Práctica N 6 Modelos de Programación Lineal Entera

Práctica N
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6
Modelos de Programación Lineal Entera
6.1 Una empresa textil fabrica 3 tipos de ropa: camisas, pantalones y shorts. Las máquinas
necesarias para la confección deben ser alquiladas a los siguientes costos:
200$ por semana la máquina de camisas
150$ por semana la máquina de shorts
100$ por semana la máquina de pantalones
Se dispone de 150 horas hombre y 160 m de tela.
Los requerimientos, costos y precio de venta de cada tipo de ropa son los siguientes
Horas Hombre
3
2
6
Camisas
Shorts
Pantalones
m de tela
2
1
3.5
Costo
6
4
8
Precio de Venta
12
8
15
Formular un modelo que maximice las ganancias.
6.2 Una compañı́a usa 5 máquinas (Mi ) para fabricar 3 productos (Pi ). El proceso de cada uno
es el siguiente:
P1 :
P2 :
P3 :
M2 (2horas)
M1 (1hora)
M3 (2horas)
−→
−→
−→
M1 (1 12 hora)
M3 (1hora)
M2 (3horas)
−→
−→
−→
M4 (1hora)
M4 (2horas)
M5 (1hora)
−→
M5 (3horas)
La producción está sujeta a las siguientes restricciones:
Dos máquinas no pueden trabajar simultáneamente en un producto
Cada máquina debe finalizar el proceso en un producto antes de empezar otro
Se requiere formular un modelo que determine el proceso de producción que minimice el
tiempo necesario para procesar todos los productos.
6.3 Una empresa produce 3 tipos de autos: E1 , E2 , E3 . E1 y E2 difieren en muy poco y sólo
se requieren pequeı̈¿ 21 os cambios en el proceso de ensamblado para hacer un modelo u otro.
E3 requiere grandes ajustes en el proceso. Es polı́tica de la empresa, (para evitar continuos
cambios en el proceso de ensamblado) en el caso de producir E1 y/o E2 hacerlo en cantidades
superiores a 100. Los recursos necesarios y el beneficio de cada auto son los siguientes:
E1
E2
E3
Acero(t)
1.5
1.6
5
Horas hombre
35
38
45
Beneficio ($)
2000
2300
4200
Si se dispone de 8000 toneladas de acero y 80000 horas hombre, formular un modelo que
maximice las ganancias.
6.4 Una destilerı́a produce dos tipos de gasolina a partir de dos tipos de petroleo crudo. Cada
galón de GAS1 debe contener al menos 50 % del primer tipo de petroleo y cada galón de
GAS2 debe contener 60 % del mismo. Cada galón de GAS1 puede ser vendido a 12 centavos y
cada galón del GAS2 a 14 ctvs. En la planta hay 500 galones de pretóleo 1 y 1000 de petróleo
2. Se pueden comprar 1500 galones de petroleo 1 a los siguientes precios: los primeros 500
galones a 25ctvs, los siguientes 500 a 20ctvs por galón, los siguientes 500 a 15ctvs por galón.
Formular un problema de P E que sirva para maximizar el beneficio de la empresa.
1
6.5 Un estudiante debe cursar al menos dos materias (Mi ) de cada una de las tres áreas (Ai ) de
su carrera. Las áreas son:
A1 : M 1 , M 2 , M 3 , M 4 , M 5
A2 : M 2 , M 4 , M 5 , M 6
A3 : M 3 , M 6 , M 7
Existen prerrequisitos para cursar las materias:
M1 correlativa de M4
M7 correlativa de M6 y M3
M4 correlativa de M5
Formular un modelo para minimizar el número de materias necesarias para cumplir con los
requisitos.
6.6 Se desea acceder a 5 archivos (Ai ) que se encuentran guardados en 10 discos (Dj )(X significa
que el Ai se encuentra en Dj ):
A1
A2
A3
A4
A5
Costo
D1
X
X
D2
X
D3
D4
X
D5
X
D7
D8
X
D9
X
D10
X
2$
X
2$
X
X
X
X
X
3$
D6
X
5$
1$
X
2$
1$
X
X
X
4$
X
X
3$
1$
a) Formular un modelo que minimice costos.
b) Modificar el modelo si existe la obligación de comprar D2 si se compra D3 y D4 .
c) Modificar el modelo si hay una promoción que al comprar D3 y D5 , D2 viene de regalo.
6.7 Una fábrica de impresoras abastece a 6 ciudades (Ci ). Como una mejora del servicio al
cliente proyecta establecer 2 talleres de reparaciones. Por las leyes impositivas vigentes sólo
las primeras 4 ciudades son candidatas a ser cede de los talleres. Según estudios de mercado
que ha realizado la empresa, en cada ciudad las ventas aumentan si existe un taller de
reparaciones en un radio de 150 km de la misma. Actualmente, ninguna de las ciudades tiene
un taller a menos de 150 km. Cada impresora tiene un costo de 500ysevendea1000. En las
tabla A se muestran las distancias entre las ciudades y en la tabla B los estimados de venta.
Formular un modelo para maximizar ganancias.
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C1
0
222
310
441
47
350
Tabla A
C2
C3
200 310
0
89
89
0
241 146
186 255
123 82
Tabla B
Existe taller en radio 150 km? C1
C2
Si
700 1000
No
500 750
C4
441
241
146
0
376
178
C3
900
700
C4
800
450
C5
400
200
C6
450
300
6.8 Se quieren grabar canciones en un cassette. Cada lado tiene una longitud entre 14 y 16
minutos. La duración de las canciones esta dada en la tabla. Existen ciertas restricciones:
a) Cada lado debe tener exactamente 2 baladas
2
b) El lado 1 debe tener al menos 3 tangos
c) La canción 5 o la 6 debe estar en lado 1
d ) Si las canciones 2 y 4 están en lado 1, entonces la canción 5 debe ir al lado 2
Explicar (usando ppl entera) si existe manera de satisfacer las restricciones.
Canciones
1
2
3
4
5
6
7
8
Tipo
Balada
Tango
Balada
Tango
Balada
Tango
Clásico
tango/balada
Duración
4
5
3
2
4
3
5
4
6.9 Un centro de conferencias tiene tres salones de 50 asientos, dos de 100 y dos de 150. El costo
de los salones es de 100 veces la cantidad de horas pedidas. Los pedidos de salones son:
Cantidad de asientos
50
150
100
50
Horario
14-17 hs
13-16hs
17-18hs
13-15hs
Cantidad de salones
3
1
1
2
Se debe decidir como asignar los salones teniendo en cuenta que en la tabla se informa en
cuanto se multiplica el costo original que debe pagarse por asignar salones más grandes a los
pedidos.
asientos
pedidos
50
100
150
salón asignado
50 100 150
1
2
4
no
1
1
no no
1
6.10 Sea la siguiente red:
2
6 - 4u
u
H
*
@
HH
@
3HH
3
ju
H
u
@
1 H
* 6
H 6
5
4
2
@
HH
@
H
R
@
ju
H
u 3
3
5
Formular un PPL entero para encontrar el camino más corto entre 1 y 6.
6.11 Sea un tablero de ajedrez de 4x4 casillas. Formular un modelo para:
a) Maximizar el número de reinas de tal manera que ninguna ataque a otra.
b) Minimizar el número de reinas de tal manera que toda casilla quede atacada por lo
menos por una reina.
6.12 Supongamos que un PPL tiene las restricciones
x1 + 5x2 + 8x3 ≤ 40
x1 , x2 , x3 ≥ 0
y además 2x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 12 ó x1 + x2 + x3 ≤ 3
Formular el problema como un PPL entero.
3
6.13 Escribir un ppl entero para el siguiente problema
3 x1 +4x2 −3x3
Max
x1 + x2 +4x3 ≤60
s.a.
− x1 +2x2 + x3 ≥12
2 x1 + x2 +3x3 ≤ 7
x1 ,
x3 ≥ 0
x2 ,
y si x2 + x3 > 0 entonces x1 + x3 ≤ 54
6.14 Supongamos que u y v son variables binarias. Deducir desigualdades o igualdades que aseguren que:
a) Exactamente una variable vale 1
b) Al menos una variable vale 1
c) Si u = 1 entonces v = 1
d ) Si v = 0 entonces u = 0
6.15 Los costos de envı́o de encomiendas entre dos ciudades varı́an según el peso:
Peso
menos de 5 kg
más de 5 kg y a lo sumo 15 kg
más de 15 kg y a lo sumo 25 kg
Costo
2$
5$
7.5$
Modelizar una función objetivo que pueda ser usada en un PPL entero.
6.16 Cómo se podrı́a usar programación entera para resolver el siguiente problema:
Max
3x2 +y 2 + 2xy
x+ y ≤
s.a.
1
x, y ∈ {0, 1}
6.17 Una compañı́a farmaceutica debe determinar cuantos visitadores médicos debe asignar a
cada uno de 4 distritos de ventas. El costo de tener n visitadores en un distrito es 88000$ +
80000$ n. La siguiente tabla muestra el tiempo en horas que le lleva a un representante que
tiene su base en un distrito dado visitar a un doctor de otro distrito.
Distr1
Distr2
Distr3
Distr4
Distr 1
1
4
5
7
Distr2
4
1
3
5
Distr3
5
3
1
2
Distr4
7
5
2
1
Cada visitador trabaja hasta 160 hrs por mes. La siguiente tabla muestra cuantos doctores
se deben visitar en cada distrito.
Distrito
1
2
3
4
Nro. De Llamadas
50
80
100
60
4
Determinar cuantos visitadores se deben asignar a cada distrito para minimizar los costos.
Resolver con LINDO.
6.18 La compañı́a QED debe diseñar un programa de producción para las próximas 9 semanas.
Cada trabajo dura varias semanas y una vez que se empezó no puede interrumpirse. Cada
semana se requiere un cierto número de trabajadores calificados para trabajar full-time en
un trabajo. Entonces si el trabajo i dura pi semanas, se requieren li,u trabajadores en las
semanas u con u = u1 , . . . , upi . En la semana t hay Lt trabajadores disponibles. Abajo se
muestra una tabla tı́pica de cómo son los datos que se tienen para planificar.
Trabajo
1
2
3
4
5
Duración
3
2
4
4
3
Sem1
2
4
2
3
9
Sem2
3
5
4
4
2
Sem3
1
0
1
2
3
Sem4
0
0
5
2
0
a) Formular el problema de encontrar un programa de producción factible.
b) Formular un PLE para minimizar el máximo número de trabajadores usados por semana.
c) Agregar la restricción de que el trabajo 1 debe empezar al menos 2 semanas antes que
el trabajo 3.
d ) Agregar la restricción de que el trabajo 4 debe empezar no más de una semana después
del trabajo 5.
e) Agregar la restricción de que los trabajos 1 y 2 no pueden hacerse al mismo tiempo
porque necesitan la misma máquina.
6.19 Formular un modelo de PLE para el siguiente problema de diseño de una red de comunicaciones a costo mı́nimo. Se tiene un conjunto V de lugares que tienen que estar interconectados
por la red y un costo fijo cl asociado a la instalación de un link entre cada par de localidades
entre las cuales es posible ponerlo. Hay requerimientos de supervivencia en los nodos de la
red expresados de la siguiente forma: para cada par de nodos s y t de V , la red tiene que
tener rst = mı́n{rs , rt } caminos disjuntos en los nodos entre s y t.
6.20 Dadas las siguientes formulaciones para un conjunto X ⊂ B 4 decidir si hay alguna que sea
mejor que las demás. Demostrar.
P1 = {x ∈ R4 /97x1 + 32x2 + 25x3 + 20x4 ≤ 139; 0 ≤ x ≤ 1}
P2 = {x ∈ R4 /2x1 + x2 + x3 + x4 ≤ 139; 0 ≤ x ≤ 1}
P3 = {x ∈ R4 /x1 + x2 + x3 ≤ 2; x1 + x2 + x4 ≤ 2; x1 + x3 + x4 ≤ 2; 0 ≤ x ≤ 1}
6.21 Formular como P E los siguientes problemas:
a) Problema de las N reinas.
b) Árbol generador mı́nimo en un grafo conexo (o bosque en un grafo no conexo).
6.22 Supongamos que una persona está interesada en elegir entre un conjunto de inversiones (Ii )
y quiere hacer un modelo 0-1 para tomar la decisión. Modelar las siguientes restricciones:
a) No se puede invertir en todas.
b) Hay que elegir al menos una de ellas.
c) Si se elige I3 no se puede elegir I1 .
d ) La inversión I4 se puede elegir sólo si se elige la I2 .
e) O se eligen las inversiones I2 y I5 o ninguna de las dos.
f ) Se puede elegir al menos una de las inversiones I1 ,I2 ,I3 o al menos 2 de entre I2 ,I4 ,I5 ,I6 .
5