Interferencias por reflexión en una lámina de vidrio Fundamento

Interferencias por reflexión en una lámina de vidrio
Fundamento
Si sobre una lámina de vidrio, de índice de refracción n y espesor e, se hace incidir un haz de luz
monocromática, que forma un ángulo θ con la normal de la cara delantera de la lámina, procedente de un
láser de He-Ne; el haz se fracciona en la forma que indica la figura1.
Fig.1
1) representa el haz incidente que se desplaza a través del aire (índice de refracción 1) y
llega a la cara delantera en F1; 2) el haz reflejado en la primera cara de la lámina; 3) el
haz luminoso que penetra en el vidrio el cual al llegar a la segunda cara de la lámina una parte de
él sale aire (haz 5) otra parte se refleja haz 4 y llega a la cara delantera en F2.
Dentro de la lámina haremos la aproximación de la luz como rayo, pues vamos a aplicar la ley de Snell
que también es deducible con los principios de la Óptica Física.
Los trenes de ondas se propagan de acuerdo con el Principio de Huygens y al superponerse producen
interferencias que vamos a recoger en una pantalla. En la figura 2, F1P, no representa al rayo reflejado, es
uno de los infinitos rayos que salen de F1 en todas direcciones, lo mismo que salen de F2. Aquí
entendemos el rayo, como la dirección en que se propaga la energía luminosa y que es perpendicular en
cada punto a los frentes de ondas.
Si se produce en P un mínimo de interferencias, entonces la diferencia de caminos ópticos entre los dos
rayos vale: n·F1A + n·AF2– (1·F1C+λ/2) y debe ser igual a un múltiplo impar de media longitud de
onda, es decir (2k+1)·λ/2. Donde λ es la longitud de onda de la luz y el sumando λ/2 una diferencia de
marcha complementaria que se produce al reflejarse el rayo en F1 límite entre al aire y la lámina, siendo
el índice de refracción de la lámina de vidrio mayor que el del aire.
Fig.2
λ⎞
λ
⎛
n ⋅ F1 A + n ⋅ AF2 − ⎜ F1C + ⎟ = (2k + 1) ⋅
2⎠
2
⎝
Agrupando determinados sumandos en una constante Cte = n · F1 A + n · AF2 − λ 2
Cte − F1C = ( 2k + 1)· λ 2
Por otra parte, en la figura:
F1C = F1 F2 sen ϕ
(1)
(2)
Si la posición del primer mínimo en la pantalla es z, y D es a la distancia de la lámina de vidrio a la
pantalla, considerando que en la práctica el ángulo ϕ es muy pequeño, resulta:
tagϕ ≈ senϕ =
Que llevándolo a (2) se obtiene:
z
D
F1C = F1 F2 senϕ = F1 F2
z
D
(3)
Para determinar F1F2 observamos en la figura 2, que:
siendo F1 B = AB·tg θ1 = e·tg θ1
F1 F2 = 2· F1 B ;
Como el ángulo θ1 es pequeño se puede aproximar por el seno, de modo que:
F1 B = AB·tg θ1 = e·tg θ1 = e·sen θ1
(4)
Ahora, se expresa el ángulo θ1 en función del ángulo de incidencia del haz de luz, θ y del índice de
refracción n del material, mediante la ley de Snell. Teniendo en cuenta que el primer medio es aire y su
índice de refracción lo aproximamos por 1, resulta:
1·sen θ = n·sen θ1 ;
sen θ1 =
sen θ
n
(5)
Obtenemos para F1F2 sustituyendo (4) y (5)
F1 F2 = 2·e·
Llevando (6) a (3), F1C =
sen θ
n
(6)
2e.senθ z
⋅
y considerando (1), resulta finalmente:
n
D
Cte −
2e ⋅ senθ z
λ
= (2k + 1)
2
n
D
z=−
De donde z sale:
(2k + 1)λ n D + Cte
4e senθ
De la figura de interferencias deducimos que la amplitud de un máximo principal corresponde
aproximadamente con la distancia d entre dos mínimos consecutivos. Dando a k los valores N +1 y N
resulta:
l = z N +1 − z N = −
[2 (N + 1) + 1]λ n D + Cte − ⎡− [2
⎢
⎣
4e senθ
]
⎤
N +1 λ n
λ n
D + Cte ⎥ = −
D
4e senθ
2e senθ
⎦
La amplitud del máximo principal es el valor absoluto de esta distancia.
d=l =−
λn
2e senθ
D =
λn
2e senθ
D (7)
De la última ecuación se deduce que llevando los valores de d en ordenadas, frente a D en abscisas, debe
resultar una línea recta cuya pendiente permite calcular n puesto que λ, e, y sen θ son valores
conocidos en el experimento.
La longitud de onda λ corresponde a la luz de un láser de He-Ne y tiene como valor 632,8 nm, el espesor
e de la lámina de vidrio se ha medido con un tornillo micrométrico y vale 0,82 ± 0,01 mm. El ángulo θ se
mide, como se verá más adelante, con un semicírculo graduado y es 30 ± 1º.
El esquema del montaje es el de la figura 3.
Fig.3
1) láser, 2) lente cilíndrica (es una varilla maciza de laboratorio de forma cilíndrica),
3) lente
convergente de distancia focal 50 mm, 4) es el haz de luz láser incidente sobre la lámina de vidrio , 5)
lámina de vidrio de espesor e, 6) semicírculo graduado, 7) soporte para sostener el semicírculo graduado
y la lámina de vidrio, 8) haz de luz láser reflejada, 9) pantalla donde se observan las franjas de
interferencia, esta pantalla dista varios metros de la lámina de vidrio.
La fotografía de la
figura 4 es una vista de
los componentes que
se utilizan en el experimento.
Fig.
La fotografía de la figura 5 es una vista lateral del montaje. La pantalla no aparece en la fotografía ya que
se encuentra a varios metros de distancia.
Fig.5
El ángulo entre el haz incidente y el reflejado
es 60º, por tanto, el haz incidente forma con la
normal al espejo un ángulo de θ= 30º.
La
fotografía de la figura 6 es una vista
frontal del dispositivo.
Fig.
Medidas
En el experimento se mantiene constante el ángulo θ =30 ± 1º y se varía la distancia D entre la lámina de
vidrio y la pantalla. Para cada valor de D se mide la distancia d entre dos mínimos consecutivos.
Para medir la distancia d entre dos mínimos consecutivos en las fotografías de 1 a 6 de la toma de datos,
escoja un cierto número de franjas brillantes, con preferencia en el centro de la figura de difracción, y
mida en horizontal la distancia entre ellas L. Esa distancia no es real, por lo que es preciso establecer un
factor de escala. En todas las fotografías aparece debajo de la figura de interferencia una regla graduada
en milímetros, sobre ella se han marcado dos rayas verticales blancas en las posiciones 400 mm y 500 m.
El factor de escala para las fotografías es:
f =
500 − 400 = 100 mm
10 cm reales
=
______cm en la fotografía ______cm en la fotografía
Una vez que determine el factor de escala, halle el valor real de L y divídalo por el número de franjas
brillantes N que ha tomado en la medida. La distancia D desde la lámina de vidrio a la pantalla es un dato
que le proporcionamos y se ha medido con una cinta métrica estimando una incertidumbre en la medida
de ± 2 cm . Debe hacer una estimación de la incertidumbre con que mide la distancia d. Los valores
medidos con las correspondientes incertidumbres deben colocarse en la tabla 1
Fotografías
Fotografía 1 para
toma de datos
Fotografía 2 para
toma de datos
Fotografía 3
para
toma de datos
Fotografía 4
para
toma de datos
Fotografía 5 para
toma de datos
Fotografía 6
para
Tabla 1
Distancia entre la lámina
de vidrio y la
pantalla
D /m
Número
de
franjas
brillantes, N
Distancia
L
en fotografía,
L/cm
Factor
de
escala , f
L real /cm
Distancia,d/c
m
L real
d=
N
2,34 ± 0,02
2,75 ± 0,02
3,27 ± 0,02
3,75 ± 0,02
4,20 ± 0,02
4,65 ± 0,02
Gráficas
Parte primera
1.-Con los valores de la tabla 1 y sin considerar las incertidumbres, represente en el eje de ordenadas d y
en el de abscisas D. Determine la pendiente de la recta y el índice de refracción de la lámina de vidrio,
recordando que el espesor de dicha lámina es e = 0,82 ± 0,01 cm y la longitud de onda de la luz del láser
de He-Ne, 632,8 nm.
Parte segunda
2.- Considere ahora las incertidumbres en las medidas de D y d. Complete la tabla 2.
Tabla 2
D
mayor /cm
D
menor/cm
d
mayor/cm
d
menor/cm
Con los valores de la tabla 2 represente: a) en el eje de ordenadas d mayores frente a D menores en el eje
de abscisas y en el mismo gráfico d menores frente a D mayores. Trace ambas rectas y deduzca el valor
de la pendiente con su incertidumbre. Luego, a partir de ese valor, y teniendo en cuenta las
incertidumbres de e y del ángulo α calcule el valor del índice de refracción con su incertidumbre.