1 - FCEIA

Teoría de Sistemas y Señales
Transparencias:
Análisis de Sistemas LE en TD
en el Dominio Transformado Z
Autor: Dr. Juan Carlos Gómez
Análisis de Sistemas LE en TD en el
Dominio Transformado Z
1. Transformada Z Bilateral
X(z) =
∞
∑ x(n ) z
−n
= Z[x (n )]
n = −∞
z: variable compleja
x(n): señal en tiempo discreto
• La transformada Z (serie infinita) existe para los valores
de la variable z donde la serie converge. La región se
denomina Región de Convergencia (RDC).
• Las señales de duración finita tienen como RDC a todo el
plano complejo (exceptuando posiblemente z=0 y/o z→∞)
TeSyS
2
Ejemplo:
n
⎛1⎞
x (n ) = ⎜ ⎟ µ (n )
⎝2⎠
Vemos que x(n) posee duración infinita
La transformada Z resulta:
∞
X(z) = Z[ x (n )] = ∑
n=0
n
∞
⎛ 1 ⎞ −n
⎛ 1 −1 ⎞
⎜ ⎟ z =∑ ⎜ z ⎟
⎠
⎝2⎠
n=0 ⎝ 2
n
que es una serie geométrica. La serie converge para:
1 −1
1
z <1 ⇔ z >
2
2
La serie converge al valor:
TeSyS
1
1 −1
1− z
2
3
Es decir, que la Transformada Z de x(n) es:
1
1
X(z ) =
RDC : z >
1 −1
2
1− z
2
X(z) es una representación alternativa, compacta, de la
señal x(n)
Gráficamente, la RDC es:
Im(z)
Re(z)
0 1/2
TeSyS
4
• Región de Convergencia
∞
X(z) =
∑
x (n ) z − n
n = −∞
Expresando la variable z en forma polar, tenemos:
z = r . e jφ
donde:
r= z
φ = ∠z
entonces:
X(z) =
∞
∑
z -n
x (n ) r − n . e − jφ n
n = −∞
En la región de convergencia de X(z) es:
X(z) < ∞
TeSyS
5
Es decir:
X(z) =
∞
∑
x (n ) r − n . e − j φ n ≤
∞
∑
x (n ) r − n . e − j φ n
n = −∞
n = −∞
=
∞
∑
x (n ) r − n
n = −∞
<∞
Hallar la RDC es hallar el rango de valores de r para el
cuál la secuencia x(n) r-n es absolutamente sumable
La RDC es usualmente una región anular
r2 < rc (z ) < r1
Si la señal es causal
→ RDC: Exterior de un círculo
Si la señal es anticausal → RDC: Interior de un círculo
TeSyS
6
2. Transformada Z inversa
X ( z) =
∞
∑ x(k ) z
−k
k = −∞
X ( z) z
n −1
=
∞
∑ x(k ) z
n −1 − k
k = −∞
Considerando la siguiente RDC:
RDC
Im(z)
C
TeSyS
Re(z)
7
Integrando ambos miembros de la expresión anterior
sobre el contorno C
n −1
X
(
z
)
z
dz = ∫
∫
∞
∑
x (k ) z n −1− k dz =
n −1− k
(
)
x
k
z
dz
∑ ∫
k = −∞
C k = −∞
C
∞
C
Como la serie converge en el contorno C
(C está dentro de la RDC)
Recordando el Teorema de Cauchy resulta:
y por lo tanto:
⎧1 k = n
1
n −1− k
z
dz = ⎨
∫
2π j
0 k≠n
⎩
C
1
n −1
(
)
x (n ) =
X
z
z
dz
∫
2π j
C
TeSyS
Transformada
Z Inversa
8
3. Propiedades de la Transformada Z
• Linealidad
Z[a x1 (n ) + b x 2 (n )] = a Z[x1 (n )] + b Z[x 2 (n )]
• Corrimiento en tiempo
Z[x (n − k )] = z − k Z[x (n )]
• Escalado en el Dominio Z
Z[a n x (n )] = X(a −1 z )
donde X(z ) = Z[x (n )]
TeSyS
9
• Reversión de Tiempo
Z[x (− n )] = X(z −1 )
con X(z ) = Z[x (n )]
• Derivada en el Dominio Z
d X(z )
Z[n x (n )] = − z
dz
con X(z ) = Z[x (n )]
• Convolución de 2 secuencias
Z[x1 (n ) ∗ x 2 (n )] = Z[x1 (n )] . Z[x 2 (n )]
•Teorema del Valor Inicial
Si x(n) es causal (es decir x(n)=0 ∀ n<0)
x (0) = lim X(z )
TeSyS
z→∞
10
4. Transformadas Z Racionales
N(z )
X(z ) =
D(z )
-1
polinomios en z (o z)
M
b 0 + b1 z −1 + K + b M z − M
=
X(z ) =
−1
−N
a 0 + a1 z + K + a N z
−k
b
z
∑ k
k =0
N
−k
a
z
∑ k
k =0
ceros de X(z): valores de z tal que X(z)=0
polos de X(z): valores de z tal que X(z)→∞
X(z ) = z N − M
TeSyS
b 0 z M + b1z M −1 + ... + b M
a 0 z N + a1z N −1 + ... + a N
11
M
X(z ) = K z
N−M
∏ (z − z )
i
i =1
N
∏ (z − p )
b0
con K =
a0
j
j=1
M ceros finitos
N polos finitos
z1 , z2 , ... , zM
p1 , p2 , ... , pN
N-M ceros en el origen si N>M
M-N polos en el origen si M>N
TeSyS
12
5. Ubicación de polos y Comportamiento Temporal
1
Señal causal x (n ) = a µ (n ) ↔ X(z ) =
1 − a z −1
n
x(n)
RDC : z > a
x(n)
Plano z
Plano z
...
0
1
0
n
x(n)
Plano z
...
0
1
0
n
x(n)
Plano z
...
0
1
0
n
x(n)
Plano z
...
0
1
0
x(n)
Plano z
...
0
TeSyS
1
0
n
n
...
0
1
0
n
13
−1
a
z
RDC : z > a
Señal causal x (n ) = n a n µ (n ) ↔ X(z ) =
2
(1 − a z −1 )
x(n)
x(n)
Plano z
Plano z
...
0
1
0
n
x(n)
Plano z
...
0
1
0
n
x(n)
Plano z
...
0
1
0
n
x(n)
Plano z
...
0
1
0
x(n)
Plano z
...
0
TeSyS
1
0
n
n
...
0
1
0
n
14
6. Función Transferencia Z
u(n)
y(n)
h(n)
y(n ) = h (n ) ∗ u (n )
Z
Y(z ) = H(z ) .U(z )
H(z ) = Z[ h (n ) ]
H(z) =
∞
∑ h(n ) z
n = −∞
TeSyS
Función Transferencia Z
−n
Y(z )
=
U(z )
C.I.nulas
15
Para un sistema descripto por una ecuación en diferencias:
N
M
k =1
k=0
y(n ) = −∑ a k y(n − k ) + ∑ b k u (n − k )
Z (C.I. nulas)
N
M
k =1
k=0
Y(z) = −∑ a k Y(z ) z − k + ∑ b k U(z ) z − k
N
Y(z)
[ 1+ ∑
k =1
M
a k z −k
] = U(z ) [ ∑
k=0
b k z −k
]
M
Y(z)
=
H(z ) =
U(z )
∑
k=0
N
b k z −k
1 + ∑ a k z −k
Transferencia
Z Racional
k =1
TeSyS
16
Casos especiales
• ak = 0 , ∀k
M
H(z) = ∑ b k z − k
k=0
1
= M
z
M
∑
k=0
bk z M −k
M ceros → determinados por los coeficientes bk
1 polo de orden M en z= 0
El sistema es FIR(Finite Impulse Response)
1≤k≤M
• bk = 0 , para
H(z ) =
b0
N
1 + ∑ a k z −k
k =1
=
b0 z N
N
∑
k=0
con a 0 = 1
a k z N−k
N polos → determinados por los coeficientes ak
1 cero de orden N en z= 0
TeSyS
17
Casos especiales (continuación)
El sistema anterior es IIR. Para ver esto calculemos h(n)
H(z )
=
z
b0 z
N −1
=
N
∑
k=0
a k z N −k
b0 z
N
N −1
N
∏ (z − p )
=∑
k =1
αk
(z − p k )
k
k =1
Expansión en
fracciones simples
Luego:
N
H (z ) = ∑
k =1
αk
(1 − p z )
k
−1
Z-1
N
⎯
⎯→ h(n ) = ∑ α k pk µ (n )
n
k =1
Está definida para infinitos valores de n ⇒ IIR
TeSyS
18
7. Cálculo de la Transformada Z inversa
1
n −1
(
)
x (n ) =
X
z
z
dz
∫
2π j
C
C: contorno cerrado que encierra al origen y está dentro
de la RDC de X(z)
• Evaluación directa de la integral de contorno
Métodos de
Resolución
• Expansión en serie de potencias en z y z -1
• Expansión en Fracciones Simples
+ Tabla de pares Transf. - Transf. Inversa
TeSyS
19
Evaluación directa de la integral de Contorno
Por el Teorema de los Residuos de Cauchy
1
2π j
∫
C
f (z )
dz =
z − z0
⎧ f ( z0 ) si z0 interior a C
⎨
si z0 exterior a C
⎩0
f(z) derivable sobre y en el interior del contorno C y
sin polos en z = z0
En su forma más general:
1
2π j
∫
C
N
f (z )
dz = ∑ Ai ( zi )
g (z )
i =1
f (z )
con Ai (z ) = ( z − zi )
g (z )
f(z) no tiene polos en el interior de C
g(z) es un polinomio con raíces distintas z1, z2 , .... , zN
dentro de C
TeSyS
20
{Ai(zi)} Residuos correspondientes a los polos
z1, z2 , .... , zN
Aplicado al cálculo de la transformada Z inversa se tiene:
1
n −1
n −1
(
)
[
(
)
x (n ) =
X
z
z
dz
=
residuo
de
X
z
z
en z = z i ]
∑
∫
2π j C
todos los polos
zi interiores a C
Ejemplo:
1
X(z ) =
1 − a z −1
RDC : z > a
(Hacerlo)
TeSyS
21
Expansión en Serie de Potencias
Expandimos X(z) como:
X(z) =
∞
∑
n = −∞
c n z −n
que converge en la RDC de X(z). Por la unicidad de la
Transformada Z
x (n ) = c n
TeSyS
∀n
22
Expansión en Fracciones Simples
Expresamos X(z) como la combinación lineal
K
X(z) = ∑ α i X i (z )
i =1
donde los Xi(z) tienen transformada inversa conocida xi(n)
Entonces por linealidad:
K
x (n ) = ∑ α i x i (n )
i =1
TeSyS
23
8. Transformada Z Unilateral
∞
X + (z) = ∑ x (n ) z − n
n=0
X+(z) : No contiene información de x(n) para n < 0
X+(z) : Es única sólo para señales causales
Ejemplo:
{
}↔
Z
x (n ) = { 2 , 4 , 5 , 7 , 0 ,1} ↔
x1 (n ) = 1, 2 , 5 , 7 , 0 ,1
↑
2
↑
Z
X1+ (z ) = 5 + 7 z −1 + z −3
X 2+ (z ) = 5 + 7 z −1 + z −3
Z + [x (n )] = Z[x (n )µ (n )]
Como x(n)µ(n) es causal, la RDC de X+(z) es el exterior
de un círculo
TeSyS
24
Propiedades de la X+(z)
Posee las mismas propiedades de la X(z), exceptuando la
propiedad de corrimiento en el tiempo
Caso 1: Retardo de Tiempo
x (n ) ←→ X + (z )
x(n − k ) ←→ z
[
−k
X
+
k
(z ) + ∑ x(− n ) z ]
n
, k >0
n =1
En el caso en que x(n) sea causal, entonces
x (n − k ) ←→ z − k X + (z )
Caso 2: Avance de Tiempo
x (n ) ←→ X + (z )
x(n + k ) ←→ z
TeSyS
k
[
X
+
k −1
(z ) − ∑ x(n ) z ]
n =0
−n
, k >0
25
Teorema del Valor Final
Si x (n ) ←→ X + (z )
entonces :
lim x (n ) = lim (z − 1) X + (z )
n→∞
z →1
El límite existe si la RDC de (z - 1) X+(z) incluye al circulo
unitario
Ejemplo:
La respuesta al impulso de un SLE relajado es:
h (n ) = α n µ (n )
Determine el valor de la respuesta al escalón cuando n→∞
TeSyS
26
Tenemos:
donde:
y(n ) = h (n ) ∗ u (n )
u (n ) = µ (n )
Por la propiedad de la convolución
Y(z ) = H(z) U(z )
(como las señales h(n), y(n) y u(n) son señales causales, la
transformada Z unilateral y bilateral son idénticas)
1
1
z2
Y(z ) =
=
RDC : z > α
1 − α z −1 1 − z −1 (z − 1)(z − α )
Luego:
z2
(z − 1) Y(z ) =
RDC : z > α
(z − α )
TeSyS
27
Como ⏐α⏐< 1, la RDC (z - 1) Y(z) incluye a la
circunferencia unitaria. Luego:
z2
1
lim y(n ) = lim (z − 1) Y(z ) = lim
=
n→∞
z →1
z →1 z − α
1− α
Uso de la Transformada Z unilateral para la solución de
las Ecuaciones en Diferencias con condiciones iniciales
no nulas
Ejemplo:
(1)
y(n ) = α y(n − 1) + u (n ) ,
α <1
Calcular la respuesta del sistema a un escalón unitario,
con condición inicial y(-1)=1
TeSyS
28
Solución:
Tomando la Transformada Z+ en ambos miembros de la
ecuación (1) , tenemos:
Y + (z ) = α [z −1 Y + (z ) + y(− 1)] + U + (z )
Y + (z ) (1 − α z −1 ) = α y(− 1) + U + (z )
α y(− 1)
1
+
(z )
Y (z ) =
U
+
−1
−1
(1 − α z ) (1 − α z )
+
Para:
u (n ) = µ (n )
1
⇒ U (z ) =
(1 − z −1 )
+
2
α
1
1
α
z
z
Y + (z ) =
+
=
+
−1
−1
−1
(1 − α z ) (1 − α z ) (1 − z ) z − α (z − α )(z − 1)
TeSyS
29
Solución (continuación):
Expandiendo en fracciones simples:
αz
Az
Bz
+
Y (z ) =
+
+
z − α (z − α ) (z − 1)
donde:
A z (z − 1) + B z (z − α ) = z 2
A z2 − A z + B z2 − B α z = z2
⇓
⎧ A + B = 1 ⇒ A = −B + 1
⎨
⎩− A − Bα = 0 ∴ − Bα + B = 1
1
⇒B=
1− α
1
α
+1 = −
A=−
1− α
1− α
TeSyS
30
Solución (continuación):
Luego reemplazando los valores de las constantes:
αz
α
z
1
z
Y (z ) =
−
+
(1 − α ) (z − α ) (1 − α ) (z − 1)
z−α
α
α
1
1
1
+
Y (z ) =
−
+
−1
−1
(1 − α ) 1 − α z
(1 − α ) 1 − z −1
1− α z
+
↓ Z-1
n +1
α
1
n +1
y(n ) = α µ (n ) −
µ (n ) +
µ (n )
1− α
1− α
TeSyS
31
Respuesta de Sistemas con funciones Transferencia Z
Racionales
U(z)
H(z)
N(z )
H(z ) =
D(z )
Y(z)
polinomios en z -1 (o z)
Asumimos u(n) con transformada Z+ racional
P(z )
U(z ) =
Q(z )
Asumimos además H(z) con polos simples p1 , p2 , ... , pN
y U(z) con polos simples q1 , q2 , ... , qL ; con:
pk ≠ qm
TeSyS
∀
k = 1, ..., N ∧ m = 1, ..., L
32
Asumiendo además que no hay cancelación de polo-cero
Suponiendo condiciones iniciales nulas, la respuesta del
sistema a la entrada resulta:
N(z ) P(z )
Y(z ) =
D(z ) Q(z )
Expandiendo en fracciones simples obtenemos
N
L
Ak
Bk
Y(z) = ∑
+∑
−1
−1
1
−
p
z
1
−
q
z
k =1
k =1
k
k
N
↓ Z-1
L
Y(z) = ∑ A k p kn µ (n ) + ∑ Bk q kn µ (n )
k =1
TeSyS
k =1
Respuesta
Natural
Respuesta
Forzada
33
9. Causalidad y Estabilidad de Sistemas en TD
• Causalidad:
Vimos que la condición necesaria y suficiente para que
un SLE sea causal es que:
h (n ) = 0
∀ n<0
Vimos también que la RDC de la Transformada Z de
una secuencia causal es el exterior de un círculo.
Podemos concluir que:
Un sistema LE es causal si y solo si la RDC de la
función transferencia Z del sistema es el exterior de un
circulo de radio r < ∞, incluyendo el punto z = ∞
TeSyS
34
• Estabilidad:
La estabilidad de un sistema LE puede expresarse en
término de las características de la función transferencia
Z del sistema.
Vimos que la condición necesaria y suficiente para la
BIBO estabilidad de un sistema lineal estacionario es:
∞
∑
h (n ) < ∞
n = −∞
Veremos que esta condición implica que H(z) debe
contener a la circunferencia unitaria en su RDC.
En efecto, considerando que:
H(z ) =
∞
∑
h (n ) z − n
n = −∞
TeSyS
35
Luego:
H(z ) =
∞
∑
n = −∞
∞
∞
n = −∞
n = −∞
h (n ) z − n ≤ ∑ h (n ) z − n = ∑ h (n ) z − n
Si se evalua en la circunferencia unitaria ( | z |=1 ) por lo
∞
que resulta:
H(z ) ≤
∑ h(n )
n = −∞
De donde podemos concluir que si el sistema es BIBO
estable, entonces la RDC de H(z) contiene a la
circunferencia unitaria.
Lo converso también es válido. Concluyendo así que:
Un sistema LE es BIBO estable si y solo si la RDC de la
función transferencia Z del sistema incluye a la
circunferencia unitaria
TeSyS
36
• Las condiciones para causalidad y estabilidad son
diferentes y una no implica la otra. De hecho podemos
tener sistemas:
- Estab. / Causal
- Estab. / No Causal
- Inestab. / Causal
- Inestab. / No Causal
• Para un sistema causal, la condición necesaria y
suficiente se puede restringir un poco, como:
Sistema causal ←→ RDC de H(z) es el exterior de
un circulo de radio r
Sistema estable ←→ RDC de H(z) contiene a la
circunferencia unitaria
⇓
Sistema causal y estable ←→ RDC de H(z) es | z | > r < 1
TeSyS
37
Como la RDC no puede contener polos de H(z) podemos
concluir que:
Un sistema LE causal, es BIBO estable si y solo todos
los polos de H(z) están en el interior del circulo unitario
Ejemplo:
Sea el sistema LE con transferencia Z:
3 − 4 z −1
1
2
H(z ) =
=
+
−1
−2
−1
1 − 3.5 z + 1.5 z
1 − 0.5 z
1 − 3z −1
Especifique la RDC de H(z) y determine h(n) para las
siguiente condiciones:
a. El sistema es estable
b. El sistema es causal
c. El sistema es anticausal
TeSyS
38