13. Tenemos un dado cargado de tal forma que la probabilidad de

spanishMATEMÁTICAS II.
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EJERCICIOS DE PROBABILIDAD.
CURSO 2006/07
13. Tenemos un dado cargado de tal forma que la probabilidad de obtener cada una de las caras es proporcional al
número de puntos que aparecen en ella.
Halla el número total de puntos que esperamos obtener en 100 tiradas de este dado. ¿Cuáles son el valor esperado
y la varianza del número de puntos en cada tirada?
14. Tenemos dos dados, uno de seis caras, marcadas del 1 al 6, y otro de 8 caras marcadas del 1 al 8, ambos bien
equilibrados; lanzamos los dos a la vez y consideramos las variables aleatorias
X = puntos del primer dado, Y = puntos del segundo dado, S = X + Y , D = X − Y .
a. Describe el espacio muestral del experimento y la distribución de cada variable, dando su esperanza y varianza.
b. Halla la probabilidad de cada uno de los sucesos siguientes: S = 10; S = par; |D| > 3.
15. a. Halla la probabilidad de que al arrojar una moneda equilibrada al aire diez veces consecutivas, la diferencia
entre el número de caras y el número de cruces obtenidas sea (en valor absoluto) > 6.
b. Halla la probabilidad de que al arrojar un dado equilibrado al aire siete veces consecutivas, salgan exactamente
dos doses y tres treses.
16. Hemos recogido 1 ml. de agua de lluvia, del que ponemos una gota en un portaobjetos para observar el número
de bacterias presentes.
a. Suponiendo que cada una de las N bacterias presentes en ese ml. tuvo igual probabilidad p = 1/1000 de
estar en la gota, estudia la distribución de la variable aleatoria X = número de bacterias en la gota.
b. Si fuese N = 4000, ¿qué probabilidad hay de que no encontremos ninguna bacteria en la gota? ¿Y de que
encontremos X < 3? ¿Qué aproximación podemos usar en ese caso para la distribución de X?
c. Si fuese N = 25000, ¿qué probabilidad hay de que encontremos X < 20?
¿Qué aproximación conviene usar en este caso para la distribución de X?
(*) 17. De una población de cierta especie de animales, hemos marcado y liberado de nuevo a 50 de los N individuos
que la componen. Tras un tiempo prudencial, capturamos al azar 54 de ellos para observar si están marcados.
a. Estudia la variable aleatoria X = número de ejemplares marcados en la muestra.
¿Qué distribución tiene? ¿Qué hipótesis hay que hacer para afirmarlo?
b. Hemos encontrado X = 3. La probabilidad de que eso ocurriese depende, claro está, del número desconocido
N . Da una fórmula (en función de N ) para esa probabilidad, y halla el valor de N que la hace máxima.
c. Suponiendo ahora que podemos ver si están marcados sin necesidad de capturarlos (basta que pasen cerca
de un detector que hemos colocado), estudia la variable aleatoria
K = número de ejemplares observados hasta encontrar el primero marcado.
¿Qué distribución tiene, bajo qué hipótesis? ¿Cuáles son el valor esperado y la varianza de K?
Si el valor observado es K = 14, responde las mismas preguntas del apartado anterior.
d. Para evitar la detección repetida e inmediata de un mismo ejemplar, el detector se desactivó durante un
tiempo tras el paso de alguno de ellos, e interesaba la distribución de la variable
T = tiempo en minutos desde la activación hasta el paso del siguiente ejemplar.
Una vez excluida, por el procedimiento indicado, la “probabilidad aumentada”de observar enseguida de nuevo a
un ejemplar recién detectado, podemos suponer que la probabilidad p de observar alguno en el siguiente minuto
es la misma en cada momento. Puede probarse que eso equivale a que la distribución de T sea Exponencial.
Estima su valor esperado sabiendo que el número total de ejemplares observados por el detector fue N obs = 23
en un total de 10 horas de operación.
e. Si miramos ese N obs = número de ejemplares observados en 10 horas como variable aleatoria,
¿qué distribución aproximada tiene, y cuál podemos estimar que era su varianza?
(Indicación: podemos ver N obs como el número de los minutos de operación en los que ha sido observado alguno,
ya que el sistema utilizado impide observar dos ejemplares en un mismo minuto.)
18. En uno de los experimentos de Mendel con guisantes, la probabilidad de obtener una planta con flores blancas
era de 1/4. Supongamos que al repetir ese experimento obtenemos una “cosecha”de 300 plantas.
¿Cuál es la probabilidad de que el número de ellas con flores blancas esté comprendido entre 70 y 80 ambos
inclusive? ¿Y entre 73 y 77?
Escribe cada respuesta como una suma de términos, sin calcular su valor. Luego utiliza la aproximación Normal
para evaluar aproximadamente esa suma.
19. Las ruletas europeas tienen 37 números, del 0 al 36. El número 0 siempre corresponde a la banca (el casino).
a. Si apuesto a impar (es decir, gano si sale algún número impar), ¿cuál es mi probabilidad de ganar?
b. Si apuesto 50 veces consecutivas a impar, ¿Cuál es mi probabilidad de ganar al menos 35 veces? (utiliza la
aproximación Normal a una Binomial para dar la respuesta).
20. Consideremos el juego que consiste en tirar al mismo tiempo dos dados equilibrados.
a. Estudia la variable aleatoria X = número de Ases en una tirada. ¿Qué distribución tiene?
b. Juego contra alguien del modo siguiente:
debo pagar 1 Euro cada vez que salga un As, pero recibo 9 Euros cada vez que salgan dos Ases.
Halla el valor esperado y la varianza de la variable aleatoria G = mi ganancia por tirada.
c. ¿Aproximadamente qué probabilidad tengo de ganar algo si repito este juego 100 veces?