mecanica ii

Universidad de Navarra
Nafarroako Unibertsitatea
Escuela Superior de Ingenieros
Ingeniarien Goi Mailako Eskola
ASIGNATURA GAIA
MECANICA II
CURSO KURTSOA
NOMBRE IZENA
FECHA DATA
2
14/05/2007
EJERCICIO.
Una barra AB, de masa M y longitud L, está articulada en A y atada a un hilo inextensible
en B. A su vez, dicho hilo está arrollado a una polea sin masa y de dimensiones
despreciables C y atada a un muelle, de constante elástica K, del que cuelga una masa
puntual M. El muelle se mantiene siempre vertical y el movimiento de la masa sólo es hacia
arriba o hacia abajo.
1. Obtener M1 para que la posición representada corresponda al equilibrio estable del
sistema.
2. Calcular la energía cinética reducida del sistema.
A
C
45º
M, L
B
M1
© TECNUN, 2007
D
RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO.Para hallar la posición de equilibrio estable basta con aislar la barra y tomar momentos del
peso y la tensión en el punto A, hallando de esta manera la tensión en el cable. La tensión
en el cable iguala a la fuerza del muelle, que a su vez es igual al peso de la masa colgante
(por equilibrio del bloque). Resulta ser entonces:
M1g = T =
2
Mg
4
⇒
M1 =
2
M
4
El sistema tiene dos grados de libertad. Para el cálculo de la energía cinética reducida, lo
más fácil es tomar como grados de libertad:
• ϕ: giro de la barra AB (medido desde la posición de equilibrio estable)
• x: descenso de la masa puntual (medido desde la posición de equilibrio estable)
Con estos grados de libertad, la energía cinética será:
Tbarra =
1
11 2 2 1 2 2
IA ω2 =
ML ϕ = ML ϕ
2
23
6
Tmasa =
1
1
2 2
2
M1vD
= M1x 2 =
Mx
2
2
8
T =
1 2 2
2 2
ML ϕ +
Mx , que es directamente la energía cinética reducida del sistema.
6
8
(La energía cinética reducida se obtiene particularizando la energía cinética para la posición
de equilibrio estable).
Alternativa: El problema es ligeramente diferente si se toman como grados de libertad el
giro de la barra AB (ϕ) y el alargamiento del muelle (x), a partir de la posición de equilibrio
estable.
La energía cinética de la barra no cambia: Tbarra =
1
11 2 2 1 2 2
IA ω2 =
ML ϕ = ML ϕ
2
23
6
G
G
− j)
Pero en el caso de la de la masa, la velocidad de la misma es ahora: vD = (Lϕ + x)(
(Debe tenerse en cuenta lo que bajaría D si el muelle no existiera, más lo debido al
alargamiento del muelle).
En estas circunstancias: Tmasa =
T =
1
1
2
2
M1vD
= M1(x + Lϕ )2 =
M(x + Lϕ )2
2
2
8
1 2 2
2
ML ϕ +
M(x + Lϕ )2
6
8
Que es también, directamente, la energía cinética reducida del sistema.
© TECNUN, 2007