ejemplo 1

EXAMEN DE INVESTIGACIÓN OPERATIVA- 23 JUNIO 2004
Problema 1.a) Sea { X ( n ) , n ∈ `} una cadena de Markov de parámetro discreto con k estados y
matriz de transición en una etapa P. Demostrar que p (1) = p ( 0 ) ⋅ P . Explicar
razonadamente por qué la matriz P n es la matriz de transición en n etapas. (1.5 puntos)
b) Cada mañana un individuo sale de su casa para correr antes de ir al trabajo. Su casa
3
tiene dos puertas. La probabilidad de que salga por la puerta delantera es y la de que
4
1
salga por la puerta trasera es . Antes de salir, se pone calzado deportivo siempre y
4
cuando en la puerta que elige para salir haya un par de zapatillas de deporte y si no,
corre descalzo. Cuando vuelve tiene la misma probabilidad de entrar por cualquiera de
las dos puertas y deja las zapatillas de deporte en la puerta por la que entra.
Supongamos que esta persona tiene un total de tres pares de zapatillas de deporte y que
antes de comenzar a correr el primer día tiene todos los zapatos colocados en la puerta
delantera.
b1) Definir un proceso estocástico que modele esta situación. Razonar si es o no de
Markov. Definir en su caso los estados del proceso. (1 punto)
b2) Obtener la matriz de probabilidades de transición en una etapa. (2 puntos)
b3) Calcular la probabilidad de que el quinto día que sale a correr sea el primero que
no tiene los tres pares de zapatillas en la puerta delantera. ¿Qué distribución sigue la
variable que mide el número de días que transcurren hasta que deja de haber tres
pares de zapatos en la puerta delantera? (1 punto)
b4) Calcular la probabilidad de que cuando sale a correr el quinto día, tenga más de
un par de zapatillas en la puerta. (1.5 puntos)
b5) Clasificar los estados de la cadena. Deducir si existen las probabilidades de
equilibrio y en caso de existir, plantear el sistema que permitiría obtenerlas. (1.5
puntos)
b6) ¿Qué proporción de días corre descalzo este individuo una vez alcanzado el
estado estacionario? (1.5 puntos)
Problema 2.-Se va a analizar un tramo de red que corresponde a un servidor (nodo 1)
de parches de seguridad de Windows, y a 3 nodos más por los que circularán dichos
parches. Los parches para evitar el gusano Sasser ocupan 6 Mb. Las tasas de
transferencia de ficheros de cada uno de los nodos 1 al 4 son 2, 1, 1 y 0.6 Mb/minuto
respectivamente, siguiendo una distribución exponencial dichos tiempos de servicio.
Suponemos que se solicitan 10 parches por hora al servidor 1 (se puede considerar que
ésta es la tasa de llegada al nodo 1) y que el número de solicitudes es un proceso de
Poisson.
Las
probabilidades
de
transición
entre
los
nodos
son: P1,2 = P1,3 = 0.5; P2,3 = 0.5; P2,4 = 0.2; P3,2 = 0.4; P3,4 = 0.4.
2
1
4
3
a) Calcular la tasa de llegada a cada nodo. Indicar la tasa de servicio de cada nodo
utilizando las mismas unidades que en la tasa de llegada. (2 puntos)
b) Calcular para cada nodo: L, W y p(1). (1.5 puntos)
c) Calcular el número medio de parches circulando en este tramo de red, y la
probabilidad de que haya 1 parche en cada nodo (suponemos que un parche que
está siendo transferido está en el nodo de partida hasta que se ha completado la
transferencia). (1.5 puntos)
d) Suponiendo que la población de clientes del nodo 1 es finita, que sólo hay
solicitud de parches de 10 clientes, cada uno de ellos con una tasa de petición de
0.02 parches/minuto, que la capacidad del nodo es de 4 parches y que la tasa de
servicio es la del apartado a) :
d1) Escribe las tasas de llegada λk a este nodo. (1.5 puntos)
d2) Calcula la probabilidad de que no se pueda atender la petición de un cliente.
(1 punto)
e) Suponemos ahora que cada uno de los nodos 2 y 3 falla de media una vez cada
10 días, que hay un servicio de reparación con un servidor que tarda de media 6
horas en repararlo y que tanto la duración de los nodos como el tiempo de
reparación siguen una distribución exponencial:
e1) ¿Qué modelo de colas debemos utilizar para modelar el sistema de reparación?
(1.5 puntos)
e2) ¿Cuál es la probabilidad de que un parche que ha salido del nodo 1 no pueda
llegar al nodo 4 por estar estropeados los nodos 2 y 3? (1 punto)
Problema 3.- (sólo para aquellos alumnos que no hayan realizado las dos prácticas
de simulación)
a) Describe tres etapas habituales en cualquier estudio de simulación.
b) Explica en qué consisten los métodos congruenciales lineales para generar
números aleatorios de un variable U(0,1).