y) no sirve como coordenadas generalizadas en este ejemplo, ya que dado sus
valores, existen dos valores de z que satisfacen la ecuación de restricción.
8.2.2
Transformación de coordenadas
Conocidas las ecuaciones de restricción, es posible expresar cualquiera de las componentes del vector
de coordenadas cartesianas en términos de las coordenadas generalizadas:
x j = x j (q, t )
j = 1,2,3,.....,3n
(8.4)
Las restricciones están incluidas en forma implícita en estas relaciones.
8.3
COMPONENTES GENERALIZADAS DE LAS FUERZAS
8.3.1
Desplazamiento Virtual
Cambio ficticio, infinitamente pequeño, en la configuración del sistema en un instante cualquiera t.
Este cambio debe ser compatible con las restricciones del sistema y se supone que ocurre en t = cte. El
vector que contiene los desplazamientos virtuales correspondientes a cada una de las coordenadas es:
δ x = {δx 1 , δx 2 , δx 3 ,........, δx n }
(8.5)
8.3.2
Trabajo Virtual
Supóngase un sistema sobre el cual, en un instante dado t, actúa una fuerza F. Supóngase que en ese
instante se impone un desplazamiento virtual δx sobre el sistema. El trabajo virtual δW efectuado
por las fuerzas es:
δW = F • δ x =
∑ F j δx j
j = 1,2,3,.....,3n
(8.6)
El vector de fuerzas externas F en componentes cartesianas se separa en un vector f que contiene las
fuerzas activas y un vector f’ que contiene las reacciones. El vector de fuerzas es entonces:
F = f + f'
(8.7)
8.3.3
Sistema holonómico
Aquel que en que todas sus restricciones cumplen con:
ƒ
Toda configuración posible del sistema satisface una ecuación del tipo φ(x,t) = 0
ƒ
Para cualquier desplazamiento virtual compatible, el trabajo efectuado por las reacciones es
nulo.
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2
En general, si existen m restricciones, cada una asociada a una ecuación del tipo φk(x,t) = 0 , aparecen
m reacciones.
Un sistema holonómico es aquel cuyas restricciones son todas holonómicas.
considerará sólo sistemas de este tipo.
En adelante se
El trabajo virtual de las fuerzas en un sistema holonómico es:
δW = F • δ x =
∑ Fj δx j = ∑ (f j + f j ') δx j = ∑ f j δx j + ∑ f j ' δx j
j = 1,2,3,.....,3n
(8.8)
Los dos términos del lado derecho de la ecuación representan el trabajo virtual de las fuerzas activas y
el de las reacciones respectivamente. Dada las condiciones del sistema holonómico, el segundo
término es nulo y el trabajo virtual es entonces:
δW =
∑ f j δx j
j = 1,2,3,.....,3n
(8.9)
8.3.4
Componentes generalizadas de las fuerzas
Sea Q el vector de fuerzas generalizadas asociadas a las componentes de las coordenadas generalizadas
q.
Q = {Q 1 , Q 2 , Q 3 ,........, Q r }
(8.10)
El vector Q se determina igualando las expresiones del trabajo virtual evaluadas en ambos sistemas de
coordenadas.

 
3n
r



f j δx j  =  Q • δq =
Q k δq k 
δW =  f • δ x =


 
j=1
k =1



∑
∑
(8.11
Usando las ecuaciones (8.4) de transformación de coordenadas, y recordando que el desplazamiento
virtual ocurre en un tiempo cte, δxj se puede escribir como:
δx j =
∑
k
∂ x j (q, t )
∂qk
δq k
k = 1,2,3,....., r
(8.12)
El término del lado izquierdo de la Ec. 8.11) queda entonces:
δW =
∑
j
f j δx j
=
 ∂ x j (q, t )
fj 
δq k
∂qk

j
k
∑
∑



=

∂ x j (q, t ) 
 f
 δq
j
k

∂qk 
k  j

∑∑
Comparando con el lado derecho de la Ec. (8.11), se tiene que:
Mecanica Racional - UTFSM - Mecámica de Lagrange
3
j = 1,2,3,.....,3n
k = 1,2,3,....., r
Qk =
∑
fj
∂ x j (q, t )
j
(8.13)
∂qk
Donde Qk es la componente k de la fuerza generalizada Q
Nótese que:
• Qk no es necesariamente una fuerza. Si qk es una rotación, entonces Qk es un torque.
•
La componente k de Q no es, en general, la componente de Q en la dirección de qk
•
Qk no depende solamente de qk sino de todos los q, es decir: Qk = Qk (q)
•
De las condiciones establecidas para sistemas con reacciones holonómicas, y de la definición de
fuerza generalizada, se concluye que las componentes generalizadas de una reacción
holonómica son nulas.
8.3.5
Caso fuerzas conservativas
Supóngase el caso que la fuerzas f provienen de un potencial V(x) tal que:
f = −∇ x
⇒
fj = −
∂ V (x )
∂ xj
(8.14)
Reemplazando en la Ec. (8.13), la fuerza generalizada se puede escribir en términos de la Energía
Potencial V:
Qk
=
∑fj
∂ x j (q, t )
j
8.4
ECUACIONES DE
HOLONOMICOS
∂qk
= −
∑
j
LAGRANGE
∂ V (x, t ) ∂ x j (q, t )
∂ xj
∂qk
DEL
= −
∂ V (q, t )
∂ qk
MOVIMIENTO
PARA
(8.15)
SISTEMAS
Se formularán las ecuaciones del movimiento en términos de las coordenadas generalizadas. Se tiene
que:
• Se reduce el número de ecuaciones a resolver
• No aparecen las reacciones en las ecuaciones
La ecuación del movimiento para una partícula i está dada por la ley de Newton:
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4
F i = m i &x& i
i = 1,2,3,..., n
(8.16)
Las componentes de F i y &x& i son las componentes de F y &x& asociadas a la partícula i.
Separando el vector de fuerzas externas en el vector f que contiene las fuerzas activas y el vector f’ que
contiene las reacciones, la componente j de la ecuación de movimiento del sistema es:
m j &x& j = f j + f j '
Multiplicando a ambos lados por
∂ x j (q, t )
∂qk
j
y sumando sobre j se tiene:
∂qk
∂ x j (q, t )
∑ m j &x& j
=
(8.17)
∑fj
j
∂ x j (q, t )
∂qk
+
∑ f j'
j
∂ x j (q, t )
(8.18)
∂qk
El primero de los términos del lado derecho de la ecuación (8.18) es la componente Qk de la fuerza
generalizada asociada a las fuerzas activas f:
∑fj
∂ x j (q, t )
j
∂qk
= Qk
El segundo término corresponde a la componente del vector fuerza generalizada asociado a las
reacciones f’. Dado que el trabajo efectuado por las reacciones es nulo, la fuerza generalizada también
es nula.
∑ f j'
j
∂ x j (q, t )
∂qk
= 0
El lado izquierdo de la ecuación (8.17) se puede escribir como:
m j &x& j =

 d  ∂ 1
d
d  ∂ 1

m j x& j = 
m k x& k 2  
 m j x& j 2   = 

  dt  ∂ x& j  2
dt
dt  ∂ x& j  2

 k


(
1
2
pero
⇒ m j &x& j
)
∑ m k x& k 2
k
=
∑
= T(x& , x, t ) = Energía cinética del sistema
d  ∂T(x& , x, t ) 


dt  ∂ x& j 
Remplazando en el lado izquierdo de la Ec. (8.18) se tiene:
∂ xj
∑ m j &x& j ∂ q k
j
=
d  ∂ T(x& , x, t )  ∂ x j

 ∂ x& j  ∂ q k
j
∑ dt 
Mecanica Racional - UTFSM - Mecámica de Lagrange
=
∂ T(x& , x, t ) d  ∂ x j
d  ∂ T(x& , x, t ) ∂ x j 
−
∂ q k 
dt  ∂ q k
∂ x& j
 ∂ x& j
j
j
∑ dt 
5
∑




Las derivadas se pueden evaluar utilizando las siguientes igualdades:
[
]
d
x j (q, t ) = x& j =
dt
∂ x& j (q, q& , t )
∂ qs
∂ x j (q, t )
∂qk
k
q& k +
∂ x j (q, t )
∂t
x& j = x& j (q, q& , t )
⇒
∂ 2 x j (q, t )
∂ 2 x j (q, t ) d  ∂ x j (q, t ) 
=
= 
q& k +

∂ qs ∂ q k
∂ qs ∂ t
dt  ∂ q s 
k
∂ x& j (q, q& , t )
∂ q& s
∑
∑
=
∂  ∂ x j (q, t )

q& k
∂ q& s 
∂qk
k
∑

∂  ∂ x j (q, t ) 
+


 ∂ q& s  ∂ t 
(8.19)
(8.20)
=
∂ x j (q, t )
∂ qs
(8.21)
Reemplazando Ecs. (8.20) y (8.21) en la expresión anterior se tiene:


d  ∂ T(x& , x, t ) ∂ x& j 
d  ∂ T(q& , q, t ) 
=


dt 
dt  ∂ q& k 
∂ x& j
∂ q& k 
 j

∂ T(q& , q, t )
∂ T(x& , x, t ) ∂ x& j
∂ T(x& , x, t ) d  ∂ x j 
=
=


dt  ∂ q k 
∂ qk
∂ x& j
∂ qk
∂ x& j
j
j
d  ∂ T(x& , x, t ) ∂ x j 


dt  ∂ x& j
∂ q k 
j
∑
∑
=
∑
∑
Se tiene entonces
∂ xj
∑ m j &x& j ∂ q k
=
j
d  ∂ T(q& , q, t )  ∂ T(q& , q, t )

−
∂ qk
dt  ∂ q& k 
Reemplazando en la ecuación (8.18) se llega a:
d  ∂ T(q& , q, t )  ∂ T(q& , q, t )
= Qk

−
dt  ∂ q& k 
∂ qk
k = 1,2,3,......., r
(8.22)
Las r ecuaciones (8.22) son las Ecuaciones de Lagrange para el sistema, que corresponden a las
ecuaciones de movimiento de dicho sistema, bajo la acción de fuerzas arbitrarias.
Caso Fuerzas Conservativas
Supóngase el caso que la fuerzas f proviene de un potencial V(x). Según Ec.(8.15):
Qk
= −
∂ V (q , t )
∂ qk
Nótese que la energía potencial del sistema depende sólo de q y t. Reemplazando en la Ec. (8.22):
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6
∂ V (q, t )
d  ∂ T(q& , q, t )  ∂ T(q& , q, t )
= −

−
∂ qk
dt  ∂ q& k 
∂ qk
k = 1,2,3,......., r
(8.23)
Se define el Lagrangiano o Función de Lagrange L como:
L(q& , q, t ) = T(q& , q, t ) − V (q, t )
(8.24)
Reemplazando en la Ec. de Lagrange (8.23) se tiene:
d  ∂ L(q& , q, t )  ∂ L(q& , q, t )
= 0

−
dt  ∂ q& k 
∂ qk
(8.25) son las Ecuaciones de Lagrange para sistemas conservativos.
Mecanica Racional - UTFSM - Mecámica de Lagrange
7
k = 1,2,3,......., r
(8.25)