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616
CAPÍTULO 8 APLICACIONES DE TRIGONOMETRÍA
Ejer. 47-48: Se usan vectores en gráficas computarizadas
para calcular las longitudes de sombras sobre superficies
planas. La longitud de un objeto puede representarse a
veces con un vector a. Si una fuente de luz única brilla sobre
un objeto, entonces la longitud de su sombra en el suelo será
igual al valor absoluto del componente del vector a lo largo
de la dirección del suelo, como se ve en la figura. Calcule la
longitud de la sombra para el vector a especificado si el
suelo está nivelado.
47 Sombra al nivel del suelo
a 2.6, 4.5 2.6
48 Sombra al nivel del suelo
a 3.1, 7.9 3.1
Ejercicio 49 – 50
a
u
51 Determinación de potencia La cantidad de potencia P producida por una máquina puede determinarse con la fórmula
1
P 550
F v, donde F es la fuerza (en libras) ejercida por
la máquina y v es la velocidad (en pies/s) de un objeto movido por la misma. Una máquina tira con una fuerza de 2200
libras sobre un cable que forma un ángulo u con la horizontal, moviendo una carreta horizontalmente, como se muestra
en la figura. Encuentre la potencia de la máquina si la rapidez de la carreta es 8 pies/s cuando u 30°.
Ejercicios 47-48
a
Ejercicio 51
Máquina
Ejer. 49-50: Consulte los ejercicios 47 y 48. Un objeto representado por un vector a se sostiene sobre una superficie
plana inclinada a un ángulo u, como se muestra en la figura.
Si una luz está brillando directamente hacia abajo, calcule
la longitud de la sombra a dos lugares decimales para los
valores especificados del vector a y u.
49 Sombra en un plano inclinado a 25.7, 3.9,
24.33
12
Carreta
F
u
v
50 Sombra en un plano inclinado a 13.8, 19.4,
17
8.5
Forma trigonométrica
para números complejos
En la sección 1.1 representamos números reales geométricamente mediante
puntos en una recta de coordenadas. Podemos obtener representaciones geométricas para números complejos usando puntos en un plano de coordenadas.
Específicamente, cada número complejo a bi determina un par ordenado
único (a, b). El punto correspondiente P(a, b) en un plano de coordenadas es
la representación geométrica de a bi. Para destacar que estamos asignando
números complejos a puntos en un plano, podemos marcar el punto P(a, b)
como a bi. Un plano de coordenadas con un número complejo asignado a
cada punto se conoce como plano complejo (o Argand) en lugar de un plano
xy. El eje x es el eje real y el eje y es el eje imaginario. En la figura 1 (en la
página siguiente) hemos representado en forma geométrica varios números
complejos. Observe que para obtener el punto correspondiente al conjugado
a bi de cualquier número complejo a bi, simplemente lo reflejamos en el
eje real.
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8.5 Forma trigonométrica para números complejos
617
Figura 1
Eje
imaginario
2 3i
e 2 i
5i
i
3
i
2 3i
5i
Eje
real
2 3i
5i
El valor absoluto de un número real a (denotado a ) es la distancia entre
el origen y el punto sobre el eje x que corresponde a a. Así, es natural interpretar el valor absoluto de un número complejo como la distancia entre el origen de un plano complejo y el punto (a, b) que corresponde a a bi.
Si z a bi es un número complejo, entonces su valor absoluto, denotado por a bi , es
Definición del valor absoluto de
un número complejo
2a2 b2.
EJEMPLO 1
Encuentre
(a) 2 6i Hallar el valor absoluto de un número complejo
(b) 3i Usamos la definición previa:
(a) 2 6i 222 62 240 2 210 6.3
(b) 3i 0 3i 202 32 29 3
SOLUCIÓN
Figura 2
z a bi rcos i sen y
z a bi
P(a, b)
r z
u
O
x
L
Los puntos correspondientes a todos los números complejos que tienen un
valor absoluto fijo k están en un círculo de radio k con centro en el origen del
plano complejo. Por ejemplo, los puntos correspondientes a los números complejos z con z 1 están sobre una circunferencia unitaria.
Consideremos un número complejo z a bi diferente de cero y su representación geométrica P(a, b), como se ilustra en la figura 2. Sea u un ángulo cualquiera en posición estándar cuyo lado terminal se encuentra sobre el
segmento OP y sea r z 2a2 b2. Como cos ar y sen br,
vemos que a r cos u y b r sen u. Sustituyendo por a y b en z a bi,
obtenemos
z a bi r cos r sen i rcos i sen .
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618
CAPÍTULO 8 APLICACIONES DE TRIGONOMETRÍA
Esta expresión se denomina forma trigonométrica (o polar) para el número
complejo a bi. Una abreviatura común es
rcos i sen r cis .
La forma trigonométrica para z a bi no es única, porque hay un número ilimitado de opciones diferentes para el ángulo u. Cuando se usa la forma
trigonométrica, el valor absoluto r de z se conoce a menudo como el módulo de
z y un ángulo u asociado con z como un argumento (o amplitud) de z.
Podemos resumir nuestra exposición como sigue.
Forma trigonométrica (o polar)
para un número complejo
Sea z a bi. Si r z 2a2 b2 y si u es un argumento de z entonces
z rcos i sen r cis .
La fórmula de Euler,
cos i sen ei,
nos da otra forma para el número complejo z a bi, comúnmente llamada
forma exponencial; esto es,
z rcos i sen rei.
Vea algunos problemas relacionados en el ejercicio 6 de los ejercicios de análisis, al final del capítulo.
EJEMPLO 2
Expresar un número complejo en forma trigonométrica
Exprese el número complejo en forma trigonométrica con 0 u 2p:
(a) 4 4i
(b) 2 23 2i
(c) 2 7i
(d) 2 7i
S O L U C I Ó N Empezamos por representar geométricamente cada número
complejo y marcar su módulo r y argumento u, como en la figura 3.
Figura 3
(a)
(c)
(b)
y
(d)
y
y
y
(2, 7)
(2, 7)
53
53
(4, 4)
42
f
4
x
z
x
(23,
2)
arctan r
arctan r
x
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p arctan r
x
8.5 Forma trigonométrica para números complejos
619
A continuación sustituimos por r y u en la forma trigonométrica:
(a) 4 4i 4 22 cos
(b) 2 23 2i 4 cos
3
3
3
i sen
4 22 cis
4
4
4
11
11
11
i sen
4 cis
6
6
6
(c) 2 7i 253 cos arctan 27 i sen arctan 72 253 cis arctan 72 (d) 2 7i 253 cos arctan 72 i sen arctan 72 253 cis arctan 72 L
Veamos cómo hallar, en calculadora graficadora, el valor absoluto y el argumento del número complejo del Ejemplo 2(b).
Operaciones con
números complejos.
TI-83/4 Plus
Asigne 2 23 2i a A.
2 2nd
STO 䉯
2
)
3
A
ALPHA
TI-86
2 2nd
i
(
2 2nd
3
A
ENTER
CPLX
abs(F4)
A
ENTER
STO 䉯
ENTER
2
,
2
)
Encuentre el valor absoluto r.
MATH
䉯
䉯
ALPHA
A
)
5
2nd
ALPHA
ENTER
Encuentre el argumento u (en modo de grados).
MATH
䉯
䉯
ALPHA
A
)
angle(F5)
4
ALPHA
A
ENTER
ENTER
Ahora cambiaremos la forma de 2 23 2i usando la función polar. La TI-83/4 Plus nos
da la forma exponencial reui y la TI-86 nos da la forma (magnitud⬔ángulo). Observemos que
30° es equivalente a 116 (el ángulo del ejemplo 2(b) para 0 u 2p).
ALPHA
A
MATH
䉯
䉯
7
ALPHA
ENTER
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A
MORE
䉴Pol(F2)
ENTER
620
CAPÍTULO 8 APLICACIONES DE TRIGONOMETRÍA
Si permitimos valores arbitrarios para u, hay muchas otras formas trigonométricas para los números complejos del ejemplo 2. Entonces, para 4 4i en la parte (a) podríamos usar
3
2 n para cualquier entero n.
4
Si, por ejemplo, hacemos n 1 y n 1, obtenemos
4 22 cis
11
4
y
4 22 cis 5
,
4
respectivamente. En general, los argumentos para el mismo número complejo
siempre difieren por un múltiplo de 2p.
Si los números complejos se expresan en forma trigonométrica, entonces
la multiplicación y división se pueden efectuar como se indica en el siguiente
teorema.
Teorema sobre productos y
cocientes de números
complejos
Si las formas trigonométricas para dos números complejos z1 y z2 son
z1 r1cos 1 i sen 1
y
z2 r2cos 2 i sen 2,
entonces
(1) z1z2 r1r2cos 1 2 i sen 1 2
z1 r1
(2) cos 1 2 i sen 1 2, z2 苷 0
z2 r2
DEMOSTRAC IÓN
Podemos demostrar (1) como sigue:
z1z2 r1cos 1 i sen 1 r2cos 2 i sen 2
r1r2cos 1 cos 2 sen 1 sen 2
isen 1 cos 2 cos 1 sen 2
La aplicación de las fórmulas de la suma para cos (u1 u2) y sen (u1 u2)
nos da (1). Dejamos la demostración de (2) como ejercicio.
L
La parte (1) del teorema anterior expresa que el módulo del producto de
dos números complejos es el producto de sus módulos y un argumento es la
suma de sus argumentos. Un enunciado análogo se puede hacer para (2).
EJEMPLO 3
Usar formas trigonométricas para hallar productos y cocientes
Si z1 2 23 2i y z2 1 23i, use formas trigonométricas para hallar
(a) z1z2 y (b) z1z2. Compruebe por métodos algebraicos.
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8.5 Forma trigonométrica para números complejos
Figura 4
S O L U C I Ó N El número complejo 2 23 2i está representado geométricamente en la figura 3(b). Si usamos 6 en la forma trigonométrica, entonces
y
(1, 3)
z1 2 23 2i 4 cos i
2
x
6
y
i sen 6
.
El número complejo z2 1 23i está representado geométricamente en
la figura 4. Una forma trigonométrica es
z2 1 23i 2 cos
Figura 5
2
2
i sen
.
3
3
(a) Aplicamos la parte (1) del teorema sobre productos y cocientes de números complejos:
r1r2 42 8
u1 u 2 k i
q
r2 2
621
u2 i
z1z2 4 2 cos 8 cos
u1 k
x
r1 4
2
2
i sen 6
3
6
3
i sen
2
2
80 i 8i
La figura 5 da una interpretación geométrica del producto z1z2.
Usando métodos algebraicos para comprobar nuestro resultado, tenemos
z1z2 2 23 2i 1 23i 2 23 2 23 2 6i 0 8i 8i.
(b) Aplicamos la parte (2) del teorema:
Figura 6
y
r2 2
r1
4
r2 2 2
u2 i
u1 k
r1 4
u1 u 2 k i l
z1
4
2
2
cos i sen z2
2
6
3
6
3
x
2 cos 2 23
2
i 5
5
i sen 6
6
1
2
23 i
La figura 6 da una interpretación geométrica del cociente z1z2.
Usando métodos algebraicos para comprobar nuestro resultado, multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del denominador para
obtener
z1
2 23 2i 1 23i
z2 1 23i 1 23i
2 23 2 23 2 6i
12 23 2
4 23 4i
23 i.
4
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L
622
CAPÍTULO 8 APLICACIONES DE TRIGONOMETRÍA
8.5
Ejercicios
Ejer. 1-10: Encuentre el valor absoluto.
1 3 4i 5
3 6 7i 45 4 3i
2 5 8i 4 1 i
285
289
6 i7 1
7 i 500 1
8 15i 15
46 1 3i
210 cis tan1 3 2
Ejer. 47-56: Exprese en la forma a bi, donde a y b son números reales.
22
5 8i 8
9 0 0
5 cis tan1 43 2 47 4 cos
i sen
4
4
2 22 2 22i
10 15 15
Ejer. 11-20: Represente geométricamente el número complejo.
49 6 cos
2
2
i sen
3
3
3 3 23i
48 8 cos
7
7
i sen
4
4
4 22 4 22i
50 12 cos
4
4
i sen
3
3
6 6 23i
3
3
i sen
2
2
11 4 2i
12 5 3i
51 5cos i sen 13 3 5i
14 2 6i
15 3 6i 3 6i
16 1 2i2 3 4i
53 234 cis tan1 53 54 253 cis tan1 72 55 25 cis tan
56 210 cis tan1 3
5
18 3i2 i 3 6i
19 1 i 2i
20 41 2i 4 8i
22 cis
7
4
22 23 i 2 cis 6
5
5
23 4 23 4i 8 cis 6
24 2 2i 2 22 cis 4
26 3 3 23 i 6 cis 3
5
3
27 4 4i 4 22 cis 4
28 10 10i 10 22 cis 4
3
7 2i
1
2
1 3i
Ejer. 57-66: Use formas trigonométricas para hallar z1z2 y
z1z2 .
57 z1 1 i,
z2 1 i 2, i
58 z1 23 i,
z2 23 i 4 0i, 2 2 i
1
23
2
2
59 z1 2 2 23 i, z2 5i 10 23 10i, 5 23 5 i
5
25 2 23 2i 4 cis 6
1
2i
Ejer. 21-46: Exprese el número complejo en forma trigonométrica con 0 u 2p.
21 1 i
3i
5 3i
17 2i2 3i 6 4i
2
52 3 cos
3
60 z1 5 5i,
5
5
z2 3i 15 15i, 3 3 i
61 z1 10,
5
z2 4 40, 2
29 20i 20 cis 2
30 6i 6 cis 2
62 z1 2i,
2
z2 3i 6, 3
31 12 12 cis 0
32 15 15 cis 0
63 z1 4,
z2 2 i 8 4i,
33 7 7 cis 34 5 5 cis 64 z1 7,
z2 3 5i 21 35i,
65 z1 5,
15
10
z2 3 2i 15 10i, 13 13 i
66 z1 3,
15
6
z2 5 2i 15 6i, 29 29 i
35 6i 6 cis 2
36 4i 4 cis 2
37 5 5 23 i 10 cis
39 2 i
tan1 21 25 cis
41 3 i
4
3
1
210 cis tan1 3 43 5 3i
3
234 cis tan1 5 38 23 i 2 cis
11
6
8
5
54 i
21
34
35
34
i
tan1 32 67 Demuestre (2) del teorema sobre productos y cocientes de
números complejos.
2 25 cis tan1 12 68 (a) Extienda (1) del teorema sobre productos y cocientes
de números complejos a tres números complejos.
40 3 2i
213 cis
42 4 2i
44 2 7i
7
253 cis tan1 2 (b) Generalice (1) del teorema a n números complejos.
r1r2 rn cis 1 2 www.FreeLibros.com
n
8 . 6 Te o r e m a d e D e M o i v r e y l a s r a í c e s n - é s i m a s d e n ú m e r o s c o mp l e j o s
623
Ejer. 69-72: La forma trigonométrica de números complejos
es utilizada con frecuencia por ingenieros electricistas para
describir la corriente I, el voltaje V y la impedancia Z en circuitos eléctricos con corriente alterna. La impedancia es la
oposición al flujo de corriente en un circuito. Los aparatos
eléctricos más comunes operan con 115 volts de corriente
alterna. La relación entre estas tres cantidades es I ⴝ VZ.
Calcule la cantidad desconocida y exprese la respuesta en
forma rectangular a dos lugares decimales.
73 Módulo de impedancia El módulo de la impedancia Z representa la oposición total al flujo de corriente en un circuito, y se mide en ohms Calcule Z si Z 14 13i,
69 Hallar voltaje
I 10 cis 35,
Z 3 cis 20
70 Hallar voltaje
I 12 cis 5,
Z 100 cis 90
75 Voltaje actual La parte real de V representa el voltaje real entregado a un aparato eléctrico en volts. Aproxime ese voltaje
cuando I 4 cis 90 y Z 18 cis 78.
17.21 24.57i
104.59 1195.43i
71 Hallar impedancia I 8 cis 5,
11.01 9.24i
72 Hallar corriente
1.50 1.45i
74 Resistencia y reactancia El valor absoluto de la parte real de
Z representa la resistencia en un circuito eléctrico; el valor absoluto de la parte compleja representa la reactancia. Ambas cantidades se miden en ohms. Si V 220 cis 34 e
I 5 cis 90, calcule la resistencia y la reactancia.
24.60 ohms; 36.48 ohms
70.43 volts
76 Corriente actual La parte real de I representa la corriente real
entregada a un aparato eléctrico, en amperes. Determine esa
corriente cuando V 163 cis 43 y Z 100 cis 17.
V 115 cis 45
Z 78 cis 61, V 163 cis 17
8.6
Teorema de De Moivre
y las raíces n-ésimas
de números complejos
Si z es un número complejo y n es un entero positivo, entonces un número
complejo w es la raíz n-ésima de z si wn z. Demostraremos que todo número complejo diferente de cero tiene raíces n-ésimas diferentes. Como ⺢ está
contenida en ⺓, también se deduce que todo número real diferente de cero
tiene n diferentes raíces n-ésimas (complejas). Si a es un número real positivo
y n 2, entonces ya sabemos que las raíces son 2a y 2a.
Si, en el teorema sobre productos y cocientes de números complejos, hacemos z1 y z2 iguales al número complejo z r(cos u i sen u), obtenemos
z2 r r cos i sen r 2cos 2 i sen 2.
Aplicando el mismo teorema a z2 y z tendremos
z2 z r 2 rcos 2 i sen 2 ,
o bien,
z3 r 3cos 3 i sen 3.
Aplicando el teorema a z3 y z, obtenemos
z 4 r 4cos 4 i sen 4.
En general, tenemos el siguiente resultado, llamado así en honor del matemático francés Abraham De Moivre (1667-1754).
Teorema de De Moivre
Para todo entero n
rcos i sen n r ncos n i sen n.
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624
CAPÍTULO 8 APLICACIONES DE TRIGONOMETRÍA
Usaremos sólo enteros positivos para n en ejemplos y ejercicios que comprendan el teorema de De Moivre. No obstante, el teorema se cumple por completo para n 0 y n negativo si usamos las respectivas definiciones de
exponente de número real, es decir, z0 1 y zn 1z n, donde z es un número
complejo diferente de cero y n es un entero positivo.
EJEMPLO 1
Usar el teorema de De Moivre
Use el teorema de De Moivre para cambiar (1 i)20 a la forma a bi, donde
a y b son números reales.
Sería tedioso cambiar (1 i)20 usando métodos algebraicos.
Por tanto, introduzcamos una forma trigonométrica por 1 i. Consultando la
figura 1, vemos que
SOLUCIÓN
Figura 1
y
(1, 1)
1 i 22 cos
2
i sen
.
4
4
Ahora aplicamos el teorema de De Moivre:
d
1 i20 21/220 cos 20 x
4
i sen 20 4
210cos 5 i sen 5 2101 0i 1024
El número 1024 es de la forma a bi con a 1024 y b 0.
L
Si un número complejo z diferente de cero tiene una raíz n-ésima w, entonces wn z. Si las formas trigonométricas para w y z son
w scos i sen y
z rcos i sen ,
(*)
entonces, aplicando el teorema de De Moivre a wn z tendremos
sncos n i sen n r cos i sen .
Si dos números complejos son iguales, entonces también son iguales sus valores
n
absolutos. En consecuencia, sn r y como s y r son no negativos, s 2
r. Sustituyendo sn por r en la última ecuación mostrada y dividiendo ambos lados
entre sn, obtenemos
cos n i sen n cos i sen .
Como los argumentos de números complejos iguales difieren por un múltiplo
de 2p, hay un entero k tal que na u 2pk. Dividiendo ambos lados de la
última ecuación entre n, vemos que
2k
para algún entero k.
n
Sustituyendo en la forma trigonométrica por w (vea (∗)) nos dará la fórmula
n
w 2
r cos
2k
2k
i sen
n
n
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.
8 . 6 Te o r e m a d e D e M o i v r e y l a s r a í c e s n - é s i m a s d e n ú m e r o s c o mp l e j o s
625
Si sustituimos k 0, 1, . . . , n 1 sucesivamente, obtenemos n diferentes raíces n-ésimas de z. Ningún otro valor de k producirá una nueva raíz n-ésima.
Por ejemplo, si k n, obtenemos el ángulo 2 nn, o n 2, que
nos da la misma raíz n-ésima que k 0. Del mismo modo, k n 1 da la
misma raíz n-ésima que k 1 y así sucesivamente. Lo mismo es cierto para
valores negativos de k. Hemos demostrado el siguiente teorema.
Teorema de las raíces n-ésimas
Si z r(cos u i sen u) es cualquier número complejo diferente de cero y
si n es cualquier entero positivo, entonces z tiene exactamente n raíces
n-ésimas diferentes w0, w1,…,wn1. Estas raíces, para u en radianes, son
o bien, lo que es equivalente, para u en grados,
n
wk 2
r cos
2k
2k
i sen
n
n
n
wk 2
r cos
360°k
360°k
i sen
n
n
,
donde k 0, 1, . . . , n 1.
n
Las raíces n-ésimas de z en este teorema tienen todas ellas valor absoluto 2
r
y por lo tanto sus representaciones geométricas se encuentran en una circunn
ferencia de radio 2
r con centro en O. Además, están igualmente espaciadas en esta circunferencia dado que la diferencia en los argumentos de sucesivas raíces n-ésimas es 2n (or 360°n.
EJEMPLO 2
Hallar las raíces cuartas de un número complejo
(a) Encuentre las cuatro raíces cuartas de 8 8 23i
(b) Represente las raíces geométricamente.
Figura 2
SOLUCIÓN
y
(a) La representación geométrica de 8 8 23i se muestra en la figura 2.
Introduciendo forma trigonométrica, tenemos
240
x
8 8 23i 16cos 240° i sen 240°.
16
(8, 83)
4
Usando el teorema sobre raíces n-ésimas con n 4 y observando que 2
16
2, encontramos que las raíces cuartas son
wk 2 cos
240° 360°k
240° 360°k
i sen
4
4
(continúa)
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626
CAPÍTULO 8 APLICACIONES DE TRIGONOMETRÍA
para k 0, 1, 2, 3, Esta fórmula se puede escribir como
wk 2cos 60° 90°k i sen 60° 90°k.
Figura 3
Sustituyendo 0, 1, 2 y 3 por k en (60° 90°k) nos da las cuatro raíces cuartas:
y
w0
90
w1
w0 2cos 60° i sen 60° 1 23i
w1 2cos 150° i sen 150° 23 i
90
60
w2 2cos 240° i sen 240° 1 23i
2 x
w3 2cos 330° i sen 330° 23 i
90
(b) Por los comentarios que preceden este ejemplo, todas las raíces se en4
cuentran en una circunferencia de radio 2
16 2 con centro en O. La primera
raíz, w0, tiene un argumento de 60° y las raíces sucesivas están separadas
360°4 90° como se ve en la figura 3.
w3
90
w2
L
Las calculadoras TI-83/4 Plus y TI-86 tienen la capacidad de tomar una raíz de un número complejo. A continuación encontramos una raíz cuarta de 8 8 23 i, como en el
ejemplo 2(a). La TI-86 también puede hallar las otras tres raíces (vea ejemplo 5).
TI-83/4 Plus
Hallar una raíz de un
número complejo.
TI-86
8 2nd
2
STO 䉯
ALPHA
C
ENTER
5
ALPHA
C
8
4
MATH
3
)
2nd
ENTER
i
(
8
,
8
2nd
STO 䉯
C
ENTER
ALPHA
C
(
2
1
)
3
4
)
ENTER
El caso especial en el que z 1 es de particular interés. Las n raíces
n-ésimas distintas de 1 se llaman las raíces n-ésimas de la unidad. En particular, si n 3, llamamos a estas raíces las raíces cúbicas de la unidad.
EJEMPLO 3
Hallar las raíces cúbicas de la unidad
Encuentre las tres raíces cúbicas de la unidad.
S O L U C I Ó N Escribiendo 1 1(cos 0 i sen 0) y usando el teorema sobre
raíces nésimas con n 3, obtenemos
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8 . 6 Te o r e m a d e D e M o i v r e y l a s r a í c e s n - é s i m a s d e n ú m e r o s c o mp l e j o s
627
2k
2k
i sen
3
3
para k 0, 1, 2. Sustituyendo por k tendremos las tres raíces:
wk 1 cos
w0 cos 0 i sen 0 1
EJEMPLO 4
w1 cos
2
2
1
23
i sen
i
3
3
2
2
w2 cos
4
1
23
4
i sen
i
3
3
2
2
L
Hallar las raíces sextas de un número real
(a) Encuentre las seis raíces sextas de 1.
(b) Represente las raíces geométricamente.
SOLUCIÓN
(a) Escribiendo 1 1(cos p i sen p) y usando el teorema sobre raíces
n-ésimas con n 6, encontramos que las raíces sextas de 1 están dadas por
2k
2k
i sen
6
6
Para k 0, 1, 2, 3, 4, 5. Sustituyendo 0, 1, 2, 3, 4, 5 por k obtenemos las seis
raíces sextas de 1:
wk 1 cos
Figura 4
y
w0 cos
23
1
i sen
i
6
6
2
2
w1 cos
i sen
i
2
2
w2 cos
5
5
23
1
i sen
i
6
6
2
2
w3 cos
7
7
23
1
i sen
i
6
6
2
2
w4 cos
3
3
i sen
i
2
2
w5 cos
11
11
23
1
i sen
i
6
6
2
2
w1
w2
w0
k
1
w3
w5
w4
x
6
(b) Como 2
1 1, los puntos que representan las raíces de 1 están todos
en la circunferencia unitaria que se muestra en la figura 4. Además, están
igualmente espaciados en esta circunferencia en 3 radianes o sea 60°.
L
Observe que hallar las raíces n-ésimas de un número complejo c, como hicimos en los ejemplos 2-4, es equivalente a hallar todas las soluciones de la
ecuación
xn c,
o bien
xn c 0.
Usaremos este concepto en el siguiente ejemplo así como en los ejercicios 23–30.
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628
CAPÍTULO 8 APLICACIONES DE TRIGONOMETRÍA
Hallar raíces resolviendo una ecuación con polinomios
EJEMPLO 5
Encuentre las cuatro raíces cuartas de 8 8 23 i.
Sea c 8 8 23 i. Si x es cualquier raíz cuarta de c, entonces x4 c y entonces c 0. El lado izquierdo de la última ecuación es un polinomio de cuarto grado
con coeficientes 1, 0, 0, 0, c. Usaremos la función de resolución de polinomios para hallar
las raíces cuartas de c.
SOLUCIÓN
x4
Usando la función Poly de la TI-86
Fije el número de lugares decimales a 3.
2nd
MODE
䉮
䉯 (4 veces)
ENTER
2nd
QUIT
Guarde 8 8 23 i en C.
(
8
,
2
8 2nd
)
3
STO 䉯
C
ENTER
Declare el orden del polinomio.
2nd
POLY
4
ENTER
Introduzca los coeficientes.
1
䉮
0
䉮
0
䉮
0
䉮
()
ALPHA
C
Encuentre las soluciones.
SOLVE(F5)
Comparando estas soluciones con las halladas en el
Ejemplo 2(a), tenemos
x1 w1 23 i
x2 w2 1 23 i
x3 w0 1 23 i
x4 w3 23 i.
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L
Capítulo 8 Ejercicios de repaso
8.6
629
Ejercicios
Ejer. 1-12: Use el teorema de De Moivre para cambiar el número complejo dado a la forma a ⴙ bi, donde a y b son números reales.
17 Encuentre las tres raíces cúbicas de 27i.
18 Encuentre las tres raíces cúbicas de 64i.
1 3 3i5 972 972i
2 1 i12 64
3 1 i10 32i
4 1 i8 16
Ejer. 19-22: Encuentre las raíces indicadas y represéntelas
geométricamente.
5 1 23 i 6 1 23 i 16 16 23i
19 Las seis raíces sextas de la unidad.
3
7
22
2
22
5
8
2
15
i
8
9
12
11
2
1
i
2
2
22
2
22
21 22 21 22i
23
20
10
22
22
2
23
2
i
25
i
20 Las ocho raíces octavas de la unidad.
1
i
2
2
1
23
i
2
2
1
2
23i
23 i 7
12 2 2i10 32,768i
64 23 64i
21 Las cinco raíces quintas de 1 i.
50
22 Las cinco raíces quintas de 23 i
Ejer. 23-30: Encuentre las soluciones de la ecuación.
23 x 4 16 0
24 x 6 64 0
2, 1 23i, 1 23i
2, 2i
13 Encuentre las dos raíces cuadradas de 1 23 i.
12 26 12 22i 26 x 5 1 0
27 x 3 8i 0
28 x 3 64i 0
29 x 243 0
30 x 4 81 0
2i, 23 i, 23 i
14 Encuentre las dos raíces cuadradas de 9i.
25 x 64 0
6
3 22 3 22
i
2
2
2i, 23 i
2 23 2i, 4i
5
15 Encuentre las cuatro raíces cuartas de 1 23 i.
4
22
2
4
2 18
2
i ,
4
2 18
2
4
22
2
i
16 Encuentre las cuatro raíces cuartas de 8 8 23 i.
23 i , 1 23i
31 Use la fórmula de Euler para demostrar el teorema de De
Moivre.
C APÍTULO 8 EJERCICIOS DE REPASO
Ejer. 1-4: Encuentre los valores exactos de las partes restantes del triángulo ABC.
1 60,
b 6,
a 243, cos1
2 30,
c7
434 243 , cos1 865 243 a 2 23, c 2
60, 90, b 4; 120, 30, b 2
3 60, 45,
b 100
4 a 2,
c4
75, a 50 26, c 50 1 23 cos1
b 3,
78 , cos1 1116 , cos1 14 Ejer. 5-8: Calcule las partes restantes del triángulo ABC.
5 67,
75,
38, a 8.0, c 13
b 12
6 2330, c 125, a 152
1910, 13720, b 258
7 115,
a 4.6,
c 7.3
8 a 37,
b 55,
c 43
24, 41, b 10.1
42, 87, 51
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630
CAPÍTULO 8 APLICACIONES DE TRIGONOMETRÍA
Ejer. 9–10: Aproxime el área del triángulo ABC al 0.1 de
unidad cuadrada más cercana.
9 75,
10 a 4,
b 20, c 30 290
b 7,
c 10 10.9
11 Si a 4, 5 y b 2, 8, trace los vectores correspondientes a
(a) a b (b) a b
(d) 21 b
(c) 2a
12 Si a 2i 5j y b 4i j, encuentre el vector o número
correspondiente a
(a) 4a b
12i 19j
(c) a b 240 6.32
(b) 2a 3b
(d) a b 229 217 1.26
14 Las magnitudes y direcciones de dos fuerzas son 72 lb,
S60°E y 46 lb, N74°E, respectivamente. Calcule la magnitud y dirección de la fuerza resultante.
15 Encuentre un vector que tiene la dirección opuesta de a 8i – 6j y dos veces la magnitud.
16 Encuentre un vector de magnitud 4 que tenga la misma dirección que a 3, 7.
17 Si a a1, a2, r x, y, y c > 0, describa el conjunto de
todos los puntos P(x, y) tales que r a c.
18 Si a y b son vectores con el mismo punto inicial y el ángulo u entre ellos, demuestre que
a b 2 a 2 b 2 2 a b cos .
19 Rapidez y dirección del viento Un avión vuela en la dirección 80° con una velocidad relativa de 400 mi/h. Su velocidad absoluta y rumbo verdadero son 390 mi/h y 90°,
respectivamente. Calcule la dirección y rapidez del viento.
20 Si a 2, 3 y b 1, 4, encuentre:
(b) el ángulo entre a y b
(c) compa b
21 Si a 6i – 2j y b i 3j, encuentre:
(a) (2a – 3b) ⴢ a
(b) el ángulo entre a y a b
Ejer. 23-28: Exprese el número complejo en forma trigonométrica con 0 u 2p.
23 10 10i
24 2 2 23 i
3
10 22 cis
4
4 cis
5
3
26 12i
25 17
17 cis 12 cis
27 5 23 5i
8i 13j
13 Rumbo de un barco Un barco navega con rapidez de 14
mi/h en la dirección S50°E. Exprese su velocidad v como
vector.
(a) a ⴢ b
22 Una fuerza constante tiene la magnitud y dirección del vector a 7i 4j. Encuentre el trabajo realizado cuando el
punto de aplicación de a se mueve a lo largo del eje x de
P(5, 0) a Q(3, 0).
3
2
28 4 5i
7
10 cis
6
5
241 cis tan1 4
Ejer. 29-30: Exprese en la forma a ⴙ bi, donde a y b son números reales.
29 20 cos
11
11
i sen
6
6
10 23 10i
5
30 13 cis tan1 12 12 5i
Ejer. 31-32: Use formas trigonométricas para hallar z1z2 y
z1 z2 .
31 z1 3 23 3i,
12 12 23i, 23
z2 2 23 2i
32 z1 2 22 2 22 i, z2 1 i
4 22i, 2 22
Ejer. 33-36: Use el teorema de De Moivre para cambiar el
número complejo dado a la forma a ⴙ bi, donde a y b son
números reales.
22
22
33 23 i 512i
34
35 3 3i5
36 2 2 23 i 9
2
2
30
i
i
10
972 972i
219 219 23i
3
3
37 Encuentre las tres raíces cúbicas de 27. 3, 2 2 23i
38 Sea z 1 23 i.
(a) Hállese z24. (b) Hállense las tres raíces cúbicas de z.
224
3
2 2 cis
with 100, 220, 340
39 Encuentre las soluciones de la ecuación x 5 32 0.
2 cis with 0, 72, 144, 216, 288
40 Pista para patinetas Una pista para una carrera de patinetas consta de un tramo de 200 metros cuesta abajo y 150
metros a nivel. El ángulo de elevación del punto de partida
de la carrera desde la línea de meta es 27.4°. ¿Qué ángulo
forma la colina con la horizontal?
(c) compa (a b)
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Capítulo 8 Ejercicios de repaso
41 Distancias a planetas Las distancias entre la Tierra y los
planetas cercanos se puede calcular usando el ángulo de
fase a, como se ve en la figura. Suponga que la distancia
entre la Tierra y el Sol es de 93,000,000 de millas y la distancia entre Venus y el Sol es de 67,000,000 de millas.
Calcule la distancia entre la Tierra y Venus al millón de millas más cercano cuando a 34°.
631
43 Distancias entre ciudades Las comunidades de playa de
San Clemente y Long Beach están a 41 millas entre sí, a lo
largo de un tramo relativamente recto de costa. En la figura
se muestra el triángulo formado por las dos ciudades y la
población de Avalon en la esquina sudeste de la isla de
Santa Catalina. Se tiene que los ángulos ALS y ASL miden
66.4° y 47.2°, respectivamente.
(a) Calcule la distancia de Avalon a cada una de las dos
ciudades.
Ejercicio 41
(b) Calcule la distancia más corta de Avalon a la costa.
Venus
Ejercicio 43
L
a
66.4
Tierra
Sol
47.2
S
A
42 Altura de un rascacielos Si un rascacielos se ve desde lo
alto de un edificio de 50 pies, el ángulo de elevación es 59°.
Si se ve desde el nivel de la calle, el ángulo de elevación es
62° (vea la figura).
(a) Use la ley de los senos para calcular la distancia más
corta entre las cimas de los dos edificios.
(b) Calcule la altura del rascacielos.
44 Topografía Un topógrafo desea hallar la distancia entre dos
puntos inaccesibles A y B. Como se muestra en la figura, se
seleccionan dos puntos C y D desde los cuales es posible
ver A y B. La distancia CD y los ángulos ACD, ACB,
BDC y BDA se miden a continuación. Si CD 120
pies, ⬔ACD 115, ⬔ACB 92, ⬔BDC 125 y
⬔BDA 100, calcule la distancia AB.
Ejercicio 44
Ejercicio 42
A
B
C
59
50
62
D
45 Contacto por radio Dos jóvenes con radios de comunicación están en el cruce de dos caminos que se encuentran a
un ángulo de 105° (vea la figura en la página siguiente).
Una de ellas empieza a caminar en dirección al norte por un
camino a razón de 5 millas/h; al mismo tiempo, la otra camina al este por el otro camino al mismo paso. Si cada radio
tiene un alcance de 10 millas, ¿cuánto tiempo mantendrán
comunicación las jóvenes?
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632
CAPÍTULO 8 APLICACIONES DE TRIGONOMETRÍA
47 Esfuerzos de rescate Un niño está atrapado a 45 pies bajo
la superficie en el tiro de una mina abandonada que se inclina con un ángulo de 78° respecto a la horizontal. Se ha de
cavar un túnel de rescate de 50 pies desde la abertura del tiro
(vea la figura).
Ejercicio 45
10 mi
(a) ¿A qué ángulo u debe cavarse el túnel?
105 (b) Si el túnel se puede cavar a razón de 3 pies/h, ¿cuántas
horas tardarán en llegar al niño?
Ejercicio 47
50
46 Diseño robótico En la figura se muestra un diseño para un
brazo robótico con dos piezas movibles. Las dimensiones se
seleccionan para emular un brazo humano. El brazo superior AC y el brazo inferior CP giran los ángulos u1 y u2, respectivamente, para sujetar un objeto en el punto P(x, y).
78
u
45
(a) Demuestre que ⬔ACP 180 2 1 .
(b) Encuentre d(A, P), y luego use la parte (a) y la ley de
los cosenos para demostrar que
1 cos 2 1 x2 y 262
.
578
48 Diseño de un avión caza a reacción En la figura se muestra
el plano para la parte superior del ala de un avión caza.
(a) Calcule el ángulo f.
(c) Si x 25, y 4, y 1 135, calcule 2 .
(b) Calcule el área del cuadrilátero ABCD.
Ejercicio 46
(c) Si el fuselaje es de 5.8 pies de ancho, calcule la envergadura de las alas CC.
158
y
A
Ejercicio 48
u1
5.7
17
u2
26
C
22.9
C
f 16
136
5.8
17
B
17.2
A
P(x, y)
x
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D
C
Capítulo 8 Ejercicios de análisis
633
CAPÍTULO 8 EJERCICIOS DE ANÁLISIS
1 Fórmula de Mollweide La siguiente ecuación, llamada fórmula de Mollweide, se usa a veces para comprobar soluciones a triángulos porque contiene todos los ángulos y todos
los lados:
(b) Ahora encuentre la magnitud de c, usando la respuesta
a la parte (a) y simplifique hasta demostrar la ley de los
cosenos.
1
ab
cos 2 sen 12 c
(c) Si c se encuentra sobre el eje x, entonces su componente j es cero. Use este dato para demostrar la ley de
los senos.
(a) Use la ley de los senos para demostrar que
a b sen sen .
c
sen (b) Use una fórmula de suma a producto y fórmula de ángulo doble para verificar la fórmula de Mollweide.
2 Use la forma trigonométrica de un número complejo para
demostrar que zn 1z n, donde n es un entero positivo.
3 Analice las similitudes algebraicas y geométricas de las raíces cúbicas de cualquier número real positivo a.
4 Suponga que dos vectores v y w tienen el mismo punto inicial, que el ángulo entre ellos es u y que v 苷 mw (m es un
número real).
6 Fórmula de Euler y otros resultados Los siguientes son algunos resultados interesantes e inesperados que contienen
números complejos y temas que ya hemos estudiado.
(a) Leonhard Euler (1707-1783) nos dio la siguiente
fórmula:
ei cos i sen Si hacemos u p, obtenemos ei 1 o bien, lo que
es equivalente,
ei 1 0,
una ecuación que relaciona cinco de los números más
importantes en matemáticas. Encuentre e2 i.
(a) ¿Cuál es la interpretación geométrica de v w?
(b) ¿Cómo se puede hallar v w ?
5 Una aproximación vectorial a las leyes de los senos y los cosenos
(a) De la figura vemos que c b a. Use componentes
horizontales y verticales para escribir c en términos de
i y j.
b cos a cos i b sin a sin j
Ejercicio 5
y
LN z ln z i 2 n,
donde ln es la función de logaritmo natural, u es un argumento de z y n es un entero. El valor principal de
LN z es el valor que corresponde a n 0 y p u p. Encuentre los valores principales de LN (1) y LN i.
(c) Definimos la potencia compleja w de un número complejo z 苷 0 como sigue:
zw ew LN z
C
Usamos valores principales de LN z para hallar valores
principales de zw. Encuentre valores principales de 2i
e ii.
?
g
22
a
b
2
a
A
(b) Definimos el logaritmo de un número complejo z 苷 0
como sigue:
22
2
i; e / 2 0.2079
b
c
B
x
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634
CAPÍTULO 8 APLICACIONES DE TRIGONOMETRÍA
7 ¿Una identidad interesante? Suponga que a, b y g son ángulos en un triángulo oblicuo. Demuestre o desapruebe el
siguiente enunciado: La suma de las tangentes de a, b y g
es igual al producto de las tangentes de a, b y g.
8 Fuerzas de cables colgantes Un adorno de 5 lb cuelga de
dos cables como se muestra en la figura. Demuestre que las
magnitudes de las tensiones (fuerzas) de los cables están
dadas por
T1 5 cos b
sen (a b)
y
T2 Ejercicio 8
T1
a
5 cos a
.
sen (a b)
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T2
b