matematicas 1º eso primer ciclo

7
Azar
Matemáticas 1º ESO
260
1.
Actividades de introducción
2.
Sorteos
3.
Juegos
4.
Procesos dinámicos y
simulación
5.
Muestreo
6.
Asignar probabilidades
7.
Descripción estadística
8.
Revisión
Azar
1. Actividades de introducción
 LA NIÑA
Enrique estaba celebrando con su amigo Vicente el nacimiento de su último hijo. Con éste tenía
cuatro, y todos niños.
Enrique: ¡Cuánto me gustaría que mi próximo bebé fuese una niña!.
Vicente: ¡Hombre, después de cuatro niños, es seguro que el próximo será una niña!.
¿Tendrá razón Vicente?
Experiencia aleatoria es aquella en la que pueden obtenerse indistintamente
cualquiera de sus resultados posibles. En cada realización concreta de la
experiencia no es posible saber a priori cuál de los posibles resultados ocurrirá.
Experiencia determinista es aquella en la que se sabe cuál será su resultado antes
de que se realice.
 EL TRABAJO
Material: chinchetas, dados, monedas. Organización del trabajo: gran grupo.
Tú y un amigo tenéis que acabar un trabajo que no os apetece hacer y, en lugar de repartíroslo,
decidís realizar un sorteo para ver quién lo acaba. Os propongo los siguientes procedimientos:
1. Lanzar una moneda. Si sale cara lo haces tú y si sale cruz lo hace tu amigo.
2. Llamar a la madre de tu amigo para que decida quién lo hace.
3. Lanzar un dado. Se libra el que saque el número más bajo.
4. Lanzar una chincheta y si cae con la punta hacia arriba haces tú el trabajo y en caso contrario lo
hace tu amigo.
5. Lanzar un dado cada uno. Se libra el que obtenga el número más alto.
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Matemáticas 1º ESO
6. Hacer una carrera y se libra quien llegue el primero.
7. Hacer una carrera y se libra quien llegue el último.
8. Meter dos papelitos con vuestros nombres en un sobre. Se extrae uno de los papelitos y ése es el
que se libra.
9. Meter dos bolas blancas y una negra en una bolsa y sacar una bola con los ojos cerrados. Si sale
blanca haces tú el trabajo y si sale negra tu amigo.
10. Lanzar un dado y si sale un número menor que tres te libras tú y en caso contrario se libra tu
amigo.
¿Qué opinas de estos métodos para sortear?.
Un sorteo aleatorio es la elección al azar de un objeto o de una alternativa que no
está sesgada ni por el material que se usa para sortear ni por el procedimiento del
sorteo.
La idea de sorteo no debe ir necesariamente acompañada de la idea de equidad; de
hecho hay sorteos equitativos y otros que no lo son. Un sorteo es equitativo si
cada uno de los resultados tiene las mismas posibilidades de resultar elegido.
Lo decisivo en un sorteo es que no pueda predecirse con seguridad el resultado.
 LA MONTAÑA ENCANTADA
Material: un tablero, 6 fichas grandes de distinto color, 6 fichas pequeñas del mismo color que las
grandes, una moneda o generador aleatorio equivalente, unas cuantas fichas para robar.
Organización: grupos de seis.
262
Azar
Es un juego para seis jugadores con las siguientes reglas:
Cada jugador elige una meta en la que coloca la ficha grande de su color. En la salida sitúa una ficha
pequeña del mismo color, que será su “medio de transporte”.
Con ello seguirá el camino que determinen los lanzamientos de su moneda: si sale cara se desplaza
hacia la derecha y si sale cruz hacia la izquierda.
El jugador que llegue a la casilla que había previsto roba una ficha. Gana el que tenga más fichas
después de seis partidas.
a) ¿Es un juego de azar o de estrategia?.
Una estrategia para jugar es un conjunto de reglas que nos indican lo que hemos
de hacer en cada momento del juego.
Una estrategia ganadora es aquella que nos permitirá ganar siempre, por muy bien
que juegue nuestro contrario. Es un algoritmo que resuelve el problema de cómo
ganar.
Un juego de estrategia es aquél en que es posible encontrar una estrategia
ganadora o, al menos, no perdedora.
Un juego de azar es aquél en el que el hecho de que un jugador gane o pierda no
depende de la estrategia adoptada por él en el juego. Es decir no hay estrategia
ganadora y tampoco la hay para no perder.
b) En cada partida anota la casilla por la que apuestas y la casilla a la que llegas.
NOMBRE APUESTA
LLEGADA
c) ¿Es igual de fácil llegar a cualquier meta?. ¿Por qué meta apostarías?.
El número de veces que ocurre un suceso al realizar una experiencia se llama
frecuencia absoluta (o simplemente, frecuencia) de dicho suceso.
d) Cuenta desde la salida el número de casillas que llevan a cada casilla del tablero incluyendo las de
la meta. Anota el resultado en cada casilla y estudia la ley de formación de los números obtenidos.
 LAS TRES FICHAS
Este es un juego para dos jugadores. Se necesitan tres fichas marcadas: por ejemplo, una con un
punto en las dos caras, otra con un punto en una de las caras y otra sin puntos (las tres fichas del
mismo color).
El jugador 1 elige una ficha al azar, la coloca sobre la mesa y el jugador 2 debe adivinar cómo es la
cara oculta. Si acierta gana un punto. Los jugadores 1 y 2 intercambian sus papeles y vuelven a
empezar.
Juega unas 20 veces con un compañero, anotando los resultados. Ganará quién tenga más puntos al
final de la partida.
¿Hay una estrategia ganadora?.
263
Matemáticas 1º ESO
2. Sorteos
 SORTEA
Organización: gran grupo.
Explica varios procedimientos para realizar los siguientes sorteos:
1. ¿Cómo elegirías al azar una persona entre seis?.
2. ¿Y a una persona entre cuatro?.
3. ¿Y a una persona entre diez?.
4. ¿Y a una persona de tu clase?.
Un sorteo equitativo es aquél en el que cada uno de los resultados pueden
presentarse con las mismas posibilidades. Es decir, los posibles resultados del
sorteo no están sesgados.
Para realizar sorteos equitativos se pueden usar diferentes generadores aleatorios,
como ruletas, dados, urnas, etc. Por ejemplo, para hacer un sorteo entre dos
personas se puede usar el lanzamiento de una moneda o cualquiera de los
instrumentos de la siguiente figura:
ruleta
dado
urna
3. Juegos
 LAS QUINCE MONEDAS
Es un juego para dos jugadores. Se colocan sobre la mesa 15 monedas. Cada jugador, por turno,
retira 1, 2 ó 3 monedas de la mesa. Gana el que quita la última moneda.
Si tuvieras que empezar tú a jugar, ¿qué harías para ganar?. Explica claramente cómo jugarías. ¿Es
un juego de azar o de estrategia?.
264
Azar
 MARÍA Y AMPARO
Material: dos monedas. Organización: parejas.
María va a proponerle un par de juegos nuevos a su amiga Amparo:
a) “Lanzamos una moneda al aire. Si sale cara te doy un duro, pero si sale cruz me lo das tú.
¿Juegas?”.
b) “Lanzamos dos monedas al aire. Si sale cara en las dos monedas te doy un duro, pero si en una
moneda sale cara y en la otra sale cruz me lo das tú. ¿Juegas?”.
¿Te parecen justos estos dos juegos?.
Si alguno de ellos no te parece justo, ¿cómo lo equilibrarías cambiando las apuestas?.
Puedes practicar los juegos con un compañero antes de tomar una decisión.
Para enumerar posibilidades se utiliza un diagrama de árbol:
 MONEDAS
Al lanzar una moneda se puede obtener cara o cruz.
Si lanzas la moneda dos veces, ¿qué resultados puedes obtener?.
¿Y si se lanza tres veces la moneda?. Si juegas con un compañero, ¿a qué resultado apostarías para
ganar?.
 MONEDA Y DADO
¿Qué resultados pueden darse al tirar una moneda y un dado?.
265
Matemáticas 1º ESO
 PUNTERÍA
Juegas en el patio con unos amigos, intentando meter piedras en un bote. Establecéis unas reglas:
Por cada tirada que aciertes te suman ocho puntos.
Por cada tirada que falles te restan tres puntos.
¿Con cuántos puntos puedes acabar una partida de tres tiradas?.
 FUTBOL
El resultado final de un partido de fútbol es 3-2. ¿Cuál puede haber sido el resultado antes del último
gol?. ¿Qué resultados pueden haber aparecido en el marcador hasta llegar al final?.
 SUMAN CINCO
El número 104 tiene las cifras 1, 0 y 4. La suma de estas cifras es 5. Escribe números naturales de
tres cifras que sumen 5.
¿Cuál es el menor de estos números?. ¿Y el mayor?.
Ordena todos los números que hayas escrito.
¿Cuántos números distintos de este tipo hay?.
 EL QUINCE GANA
Un feriante ofrece el siguiente juego:
Hay una tira de casillas sobre la mesa , con los números del 1 al 9.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
El cliente elige ser el primero en jugar o no.
El primer jugador pone una moneda en una de las casillas. El segundo pone otra en una casilla libre.
El primer jugador vuelve a colocar otra moneda en una casilla libre... El cliente siempre utiliza
monedas de 50 céntimos y el feriante de 1 euro.
El primero que logra sumar 15 con tres casillas ocupadas por él, es el ganador de todas las monedas.
¿Crees que es fácil que el feriante se arruine?.
266
Azar
 LA DESCARGA DEL CARRO
Materiales: Dos dados, dieciocho fichas por jugador, dos tableros como los del dibujo.
Organización: por parejas.
Cada jugador coloca las 18 fichas en los departamentos numerados que prefiera.
En cada departamento puede colocar cuantas fichas desee.
Cuando le toque el turno tira los dos dados y resta los números que le salgan.
Cada vez que la diferencia coincida con el número marcado en un departamento en el que tenga
fichas retirará una.
Gana el jugador que llegue al final de 30 tiradas con menos fichas en su carro.
¿Es un juego de azar?. ¿Es un juego equitativo?.
Suceso imposible es aquél que no puede ocurrir. Suceso seguro es aquél que
ocurre siempre que se realiza la experiencia.
El valor más frecuente en una estadística (es decir, de mayor frecuencia absoluta)
se llama Moda.
Sucesos equiprobables son aquellos que tienen las mismas posibilidades de
ocurrir al realizar una experiencia.
267
Matemáticas 1º ESO
 ELIGE TU NÚMERO
Es un juego para dos jugadores. Necesitáis dos dados y dos fichas, una de cada color.
Cada jugador elige un número del 1 al 12 y coloca su ficha en la salida, en la casilla correspondiente al
número.
Los jugadores lanzan por turno los dos dados. El jugador cuyo número coincide con la suma de lo que
ha salido en los dos dados avanza una casilla hacia la meta.
Gana el que llega primero a la meta.
Juega con un compañero unas 20 veces y extrae del juego toda la información que puedas.
¿En qué número de la salida pondrás tu ficha?. ¿La pondrías en el 1 ?.
4. Procesos dinámicos y simulación
 EL RATÓN Y EL QUESO
Material: fichas, monedas o dados, tablero con el laberinto.
Organización: grupos de cuatro.
268
Azar
Un ratón ha caído en la estancia A de un laberinto como el que tienes dibujado a continuación.
El ratón empieza a moverse al azar, pero siempre en el sentido que indican las flechas del dibujo.
Al final de su paseo puede ir a parar a la estancia C donde le espera un gato que se lo comerá o a la
estancia G donde le esperan un enorme trozo de queso y la libertad.
¿Qué crees que es más fácil, que salga libre o que se lo coma el gato?.
Si se introducen 8 ratones en la estancia A, ¿cuántos crees que se salvarán?. ¿Cuántos serán
comidos por el gato?.
¿Y si se introducen 16, 20 ó 30 ratones?.
La simulación de procesos en los que interviene el azar hace accesibles problemas
cuyo tratamiento teórico es difícil. Esto ocurre sobre todo en procesos que
dependen del tiempo y cuya conclusión puede teóricamente requerir un intervalo
temporal infinito.
La simulación mediante sorteos y un estudio posterior permite tomar decisiones
ante este tipo de procesos. Además el estudio de la evolución de los procesos
reales puede tener consecuencias destructivas, peligrosas o económicamente
costosas.
La simulación permite observar la evolución de procesos virtuales (inventados a
partir de ciertas hipótesis razonables) y conocer en estos casos, de forma casi
inmediata, los efectos que se producen en estos procesos al variar las hipótesis de
partida o las condiciones iniciales.
 LABERINTOS
a) Dejamos caer una bola en el laberinto de la figura. ¿En cuál de los depósitos I, II, III ó IV es más
fácil que caiga?. ¿En cuál es más difícil?.
Introducimos ocho bolas en el laberinto. ¿Cómo se distribuirán en los compartimentos finales I, II,
III y IV?.
¿Y si introducimos 16 bolas? ¿Y 32?.
269
Matemáticas 1º ESO
Puedes utilizar la estrategia consistente en introducir bolas de modo que:
 Al llegar a cada bifurcación, sólo se sigue adelante si hay tantas bolas como
caminos salen.
 El reparto se termina cuando no queda ninguna bola por el camino.
La proporción de bolas en cada depósito es la probabilidad de que una bola que
cae al azar se deposite en él.
b) Introducimos una bola en el laberinto de la figura adjunta. ¿En qué depósito es más probable que
caiga?.
Averigua cómo se distribuirán ocho bolas en los cinco depósitos.
¿Y si introducimos 16, 32 ó 64 bolas?.
 LA ESPERA
a) ¿Cuántas veces habrá que lanzar un dado para que salga un seis?.
b) ¿Cuántas veces hay que lanzar un dado cúbico para que aparezcan todas las caras?. Se admiten
apuestas.
 PASEO POR UN POLÍGONO
Dos amigos están en el vértice señalado sobre el triángulo equilátero del dibujo. Recorrer un lado les
cuesta un minuto. En cada vértice lanzan una moneda para decidir por cuál de los dos caminos
posibles continúan su paseo.
270
Azar
¿Cuánto tiempo tardarán en volver al punto de partida?.
Para saberlo te proponemos que juegues. Sitúate en el vértice señalado y lanza la moneda. Si sale
cara vas por un camino y si sale cruz por el otro. Llegarás a otro vértice.
Continúa jugando hasta que vuelvas al punto de partida. Anota el número de veces que has tirado la
moneda, desde que sales hasta que regresas al mismo punto. Esa es la duración del paseo.
Repite el juego 20 veces y haz una tabla.
¿Cuánto ha durado el paseo más largo?. ¿Y el más corto?. ¿Cuál es la duración media del paseo?.
La media de un conjunto de datos estadísticos es aquél valor tal que si todos los
datos tomaran ese valor sumarían lo que suman realmente.
Ejemplo: Halla la media, m, de los siguientes valores: 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 6.
Si los 8 datos fueran m, su suma sería 8 m. La suma real es 2+2+3+4+4+5+6+6.
Luego: 8 m = 2+2+3+4+4+5+6+6  8 m = 32  m = 4
Observa que, en la práctica,
Es decir:
media =
m=
2+2+3+4+4+5+6+6
8
suma de los valores
nº total de valores
Siguiendo el ejemplo, observa que:
De forma que:
VALOR
X
2
FRECUENCIA
f
2
VALOR x FRECUENCIA
Xxf
2x2
3
1
3x1
4
2
4x2
5
1
5x1
6
2
6x2
TOTAL
A
B
m=
2  2 + 3  1 + 4  2 + 5  1 + 6  2 32

4
2 +1+ 2 +1+ 2
8
271
Matemáticas 1º ESO
media =
Es decir:
suma de los productos (valores  frecuencia s)
suma de frecuencia s
En una estadística se llama moda al valor más frecuente. ¿Qué valor es más
representativo de una estadística, la moda o la media?.
Se llama rango a la diferencia entre el mayor y el menor valor de una estadística.
En el ejemplo anterior, el rango es r = 6 - 2 = 4.
El rango da una idea de la dispersión de los datos en torno al valor medio.
 NACIMIENTOS
El número de nacimientos en España, en 1993, según el INE, fue:
Enero Febrero
Marzo
Abril
Mayo
Junio
Hombres
7379
6521
7520
7080
7614
7190
Mujeres
6776
6142
7178
6690
7004
6610
Julio
Agosto Septiem Octubre Noviem Diciem
Hombres
7364
7022
7334
7038
6533
6571
Mujeres
6828
6574
6753
6723
6217
6314
a) ¿Cuál es la moda de cada sexo?.
b) Calcula la media de nacimientos de hombres.
c) Calcula la media de nacimientos de mujeres.
d) La media de nacimientos es suma de las medias anteriores?.
 CONSTRUCCIONES “LA COLMENA”, S.A.
El Sr. Lince, dueño de Construcciones “La Colmena”, S.A., necesita saber cuál es el tamaño medio de
las familias que viven en cada casa de su ciudad. Ha encargado a su ayudante que haga los cálculos
porque piensa construir viviendas en las que podrá una habitación por cada persona. Al conocer el
resultado ha decidido hacer viviendas con cuatro habitaciones y media. ¿Por qué habrá hecho esto?
¿Te parece buena su decisión?.
272
Azar
 SALTOS EN UNA RECTA
Imagina una pulga saltando a lo largo de una recta. En cada salto avanza o retrocede, al azar, la
misma longitud. Para representar su movimiento, utiliza una recta como la de la figura.
El punto marcado con un 0 es el punto de partida. Cada vez que salta recorre uno de los segmentos
en que está dividida la recta.
Simula, utilizando una moneda, diez saltos sucesivos de la pulga y señala el punto de la recta al que
irá a parar, asigna a ese punto el número que le corresponde.
Repite la experiencia anterior 5 veces.
¿A qué distancia del origen estará la pulga al cabo de diez saltos?.
 PASEOS ALEATORIOS
Una hormiga está situada en el vértice O de un cuadrado. Recorrer un lado le cuesta un minuto. En
cada vértice elige al azar uno de los dos caminos posibles. ¿Cuánto tiempo tardará en volver al punto
de partida, por término medio?.
Repite el ejercicio para un pentágono y un hexágono regular. ¿Observas algo interesante?.
273
Matemáticas 1º ESO
5. Muestreo
 ¿CUÁL ES LA RULETA?
Organización: individual
Hemos girado cada una de las ruletas 200 veces y hemos anotado los resultados en las dos series
siguientes:
Serie 1 1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
Serie 2 0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
Cada serie se ha obtenido girando una de las ruletas. ¿Cuál?. Explica.
Muestreo significa obtención de información a partir de muestras.
Población es el conjunto de datos o valores que se desea estudiar.
Una muestra es una parte del conjunto de datos estadísticos que se desea
estudiar. Generalmente, el conjunto de datos es tan amplio que no se puede
extraer la información directamente de todos ellos, sino que hay que seleccionar
una muestra y limitar el estudio estadístico a los valores de la muestra.
274
Azar
Es posible obtener información bastante fiable de una población estudiando
muestras obtenidas al azar. Esta información estará siempre afectada por un cierto
grado de incertidumbre, pero el hecho de que las muestras sean extraídas al azar
garantiza que las predicciones acerca de la población tengan alguna fiabilidad.
Debemos hacer la hipótesis de que las muestras aleatorias son representativas de
la población de que proceden. Los elementos en una muestra obtenida al azar
están en parecida proporción que en la población de la que se han obtenido.
Cuanto mayor es el tamaño de la muestra, mayor es la confianza que podemos
tener en nuestra predicción.
 ¿CÓMO ES EL DADO?
Un dado cúbico tiene todas sus caras marcadas con ceros y unos, pero no sabemos en cuántas caras
hay 0 ni en cuántas hay 1.
Hemos lanzado 300 veces el dado y éstos son los resultados:
111111011111101101011111111011
111111010101110111111110000111
111111111110110111111111110111
111010100111011110111111111101
111101110111111111111111101111
111111011111100111100101011101
011111011011111110011010111111
111111111011111100111011010111
111111110010111111101111010111
111111111111111010011111111111
Al tirar otra vez 300 veces el dado hemos obtenido la siguiente serie de ceros y unos:
111111101111111111111111111111
101111101111111111111111011111
111111101111011111101111001011
111011111101010101111011100001
111110111011111111111111010111
111111111110011111001111110111
111111110111001110111111001111
111111011111111111011111111101
111011111111111111111011110111
111101011111111110011110111110
¿Cuántos ceros y cuántos unos crees que hay en el dado?.
275
Matemáticas 1º ESO
 COMPOSICIÓN DE UNA BOTELLA
Esta botella contiene 20 bolas de colores negro, rojo y verde. No sabemos cuántas de cada color, ni
podemos verlo, porque la botella es opaca. Solo podemos ver, cuando la tumbamos, el color de la
bola que queda junto al tapón, que es transparente.
A lo largo de varios dias hacemos 1000 veces la experiencia de agitar, inclinar la botella y anotar el
color de la bola que se ve. Hemos obtenido estos resultados:
BOLA
NEGRA
FRECUENCIA
461
ROJA VERDE
343
196
¿Cuál crees que puede ser la composición de la botella?
6. Asignar probabilidades
 APUESTAS
a) Juegas con un compañero lanzando una moneda. Él apuesta un duro a que sale cara. ¿Cuánto
debes apostar tú a que sale cruz para no tener ventaja ni desventaja?.
b) Juegas con Luis y Ana lanzando dos monedas. Luis gana si sale una vez cara y otra cruz, Ana si
salen dos caras y tú si salen dos cruces. Si tú apuestas un duro, ¿cuánto deben apostar Ana y Luis
para que el juego sea justo?.
 LA BOLA BLANCA
Material: fichas de dos colores, sobres para hacer de urnas. Organización: por parejas.
Imagina que tienes que sacar una bola de una de las cajas siguientes con los ojos cerrados. Ganas si
obtienes una bola blanca. Puedes elegir la urna que quieras para jugar.
¿Prefieres alguna urna en especial?. Ordena las urnas de mejor a peor para ganar a este juego. ¿Hay
urnas que sean igual de buenas?.
Puedes usar fichas de colores y un sobre para simular el juego y comprobar si estás en lo cierto.
Observa y anota con qué frecuencia obtienes bola blanca en cada tipo de urna.
276
Azar
La frecuencia relativa de un suceso es el cociente de su frecuencia absoluta entre
el número total de experiencias. Es decir:
frecuencia relativa=
frecuencia absoluta
nº total de experiencias
La frecuencia relativa se puede expresar como fracción, número decimal o
porcentaje.
La probabilidad de un suceso es el grado de confianza que podemos tener en que
ese suceso ocurra. Se mide mediante un número comprendido entre 0 y 1.
Si la probabilidad es próxima a cero, el suceso es poco probable. Si la probabilidad
es cero, el suceso es imposible.
Si la probabilidad es próxima a uno, el suceso es muy probable. Si la probabilidad
es uno, el suceso es seguro.
Si la probabilidad es 1/2, el suceso ocurre, por término medio, la mitad de las veces
que se realiza la experiencia.
Hay ocasiones en que las condiciones de simetría en que se realiza la experiencia
permiten predecir cuál será la probabilidad de un determinado suceso. La
probabilidad asignada en este caso se conoce como probabilidad a priori.
Posteriormente la experimentación dará unos resultados que permitirán confirmar
o desechar la hipótesis inicial.
En cambio, hay otras ocasiones en que no es posible hacer ninguna predicción:
sólo la experimentación puede producir resultados que se acercarán tanto más a
los teóricos cuanto mayor sea el número de experiencias realizadas. En este caso
asignaremos como probabilidad la frecuencia relativa del suceso, que puede
expresarse en forma de fracción, número decimal o porcentaje. Este tipo de
probabilidad se llama probabilidad a posteriori.
También podemos asignar probabilidades en términos de “tantos casos entre
tantos”, “tantos a favor y tantos en contra” o “tantos contra tantos”.
277
Matemáticas 1º ESO
 DADO
Al lanzar un dado cúbico, ¿qué probabilidad asignarías a cada una de las caras?
Lanza un dado 60 veces y anota los resultados. Halla la frecuencia absoluta de cada una de sus
caras. Halla la frecuencia relativa correspondiente y construye la tabla de frecuencias. Compara los
resultados obtenidos con la probabilidad que habías conjeturado.
 RULETA
Construye una ruleta con un clip y una chincheta como se indica en la figura.
El sector rojo es de 180º; el verde, de 60º y el azul, el resto.
Antes de girar el clip, dí cuál es la probabilidad de que la flecha caiga en cada uno de los tres colores.
Luego realiza la experiencia 50 veces, escribe los resultados en una tabla y calcula la frecuencia
relativa obtenida para cada color. Compara los resultados con las probabilidades.
 BOLSAS
a) Observa la composición de la bolsa de la figura. ¿Qué color es más probable que salga al extraer
una bola al azar?. ¿Qué color es menos probable?. ¿Qué dos colores tienen la misma probabilidad
de salir?.
278
Azar
b) En una bolsa hay 3 bolas rojas, 4 verdes y 5 blancas. Si extraemos una bola al azar, ¿qué
probabilidad asignas a los siguientes casos?
1) Obtener bola blanca.
2) Obtener bola verde, roja o blanca.
3) Obtener bola negra.
c) Tenemos dos bolsas con bolas. Se saca una bola de cada bolsa.
¿De qué bolsa es más fácil sacar una bola roja?
d) Una bolsa tiene 3 bolas rojas, 2 bolas verdes, 2 bolas blancas y 1 bola negra. Si de la bolsa
sacamos sin mirar una bola, ¿cuál es el color más probable?. ¿Cuál es el menos probable?. ¿Qué
dos colores tienen la misma probabilidad de salir?.
 CUATRO COLORES
Tienes cuatro cajas llenas de bolas de colores: rojo, verde, azul y negro, respectivamente. Queremos
llenar una bolsa con 100 de esas bolas de modo que:




Sea imposible sacar bola negra.
Sea muy poco probable sacar bola azul.
Sea poco probable sacar bola verde.
Sea muy probable sacar bola roja.
¿Cuántas bolas de cada color echarías en la bolsa?.
 DADOS
Juegas con un amigo a tirar un dado. Tú ganas si sale 6 y tu amigo gana si sale el 1, 2, 3, 4 ó 5.
Si tu apostases un duro, ¿te parecería bien que tu amigo apostase otro duro?. ¿Cuánto crees que
debería apostar?.
279
Matemáticas 1º ESO
 CHINCHETAS
Juega con un compañero lanzando una chincheta. ¿Cuáles son los resultados posibles?. Indícalos de
alguna manera. Anota los resultados de 20 lanzamientos.
Si cada uno de vosotros apuesta por uno de los dos resultados posibles, ¿alguno juega con ventaja?.
Para que el juego sea justo, si uno apuesta 20 euros por uno de los dos resultados posibles, ¿cuánto
debe apostar el otro?
 DADOS Y PARES
Vamos a lanzar un dado. Si sale par, ganas tú, si no gana el contrario.
¿Cómo deben ser las apuestas?.
¿Cuántas tiradas tendrás que esperar para ganar?.
Simula 120 lanzamientos de un dado. Estudia la serie obtenida.
Ahora apuestas a que te saldrá un par, al menos, en 2 lanzamientos. Y tu contrario a que no. ¿Es
justo que tu contrario apueste lo mismo que tú?.
 RULETA BINARIA
.
Una ruleta con dos sectores iguales se llama “ruleta binaria”. Si está bien construida, ambos sectores
tienen la misma probabilidad de salir.
Si jugáis dos compañeros, apostando uno al 0 y otro al 1, y si el primero apuesta dos duros, ¿cuánto
debe apostar el segundo para que el juego sea justo?. ¿En qué relación deben estar las apuestas?.
Si cada jugador hace girar dos ruletas binarias, ¿cuáles son los resultados posibles?. Si un jugador
apuesta por el resultado 00 y otro por “saldrán dos números diferentes”, ¿crees que ambos tienen la
misma posibilidad de ganar?. ¿En qué proporción deben apostar para que el juego sea justo?.
280
Azar
Escribe los resultados posibles con tres ruletas binarias. ¿Por cuál de los resultados siguientes
apostarías?
 “Saldrán tres ceros”.
*
 “Saldrán dos unos y un cero”.
* “Saldrán tres unos”.
“Saldrán dos ceros y un uno”.
 JUEGO EQUIVALENTE
Organización: individual.
Si tiras este dado 300 veces y cada vez que sale cero ganas una ficha, ¿cuántas fichas esperas
ganar?.Puedes pintar una ruleta con los colores blanco y negro que te sirva para jugar al mismo juego.
7. Descripción estadística
 TIEMPO DE GESTACIÓN
El tiempo que transcurre entre la fecundación y el nacimiento se llama tiempo de gestación o
embarazo. En la siguiente figura tienes representado el período de gestación (en semanas) de
algunas especies animales. ¿Sabrías decir cuántas semanas tarda en nacer cada uno de ellos?.
Un gráfico de este tipo recibe el nombre de diagrama de barras.
281
Matemáticas 1º ESO
 AUDIENCIA DE RADIO
Para conocer el número de personas que escuchan la radio (al igual que para obtener muchas otras
informaciones) se realizan encuestas, preguntando a un número reducido de personas, a una
muestra. Después se asigna un porcentaje a la población, partiendo del obtenido en la muestra.
Naturalmente, no habrá seguridad de que tal porcentaje sea el que realmente hay en la población. Por
ello, se calcula el grado de confianza. Finalmente, se publican tablas como la que sigue:
AUDIENCIA DE RADIO POR CADENAS EN 1985
(EN MILES DE OYENTES)
Cadenas
FebreroMayoMarzo
Junio
OctubreNoviembre
SER
6339
6619
6164
RNE
3467
3152
3278
COPE
2620
2472
2651
Antena 3
1299
1454
1271
RCE
848
853
927
Catalana
563
499
504
RATO
503
528
520
Minuto
410
455
404
Para disponer de una imagen visual de la audiencia, representa el número de oyentes de las distintas
emisoras durante los meses de mayo-junio, mediante un diagrama de barras.
¿Hay alguna cadena que haya aumentado su audiencia desde el principio al final del año?. ¿Cambia
mucho el número de oyentes durante el año?. ¿Qué meses son los de mayor audiencia?. ¿Y los de
menor?.
 TU CLASE
Organización: gran grupo.
Vamos a recoger información acerca del número de horas que duermen los alumnos de esta clase.
Vamos a recoger la misma información en otro curso donde los alumnos sean más pequeños que
nosotros para comparar sus resultados con los nuestros y a continuación haremos lo mismo con
nuestros padres.
Tenemos que pensar en una forma conveniente de recoger y organizar los datos para poder trabajar
con ellos y en una forma de presentar los resultados y las conclusiones.
282
Azar
Algunas preguntas para empezar:
a) ¿Crees que los resultados serán casi iguales o crees que habrá diferencias apreciables?.
b) Si hay diferencias, ¿de qué tipo crees que serán?.
 LENGUAS
En una reunión de profesores de matemáticas se hablaba de música e idiomas. Alguien opina que el
inglés es mejor para cantar rock que el castellano, ya que las palabras en inglés son más cortas que
en nuestra lengua. ¿Tú que opinas?.
Te proponemos que compares dos lenguas, por ejemplo inglés y castellano.
Elige al azar dos párrafos de dos libros, uno en la lengua que normalmente hables y otro en el idioma
extranjero que estudies.
a) ¿En qué proporción aparecen las vocales y las consonantes en cada uno de ellos?.
b) ¿En qué proporción aparece cada una de las vocales?.
c) ¿Cuál es la longitud media de las palabras?.
283
Matemáticas 1º ESO
 PREFERENCIAS MUSICALES
a) ¿Coinciden tus gustos musicales con los de tus compañeros?. Recoge información de tu clase
sobre:
 estilos musicales preferidos;
 grupos musicales (extranjeros y nacionales);
 solistas (extranjeros y nacionales).
Expresa la información obtenida en una o varias tablas de doble entrada. Presenta los resultados
en forma de gráficas y diagramas (barras, sectores, pictogramas).
b) Es posible que los datos de tu clase difieran de los de otras (¿o tal vez no?). Para averiguarlo, haz
una encuesta entre los compañeros de tu centro. ¿A cuántos habrá que preguntar para tener cierto
grado de confianza en los resultados ?. ¿Hay que seleccionar pocos alumnos de muchas clases o
muchos alumnos de pocas clases?.
Con la información obtenida, elabora una lista con los diez grupos y los diez solistas musicales
preferidos en tu centro. Presenta los resultados en forma gráfica usando el diagrama que
consideres más apropiado.
8. Revisión
 CHOCOLATE “1234”
Organización: por parejas.
Una marca de chocolate (chocolate “1234”), durante su campaña de lanzamiento, mete un cromo en
cada tableta con uno de los números 1, 2, 3 ó 4.
Cada vez que compras una tableta te sale, pues, uno de esos cuatro números.
La persona que consigue formar el número de la marca de chocolate -1234- recibe como premio una
tableta.
¿Cuántas tabletas habrá que comprar para conseguir el premio?.
284
Azar
 URNA CON OCHO BOLAS
Organización: individual.
Tenemos una urna con ocho bolas idénticas. Cada bola está marcada con un 0 o con un 1. Después
de hacer 300 extracciones con reemplazo hemos obtenido la siguiente serie de resultados:
111110101110111101110110111101
100100001001111001001000110011
100000000110110110110100110011
101111111001010111011110101111
111111011010011111110110001100
011100011101111110111000110000
111111011011011111110001101011
001010111101001111111000111011
111101111011101110110010010100
101101011111001000010011100010
¿Te atreves a decir cuántas bolas llevan 0 y cuántas 1 en la urna?.
 NÚMERO DE HERMANOS
En una clase de 20 alumnos hemos recogido información sobre el número de hermanos, obteniendo
estos resultados:
2, 1, 0, 1, 1, 3, 2, 2, 4, 3, 2, 1, 1, 1, 0, 2, 1, 2, 3, 5
Construye una tabla con el recuento, las frecuencias absolutas y relativas.
Dibuja el diagrama de barras, el gráfico de sectores y un pictograma.
Si elegimos al azar a un alumno de esa clase, ¿cuántos hermanos tendrá por termino medio?.
285
Matemáticas 1º ESO
 MOTOS
Haz un diagrama de barras para representar los datos sobre la matriculación de motos, contenidos en
la siguiente tabla:
“Hit Parade” de ventas
(Matriculaciones por marcas en 1978)
Lugar
Marca
Nº
motos
1
Montesa
10396
2
Bultaco
8767
3
Vespa
7226
4
Ducati
3189
5
Ossa
1751
6
Puch
1697
7
Sanglas
1178
8
Benelli
770
9
Kawasaki
701
10
BMW
699
Si elegimos al azar una moto matriculada en 1978, ¿qué probabilidad hay de que sea de la marca
Montesa?. ¿Y de la marca Bultaco?. ¿Y de la marca Ducati?. ¿Es fácil o difícil que la moto elegida no
sea de la marca Vespa?.
286
Azar
 TEMPERATURAS
Las temperaturas máximas y mínimas de distintas ciudades el día 15 de noviembre de 1986 figuran
en la siguiente tabla:
CIUDADES
MÁXIMA
MÍNIMA
CIUDADES
MÁXIMA
MÍNIMA
Albacete
15
9
Madrid
12
9
Alicante
20
13
Mahón
20
16
Almería
21
15
Málaga
19
13
Ávila
10
7
Melilla
24
14
Badajoz
16
13
Murcia
22
12
Barcelona
20
14
Orense
12
8
Bilbao
20
16
Oviedo
13
12
Burgos
14
7
Palencia
15
7
Cáceres
15
12
Palma
21
16
Cádiz
20
15
Las Palmas
24
15
Castellón
18
11
Pamplona
17
11
Ceuta
20
14
Pontevedra
14
10
Ciudad Real
16
10
Salamanca
13
9
Córdoba
18
13
S. Sebastián
21
13
La Coruña
15
11
S.C. Tenerife
24
17
Cuenca
13
8
Santander
14
14
Gerona
20
13
Santiago
11
8
Gijón
14
8
Segovia
12
8
Granada
16
11
Sevilla
16
14
Guadalajara
13
8
Soria
11
5
Huelva
21
16
Tarragona
18
12
Huesca
17
9
Teruel
15
8
Ibiza
21
18
Toledo
16
10
Jaén
18
13
Valencia
20
13
Lanzarote
23
13
Valladolid
14
8
León
8
7
Vigo
13
8
Lérida
17
10
Vitoria
18
8
Logroño
16
9
Zamora
13
9
Lugo
10
7
Zaragoza
18
10
a) Calcula la media y el rango de las temperaturas máximas.
b) Calcula la media y el rango de las temperaturas mínimas.
287
Matemáticas 1º ESO
 ENCUESTAS
a) Haz una encuesta entre los alumnos de tu clase sobre pesos, tallas y edades (en meses). Para
cada variable calcula la media y el rango.
b) Haz una encuesta entre los compañeros de clase sobre el dinero que gastan semanalmente.
Calcula la media y el rango.
288