Problemas resueltos - Raquel Serrano Lledó

Problemas de difusión
PROBLEMA 1
Un acero contiene 8,5 % en peso de Ni en el centro de un grano de Fe C.C.C. y
8,8% en el límite del grano. Si los dos puntos están separados 40 μm ¿Cual es el flujo de
átomos entre estos puntos a 1200 ºC?.
a = 0,365 nm
MaNi = 58,71 gr/mol MaFe = 55,85 gr/mol
Do = 0,77·10-4 m2 / s E = 0,465 · 10-18 J / at
k = 13,8 · 10-24 J / at K
Para determinar el flujo de átomos, sólo hace falta aplicar la 1ª ley de Fick J = - D
Es necesario hallar D,
∂c
∂x
∂c
y conocer las concentraciones en porcentaje atómico y no en
∂x
peso. Calculemos pues los porcentajes atómicos en el centro del grano y en el límite del mismo.
El número de átomos en una masa "M" será proporcional al % en peso, e inversamente
proporcional a la masa atómica. Luego:
Ni: % at. en la superficie 8,5 / 58,71 = 0,144
Fe: % at. en la superficie 91,5 / 55,85 = 1,638
Luego la proporción de átomos de Ni, será:
0,144
x 100 = 8,1 % at. de Ni
0,144 + 1,638
Haciendo lo mismo en el límite de grano se obtiene:
Ni ∝
8,8
= 0,149
58,71
Fe ∝
91,2
= 1,63
55,85
% atómico de Ni = 8.4 %
1
Problemas de difusión
La concentración en átomos/μm3 será:
4 x 0,081
C centro =
-3 3
(0,365 10 )
Climite =
= 6,66 · 109
4 x 0,084
-3 3
(0,365 10 )
= 6,91 · 109
at.
μ m3
at.
μ m3
Nótese que se ha determinado la concentración en 1/μm3 y no en 1/m3 al estar refiriéndonos a un grano cuyos tamaños son muy pequeños, lo lógico es utilizar la μm y no el m.
Por otra parte, se ha supuesto que en el límite de grano también existe la estructura c.c.c. para
poder determinar la concentración.
D = Do e
-
E
kT
-4
= 0,77 10 e
−
0,465 10 -18
13,8 10 - 24 ⋅ 1473
= 9 10 -15
2
m2
m
= 9 10 − 3
s
s
∂c (6,66 - 6,91) 10 - 9
at.
=
= - 625 10 4
∂x
40 μm
μm4
J = - 9 10 -3 (- 625 10 4 ) = 5,6 104
at.
μ m2 s
PROBLEMA 2
La difusividad del Al en Cu es 2,6.10-17 m2 / s a 500ºC y 1,6.10-12 m2 / s a 1000ºC.
Determinar:
a) Los valores de Do y E.
b) La difusividad a 750º C.
a) Para poder obtener Do y E aplicamos la fórmula de la difusividad a las dos temperaturas.
-17
-
2,6 10 = D0 e
E
13,8 10 - 24 ⋅ 773
E
1,6 10-12 = D0 e- 13,8 10 - 24 ⋅ 1273
Tomando logaritmos en las dos, se obtiene:
2
Problemas de difusión
ln(2,6 10-17 ) = ln D0 -
E
13,8 10-24 ⋅ 773
ln(1,6 10-12 ) = ln D0 -
E
13,8 10-24 ⋅ 1273
2
-5 m
Resolviendo el sistema se obtiene: D0 = 4 10
seg
-
b)
0,3 10 -18
D750°C = D0 e 13,8 10 - 24 ⋅ 1023 = 2,36 10
y
E = 0,3 10-18
J
átomo
2
-14
m
seg
PROBLEMA 3
En la superficie de una barra de acero hay un átomo de carbono por cada 20
celdillas unitarias de hierro. A 1 mm en el interior hay 1 átomo de C por cada 30 celdillas.
A 1000º C el hierro es c.c.c. (a = 0,365 nm). Determinar cuántos átomos de carbono se
difunden por cada célula unidad por minuto.
Datos: D0 = 0,2 · 10-4 m2/s y E = 0,236 · 10-18 J /átomo
Lo primero que hay que determinar son las concentraciones en átomos /m3 en ambos
puntos, el porcentaje de átomos en la superficie será: 1 átomo en 20 celdillas (80 átomos), luego
1/80 x 100 = 1,25 %.En el interior será: 1/120 x 100 = 0,83 %
1,25
x4
at
100
=
= 1,03 10 27 3
C1
-9 3
m
(0,365 10 )
Luego el gradiente de concentración será:
0,83
x4
at
100
=
= 0,68 10 27 3
C2
-9 3
m
(0,365 10 )
;
→
at
∂c (0,68 - 1,03) 10 27
=
= - 0,35 10 30 4
-3
1 10
∂x
m
La difusividad y el flujo serán:
3
Problemas de difusión
2
D = 0,2 10 -4
J = − 2,9 10
m - 0,236 10 -18- 24
−11
2
e 1273 ⋅ 13,8 10 = 2.9 ⋅ 10 m / s
s
-11
m2
at
at
( - 0,35 10 30 4 ) = 1,015 1019 2
s
m
m s
Como nos piden por celdilla unidad, calculemos la sección de esta
2
2
-19
S celd .= (0,365 10 - 9 ) = 1,33 10
J = 1,015 1019
at
2
m s
x 1,33 10 -19
m
.
celd
2
s
at
m
. x 60 = 81
celd
m
celd ⋅ m
PROBLEMA 4
Una solución de Cu en Al tiene 1026 átomos/m3 en el punto "x" y 1024 átomos/m3 en
el punto "y". Ambos puntos están separados 10 μm. Calcular el flujo de átomos de x a 500
ºC.
Datos:
k = 13,8 10 -24
2
J
J
m
; Do = 0,15 10 -4
; E = 0,21 10-18
at K
s
at
Aplicando la primera ley de Fick :
0,21 10 -18
D = 0,15 10 -4 e- 13,8 10 - 24 773 = 4,23 10 -14
m
s
2
∂c (10 24 - 10 26 )at / m 3
=
= - 9,9 ⋅ 10 31 at / m 4
10 10 -6 m
∂x
J = - 4,23 10 -14 m 2 / s 9,9 ⋅ 10 -31 at / m 4 = 4,19 1018
4
átomos
2
m s
Problemas de difusión
PROBLEMA 5
Cual es el gradiente de concentración de Ni en Fe si a 800 ºC hay un flujo de
átomos de Ni de 250 at /mm2 s.
DATOS: Do = 0,77 10-4 m2/s E = 0,465 10-18 J/at K = 13,8 10-24 J/ at K
Calculamos previamente el coeficiente de difusión, a partir de los datos será:
2
D = 0,77 10 - 4
m - 0,465-1024 −18
-18 m
e 13,8 10 1073 = 1,77 10
s
s
2
Aplicando la primera ley de Fick tendremos:
2
at
dc
J
250
20 at / mm
=- ==
1,4
= 1,41 1014
10
-18
2
4
dx
D
1,77 10
m
mm
PROBLEMA 6
Un aluminio contiene el 0,19 % de átomos de cobre en su superficie y el 0,18% a
1,2 mm por debajo de ella. ¿Cuál será el flujo de átomos de cobre desde la superficie hacia
el interior a 500ºC si la estructura del Al es C.C.C. con una constante reticular
a=0,4049nm?
DATOS:
Constante de Boltzman = 13,8 · 10-24 J/at K
Constante de proporcionalidad del Cu en Al: Do = 0,15 · 10-4 m2/s
Energía de activación del Cu en Al: E = 0,21 · 10-18 J/at
El flujo de átomos es proporcional al gradiente de concentración:
J = −D
dC
dx
Para calcular dC/dx necesitamos conocer antes el número de átomos por unidad de volumen:
n celd
4
=
= 6,02 ⋅ 10 28 at m 3
3
−
9
V celd (0,4049 ⋅ 10 )
El gradiente de concentración será:
5
Problemas de difusión
(0,18 100) − (0,19 100)
dC
= 6,02 ⋅ 10 28
= −5 ⋅ 10 27 at m 4
dx
0,0012
La difusividad D, o coeficiente de difusión viene dada por: D = Do e-E/KT
−4
−0,21⋅10−18
13,8⋅10−24 (500+273)
D = 0,15⋅10 e
J = −4,23 ⋅ 10
El flujo será:
−14
= 4,23⋅10−14 m2 / s
m2
at
at
⋅ −5 ⋅ 10 27 4 = 2,11 ⋅ 1014 2
s
m
m s
PROBLEMA 7
Al fabricar un engranaje se desea una capa superficial dura y un núcleo tenaz.
Partiendo de un acero al carbono (0,2 % C) y colocando el engranaje de este material en
un horno a 1000ºC con atmósfera rica en gas hidrocarburo, se sabe que la superficie
alcanzará muy pronto el 0,9 % en C. Calcular el contenido en C a 0,025 cm debajo de la
superficie después de 10 horas de hallarse en el horno.
DATOS:
D = 2,98 x 10-7 cm2/s
Difusividad del C en Fe
Función de error:
Z
Erf(z)
0,10 0,113
0,15 0,168
0,20 0,223
Como solución a la 2ª ley de Fick se obtiene:
CS − C X
⎛ x ⎞
= erf ⎜
⎟
C S − C0
⎝ 2 Dt ⎠
Calculamos z:
z=
x
0,025cm
=
= 0,123
2 Dt 2 2,98 ⋅ 10 −7 cm 2 / sg 10 ⋅ 3600 sg
Interpolando entre z = 0,1 y z = 0,15 obtenemos: erf (0,121) = 0,135
Dado que la concentración en la superficie es Cs = 0,9 % C y la concentración inicial
6
Problemas de difusión
del acero es Co = 0,2 % C se tiene:
0,9 − C X
= 0,135
0,9 − 0,2
Por tanto, el contenido de C pedido será: Cx = 0,805 % C
PROBLEMA 8
Se difunde Al en Cu puro a 1000 ºC durante 5 horas. Cual es la profundidad bajo
la superficie a la que la concentración es 1017 at/cm3 si la concentración en la superficie es
de 1018 at/cm3. Datos: E = 0,3 · 10-18 J/at ; Do=4 · 10-5 m2/s.
Se aplicará la segunda ley de Fick dado que es un proceso no estacionario Como
CS − C X
⎛ x ⎞
= erf ⎜
⎟
C S − C0
⎝ 2 Dt ⎠
solución a la 2ª ley de Fick se obtiene:
La concentración en la superficie es CS=1018 at/cm3, en el punto X que se desea calcular
Cx=1017 at/cm3 y la concentración inicial de aluminio en el cobre puro es lógicamente C0=0.
A partir de los datos anteriores se obtiene:
18
17
10 - 10 = 0,9
18
-0
Luego erf(z)=0,9. Interpolando entre 1,1 y 1,2 10
se obtiene z=1,166. Luego:
x
2 Dt
= 1,166
7
Problemas de difusión
Calculamos ahora el valor de la difusividad:
D = D0 ⋅ e
−E
KT
−0 , 3⋅10 −18
= 4 ⋅ 10 −5 ⋅e 1273 13,8⋅10
− 24
= 1,53 ⋅ 10 −12 m 2 / s
Despejando x de la ecuación anterior, se obtiene:
x = 2 Dt ⋅ 1,166 = 2 1,53 ⋅ 10-12 ⋅ 5 ⋅ 3600 ⋅ 1,166 = 3,87 ⋅ 10-4 m.= 0,387 mm.
PROBLEMA 9
Se difunde aluminio en un cristal de silicio. Se pide:
a) A que temperatura el coeficiente de difusión será 10-14 m2/s
b) A que temperatura la penetración de Al en Si será la mitad que a la temperatura
hallada en el apartado a, en el mismo tiempo.
Datos: Do = 1,55·10-4 m2/s ; Ev=305140 J/mol.
a) Partimos de la expresión que relaciona el coeficiente de difusión con la temperatura:
⎛
⎞
D = D0 exp ⎜ - E v ⎟
⎝ kT ⎠
substituyendo valores:
⎛ 305140 ⎞
-14
-4
⎟
10 = 1,55 ⋅ 10 exp ⎜ ⎝ 8,31 ⋅ T ⎠
Tomando logaritmos y despejando T se obtiene: T=1565 K= 1292ºC.
b) Las penetraciones serán:
-14
x1 = 2 D1 t1 = 2 ⋅ 10 ⋅ t1
x2 = 2 D2 t 2
como t1 = t2 y x2 = x1/2
8
-14
2 ⋅ 10-14 ⋅ t1 10 -14
=
= 4 ⇒ D 2 = 10
4
2 D 2 t1
D2
Problemas de difusión
por lo que D2=1,55 10-4 exp(-305140/8,31 T) = 10-14/4
Despejando T se obtiene T=1478K = 1205ºC
PROBLEMA 10
Un tubo de pared gruesa de 3 cm de diámetro contiene un gas con 0,5·1020 átomos
de N por cm3 de un lado de una membrana de hierro con 0,001 cm de espesor. El gas del
otro lado de la membrana contiene 1·1018 átomos de N por cm3. Calcular el número total
de átomos de nitrógeno que pasa a través de la membrana de hierro a 700 º C suponiendo
que estamos regenerando continuamente el gas del tubo.
Datos: D0= 0,0047 cm2/s ; Q=18300 cal/mol ; R= 1,987 Cal/mol K
Para calcular el coeficiente de difusión del nitrógeno en hierro a 700ºC, hacemos uso de la
expresión:
⎛ Q ⎞
D = D0 exp ⎜ ⎟
⎝ RT ⎠
⎡
18300 cal / mol ⎤
D = 0,0047cm2 / s ⋅ exp ⎢−
= 3,64⋅ 10−7 cm2 / s
⎥
⎣ 1,987 cal / mol K ⋅ 973K ⎦
Por otro lado el gradiente de concentración es:
dC (1 ⋅ 1018 − 0,5 ⋅ 10 20 ) at N / cm 3
=
= −4,9 ⋅ 10 22 at N / cm 4
dx
0,001 cm
El flujo de átomos de N a través de la membrana de hierro puede calcularse en virtud de la
primera ley de Fick:
J = −D
dC
= −3,64 ⋅ 10 −7 cm 2 / s ⋅ (− 4,9 ⋅ 10 22 at N / cm 4 ) = 1,78 ⋅ 1016 at N / cm 2 s
dx
El total de átomos de N por segundo que atraviesa la membrana de diámetro d= 3 cm será
9
Problemas de difusión
⎛π
⎞
⎛π ⎞
2
N = J ⋅ A = J ⎜ d 2 ⎟ = 1,78 ⋅ 1016 at / cm 2 s⎜ ⎟(3 cm ) = 1,26 ⋅ 1017 at / s
⎝4 ⎠
⎝4⎠
Obviamente, si el gas del lado de la membrana con alto contenido en nitrógeno no fuera
alimentado continuamente, tal lado se quedaría pronto sin átomos de nitrógeno.
PROBLEMA 11
Calcular las pérdidas de nitrógeno almacenado a temperatura ambiente en el
interior de una esfera de acero de 3 cm de espesor y 1 m de radio, en el instante en que la
concentración en el interior es de 1020 at/cm3 y en el exterior 1018 at/cm3. ¿Qué porcentaje
de estas pérdidas se eliminaría almacenando el nitrógeno a 0 ºC?
Datos: Q= 18300 cal/mol ; D0 = 0,0047 cm2/s ; R=1,987 cal/mol K.
Considerando que el proceso se desarrolla en estado estacionario, recurrimos a la primera ley de
Fick en forma unidimensional:
J = −D
dC
dx
Calculamos previamente el coeficiente de difusión, para una temperatura T= 27º C=300K:
⎡
18300 cal / mol ⎤
⎛ −Q⎞
2
D = D0 ⋅ exp ⎜
= 2,19⋅ 10−16 cm2 / s
⎟ = 0,0047cm / s ⋅ exp ⎢−
⎥
⎝ RT ⎠
⎣ 1,987 cal / mol K ⋅ 300 K ⎦
y el gradiente de concentración:
dC (1 ⋅ 1018 − 1 ⋅ 10 20 ) at / cm 3
=
= −3,3 ⋅ 1019 at / cm 4
dx
3 cm
Sustituyendo en la primera ley de Fick:
10
Problemas de difusión
J = −D
dC
= −2,19 ⋅ 10 −16 cm 2 / s ⋅ (− 3,3 ⋅ 1019 at N / cm 4 ) = 7227 at N / cm 2 s
dx
Las pérdidas a través de la superficie esférica de radio 100 cm serán:
J ⋅ A = 7227 at / cm 2 s ⋅ 4π (100 cm ) = 9,1 ⋅ 108 at / s
2
Repitiendo los cálculos para T= 0º C= 273 K
⎡
18300 cal / mol ⎤
⎛ −Q⎞
2
−17
2
D = D0 ⋅ exp ⎜
⎟ = 0,0047cm / s ⋅ exp ⎢−
⎥ = 1,05⋅ 10 cm / s
RT
1
,
987
/
⋅
273
cal
mol
K
K
⎝
⎠
⎣
⎦
J = −D
dC
= −1,05 ⋅ 10 −17 cm 2 / s ⋅ (− 3,3 ⋅ 1019 at N / cm 4 ) = 347 at N / cm 2 s
dx
Y las pérdidas serán ahora:
J ⋅ A = 347 at / cm 2 s ⋅ 4π (100 cm ) = 4,36 ⋅ 107 at / s
2
En porcentaje:
(9,1 ⋅ 108 − 4,36 ⋅ 10 7 ) at / s
× 100 = 95,2 %
9,1 ⋅ 108 at / s
Las pérdidas se han reducido en un 95,2 %.
11
Problemas de difusión
PROBLEMAS PROPUESTOS.
1. En una pieza de cobre en un punto hay 2,5·1017 átomos de Zn por mm3. ¿Qué concentración
se necesita un punto a 2 mm del anterior para que se difundan 60
at Zn
a 300 ºC.
mm 2 m
Datos: D0 = 0,34·10-4 m2/s ; E = 0,317·10-18 J/at ; K= 13,8·10-24 J/at K.
2. Al cementar un acero de 0,2 % C se encuentra que al cabo de 10 horas hay un 0,6 %C a
0,75 mm de la superficie. La concentración de carbono en la superficie se mantiene en un 1
% de carbono. ¿A que temperatura se realizó el proceso?
Datos: D0 = 20·10-6 m2/s ; E = 142000 J/mol ; K= 8,314 J/mol K.
(Nota: usar la tabla z-erf(z) del problema 8)
12