tema 5: reducción de la gravedad

TEMA 5: REDUCCIÓN DE LA GRAVEDAD
5.1 INTRODUCCIÓN
Para la resolución de la integral de Stokes es necesario que las anomalías de
gravedad representen valores de contorno sobre la superficie del geoide, lo que nos
lleva a dos necesidades imprescindibles para el cumplimiento de tal condición: la
primera es que las anomalías de gravedad deben presentar valores de contorno reales
fuera de las masas atrayentes, por lo que será necesario que no existan masas por
encima del geoide, lo que obliga a eliminar esas masas existentes por encima del
geoide o bien a condensarlas dentro del mismo.
En segundo lugar, la gravedad medida sobre la superficie física del terreno se debe
reducir al geoide, es decir: las observaciones de gravedad las haremos sobre la
superficie terrestre que es irregular y sobre la que tendremos una superficie
equipotencial diferente para cada punto (P, Q) observado, figura 4.1, por lo que no
tendremos todas las medidas referidas a la misma superficie de nivel, así que
deberemos reducirlas a una única superficie de nivel (el geoide) para que los valores de
gravedad observados sean comparables entre sí y permitan formarse una idea del
relieve gravimétrico.
Figura 5.1: Superficies equipotenciales diferentes que pasan por puntos de la
superficie topográfica.
La explicación al concepto de relieve gravimétrico será la siguiente: no debemos
olvidar que las anomalías de gravedad provienen de irregularidades en la repartición
de las masas terrestres que provienen de los excesos y defectos de masas interiores.
Así las anomalías reducidas pueden ser positivas o negativas, en el primer caso
indican una gravedad observada más fuerte que la que resultaría si las masas
situadas por debajo de la estación e interiores al geoide obedeciesen a la ley teórica de
repartición de densidades realizada sobre nuestro elipsoide de referencia ideal
compuesto de capas homogéneas concéntricas. Habrá, por tanto, por debajo de la
estación, en este caso, masas de fuerte densidad anormal, y, al contrario, una
anomalía negativa pone de manifiesto una débil densidad anormal de las masas
mencionadas (Sans Huelin 1946).
Unas veces estas anomalías son meramente locales, originadas por masas
perturbadoras de densidad anormal, de extensión limitada, y, otras presentan carácter
de anomalías regionales, del mismo signo para una región de la superficie terrestre.
5.2 REDUCCIÓN DE BOUGUER
El objeto de la reducción de Bouguer sobre la gravedad es la eliminación completa
de las masas topográficas, es decir, de las masas exteriores al geoide.
El potencial que genera toda la topografía sobre un punto P(XP,YP,ZP), figura 4.2, en
la superficie terrestre debido a las masas situadas sobre el geoide puede escribirse en
aproximación plana mediante:
V ( X P , YP , Z P )  K  
E
 ( X ,Y , Z )
H
0
 X  X P   Y  YP    Z  H P  


2
2
2
1
2
dZdYdX
(5.1)
Donde K es la constante de gravitación universal, E el área de interés
(resolución local del geoide), HP y H son las alturas sobre el geoide en el punto de
cálculo y en el punto integral (alturas ortométricas, con Z=H en la resolución integral)
y  es la función de densidad, normalmente desconocida y supuesta constante con lo
que saldrá fuera de la integral.
Normalmente el efecto de las masas por encima del geoide sobre la gravedad es
separado en dos partes, una la corrección por lámina de Bouguer y otra el efecto de la
topografía, es decir, primero, con la corrección terreno, eliminamos las irregularidades
topográficas (eliminamos por encima y rellenamos por debajo del punto P), dejando el
área de alrededor de la estación gravimétrica P completamente plana, figura 4.2
horizontal y con masas uniformes de la misma densidad, y luego eliminamos las
masas que hay entre el geoide y la lámina de Bouguer que ha quedado al eliminar la
topografía:
Figura 4.2: Reducción de Bouguer.
Así la integral (4.1) se dividirá en dos partes (una suma de integrales):
V  K  
E
HP

0
1
dE dZ K  
d
E

H
HP
1
dE dZ
d
 5.2 
Donde:

d  S O2  Z  H P 

1
2 2
Y:
SO
  X  X
2
2 2
P   Y  YP  
1
La primera de las integrales corresponderá a la lámina de Bouguer y la
segunda al efecto de la topografía.
Comenzaremos primero por la integral correspondiente a la lámina de Bouguer,
considerando que la atracción vertical A es la derivada negativa de V respecto a la
altura obtendremos que:
V
B'  
  K  
H P
E
HP

0
 Z  H P  dE dZ
d
3
2
 5.3
La lámina de Bouguer representada por la ecuación anterior tendrá siempre
resultado positivo ya que el punto integral Z estará siempre por debajo de HP, por lo
que la eliminación de dicha capa (-B’), actuará de forma negativa sobre el punto P, tal
como es de esperar, ya que la eliminación de la lámina de Bouguer situada debajo del
punto P debe hacer que la gravedad en P disminuya.
Para el cálculo de un valor numérico podemos desarrollar el potencial que
genera un cilindro sobre un punto P situado sobre el mismo, figura 4.3, tal como se
desarrolla en (Heiskanen et al. 1984, pg 127-128), donde, para evitar la confusión de
signo anterior, se ha puesto:

d  S  H P  Z 
2
O

1
2 2
b
Figura 4.3: Potencial y atracción de un cilindro circular sobre
un punto situado en su superficie.
La atracción de dicho cilindro sobre el punto P resulta:

B  2K a  H P  a 2  H P2
Y tomando

a   , aplicando la teoría de límites:
B  2 K  HP
5.4
Como es lógico, el área de integración no es infinita, por lo que asumiendo que
el área E está limitada por Xmin, Xmax, Ymin, Ymax , el efecto de la lámina de Bouguer será
(Peng et al. 1995) :

X max
  ( X P  X ) lnYP  Y   r   (Y P  Y ) ln X P  X   r  


B( X P , Y P , H P )  K   



  ( H P  Z ) tg 1  ( X P  X )(Y P  Y ) 

  
(
H

Z
)
r
P


 X min
 
Y
 max




Ymin
H
 P




 0
(4.5)
donde:

r  ( X P  X ) 2  (YP  Y ) 2  ( H P  Z ) 2

1
2
Para puntos alejados las fórmulas deben tener en cuenta la esfericidad
terrestre, por lo que serán más complicadas.
Para la consideración de la segunda parte de la integral (5.2), o efecto de la
topografía, procederemos de la siguiente manera (Sideris 1990):
H
VTop.  K   
HP
E
Para
Z  HP
SO
1
dZdE  K   
HP
d
E
H
2
1   Z  HP  
1  
 
SO   S O  



1
2
dZdE
 5.5
 1 cosa normal en nuestro caso, ya que la diferencia de alturas
suele ser muy pequeña en comparación con las distancias tratadas (SO), el término
entre corchetes puede ser desarrollado en serie binomial de la siguiente forma: el
desarrollo binomial responde a la expresión:
1  X n
 1 n X 
nn  1 2 nn  1n  2 3
X 
X 
2!
3!
Z HP
1
Aplicado a nuestro caso donde n  
y X  
2
 SO
2

 , el desarrollo resulta

ser igual a la serie:
 Z H
P
1  
  S O



2




1
2



r 0
ar 
 Z  HP
(1) ar 
 SO
r
2r !
2 r!
r
2



2r
Introduciendo la serie en la integral 4.5 resulta la expresión:
H
V  K

  
E HP
1
SO
r 0
 Z  HP
 1 a r 
 SO
r
2r

 dZ dE

La atracción vertical resulta ser:
A
V
 K
H P
 
H
HP
E


1
SO
(1) r a r 2r
Z  H P 2 r 1
S O2 r
r 1
dZ dE
Donde el sumatorio comienza ahora desde r=1, ya que para r=0 el resultado
sería cero.
Separando las integrales tendremos:
V
A
 K
H P

 
E
1
SO
r 1
 H Z  H 2r 1

P
 dE
(1) a r 2r 
dZ
S O2r
H

 P


r
Donde la integral entre corchetes es igual a:
 H Z  H 2 r 1
 H  H  2 r
P
P

dZ  
2r
2r
S
2
r
S
H

O
O
 P


Con lo que la atracción quedará:
V
A
 K
H P

  (1)
E
1
SO
r
ar
H  H P  2 r
S O2 r
r 1
dE
Si se considera únicamente el término r=1 del sumatorio anterior, se obtendrá,
finalmente:
A
1
K
2

E
H  H P  2
S O3
dE
La atracción de la topografía afectará de forma negativa al punto P de cálculo,
por lo que su eliminación será positiva (aumentará la gravedad sobre P) y será llamada
corrección topográfica (Moritz 1980 pg. 415):
C ( X P , YP , Z P ) 
1
K
2

H  H P 2
S O3
dE
(4.6)
E
Para las masas por encima de la lámina de Bouguer, que atraen hacia arriba
en el punto P, el ser eliminadas provocará un aumento de la gravedad en P, y las
masas deficientes, que se deben rellenar, producen en P un aumento de gravedad
también, con lo que la corrección topográfica siempre tendrá carácter positivo, como
ya se ha visto.
Una vez encerrada toda la topografía en la lámina de Bouguer ésta se elimina,
lo que equivale a restar su atracción de la gravedad observada, con lo que la
corrección total sobre P será:
CORR( X P , YP , ZP )  B( X P , YP , ZP )  C( X P , YP , ZP )
5.7
Siendo B la corrección Bouguer, ecuación (5.4) y C la corrección de terreno,
ecuación (5.6).
Con todo esto obtenemos finalmente la corrección a la gravedad observada que
la totalidad de las masas topográficas situadas por encima del geoide producen, es
decir, hemos eliminado esa topografía, pero la estación estará todavía a una altura H P
sobre el geoide, debemos, por tanto, bajarla al geoide, para ello utilizaremos la
reducción aire-libre:
F 
g
H
H
(5.8)
Para muchos fines prácticos es suficiente usar el gradiente de la gravedad
normal, es decir, (apartado 2.4.3):
F 

H  (0.3086 mgal / m) H
H
(5.9)
Con signo positivo hacia el centro de masas terrestres.
El proceso total de corrección nos lleva a la gravedad Bouguer y a la conocida
anomalía de Bouguer refinada:
gB  gobservada  BBouguer  Ctopo gra fia  F
gBouguer  gB   O
(5.10)
5.11
Como anomalía relacionada se puede hablar también de las anomalías de
gravedad aire-libre:
g AL  gobservada  F   O
5.11b
5.3REDUCCIONES ISOSTÁTICAS
Se podría pensar que las masas topográficas están simplemente superpuestas
sobre una corteza homogénea. Si este fuera el caso, la reducción de Bouguer refinada
eliminaría las principales irregularidades del campo gravífico, de modo que las
anomalías Bouguer serían pequeñas y fluctuarían alrededor de cero. No obstante
justamente lo contrario sucede: las anomalías Bouguer son sistemáticamente
negativas en zonas montañosas y, aproximadamente, disminuyen 100 mGal por cada
kilómetro de altitud, es decir, parece que se esté eliminando más masa de la que se
debería eliminar en realidad con la corrección anterior.
La única explicación posible es que existe algún tipo de deficiencia de masas bajo
las montañas, esto significa que las masas topográficas están compensadas de alguna
manera.
Para explicar y evaluar dicha compensación se desarrollaron dos teorías diferentes
casi al mismo tiempo, la de Pratt en 1854 y la de Airy en 1855.

SISTEMA DE PRATT-HAYFORD
Ideado por Pratt y puesto en forma matemática por Hayford, el principio se
basa en que por debajo del nivel de compensación la densidad es uniforme, figura 5.4.
Por encima, las masas de cada columna de igual sección son iguales, esto quiere decir
que si llamamos D a la profundidad del nivel de compensación, entonces la densidad 
de una columna D+h debe satisfacer la ecuación:
D  h  DO
Para mantener el equilibrio de masas propuesto.
Para D se adopta un valor medio de 100 Km, y para
 O  2.67
g
cm 3
Figura 5.4: Sistema de compensación isostática de Pratt-Hayford.
Con esto podremos saber la diferencia de densidad entre cada columna y la
teórica:
  O   
h
O
Dh
 5.12 
En los océanos la condición de igualdad de masas se expresa como:
D  h'  h' W
Donde
W  1.027 g / cm3
 D O
es la densidad del océano y h’ su profundidad. Por
tanto hay un exceso de densidad teórica de la columna suboceánica dada por:
  O 

h'
 O  W 
D  h'
 5.13
SISTEMA DE AIRY-HEISKANEN
Airy propuso este modelo y Heiskanen le dió una formulación más precisa para
fines geodésicos y lo aplicó extensivamente.
El
principio
 O  2.67 g / cm3 pero
constante pero fluida
se
basa
en
que
las
montañas
de
densidad
constante
rígidas, flotan sobre una capa más densa de densidad
1  3.27 g / cm3 , figura 5.5.
Si pensamos en la corteza terrestre como una masa elástica, comprenderemos
que las montañas tengan raíces que se hunden dentro del manto para mantenerse en
equilibrio y que los océanos presenten antiraices.
Si designamos por h la altitud de la topografía y por t el espesor
correspondiente a la raíz, la condición de equilibrio flotante que la hidrodinámica nos
proporciona como el efecto del empuje de Arquímedes sobre un medio más denso se
transforma en:
t  hO
5.14
Donde hemos llamado:
   1   O  0 . 6
g
cm 3
A la diferencia de densidades, así de la ecuación (5.14) podemos extraer:
t  4.45 h
5.15
Figura 5.5: Sistema de compensación isostática de airy-Heiskanen.
Para los continentes. Para los océanos la condición de equilibrio flotante será:
t '   h' O  W 
Con lo que la antirraiz valdrá:
t '  2.73h'
El espesor normal de la corteza terrestre se designa por T y se suele expresar
como 30 Km. (aproximadamente la profundidad de la discontinuidad de Mohorovicic).
Se ha puesto de manifiesto por observaciones que la tierra está isostáticamente
compensada en un 90%, pero es difícil decidir cual es el mejor modelo isostático, ya
que, dependiendo de la zona, parece que se ajuste más un modelo que otro.
Para los cálculos, eligiendo un modelo isostático de compensación, deberemos
proceder a evaluar esa auto compensación de las masas. Aquí debemos retocar un
poco el concepto anterior de eliminación de masas topográficas.
Ahora el objeto de la reducción isostática de la gravedad es la regularización de
la corteza terrestre según algún modelo de isostasia; las masas topográficas no son
completamente eliminadas como en la reducción de Bouguer, sino que, idealmente,
son utilizadas para compensar esas deficiencias de masa. En el modelo isostático de
Pratt-Hayford las masas topográficas son distribuidas entre el nivel de compensación
y el nivel del mar para llevar la densidad al valor constante
O
y en el modelo de Airy-
Heiskanen las masas topográficas de altura se utilizan para rellenar las raíces de los
continentes y llevarlas a densidad 3.27 g/cm3.
Resumiendo: la topografía se auto compensa, si la eliminamos deberemos
eliminar también esa auto compensación, llevando la corteza a un estado teórico de
densidad 2.67 g/cm3 y espesor constante D (modelo Partt-Hayford) o T (modelo AiryHeiskanen).
Así, la reducción total de la gravedad sobre el geoide isostáticamente reducida
es:
gI  g  BBouguer  CTop  F  AIsos.
5.16
Donde AIsos será la atracción de la compensación; equivaldrá a esa carencia de
masa que la topografía rellena, y, por tanto, tendrá una influencia negativa sobre la
gravedad observada, ya que ahora suponemos menor masa (densidad), por debajo de
la estación, evidentemente su eliminación (eliminación de la compensación isostática)
será positiva (hay que recordar que las anomalías Bouguer daban sistemáticamente
números negativos).
Si los modelos son exactos y existe equilibrio isostático, la anomalía
correspondiente debe ser nula o cercana a cero. Si no lo es, las masas superficiales
deben tener tendencia a subir (si la anomalía es negativa) o a bajar (si es positiva). Ello
ha sido controlado por ejemplo en zonas escandinavas, área que presenta anomalías
negativas y que se está elevando lentamente, descargada hoy de la masa de los
glaciares cuaternarios. Si las masas no se desplazan o lo hacen en sentido contrario
del que reclama la isostasia es porque una fuerza profunda les afecta: es lo que ocurre
particularmente en las fosas oceánicas, donde se constatan fuertes anomalías
negativas y tendencias al hundimiento (Foucault et al. 1985). A pesar de esto las
interpretaciones de las anomalías isostáticas deben hacerse con extrema cautela, un
mapa de anomalías isostáticas mostrará con claridad las variaciones laterales en
densidad de las rocas de superficie y profundidad media (Blakely 1996), con lo que lo
único cierto es que las anomalías positivas presentan una densidad grande y las
negativas una densidad pequeña de las rocas o material que la provoca, el resto de
interpretaciones puede ser muy subjetivo, necesitando de más información para poder
extraer conclusiones ciertas.
5.4MODELOS
DE
TRANSFERENCIAS
DE
MASAS:
SEGUNDO
MÉTODO DE CONDENSACIÓN DE HELMERT
Este segundo método de condensación de Helmert es el más utilizado en la
mayoría de determinaciones actuales de geoide que utilizan el método integral de
Stokes, y, por eso, nos referiremos exclusivamente a él (Sevilla 1995), (Sideris et al.
1995), (Smith et al. 1999), (Zhang 1999), (Zhang et al. 2000).
En este tipo de métodos la masa topográfica no es eliminada, sino que se
condensa sobre el geoide (Heiskanen et al. 1985, pág. 145).
En este caso la topografía se condensa para formar una capa superficial sobre el
geoide, por ejemplo la columna de la figura 4.6 se condensará con una densidad de
  H
Figura 5.6: Principio del segundo método de condensación de Helmert.
Lo cual nos llevará a una integral doble (toda la superficie del geoide).
Para evaluar este efecto topográfico, se aproxima el geoide por un plano
horizontal, lo que lleva, en los cálculos posteriores de N, para áreas de integración de
6º y alturas topográficas de 2 Km., a errores menores de 2-3 cm.(Vanicek et al. 1987).
El proceso será el siguiente:
La gravedad reducida sobre el geoide, eliminando las masas topográficas es,
según ya hemos visto, figura 4.7:
gPO  gP  2 K  HP  C  F
5.17
Figura 5.7: Atracción sobre un punto P de un punto Q situado sobre la
topografía y sobre el geoide.
Ahora, sobre el geoide (punto PO), se restauran las masas con densidad de
condensación , por lo que para el cálculo del potencial gravitatorio ahora se debe
resolver una integral de superficie del tipo:
VP'O  K 
E
1
H
dE  K   dE
SO
SO
E
(5.18)
Ahora la densidad de condensación será H para cada punto, por lo que en
cada será diferente: en PO será de HP y en QO será de HQ, por lo que se puede dividir
también el efecto en una lámina de condensación HP como la de Bouguer más la
lámina de densidad ρ(H-HP) sobre cada punto diferente de P siguiendo la idea de la
condensación de la topografía por encima o por debajo de la lámina de Bouguer, es
decir:
VP'O  K  
E
HP
H  HP
dE  K  
dE
SO
SO
E
 5.19
La primera de las integrales será la correspondiente a la lámina de Bouguer
condensada, la atracción de esta lámina (A1) será, (Heiskanen y Moritz, pg. 129),
(figura 4.3 con b=0):

A1  2K  1 


a
HP
 H P2
2





H P  0 , ya que el punto se encuentra sobre el geoide, obtenemos
Y como
finalmente:
A1  2 K  2 K  H P
(5.20)
La resolución de la segunda integral de la ecuación 5.19, correspondiente al
efecto de la atracción gravitatoria de la topografía por encima y por debajo de la
lámina de Bouguer condensada. Se resuelve de forma sencilla si intentamos evaluar la
atracción gravitatoria (A2) en vez del mismo potencial y si consideramos que, en este
caso
H  H P 
tiene que ver con la densidad de condensación, no con una posición
susceptible, por tanto, de derivación:
A2  
V2'

 K   H  H P 
H P
H P
1
 S
E
dE  0
5.21
O
Densidad de condensación de la topografía por
encima y por debajo de la lámina de Bouguer.
Así, finalmente, la suma de los efectos de la eliminación topografía sobre el
punto P y su posterior reducción al geoide, ecuación 5.17, y posterior restauración de
la topografía condensada sobre el geoide (sobre el punto P0), ecuaciones 5.20 y 5.21,
se traduce en el valor de gravedad Helmert:
g H  g p  2 K  HP  C  F  2 K  HP  g p  C  F
5.22
Con lo que, finalmente, la anomalía de gravedad según la segunda teoría de
condensación de Helmert se traduce en:
g H  gPAL  C
(5.23)
A este término también se le conoce con el nombre de anomalía de Faye
refinada.
Así pues este método se reduce a calcular únicamente la corrección topográfica
(ecuación (4.6)), de ahí que sea el utilizado actualmente en determinaciones de geoide
utilizando la integral de Stokes; de todas formas, si nos fijamos con detenimiento, nos
podremos dar cuenta de que el segundo método de Helmert no es más que un caso
límite de la reducción isostática de Pratt-Hayford cuando la profundidad de
compensación D se hace cero.
5.5EFECTO INDIRECTO
La eliminación o desplazamiento de masas que conllevan las reducciones de la
gravedad cambian el potencial gravífico y, por tanto, el geoide. Este cambio del geoide
es un efecto indirecto de las reducciones de la gravedad.
Por lo tanto, la superficie calculada por la fórmula de Stokes a partir de las
anomalías isostáticas, por ejemplo, no será el geoide mismo, sino una superficie
ligeramente diferente: el cogeoide. A cada reducción de la gravedad le corresponde un
cogeoide diferente.
4.5.1 EFECTO INDIRECTO EN EL SEGUNDO MÉTODO DE CONDENSACIÓN DE
HELMERT
Sea N
C
la ondulación del cogeoide (obtenida por la resolución de la integral de
Stokes), la ondulación del geoide real se obtiene mediante:
N  NC  N
(5.24)
Recordemos donde nos situamos: actualmente nos encontramos con la
anomalía de gravedad situada sobre el geoide (o cogeoide, en este caso), y ahora
debemos evaluar el efecto sobre la ondulación del geoide que tiene el haber llevado las
masas topográficas a condensarlas sobre el geoide.
El potencial indirecto deberá, por tanto, ser evaluado como el potencial
gravitatorio de las masas topográficas que afectan al punto PO, figura 5.7, situado en
el cogeoide menos el potencial gravitatorio de las masas topográficas después de la
reducción sobre el mismo punto, de esta forma llevamos el potencial del cogeoide al
geoide (del efecto de las masas condensadas al efecto de la topografía real).
Al igual que antes, podremos dividir el potencial indirecto en el potencial
ejercido por una lámina de densidad constante (lámina de Bouguer), y por el efecto de
la topografía.
Para obtener una fórmula de trabajo para la lámina de Bouguer utilizaremos el
desarrollo del potencial que ejerce un cilindro sobre un punto P o PO, figura 5.11, (el
valor sería el mismo debido a la simetría del cuerpo generador del potencial) situado
sobre el mismo (Heiskanen et al. 1985 ec. 3-5):
P
hP
a
PO
Figura 5.8: Potencial y atracción de un cilindro.
1



2 2 


h
h


2
2
2
2


P
P
V   K   hP  hP a  hP  a ln
 1
 a  a 2   





De donde:
a 2  hP2
Puede ser visto como:
1

2 2


h
a 1  P2  

a  


 5.25
Y, por tanto, desarrollado en serie de Taylor de la forma:
1  X 
1
2 2
Siendo X=hP/a y quedándonos con los términos hasta X2 del desarrollo,
obtenemos que:
 1 hP2

a 2  hP2  a 1 
 
2
 2a

Desarrollando de igual forma el término:
1


 hP  hP2  2 


ln  1  2  
 a  a  


Considerando el desarrollo anteriormente visto, se obtiene:
1
 hP2  2
1 hP2
1  2   1 

2 a2
 a 
Resulta finalmente, desarrollando en serie el logaritmo:
 h
1 hP2  hP

ln1  P 

a 2 a 2  a

Con lo que la ecuación (5.25) quedará de la forma:

 1 hP2  2 hP 
 2
1 hP3 
V   K   hP2  hP a 1 

a


K


h

2
h
a


P
 P

2
a 
2 a
 2a 


 5.26 
Ecuación que representará el potencial gravitatorio real de la lámina de
Bouguer sobre PO.
Ahora debemos hallar el potencial gravitatorio de las masas condensadas,
siguiendo la misma idea de la lámina de Bouguer, pero esta vez con espesor cero
(condensación sobre el geoide), se llega a la expresión (Heiskanen et al. 1985 ec 3-9):
V '  2 K  hP

a 2  hP2  hP

5.27 
En nuestro caso hP=0 (altura del punto PO), con lo que la ecuación anterior
presenta la forma:
V '  2 K hPa
5.28
Esta última ecuación representa el potencial gravitatorio de la lámina de
Bouguer condensada sobre el punto PO; lo único que resta para obtener el potencial
indirecto es restar (4.26) menos (4.28), obteniendo:
h3
1
Vind  KhP2  K P
2
a
Si hacemos tender
a   , obtendremos, finalmente, la ecuación:
lamina Bouger
Vind
  K hP2
5.29
Para la obtención del efecto indirecto en el potencial debido a la topografía se
procede de la siguiente manera (Wichiencharoen 1982 pág. 25-28):
El potencial gravitatorio en el punto PO sobre el geoide de la topografía real por
encima y por debajo de la lámina de Bouguer se puede expresar por (Figura 4.7):
V  K  
E
H
dEdZ
d
Z HP

 5.30
Q
Topografía
Lámina de Bouguer
P
d
Z
HP
PO
QO
Geoide
SO
Figura 5.9: Efecto indirecto de la topografía por encima y por debajo de
la lámina de Bouguer.
Donde seguimos considerando la aproximación plana de la topografía. De la
figura 5.9 se obtiene:
d 2  SO2  Z 2
Por lo tanto:
1 1  Z2 

1 

d SO  SO2 

1
2
Si expresamos la expresión entre paréntesis en serie binomial se obtiene:
1 1  1 Z2 3 Z4



1 
d SO  2 SO2 8 SO4
 1 1 Z2 3 Z4




3
5
 SO 2 SO 8 S O
Sustituyendo el desarrollo anterior en la ecuación (5.30), quedándonos
únicamente con los dos primeros términos obtenemos:
V  K  
E
Siendo:
 1 1 Z2 
  S  2 SO3 dZ dE  V1  V2
Z HP  O
H
 5.31
H
dZ dE
Z
V1  K   
; V1 K  
SO
SO
E Z HP
E
H
Z HP
H
dE; V1  K  
1 Z2
1
1 Z3
V2  K    
dEdZ ; V2   K  
2 SO3
2
3 SO3
E Z HP
E
E
H
Z HP
H  HP
dE
SO
H 3  H P3
1
dE; V2   K  
dE
6
SO3
E
Considerando, como sabemos, que, en este caso, Z=H.
De manera que la ecuación 4.31 se transforma en:
V  K  
E
H  HP
H 3  H P3
1
dE  K  
dE
3
SO
6
S
O
E
 5.32
El potencial V’ de la topografía por encima y por debajo de la lámina de
Bouguer condensada sobre el punto PO en el geoide viene dado por la segunda suma
de la expresión (5.19):
V '  K  
E
H  HP
dE
SO
 5.33
Así, para obtener el potencial indirecto que genera la topografía por encima y
por debajo de la lámina de Bouguer queda, únicamente, restar las ecuaciones (4.32) y
(5.33), obteniendo finalmente:
topografia
ind
V
H 3  H P3
1
  K  
dE
6
SO3
E
 5.34
Para transformar los potenciales indirectos (5.29) y (5.34) en efecto indirecto
sobre las ondulaciones de geoide tal como exige la ecuación (5.24), utilizaremos la
fórmula de Bruns, considerando que el efecto indirecto es suficientemente pequeño
como para que sea válida esta suposición, obteniendo, finalmente:
N 
Vbouguer Vtopografia
 K  H P2 K  H 3  H P3



dE
3
O
O
O
6 O 
S
O
E
(5.35)
Para una malla regular de puntos, la integral discreta será (Sideris et al. 1995):
Nind
K 2

H( X
O
K  X Y

P ,YP )
6 O
XM
YM

H (3X ,Y )  H 3X P ,YP 
X  X1 Y Y1
SO3
 5.36 
Si cogemos valores de H=1000 m y =980 gales el primer término de la
ecuación anterior será menor a seis centímetros, la segunda parte de la fórmula
resultará en un efecto mucho menor pero que debe ser considerado para altas
montañas, además, el rápido incremento de
S O3 garantiza un rápida convergencia de
la ecuación, por lo que se puede evaluar únicamente para la vecindad del punto
calculado (10-15 Km.). Con esto se quiere decir que para zonas donde las variaciones
de topografía no sean muy elevadas, con utilizar el primer término de la ecuación
anterior es suficiente (Hipkin 1994), (Smith et al. 1999).
Pero, además, antes de aplicar la fórmula de Stokes, las medidas de la
gravedad deben ser reducidas del geoide al cogeoide (que es donde se aplica la integral
de Stokes). Esto se hace mediante una sencilla reducción aire-libre:
g  0.3086N
o:
2 K  H 2
g 
R
Este es el efecto indirecto sobre la gravedad que, debido a su escasa
repercusión en el cálculo posterior no se suele considerar (Sideris et al. 1995): El
efecto indirecto sobre la ondulación del geoide no supera el medio metro, por lo tanto,
si N=0.5 m, g=0.1543 mGal. Si consideramos que, a groso modo, 1 mGal equivaldría
a 10 cm en los cálculos posteriores de N, vemos que la influencia de no considerar
este efecto ser.
Ahora las anomalías de gravedad se refieren estrictamente al cogeoide. La
aplicación de la fórmula de Stokes da NC, que deberá ser corregida del efecto indirecto
N para dar la ondulación del geoide definitiva.
5.6COMPARACIÓN
REDUCCIÓN
DE
LOS
DIFERENTES
MÉTODOS
DE
En principio, todas las reducciones de la gravedad son equivalentes y deben
conducir al mismo geoide si son apropiadamente aplicadas, incluido el efecto
indirecto. No obstante, existen ciertos requerimientos que restringen severamente el
número de reducciones útiles en la práctica. Los principales requisitos son:
a)
Las reducciones deben dar anomalías de la gravedad pequeñas y suavizadas,
de modo que puedan interpolarse fácilmente y, si fuera preciso, extrapolarse.
b)
Las reducciones deben corresponder a un modelo con significado geofísico, de
modo que anomalías resultantes sean también útiles para interpretaciones
geológicas y geofísicas (representación del relieve gravimétrico).
c)
El efecto indirecto no deberá ser indebidamente grande.
Considerando estos tres aspectos se puede construir un cuadro, tabla 5.1,
analizando todas las reducciones estudiadas, poniendo un positivo si es un
requerimiento que la reducción cumple o un menos si no lo cumple:
Tipo de Reducción
Requerimientos
a
b
c
Bouguer
+
+
-
Aire-Libre
-
+
+
Isostática
+
+
+
Helmert
+
+
+
Tabla 5.1: Comparación de los diferentes métodos de
reducción estudiados.
Las
anomalías
Bouguer
refinadas
(con
efecto
terreno)
tienen
buenas
propiedades para la interpolación (suelen ser grandes en valor, pero de carácter
suave), y son geofísicamente hablando, expresivas, pero la reducción Bouguer
presenta un efecto indirecto excesivamente grande, del orden de 10 veces la propia
ondulación del geoide, la razón es, claramente, que la tierra está, en general,
isostáticamente compensada; por consiguiente, las anomalías Bouguer no pueden
usarse para la determinación del geoide.
En cuanto a las anomalías aire-libre, que serán las que utiliza la teoría de
Molodesky, como se verá en el tema 6, son pequeñas, pero extremadamente
dependientes de la topografía, de manera que su interpolación será muy imprecisa, es
decir,
cuando
trabajemos
con
anomalías
aire-libre
deberemos
extremar
las
precauciones en la interpolación y nunca extrapolar.
Las anomalías isostáticas y Helmert (estas últimas no dejan de ser una
particularización de un modelo isostático) cumplen con los tres requerimientos: los
modelos en los que se basan responden mejor a la realidad geológica y geofísica, son
anomalías pequeñas, suaves e independientes de la topografía, de manera que son
ideales para la interpolación y el efecto indirecto es moderado.
Por lo tanto las anomalías isostáticas y de Helmert deben ser las consideradas
para los cálculos del geoide en el presente contexto; actualmente se eligen las de
Helmert ya que son mucho más fáciles de calcular (únicamente el efecto de la
topografía debe ser considerado).