COMBINATORIA

COMBINATORIA
• VARIACIONS :
Variacions de m elementos tomados de n en n:
n = m⋅( m−1)⋅( m−2)⋅( m−3)⋅ ........................... ⋅( m-n+1 )
Vm
Usanse cando se quere calcular cantos grupos de n elementos se poden formar con m elementos,
tendo en conta que cada grupo diferenciase de outro por ter un elemento distinto ou ben polo
orde de colocacion dos elementos.
Exemplo:
Dunha bolsa que conten 12 bolas numeradas do 1 o 12 extraense 4. Si temos en conta que as
bolas non se devolven a bolsa,. Cantos números poderiamos chegar a formar?.
4
Solución:
V12= 12⋅( 12−1)⋅ ........................... ⋅( 12-4+1)=12⋅11⋅10⋅9=11.880
• COMBINACIONS :
Combinacions de m elementos tomados de n en n:
⎛m⎞
m!
Cn
=
=
⎜
⎟
m ⎝ n ⎠ n! ⋅ ( m−n) !
Como no caso das variacions tamen calcula o número de grupos de n elementos que se poden
formar con m elementos, pero diferencianse das variacions en que nas combinacions o orde non
diferencia un grupo de outro.
Exemplo:
Cal é o número de apostas diferentes que se poden facer na loteria primitiva?
⎛ 49⎞
49!
49⋅48⋅47⋅46⋅45⋅44⋅43! 49⋅48⋅47⋅46⋅45⋅44
Solución: C649=⎜ ⎟=
=
=
=13.983.816
⎝ 6 ⎠ 6! ⋅ ( 49−6) !
6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1⋅43!
6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
• PERMUTACIONS:
Permutacions de m elementos:
Pm = m ! =m⋅( m-1)⋅( m−2)⋅( m−3)⋅ ........................... ⋅4⋅3⋅2⋅1
As permutacions permiten calcular de cantas formas distintas se poden ordenar m elementos.
Exemplo:
De cantas formas distintas poden sentarse 7 persoas nun banco?.
Solución: P7= 7! =7⋅( 7-1)⋅ ............................... ⋅4⋅3⋅2⋅1=7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1=5.040
1
¿CÓMO DIFERENCIALAS? Forma un grupo e contesta a dúas preguntas
Formamos uha
agrupación e:
¿Importa a orden
dos elementos?
¿Pódese repetir
un elemento?
Nº de agrupaciones
Variacións con
repeticion VR
SI
SI
VRnm = mn
Variacións V
SI
NO
Vnm=m(m-1)...(m-n+1)
n #m
Permutacións P
SI
NO
Pn=Vnn=n!=n(n-1)..3.2.1
n=m
Combinacións C
NO
NO
Cnm=(mn)=m!/(n!(m-n)!)
n #m
PROBLEMAS
1.- De cantas maneiras poden colocarse catro soldados nunha fila?.
2.- Un camareiro descansa dous días por semana. Cantas semanas transcurriran de maneira que
non se repitan os días de descanso?.
3.- Con seis pesas de 1, 2, 5, 10, 20 e 50 kg, que cantidade de pesos diferentes se poderian pesar?.
4.- Con 20 soldados, cantas gardas formadas por catro soldados diferentes se poderian formar?.
5.- Cantos modelos diferentes de billete de tren deberianse imprimir pra cubrir un traxecto de
dez estacions, si en cada billete ten que constar a estación de saida en primeiro lugar e a de
chegada en segundo lugar?.
6.-Con catro telas de diferentes cores, cantas bandeiras de tres cores distintos se poden facer,
cosendo as tiras en horizontal?.
7.-Calcular o número de números de cinco cifras distintos que se poden facer coas cifras
impares. Cantos serian de tres cifras?.
8.-A unha reunion asisten vinte persoas. Nesa reunión formanse grupos de traballo distintos de
seis persoas. Cantos grupos de traballo se poderia chegar a formar?.
9.-Nunha competición atlética entre os participantes figuran os cinco millores atletas do
momento, e polo tanto é seguro que as tres medallas van ser pra eles. Cantas son as
posibilidades que poden aparecer o final da competición, no que as medallas se refire?.
10.- No salón dunha casa hai seis lámparas, pero con tres delas chega para ter o salón ben
iluminado. Cantas son as posibilidades a hora de decidir que tres lámparas se encenden?.
11.-Nun grupo de 40 alumnos hai que elexir o delegado, o subdelegado e o suplente. De cantas
formas podería facerse a elección?.
12.-Nunha volta ciclista participan cinco equipos. De cantas maneiras pode ser a clasificación
xeral?.
13.-Con unha moneda de cada clase de 100, 50, 25, 10, 5 e 1 peseta, cantos pagos distintos se
poden facer?.
2
EJERCICIOS PARA ENTRENARSE
1. Aplicando los diagramas en árbol, calcula y construye todas las posibles palabras de tres
letras que se pueden formar con las letras de la palabra CASO, sin repetir ninguna.
2. Utilizando un diagrama en árbol, calcula cuántos resultados distintos se pueden obtener
lanzando cuatro veces consecutivas una moneda.
3. Utilizando un diagrama en árbol, calcula cuántos números de cuatro cifras distintas
pueden formarse con las cuatro cifras pares significativas
4. Calcula los siguientes números combinatorios:
⎛ 1500 ⎞
⎟
⎟
⎝ 1499 ⎠
⎛ 1500 ⎞
⎟
⎟
⎝ 0 ⎠
a) ⎜⎜
b) ⎜⎜
⎛4⎞
⎛ 132 ⎞
⎟
⎟
⎝ 132 ⎠
c) ⎜⎜
⎛ 128 ⎞
⎟
⎟
⎝ 1 ⎠
d) ⎜⎜
⎛4⎞
5. Calcula ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ sin aplicar la fórmula del cálculo de cada uno de los números
⎝2 ⎠ ⎝3 ⎠
combinatorios.
6
1
6. Desarrolla: ⎛⎜ 2x − ⎞⎟
⎝
x⎠
7. Desarrolla (2 + x)7.
8. Halla x si Vx,4 = 20Vx,2 .
9. Halla x si VRx,4 = 13VRx,2 = -36
10. Halla x si 12Px + 5Px+1 = Px+2.
11. Halla x si 2C2x,x = 7C2x-2,x-1.
PROBLEMAS PARA APLICAR
12. En una línea de autobús que une diez pueblos. Se pueden sacar billetes para ir de
cualquier pueblo a cualquier otro. ¿Cuántos billetes distintos debe tener la línea de
autobuses?
13. A un certamen de poesía se han presentado 26 candidatos. El cuadro de honor lo forman
el ganador, el finalista y un accésit. ¿Cuántos cuadros de honor se pueden formar?
14. En un concurso hípico en el que participan 24 caballos, ¿de cuántas formas distintas se
pueden dar el primero y el segundo premio?
15. Con las letras de la palabra JAVIER, ¿cuántas palabras de cuatro letras, sin repetir
ninguna, se pueden formar?
3
16. Una máquina tragaperras tiene una pantalla donde se ven tres figuras. Las figuras se ven
al dejar de girar tres ruedas con 12 figuras cada una. ¿cuántas pantallas distintas podemos
ver?
17. En una bolsa hay ocho bolas numeradas del 1 al 8. Sacamos una bola, anotamos su
número y la devolvemos a la bolsa. Repetimos la operación tres veces. ¿Cuántos
resultados distintos se pueden dar?
18. Lanzamos al mismo tiempo los cuatro dados del parchís, que se distinguen por sus
colores. ¿Cuántas tiradas distintas podemos hacer?
19. En una clase de 25 alumnos se convocan tres concursos: de pintura, de redacción y de
problemas de ingenio. Participan todos los alumnos y en cada uno hay un ganador.
¿Cuántos resultados se pueden dar?
20. Las Naciones Unidas decidieron unificar las abreviaturas de los países, asignando a cada
uno tres de las 26 letras del alfabeto latino. Así: ESP (España), EEU (Estados Unidos); FRA
(Francia); etc. ¿Cuántas abreviaturas pueden formarse?
21. Un grupo de 10 amigos pretende hacerse una foto, alineándose uno junto al otro.
¿Cuántas fotos en posiciones diferentes pueden hacerse?
22. Un bar cuenta con 12 tipos diferentes de refrescos, y su propietario duda el orden en el
que ponerlos en la carta. ¿Entre cuántas cartas de refrescos en distinto orden puede
elegir?
23. ¿De cuántas formas posibles puede acabar el campeonato de la liga española de fútbol de
1ª división si juegan 22 equipos?
24. Una heladería tiene helados de 15 sabores. ¿Cuántos cucuruchos de tres sabores diferente
puede hacer?
25. Deseamos pintar tres bolas iguales, cada una de un color distinto. Disponemos de 7
colores, ¿de cuántas formas podemos hacer la elección?
26. En una clase de 25 alumnos se organiza un campeonato de parchís en el que deben jugar
todos contra todos (sabes que en cada partida intervienen cuatro jugadores). ¿Cuántas
partidas distintas se pueden organizar?
27. En un examen de test de 30 preguntas, un estudiante debe responder a 20 preguntas para
aprobar. ¿Cuántos grupos de preguntas distintos puede elegir?
28. En el campeonato del mundo de fútbol participan 24 equipos. ¿Cuántas finales distintas
se pueden jugar? ¿Cuántos pódiums (1º, 2º, 3º) diferentes se pueden dar?
29. ¿Cuántas diagonales tiene un dodecágono: polígono de 12 lados? (Diagonal: segmento
que une dos vértices no consecutivos)
4
30. Disponemos de 12 banderas distintas. Halla cuántas señales podemos hacer, usando
como máximo cuatro de ellas.
31. En una carrera compiten cinco corredores, uno por cada continente. Se sabe que han
llegado a la meta de uno en uno. ¿Cuántos resultados finales se pueden haber dado? ¿En
cuántos puede ganar el corredor africano?
32. De las permutaciones que pueden formarse con la palabra COMER, averigua cuántas
empiezan por vocal.
33. Una clase consta de 7 niños y 3 niñas. EL profesor quiere elegir 4 de ellos para hacer un
trabajo. ¿De cuántas maneras podrá hacerlo? ¿De cuántas, si entre los elegidos quiere que
haya dos niños y dos niñas?
34. Jorge tiene 10 amigos y quiere invitar a 6 de ellos a comer: ¿Cuántas formas tiene de
hacerlo? ¿Cuántas, si entre ellos hay un matrimonio que no asiste el uno sin el otro?
35. En una carrera de caballos, un jugador empedernido decide apostar a todas las opciones
posibles para la apuesta de primer y segundo caballos y realiza 132 apuestas. ¿Cuántos
caballos corren? Le va bien, y decide insistir en la siguiente carrera con una apuesta
especial, consistente en predecir cuáles acaban los dos primeros, sin importar el lugar que
ocupen entre sí. Hace 45 apuestas. ¿Cuántos caballos corren en esta carrera?
36. Un barco dispone de 7 banderas de un solo color cada una, y todas ellas distintas. Tiene
tres mástiles en los que sólo puede izar una bandera para hacer señales. ¿Cuántas señales
puede hacer? Supongamos que pierde la verde, y debe utilizar siempre la roja; en este
caso, ¿cuántas señales podrá hacer?
37. Tres caballos corren una carrera. Suponiendo que se pueden dar toda clase de empates
(pueden entrar tres o dos caballos al mismo tiempo), ¿cuántos posibles finales hay?
38. En dos carreras se corren las semifinales olímpicas de 1500 metros. En la primera corren
15 atletas y se clasifican para la final 8 atletas, y en la segunda corren 12 atletas y se
clasifican para la final 6 atletas ¿Cuántas finales distintas hay?
39. Con las cifras impares ¿Cuántos números de tres cifras distintas se pueden
formar?¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden hacer?¿Cuántos productos
de tres factores distintos se pueden formar?
CUESTIONES PARA ACLARARSE
40. Expresa 21! En función de 19!
41. Si Marisa tiene 4 faldas, 3 camisas y 4 pares de zapatos, ¿de cuántas formas distintas se
podrá vestir?
5
42. ¿Qué es mayor, el número de variaciones de ocho elementos tomados de cinco en cinco, o
el número de variaciones con repetición de ocho elementos tomados de cinco en cinco?
43. ¿Qué relación existe entre C5,3, V5,3 y P3? Trata de generalizar la relación obtenida.
44. Contesta verdadero o falso a cada una de las siguientes afirmaciones:
a) En las variaciones con repetición no influye el orden.
b) En las variaciones sin repetición sí influye el orden.
c) En las permutaciones influye el orden.
d) En las combinaciones influye el orden.
⎛ 22 ⎞ ⎛ 22 ⎞
⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟
⎟
⎝8 ⎠ ⎝ x ⎠
45. Calcula x ≠ 8 para que se cumpla la relación: ⎜⎜
⎛x ⎞
⎛x ⎞
⎝
⎝
46. Halla x si : ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟
19
26
⎠
⎠
47. Con ocho elementos queremos formar variaciones.
a) ¿Podremos formar variaciones sin repetición de más de ocho elementos?
b) ¿Podremos formar variaciones sin repetición de menos de ocho elementos?
c) Y si quisiéramos utilizar los ocho elementos, ¿serían variaciones?
48. Con ocho elementos queremos hacer variaciones con repetición.
a) ¿Podremos hacerlas utilizando más de ocho elementos?
b) ¿Podremos hacerlas utilizando menos de ocho elementos?
c) Y utilizando exactamente ocho elementos?
49. ¿Se pueden relacionar factoriales de distintos números? ¿Qué relación hay entre 8! Y 7!?
¿Y entre m! Y (m – 1)! ?
15
1
50. Calcula el término de lugar 8 en el desarrollo: ⎛⎜ 2x − ⎞⎟
⎝
x⎠
1
x⎠
32
51. Calcula el término de lugar 19 en el desarrollo ⎛⎜ x 2 + ⎞⎟ . ¿Hay algún término del
⎝
desarrollo que no tenga x? Justifica la respuesta.
52. Con los números del 1 al 6 (ambos inclusive) ¿cuántos números de tres cifras pueden
formarse que sean divisibles por tres?
6