Representación fasorial de señales paso-banda

Representación fasorial de señales paso - banda:
Notación: (^x)(t) => Transformada de Hilbert de x(t)
· Representación en fase y cuadratura:
· x(t)=xc(t)·cos(wc·t)-xs(t)·sen(wc·t)
· (^x)(t)=xc(t)·sen(wc·t)+xs(t)·cos(wc·t)
· Representación fasorial: x(t)=Re[r(t)·exp(j·psi(t))]
· Componente en fase: xc(t)=r(t)·cos(fi(t))=x(t)·cos(wc·t)+(^x)(t)·sin(wc·t)
· Comp en cuadratura: xs(t)=r(t)·sen(fi(t))=-x(t)·sen(wc·t)+(^x)(t)·cos(wc·t)
· Envolvente: r(t)=sqrt((xc(t))^2+(xs(t))^2)
· Fase instantánea: psi(t)=wc·t+fi(t)
· Fase relativa: fi(t)=arctan(xs(t)/xc(t))
· Frecuencia instantánea: (1/(2·pi))·d(psi(t))/dt=fc+(1/(2·pi))·dfi(t)/dt
· Envolvente compleja: v(t)=r(t)·exp(j·fi(t))=xc(t)+j·xs(t)
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Modulación:
· AM:
· y(t)=Ac·[1+m·x(t)]·cos(wc·t)
· Ry(tau) => Ry(0)=Pt => TF[Ry(tau)]=Gy(f)
· Pt=Ry(0)=Ac^2/2+(Ac·m)^2/2·Rx(0)
· Ac^2/2 => Pot media de la portadora
· Ac·m)^2/2·pot(x) => Pot media de las 2 bandas laterales
· Relación=Pot1bdlateral/Potportadora
· Potencia envolvente ó de pico (ó de cresta):
·
PEP=1/2·|y(t)|max^2=1/2·Ac^2·(a+m·|x(t)|max)^2=(|x|max=1)=1/2·Ac^2+Ac^2·m+1/2·Ac^2·m^2=Pt+A
· DEP: Gy(f)=F[Ry(tau)]=Ac^2/4·[delta(f-fc)+delta(f+fc)]+(Ac·m)^2/4·[Gx(f-fc)+Gx(f+fc)]
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· DBL: (AM sin portadora)
· y(t)=m·Ac·x(t)·cos(wc·t)
· A partir de ahora tomaremos Ac como m·Ac
· Pt=Ac^2/2·Potx=2·P1bdlateral
· Gy(f)=TF[Ry(tau)]=Ac^2/4·[Gx(f-fc)+Gx(f+fc)]
· PEP=1/2·Ac^2
· BLU:
· y(t)=1/2·Ac·[x(t)·cos(wc·t)-(si BLU-S ó + si BLU-I)(^x)(t)·sen(wc·t))
· P=1/4·Ac^2·[Potx]=PotBL (pero como solo hay un Bl, pos de una solo k es toda :) )
· PEP=Ac^2·([x(t)^2+(^x)(t)^2]|max)/8
· BLResidual:
· y(t)=1/2·Ac·[x(t)·cos(wc·t)-xq(t)·sen(wc·t)], donde xq(t)=(^x)(t)+xbeta(t) y
xbeta(t)=2·j·x(t)·w·hbeta(t)
· PtBLU=<PtBLR=<2·PtBLU
· BW=w+beta
· Resúmen: y(t)=[kc+km·x(t)]·cos(wc·t)-km·xq(t)·sen(wc·t)
· AM: xq=0, kc=Ac, km=m·Ac
· DBL: xq=0, kc=0, km=Ac
· BLU: xq=(^x)(t), kc=0, km=1/2·Ac
· BLR: xw=(^x)(t)+xbeta(t), kc=0, km=1/2·Ac
· QAM (Modulación en amplitud de cuadratura):
· Se obtiene haciendo modulaciones DBL
· Mandamos 2 señales a la ves (una en coseno y otra en seno)
· y(t)=1/2·Ac·[x1(t)·cos(wc·t)+x2(t)·sen(wc·t)]
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Modulaciones angulares o exponenciales:
· y(t)=Ac·Cos[wc·t+fi(t)]=RE[Ac·exp(j·psi(t))] donde:
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· Fase instantánea: psi(t)=wc·t+fi(t), fi(t)= variación de la fase instantánea (fase relativa)
· Frecuencua equivalente o instantánea: f(t)=(1/(2·pi))·dpsi(t)/dt=fc+(1/(2·pi))·dfi(t)/dt
--------------------> deltaf(t) => Variación de la frecuencia instantánea (frecuencia relativa)
· PM: fi(t)=deltapsi(t)=mud·x(t)
· Como |x(t)|=<1 => mud=<pi => y(t)|PM=Ac·cos[wc·t+mud·x(t)]
· FM: deltaf(t)=fd·x(t)
· y(t)|FM=Ac·cos[wc·t+fi(t)]=Ac·cos[2·pi·fc·t+2·pi·fd·int(-inf,t,x(landa),landa)]
· x(t)->(integrador)->(modulador PM)->y(t)|FM
· x(t)->(derivador)->(modulador FM)->y(t)|PM
· Análisis espectral de modulación angular:
· fd·Am (Am=x(t)|máx) = deltaf = desviación máxima de frecuencia (máxima excursión de la
señal respecto de la portadora) (75KHz en FM)
· deltaf/fm=fd·Am/fm=beta=Ã−ndice de modulación (desviación máxima de fase)
· Si x(t)=Am·cos(wm·t)
· y(t)|FM=Ac·cos[wc·t+beta·sen(wm·t)]=Re[Ac·exp(j·wc·t)·exp(j·beta·sen(wm·t))]
· exp(j·beta·sen(wm·t))=sum(n=-inf,inf,Cn·exp(j·n·wm·t)), Cn=Jn(beta) => función real
=> y(t)|FM=Ac·sum(n=-inf,inf,Jn(beta)·(exp(wc+n·wm)·t)+exp(-j·(wc+n·wm)·t))/2
=> Y(f)|FM=TF[y(t)|FM]=sum(n=-inf,inf,1/2·Ac·Jn(beta)·[delta(f-(fc+n·fm))+delta(f-(fc-n·fm))]
· Propiedades de Jn(beta):
· J-n(beta)=(-1)^n·Jn(beta)
· Si beta<<1 (beta<0.3) => FM de Banda Estrecha => J0(beta)(aprox)=1, J1(beta)(aprox)=beta/2,
J-1(beta)(aprox)=-beta/2, Jn(beta)(aprox)=0 para n>1
· sum(n=-inf,inf,(Jn(beta))^2)=1
=> Pt=2·Ac^2/4·sum(n=-inf,inf,(Jn(beta))^2)=Ac^2/2·sum(-inf,inf,(Jn(beta))^2)=Ac^2/2
· Según beta => Bt=f(beta)
· FM-Banda Estrecha => beta<<1 (beta=<0.2) => Bt=2·fm
· FM-Banda Ancha => beta>>1 => Bt=2·fd·Am (como fd es cte, Bt solo es función de Am)
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· Criterio de Carson (vale para BA y BE): Bt=2·(beta+1)·fm=2·(1/beta+1)·deltaf
· Criterio del 1%: |JM(beta)|>0.01>|JM+1(beta)| => Bt=2·M·fm
· Como beta=deltaf/fm => D=(0.2 en BE)Ã−ndice de desviación=deltaf/w
· Carson: Bt=2·(1/beta+1)·deltaf=2·(1+D)·w (w en Hz, nada de pulsación) (Hz)
· 1%: |JM(D)|>0.01>|JM+1(D)| => BT=2·M·w (Hz)
· Para generar FM (modular):
· Método indirecto: Mediante multiplicadores. Lo que multiplicamos en los multiplicadores es fc, deltaf y
D.
· Método directo: Un VCO
· Para demodular FM (se usa un discriminador de frecuencia):
· Conversión FM-AM: y(t)|FM->(derivador con el que obtenemos AM)->(detector de envolvente)
· Con un PLL
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Ruido:
· Para hacer presente este factor en el sistema se usa la relación señal-ruido (S/N), mejor cuanto más
alta, claroxtá.
· Sin modular: (S/N)r=gamma=Sr/(neta·w)
· En modulaciones lineales, el detector devuelve la componente en fase.
· En modulaciones angulares, el detector devuelve zeta(t)=fid·x(t) si PM ó
fd·x(t)=1/(2·pi)·dzeta(t)/dt si FM
· pot(nc)=pot(ns)=pot(n)
· Como en otra señal cualquiera..
· nc(t)=n(t)·cos(wc·t)+(^n)(t)·Sen(wc·t)
· ns(t)=-n(t)·sen(wc·t)+(^n)(t)·cos(wc·t)
· n(t)=nc(t)·cos(wc·t)-ns(t)·sen(wc·t)
· Gy(w)=Gx(w)·|H(w)|^2 =>
· Rn(^n)(tau)=-(^R)n(tau)
· R(^n)n(tau)=(^R)n(tau)
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· R(^n)(tau)=Rn(tau)
· Att=Pt/Sr (Att no está en decibelios)
· Gnc(f)=Gns(w)={Gn(f) corriendo las dos bandas fc hacia el orÃ−gen}
· IMPORTANTE: Tras el demodulador no hay que usar Gn(f), sino Gnc(f)
· DBL:
· (S/N)r=Ac^2·Sx/(4·neta·w)
· (S/N)d=gamma
· BLU:
· (S/N)r=(1/4)·Ac^2·Sx/(neta·w)
· (S/N)d=gamma
· AM (usando detector coherente):
· (S/N)r=(1/2)·Ac^2·(1+m^2·Sx)/(2·neta·w)
· NOTA: La componente contÃ−nua se elimina con un condensador, quedando lo que sigue:
· (S/N)d=(m^2·Sx/(1+m^2·Sx))·gamma
· (S/N)d|max=gamma/2
· En FM y PM:
· Sr>>pot(ns),pot(nc),pot(n)
· Ac>>rn(t)
· ArcTg(alfa)(aprox)=alfa si alfa es pequeña
· ns(t)=rn(t)·sen(fin(t))
=> zeta(t)=fi(t)+ns(t)/sqrt(2·Sr)
señal<----- ---------------->ruido
· PM:
· (S/N)d=fid^2·Sx·gamma
· FM:
· (S/N)d=3·Sr·(fd^2)·Sx/(neta·w^3)=(aplicando Carson)=3·(D^2)·Sx·gamma
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· Deénfasis:
· Filtro de deénfasis (en tx será al revés): Hde(f)=1/sqrt(1+(f/Bde)^2)
· Bde=fcorte=1/tau (tau vale 50·10^(-6) segundos en España)
· (S/N)de=(fd^2)·Sx·Sr/(neta·(Bde^3)·[w/Bde-ArcTg(w/Bde)])
· Mejora respecto a no usar esta técnica: (S/N)de/(S(N)d=1/3·(w/Bde)^2 (cabe la opción de poner esta
mejora en dB haciendo 10·log(mejora))
· Efecto umbral: gamma ha de ser mayor que gammath, que es:
· Carson: gammath=20·(D+1)
· 1%: gammath=20·M(D)
· ((S/N)r,th)=10
· de no cumplirse esto, no podemos tomar Ac>>rn(t) y por tanto no podremos separar la señal del ruÃ−do,
y en AM aún se oye algo, pero en FM na de na.
· Sx lo suelen dar, y Sr y Sd a veces se sacan facilemnte haciendo la autocorrelación de la señal en tau=0.
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Comunicaciones digitales:
· mi => cada sÃ−mbolo (lo que tx) representado como una sucesión de bits.
· Pi => probabilidad de ocurrencia de un sÃ−mbolo
· Info de un sÃ−mbolo: Ii=Log2(1/Pi) (bits de información)
· EntropÃ−a: H=ImediaporsÃ−mbolo(bits/sÃ−mbolo)=sum(i=1,M,Pi·Log2(1/Pi)
=> Si equiprobables (M=número total de sÃ−mbolos): Ii=Log2(M)
· Velocidad binaria (bps): R=nºbits/segundo=(equiprobables)=(Log2(M))/T=Vt·Log2(M), T=perÃ−odo
de sÃ−mbolo
(no equiprobables)=H/T=velocidad media
· Codificador de lÃ−nea: SÃ−mbolos -> Señales eléctricas
· Forma matemática: x(t)=sum(k=-inf,inf,ak·p(t-K·D)), p(t-K·D)=(1 en t=K·D, 0 en t<>K·D)
· D=1/Vt => perÃ−odo de sÃ−mbolo, Vt=velocidad de sÃ−mbolo (baudios), p(t)=rect(t/tau), tau=<D
· NRZ unipolar: p(t)=rect((t-D/2)/D), RZ polar: p(t)=rect((t-D/4)/(D/2)) (con ak=0,1)
· Códigos multinivel: x bits -> 2^x niveles
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· Espectro de potenca de esos códigos:
· media: ma=E[ak]=sum(probi·valori)
· varianza: (sigma^2)=potencia-(media^2)=E[ak^2]-{(E[ak])^2} siendo E[ak^x]=sum(probi·(valori^x))
· Si ak incorreladas =>
Gx(f)=(sigma^2)·(|P(f)|^2)/D+(ma^2)/(D^2)·sum(n=-inf,inf,(|P(n/D)|^2)·delta(f-n/D))
· P(n)=TF[p(t)]
· TF[rect(t/tau)]=tau·sinc(f·tau)
· x(t-to)<->X(w)·exp(-j·w·t0)
· sinc(x)=(sen(pi·x))/(pi·x)
· 1<->2·pi·delta(w)=delta(f)
· Si ak no incorreladas => Gx(f)=(|P(f)|^2)/D·sum(n=-inf,inf,Ra(n)·exp(-j·2·pi·n·f·D))
· Limitaciones en la tx digital en banda base. ISI y ruido e interferencias:
· Lo que recibimos tras el muestreo es: y(t)=ak+sum(n=-inf y n<>k,inf, an·p'((k-n)·D))+n(tk) (tk=t sub k)
lo que queremos<--- ISI----------------------------------- ----->ruido
siendo p'(t)=p(t)*ht(t)*hc(t)*hr(t) ( * = convolución )
· En el muestreo: t=tk=k·D+td, td=retardo del canal
· Regenerador: Muestreador+comparador
· P(A|B)=Prob de que ocurra A tras haber ocurrido B.
· Criterio de Bayes: P(Hi|y)·P(y)=P(y|Hi)·P(Hi)
· Criterio de máxima verosimilitud: P(y|H1)(>si H1,< si H0)P(y|H0)
· P(y|H1)=Pn(y-a1) (Pn=Pnoise=Prob de ruido)
· P(y|H0)=Pn(y-a0)
· fdp(y|H1)=1/(sqrt(2·pi)·sigma0)·exp(-sq(y-a1)/(2·(sigma0^2)))
· Si P(y|H0)=P(y|H1)=> gammaóptimo=((a1+a0)/2) (si señal binaria, claroxtá)
· ((sigma0)^2)=potencia media de ruido (ya que suele ser ruido con media
nula)=N=int(-inf,inf,neta/2·|Hr(f)|^2,f)=neta/2·int(-inf,inf,(hr(t))^2,t)=neta/2·int(0,D,(hr(t))^2,t)
· Ancho de banda mÃ−nimo: Criterio de Nyquist: Vt<2·BW
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· Probabilidad de error (caso binario): Pb=Pe0·P(H0)+Pe1·P(H1) siendo Pei la Probabilidad de error del
bit i.
· Pe0=P(y>gamma|H0)=int(gamma,inf,1/(sqrt(2·pi)·sigma0)·exp(-1/2·sq(y-a0)/(sigma0^2)),y) siendo
sigma0 la desviación de ruido en el momento del muestreo
· Pe1=P(y<gamma|H1)=int(-inf,gamma,1/(sqrt(2·pi)·sigma0)·exp(-1/2·sq(y-a1)/(sigma0^2)),y)
· Si gamma=(a1+a0)/2, P(H0)=P(H1)=1/2 => Pe1 y Pe0 simétricas =>
Pb=int((a1+a0)/2,inf,1/(sqrt(2·pi)·sigma0)·exp(-1/2·sq(y-a0)/(sigma0^2)),y)
=> con u=(y-a0)/sigma0 =>
Pb=int((a1-a0)/(2·sigma0),inf,1/sqrt(2·pi)·exp(-sq(u)/2),u)=Q((a1-a0)/(2·sigma0))=(con filtro
adaptado)=Q(sqrt(Ed/(2·neta)))
=> Si sube (S/N) => baja Pb porque esto acerca el lÃ−mite inferior de la integral al lÃ−mite superior de la
misma
· Pe(axy)=Q(axi/sigma0)
· Para subir (S/N) => filtro óptimo, adaptado ó acoplado previo al muestreo:
· S/N=sq(ai)/N=> (S/N)óptimo=(serÃ−a =< sin filtro
adaptado)=2/neta·int(-inf,inf,sq(|Si(f)|),f)<=>Hr(f)=conj(Si(f)·exp(-j·2·pi·f·D)) =>
hr(t)=(TF^(-1))[Hr(f)]=C·Si(D-t)
· Si queremos adaptarlo a S1 y S0 => Si=S1(t)-S0(t)
· Una implementación práctica es el correlador: Si->[(multiplicador por S1, S0 ó
S1-S0)]->[C·int(0,D,·,t)]->ai
· Ahora gamma=K·E=(si equiprobables)=1/2·D
· Con Hr=>sq(a1-a0)/(sigma0^2)|max=1/neta·Ed
· Ed=int(0,D,sq(Si(t)),t)
· EnergÃ−a=E=sum(Probi·Edi)
· Caso multinivel: Pb=2·[(1-1/M)·Q(A/(2·sigma0))]
· A => mÃ−nimo salto entre niveles
· M => número de niveles
· Para que no exista ISI se debe cumplir Nyquist => Vt<2·BW
· Frecuencias de interés => los nulos
· BW=> La parte real del ancho en frecuencia de la DEP, ó la mitad del lóbulo principal si es una
función Sinc.
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· Eficiencia espectral: Ef=(Velocidad tx sÃ−mbolo/BW que ocupa el código)=R/w bps/Hz, donde R es el
régimen binario y w el ancho de banda en herzios
· EnergÃ−a media por bit: Eb=sum(Probi·Ebiti)
----->int(0,duración,amplitud^2,t)
· NOTA: EnergÃ−a biti=Ei=int(0,D,(Si(t))^2,t)
· Umbral óptimo de decisión (si sÃ−mbolos binarios equiprobables): gamma0=(a1+a0)/2=(con filtro
adaptado)=C·[E1-E0]/2 (C es la cte de hr(t))
· Régimen binario: R=Vt·Log2(M) bps
baudios<--- ->número de niveles
· Potencia total (si binario) = Prob(H0)·Potencia(y|H0)+Prob(H1)·Potencia(y|H1)
· Potencia(y|H0)=1/D·int(0,D,sq(|S0(t)|),t)
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Modulaciones digitales:
· ASK: y(t)=Ac·sum(k=-inf,inf,ak·p(t-K·D))·cos(wc·t+zeta)
· QAM (Duplica la Ef del ASK):
y(t)=Ac·[(xc(t)|(Vt'=Vt/2))·cos(wc·t+zeta)-(xs(t)|(Vt'=Vt/2))·sen(wc·t+zeta)]
· xentrada(t)=sum(k=-inf,inf,ak·p(t-K·D)) => Convertidor Serie-Paralelo
=> xc(t)=sum(k=-inf,inf,a2k·p(t-K·D))
=> xs(t)=sum(k=-inf,inf,a(2k+1)·p(t-K·D))
· Constelaciones: ejex => yc(ó xc), ejey => ys(ó xs)
· PSK:
y(t)=Ac·[(sum(k=-inf,inf,cos(fik)·p(t-K·D)))·cos(wc·t+zeta)-(sum(k=-inf,inf,sen(fik)·p(t-K·D))·sen(wc·
· BPSK => PSK de 2 niveles
· FSK:
· Banco de filtros: y(t)=Ac·sum(k=-inf,inf,cos(wc·t+zeta+2·pi·fd·ak·t)·p(t-K·D)),
fd=N/(2·D), Ef=1bps/Hz
· CPFSK: y(t)=sqrt(2·E/D)·cos(2·pi·fc·t+2·pi·fd·int(-inf,t,v(landa),landa)+fi0), si fd=1/(4·D)
señales ortogonales y ocupa menos BW, Ef=2bps/Hz
· Gy(f)=sq(Ac)/4·[Gpb(f-fc)+Gpb(f+fc)]
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· Gpb=Gc(f)+Gs(f), Gc(f) y Gs(f) DEP de yc(t) e ys(t) respectivamente
· Comparación:
· OOK:
· Primera modulación en radiotelegrafÃ−a
· Poco eficiente en potencia
· El umbral debe ser ajustado según la atenuación introducida por el canal
· Permite detección no coherente a costa de aumentar la Pb (porque total, no es más k ver si llega o no
llega señal (ASK de 2 niveles))
· Peores prestaciones que BPSK en igualdad de condiciones (igual relación Eb/neta) => No se utiliza
· BPSK:
· En general (M niveles), tiene buena eficiencia espectral => Usada en sistemas limitados en banda
· Permite detección no coherente => DPSK (Differential PSK)
· Al tener envolvente constante, es menos vulnerable a la distorsión de amplitud
· Menor Pb que OOK y FSK para la misma relación (Eb/neta)
· BFSK:
· MSK: Buena eficiencia espectral
· Usada en sistemas limitados en potencia
· Permite detección no coherente con fdmÃ−n=1/D a costa de aumentar el ancho de banda de transmisión,
Bt, y la Pb
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Notas:
· cos(alfa)·cos(beta)=1/2·(cos(alfa+beta)+cos(alfa-beta))
· (^x)(f)=-j·sign(f)·X(f)
· cos(alfa)=(exp(j·alfa)+exp(-j·alfa))/2
· TF[exp(j·alfa·t)]=delta(f-alfa), donde alfa, obviamente, es frecuencia, no pulsación
· cos(alfa+beta)=cos(alfa)·cos(beta)-sen(alfa)·sen(beta)
· cos(alfa)=cos(-alfa)
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· sen(alfa)=-sen(-alfa)
· Moduladores y demoduladores:
· El detector de envolvente devuelve Kd·r(t)
· El detector de envolvente solo vale para demodular AM. Para el resto hay que usar un demodulador
sÃ−ncrono (o coherente) al cuál hemos de introducirle la señal portadora (portadora piloto) para
sincronizarlo.
· En FM, fm=w (si usamos fm en lugar de w es porque trabajamos con un tono) (w es el ancho de banda en
Hz (es decir, sin el 2·pi))
· Respuesta filtro => y(t)=Si(t)*hr(t) ( * = convolución)
· Respuesta filtro mediante correlador => ai=C·int(0,D,Si·Si(D-t),t)
------>S1(D-t)-S0(D-t) si adaptado a S1 y S0
· Distingue entre Actx y Acrx (entra en juego la atenuación)
· Al sacar potencias en gráficas hay que contar también la parte negativa de la gráfica (imaginaria)
· Demodulador de FM devuelve fd·x(t)
· Demodulador coherente devuelve Ac·x(t)
· Si no puedes sacar algo empezando desde el principio... enpieza desde el final.
· Para sacar potencias y DEP, la fdt de los filtros ha de estar como (|H(f)|^2)
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