Universidad de Navarra Nafarroako Unibertsitatea Escuela Superior de Ingenieros Ingeniarien Goi Mailako Eskola ASIGNATURA GAIA MECANICA II CURSO KURTSOA NOMBRE IZENA FECHA DATA 2 14/05/2007 EJERCICIO. Una barra AB, de masa M y longitud L, está articulada en A y atada a un hilo inextensible en B. A su vez, dicho hilo está arrollado a una polea sin masa y de dimensiones despreciables C y atada a un muelle, de constante elástica K, del que cuelga una masa puntual M. El muelle se mantiene siempre vertical y el movimiento de la masa sólo es hacia arriba o hacia abajo. 1. Obtener M1 para que la posición representada corresponda al equilibrio estable del sistema. 2. Calcular la energía cinética reducida del sistema. A C 45º M, L B M1 © TECNUN, 2007 D RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO.Para hallar la posición de equilibrio estable basta con aislar la barra y tomar momentos del peso y la tensión en el punto A, hallando de esta manera la tensión en el cable. La tensión en el cable iguala a la fuerza del muelle, que a su vez es igual al peso de la masa colgante (por equilibrio del bloque). Resulta ser entonces: M1g = T = 2 Mg 4 ⇒ M1 = 2 M 4 El sistema tiene dos grados de libertad. Para el cálculo de la energía cinética reducida, lo más fácil es tomar como grados de libertad: • ϕ: giro de la barra AB (medido desde la posición de equilibrio estable) • x: descenso de la masa puntual (medido desde la posición de equilibrio estable) Con estos grados de libertad, la energía cinética será: Tbarra = 1 11 2 2 1 2 2 IA ω2 = ML ϕ = ML ϕ 2 23 6 Tmasa = 1 1 2 2 2 M1vD = M1x 2 = Mx 2 2 8 T = 1 2 2 2 2 ML ϕ + Mx , que es directamente la energía cinética reducida del sistema. 6 8 (La energía cinética reducida se obtiene particularizando la energía cinética para la posición de equilibrio estable). Alternativa: El problema es ligeramente diferente si se toman como grados de libertad el giro de la barra AB (ϕ) y el alargamiento del muelle (x), a partir de la posición de equilibrio estable. La energía cinética de la barra no cambia: Tbarra = 1 11 2 2 1 2 2 IA ω2 = ML ϕ = ML ϕ 2 23 6 G G − j) Pero en el caso de la de la masa, la velocidad de la misma es ahora: vD = (Lϕ + x)( (Debe tenerse en cuenta lo que bajaría D si el muelle no existiera, más lo debido al alargamiento del muelle). En estas circunstancias: Tmasa = T = 1 1 2 2 M1vD = M1(x + Lϕ )2 = M(x + Lϕ )2 2 2 8 1 2 2 2 ML ϕ + M(x + Lϕ )2 6 8 Que es también, directamente, la energía cinética reducida del sistema. © TECNUN, 2007