Teorıa de Colas / Investigación Operativa

Teorı́a de Colas / Investigación Operativa
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PROBLEMAS DE INVESTIGACIÓN OPERATIVA. Hoja 5
1. Al supercomputador de un centro de cálculo llegan usuarios según un proceso de Poisson de tasa
5 usuarios cada hora. Sabiendo que éstos consumen un tiempo de cómputo aleatorio cuya distribución puede suponerse exponencial de media 61 de hora y que la disciplina de atención es FIFO. Se
pide:
a) El número medio de clientes en el sistema y el número medio de usuarios que están usando
el supercomputador.
b) Si en la sala de espera hay 4 sillas, ¿cuál es la probabilidad de que un usuario que llega a la
sala tenga que esperar de pie?
c) Calcula el tiempo medio total de respuesta de un usuario.
2. Considera una cola con tasa de llegadas λ, y 5 servidores idénticos en paralelo, cada uno de los
cuales tiene tasa de servicio µ. Sabemos que la proporción media de servidores ocupados es 0.6,
que el número medio de clientes en espera (en cola) es 0.354 y que el tiempo medio de respuesta
(espera en cola + servicio) es de 0.559. Se pide:
a) El número medio de servidores ocupados y el factor de utilización del sistema.
b) La tasa de llegada y la tasa de servicio.
c) El tiempo medio que un cliente permanece en espera y el número medio de clientes en el
sistema.
d) En el caso de que los tiempos entre llegadas de clientes y los tiempos de servicio fuesen variables aleatorias exponenciales, representa el diagrama de tasas de transición entre estados, y
formula las ecuaciones de balance de flujo correspondientes.
3. En una fábrica existe una oficina de la Seguridad Social a la que los obreros tienen acceso durante
las horas de trabajo. El jefe de personal, que ha observado la afluencia de obreros a la ventanilla,
ha solicitado que se haga un estudio relativo al funcionamiento de este servicio. Se designa a un
especialista para que determine el tiempo medio de espera de los obreros en la cola y la duración
media de la conversación que cada uno mantiene con el empleado de la ventanilla. Este analista
llega a la conclusión de que durante la primera y la última media hora de la jornada la afluencia es
muy reducida y fluctuante, pero que durante el resto de la jornada el fenómeno se puede considerar
estacionario. Del análisis de 100 periodos de 5 minutos, sucesivos o no, pero situados en la fase
estacionaria, se dedujo que el número medio de obreros que acudı́an a la ventanilla era de 1.25 por
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periodo y que el tiempo entre llegadas seguı́a una distribución exponencial. Un estudio similar sobre la duración de las conversaciones, llevó a la conclusión de que se distribuı́an exponencialmente
con duración media de 3.33 minutos. Determina:
a) Número medio de obreros en cola.
b) Tiempo medio de espera en la cola.
c) Compara el tiempo perdido por los obreros con el tiempo perdido por el oficinista. Calcula
el coste para la empresa, sin una hora de inactividad del oficinista vale 250 euros y una hora
del obrero 400 euros. ¿Serı́a rentable poner otra ventanilla?
4. En un centro de salud con tres médicos, los pacientes llegan de forma aleatoria (tiempos de llegada
exponenciales) a razón de 12 por hora. Éstos son atendidos en orden de llegada por el primer
médico que esté libre. Cada médico tarda una media de 13 minutos en atender a cada paciente
(tiempos de atención exponenciales).
a) Calcula la proporción de tiempo que está cada médico atendiendo a pacientes.
b) Calcula el número medio de pacientes que están en la sala de espera. Calcula el tiempo medio
total de espera de un paciente.
c) ¿Qué ocurrirı́a en el centro si uno de los 3 médicos se ausenta?
5. Un centro de atención primaria tiene que administrar la vacuna de poliomelitis a los niños de un
barrio. El centro está organizado de forma que los padres van llegando con los niños, forman una
cola, y se atienden 40 por hora, con una distribución exponencial, por cualquiera de las enfermeras
que están de servicio. Este servicio de vacunación se ofrece una vez a la semana, y en este dı́a
las llegadas se realizan con una tasa igual a 40 niños por hora. El director del centro sabe que
la mayorı́a de los padres vienen durante sus horas de trabajo y por ello quiere limitar el tiempo
total de administración de la vacuna a 15 minutos (incluyendo la espera) ¿Cuántas enfermeras
tendrá que usar el gerente?
6. (septiembre, 2007) Consideremos un sistema informático que se representa como un sistema de
colas con 10 procesadores idénticos en paralelo, cada uno de los cuales procesa una cierta tarea en
3 segundos. Los usuarios del sistema le envı́an órdenes para realizar esa tarea cada cierto tiempo.
Se observa que el tiempo medio de respuesta, desde que se envı́a una orden para realizar la tarea
hasta que ésta se completa es de 10 segundos. Además, se observa que la utilización del sistema
es de un 90 %.
(a, 5 puntos) ¿Cuál es el número medio de procesadores ocupados? ¿Puedes afirmar que el sistema es estable?
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(b, 5 puntos) ¿Cuál es la tasa media a la que se envı́an órdenes al sistema para realizar la tarea?
(c, 5 puntos) ¿Cuál es el número medio de tareas en espera o en proceso en el sistema? ¿Y el
número medio de tareas en espera? ¿Y el tiempo medio en espera por tarea?
(d, 10 puntos) Supongamos que los tiempos entre envı́os de tareas son variables aleatorias (v.a.)
con función de distribución



0
si x ≤ 0



2


x
si 0 < x ≤ 1
F (x) = 2
2

1 − (2 − x)
si 1 < x ≤ 2



2


1
si x > 2.
Nos proponemos realizar una simulación del sistema, para lo cual necesitamos generar v.a.
X con la distribución dada. Indica cómo generar una v.a. X con tal distribución a partir de
una v.a. U ∼ Uniforme[0, 1], aplicando el método de la transformada inversa.
7. (enero 2009) Considera un sistema de multiproceso en el que cada trabajo requiere una media de
100 milisegundos de ejecución, con una tasa de llegadas de 60 trabajos por segundo. Responde a
las siguientes preguntas:
a, 5 puntos ¿Cuál es el mı́nimo número de procesadores que se requieren para atender la demanda
sin que el sistema se sature? Si se instalan precisamente ese número de procesadores, ¿cuál
es el factor de utilización del sistema y qué indica su valor es este sistema?
b,10 puntos Sabiendo que para ese sistema se ha obtenido que el número medio de trabajos en
cola es 3’683, calcula: (1) el número medio de procesadores ocupados, (2) el número medio
de trabajos en el sistema, (3) el tiempo medio de espera, y (4) el tiempo medio de respuesta.
c,10 puntos En el caso de que los tiempos entre llegadas de trabajos y los tiempos de ejecución
fuesen variables aleatorias (v.a.) exponenciales, representa el diagrama de tasas de transición
entre estados.
Sabiendo que la probabilidad de que el sistema esté vacı́o es de 0’00158, calcula la probabilidad de que haya más de 4 procesadores ociosos. Pare ello formula y resuelve las ecuaciones
de balance de flujo que necesites.
8. (febrero 2007) Una compañı́a aérea ha montando un sistema de reservas por teléfono, atendido por
4 agentes, en el que las llamadas que llegan cuando los agentes están ocupados, quedan en espera y
son después atendidas en estricto orden de llegada. Se sabe que las llamadas son aleatorias y que,
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en promedio, reciben 20 llamadas por hora. También se sabe que el tiempo medio de respuesta
(que una llamada permanece en el sistema) es de 6.51 minutos y que el número medio de llamadas
en espera es de 0.17. Con esta información, contesta a las siguientes preguntas que se plantea la
empresa:
(a, 5 puntos) ¿Cuál es el tiempo medio que una llamada ha de esperar hasta ser atendida por uno
de los agentes?
(b, 5 puntos) ¿Cuál es el nivel de uso del sistema?, ¿qué ocurrirı́a si despidieran a 2 agentes?
(c, 5 puntos) Si la compañı́a ha valorado la hora de inactividad de cada agente en 300 euros, ¿a
qué cantidad asciende la pérdida media por hora debida a la inactividad de los agentes?
(d, 10 puntos) En el caso de que los tiempos entre llamadas y los tiempos de atención fuesen
variables aleatorias (v.a.) exponenciales, representa el diagrama de tasas de transición entre
estados.
3
Sabiendo que la probabilidad de que el sistema esté vacı́o es de 23
, calcula la probabilidad de
que una llamada quede en espera. Pare ello formula y resuelve las ecuaciones de balance de
flujo que necesites.