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Enfoque en el modelado
Programación lineal
La programación lineal es una técnica de modelado usada para determinar la asignación óptima de recursos en los negocios, la milicia y otras áreas de las actividades
humanas. Por ejemplo, un fabricante que produce varios productos diversos de la
misma materia prima puede aplicar la programación lineal para determinar cuánto de
cada producto debe ser producido para maximizar la ganancia. Es probable que esta
técnica de modelado sea la aplicación práctica más importante de los sistemas de
desigualdades lineales. En 1975, Leonid Kantorovich y T. C. Koopmans recibieron el
Premio Nobel en economía por su trabajo en el desarrollo de esta técnica.
Aunque la programación lineal se puede aplicar a problemas muy complejos con
cientos o hasta miles de variables, consideramos sólo algunos ejemplos para los cuales se pueden aplicar los métodos gráficos de la sección 9.9. En el caso de grandes
cantidades de variables, se usa un método de programación lineal basado en matrices. Examinemos un problema representativo.
Ejemplo 1
Puesto que los mocasines son los que
proporcionan más ganancia por cada
par, parecería que lo mejor es producir
sólo mocasines. Pero para nuestra
sorpresa, esto no resulta ser la solución
más rentable.
Manufactura para obtener una ganancia máxima
Un pequeño fabricante de zapatos produce dos estilos de zapatos: zapatos de agujetas
y mocasines. Utiliza dos máquinas en el proceso: una máquina cortadora y una máquina de coser. Cada tipo de zapato requiere 15 min por cada par en la cortadora. Los
zapatos de agujetas requieren 10 min de costura por par y los mocasines requieren 20
min de costura por par. Como el fabricante sólo quiere contratar un operador por máquina, cada proceso está disponible sólo por 8 h al día. Si la ganancia es de 15 dólares
por cada par de zapatos de agujetas y 20 dólares por cada par de mocasines, ¿cuántos pares de cada tipo debe producir por día para tener una ganancia máxima?
Solución Primero organizamos los datos en una tabla. Para ser congruentes,
convertimos todos los tiempos en horas.
Zapatos de agujeta Mocasines
Tiempo disponible
Tiempo en la
cortadora (h)
1
4
1
4
8
Tiempo en la máquina
de coser (h)
1
6
1
3
8
$15
$20
Ganancia
Describimos el modelo y resolvemos el problema en cuatro pasos.
ELECCIÓN DE LAS VARIABLES Para formular un modelo matemático, primero
damos nombres a las cantidades variables. En el caso de este problema hacemos
x cantidad de pares de zapatos de agujetas fabricados diario
y cantidad de pares de mocasines fabricados diario
DETERMINACIÓN DE LA FUNCIÓN OBJETIVO El objetivo es determinar qué
valores de x y de y dan la ganancia máxima. Puesto que cada par de zapatos de
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736
Enfoque en el modelado
agujetas genera 15 dólares de ganancia y cada par de mocasines genera 20 dólares,
la ganancia total se representa con
P 15x 20y
esta función se denomina función objetivo.
GRÁFICA DE LA REGIÓN FACTIBLE Entre más grande sean x y y, más alta es la
ganancia. Pero no podemos escoger en forma arbitraria valores grandes para estas
variables debido a las restricciones del problema. Cada restricción es una desigualdad de las variables.
En este problema, la cantidad total de horas de corte necesarias es 14 x 14 y.
Puesto que sólo hay 8 horas disponibles en la cortadora, tenemos
1
4x
14 y 8
De igual manera, al considerar la cantidad de tiempo necesario y disponible en la
máquina de coser tenemos
1
1
6x 3y 8
No podemos producir cantidades negativas de zapatos, de modo que
x
0
y
x+y=32
(0, 24)
(16, 16)
x+2y=48
10
(0, 0)
Figura 1
10
(32, 0) x
y
y
0
Por lo tanto, x y y deben cumplir con las restricciones
1
1
4x 4y 8
1
x 13 y 8
μ6
x
0
y
0
Si multiplicamos la primera desigualdad por 4 y la segunda por 6 obtenemos el sistema simplificado
x y 32
x 2y 48
μ
x
0
y
0
La solución de este sistema se presenta en la figura 1, en donde los vértices ya contienen las coordenadas. Los únicos valores que satisfacen las restricciones del problema son los que corresponden a los puntos de la región sombreada de la figura 1.
Se denomina región factible del problema.
Cuando x y y se incrementan,
también aumenta la ganancia. Por lo tanto, parece razonable que la ganancia máxima ocurra en un punto en una de las orillas externas de la región factible, donde es
imposible incrementar x y y sin salir de la región. En efecto, se puede demostrar que
el valor máximo ocurre en un vértice. Esto quiere decir que necesitamos comprobar
la ganancia sólo en los vértices. El valor más grande de P se presenta en el punto
116, 162, donde P 560 dólares. Por lo tanto, el fabricante debe hacer 16 pares de
zapatos de agujeta y 16 pares de mocasines para obtener una ganancia máxima
diaria de 560 dólares.
DETERMINACIÓN DE LA GANANCIA MÁXIMA
Vértice
10, 0 2
10, 24 2
116, 162
132, 02
P 15x 20y
0
1510 2 201242 $480
15116 2 201162 $560
15132 2 20102 $480
Ganancia máxima
■
Programación lineal
La programación lineal ayuda
a la industria telefónica a determinar la manera más eficiente de
guiar las llamadas telefónicas. Las
decisiones computarizadas del enrutamiento deben efectuarse con
mucha rapidez para que los que
llaman no estén esperando la conexión. Puesto que la base de datos
de los clientes y las rutas es enorme, es esencial un método extremadamente rápido para resolver
los problemas de la programación
lineal. En 1984, el matemático de
28 años de edad Narendra Karmarkar, quien trabajaba en los
Bell Labs, en Murray Hill, Nueva
Jersey, descubrió justamente ese
método. Su idea fue tan ingeniosa
y su método tan veloz que su descubrimiento causó admiración en
el mundillo matemático. Aunque
los descubrimientos matemáticos
rara vez aparecen en los periódicos, el Time del 3 de diciembre de
1984 sí publicó éste. En la actualidad, las aerolíneas aplican en forma
rutinaria la técnica de Karmarkar
para reducir al mínimo los costos al
programar pasajeros, personal de
los vuelos, combustible, equipaje y
trabajadores de mantenimiento.
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Todos los problemas de programación lineal que consideramos siguen el patrón
del ejemplo 1. En cada problema hay dos variables. El problema describe restricciones, que llevan a un sistema de desigualdades lineales cuya solución se denomina
región factible. Esta función siempre tiene sus valores máximo y mínimo en los
vértices de la región factible. Esta técnica de modelado requiere cuatro pasos, que se
resumen en el recuadro siguiente.
Reglas para la programación lineal
1. Elija las variables.
ben llamar x y y.
Decida qué cantidades variables del problema se de-
2. Encuentre la función objetivo. Escriba una expresión para la función
que queremos maximizar o minimizar.
3. Grafique la región factible. Escriba una expresión para la función que
queremos maximizar o minimizar.
4. Determine el máximo y el mínimo. Evalúe la función objetivo en los
vértices de la región factible para determinar su valor máximo y mínimo.
Ejemplo 2
Un problema de embarque
Un comerciante de automóviles posee bodegas en Millville y en Trenton y franquicias en Camden y Atlantic City. Cada automóvil vendido en las franquicias debe ser
entregado desde uno de los almacenes. En un cierto día, los vendedores de Camden
venden 10 automóviles y los de Atlantic City venden 12. La bodega de Millville tiene 15 vehículos y la de Trenton tienen 10. El costo de embarcar un automóvil es de
50 dólares desde Millville a Camden, 40 dólares desde Millville a Atlantic City, 60
dólares de Trenton a Camden y 55 dólares de Trenton a Atlantic City. ¿Cuántos vehículos deben ser transportados desde cada almacén a cada franquicia para cumplir
con los pedidos al mínimo costo?
Solución El primer paso es organizar la información. En lugar de elaborar una
tabla, mejor hacemos un diagrama para mostrar el flujo de vehículos desde los
almacenes hasta las franquicias (véase la figura 2 en la página siguiente). El diagrama
muestra el número de automóviles disponible en cada almacén o el requerido en
cada franquicia y el costo del embarque entre los lugares.
Las flechas de la figura 2 indican cuatro rutas posibles, de modo que el problema parece tener cuatro variables. Pero hacemos
ELECCIÓN DE VARIABLES
x número de automóviles que serán embarcados desde Millville a
Camden
y número de automóviles que serán embarcados desde Millville
a Atlantic City
Para cumplir con los pedidos debemos tener
10 x número de automóviles embarcados desde Trenton a Camden
12 y número de automóviles embarcados desde Trenton a Atlantic City
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Enfoque en el modelado
De modo que las únicas variables en el problema son x y y.
Camden
vende 10
Embarque Embarque
de 10-x $60
de x
automóviles automóviles
Trenton
Millville
10 automóviles
15 automóviles
Embarque
Embarque
de 12-y
de y
automóviles automóviles
$55
$40
$50
Atlantic City
vende 12
Figura 2
DETERMINACIÓN DE LA FUNCIÓN OBJETIVO El objetivo de este problema es
minimizar los costos. Según la figura 2 vemos que el costo total C de embarcar los
automóviles es
C 50x 40y 60110 x 2 55112 y2
50x 40y 600 60x 660 55y
1260 10x 15y
Esta es la función objetivo.
GRÁFICA DE LA REGIÓN FACTIBLE Ahora planteamos las desigualdades de restricción que definen la región factible. Primero, la cantidad de automóviles embarcados en cada ruta no puede ser negativa, así que tenemos
x
0
y
0
10 x 0
12 y 0
Segundo, el número total de automóviles embarcados desde cada bodega no puede
exceder la cantidad de automóviles disponible ahí, entonces
x y 15
110 x2 112 y2 10
Luego de simplificar la última desigualdad tenemos
y
22 x y 10
x=10
(3, 12)
x y 12
y=12
x y 12
Las desigualdades 10 x 0 y 12 y 0 se pueden volver a escribir como x 10
y y 12. Por lo tanto, la región factible se describe mediante las restricciones
(0, 12)
x+y=12
(10, 2)
(10, 5)
x+y=15
x
Figura 3
x y 15
x y 12
μ
0 x 10
0 y 12
La región factible se grafica en la figura 3.
Programación lineal
DETERMINACIÓN DEL COSTO MÍNIMO
739
Comprobamos el valor de la función ob-
jetivo en cada vértice de la región factible.
C 1260 10x 15y
Vértice
10, 122
13, 122
110, 52
110, 22
1260 10102
1260 10132
1260 101102
1260 101102
151122
151122
1515 2
15122
$1080
$1050
$1085
$1130
Costo mínimo
El costo mínimo se presenta en el punto 13, 122. Por lo tanto, el comerciante debe
embarcar
3 automóviles desde Millville a Camden
12 automóviles desde Millville a Atlantic City
7 automóviles desde Trenton a Camden
0 automóviles desde Trenton a Atlantic City
■
Por los años cuarenta del siglo pasado, los matemáticos crearon métodos matriciales para resolver problemas de programación lineal que contienen más de dos variables. Estos métodos fueron aplicados por primera vez entre los Aliados, en la
Segunda Guerra Mundial, para resolver problemas de aprovisionamiento similares,
pero, naturalmente, mucho más complicados que el ejemplo 2. El mejoramiento de
los métodos matriciales es un campo activo y emocionante de la investigación matemática actual.
Problemas
1– 4 ■ Determine los valores máximo y mínimo de la función objetivo dada en la región
factible indicada.
1. M 200 x y
2. N 12 x 14 y 40
y
y
5
4
2
0
y=x
1
4
3. P 140 x 3y
x 0, y 0
• 2x y 10
2x 4y 28
x
1
4
x
4. Q 70x 82y
x 0, y 0
x 10, y 20
μ
xy
5
x 2y 18
5. Fabricación de muebles Un fabricante de muebles hace mesas y sillas de madera.
El proceso de producción requiere dos tipos básicos de tarea: carpintería y acabado.
Una mesa requiere 2 horas de carpintería y 1 h de acabado. Una silla requiere 3 h de carpintería y media hora de acabado. La ganancia es de 35 dólares por mesa y 20 dólares
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6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
por silla. Los empleados de la fábrica pueden proporcionar un máximo de 108 h de
trabajo de carpintería y 20 h de acabado por día. ¿Cuántas mesas y sillas se deben
manufacturar diario para maximizar la ganancia?
Construcción de vivienda Un contratista de vivienda subdividió una granja en 100
lotes para construcción. Diseñó dos tipos de casa para estos lotes: tipo colonial y tipo
rancho. Una casa colonial requiere 30 000 dólares de capital y producirá una ganancia
de 4 000 dólares cuando se venda. Una casa tipo rancho requiere 40 000 dólares de capital y generará una ganancia de 8 000 dólares cuando se venda. Si cuenta ahora ya con
3.6 millones de dólares de capital, ¿cuántas casas de cada tipo se deben construir para
maximizar la ganancia? ¿Quedará alguno de los terrenos vacío?
Trasiego de fruta Un transportista traslada fruta desde Florida hasta Montreal. Cada
huacal de naranjas es de 4 pies cúbicos de volumen y pesa 80 lb, y cada huacal de toronjas es de 6 pies cúbicos de volumen y pesa 100 lb. El camión tiene una capacidad máxima de 300 pies cúbicos y puede llevar hasta 5600 lb. Además, no puede llevar más
huacales de toronjas que de naranjas. Si la ganancia es de 2.50 dólares por cada huacal
de naranjas y 4 dólares por cada huacal de toronjas, ¿cuántos huacales de cada fruta debe transportar para obtener una ganancia máxima?
Fabricación de calculadoras Un fabricante de calculadoras produce dos modelos:
la estándar y la científica. La demanda a largo plazo de los dos modelos dicta que la
compañía debe fabricar todos los días por lo menos 100 calculadoras estándar y 80 científicas. Pero a causa de las limitaciones de la capacidad de producción, no más de 200
calculadoras estándar y 170 científicas se pueden producir al día. Para cumplir con el
contrato de embarque, un total de por lo menos 200 calculadoras se deben embarcar
todos los días.
a) Si el costo de la producción es 5 dólares por cada calculadora estándar y 7 dólares
por la científica, ¿cuántas calculadoras de cada modelo se deben producir todos
los días para minimizar el costo?
b) Si cada calculadora estándar genera una pérdida de 2 dólares, pero cada calculadora
científica produce una ganancia de 5 dólares, ¿cuantas de cada modelo se deben
fabricar diario para maximizar la ganancia?
Embarque de equipos estereofónicos Una cadena de descuento en artículos
electrónicos tiene en venta una cierta marca de equipos estereofónicos. La cadena posee
tiendas en Santa Mónica y en El Toro, y bodegas en Long Beach y Pasadena. Para cumplir con pedidos urgentes, 15 equipos se transportan desde las bodegas a la tienda de
Santa Mónica, y 19 se deben embarcar a la tienda de El Toro. El costo del embarque
de un equipo es 5 dólares desde Long Beach a Santa Mónica, 6 dólares desde Long Beach
a El Toro, 4 dólares de Pasadena a Santa Mónica y 5.50 dólares desde Pasadena a El
Toro. Si la bodega de Long Beach tiene 24 equipos y la de Pasadena tiene 18 equipos en
existencia, ¿cuántos equipos se deben embarcar desde cada bodega a cada tienda para
cumplir con los pedidos a un costo mínimo de embarque?
Entrega de madera contrachapada Un hombre es dueño de dos tiendas de material para construcción, una en el lado este y otra en el lado oeste de una ciudad. Dos
clientes piden madera contrachapada de media pulgada. El cliente A necesita 50 hojas
y el cliente B quiere 70 hojas. La tienda del lado este tiene 80 hojas y las del lado oeste
tiene 45 de esta madera en existencia. El costo de entrega por hoja de la tienda del lado
este es de 50 centavos de dólar para el cliente A y 60 centavos de dólar para el cliente B.
El costo de entrega por hoja de la tienda del lado oeste es de 40 centavos de dólar para A
y 55 centavos de dólar para B. ¿Cuántas hojas se deben embarcar desde cada tienda para
cada cliente para reducir al mínimo los costos de entrega?
Empaque de frutas secas Un comerciante vende dos tipos de mezclas de nueces.
El paquete con mezcla estándar contiene 100 g de castañas y 200 g de cacahuate y lo
vende en 1.95 dólares. El paquete de mezcla de lujo contiene 150 g de castañas y 50 g de
cacahuates, y lo vende a 2.25 dólares. El comerciante tiene 15 kg de castañas y 20 kg
de cacahuate en existencia. Con base en las ventas pasadas, necesita tener por lo menos
tantos paquetes estándar como de lujo. ¿Cuántos paquetes de cada mezcla debe hacer
para maximizar su ganancia?
Alimentación de conejos de laboratorio Un biólogo desea alimentar a sus
conejos de laboratorio con una mezcla de dos tipos de alimentos. El tipo I contiene 8 g
de grasa, 12 g de carbohidratos y 2 g de proteína por cada onza. El tipo II contiene
12 g de grasa, 12 g de carbohidratos y 1 g de proteína por cada onza. El tipo I cuesta
Programación lineal
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0.20 dólares la onza y el tipo II cuesta 0.30 dólares la onza. Los conejos reciben un mínimo diario de 24 g de grasa, 36 g de carbohidratos y 4 g de proteína, pero no obtienen
más de 5 onzas de alimento por día. ¿Cuántas onzas de cada tipo de alimento se deben
dar diario a los conejos para satisfacer las necesidades dietéticas a un mínimo costo.
13. Inversión en bonos Una mujer desea invertir 12 000 dólares en tres tipos de bonos:
bonos municipales que proporcionan un interés anual de 7%, certificados de inversión
bancarios que dan 8% y bonos de alto riesgo que dan 12%. Por cuestiones de impuestos,
desea que la cantidad invertida en bonos municipales sea por lo menos el triple de la
cantidad invertida en los certificados bancarios. Para conservar su nivel de riesgo manejable, invertirá no más de 2000 dólares en los bonos de alto riesgo. ¿Cuánto debe invertir en cada tipo de bono para maximizar su rendimiento de interés anual? [Sugerencia:
sea x cantidad en bonos municipales y y cantidad en certificados bancarios. Entonces la cantidad en bonos de alto riesgo será de 12 000 x y.]
14. Rendimiento del interés anual Refiérase al problema 13. Suponga que el inversionista decide incrementar el máximo invertido en bonos de alto riego a 3000 dólares,
pero deja las otras condiciones sin cambio. ¿En cuánto se incrementará su rendimiento
máximo posible del interés?
15. Estrategia para los negocios Una pequeña compañía de programas para
computadoras publica juegos para computadoras y programas educativos y de servicio.
Su estrategia de negocio es comercializar un total de 36 nuevos programas cada año, y
por lo menos cuatro de ellos serán juegos. La cantidad de programas de servicio publicados nunca es más del doble de la cantidad de programas educativos. En promedio, la
compañía tiene una ganancia anual de 5000 dólares por cada juego para computadora,
8000 dólares por cada programa educativo y 6000 dólares por cada programa de
servicio. ¿Cuántos programas de cada tipo debe publicar cada año para lograr una
ganancia máxima?
16. Región factible Todas las partes de este problema se refieren a la siguiente región
factible y función objetivo
x
0
x
y
μ
x 2y 12
x y 10
P x 4y
a) Grafique la región factible.
b) En la gráfica del inciso a) trace las gráficas de las ecuaciones lineales obtenidas al
hacer P igual a 40, 36, 32 y 28.
c) Si continuamos reduciendo el valor de P, ¿en cuál vértice de la región factible estas
rectas tocarán primero la región factible?
d) Verifique que el valor máximo de P en la región factible está en el vértice que eligió
en el inciso c).