Clase Funciones de Producción

Funciones de producción
Algunas características.
Repaso
En esta primer parte analizamos a la empresa y la hemos definido como cualquier entidad
que utiliza factores económicos tales como tierra, trabajo y capital para producir bienes y
servicios que vende a las economías domésticas o a otras empresas. Su problema consiste
en decidir cuánto se producirá y cuánto de los diversos factores se utilizará para alcanzar
esta producción, dada la relación tecnológica entre la producción y los factores, dados los
precios de los factores y de la producción.
Supusimos que utiliza dos insumos trabajo (l) y capital (k), los cuales son cantidades no
negativas. Por otro lado, a cada combinación de capital y trabajo le corresponde un máximo
de producción único dados estos factores. Esta relación tecnológica de producción y
factores se denomina función de producción, en símbolos
Q = F(k;l) tal que Q es continuamente diferenciable.
Una vez definida la función de producción realizamos distintos experimentos.
Comenzamos viendo qué sucedía con la producción al cambiar en pequeñas cantidades uno
solo de los insumos. A esto lo llamamos producto marginal (Pmgh)i y representa la
productividad marginal de ese factor en un punto determinado.
También descubrimos que a medida que aumentamos las cantidades de uno de los insumos,
dadas las cantidades fijas de los otros, se llega a un punto donde comienza a descender la
productividad marginal y a este fenómeno lo llamamos “Ley de los rendimientos
decrecientes”.
La función de producción se caracteriza en la región aplicable por los “rendimientos a
escala” y las”posibilidades de sustitución”.
Los rendimientos a escala se caracterizan por el comportamiento de la producción cuando
todos los insumos varían en la misma proporción. Supongamos que una cierta combinación
de insumos se multiplican por el factor escalar λ, siendo λ>0. La función de producción
muestra rendimientos constantes a escala si la producción se incrementa en la misma
proporción que todos los factores:
F(λk;λl) = λF(k;l)
De modo que, por ejemplo, doblando todos los factores se dobla la producción.
Del mismo modo, la función de producción muestra rendimientos crecientes (decrecientes)
a escala si la producciones incrementa en una proporción mayor (menor) que todos los
factores:
F(λk;λl) > (<) λF(k;l)
Las funciones de producción pueden lógicamente presentar rendimientos constante a escala
en algunas combinaciones de insumos y crecientes o decrecientes en otras combinaciones.
Una medida local de los rendimientos a escala, definida en una combinación dada de
insumos (k0;l0), es la elasticidad de producción:
ε (k ; l ) =
Pmg (k ; l )
F (k ; l )
(k ; l )
donde la elasticidad respecto a cada factor es igual a:
ε (k ) =
Pmgk
Pmgl
y ε (l ) =
Pmek
Pmel
Donde se puede demostrar que:
ε (k ; l ) = ε (k ) + ε (l )
De esta manera, la elasticidad de producción en cualquier punto de la región
económicamente significativa es la suma de todas la elasticidades de producción con
respecto a los diversos insumos en este punto.
Las posibilidades de sustitución caracterizan la función de producción por diferentes
combinaciones de factores que generan el mismo nivel de producción. Una medida local de
la sustitución entre dos puntos de capital y trabajo, puede tomarse en un punto particular de
la región aplicable mediante la elasticidad de sustitución entre los factores k y l y se define
como:
k
k
d ln( )
d ln( )
cambiorelativoen( k / l )
l
l
σ kl = −
=−
=−
Pmgk
r
cambiorelativoen(r / w)
d ln(
d ln( )
)
Pmgl
w
Esto es como la variación porcentual del cociente de los factores dividido por la variación
porcentual en el cociente de sus productividades marginales. El signo menos nos asegura
que σ kl ≥ 0 , por lo tanto nos encontramos en la región aplicable.
0 ≤ σ kl < ∞ , cuanto mayor σ kl , tanto mayor será la sustitubilidad entre los insumos. El caso
límite σ kl = 0 es donde los insumos pueden emplearse en una proporción fija como
complemento uno del otro. El caso límite σ kl → ∞ , es aquel en el que los insumos son
perfectamente sustitutivos entre si.
Las elasticidades de sustitución caracterizan la curvatura de las isocuantas, ya que −
es la pendiente de la isocuanta.
Pmgk
Pmgl
Funciones de producción
Tipo de
función
Lineal
Función de producción
σ
kl
ε
q = ak+bl
∞
1
Cobb-Douglas
q = A ka lb
1
Leontief
0
k l
q = min( ; ); k ≥ aq; l ≥ bq
a b
ESC
q = A[ak-B+(1-a)l-B]-h/B
1/(1+B)
Parámetros
a;b: Productividad física
marginal del factor
asociado.
a+b
A: Factor de escala
a;b: elasticidades de la
producción respecto al
factor asociado.
1 siempre a;b: cantidad del factor
que k/a=l/b asociado necesaria para
producir una unidad de
producción.
h
A: parámetro de escala
a: parámetro de distribución
h: grado de homogeneidad
B: parámetro de sustitución;
La función de producción con elasticidad de sustitución constante (ESC), para la cual
σ =
kl
1
, y es el caso general del cual se desprenden las otras funciones de producción
1+ B
vistas.
B → −1 ⇒ ESC → Lineal (σ kl → ∞)
B → 0 ⇒ ESC → Cobb − Douglas (σ kl → 1)
B → ∞ ⇒ ESC → Leontief (σ kl → 0)
podemos caracterizar las isocuanta de estas funciones de la siguiente forma:
k
Función Lineal. Elasticidad de sustitución infinita.
l
k
Función Cobb Douglas. Elasticidad de sustitución unitaria.
l
k
Función Leontief. Elasticidad de sustitución nula.
l
Referencias
“Optimización matemática y teoría económica”, Michael D. Intriligator, Editorial
Prentice Hall Internacional.
“Métodos fundamentales de economía matemática”, Alpha C. Chiang, McGraW Hill.
i
h representa el insumo respecto al cual se lleva adelante el análisis.