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Matemática Financiera
Presentación
“Matemática aplicada a la toma de decisiones económicas”
Objetivo General
Desarrollar la habilidad de utilizar herramientas matemáticas para
resolver problemas financieros, considerando el valor del dinero en el tiempo.
“Tasas, Factores y Flujos”
TASAS, FACTORES Y
FLUJOS DE CAJA
Tipos y tasas de interés
Simple y Compuesto
Nominales y Efectivas
Factores
[F/P], [P/F]
Factores de Pago Único
[A/P], [A/F]
Factores de series uniformes
[P/G], [Pg]
Factores de series gradientes
Flujos de Caja
1
CAPÍTULO 4
Tipos y tasas de interés
Tasa de Interés “El precio del dinero”
Tipos de Interés: Simple v/s Compuesto
La diferencia radica en que en el tipo de interés simple, la tasa se
aplica sobre el capital, mientras que en el tipo compuesto, la tasa se
aplica sobre el capital y los intereses.
Tasas de Interés: Nominal v/s Efectiva
La diferencia radica en que la tasa nominal no considera los intereses
ganados en cada periodo de capitalización, mientras que la efectiva sí
lo hace.
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Prof. Ing.: Carlos Hernández Díaz
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Tipos de interés – Fórmulas
Interés Simple
F = P (1 + i ⋅ n)
Interés Compuesto
F = P (1 + i ) n
Obs.: F corresponde al valor futuro, P al valor presente, i a la tasa
de interés y n al número de períodos de capitalización. Es
importante recordar que tanto i como n deben estar en la misma
unidad de tiempo. Por ejemplo, si la tasa es mensual el número de
períodos debe corresponder a una cantidad de meses también.
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Tasas de interés – Fórmulas
ia
Tasa Nominal
Anual
ia = n ⋅ in
n
i
Tasa Efectiva
Anual
 i 
i = 1 + a  − 1
 n
Obs.: n corresponde al número de periodos de capitalización en el
año (ya que ambas fórmulas corresponden a tasas anuales). Por
ejemplo si n es 12, se capitaliza 12 veces en el año y por lo tanto es
un régimen de capitalización mensual.
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Tipos y tasas – Ejemplos
Tipos de Interés: Simple v/s Compuesto
Si a un préstamo por $ 1.000.000 se le aplica un tasa del 2% mensual, en un
año, el monto a pagar es;
con un tipo de interés simple
con un tipo de interés compuesto
$ 1.000.000*(1+0,02*12) = $ 1.240.000
$ 1.000.000*(1+0,02)^12 = $ 1.268.241
Tasas de Interés: Nominal v/s Efectiva
Para el mismo ejemplo consideremos una tasa nominal de 24% anual, la tasa
anual efectiva corresponde a;
Capitalización Anual
Capitalización Semestral
Capitalización Mensual
Capitalización Continua
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0,24
(1+0,24/2)^2 – 1=0,2544
(1+0,24/12)^12 – 1= 0,2682
e^0,24 – 1= 0,2712
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24,00%
25,44%
26,82%
27,12%
6
3
CAPÍTULO 2
Factores
Definición y Clasificación
Los factores a estudiar son fórmulas que permiten simplificar algunos
cálculos de Matemática Financiera, siempre y cuando la serie de
flujos analizada, cumpla con una determinada estructura y
corresponda a uno de los tres casos siguientes:
- Series de Pago Único
- Series Uniformes
- Series con Gradiente
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Sección 2.1
Factores – Serie Única
[F/P], [P/F]
Factores de Pago Único
En este caso un único flujo presente [P] se
relaciona con un flujo futuro [F], a una
tasa i por n periodos.
F
i
0
1
2
n
Ejemplo: Si Ud. invierte hoy MM$ 1, al 2%
mensual, ¿Cuál será el valor de su inversión
después de 5 meses?
P = 1 n = 5 i = 0,02 F = ?
F = 1(1 + 0,02) 5 = 1.104081
P
“Cantidad Compuesta”
F = P (1 + i ) n
P=
F
(1 + i ) n
“Valor Presente”
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4
Sección 2.2
Factores – Serie Uniforme
[A/P], [P/A]
Factores de Series Uniformes
i
En este caso un flujo presente [P] se
relaciona con una serie de flujos anuales
(iguales entre sí) [A], a una tasa i por n
periodos.
0
Ejemplo (a): Si un banco presta hoy MM$ 1,
P
al 3% mensual, pagadero en un 1 año, ¿Cuál
será la cuota fija cobrada?
P = 1 n = 12 i = 0,03 A = ?
 0,03(1 + 0,03)12 
A = 1
 = 0,100462
12
 (1 + 0,03) − 1 
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AA
1
AAA
n
2
“Recuperación de Capital”
 i (1 + i )n 
A = P

n
 (1 + i ) − 1 
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Sección 2.2
Factores – Serie Uniforme
[A/P], [P/A]
Factores de Series Uniformes
P
Este caso es idéntico al anterior, solo que
la cantidad dada es A y la incógnita es P.
i
1
Ejemplo(b): Si Ud. ahorra MM$ 0,1, durante
6 meses, ¿A cuánto equivale el total de sus
ahorros (hoy), con una tasa de 2,5% mensual?
P = ? n = 6 i = 0,025 A = 0,1
 (1 + 0,025) − 1 
P = 0,1
= 0,550812
6
 0,025(1 + 0,025) 
6
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n
2
0
AA
AAA
 (1 + i )n − 1 
P = A
n 
 i (1 + i ) 
10
5
Sección 2.3
Factores – Serie Uniforme
[A/F], [F/A]
Factores de Series Uniformes
En este caso un flujo futuro [F] se
relaciona con una serie de flujos anuales
(iguales entre sí) [A], a una tasa i por n
periodos.
F
i
0
1
2
n
AA
AAA
Ejemplo (a): Si Ud. desea tener un ahorro de
MM$ 1 al cabo de 10 meses ¿Cuánto debe
ahorrar mensualmente, considerando una tasa
de interés del 3% mensual?
“Fondo de Amortización”


i
A = F

n
 (1 + i ) − 1
F = 1 n = 10 i = 0,03 A = ?


0,03
A = 1
 = 0,087230
10
 (1 + 0,03) − 1
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Sección 2.3
Factores – Serie Uniforme
[A/F], [F/A]
Factores de Series Uniformes
F
Este caso es idéntico al anterior, solo que
la cantidad dada es A y la incógnita es F.
i
0
1
2
n
Ejemplo(b): Si Ud. ahorra MM$ 0,2, durante
12 meses, ¿A cuánto equivale el total de sus
ahorros (mañana, después de los 12 meses), con
una tasa de 2,5% mensual?
F = ? n = 12 i = 0,025 A = 0,2
 (1 + 0,025)12 − 1
A = 0,2 
 = 2,759110
0,025


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AA
AAA
 (1 + i )n − 1
F = A

i


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Sección 2.5
Factores – Serie Gradiente
[PG/G], [AG/G]
Factores de Gradiente Aritmético
En este caso un flujo presente [PG] se
relaciona con una serie de flujos anuales
(crecientes en una cantidad fija G) [G],
con una tasa i por n periodos.
PG
i
n
Ejemplo (a): Si Ud. proyecta flujos de costos
crecientes en MM$ 0,1 cada mes (a partir del
2do mes), con una tasa del 3,5% mensual ¿A
cuánto equivale (hoy) el total de los costos
proyectados, después de 5 meses?
G = 0,1 n = 5 i = 0,035 PG = ?
2
1
0
G
(n-1)G
PG =
n
G  (1 + i ) − 1
n 
·
−
i  i(1 + i )n
(1 + i )n 

0,1  (1 + 0,035)5 − 1
5
PG =
·
−
 = 0,871961
0,035  0,035(1 + 0,035)5 (1 + 0,035)5 
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Sección 2.5
Factores – Serie Gradiente
[PG/G], [AG/G]
Factores de Gradiente Aritmético
En este caso una serie anual constante [AG]
se relaciona con una serie de flujos anuales
(crecientes en una cantidad fija G) [G], con
una tasa i por n periodos.
Ejemplo (b): Si Ud. proyecta flujos de costos
crecientes en MM$ 0,1 cada mes (a partir del 2do
mes), con una tasa del 3,5% mensual ¿Cuál es la
anualidad equivalente al total de los costos
proyectados después de 5 meses?
G = 0,1 n = 5 i = 0,035 AG = ?
AG
0 1
i
AG
n
2
G
(n-1)G
1

n
AG = G· −

n
i
(
i
)
1
+
−
1


 1

5
AG = 0,1·
−
 = 0,193123
5
0
,
035
(
1
+
0
,
035
)
−
1


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Sección 2.6
Factores – Serie Gradiente
[Pg/A1]
Factores de Gradiente Geométrico
En este caso un flujo presente [Pg] se
relaciona con un flujo inicial [A1] y con una
serie de flujos anuales (crecientes en una
tasa fija g) [g], con una tasa i por n
periodos.
n

1+ g 

 1− 
 A1 ·  1 + i  i ≠ g
Pg = 
i−g

n
 A1 ·
i=g
1+ i

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Pg
1
2
n
0
A1
A1g
A1(1+g)n-1
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Sección 2.6
Factores – Serie Gradiente
[Pg/A1]
Factores de Gradiente Geométrico
Ejemplo: Si Ud. proyecta flujos de gastos
crecientes en un 1% cada mes (a partir del 2do
mes), con una tasa de 3,5% mensual y partiendo
de un gasto inicial para el mes 1 de MM$ 0,7
¿A cuánto equivalen (hoy) el total de los gastos
proyectados, después de 12 meses?
A1 = 0,7 g = 0,01 i = 0,035 n = 12
Pg=7,120
1
12
2
0
0,7
0,707
12
 1 + 0,01 
1− 

1 + 0,035 
Pg = 0,7· 
= 7,120008
0,035 − 0,01
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0,780
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8
Sección 2.7
Factores – i desconocida
[i/(P,F,n)]
Tasa de interés desconocida
Si consideramos un determinado valor
presente [P] y un valor futuro [F]
relacionados por un cierto número de
períodos [n], la tasa de interés
correspondiente a este caso de serie única se
obtiene a través de la fórmula:
P
¿i?
1
n
2
0
i=n
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F
−1
P
F
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Sección 2.7
Factores – i desconocida
[i/(P,F,n)]
Tasa de interés desconocida
Ejemplo: Si Ud. sabe que un depósito a plazo de
1,3 millones de pesos equivaldrá dentro de 6
meses a 1,35 millones de pesos. ¿Cuál es la tasa
de interés del depósito?
P = 1,3 F = 1,35 n = 6 i ?
MM$ 1,35
¿i?
0
1
2
1,35
i=6
− 1 = 6 1,0384 − 1
1,3
n=6
i = 1,0063 − 1 = 0,0063 = 0,63%
MM$ 1,3
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Sección 2.7
Factores – n desconocida
[n/(P,F,i)]
Número de períodos desconocido
Si consideramos un determinado valor
presente [P] y un valor futuro [F]
relacionados por una tasa de interés [i], el
número de períodos correspondiente a este
caso de serie única se obtiene a través de la
fórmula:
F
log 
P
n=
log (1 + i )
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P
i
1
¿n?
2
0
F
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Sección 2.7
Factores – n desconocida
[n/(P,F,i)]
Número de períodos desconocido
Ejemplo: Si Ud. sabe que otro depósito a plazo
de 2,7 millones de pesos equivaldrá a 3 millones
de pesos con una tasa de interés de 0,8%
mensual. ¿Cuántos meses deben transcurrir para
que se obtenga dicho resultado?
P = 2,7 F = 3 i = 0,8% n = ?
MM$ 3
i=0,8%
0
1
2
¿n?
3
log
0,0457
2,7
n=
=
= 13,44 ≈ 13 meses
log(1 + 0,008) 0,0034
MM$ 2,7
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Ejercicios
Ejercicios
BLANCK, Capítulo 2: Factores
Págs. 84-90
Determinación de F, P y A
Gradiente Aritmético G
Gradiente Geométrico g
Tasa de Interés Desconocida i
Número de Periodos Desconocido n
BLANCK, Capítulo 4: Tasas
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Págs. 160-165
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Tabla de Amortización
Explicación
En una anualidad, es la tabla que permite desglosar al valor de una cuota fija en
los montos correspondientes a capital e intereses para cada período.
Construcción
Se consideran 4 columnas: Saldo
Insoluto (S), Amortización de
Capital (A), Pago de Intereses (I) y
Cuota (C). Y tantas filas como
períodos de capitalización (n) tenga
el préstamo. El capital inicial
solicitado está asociado a la letra P.
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1
2
…
n
TABLA DE AMORTIZACIÓN (Cuota Fija)
i%
Saldo
Amortización Interés
Cuota
S1=P
A1=C-I1
I1=ixP1
C
S2=S1-A1
A2=C-I2
I2=ixP2
C
…
…
…
…
Sn=S(n-1)-A(n-1)
An=C-In
In=ixPn
C
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11
Tabla de Amortización
Ejemplo
Si se toma un crédito por
MM$ 1 pagadero a 4 meses,
con una tasa mensual del
1,5%, la cuota fija a pagar
(obtenida con el factor de
recuperación de capital [A/P])
corresponde a $ 259.448.
Partiendo de este dato como
base se completa la tabla que
permite desglosar cada cuota
fija en amortizaciones e
intereses variables en cada
período.
UTFSM 2011
1
2
3
4
TABLA DE AMORTIZACIÓN (Cuota Fija)
i=
1,5%
Saldo
Amortización Interés
Cuota
1.000.000
244.448
15.000
259.448
755.552
248.115
11.333
259.448
507.438
251.836
7.612
259.448
255.601
255.614
3.834
259.448
1.000.012
37.779
i=
0,015
n=
4
P= 1.000.000
A/P= 0,25944781
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23
Sección 2.4
Interpolación Lineal
Definición
Método de aproximación que permite obtener valores estimados, a través de un
conjunto de valores previos conocidos. Asumiendo una relación lineal entre estos
valores se tiene que;
Valor fijado 1 (x1)
Valor obtenido 1 (y1)
Valor deseado (x)
Valor buscado (y)
Valor fijado 2 (x2)
Valor obtenido 2 (y2)
x − x1
y − y1
=
x2 − x1 y2 − y1
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12
Sección 6.1, Schaum.
+ Anualidades
Otro tipo de anualidades
Hasta ahora todas las anualidades han sido calculadas asumiendo que
el período de pago es igual al período de capitalización. Por ejemplo;
si la capitalización es mensual el pago de las cuotas también ha sido
mensual. Si estos períodos difieren, entonces debemos corregir el
método a través de una de las siguientes formas:
(1 + i )
- Aplicar la tasa de interés equivalente ip.
- Calcular el pago equivalente R.
p
R =W
m: Número de períodos de capitalización en un año.
p: Número de períodos de pago en un año.
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 i 
= 1 + a 
 m
p
m
i
(1 + i )m p − 1
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25
Sección 6.2, Schaum.
Perpetuidades
[P/A∞]
Factores de Series Uniformes
P
¿Cuál es el valor presente de una serie
uniforme de pagos, que se extiende
indefinidamente en el tiempo?
i
1
∞
2
0
Tomando el límite con el número de pagos
(n) tendiendo a infinito obtenemos:
AA
AAA
 (1 + i )n − 1
 (1 + i )n
1  A∞
P = Lím A∞ 
=
Lím
A
−
=

∞
n
n
n
n →∞
n →∞
i
(
)
(
)
(
)
i
1
+
i
i
1
+
i
i
1
+
i




1
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0
26
13
Perpetuidades
[P/A∞]
Factores de Series Uniformes
P
Ejemplo: Si por derechos de aguas un
municipio obtiene una renta anual MM$ 10,
asumiendo que es una renta perpetua no
reajustable y considerando una tasa de interés
del 8% anual. ¿Cuál sería el precio mínimo de
venta de esos derechos?
i
1
AA
P = ? i = 0,095 A∞ = 10
10
P=
= 105.263.158 $
0,095
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∞
2
0
AAA
P=
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A∞
i
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Flujo de Caja
Sapag N. Pág. 265
El Flujo de Caja es la medida elemental de los ingresos y egresos
relacionados a un proyecto en un instante de tiempo.
Contiene cuantitativamente la información reunida en el estudio de
mercado, estudio técnico y otros estudios complementarios.
Sus componentes son básicamente tres:
Egresos Iniciales
Ingresos y Egresos
Gastos no desembolsables
Otros Beneficios y Egresos
Ej.: Inversión Inicial, Capital de Trabajo
Ej.: Ventas, Costos directos.
Ej.: Depreciación.
Ej.: Valor Residual.
Su estructura depende, comúnmente, de si el proyecto es o no
financiando (total o parcialmente) con deuda.
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28
14
Flujo de Caja – Estructura
Sapag N. Pág. 268
Flujo con Deuda
+
=
=
+
+
+
-
Flujo sin Deuda
Ingresos afectos a impuestos
Egresos afectos a impuestos
Intereses del préstamo
Gastos no desembolsables
Utilidad antes de impuesto
Impuesto
Utilidad despues de impuesto
Ajustes por gastos no desembolsables
Egresos no afectos a impuestos
Beneficios no afectos a impuestos
Préstamo
Amortización de la deuda
Flujo de caja
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+ Ingresos afectos a impuestos
- Egresos afectos a impuestos
=
=
+
+
Gastos no desembolsables
Utilidad antes de impuesto
Impuesto
Utilidad despues de impuesto
Ajustes por gastos no desembolsables
Egresos no afectos a impuestos
Beneficios no afectos a impuestos
Flujo de caja
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29
Laboratorio
Taller
Fórmulas
Para utilizar la fórmulas de excel:
1º En la barra de Herramientas, seleccionar Insertar/Función
2º En la categoría de Función:, seleccionar Financiera
3º Elegir la función a utilizar, las más comunes son:
VA
VF
PAGO
: Valor Actual
: Valor Futuro
: Anualidad o Cuota
NPER
TASA
: Nº de Periodos
: Tasa de Interés
Recomendaciones: Los flujos negativos deben registrarse con dicho signo en la
celda correspondiente. En el campo tipo seleccionar 0 (pagos realizados al
final de cada periodo)
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15
Taller
Fórmulas
RESUMEN DE FUNCIONES FINANCIERAS DE EXCEL
Fórmula
Símbolo Operación
VA
VF
VP
VF
PAGO
A
TASA
i
NPER
n
Datos Necesarios
VP VF A
i
n
Entrega el valor presente de una serie
Entrega el valor futuro de una serie
Entrega la Anualidad o Cuota
equivalente a una serie
Calcula la tasa correspondiente a una
serie
Calcula el número de periodos
correspondiente a una serie
Dat o Obligatorio
Dat o Opcional según c/ caso
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31
16