P1Par07

Departamento de Física Aplicada III
Escuela Superior de Ingenieros
Camino de los Descubrimientos s/n
41092 Sevilla
Examen Parcial de Fundamentos Fı́sicos de la Ingenierı́a
Primer Curso de Ingenierı́a Industrial
9 de junio de 2007
PROBLEMA 1
Un bloque de masa m =200 g que está conectado a un muelle se encuentra en reposo sobre
un plano horizontal sin rozamiento. El muelle se comprime una cierta distancia B=3 cm y
a continuación se suelta dejando al sistema oscilar según un movimiento armónico simple de
frecuencia f =0.50 Hz. Calcule:
a) Amplitud y constante de fase del movimiento. Escriba la ecuación del MAS.
b) Velocidad y aceleración máximas del bloque. Indique en que puntos de su trayectoria se
alcanzan estos valores máximos.
c) Periodo del movimiento y constante k del muelle
d) Energı́a del MAS.
e) Suponga que en uno de los puntos en que la velocidad del bloque es nula se aprovecha para
colocar sobre dicho bloque un bloque adicional de masa m = 3m que queda adherido a
aquel de forma que los dos bloques describen un MAS. +Cuál es la energı́a y la frecuencia
de este MAS?
SOLUCIÓN:
Apartado a) La ecuación de un MAS puede escribirse de la siguiente forma:
x(t) = A cos(ωt + δ)
(1)
donde la amplitud A y la constante de fase δ se determinan a partir de las condiciones iniciales
del movimiento. Dado que la masa parte del reposo (v(0) = ẋ(0) = 0) en la posición x=-B
podemos escribir:
x(0) = A cos(δ) = −B
(2)
ẋ(0) = −Aω sin(δ) = 0.
(3)
La solución de este sistema es, obviamente: A = B y δ = π, de donde la ecuación del MAS
queda:
x(t) = B cos(ωt + π)
(4)
Apartado b) La velocidad y aceleración del bloque en cada instante se obtienen mediante
derivación de la ecuación del MAS (4):
v(t) = ẋ(t) = −Bω sin(ωt + π)
2
a(t) = ẍ(t) = −Bω cos(ωt + π).
(5)
(6)
Para la velocidad tendremos un valor máximo (en módulo) vmax = Bω cuando sin(ωt + π) = ±1.
Cuando se cumpla esta condición es evidente que cos(ωt + π) = 0 en (4). Esto corresponde al
paso de la masa por su punto de equilibrio (x = 0). El valor concreto de la velocidad máxima
es:
vmax = Bω = 0.03π m/s
(7)
En cuanto a la aceleración, de (6) se deduce que será máxima cuando cos(ωt + π) = ±1. A
partir de (4) vemos que esta condición corresponde a x = ±B, esto es, las distancias máximas
del punto de equilibrio que es precisamente donde la masa está en reposo. El valor del módulo
de la aceleración máxima en esos puntos es:
amax = Bω 2 = 0.03π 2 m/s2 .
(8)
Apartado c) La obtención del periodo del movimiento es inmediata a partir de la frecuencia:
T =
1
= 2 s.
f
(9)
Para obtener la constante k del muelle
recordamos que ésta influye en la frecuencia del movimiento a través de la ecuación ω = k/m y, por tanto podemos despejar:
k = mω 2 = 0.2π 2 N/m
(10)
Apartado d) Hemos estudiado que la energı́a mecánica de una masa que realiza un MAS
conectada a un muelle depende exclusivamente de la constante k del muelle y de la amplitud de
las oscilaciones:
1
N
1
(11)
E = kA2 = 0.2π 2 (0.03)2 m2 = 0.89 mJ
2
2
m
Apartado e) Al añadir una masa m = 3m en un punto x = ±B, donde la masa está en
reposo, pasamos a tener un nuevo MAS con unas condiciones iniciales –la masa total parte del
reposo con una elongación o contracción del muelle de B=3 cm– que llevan a la misma amplitud
A = B. Dado que la energı́a del MAS depende exclusivamente de la amplitud del movimiento
y de la constante k del muelle y que estas variables no cambian en el nuevo MAS deducimos que
la energı́a del MAS es la misma que se ha encontrado en el apartado anterior.
Entonces +En qué se diferencia este MAS del realizado por la masa m anterior? La nueva
masa es M = m + m = 4m. Hemos de recordar que el valor de la masa afecta a la frecuencia
del movimiento. Ası́ tenemos:
ω =
k
=
M
k
= ω/2.
4m
(12)
Es decir, la frecuencia angular del nuevo MAS es la mitad de la frecuencia angular del MAS
realizado por la masa M . Dado que f = ω /(2π) tenemos:
f = f /2 = 0.25 Hz.
(13)
Y el nuevo periodo será de 4 segundos. En resumen, al añadir la masa adicional la energı́a
del MAS se conserva y para que esto sea compatible con el incremento de masa el movimiento
oscilatorio ha de ralentizarse.