El error estándar de un estimador T de un parámetro

EL ERROR ESTÁNDAR
Un mismo estimador ofrece distintos valores para distintas muestras del
mismo tamaño extraídas de la misma población. Por lo tanto deberíamos tener
una medida de la variabilidad del estimador respecto del parámetro que se trata de
estimar. Esta variabilidad se mide en términos de la desviación estándar del
estimador, la cual recibe el nombre de error estándar.
El error estándar de un estimador T de un parámetro
estándar del estimador.
es la desviación
Así por ejemplo, si tomamos X como estimador de  , entonces el error
estándar está dado por  X 

n
.
Error de estimación es el valor absoluto de la diferencia entre una
estimación particular y el valor del parámetro.
En realidad por cada valor estimado del parámetro se tiene un error de
estimación por lo general diferente. Sin embargo, es posible fijar un intervalo
dentro del cual se encontrarán la mayoría de los valores de error de estimación
para un estimador y parámetro dados.
En la tabla siguiente se dan las fórmulas de los errores de estimación para
algunos estimadores y los estimadores para tales errores. Los estimadores se
usan cuando los parámetros que se incluyen en las fórmulas de los errores de
estimación son desconocidos.
PARÁMETRO
MEDIA
PROPORCION
p
ESTIMADOR
ERROR ESTÁNDAR
X 
p 

n
p(1  p)
n
ESTIMADOR DEL ERROR
Nivel de confianza y valor de Z
1 .
Z /2
99
2.576
95
1.960
90
1.645
85
1.439
80
1.282
Para tamaños de muestra n>30, o  conocida usar la distribución Normal
Para muestras de menor tamaño, o  desconocida usar la distribución t
INTERVALOS DE CONFIANZA PARA
POBLACIÓN NORMAL
MEDIA
Z 1 /2
X
Z 1 /2
X
Z 1 /2
s
n
X
Z 1 /2
s
n
X
t
VARIANZA POBLACIONAL
CONOCIDA, N FINITA Y
n
 0.05
N
VARIANZA POBLACIONAL
CONOCIDA, N INFINITA 0

X
n
N n
N 1

n
n
 0.05
N
POBLACIONAL
POBLACIÓN NORMAL
VARIANZA POBLACIONAL
DESCONOCIDA   s Y n

 30, N FINITA Y
n
 0.05
N
VARIANZA POBLACIONAL
DESCONOCIDA   s Y n
 30, N FINITA Y
n
 0.05
N
VARIANZA POBLACIONAL
DESCONOCIDA   s Y
n  30
DIFERENCIA
POBLACIONES NORMALES
INDEPENDIENTES.
VARIANZAS CONOCIDAS.
POBLACIONES NORMALES
INDEPENDIENTES.
DE
MEDIAS
PROPORCIÓN
P
VARIANZAS IGUALES
DESCONOCIDAS
SE RECOMIENDA EL USO DE
ESTA FÓRMULA EN
MUESTRAS DE TAMAÑO
GRANDE n>30
s
n
N n
N 1
DIFERENCIA DE SE RECOMIENDA EL USO DE
ESTA FÓRMULA EN
PROPORCIONES
MUESTRAS DE TAMAÑO
GRANDE n>30
VARIANZA
POBLACIONES NORMALES
COCIENTE DE
VARIANZAS
MUESTRAS
INDEPENDIENTES DE
POBLACIONES NORMALES
;
b=
EJERCICIOS SOBRE EL ERROR ESTÁNDAR
1. Una agencia de encuestas selecciona 900 familias y calcula la proporción
de éstas que utilizan cierta marca de detergente. Si la proporción
estimada es 0.35 ¿Cuál es el error estándar estimado?
Sol. 0.016
2. En el estudio de cierta característica X de una población se sabe que la
desviación estándar es 3. Se va a escoger una muestra de tamaño 100,
halle el error estándar de la media muestral.
Sol. 0.3
3. Se escogió al azar una muestra de 10 niños de una escuela y se les
preguntó el número de veces que habían utilizado el baño durante las
horas de clases. Los resultados fueron los siguientes: 0, 4, 2, 3, 2, 0, 3, 4,
1, 1. Estime el error estándar del número de veces promedio que los
niños de la escuela usan el baño durante las horas de clases.
Sol. 0.4714
EJERCICIOS SOBRE ESTIMACIÓN POR INTERVALOS.
1. Una muestra aleatoria de 36 cigarrillos de una determinada marca dio un
contenido promedio de nicotina de 3 miligramos. El contenido en nicotina
de estos cigarrillos sigue una normal con una desviación estándar de 1
miligramo. a) Obtenga e interprete un intervalo de confianza del 95% para
el verdadero contenido promedio de nicotina en estos cigarrillos. b) El
fabricante garantiza que el contenido promedio de nicotina es 2.9
miligramos, ¿qué puede decirse de acuerdo con el intervalo hallado?
Sol. [2.67, 3.33].
No podemos descartar lo afirmado por el fabricante ya que el valor 2.9 se
encuentra dentro del intervalo
2. Los siguientes números representan el tiempo (en minutos) que tardaron
15 estudiantes en familiarizarse con el manejo de una nueva instrucción
de cierta calculadora: 3.4, 2.8, 4.4, 2.5, 3.3, 4, 4.8, 2.9, 5.6, 5.2, 3.7, 3.0, 3.6,
2.8, 4.8. Supongamos que los tiempos se distribuyen normalmente.
A) Determina e interpreta un intervalo del 95% de confianza para el
verdadero tiempo promedio.
B) El instructor considera que el tiempo promedio requerido por los
alumnos es mayor que 5 minutos, ¿qué se puede decir de acuerdo con el
intervalo hallado?
Sol. [3.26 , 4.34].
La apreciación del instructor no parece correcta ya que el valor 5 minutos
se encuentra fuera del intervalo.)
3. Queremos medir la diferencia en ventas entre dos categorías de
empleados. Una está formada por personas con título superior y la otra
por personas con estudios secundarios. Tomamos una muestra de 45
empleados del primer grupo y la media de ventas resulta ser 32.
Tomamos una muestra de 60 empleados del segundo grupo y la media
obtenida es 25. Supongamos que las ventas de los dos grupos siguen
una normal con varianza 48 para el primer grupo y de 56 para el segundo.
A) Calcula un intervalo del 90% de confianza para la verdadera diferencia
de las medias.
B) De acuerdo con el intervalo hallado, ¿hay evidencia de que las ventas
medias de los grupos son iguales?
Sol.[4.67,9.33].
El hecho de que las medias sean iguales quiere decir que la diferencia de
las medias es 0. Como el 0 no está contenido en el intervalo, no hay
evidencia de que se de la igualdad.)
4. Se desea saber si hay diferencia entre el tiempo (en minutos) que tardan
los alumnos del grupo A y los del grupo B en resolver un problema
matemático. Tomamos una muestra de 14 alumnos de A y obtenemos una
media muestral de 17 minutos y una varianza muestral de 1.5. Tomamos
una muestra de B de 25 alumnos obteniendo la media muestral de 19 y la
varianza muestral de 1.8. Suponemos que los tiempos para los dos
grupos se distribuyen normalmente y que las varianzas son iguales
aunque desconocidas.
A) Calcula un intervalo de confianza del 99% para la verdadera diferencia
de las medias.
B) De acuerdo con el intervalo hallado, ¿hay evidencia de que los dos
tiempos promedios son iguales?(
Sol. [0.83, 3.17].
Como el cero no está contenido en el intervalo, no hay evidencia de que
los tiempos sean iguales.)
5. Una marca de lavadoras quiere saber la proporción de amas de casa que
preferirían usar su marca. Toman al azar una muestra de 100 amas de
casa y 20 dicen que la usarían. Calcula un intervalo de confianza del 95%
para la verdadera proporción de amas de casa que preferirían dicha
lavadora.
Sol. [0.122 , 0.278].
6. Se desea cambiar una máquina en una cadena de producción. Se toman
muestras con la máquina actual y con la nueva máquina para determinar
si se van a producir mejoras en el sistema. 75 de 1.000 artículos del
procedimiento actual presentaron defectos y lo mismo sucedió con 80 de
2.500 partes del nuevo, determine un intervalo de confianza del 90% para
la verdadera diferencia de proporciones de partes defectuosas.
Sol. [0.0281, 0.0579]).
7. Un fabricante de baterías para automóvil asegura que las baterías que
produce duran en promedio 2 años, con una desviación típica de 0.5
años. Si 5 de estas baterías tienen duración 1.5, 2.5, 2.9, 3.2 y 4 años,
determine un intervalo de confianza del 95% para la varianza e indique si
es válida la afirmación del fabricante.
(Sol. [0.3 , 7]. Como el valor garantizado por el fabricante queda fuera del
intervalo rechazamos dicha afirmación.)
8. Determina un intervalo de confianza del 90% para el cociente de varianzas
tomando los datos del ejercicio 4.
( Sol. [0.552 , 2.904])
EJERCICIOS SOBRE EL TAMAÑO DE LA MUESTRA.
1. Queremos ajustar una máquina de refrescos de modo que el promedio del
líquido dispensado quede dentro de cierto rango. La cantidad de liquido
vertido por la máquina sigue una distribución normal con desviación
estándar 0.15 decilitros. Deseamos que el valor estimado que se vaya a
obtener comparado con el verdadero no sea superior a 0.2 decilitros con una
confianza del 95%.¿De qué tamaño debemos escoger la muestra?(Sol.
N=217).
2. Es necesario estimar entre 10.000 establos, el número de vacas lecheras
por establo con un error de estimación de 4 y un nivel de confianza del 95%.
Sabemos que la varianza es 1.000. ¿Cuántos establos deben visitarse para
satisfacer estos requerimientos? (Sol. Como sabemos que hay 10.000
establos, tendremos que usar la fórmula en la que interviene el tamaño de la
población y obtenemos n=235).
3. Una máquina llena cajas con cierto cereal. El supervisor desea conocer
con un error de estimación de máximo 0.1 y un nivel de confianza del 90%,
una media estimada del peso. Como la varianza era desconocida se procedió
a escoger una muestra piloto. Los resultados fueron los siguientes: 11.02,
11.14, 10.78, 11.59, 11.58, 11.19, 11.71, 11.27, 10.93, 10.94. ¿Cuántas cajas
debe escoger para que se cumplan los requisitos propuestos?(Sol. Debemos
tomar la varianza estimada y al ser n<30 el valor de t, al sustituir en la
fórmula obtenemos n=34).
4. Se desea conocer el peso promedio de una determinada clase de pescado
con un error de estimación de 0.02 y con un nivel de confianza del 99%. Por
datos anteriores se sabe que el peso mínimo es 1.48 libras y el máximo es de
2.47 libras.¿De qué tamaño debe escoger la muestra? Suponga que los
pesos de estos pescados se distribuyen normalmente.(Sol. No conocemos la
varianza pero la podemos estimar a partir de la fórmula A/4. Al sustituir en la
fórmula obtenemos n=1015)
5. Se desea hacer una encuesta para determinar la proporción de familias
que carecen de medios económicos para atender los problemas de salud.
Existe la impresión de que esta proporción está próxima a 0.35. Se desea
determinar un intervalo de confianza del 95% con un error de estimación de
0.05. ¿De qué tamaño debe tomarse la muestra?(Sol. N=350 ).
6. Un productor de semillas desea saber con un error de estimación del 1%
el porcentaje de semillas que germinan en la granja de su competidor. ¿Qué
tamaño de muestra debe tomarse para obtener un nivel de confianza del
95%?(Sol. Como no tenemos ninguna estimación de la proporción,
tomaremos 0.5 y así obtenemos n=9.604)
7. Se desea realizar una encuesta entre la población juvenil de una
determinada localidad para determinar la proporción de jóvenes que estaría
a favor de una nueva zona de ocio. El número de jóvenes de dicha población
es N=2.000. Determinar el tamaño de muestra necesario para estimar la
proporción de estudiantes que están a favor con un error de estimación de
0.05 y un nivel de confianza del 95%.(Sol. Como no nos dan ninguna
estimación de la proporción, tomaremos 0.5. El valor de n es 322).