Mapas matemáticos de la música La simetría es una

Mapas matemáticos de la música
La simetría es una parte fundamental en la música. Puede encontrarse en sus patrones rítmicos, en
los timbres de sus instrumentos y hasta en su compleja estructura armónica. Desde el punto de vista
matemático, las simetrías son funciones geométricas y algebraicas. Es por esta razón que el estudio
de la música occidental ha tenido un aire científico desde sus orígenes. El grupo de los pitagóricos
es reconocido como uno de los primeros en descubrir que el sonido de una cuerda está relacionado
con la longitud de la misma. Así mismo descubrieron que los sonidos cuyas proporciones eran
fracciones sencillas, eran armoniosos. Por ejemplo la razón de longitud 2:1 representa la distancia
armónica de una octava, mientras que 3:2 es una quinta justa. Fue de estas sencillas pero valiosas
observaciones de donde surgió el el espíritu de la música occidental de los próximos siglos.
A partir de entonces, la dicotomía consonancia – disonancia forjó la evolución de la música. El
siguiente paso natural fueron los conceptos de escala y armonía musical, en donde se eligen un
conjunto finito de notas de acuerdo a sus proporciones. Después de siglos de tradición, modas y
desarrollos acústicos se llegó a la maravillosa herencia musical que tenemos hoy en día.
Por otra parte, la teoría matemática ha tenido grandes avances en los últimos siglos. Los cuales han
sido la base sobre la cual las ciencias naturales han crecido y nos han permitido una comprensión
mas profunda del mundo en que vivimos. El desarrollo del álgebra abstracta ha permitido la
descripción de la simetrías complejas por medio de conjuntos y operaciones, los cuales nos dan
información que a simple vista es imposible percibir. La geometría ha sido dotada con habilidades
increíbles al introducirse la noción del cálculo y topología.
Con lo anterior cabe la pregunta, si la teoría armónica occidental fue desarrollada bajo la premisa de
escoger sonidos cuyas proporciones sean sencillas, ¿cuál será el resultado de la aplicación de las
nuevas herramientas matemáticas para la comprensión del espacio armónico? La respuesta es
sencilla: un mundo infinito de nuevas armonías que eventualmente resultarán en un espectro
musical mucho más amplio y maduro.
Actualmente existen músicos y científicos que siguen esta filosofía, a continuación se muestran
algunas ideas manejadas para la construcción de modelos que ayuden a la comprensión y creación
de nueva buena música.
El primer paso para la construcción de espacios armónicos geométricos consiste en representar los
acordes como coordenadas en el espacio. Dicha idea ha sido propuesta por el investigador y músico
Dmitri Tymoczko [1] en su articulo ''The geometry of musical chords'' (Science 313, 72, 2006)
Tomemos por simplicidad un acorde de dos notas y veamos su gráfica en un plano cartesiano.
Cada voz del acorde representa la coordenada en uno de los ejes, la primer nota es el eje horizontal,
mientras que la segunda es el eje vertical. De este modo, un contrapunto a dos voces consiste en una
serie de puntos ordenados en el plano cartesiano. La representación geométrica quizá no sea muy
útil en cuanto a la ejecución de la pieza musical, pero desde el punto de vista del análisis es
fundamental ya que la gráfica nos puede dar información de la estructrua armónica de la pieza.
Existe una forma explicita de medir la consonancia de un par de notas, dicha función propuesta por
primera vez por Helmholtz [2], ha sido perfeccionada por los trabajos de Plomp, Levelt [3] y W. A.
Sethares [4]. Concluyendo en el siguente modelo:
Donde ''x'' representa la distancia entre el par de notas seleccionadas. Al aplicar esta ecuación a cada
punto del plano, podemos asignar un valor de disonancia a cada par de notas, de lo cual resulta el
siguiente gráfico:
Donde el grado de consonancia se indica en el espectro de los colores, azúl significa consonante,
mientras que rojo es disonante. La ventaja de este modelo, es que nos da información armónica de
todo el espectro de frecuencias, es decir de todas las notas posibles.
Es interesante como estas propiedades modeladas por una ecuación matemática se ajustan a la
tradición musical. En la figura se pueden apreciar zonas de mayor consonancia y disonancia. La
región rojo obscura representa los intervalos cercanos al intervalo de segunda, mientras en que la
línea diagonal se encuentran los unisonos, que está caracterizada por una tendencia hacia el azúl.
El razonamiento anterior se aplica de manera análoga a triadas, la diferencia es que se requiere una
gráfica tridimensional, donde cada eje será una voz.
Este tipo de herramientas geometricas matemáticas para el analisis de la música son de fundamental
importancia para las nuevas tecnicas de composición, ya que con la introducción de medios
electrónicos para generar sonidos musicalmente interesantes, como en la música de Ligeti y
Stockhausen, tenemos acceso a todas las frecuencias y timbres que deseemos. Sin una forma
racional de organizar el sonido y las armonías, estaremos perdidos en un mar de opciones musicales
que facilmente podría terminar en un desastre cacofónico. Sin embargo con un mapa adecuado,
como los propuestos por los modelos matemáticos, podremos explorar la vasta gama de
posibilidades y crear música con nuevas estructuras armónicas.
El presente siglo trae consigo una etapa emocionante en la historia de la música, donde la ciencia,
tecnología y arte tendrán que trabajar en conjunto para poder crecer. La puerta está abierta para los
jovenes creadores que deseen tomar lo mejor de nuestra herencia musical y aventurarse a las nuevas
regiones donde reinan espectros armónicos, que aun estamos por conocer.
– Cristian Manuel Bañuelos Hinojosa
Lic. Matemáticas Aplicadas
UABC
[1] Dmitri Tymoczko ''The geometry of musical chords'' (Science 313, 72, 2006)
[2]H. Helmholtz, On the Sensations of Tones, Dover, New York (1954).
[3] R. Plomp and W. J. M. Levelt, "Tonal Consonance and Critical Bandwidth," Journal of the
Acoustical Society of America.38, 548-560 (1965).
[4]W. A. Sethares, "Local Consonance and the Relationship Between Timbre and Scale".