EJERCICIOS DE RESTOS CUADRATICOS 1.- El número 839.243 es igual a 977 x 859 . Calcular el cuadrado que genera como resto cuadrático “R” , sabiendo que R â ¡ 591 (módulo 859 ) y R â ¡ 598 ( mód. 977 ). 2.-Sabiendo que el resto , R(x) = 304 , y que el resto R(x+10) = 536 , encontrar otro resto cuadrático , R(y) , que multiplicado por R(x) , nos dé R(x+10) , módulo 1037. 3.-Igualmente,sabiendo que R(x) = 304, y que R(x+10) = 536, hallar el resto cuadrático R(z) en el que R(x) / R(z) â ¡ R(x+10) ( módulo 1037 ). 4.-Dado un número , N= 22257 = 61 x 37 , y un resto cúbico R(3) 2246, hallar el cubo que lo genera. 5.-Partiendo de N = 1591 = 43 x 37 ,determinar los cuadrados que generan “1” como resto cuadrático. 6.-Se trata de un número compuesto,N= 714.641 = 983 x 727 . Hallar los cuadrados que tiene como residuo cuadrático las bases de dichos cuadrados. 7.-Calcular el cuadrado que para módulo 47 ,tiene de resto 37 ,sabiendo que 37 elevado elevado al cubo es congruente 9 ² , módulo 47. 8.-Hallar el cuadrado que genera como resto, 933 , módulo 1063.-Sabemos que 933 elevado al cubo es congruente 735 ² , para módulo 1063. 9.-Dado el resto cuadrático , R(x) = 78 , de N = 83 , determinar dos restos cuadráticos cuyo producto tenga como resto cuadrático R(x). 10.-Los cuadrados, 396.221 ² y 17.413.260 ² generan ambos como resto 138.343, para un módulo de 49.090.351.-Hallar los factores de dicho número . ---------------------------------------------------------SOLUCIONES Ejercicio 1 N = 977 x 859 = 839.243 ; n ² â ¡ R ( mód. 839243 ) 1 R â ¡ 591 ( módulo 859 ) R â ¡ 598 ( módulo 977 ) 591 + 859 a = 598 + 977 b 859 a = 977 ( b + 1) - 970 a = 505 b = 444 591 + (505 x 859 ) = 434.386 R = 434.386 297 ² â ¡ 591 ( mód.859 ) 368 ² â ¡ 598 ( mód.977 ) 297 + 859 a = 368 + 977 b 859 a = 977 ( b + 1 ) - 906 ( 822 x 927 ) + 368 = 803.462 803.462 ² 434.386 ( módulo 839.343 ) y también, 368 â “ 297 = 71 859 a = 977 b - 71 a = 42 ( 42 x 859 ) â “ 297 = 35781 ² â ¡ 434.386 ( módulo 839.243 ) ----------------------------------------------------------Ejercicio 2 304 a = 1037 b -536 R(x) . R(y) = R (x+10) x + y - 1 = x + 10 y = 11 R(y) = R(11) 304 a = 1037 b - 536 ; a = 353 1037 â “ 353 = 684 R(11) = 684 304 x 684 â ¡ 536 ( módulo 1037 ) -----------------------------------------------------------Ejercicio 3 ( x-z+1) = x + 1 z = - 11 R(x) / R(z) â ¡ R(x+10) ( módulo 1037) ; R(x) â ¡ R(x+10) . R(-9) ( módulo 1037 ) R(x) â ¡ R(x) ( módulo 1037 ) R(11) = 684 R(-11) = 47 684 x 47 â ¡ 1 ( módulo 1037 ) R(11)R(-11) = R(1) â ¡ 1 ( módulo 1037 ) ---------------------------------------------------------- 2 Ejercicio 4 N = 22257 = 61 x 37 Resto cúbico = 2246 2246 â ¡ 26 ( módulo 37 ) 2246 â ¡ 50 ( módulo 61 ) 9 ³ â ¡ 26 ( módulo 37 ) 11 ³ â ¡ 50 ( módulo 61 ) 9 + 37 a = 11 + 61 b 37 a = 61 ( b+1) - 59 a = 5 5 x 37 = 185 185 + 9 = 194 194 ³ â ¡ 2246 ( módulo 2257 ) ---------------------------------------------------Ejercicio 5 1591 = 43 x 37 37 a = 43 b â “ 2 a = 29 29 x 37 = 1073 1073 + 1 = 1074 1074 ² â ¡ 1 ( módulo 1591 ) 1074 = ( 29 x 37 ) + 1 1074 = ( 25 x 43 ) + 1 --------------------------------------------------Ejercicio 6 N = 983 x 727 = 714.641 927 a = 983 b - 2 a = 192 192 x 727 = 139.584 139.584 + 1= 139.585 139.585 ² â ¡ 1 ( módulo 714.641 ) ; 575.056 ² â ¡ 1 ( módulo 714.641 ) (575.056 + 714.641 + 1) / 2 = 644.849 644.849 ² â ¡ 644.849 ( módulo 714.641 ) el otro cuadrado será , 714.641 + 1 -644.849 = 69.703 69.793 ² â ¡ 69.793 ( módulo 714.641 ) --------------------------------------------------Ejercicio 7 3 Partiendo del multiplicador “37” , hallar el otro multiplicador que genera el resto 9 , 37 a = 47 b - 9 a = 15 47 - 15 = 32 32 x 37 = 1184 â ¡ 9 ( módulo 47 ) 32 ² â ¡ 37 ( módulo 47 ) -----------------------------------------------------------Ejercicio 8 Habrá que calcular el segundo multiplicador que genera el “735” , módulo 1063. 933 a = 1063 b - 735 a = 946 1063 - 946 = 117 117 ² â ¡ 933 ( módulo 1063 ) Ejercicio 9 N = 83 R(x) = 78 Tomamos un resto cuadrático cualquiera , por ejemplo el 77 , 83â “ 78 = 5 77 a = 83 ( b + 1) - 5 a = 70 70 x 77 â ¡ 78 ( módulo 83 ) --------------------------------------------------------Ejercicio 10 396.221 ² â ¡ 138.343 ( módulo 49.090.351 ) 17.413.260 ² â ¡ 138.343 ( módulo 49.090.351 ) a x + 396.221 = 17.413.260 b x + 17.413.260 = 49-486.572 x . y = 49.090.351 a x = 17.017.029 b x = 32.073.312 34.034.078 â “ 32.073.312 = 1.960.766 9 x 1.960.766 = 17.646.894 17.646.894 â “ 17.017.039 = 629.855 4 • : 5 = 125.971 1.960.766 - ( 15 x 125.971 ) = 71.201 125.971 - 71,201 = 54.770 54.770 : 10 = 5.477 N = 49.090.351 = 5.477 x 8963 --------------------------------------------------------- 5